Nesne

2.3: Kesirleri ve Ondalık Sayıları Temizleme - Matematik


Bu bölümde, denklemlerden kesirleri ve ondalık sayıları temizleyen ve elde edilen denklemin çözülmesini çok daha kolay hale getiren teknikleri tanıtıyoruz. Bir denklemden kesirleri temizlerken, aşağıdaki örneklerde gösterilenler gibi ürünleri basitleştirmeniz gerekecektir.

Örnek (PageIndex{1})

Basitleştirin: (12left(dfrac{2}{3} xsağ)).

Çözüm

(12), (2/3) ve (x) gibi üç sayıyı çarptığımızda, çarpmanın birleştirici özelliği bize önce hangi iki sayıyı çarptığımızın önemli olmadığını söyler. İlişkilendirme özelliğini yeniden gruplandırmak için kullanırız, ardından pay ve paydaları çarpar ve sonucu basitleştiririz.

[egin{aligned} 12left(dfrac{2}{3} x ight) &=left(12 cdot dfrac{2}{3} ight) x quad color{Kırmızı} ext{Çarpmanın birleştirici özelliği.} &=dfrac{24}{3} x quad color{Red} ext { Çarpma: } 12 cdot 2=24 &=8 x quad color{Red} ext { Bölme: } 24 / 3=8 end{hizalı} onumber ]

Alıştırma (PageIndex{1})

Basitleştirin: (15left(dfrac{3}{5} xsağ)).

Cevap

(9x)

Örnek (PageIndex{1}), cevaba ulaşmayla ilgili tüm adımları gösterir. Ancak bu bölümdeki amaç bu hesaplamayı zihinsel olarak gerçekleştirmektir. Bu yüzden (12) ve (2)'yi (24) elde etmek için çarparız, sonra (8)'yi elde etmek için (24)'yi (3)'e böleriz." Bu yaklaşım, herhangi bir iş yapmadan cevabı yazmamızı sağlar.

[12left(dfrac{2}{3} xsağ)=8 x onumber ]

Herhangi bir adım yazmadan cevabı yazana kadar bu zihinsel hesaplamayı uygulamalısınız.

Örnek (PageIndex{2})

Basitleştirin: (18 left(dfrac{2}{9} xsağ)).

Çözüm

Bu sefer hesaplamaları zihinsel olarak yapıyoruz. (18) ve (2) ile çarpıp (36), ardından (36)'yı (9) ile bölerek (4) elde edin.

[18left(dfrac{2}{9} xsağ)=4 x onumber ]

Alıştırma (PageIndex{2})

Basitleştirin: (14 left(dfrac{3}{7} xsağ)).

Cevap

(6x)

Rakamlar büyüdükçe zihinsel hesaplamalar zorlaşır. Örneğin, [72left(dfrac{8}{9} x ight) onumber ] düşünün

Bu durumda, “(72) ve (8) ile (576) çarpın, sonra (576)'yı (9) ile (64)'yi elde etmek için çarpın” işi bir kafanda taşımak biraz zor. Ancak bu, hesap makinesinin kurtarmaya geldiği zamandır.

Örnek (PageIndex{3})

(72 left(dfrac{8}{9} x ight)) ifadesini basitleştirmeye yardımcı olması için hesap makinenizi kullanın.

Çözüm

(72) ve (8) ile çarpmak için hesap makinenizi kullanın, ardından (9) ile bölün. 72*8/9 girin ve ENTER tuşuna basın.

Böylece, (72left(dfrac{8}{9} xsağ)=64 x).

Alıştırma (PageIndex{3})

Basitleştirmek için hesap makinenizi kullanın: (81 left(frac{5}{9} x ight)).

Cevap

(45x)

İptal etmek daha verimli

(PageIndex{1}), (PageIndex{2}) ve (PageIndex{3}) Örneklerinde, payları çarpıp tek paydaya böldük. Rakamlar büyüdükçe işi kafamızda taşımanın biraz zor olduğunu da gördük. Bölüm 1, Kısım 3'te, iptal etmenin sayıların boyutunu küçülttüğünü ve işi kolaylaştırdığını gördük.

Örnek (PageIndex{4})

Basitleştirin: (72 left(dfrac{8}{9} xsağ)).

Çözüm

Örnek (PageIndex{3}), hesap makinemizi (72) ve (8) ile çarpmak için (576) ve ardından (576)'yı (9) ile bölmek için kullandık. (64) almak için. Bu çözümde, (9)'u (8) elde etmek için (72)'ye böleriz, sonra (8) ile (8) çarparak (64) elde ederiz. Aynı cevabı alıyoruz, ancak ara sayılar çok daha küçük olduğu için hesaplamaları zihinsel olarak yapmak çok daha kolay.

[egin{aligned} 72left(dfrac{8}{9} xsağ) &=left(72 cdot dfrac{8}{9}sağ) x quad color{Kırmızı} ext{Çarpmanın birleştirici özelliği} &=(8 cdot 8) x quad color{Kırmızı} ext { Bölme: } 72 / 9=8 &=64 x quad color{Kırmızı} ext { Çarpma: } 8 cdot 8=64 end{hizalı} onumber ]

Alıştırma (PageIndex{4})

Basitleştirin: (64 left(dfrac{5}{8} xsağ)).

Cevap

(40x)

Örnek (PageIndex{4}), cevaba ulaşmak için gereken tüm adımları gösterir. Yine, bu bölümdeki amaç bu hesaplamayı zihinsel olarak yapmaktır, bu yüzden sadece "(9)'u (72)'ye bölerek (8) elde ederiz, sonra (8) ile (8) çarparız. ) (644) almak için."

[72sol(frac{8}{9} xsağ)=64 x osayı ]

Bu yaklaşım sadece herhangi bir iş yapmadan cevabı yazmamıza izin vermekle kalmaz, sayısal hesaplamalar daha küçük sayıları içerir. Herhangi bir adım yazmadan cevabı yazana kadar bu zihinsel hesaplamayı uygulamalısınız.

Örnek (PageIndex{5})

Basitleştirin: (27sol(dfrac{5}{9} xsağ)).

Çözüm

(9) öğesini (3) elde etmek için (27)'ye bölün, sonra (3) ile (5) çarparak (15) elde edin. [27sol(dfrac{5}{9} xsağ)=15 x umara ]

Alıştırma (PageIndex{5})

Basitleştirin: (18left(dfrac{3}{2} xsağ)).

Cevap

(27x)

Not

(PageIndex{4}) ve (PageIndex{5}) Örneklerinde gösterilen teknik, bu bölümün geri kalanında kullanacağımız tekniktir. Önce bölme (iptal etme) çok daha verimlidir, daha küçük sayılar hesaplamayı zihinsel olarak yapmamızı sağlar.

Bir Denklemden Kesirleri Temizleme

Artık gerekli kesir işini yaptığımıza göre, şimdi bir denklemden kesirleri temizlemeye konsantre olabiliriz. Kesirler denklemden çıkarıldığında, elde edilen eşdeğer denklemin çözülmesi orijinalinden çok daha kolaydır.

Bir denklemden kesirleri temizleme

Bir denklemden kesirleri çıkarmak için denklemin her iki tarafını en küçük ortak payda ile çarpın.

Örnek (PageIndex{6})

(x : quad x+dfrac{2}{3}=dfrac{1}{2}) için çözün.

Çözüm

(2/3) ve (1/2) için ortak payda (6)'dır. Denklemin her iki tarafını (6) ile çarparak başlıyoruz.

[egin{aligned} x+dfrac{2}{3}&= dfrac{1}{2} quad color{Red} ext { Orijinal denklem. } 6left(x+dfrac{2}{3} ight) &= 6left(dfrac{1}{2} ight) quad color{Kırmızı} ext{ Her iki tarafı ile çarpın 6. } 6x+6left(dfrac{2}{3}sağ)&= 6left(dfrac{1}{2} ight)quad color{Kırmızı} ext { Açık solda, } 6 end{aligned} onumber ] öğesini dağıtın

(6(2/3)'yi sadeleştirmek için), (6)'yı (3)'ye bölerek (2'yi elde edin), ardından (2)'yi (2) ile çarparak ('yi elde edin) 4). Böylece, (6(2/3) = 4). Benzer şekilde, (6(1/2) = 3).

[6x+4=3 quad color{Red} ext {Çarpma: } 6left(dfrac{2}{3} ight)=4,6left(dfrac{1}{2} sağ)=3 sayısız ]

Kesirlerin şimdi denklemden temizlendiğine dikkat edin. Denklemin bir tarafında (x) içeren terimleri izole etmek için denklemin her iki tarafından (4) çıkarın.

[egin{hizalı} 6x+4-4&= 3-4 quad color{Kırmızı} ext { Çıkart } 4 ext { her iki taraftan. } 6x&= -1 quad color{Red} ext { Her iki tarafı da basitleştirin. } end{hizalanmış} umara ]

(6 ile çarpma işlemini "geri almak" için, her iki tarafı da (6) ile bölün.

[egin{aligned} dfrac{6x}{6}&= dfrac{-1}{6} quad color{Red} ext { Her iki tarafı } 6'ya bölün x&= -dfrac{ 1}{6} quad color{Red} ext { Her iki tarafı da basitleştirin. } end{hizalanmış} umara ]

Kontrol: Çözümü kontrol etmek için TI-84'ü kullanalım.

  1. (-1/6) öğesini aşağıdaki tuş vuruşlarını kullanarak X değişkeninde saklayın.
  1. Orijinal denklemin sol tarafını girin: (x +2 /3). Aşağıdaki tuş vuruşlarını kullanın.
  1. MATH tuşuna basın, ardından 1:►Frac'ı seçin ve ENTER tuşuna basın. Sonuç, Şekil (PageIndex{1}) içindeki üçüncü satırda gösterilir.

Sonuç, (x +2 /3=1 /2) denkleminin sağ tarafıyla aynıdır. Böylece çözüm kontrol edilir.

Alıştırma (PageIndex{6})

(x : x-dfrac{3}{4}=dfrac{1}{2}) için çözün.

Cevap

(x=5 / 4)

Örnek (PageIndex{7})

(x : quad dfrac{4}{5} x=-dfrac{4}{3}) için çözün.

Çözüm

(4/5) ve (-4/3) için ortak payda (15)'dir. Denklemin her iki tarafını (15) ile çarparak başlıyoruz.

[egin{aligned} dfrac{4}{5} x& =-dfrac{4}{3} quad color{Red} ext { Orijinal denklem. } 15left(dfrac{4}{5} xsağ) & =15left(-dfrac{4}{3}sağ) quad color{Kırmızı} ext { Her iki tarafı da çarp ile } 15 end{hizalanmış} onumber ]

(15(4/5)'i sadeleştirmek için, (5)'i (3) elde etmek için (15)'e bölün, ardından (3'ü elde etmek için (3) ile (4) çarparak ( 12). Böylece, (15(4/5) = 12). Benzer şekilde, (15(-4/3) = -20)

[12x=-20 quad color{Kırmızı} ext{Çarpın.} onumber ]

(12) ile çarpma işlemini "geri almak" için, her iki tarafı da (12) ile böleriz.

[egin{aligned} dfrac{12x}{12}& =dfrac{-20}{12} quad color{Kırmızı} ext { Her iki tarafı } 12'ye bölün x & =-dfrac {5}{3} quad color{Red} ext { En düşük terimlere indirgeyin. } end{hizalanmış} umara ]

Kontrol: Kontrol etmek için, orijinal denklemde (x) yerine (-5/3) koyun.

[egin{aligned} dfrac{4}{5} x &=-dfrac{4}{3} quad color{Red} ext { Orijinal denklem. } dfrac{4}{5}left(-dfrac{5}{3}sağ) &=-dfrac{4}{3} quad color{Kırmızı} ext { Yedek } - 5 / 3 ext {for} x -dfrac{20}{15} &=-dfrac{4}{3} quad color{Red} ext { Payları ve paydaları çarpın. } -dfrac{4}{3} &=-dfrac{4}{3} quad color{Red} ext { Küçült. } end{hizalanmış} umara ]

Son satırın doğru bir ifade olması (-5/3) ifadesinin (dfrac{4}{5} x=-dfrac{4}{3}) denkleminin bir çözümü olduğunu garanti eder.

Alıştırma (PageIndex{7})

(x : -dfrac{3}{7} x=dfrac{3}{2}) için çözün.

Cevap

(x=-7 ​​/ 2)

Örnek (PageIndex{8})

(x : dfrac{2 x}{3}-dfrac{3}{4}=dfrac{1}{2}-dfrac{3 x}{4}) için çözün.

Çözüm

(2x/3), (-3/4), (1/2) ve (-3x/4) için ortak payda (12)'dir. Denklemin her iki tarafını (12) ile çarparak başlıyoruz.

[egin{hizalanmış} dfrac{2 x}{3}-dfrac{3}{4}&= dfrac{1}{2}-dfrac{3 x}{4} quad color{ Red} ext { Orijinal denklem. } 12left(dfrac{2x}{3}-dfrac{3}{4}sağ)&= 12left(dfrac{1}{2}-dfrac{3x}{4} ight) quad color{Red} ext { Her iki tarafı } 12 12left(dfrac{2x}{3} ight)-12left(dfrac{3}{4} ile çarpın) right)&= 12left(dfrac{1}{2} ight)-12left(dfrac{3x}{4} ight) quad color{Red} ext { } 12 'yi dağıtın metin { her iki tarafta. } end{hizalanmış} umara ]

(12(2x/3)'i basitleştirmek için, (3)'yi (4) elde etmek üzere (12)'ye bölün, ardından (4)'yi (2x) ile çarparak ( 8x). Böylece, (12(2x/3) = 8x). Benzer şekilde, (12(3/4) = 9), (12(1/2) = 6) ve (12(3x/4) = 9x).

[8x-9=6-9x quad color{Kırmızı} ext {Çarpın.} onumber ]

Kesirlerin şimdi denklemden temizlendiğine dikkat edin. Şimdi denklemin bir tarafında (x) içeren terimleri ayırmamız gerekiyor. (-9x) terimini sağ taraftan çıkarmak için denklemin her iki tarafına da (9x) ekleyin.

[egin{hizalanmış} 8x-9+9x&= 6-9x+9x quad color{Kırmızı} ext { Her iki tarafa } 9x ext { ekleyin. } 17x-9&= 6 quad color{Red} ext { Her iki tarafı da basitleştirin. } end{hizalanmış} umara ]

(-9) terimini sol taraftan çıkarmak için denklemin her iki tarafına da (9) ekleyin.

[egin{hizalanmış} 7x-9+9&= 6+9 quad color{Kırmızı} ext { Her iki tarafa } 9 ext { ekleyin. } 17x&= 15 quad color{Red} ext { Her iki tarafı da sadeleştirin. } end{hizalanmış} umara ]

Son olarak, (17 ile çarpma işlemini "geri almak" için, denklemin her iki tarafını da (17) ile bölün.

[egin{aligned} dfrac{17x}{17} &= dfrac{15}{17} quad color{Kırmızı} ext { Her iki tarafı } 17'ye bölün x &= dfrac{15 }{17} quad color{Red} ext { Her iki tarafı da basitleştirin. } end{hizalanmış} umara ]

Kontrol: Çözümü kontrol etmek için TI-84'ü kullanalım.

  1. Aşağıdaki tuş vuruşlarını kullanarak (15/17) sayısını (X) değişkeninde saklayın.
  1. Orijinal denklemin sol tarafını girin: (dfrac{2 x}{3}-dfrac{3}{4}). Aşağıdaki tuş vuruşlarını kullanın.
  1. Orijinal denklemin sağ tarafını girin: (dfrac{1}{2}-dfrac{3 x}{4}). Aşağıdaki tuş vuruşlarını kullanın.

(15/17) (x) yerine kullanıldığında her iki taraf da (-.1617647059)'a sadeleştiğinden, bu (15/17)'nin (2x/3) denkleminin bir çözümü olduğunu garanti eder. -3/4=1/2-3x/4).

Alıştırma (PageIndex{8})

(x : dfrac{5 x}{9}-dfrac{2}{3}=dfrac{5}{9}-dfrac{3 x}{2}) için çözün.

Cevap

(x=22 / 37)

Bir Denklemden Ondalık Sayıları Temizleme

On'un uygun gücüyle çarpmak, bir denklemdeki ondalık sayıları temizleyerek, elde edilen eşdeğer denklemin çözülmesini çok daha kolay hale getirir.

Başlamadan önce, on'un kuvvetleriyle çarpma hakkında aşağıdaki gerçekleri hatırlayın.

  • (10(1.2345) = 12.345). (10) ile çarpmak ondalık noktayı bir basamak sağa kaydırır.
  • (100(1.2345) = 123.45). (100) ile çarpmak ondalık noktayı iki basamak sağa kaydırır.
  • (1000(1.2345) = 1234.5). (1000) ile çarpmak ondalık noktayı üç basamak sağa kaydırır.

Desene dikkat edin: On'un gücündeki sıfırların sayısı, ondalık noktanın taşınacağı yerlerin sayısını belirler. Örneğin, altı sıfırı olan (1,000,000) ile çarparsak, bu ondalık noktayı altı basamak sağa kaydırır.

Örnek (PageIndex{9})

(x : quad 2.3 x-1.25=0.04 x) için çözün.

Çözüm

(2.3x-1.25 = 0.04x) ifadesinin ilk terimi bir ondalık basamak, ikinci terim iki ondalık basamak ve üçüncü ve son terim iki ondalık basamak içerir. En azından, denklemden ondalık sayıları temizlemek için her ondalık noktayı iki basamak sağa kaydırmamız gerekir. Sonuç olarak, denklemin her iki tarafını (100) ile çarpıyoruz.

[egin{hizalı} 2,3 x-1,25&= 0,04 x quad color{Kırmızı} ext { Orijinal denklem. } 100(2.3 x-1.25)&= 100(0.04 x) quad color{Kırmızı} ext { Her iki tarafı } 100 100(2.3 x)-100(1.25)&= 100(0.04 ile çarpın) x) quad color{Red} ext { } 100 ext { öğesini dağıtın. } 230 x-125&= 4 x quad color{Kırmızı} ext { } 100 ext { ile çarpmak, tüm ondalık noktaları iki basamak sağa taşır. } end{hizalanmış} umara ]

Ondalık sayıların şimdi denklemden temizlendiğine dikkat edin. Şimdi denklemin bir tarafında x içeren tüm terimleri izole etmeliyiz. (4x) terimini sağ taraftan çıkarmak için, denklemin her iki tarafından da (4x) çıkarın.

[egin{hizalı} 230x-125-4x&= 4x-4x quad color{Kırmızı} ext { Çıkar } 4x ext { her iki taraftan. } 226x-125&=0 quad color{Kırmızı} ext { Basitleştirin. } end{hizalanmış} umara ]

(-125) öğesini sol taraftan çıkarmak için denklemin her iki tarafına da (125) ekleyin.

[egin{aligned} 226x-125+125&= 0+125 quad color{Red} ext { Her iki tarafa } 125 ext { ekleyin. } 226x&= 125 quad color{Red} ext { Her iki tarafı da sadeleştirin. } end{hizalanmış} umara ]

Son olarak, (226) ile çarpma işlemini "geri almak" için, her iki tarafı da (226) ile bölün.

[egin{aligned} dfrac{226x}{226} &= dfrac{125}{226} quad color{Kırmızı} ext { Her iki tarafı } 226'ya bölün x &= dfrac{125 }{226} quad color{Red} ext { Basitleştirin. } end{hizalanmış} umara]

Kontrol: Cevabı TI-84 ile kontrol edelim.

  1. Aşağıdaki tuş vuruşlarını kullanarak (125/226) öğesini (X) değişkeninde saklayın.

Sonuç, ilk görüntüde (PageIndex{4}) içinde gösterilir.

  1. Orijinal denklemin sol tarafını girin: (2.3x-1.25). Aşağıdaki tuş vuruşlarını kullanın.
  1. Orijinal denklemin sağ tarafını girin: 0.04x. Aşağıdaki tuş vuruşlarını kullanın.

(x) yerine (125/226) kullanıldığında, her iki tarafın da aynı ondalık yaklaşımı (0.0221238938) verdiğine dikkat edin. Bu, (125/226)'nin bir (2.3x-1.25 = 0.04x) çözümü olduğunu garanti eder.

Alıştırma (PageIndex{9})

(x : 1.34-4.5 x=2.2) için çözün.

Cevap

(x=-43 / 225)


Videoyu izle: Kesirlerde Sadeleştirme Nedir Nasıl Yapılır Kısaca (Aralık 2021).