Nesne

6.1: Parametrik Denklemlere ve Kutupsal Koordinatlara Giriş - Matematik


odacıklı nautilus büyüleyici bir yaratıktır. Bu hayvan keşiş yengeçleri, balıklar ve diğer kabuklularla beslenir. Spiral bir şekilde birbirine bağlanan birçok oda ile sert bir dış kabuğa sahiptir ve yırtıcılardan kaçınmak için kabuğuna geri çekilebilir. Kabuğun bir kısmı kesildiğinde, içinde bir ağaçtaki büyüme halkalarına benzeyen bölmelerle mükemmel bir spiral ortaya çıkar.

Bir spirali tanımlayan matematiksel fonksiyon, dikdörtgen (veya Kartezyen) koordinatlar kullanılarak ifade edilebilir. Bununla birlikte, koordinat sistemimizi dairesel desenlerle biraz daha iyi çalışan bir şeye değiştirirsek, işlevin tanımlanması çok daha basit hale gelir. Kutupsal koordinat sistemi, bu tip eğrileri tanımlamak için çok uygundur. Spiralleri ve diğer radyal şekilleri tanımlamak için bu koordinat sistemini nasıl kullanabiliriz?

Bu bölümde ayrıca bize eğrileri tanımlamanın veya bir parçacığın veya nesnenin konumunu zamanın bir fonksiyonu olarak iki boyutta incelemenin uygun bir yolunu veren parametrik denklemleri de inceleyeceğiz. Bu metinde daha sonra birçok konuyu açıklamak için parametrik denklemleri ve kutupsal koordinatları kullanacağız.


6.1: Parametrik Denklemlere ve Kutupsal Koordinatlara Giriş - Matematik

Koordinat sistemleri, geometriyi anlamak için cebirsel yöntemleri kullanmamıza izin veren araçlardır. iken dikdörtgen (olarak da adlandırılır Kartezyen) tartıştığımız koordinatlar en yaygın olanlarıdır, bazı problemlerin alternatif koordinat sistemlerinde analiz edilmesi daha kolaydır.

Koordinat sistemi, düzlemdeki veya üç boyutlu uzaydaki herhangi bir noktayı bir dizi sayı ile tanımlamamıza izin veren bir şemadır. Dikdörtgen koordinatlarda bu sayılar, kabaca söylemek gerekirse, dikdörtgen bir "kutu"nun kenarlarının uzunlukları olarak yorumlanır.

İki boyutta, adı verilen bir alternatife zaten aşina olabilirsiniz. kutupsal koordinatlar. Bu sistemde, düzlemdeki her nokta bir çift $(r, heta)$ ile tanımlanır. $ heta$ sayısı, pozitif $x$-ekseni ile kuyruğu orijinde ve başı noktada olan bir vektör arasındaki açıyı ölçer, şekil 14.6.1'de gösterildiği gibi $r$ sayısı, orijine olan uzaklığı ölçer. nokta. Bunlardan herhangi biri negatif olabilir, a negatif $ heta$, açının saat yönünün tersi yerine pozitif $x$ ekseninden saat yönünde ölçüldüğünü gösterir ve negatif $r$, $|r|$ mesafesindeki noktayı gösterir. $ heta$ tarafından verilen yönün tersi. Şekil 14.6.1 ayrıca $ds (1,sqrt3)$ dikdörtgen koordinatları ve $(2,pi/3)$ kutupsal koordinatları, orijinden 2 birim ve başlangıç ​​noktasından $pi/3$ radyanları olan noktayı gösterir. pozitif $x$-ekseni.

Kutupsal koordinatları basitçe bir $z$ koordinatı ekleyerek üç boyuta genişletebiliriz. silindirik koordinatlar . Üç boyutlu uzaydaki her nokta, bariz bir şekilde $(r, heta,z)$ üç koordinatıyla temsil edilir: bu nokta $(r, heta)$ noktasının $(r, heta)$ üstünde veya altındadır. x$-$y$ düzlemi, şekil 14.6.2'de gösterildiği gibi. Dikdörtgen koordinatları $ds (1,sqrt3, 3)$ ve silindirik koordinatları $(2,pi/3,3)$ olan nokta da şekil 14.6.2'de gösterilmiştir.

Dikdörtgen koordinatlarda nispeten karmaşık denklemlere sahip bazı şekiller, silindirik koordinatlarda daha basit denklemlerle temsil edilecektir. Örneğin, şekil 14.6.3'teki silindir, dikdörtgen koordinatlarda $ds x^2+y^2=4$ denklemine, ancak silindirik koordinatlarda $r=2$ denklemine sahiptir.

Kutupsal koordinatlarda bir $(r, heta)$ noktası verildiğinde, aynı noktanın dikdörtgen koordinatlarının $(rcos heta,rsin heta olduğunu) görmek kolaydır (şekil 14.6.1'deki gibi). )$ ve dolayısıyla silindirik koordinatlarda $(r, heta,z)$ noktası dikdörtgen koordinatlarda $(rcos heta,rsin heta,z)$'dır. Bu, herhangi bir denklemi dikdörtgenden silindirik koordinatlara dönüştürmenin genellikle kolay olduğu anlamına gelir: basitçe $eqalign < x&=rcos hetacr y&=rsin hetacr>$'ı değiştirin ve $z$'ı olduğu gibi bırakın. Örneğin, $ds x^2+y^2=4$ ile başlayarak ve $x=rcos heta$ yerine koymak, $y=rsin heta$ $eqalign< r^2cos^ verir 2 heta+r^2sin^2 heta&=4cr r^2(cos^2 heta+sin^2 heta)&=4cr r^2&=4cr r&=2. cr >$ Tabii ki, bunun yukarıda bahsedildiği gibi bir silindiri tanımladığını doğrudan görmek kolaydır.

Silindirik koordinatlar, kutupsal koordinatların üç boyuta açık bir uzantısıdır, ancak $z$ koordinatının kullanılması, kutupsal koordinatlara başka bir standart koordinat sistemi kadar yakın olmadıkları anlamına gelir. Kutupsal koordinatlarda, bir noktayı yön ve orijine olan uzaklık ile üç boyutta tanımlarız, aynı şeyi çeşitli şekillerde yapabiliriz. Soru şudur: Bir yönü nasıl temsil ederiz? Bir yol, pozitif $x$ ekseninden $ heta$ dönüş açısını, tıpkı silindirik koordinatlarda olduğu gibi ve ayrıca pozitif $z$ ekseninden $phi$ dönüş açısını vermektir. Kabaca konuşursak, $ heta$ boylam gibidir ve $phi$ enlem gibidir. (Dünya boylamı, ana meridyenden pozitif veya negatif bir açı olarak ölçülür ve her zaman 0 ile 180 derece arasındadır, doğu veya batı $ heta$ herhangi bir pozitif veya negatif açı olabilir ve resmi olmayan durumlar dışında radyan kullanırız. enlem ekvatordan kuzeye veya güneye doğru ölçülür $phi$ kuzey kutbundan aşağı doğru ölçülür.) Bu sisteme denir küresel koordinatlar koordinatlar $( ho, heta,phi)$ sırasında listelenir, burada $ ho$ orijine olan uzaklıktır ve silindirik koordinatlardaki $r$ gibi negatif olabilir. Genel durum ve bir örnek şekil 14.6.4'te gösterilmiştir. $r$ ile işaretlenmiş uzunluk, silindirik koordinatların $r$'ıdır.

Silindirik koordinatlarda olduğu gibi, uygun ikameleri bulmak biraz daha zor olsa da, dikdörtgen koordinatlardaki denklemleri küresel koordinatlardaki eşdeğerlerine kolayca dönüştürebiliriz. Şekil 14.6.5, orijinal grafikte $r$ ile işaretli ok sol taraftaki grafikte yatay "eksen" olarak görünecek şekilde şimdi görüntülenen şekil 14.6.4'teki küresel koordinatlardaki tipik noktayı göstermektedir. $z$ koordinatının $ hocosphi$ olduğunu ve $r= hosinphi$ olduğunu görmek kolaydır. $ hocosphi$ ile. $x$ ve $y$ için ikameleri görmek için şimdi aynı noktayı sağdaki grafikte gösterildiği gibi yukarıdan görüyoruz.Sağ taraftaki grafikte üçgenin hipotenüsü $r= hosinphi$, yani gösterildiği gibi üçgenin kenarları $x=rcos heta= hosinphicos heta$ ve $y=rsin theta= hosinphisin heta$ Sonuç olarak, dikdörtgenden küresel koordinatlara dönüştürmek için şu ikameleri yaparız: $eqalign < x&= hosinphicos hetacr y&= hosinphisin hetacr z&= hocosphi.cr>$

Örnek 14.6.1 Silindirin silindirik koordinatlarda basit bir denklemi olduğu için, küresel koordinatlardaki küre de öyle: $ ho=2$ 2 yarıçaplı küredir. Kürenin Kartezyen denklemiyle başlar ve yerine koyarsak, küresel denklemi alın: $eqalign< x^2+y^2+z^2&=2^2cr ho^2sin^2phicos^2 heta+ ho^2sin^2 phisin^2 heta+ ho^2cos^2phi&=2^2cr ho^2sin^2phi(cos^2 heta+sin^2 heta)+ rho^2cos^2phi&=2^2cr ho^2sin^2phi+ ho^2cos^2phi&=2^2cr ho^2(sin^2 phi+cos^2phi)&=2^2cr ho^2&=2^2cr ho&=2cr >$

Örnek 14.6.2 Küresel koordinatlarda $ds x^2+y^2=4$ silindiri için bir denklem bulun.


Kutupsal koordinatlar

Bu şekilde varıyoruz kutupsal koordinat sistemi uçakta. Tanım olarak, r değişken noktamızın orijinden uzaklığıdır ve Ð pozitif arasındaki açıdır x eksen ve noktayı temsil eden vektör.

Not: Web henüz kolayca Yunanca konuşmadığından İzlanda harfini kullanacağız. Ð "teta" için.

Noktanın Kartezyen koordinatlarını kutupsal koordinatlar cinsinden ifade eden formüller (temel trigonometri ile)

Diğer yoldan geri gitmek biraz daha karmaşıktır. bulma r kolay: Her iki denklemin (1) karesini almak ve bulduğunuz karekökünü toplamak ve almak (ya da sadece iki nokta arasındaki uzaklık formülünü hatırlamak)

Ama bulmak Ð bazı teknik özellikleri yükseltir. Denklemlerin (1) ikincisini birinciye bölersek, şunu elde ederiz:

Ters tanjant fonksiyonunu zaten biliyorsanız (Stewart Sec. 6.6), yazmaya cazip gelebilirsiniz.

ama bu pek doğru değil. Teta tanımlamanın teknik özellikleri hakkında daha fazla bilgi edinin. (henüz uygun değil)


Matematik 116 - Matematik II - Güz 2018

2. Ara Sınav için Dersten Alıştırma Problemleri:
10/9: L'Hôpital kuralı ve uygunsuz integral problemlerinin değerlendirilmesi ve çözümleri
10/11: Uygunsuz integral problemlerinin ve çözümlerinin yakınsaklığı
10/22: Olasılık problemleri ve çözümleri
10/23: Dizi sorunları ve çözümleri
10/25: Geometrik seri problemleri ve çözümleri
10/25: Yakınsama argümanlarının nasıl yazılacağına ilişkin kurs yönergeleri
10/29: Seri yakınsama problemleri ve çözümleri
10/30: Daha fazla seri yakınsama problemi ve çözümü
11/5: Güç serisi sorunları ve çözümleri
11/6: Kısmi bilgi ile ilgili sorunlar: sorunlar ve çözümler

Final Sınavı için Sınıftan Alıştırma Problemleri:
11/13: Taylor polinomları ve Taylor serisi problemleri ve çözümleri
11/15: Daha fazla Taylor serisi problemi ve çözümü
11/19: Parametrik denklem problemleri ve çözümleri
11/20: Kutupsal koordinat sorunları ve çözümleri
11/26: Diferansiyel denklem problemleri ve çözümleri
11/27: Daha fazla diferansiyel denklem problemi ve çözümü
12/12: Sorunları ve çözümleri gözden geçirin
Ara Sınav/Kesin Çözümler:
İşte ilk ara sınava (biraz kusurlu) çözümlerim ve ikinci ara sınava çözümlerim ve final sınavına (muhtemelen mükemmel mi?!) çözümlerim. BUGÜN , 8 Ekim Pazartesi, MLB 1200 (Aud 3).
Bugün son dakika yardımına ihtiyacınız olursa, 8:30-4:00 saatleri arasında şu konumlarda müsaitim: 8:30-10 sınıfta, 10-11:30 sınıf dışında bankta, 11:30-1 sınıfta, 1-2 Mathlab'da, 2-4 ofisimde. Bu 7 1/2 saatlik süre boyunca benimle istediğin zaman buluşabilirsin. Sınava öğrenci kimliğinizi ve grafik hesap makinenizi getirmeyi unutmayınız. Ayrıca önceden hazırladığınız, bir veya iki yüzü yazılı 3'e 5 not kartı da getirebilirsiniz. --> İlk Ara Sınav Konuları:
Bölüm 5.1-5.4, 6.1, 6.2, 6.4, 7.1, 7.2,
7.4 (ancak yalnızca (ax+b)/(x^2+cx+d) biçimindeki hesaplama integralleri, burada payda çarpanları (xe)(xf) olarak e,f'den farklıdır ve başka hiçbir kısmi kesir ve trig ikamesi yoktur) ,
7.5 (ancak hata yaklaşımları veya Simpson kuralı değil),
8.1,
8.2 (ve ayrıca kabuk yöntemi, ancak parametrik eğrilerin yay uzunluğu formülü değil, bunun yerine sadece y=f(x) yay uzunluğu),
8.4 (ancak kütle merkezi değil),
8.5 (ancak su basıncından kaynaklanan zorlama değil).

İkinci Ara Sınav Konuları:
Bölüm 4.7, 7.6, 7.7, 8.7, 8.8 ve 9.1&ndash9.5.

Final Sınavı Konuları:
Taylor serisi (bölüm 10.1&ndash10.3)
Parametrik denklemler ve parametrik eğrilerin yay uzunluğu (bölüm 4.8 ve bölüm 8.2'nin sonundaki formül)
Alan ve yay uzunluğu dahil kutupsal koordinatlar (bölüm 8.3)
Diferansiyel denklemler (bölüm 11.1&ndash11.6 ancak 11.3 DEĞİL (Euler yöntemi))
Final kümülatiftir, bu nedenle yukarıdaki konulara ek olarak birinci ve ikinci ara sınavlardaki tüm konuları bilmelisiniz.
Bazı Videolar:
Matematikte nasıl iyi olunur
FOIL (inan bana, bu adamın FOIL öğretmekten ne kadar keyif aldığını görmek seni mutlu edecek) Geçmiş Sınavlar (ve Çözümler):
Sınavları tamamla
Konuya göre sıralanmış geçmiş ara sınav 1'ler için sınav problemleri
Konuya göre sıralanmış geçmiş ara sınav 2'ler için sınav problemleri
Konuya göre sıralanmış geçmiş final sınavları için sınav sorunları

Uyarı: farklı yıllarda her ara sınavda biraz farklı konular işlenir. Bir önceki yıldan tam bir uygulama sınavına girmek yerine, ele aldığımız konulara göre kendi uygulama sınavınızı yapmak daha iyidir. Ancak bunu yapsanız bile, yine de bazen, ele aldığımız bir konudaki önceki yıllardaki sorunların bu yıl ele alınmayan diğer konulara bağlı olabileceği olur, bu nedenle bu olasılığın farkında olun.


Girişiniz: $$ left(x,y ight)=left(1, sqrt<3> ight) $$'ı kutupsal koordinatlara dönüştürün.

Ardından, $$ heta=operatöradı ight)> $$ (ancak açıyı doğru çeyreğe karşılık gelecek şekilde ayarlamamız gerekiyor).

$$ r $$'ın negatif olması da mümkündür. Bu durumda, bulunan $$ heta $$ : $$ heta=frac<4 pi> <3>$$ öğesinden $$ pi $$ ekleyin/çıkarın.

NOT: bulunan tüm açılar $$ left[0, 2pi ight) $$ aralığındadır. Başka bir aralıkta açılara ihtiyacınız varsa, gerekli sayıda $$ 2pi $$ ekleyin/çıkarın.

Örneğin, $$ frac <3>$$, $$ left[2pi, 4pi ight) $$ aralığında $$ frac<3>+2'dir pi=frac<7 pi> <3>$$ .

$$ left(r, heta ight)=left(2,frac<3>sağ)yaklaşık left(2,1.0471975511966sağ) $$ .

$$ left(r, heta ight)=left(-2,frac<4 pi><3> ight)yaklaşık left(-2,4.18879020478639 ight) $$ .


Diğer Kutup Eğrileri

Arşimet Spirali


Spiral, inşa etmekte olan bir daireyi kare yapmak için kullanılabilir.
belirli bir daire ile aynı alana sahip bir kare ve üçe bölün
verilen bir açının üçte biri olan bir açı oluşturan açı
açı (bu konularla ilgili daha fazla bilgiyi ilgili linklerde bulabilirsiniz).
Fermat'ın Spirali


Bu spiralin modeli disk filotaksisinde görülebilir,
çiçeklerin ortasındaki dairesel kafa hangisi
(bkz: ayçiçeği).
hiperbolik sarmal


Kutuptan sonsuz bir uzaklıkta başlar ve
direğe yaklaştıkça daha hızlı rüzgarlar.
Lituus


asimptotik olduğunu mesafe arttıkça eksen
direğinden.

Limaçon Ώ]
"Limacon" kelimesi, salyangoz anlamına gelen Latince "limax" kelimesinden türemiştir. Bir limaçon için genel denklem .

  • Eğer , o zaman bir trisektriktir (bkz. şekil 2).
  • Eğer , sonra bir kardioid olur (bkz. şekil 3).
  • Eğer , sonra çukurlaşır (bkz. şekil 4).
  • Eğer , o zaman eğri dışbükeydir (bkz. şekil 5).

Yönlendirilmiş Tensör Yeniden Yapılandırması

LEONID ZHUKOV , ALAN H. BARR , Görselleştirme El Kitabında , 2005

15.3.1 Algoritma Doğrulaması

Algoritmamızı doğrulamak için, bir çift "yaralı" fiber demetini taklit eden yapay bir tensör veri seti oluşturduk (Şekil 15.7). Paket yönlerini tanımlayan ve özelliklerin boyutunu (büküm) kontrol eden parametrik denklemler türettik. Normal bir 3B ızgara üzerinde demetin yönlü türevlerini örnekleyerek bir 3B tensör alanı oluşturduk. Örnekleme ve yeniden yapılandırma parametrelerinin çeşitli kombinasyonlarını test ettik.

Şekil 15.7. Yapay tensör verilerinden MLS yöntemi kullanılarak yeniden oluşturulmuş çift sarmal.

Örnekleme karakteristik uzunluğun (değişim ölçeği) en az üçte biri olduğunda, çift sarmalın doğru sürekli yeniden yapılandırılması elde edildi, yeniden yapılandırmadaki entegrasyon adımı voksel boyutunun beşte biri olduğunda ve MLS filtresinin yarıçapı şuydu: iki ila üç voksel. Yeniden yapılandırma filtresinin yarıçapının arttırılması, aşırı yumuşatmaya ve özellik kaybına yol açar.


Parametrik Fonksiyonlar nedir?

İlk bakışta yabancı ve kafa karıştırıcı görünseler de, parametrik fonksiyonlar düzlemdeki hareketi takip etmenin daha esnek bir yoludur.

Genellikle bir işlevi şu şekilde düşünebilirsiniz: y = f(x). Bir fonksiyonun grafiği, Dikey Hat Testi (VLT)ve sonuç olarak seçenekleriniz sınırlıdır.

Parabolleri, katenerleri ve hatta sinüzoidal dalgaları tanımlamak için tipik işlevleri kullanabileceğinizden emin olun, peki ya bir gezegenin yörüngesi?

Kesinlikle herhangi bir dairesel veya eliptik grafik VLT'de başarısız olur. Böylece formun bir fonksiyonunu yazamazsınız. y = f(x) bu durum için.

Bir elipsin grafiği, formun bir fonksiyonu değildir. y = f(x). Bunun yerine, tarafından tanımlanan parametrik işlevi kullanabilirsiniz. x = 3 çünkü(t) ve y = 5 günah(t).

Bunun yerine, her ikisini de belirtebilmeniz gerekir. x ve y bazı bağımsızlar açısından parametre, t. İşte bu terimin parametrik gelen.

Tanım

bir parametrik fonksiyon (veya bir takım parametrik denklemler) belirten iki fonksiyon çiftidir. x– ve y- düzlemde hareket eden bir noktanın koordinatları.

Her işlevi ayrı bir kontrol olarak düşünün; x ve biri için y. Parametrik denklemlerin belki de en iyi fiziksel örneği Etch-A-Sketch'tir.

Etch-A-Sketch'in iki düğmesi vardır, biri dikeyi kontrol eder ve diğeri ekran kaleminin yatay konumunu kontrol eder. İki düğme birlikte çalıştığında neredeyse her şey çizilebilir!

Bu, bir Etch-A-Sketch'te becerebildiğimin en iyisi.

Grafik oluşturma

Herhangi bir parametrik fonksiyonun grafiğini çıkarmanın basit bir yolu vardır.

  1. Bir dizi örnek seçin t-değerler. Belirli bir değer aralığı varsa, bir &le t &le b, o zaman bu aralıktaki değerlere bağlı kalmalısınız. Aksi takdirde, hem pozitif hem de negatif olmak üzere geniş bir değer aralığı seçin.
  2. Her örnek için t, prize takın x = f(t) ve içine y = g(t) karşılık gelen bulmak için x– ve y-koordinatlar.
  3. Her birini çizin (x, y) uçakta eşleştirin. Ardından noktaları artan sırayla birleştirin. t.

Örnek Grafik

tarafından tanımlanan parametrik fonksiyonun grafiğini çizin x = t 2 – 2t + 1 ve y = –t 2 + 2.

için belirtilen bir aralık olmadığı için t, sadece çalışmak için birkaç kolay sayı seçelim. Unutmayın, fonksiyonun nasıl davrandığına dair iyi bir fikir edinmek için hem pozitif hem de negatif değerler kullanın.

Çalışmalarımı bir masada düzenlemeyi severim.

tx = t 2 - 2t + 1y = -t 2 + 2(x, y)
-316-7(16, -7)
-29-2(9, -2)
-141(4, 1)
012(1, 2)
101(0, 1)
21-2(1, -2)
34-7(4, -7)

Ardından, bu noktaları bir koordinat düzleminde çizin.

Son olarak, artan sırayla noktaları birleştirin. t.


Soru şöyle diyor: "Bir çift paraetrik denklem verildi. a.) Parametrik denklemlerle temsil edilen eğriyi çizin. b.) Parametreyi ortadan kaldırarak eğri için bir dikdörtgen koordinat denklemi bulun." x=6t-4, y=3t, t>=0

S: Erkeklerde dış kulağın ortalama uzunluğu f(x)0.89 0.495 In x inç a s 70.T wh olarak modellenebilir.

S: Ödev yardımı: Soru: Bir top yerden dikey olarak 98 fit hızla atılıyor.

A: Verilen fonksiyonun türevini alarak hız fonksiyonunu hesaplayın.

S: Verilen miktarı tek bir logaritma olarak ifade edin. 2)2 In(x 2)7In x - In(x2 +

A: Verilen ifade şöyle olsun:

S: Bir çiftlik sahibi, dikdörtgen bir alanda 2500000 fit karelik bir alanı çitle çevirmek ve sonra onu bölmek istiyor.

A: Kenar uzunlukları x ve y olsun. Ve orta çit x tarafına paraleldir. Yani toplam çit ihtiyacı.

A: Etki alanı ve sec(x) aralığı

S: 1. [-1, 1] üzerinde tanımlanan p(x) = C/1- x2 fonksiyonunu göz önünde bulundurun (a) p(x) bir pr olacak şekilde bir C değeri bulun.

A: (a) C'nin değeri aşağıdaki gibi değerlendirilir.

S: Uygun bir ikame yapın ve ardından integrali değerlendirmek için parçalara göre entegrasyonu kullanın. dx e

C: Cevabı görmek için tıklayın

S: Bir aritmetik dizi Un=11n-7 ile tanımlanır. a U1 ve d'yi bulun. b 37. terimi bulunuz. c nedir.


Indiana- Matematik: Precalculus

Kabul Edilen Akademik Standartlar: 2009

PC.1: İlişkiler ve Fonksiyonlar

PC.1.1: Polinom, mutlak değer, rasyonel, cebirsel, üstel, logaritmik, trigonometrik, ters trigonometrik ve parçalı tanımlı fonksiyonların grafiğini oluşturmak için kağıt ve kalem yöntemlerini ve teknolojisini kullanın. Problemleri çözmek için bu grafikleri kullanın ve teknolojiyi uygun şekilde kullanarak fonksiyonların sözlü, tablo, grafik ve sembolik temsilleri arasında tercüme edin.

PC.1.2: Teknolojiyi uygun şekilde kullanarak sembolik veya grafiksel olarak temsil edilen fonksiyonların etki alanını, aralığı, kesişimlerini, sıfırlarını, asimptotlarını ve süreksizlik noktalarını belirleyin.

PC.1.3: Fonksiyonlar ve denklemler kullanılarak modellenebilen kelime problemlerini çözer.

PC.1.4: Süreklilik, son davranış, asimptotlar, simetri ve limitleri tanır ve tanımlar ve bu kavramları fonksiyon grafiklerine bağlar.

PC.1.5: İki fonksiyonun toplamını, farkını, çarpımını ve (varsa) bölümünü bulun, yorumlayın ve grafiğini çizin ve sonuçta ortaya çıkan fonksiyonun ilgili alanını ve aralığını belirtin.

PC.1.6: İki fonksiyonun bileşimini bulun ve bileşik fonksiyonun alanını ve aralığını belirleyin. Tersine, bir işlev verildiğinde, bileşimi verilen iki işlev daha bulun.

PC.1.7: Ters fonksiyonları, etki alanlarını ve aralıklarını tanımlayın ve bulun. Verilen iki fonksiyonun birbirinin tersi olup olmadığını sembolik ve grafiksel olarak doğrulayın.

PC.1.8: Dönüşümleri fonksiyonlara uygular ve bu dönüşümlerin sonuçlarını sözlü, grafiksel ve sayısal olarak yorumlar.

PC.2: Konikler

PC.2.1: Konik kesitler için denklemler türetiniz ve bulunan denklemleri kullanınız.

PC.2.2: Koordinat eksenlerine paralel simetri eksenli konik kesitleri elle, kareyi tamamlayarak çizin ve odakları, merkezi, asimptotları, eksantrikliği, eksenleri ve köşeleri (uygunsa) bulun.

PC.3: Logaritmik ve Üstel Fonksiyonlar

PC.3.1: Diğer üstel fonksiyonlarla y = e'yi x kuvvetiyle sembolik ve grafiksel olarak karşılaştırın ve karşılaştırın.

PC.3.2: logaritmik fonksiyon g(x) = log taban a x'i, üstel fonksiyon f(x) = a'nın x kuvvetinin tersi olarak tanımlayın. Problemleri çözmek için üstel ve logaritmik fonksiyonlar ile logaritma yasaları arasındaki ters ilişkiyi uygular.

PC.3.3: Kesişenleri, sıfırları, etki alanını ve aralığı ve asimptotik ve son davranışı inceleyerek logaritmik ve üstel fonksiyonların grafiklerini analiz edin, tanımlayın ve çizin.

PC.3.4: Logaritmik ve üstel fonksiyonlar kullanılarak modellenebilen problemleri çözer. Çözümleri yorumlayın ve çözümlerin makul olup olmadığını belirleyin.

PC.4: Trigonometri

PC.4.1: Kotanjant, sekant ve kosekant trigonometrik oranlarını dik üçgenlerin açıları cinsinden tanımlar ve kullanır.

PC.4.2: Trigonometrik oranları kullanarak üçgenleri içeren problemleri modelleyin ve çözün.

PC.4.4: Birim çemberi kullanarak sinüs ve kosinüs tanımlayın.

PC.4.6: Geometrik olarak çıkarım yapın ve sinüs, kosinüs ve tanjant fonksiyonlarının 0, pi/6, pi/4, pi/3 ve pi/2 radyan ve katlarında değerlerini kullanın.

PC.4.7: Birim çember üzerinde dik üçgen oranları, trigonometrik fonksiyonlar ve koordinat fonksiyonu arasında bağlantı kurar.

PC.4.8: Bu trigonometrik fonksiyonların çevirisi de dahil olmak üzere trigonometrik fonksiyonları analiz edin ve grafiğini çizin. Özelliklerini tanımlayın (yani yayılma, genlik, sıfırlar, simetri, faz, kayma, dikey kayma, frekans).

PC.4.9: Ters trigonometrik fonksiyonları tanımlayın, analiz edin ve grafiğini çizin ve ters trigonometrik fonksiyonların değerlerini bulun.

PC.4.10: Trigonometrik fonksiyonlar kullanılarak modellenebilen problemleri çözer, çözümleri yorumlar ve çözümlerin mantıklı olup olmadığını belirler.

PC.4.11: Temel Pisagor trigonometrik özdeşlikler toplam ve fark özdeşlikleri yarım açı ve çift açı özdeşlikleri ile sekant, kosekant ve kotanjant fonksiyonlarının türetilmesi. Diğer kimlikleri doğrulamak ve trigonometrik ifadeleri basitleştirmek için bu kimlikleri kullanın.

PC.4.12: Trigonometrik denklemleri çözün ve çözümleri grafiksel olarak yorumlayın.

PC.5: Kutupsal Koordinatlar ve Karmaşık Sayılar

PC.5.1: Kutupsal koordinatları tanımlayın ve kullanın ve kutupsal koordinatları Kartezyen koordinatlarla ilişkilendirin.

PC.5.2: Kartezyen koordinatlarda verilen denklemleri kutupsal koordinatlar cinsinden temsil eder.

PC.5.3: Kutupsal koordinat düzleminde grafik denklemleri.

PC.5.4: Karmaşık sayıları tanımlayın, karmaşık sayıları kutupsal biçime dönüştürün ve karmaşık sayıları kutupsal biçimde çarpın.

PC.5.5: De Moivre Teoremini ispatlayın ve kullanın.

PC.6: Diziler ve Seriler

PC.6.1: Aritmetik ve geometrik dizileri ve serileri tanımlar.

PC.6.2: Aritmetik ve geometrik diziler için genel terimi bulmak için formüller türet ve kullan.

PC.6.3: Aritmetik seriler ve sonlu ve sonsuz geometrik seriler için toplam formülleri geliştirin, kanıtlayın ve kullanın.

PC.6.4: Özyineleme kullanarak bir dizi oluşturun.

PC.6.5: Bir dizinin limiti ve bir fonksiyonun limiti kavramını tanımlayın. Basit dizilerin yakınsayıp, uzaklaşmayacağına karar verin. Sonsuz bir diziyi, kısmi toplamlar dizisinin limiti olarak kabul edin.

PC.6.6: Dizilerin ve serilerin uygulamalarını içeren kelime problemlerini modelleyin ve çözün, çözümleri yorumlayın ve çözümlerin makul olup olmadığını belirleyin.

PC.6.7: Kombinatorik ile binom teoremini türet.

PC.7: Vektörler ve Parametrik Denklemler

PC.7.1: Vektörleri büyüklüğü ve yönü olan nesneler olarak tanımlayın. Vektörleri geometrik olarak temsil edin.

PC.7.5: Parametrik denklemleri kullanarak problemleri modelleyin ve çözün.

PC.8: Veri Analizi

PC.8.1: Medyan uyum ve en küçük kareler regresyon yöntemlerini kullanarak doğrusal modelleri bulun. Birkaç lineer modelden hangisinin daha iyi uyum sağladığına karar verin. Eğimi orijinal bağlam açısından yorumlayın.

PC.8.2: Korelasyon katsayısını hesaplayın ve yorumlayın. "En uygun" çizgiyi değerlendirmek için korelasyon katsayısını ve artıkları kullanın.


Videoyu izle: Parametrik denklemlerin alan hesabı (Aralık 2021).