Detaylı olarak

Sonsuz bir iniş


En ünlü Diophantine denklemi Fermat x denklemidir.n + yn = zn. N = 2 olduğunda Pisagor takımını elde ettiğimiz yerden x² + y² = z² olur. Onun çözümü, Yunan matematiği Öklidlerinin “The Elements” adlı eserinde klasik antik dönemde ortaya çıktı. Bir sonraki ilerleme 1400 yıl sonra Fermat, Leibniz ve Euler tarafından yapıldı. 17. yüzyıldan beri, en büyük matematikçilerin çoğu, Fermat'ın x için gerçeğe sahip olduğunu iddia ettiği harika gösteriyi yeniden yapılandırmak için başarısız bir şekilde çalıştı.n + yn = zn N> 2 olduğunda tamsayılar ve pozitifler için çözüm yoktur. Fermat, Diophantus'un "Arithmetica" kitabının kopyasının kenar boşluğuna uymadığını söyledi. 1742'de, 18. yüzyılın en büyük matematikçisi Leonhard Euler, arkadaşı Clerot'tan Fermat'ın gösterisini gösteren herhangi bir göstergeyle Fermat'ın evinde bir kağıt parçası aramasını istedi, ancak hiçbir şey bulunamadı. Bununla birlikte, Euler n = 3 üssü için ilk doğru ancak eksik gösteriyi verdi.

N> 2 üssü asal sayı değilse, üssün ikisinin gücü olduğunu veya bazı tek asal sayı p ile bölünebileceğini unutmayın. İlk durumda, n = 4k ve denklem şu şekilde yeniden yazılabilir:

(xk)4 + (yk)4 = (zk)4. Ancak Fermat, dördüncü iki gücün toplamının dördüncü bir güçle sonuçlanamayacağını göstermiştir. İkinci durumda n = pk olur ve denklem (xk)p + (yk)p = (zk)p Bu nedenle, denklemin keyfi tamsayı güçlere bir çözümü olmadığını göstermek için, n = p olduğunda denklemin çözünür olmadığını göstermek için yeterlidir, burada p bir tuhaf asaldır. Eğer x, y, z bir Fermat denkleminin bir çözümünü oluşturuyorsa ve bunlardan herhangi biri aynı tamsayı d ile bölünebiliyorsa, d de üçüncüyü bölerse (örneğin, d x'i bölerse) sorunu daha da basitleştirebiliriz.p ve zpo zaman tamsayılar var ve b öyle ki xp = ve zp = db; yakında yp = zp - xp = db - = d( - b), ve böylece d, y'nin bir bölenidirp. Bu nedenle, ikiye iki olarak nispeten yakın olan çözeltileri belirlemek yeterlidir. Bunlara "ilkel" denir. Eğer p tuhaf bir asalsa (-z)p = -zp ve Fermat'ın teoremini şu şekilde ifade edebiliriz: “p tuhaf bir kuzen ise, xp + yp + zp = 0, ikiye ikiye göreceli olarak yakın olan x, y, z tamsayı çözümlerine sahip değildir ve öyle ki xyz ≠ 0 olur.

N = 4 olması durumunda, ifade Fermat'a atanır. Bu gösteri, icat ettiği ve "Sonsuz Ailenin Yöntemi" olarak adlandırdığı bir indüksiyon şekline dayanmaktadır. Bu yöntem diğer birçok probleme başarıyla uygulanmış ve "Reductio ad Absurdum" demosu olarak da bilinen dolaylı demosu kullanmaktadır. Böylece çelişki tezin reddedilmesinden kaynaklanmaktadır ve orijinal tezin doğru olduğu sonucuna varıyoruz. Descendant Metodu kısaca şu şekilde açıklanabilir: Eldeki bir probleme tamsayı ve pozitif bir çözüm olduğunu varsayarız ve bundan bir öncekinden daha küçük başka bir tamsayı ve pozitif çözüm elde edebileceğimizi ve bu şekilde devam edebileceğimizi gösteririz. Bu argüman çelişkilidir, çünkü eğer pozitif bir değerden başlayıp verilen bu değerden azalan pozitif değerler dizisi inşa edersek, sınırlı sayıda adımdan sonra sıfır ya da negatif tamsayı elde ederiz. Bu yüzden, sorunun bütün ve olumlu bir çözümü olduğu varsayımından kaynaklanan bir çelişkiye geliyoruz ve bu nedenle saçma olana indirgeyerek, sorunun hiçbir çözümü olmadığını takip ediyor. Bir sonraki sütunda, Descendant Metodunu kullanarak Fermat Teoreminin n = 4 durumunu göstereceğiz.

Sütunlara dön

<


Video: Bisikletle Sonsuz Merdiven İnmek ! (Aralık 2021).