Nesne

4.3: Matematikte Dilin Dikkatli Kullanımı- = - Matematik


Eşitlik kavramı matematikte ve özellikle cebir ve cebirsel düşünmede temeldir. “=”’ sembolü bir ifadeyi ifade eder. ilişki. Bu değil + ve × işlemleri şeklinde bir işlem. Soldan sağa okunmamalı ve kesinlikle “… ve cevap …” anlamına gelmez.

Çalışmanızın açık ve başkaları tarafından kolayca anlaşılabilmesi için = sembolünü uygun şekilde kullanmanız önemlidir. Ve gelecekteki öğrencilerinizin = sembolünün anlamını anlamaları ve onu doğru kullanmaları için, onu kullanırken açık ve net olmanız çok önemlidir.

Bazı problemler üzerinde çalışarak başlayalım.

7. Sorun

Akira büyükannesini ziyarete gitti ve ona bir ziyafet alması için 1,50 dolar verdi.

Mağazaya gitti ve 3.20 dolara bir kitap aldı. Ondan sonra 2.30 doları kaldı.

Akira'nın büyükannesini ziyaret etmeden önce ne kadar parası vardı?

8. Sorun

Aşağıdaki denklemleri inceleyiniz. Karar verin: Bu ifade her zaman doğru mu, bazen doğru mu, yoksa asla doğru mu? Cevaplarınızı gerekçelendirin.

  1. $$5+3=8 ldotp$$
  2. $$frac{2}{3} + frac{1}{2} = frac{3}{5} ldotp$$
  3. $$5 + 3 = y ldotp$$
  4. $$frac{a}{5} = frac{5}{a} ldotp$$
  5. $$n + 3 = m ldotp$$
  6. $$3x = 2x + x ldotp$$
  7. $5k = 5k + 1 ldotp$$

9. Sorun

Denklemi düşünün

[18 - 7 = \_\_\_ ldotp]

  1. Boşluğu denklemi oluşturan bir şeyle doldurun herzaman doğru.
  2. Boşluğu denklemi oluşturan bir şeyle doldurun her zaman yanlış.
  3. Boşluğu denklemi oluşturan bir şeyle doldurun bazen doğru bazen yanlış.

Sorun 10

Eğer biri senden istediyse çözmek Problem 8'deki denklemler, her durumda ne yapardınız ve neden?

Düşün / Eşleştir / Paylaş

Kim Problem 7'yi şu şekilde çözdü:

Bakalım:

[2.30 + 3.20 = 5.50 - 1.50 = 4,]

yani cevap 4'tür.

Kim'in çözümü hakkında ne düşünüyorsun? Doğru cevabı aldı mı? Çözümü açık mı? Nasıl daha iyi olabilir?

Kim doğru sayısal cevabı bulsa da, hesaplaması gerçekten bir anlam ifade etmiyor. bu doğru

[2.30 + 3.20 = 5.50 ldotp]

Ama kesinlikle değil bu doğru

[2.30 + 3.20 = 5.50 - 1.40 ldotp]

“=” sembolünü yanlış kullanıyor ve bu da hesaplamasının anlaşılmasını zorlaştırıyor.

Düşün / Eşleştir / Paylaş

  • güzel yazarmısın tanım “=” sembolü? Ne anlama geliyor ve neyi temsil ediyor?
  • Bazı örnekler verin: “=” sembolü ne zaman kullanılmalı ve ne zaman kullanılmalıdır? değil kullanılacak mı?
  • Bu iki denklem aynı ilişkileri mi yoksa farklı ilişkileri mi ifade ediyor? Cevabını açıkla. $$x^{2} - 1 = (x + 1)(x - 1) ldotp$$$$(x+1)(x-1) = x^{2} -1 ldotp$$

Bu resim (çok basit) iki kefeli bir teraziyi göstermektedir. Böyle bir ölçek şunları yapmanızı sağlar: karşılaştırmak iki nesnenin ağırlığı. Her tavaya bir nesne yerleştirin. Bir taraf diğerinden daha aşağıdaysa, o taraf daha ağır nesneleri tutar. Eğer iki taraf dengeli ise, her iki taraftaki cisimler aynı ağırlıktadır.

Düşün / Eşleştir / Paylaş

Aşağıdaki resimlerde:

  • Turuncu üçgenlerin hepsi aynı ağırlıktadır.
  • Yeşil dairelerin hepsi aynı ağırlıkta.
  • Mor karelerin hepsi aynı ağırlıkta.
  • Gümüş yıldızların hepsi aynı ağırlıkta.
  • Terazi dengelidir.

1. Aşağıdaki resimde üçgenlerin ve dairelerin ağırlıkları hakkında ne biliyorsunuz? Nasıl biliyorsun?

2. Aşağıdaki resimde dairelerin ve yıldızların ağırlıkları hakkında ne biliyorsunuz? Nasıl biliyorsun?

3. Aşağıdaki resimde yıldızların ve karelerin ağırlıkları hakkında ne biliyorsunuz? Nasıl biliyorsun?

Sorun 11

Aşağıdaki resimlerde:

  • Turuncu üçgenlerin hepsi aynı ağırlıktadır.
  • Yeşil dairelerin hepsi aynı ağırlıkta.
  • Mor karelerin hepsi aynı ağırlıkta.
  • Terazi dengelidir.

Bir daire ile kaç tane mor kare dengelenir? Cevabınızı gerekçelendirin.

Sorun 12

Aşağıdaki resimlerde:

  • Turuncu üçgenlerin hepsi aynı ağırlığa sahiptir.
  • Yeşil dairelerin hepsi aynı ağırlıkta.
  • Mor karelerin hepsi aynı ağırlıkta.
  • Gümüş yıldızların hepsi aynı ağırlıkta.
  • Terazi dengelidir.

Her durumda ölçeği kaç tane mor kare dengeleyecektir? Cevaplarınızı gerekçelendirin.

Sorun 13

Aşağıdaki resimlerde:

  • Turuncu üçgenlerin hepsi aynı ağırlıktadır.
  • Yeşil dairelerin hepsi aynı ağırlıkta.
  • Mor karelerin hepsi aynı ağırlıkta.
  • Terazi dengelidir.

Son teraziyi ne dengeleyecek? Birden fazla cevap bulabilir misin?

Sorun 14

Aşağıdaki resimlerde:

  • Turuncu üçgenlerin hepsi aynı ağırlıktadır.
  • Yeşil dairelerin hepsi aynı ağırlıkta.
  • Mor karelerin hepsi aynı ağırlıkta.
  • Terazi dengelidir.

  1. Hangi şekil daha ağırdır: kare, üçgen veya daire? Hangi şekil en az ağırlığa sahiptir? Cevaplarınızı gerekçelendirin.
  2. İki tartıdan hangisi toplam ağırlığı en fazla tutar? haklı olduğunu nereden biliyorsun?

Düşün / Eşleştir / Paylaş

Yukarıdaki 11–14. Problemlerin “=” sembolüyle ne ilgisi var?


New Jersey Eğitim Bakanlığı

Yeni: New Jersey Öğrenci Öğrenim Standartları (NJSLS) her beş yılda bir gözden geçirilir ve revize edilir. 2020 NJSLS, Eyalet Eğitim Kurulu tarafından 3 Haziran 2020'de kabul edildi. 2020 New Jersey Öğrenci Öğrenim Standartları web sayfası, 2020 NJSLS'ye bağlantılar ve müfredat uygulama tarihleriyle ilgili bilgiler sağlar. İngiliz Dili Sanatları ve Matematiğinde NJSLS, Mayıs 2016'da New Jersey Eyalet Eğitim Kurulu tarafından kabul edildi ve şu anda gözden geçirilmedi.

Okul matematiği ilkeleri, eşitlik, müfredat, öğretme, öğrenme, değerlendirme ve teknolojinin kapsayıcı temalarını ele alır. (NCTM, 2000)

Eşitlik: Matematik eğitiminde mükemmellik eşitlik gerektirir – yüksek beklentiler, değerli fırsatlar, farklılıklara uyum, kaynaklar ve tüm öğrenciler için güçlü destek.

Müfredat: Tutarlı bir müfredat, standartları ve matematiksel fikirleri etkin bir şekilde düzenler, önemli matematiğe odaklanır ve sınıflar arasında ve sınıflar arasında iyi bir şekilde ifade edilir.

öğretim:Standartlara uygun etkili matematik öğretimi, öğrencilerin ne bildiğini ve öğrenmesi gerektiğini anlamayı ve ardından onları iyi öğrenmeleri için onları teşvik etmeyi gerektiren karmaşık bir çabadır. Etkili öğretim, sürekli iyileştirme arayışını gerektirir.

Öğrenme: Kavramsal anlama, yeterliliğin önemli bir bileşenidir. Öğrenciler matematiği anlayarak, deneyimlerden ve önceki bilgilerden aktif olarak yeni bilgiler inşa ederek öğrenmelidir. Anlayarak öğrenme, öğrencilerin gelecekte kaçınılmaz olarak karşılaşacakları yeni türdeki problemleri çözmelerini sağlamak için esastır.

Değerlendirme: Devam eden sınıf etkinliğinin rutin bir parçası olan standartlara uygun değerlendirme, öğrencilerin öğrenmesini geliştirmeli ve öğretim kararlarını bilgilendirmelidir.

teknoloji: Temel anlayışların ve sezgilerin yerine kullanılmaması gereken teknoloji, matematiğin öğretilmesi ve öğrenilmesinde önemli bir araçtır, öğretilen matematiği etkiler, görselleştirmeyi destekler, verilerin organize edilmesini ve analiz edilmesini kolaylaştırır ve verimli hesaplama sunar.

Matematik Standartlarının Amacı ve Ruhu

On yıldan fazla bir süredir, yüksek performanslı ülkelerde matematik eğitimi üzerine yapılan araştırma çalışmaları, bu ülkedeki matematik başarısını artırmak için Amerika Birleşik Devletleri'ndeki matematik eğitiminin önemli ölçüde daha odaklı ve tutarlı hale gelmesi gerektiği sonucuna varmıştır. Bu vaadi yerine getirmek için matematik standartları, "bir mil genişliğinde ve bir inç derinliğinde" bir müfredat sorununu ele almak üzere tasarlanmıştır.

Matematik standartları sağlar netlik ve özgüllük geniş genel ifadeler yerine. Standartlar için en önemli uluslararası modellerden yararlanılır. matematiksel uygulama, araştırma gibi. William Schmidt ve Richard Houang (2002) tarafından tasavvur edilen tasarımı takip etmeye çalışıyorlar. kavramsal anlayışı vurgulamak değil, aynı zamanda bu fikirleri yapılandırmak için sürekli olarak yer değeri ve aritmetik yasaları gibi düzenleyici ilkelere (tutarlılık) dönerek.

Ayrıca, bir matematik standartlarında ana hatları verilen "konular ve performanslar dizisi", öğrencilerin nasıl öğrendiği hakkında halihazırda bilinenlere saygı göstermelidir. Confrey'in (2007) işaret ettiği gibi, "öğrenciler için sıralı engeller ve zorluklar geliştirmek… öğrenmenin dikkatli bir şekilde incelenmesinden türetilen anlam hakkındaki içgörülerden yoksun olmak, talihsiz ve akıllıca olacaktır." Bu nedenle, standartların geliştirilmesi, öğrencilerin matematiksel bilgi, beceri ve anlayışlarının zaman içinde nasıl geliştiği hakkında bugün bilinenleri detaylandıran araştırmaya dayalı öğrenme ilerlemeleriyle başlamıştır. Öğrencilerin kolejde, kariyerde ve yaşamda matematiğe hazırlanmaları gereken bilgi ve beceriler, matematik standartları boyunca örülür.


Müfredat Boyunca Okuma ve Yazma

Bu belge, esas olarak matematik öğretmenlerinin öğretmenleri ve matematik öğretmen adayları ve hizmet içi öğretmenleri için hazırlanmıştır. Sözlü ve yazılı iletişim, modern eğitimin özünün önemli bir parçası olarak kabul edilmektedir. Tüm öğretmen adayları, öğrencilerin hem genel olarak hem de çalıştıkları her disiplinde okuma yazma öğrenme ihtiyacını öğrenirler. Müfredat boyunca okuma ortak bir temadır. Bazen bu ifade hem okuma hem de yazma anlamına gelir, ancak çoğu zaman yazma, okuma kadar vurgulanmaz.

Birçok öğrenci, İngilizce gibi doğal bir dilde okuma ve yazma konusunda çağdaş standartlara ulaşmanın veya bunları aşmanın oldukça zor olduğunu düşünmektedir. Liseden mezun olup yüksek öğrenime devam edenler için bile okuma ve yazma hala büyük zorluklar olabilir. Birçok öğrenci, üniversiteye, ticaret okuluna veya bir mesleğe girdiklerinde bu alanda iyileştirme çalışmaları yapmaları gerektiğini fark eder.

“Çağdaş standartlar” genellikle, öğrencilerin önemli bir yüzdesinin standartları karşılamaması için belirlenir. Standartları karşılayamama, genellikle öğretmenin yeterince iyi öğretmemesi veya öğrencinin tembel olması olarak kabul edilir.

Özellikle matematik disiplininde okumayı ve yazmayı öğrenen öğrencilerle ilgileniyorum. Örneğin, tipik öğrencilerin ders kitaplarını ve diğer kitapları okuyarak matematik öğrenmek için bu beceriyi kullanabilmeleri için matematiği yeterince iyi okuyup öğrenemeyecekleriyle ilgileniyorum. Öğrencilerin matematik disiplininde kendileri, öğretmenleri ve başkalarıyla matematiksel (yazılı olarak) iletişim kurabilmeleri için yeterince iyi yazmayı öğrenip öğrenmedikleri ile ilgileniyorum. Acil bir komplikasyon, birçok insanın tartışma, gösteri veya rehberli uygulama yoluyla okumaktan daha kolay öğrenmesidir.

Bu konuyu araştırırken, müzik ve satranç gibi diğer alanlarda okuma ve yazma ile karşılaştırma ve karşılaştırma yaptım. Ayrıca Bilgi ve İletişim Teknolojisinin (BİT) disiplinler arasında okuma ve yazmayı nasıl etkilediğini veya etkilemesi gerektiğini de düşündüm. ICT, kişisel tartışma, gösteri ve rehberli uygulamaya benzer deneyimlere izin verir.

Bu belge matematikte iletişime odaklanırken, diğer müfredat disiplinlerinden gelen fikirlerden yararlanır ve diğer insanların diğer disiplinlerdeki iletişim konusunu keşfetmeleri için zemin hazırlar. Ayrıca ICT'nin matematik ve diğer disiplinlerdeki iletişim üzerindeki mevcut ve potansiyel etkilerini araştırır.

Matematik Öğrenmek için Matematik Yazmak

Öğrenmek için yazmanın genel fikri müfredatı keser. Öğrencilerin matematik öğrenmek için matematik yazmaları konusunda önemli miktarda araştırma ve uygulama bilgisi vardır.

5/19/08 araması "öğrenmek için yazmak" yaklaşık 90.000 isabet döndürdü. üzerinde bir arama matematik öğrenmek için yazmak yaklaşık 20.000 isabet döndürdü. İşte mevcut makalelerden bazı örnekler.

Totten, Samuel (2005). Öğretmen Adayları için Öğrenmek için Yazma. Ulusal Yazı Projesi. 5/19/08 alındı: http://www.nwp.org/cs/public/print/resource/2231.

Makale, Amerika Birleşik Devletleri'ne yayılmış 104 öğretmen eğitimi programının bir anket çalışmasına dayanmaktadır. Odak noktası, tüm öğretmen adaylarının müfredat boyunca yazma süreci hakkında daha fazla şey öğrenmesidir. İşte gazeteden alıntılanan bir paragraf:

Yalnızca dört katılımcının tüm aday adaylarının süreç yazma konusunda ayrı bir ders almalarını şart koşması, birçok eğitim fakültesinin öğretim üyelerinin yazma ve öğrenmek için yazma stratejilerine odaklanan bir kursun değerini görmediğini göstermektedir. Diğer dördünün böyle bir dersi sadece İngilizce öğretmenleri için gerektirmesi, müfredat genelinde öğretmenler için ayrı bir dersin haklı gösterilemeyeceği inancına işaret ediyor. Bazı fakülteler, öğrencilerin okuduklarını daha derin ve net bir şekilde anlamalarına yardımcı olmak için yazmanın nasıl ayrılmaz bir araç olduğu konusunda hala bilgi sahibi olmayabilirler, her disiplinde öğrenme için yazma stratejilerini birleştirmenin değerini vurgulayan araştırmadan habersiz olabilirler. [Vurgu için koyu renk eklendi.]

Jones, İskenderiye—Sahte ad (8/21/08). Matematik Öğrenmek için Yazma: Hadi Matematik Oynayalım. 5/19/08 alındı: http://letsplaymath.wordpress.com/2007/08/21/writing-to-learn-math/. Matematik materyallerini öğrenmek için yazmaya yönelik güzel bir dizi bağlantı içerir.

Matematikte Yazma Seçenekleri (n.d.). (Marilyn Burns, Writing in Math Class, Math Solutions Publications, 1995'ten uyarlanmıştır.) 5/25/08 tarihinde alındı: http://www.springfield.k12.il.us/resources/math/Assessment/optionsforwritinginmath.pdf.

El-Rahman, Madiha (n.d.) Öğrenmek için Yazma Stratejisinin Mısır'daki Hazırlık Aşaması Öğrencilerinin Matematik Başarılarına Etkileri. 5/19/08 alındı: http://math.unipa.it/

acımasız/EEl-Rahman26-33.PDF. İşte makaleden alıntılanan birkaç etkinlik örneği:

Çift Paylaşım Öğretmen öğrencinin dersi anlamadığını hissettiğinde bu çok basit bir aktivitedir. Durur ve onlara neyin sorun çıkardığını açıklamalarını ister. Öğrenciler birkaç dakika “Serbest - Yaz” yaptıktan sonra yazdıklarını sınıf arkadaşlarıyla paylaşırlar. Bu onların kafa karışıklığını gidermeye yardımcı olabilir (Burchfield ve diğerleri, 1993). Günlük Yazma Bu, günlük benzeri bir yazı ödevleri dizisidir. Her ödev kısadır ve geleneksel matematiksel tarzdan ziyade düzyazıyla yazılmıştır. Öğrenciler günlüklerine şunları yazabilirler: günlük hedefler, herhangi bir kavramı öğrenmek için rasyonel ve problemleri çözmek için kullanılan stratejiler (Bagley, 1992: 660). Hem öğretmenlere hem de öğrencilere bir öğrencinin ilerlemesi hakkında büyük bir fikir verebilir (Potter, 1996: 184).

Russek, Bernadette (n.d.). Matematik Öğrenmek için Yazmak. http://wac.colostate.edu/journal/vol9/russek.pdf adresinden 5/25/08 alındı.

Dil Sanatları ve Matematik Arasındaki İlişki

Boaler, Jo & Staples, Megan (2008). Adil Bir Öğretim Yaklaşımıyla Matematiksel Gelecek Yaratmak: Railside Okulu Örneği. Öğretmenler Koleji Kaydı Cilt 110 Sayı 3, 2008, s. 608-645. http://www.tcrecord.org/Content.asp?ContentID=14590 adresinden 12/8/09 alındı.

Bu araştırma çalışması, birkaç yıl boyunca üç farklı okulda lise matematik öğretimine baktı. Araştırmacılar, öğrencileri matematik becerisine veya önceki matematik performansına göre gruplamamanın etkileriyle özellikle ilgilendiler. Böylece liselerden birinde, lise birinci sınıf öğrencilerinin tamamı lise birinci sınıf cebir ile başlamış ve ardından hepsi geometriye geçmiştir. İncelenen üç liseden elde edilen verilere dayanarak, bunun yapılması iyi bir şey olduğu argümanı.

İşte Boaler ve Staple çalışmasından alıntılanan ilginç bir bilgi:

Öğrencilerin AYP sınavlarının dil sanatları ve matematik bölümlerindeki puanları arasındaki korelasyon, tüm Kaliforniya eyaleti genelinde 2004 için şaşırtıcı bir şekilde 0,932 idi. Bu veri noktası, matematik testlerinin matematik kadar dili de test ettiğinin güçlü bir göstergesidir. Dil testleri matematik içermediği için bu argüman tersten yapılamaz. [Vurgu için koyu renk eklendi.]

Bu çok yüksek korelasyon, Keith Devlin'in iddiasını (kitabında, Matematik Geni) Doğal bir dilde okuryazar olacak beyin gücüne sahip olan herkes matematik öğrenebilir.

Sparks, Sarah D. (2/17/2011). Çalışmalar dilin matematik öğrenmenin anahtarı olduğunu buluyor. Eğitim Haftası. http://www.edweek.org/ew/articles/2011/02/17/21math.h30.html?tkn=RMVFed6tRXiQd1a8OyriYPqFy8qmkJgPYe0F&cmp=clp-sb-ascd adresinden 19.02.2011 tarihinde alındı. Makaleden alıntı:

Yeni araştırmalar, dil becerilerinin eksikliğinin bir öğrencinin matematikteki en temel kavramları anlama becerisini engelleyebileceğini gösteriyor. Chicago Üniversitesi'nde psikoloji profesörü olan Susan Goldin-Meadow'un önderlik ettiği bir dizi araştırma, Nikaragua'da resmi bir işaret dili öğrenmemiş derinden sağır yetişkinlerin üçten büyük sayıları doğru bir şekilde tanımlayamadığını veya anlayamadığını buldu. Duyan yetişkinler ve resmi işaret dili kullananlar nesneleri kolayca sayıp ayırt ederken, yalnızca kendi yarattıkları “ev imzası” hareketlerini kullananlar, bir seferde üçten fazla nesneyi saymak için uygun parmak sayısını tutarlı bir şekilde uzatamadılar veya yapamadılar. bir kümedeki nesnelerin sayısını başka bir kümedeki nesnelerle eşleştirirler.

Susan Goldin-Meadow makalesinden alıntı:

Dil öğrenmek sayılar hakkındaki düşüncelerimizi değiştirir mi? "Yedi", "sekiz" ve "dokuz" gibi kelimelerin tam olarak ifade ettiği miktarlar o kadar basit görünüyor ki, yedi kavramına sahip olmak için "yedi" kelimesine ihtiyacımız olabileceğini hayal etmek zor. Ancak, geleneksel sayısal sistemlere maruz kalmayan gruplardan elde edilen kanıtlar, dilin, özellikle de bir sayım rutinindeki sayısal listenin, büyük kümelerin tam ana değerlerini temsil etme yeteneğinde önemli bir rol oynayabileceğini düşündürmektedir. Munduruku (1) ve Pirahã (2), Brezilya'nın kırsal kesiminde yaşayan ve dilleri beşten büyük tam sayılar (Munduruku) veya herhangi bir tam sayı kelimesi (Pirahã) içermeyen Amazon halkıdır.* Bu kültürlerdeki yetişkinlerin Sözcükleri olmayan büyük sayılar hakkında iletişim kurmanın yollarını icat ettikleri bildirilmemiştir. Ek olarak, bu gruplar, bire bir yazışma stratejisinin hali hazırda mevcut olduğu durumlar dışında (örn. görünür satır) (3). Kesin sayıyı temsil etmek için dilsel bir modelin olmaması (bu durumda bir sayım listesi), Pirahã ve Munduruku yetişkinlerinin büyük tam sayıları (2, 4–6) temsil etmedeki zorluklarını açıklayabilir. Bununla birlikte, zorlukları, tam sayının kodlanması gereken kültürel olarak desteklenen bağlamların yokluğuyla da kolayca açıklanabilir (7, 8). Bu olasılıkları çözmek için, sayı için dilsel bir modele sahip olmayan ancak Nikaragua'nın sayısal kültüründe yaşayan bireylerin sayısal yeteneklerini araştırdık: "ev imzalayanlar".


3. Değişken niceliklerin matematiğinin oluşturulma dönemi.

17. yüzyılla birlikte matematiğin gelişiminde esasen yeni bir dönem başladı. Şimdi incelenen matematiğin nicel ilişkiler ve mekansal biçimleri çemberi artık sayılar, nicelikler ve geometrik şekiller tarafından tüketilmiyordu. Bu temelde, hareket ve değişim fikirlerinin matematiğe açık bir şekilde girişiyle sonuçlandı. Zaten cebir, değişkenler arasındaki bağımlılık fikrini gizli bir biçimde içeriyordu (toplamın değeri, terimlerin değerlerine bağlıdır, vb.). Bununla birlikte, nicel ilişkileri varyasyon sürecine dahil etmek için, değişkenler arasındaki bağımlılığın bağımsız bir çalışma nesnesi haline getirilmesi gerekliydi. Bu nedenle, ilk şemada, daha sonra nicelik veya sayı kavramının daha önce oynadığı temel ve bağımsız çalışma nesnesi rolünü oynayan bir işlev kavramı öne sürüldü. Değişken niceliklerin ve işlevsel bağımlılığın incelenmesi, matematiksel analizin temel fikirlerine yol açar ve matematiğe açıkça sonsuz fikrini, limit, türev, diferansiyel ve integral kavramlarını dahil eder. Sonsuz küçük analiz, ilk etapta diferansiyel hesap ve integral hesap biçiminde doğdu ve kişinin değişken niceliklerin sonlu varyasyonlarını bireysel değerlerinin hemen yakınındaki davranışlarıyla ilişkilendirmesine izin verdi. Mekaniğin ve fiziğin temel yasaları diferansiyel denklemlerle anlatılmış ve bu denklemlerin incelenmesi sorunu matematiğin en önemli problemlerinden biri olarak ön plana çıkmaktadır. Başka türden koşullarla tanımlanan bilinmeyen işlevlerin araştırılması (maksimumların koşulları veya belirli ilgili niceliklerin minimumları), varyasyon hesabının konusunu oluşturur (bkz. Varyasyon hesabı). Bu sayede bilinmeyenlerin sayı olduğu denklemlerle yan yana, fonksiyonların bilinmeyen olduğu ve belirlenmesi gereken denklemler ortaya çıkar.

Geometri konusu da hareket ve şekillerin dönüşümleri fikirlerinin geometriye girmesiyle önemli ölçüde genişler. Geometri, kendi iyiliği için hareketleri ve dönüşümleri incelemeye başlar. Örneğin, yansıtmalı geometride çalışmanın temel nesnelerinden biri, düzlem veya uzayın yansıtmalı dönüşümleri kümesidir. Ancak bu fikirlerin bilinçli gelişimi ancak 18. yüzyılın sonu ve 19. yüzyılın başına kadar uzanmaktadır. Çok daha önce, 17. yüzyılda analitik geometrinin ortaya çıkmasıyla birlikte, geometrinin matematiğin geri kalanıyla ilişkisi esasen değişti, geometri sorularını cebir ve analiz diline aktarmak ve bunları cebirsel yöntemlerle düzgün bir şekilde çözmek için evrensel bir yöntem bulundu. ve analitik yöntemler. Öte yandan, cebirsel ve analitik gerçekleri geometrik araçlarla çizmenin (göstermenin) geniş olasılığı, örneğin, işlevsel bağımlılığın grafiksel gösteriminde keşfedildi.


Alıştırmalar 3.8

Ör 3.8.1 arasındaki yazışmaları oluşturun

a) $U_<21>$ ve $U_<3> imes U_<7>$b) $U_<30>$ ve $U_<5> imes U_<6>$

Ör 3.8.2 Aşağıdaki $a$, $b$ değerleri ve $U_a imes U_b$ öğesinin $([y],[z])$ öğesi verildiğinde, karşılık gelen $U_n$ öğesini bulmak için Öklid Algoritmasını kullanın .

a) $a=7$, $b= 11$, $([4], [9])$b) $a= 12$, $b= 17$, $([11],[2])$

Ör 3.8.3 Aşağıdakileri hesaplayın:

c) $phi ( 2^3cdot 5^2cdot 7^5cdot 11^3)$

Ör 3.8.4 $U_<175>$ ve $U_<25> imes U_7$ arasındaki yazışmada $[x]$'ın $([13], [2])$'a karşılık geldiğini varsayalım. $[x]^2$ neye karşılık gelir? $[x]^<-1>$ neye karşılık gelir?

Ör 3.8.5 6$'ın bölenleri 1$, 2$, 3$, 6$'dır. $ phi (1)+phi (2)+phi (3)+phi (6)= 1 + 1 + 2 + 2 = 6 olduğunu gözlemleyin. $ $6$ yerine $10$ ile benzer bir hesaplama yapın.

Ör 3.8.6 $phi (a)=6$ olacak şekilde tüm $a$'ları bulun.

Ör 3.8.7 $a|b$ ise, $phi (a)|phi (b)$'ı kanıtlayın.

Ör 3.8.8 Bazı $n$ için hangi asal sayılar $phi (n)$ biçiminde ifade edilebilir?

Ör 3.8.9 $displaystylephi(n)=nprod_ olduğunu kanıtlayınig(1-<1over p>ig)$ çarpım, $n$'ı bölen tüm $p$ asal sayıları üzerindedir.

Ör 3.8.10 Teoremi ispatlayın 3.8.11.

Ör 3.8.11 $phi(n)$ tek olacak şekilde tüm $n$'ları bulun ve tüm bu $n$'ları bulduğunuzu kanıtlayın.

Ör 3.8.12 Teorem 3.8.7'nin ispatında, $n=ab$ ise $(x,n)=1$ ise ve sadece $(x,a)=1$ ve $(x,b)=1 ise iddia ettik. $. Bunu kanıtla.


Harflerin genellikle özel kullanımları vardır:

Örnekler Genellikle ne anlama gelirler?
Alfabenin başlangıcı: a, b, c, . sabitler (sabit değerler)
i'den n'ye: ben, j, k, l, m, n pozitif tam sayılar (saymak için)
Alfabenin sonu: . x, y, z değişkenler (bilinmeyenler)

Onlar kural değil, ancak genellikle bu şekilde kullanılırlar.

Misal:

İnsanlar varsaymak a ve b sabit değerlerdir,

Ve bu x değişen, bu da y'nin değişmesine neden oluyor.


2 Cevap 2

$mathcal içinde yirmi dört öğe vardır_4$, yani $, (1 2), (1 3), (1 4), (2 3), (2 4), (3 4), (1 2 3), (1 2 4), (1 3 4), (2 3 4), (1 3 2), (1 4 2), (1 4 3), (2 4 3), (1 2 3 4), (1 3 4 2), (1 4 2 3), (4 3 2 1), (2 4 3 1), (3 2 4 1), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)>.$ Genelde $mathcal içinde $n!$ öğeleri vardır._n.$

Şimdi, $mathcal döngüsünün türlerini listeleyin_4$ $<(1, 1, 1, 1), (2,1,1),(2,2),(3,1),(4)>.$ Her döngü tipinin kaç döngü sürdüğünü listeleyin , bu miktara $gamma(a)$ diyelim, burada $a$ her döngü tipine karşılık gelir. Sonra $gamma(1,1,1,1)=4,quadgamma(2,1,1)=3,quadgamma(2,2)=2,quadgamma(3,1) )=2,quadgamma(4)=1.$ O halde, $n-gamma(a)$ çift olsa bile bir permütasyon çifttir. Yani çift permütasyonlar $(1,1,1,1)$, $(2,2)$, $(3,1)$ döngü tipindeki permütasyonlardır. Bu bize toplam on iki çift permütasyon verir, yani $, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3),(1 2 3), (1 2 4 ), (1 3 4), (2 3 4), (1 3 2), (1 4 2), (1 4 3), (2 4 3)>,$ diğer on iki permütasyon tektir.

Genel olarak, $mathcal içinde $n!/2$ çift ve tek permütasyonlar vardır._n$.

Vazgeçmeyin! Kolayca düzeltilebilecek çok basit bir hata yaptınız.

Listenizin eksiksiz olup olmadığını kontrol etmedim, ancak tüm izinleri içerdiğinden şüpheleniyorum, sadece iki farklı gösterimi karıştırdınız.

Örneğin, $(4,2,3,1)$ listesindeki $1mapsto 4$, $2mapsto 2$, $3mapsto 3$, $4mapsto 1$? Bunun için olağan (veya döngü) gösterim, tek bir permütasyon olan $(1,4)$ olacaktır.

$(2,3,1,4)$ yazdığınız gibi, genellikle $(1,2,3)=(1,2)(1,3)$ (veya $(1,3)(1) şeklinde yazılırdı. ,2)$ kullandığınız sözleşmeye bağlı olarak), eşit bir permütasyon.

Döngü gösteriminin kısa bir açıklaması için bu wiki sayfasına bakın.

Kaç tanesinin çift, kaç tanesinin tek olduğuna gelince, bir döngünün ya çift ya da tek olduğunu ispatlamış olmalısınız, her ikisi de değil. Dolayısıyla, $x$ tek bir permütasyon ise, o zaman tek sayıda yer değiştirmenin çarpımıdır, dolayısıyla $(1,2)x$ çift sayıda yer değiştirmenin bir çarpımıdır, yani çifttir. Bu $xmapsto (1,2)x$ haritası, tek küme ile çift permütasyon kümesi arasında bir karşılaştırmadır. Bu size her birinden ne kadar olması gerektiği hakkında ne söylüyor?


Maya Sayı Sistemi

Arka fon

Tahmin edebileceğiniz gibi, bir temel sistemin geliştirilmesi, sayma sürecini daha verimli hale getirmede önemli bir adımdır. Kendi temel on sistemimiz muhtemelen iki elimizde 10 parmağımız (başparmaklar dahil) olduğu gerçeğinden ortaya çıktı. Bu doğal bir gelişmedir. Bununla birlikte, diğer medeniyetlerin on dışında çeşitli üsleri olmuştur. Örneğin, Queensland Yerlileri iki tabanlı bir sistem kullandılar ve şu şekilde saydılar: "bir, iki, iki ve bir, iki iki, çok." Bazı Modern Güney Amerika Kabilelerinin şu şekilde sayan beş tabanlı bir sistemi vardır: "bir, iki, üç, dört, el, el ve bir, el ve iki" vb. Babilliler altmış tabanlı (seksigesimal) bir sistem kullandılar. Bu bölümde, aslında 10'dan farklı bir temel sistem kullanan bir uygarlığın belirli bir örneğini tamamlıyoruz.

Maya uygarlığı genellikle MÖ 1500'den MS 1700'e kadar uzanır. Meksika'daki Yucatan Yarımadası (bkz. şekil 16 [29]), antik dünyanın en gelişmiş uygarlıklarından birinin gelişimine sahne oldu. Mayaların, bir rahip sınıfı tarafından denetlenen sofistike bir ritüel sistemi vardı. Bu rahip sınıfı, zamanla ilahi ve ebedi olarak bir felsefe geliştirdi. [30] Takvim ve onunla ilgili hesaplamalar bu nedenle rahip sınıfının ve dolayısıyla Maya halkının ritüel yaşamı için çok önemliydi. Aslında bu kültür hakkında bildiklerimizin çoğu onların takvim kayıtlarından ve astronomi verilerinden geliyor. Mayalar hakkında bir diğer önemli bilgi kaynağı ise 1549'da misyoner olarak Meksika'ya giden Peder Diego de Landa'nın yazılarıdır.

Mayalar tarafından geliştirilen biri sıradan insanlar için ve diğeri rahipler için olmak üzere iki sayı sistemi vardı. Bu iki sistem sadece farklı semboller kullanmakla kalmadı, aynı zamanda farklı temel sistemler de kullandılar. Rahipler için sayı sistemi ritüel tarafından yönetiliyordu. Yılın günlerinin tanrı olduğu düşünülürdü, bu nedenle günlerin resmi sembolleri süslenmiş başlardı, [31] soldaki örnek gibi [32] Temel takvim 360 güne dayandığından, rahip sayı sistemi bir 20 ve 360'ın katlarını kullanan karma temel sistem. Bu, ayrıntılarını atlayacağımız kafa karıştırıcı bir sistem oluşturur.

güçler Temel On Değeri Yer adı
20 7 12,800,000,000 Hablat
20 6 64,000,000 Alau
20 5 3,200,000 Kinçil
20 4 160,000 kabal
20 3 8,000 resim
20 2 400 bak
20 1 20 Kal
20 0 1 Hun

Maya Sayı Sistemi

Bunun yerine, daha tutarlı bir temel sistem kullanan “sıradan” insanların numaralandırma sistemine odaklanacağız. Daha önce de belirttiğimiz gibi, Mayalar “vigesimal” sistem adı verilen 20 tabanlı bir sistem kullandılar. Sistemimiz gibi, konumsaldır, yani sayısal bir sembolün konumu, onun yer değerini gösterir. Aşağıdaki tabloda yer değerini dikey formatında görebilirsiniz. [33]

Sayıları yazmak için bu sistemde sadece üç sembole ihtiyaç vardı. Yatay çubuk 5 miktarını, nokta 1 miktarını ve özel bir sembol (kabuk olduğu düşünülen) sıfırı temsil ediyordu. Maya sistemi, sıfırı yer tutucu/sayı olarak kullanan ilk sistem olabilir. İlk 20 sayı sağdaki tabloda gösterilmiştir. [34]

Birlerin yerlerinin sağdan başlayıp sola doğru hareket ettiği sistemimizin aksine, Maya sistemleri, alt dikey yöndedir ve yer değeri arttıkça yukarı doğru hareket eder.

Rakamlar dikey olarak yazıldığında, tek bir yerde asla dörtten fazla nokta olmamalıdır. Maya sayıları yazarken, beş noktadan oluşan her grup bir çubuk olur. Ayrıca, tek bir yerde asla üçten fazla çubuk olmamalıdır… Bir sonraki yerde dört çubuk bir noktaya dönüştürülür. Ekleme sırasında taşıdığımızda bir sonraki yerde 10'un 1'e dönüştürülmesiyle aynı.

Örnek 12

Dikey olarak gösterilen bu sayının değeri nedir?

Çözüm

En alttan başlayarak, olanlar yerimiz var. Bu yerde iki çubuk ve üç nokta var. Her çubuk 5 değerinde olduğundan, birler basamağında üç noktayı saydığımızda 13 tane var. Üstündeki basamak değerine baktığımızda (yirmiler basamağı), üç nokta olduğunu görüyoruz, yani üç yirmimiz var.

Bu nedenle, bu sayıyı on tabanlı olarak şu şekilde yazabiliriz:

(3 × 20 1 ) + (13 × 20 0 ) = (3 × 20 1 ) + (13 × 1) = 60 + 13 = 73

Örnek 13

Aşağıdaki Maya sayısının değeri nedir?

Çözüm

Bu sayının birler basamağında 11, 20'ler basamağında sıfır ve 20 2 = 400'ler basamağında 18 vardır. Dolayısıyla, bu sayının on tabanındaki değeri:

18 × 400 + 0 × 20 + 11 × 1 = 7211.

Şimdi dene

Aşağıdaki Maya sayısını 10 tabanına çevirin.

Örnek 14

10 numara 3575'i dönüştürün10 Maya rakamlarına.

Bu problem iki aşamada yapılır. İlk önce 20 tabanlı bir sayıya dönüştürmemiz gerekiyor. Bunu metnin son bölümünde verilen yöntemi kullanarak yapacağız. İkinci adım, bu sayıyı Maya sembollerine dönüştürmektir.

20'nin 3575'e bölünecek en yüksek kuvveti 20 2 = 400'dür, bu yüzden bunu bölerek başlıyoruz ve oradan devam ediyoruz:

3575 ÷ 400 = 8.9375
0.9375 × 20 = 18.75
0.75 × 20 = 15.0

Bunun anlamı 357510 = 8,18,1520

İkinci adım, bunu Maya notasyonuna dönüştürmektir. Bu sayı, birler pozisyonunda 15 olduğumuzu gösterir. Bu, sayının altındaki üç çubuktur. Ayrıca 20'ler basamağında 18'imiz var, yani ikinci konumda üç çubuk ve üç nokta var. Son olarak, 400'ler basamağında 8 tane var, yani bu bir çubuk ve üstte üç nokta. Aşağıdakileri alıyoruz:

Önceki örnekte 8,18,15 yazdığımızda yeni bir gösterimin kullanıldığını unutmayın.20. 8, 18 ve 15 sayıları arasındaki virgüller şimdi bizim için basamak değerlerini ayırıyor, böylece onları birbirinden ayrı tutabiliriz. Virgülün bu kullanımı, ondalık sistemde nasıl kullanıldıklarından biraz farklıdır. 7.567.323 gibi 10 tabanında bir sayı yazdığımızda, virgüller öncelikle sayıyı kolayca okumak için bir yardımcı olarak kullanılır, ancak tek basamaklı değerleri birbirinden ayırmazlar. Kullandığımız taban 10'dan büyük olduğunda bu gösterime ihtiyacımız olacak.

10'dan büyük tabanlı sayılar yazma

When the base of a number is larger than 10, separate each “digit” with a comma to make the separation of digits clear.

For example, in base 20, to write the number corresponding to 17 × 20 2 + 6 × 20 1 + 13 × 20 0 , we’d write 17,6,1320.

Try It Now

Convert the base 10 number 1055310 to Mayan numerals.

Try It Now

Convert the base 10 number 561710 to Mayan numerals.

Adding Mayan Numbers

When adding Mayan numbers together, we’ll adopt a scheme that the Mayans probably did not use but which will make life a little easier for us.

Example 15

Add, in Mayan, the numbers 37 and 29: [35]

First draw a box around each of the vertical places. This will help keep the place values from being mixed up.

Next, put all of the symbols from both numbers into a single set of places (boxes), and to the right of this new number draw a set of empty boxes where you will place the final sum:

You are now ready to start carrying. Begin with the place that has the lowest value, just as you do with Arabic numbers. Start at the bottom place, where each dot is worth 1. There are six dots, but a maximum of four are allowed in any one place once you get to five dots, you must convert to a bar. Since five dots make one bar, we draw a bar through five of the dots, leaving us with one dot which is under the four-dot limit. Put this dot into the bottom place of the empty set of boxes you just drew:

Now look at the bars in the bottom place. There are five, and the maximum number the place can hold is three. Four bars are equal to one dot in the next highest place.

Whenever we have four bars in a single place we will automatically convert that to a nokta in the next place up. We draw a circle around four of the bars and an arrow up to the dots’ section of the higher place. At the end of that arrow, draw a new dot. That dot represents 20 just the same as the other dots in that place. Not counting the circled bars in the bottom place, there is one bar left. One bar is under the three-bar limit put it under the dot in the set of empty places to the right.

Now there are only three dots in the next highest place, so draw them in the corresponding empty box.

We can see here that we have 3 twenties (60), and 6 ones, for a total of 66. We check and note that 37 + 29 = 66, so we have done this addition correctly. Is it easier to just do it in base-ten? Probably, but that’s only because it’s more familiar to you. Your task here is to try to learn a new base system and how addition can be done in slightly different ways than what you have seen in the past. Note, however, that the concept of carrying is still used, just as it is in our own addition algorithm.

Try It Now

Try adding 174 and 78 in Mayan by first converting to Mayan numbers and then working entirely within that system. Do not add in base-ten (decimal) until the very end when you Kontrol your work.


Standards for Mathematical Practice » Use appropriate tools strategically.

Mathematically proficient students consider the available tools when solving a mathematical problem. These tools might include pencil and paper, concrete models, a ruler, a protractor, a calculator, a spreadsheet, a computer algebra system, a statistical package, or dynamic geometry software. Proficient students are sufficiently familiar with tools appropriate for their grade or course to make sound decisions about when each of these tools might be helpful, recognizing both the insight to be gained and their limitations. For example, mathematically proficient high school students analyze graphs of functions and solutions generated using a graphing calculator. They detect possible errors by strategically using estimation and other mathematical knowledge. When making mathematical models, they know that technology can enable them to visualize the results of varying assumptions, explore consequences, and compare predictions with data. Mathematically proficient students at various grade levels are able to identify relevant external mathematical resources, such as digital content located on a website, and use them to pose or solve problems. They are able to use technological tools to explore and deepen their understanding of concepts.


Videoyu izle: rastgele #32 - Matematik ve Dil İlişkisi - Ezgi Kantarcı Oğuz, Can Ozan Oğuz (Aralık 2021).