Nesne

8.7: Taylor Polinomları - Matematik


Bir (y=f(x)) işlevi ve bir (left(c,f(c)sağ)) noktası düşünün. (f^prime(c)) türevi, (f)'nin (x=c)'deki anlık değişim oranını verir. (sol(c,f(c)sağ) noktasından geçen tüm doğrular arasında, bu noktada (f)'ye en iyi yaklaşan doğru, teğet doğrusudur; yani, eğimi (değişim oranı) (f^prime(c)) olan doğru.

Şekil (PageIndex{1}), bir (y=f(x)) fonksiyonunun grafiğini görüyoruz. Grafiğin altındaki tablo, (f(0)=2) ve (f^prime(0) = 1); bu nedenle, (x=0) noktasında (f)'ye teğet doğru (p_1(x) = 1(x-0)+2 = x+2) olur. Teğet doğru da şekilde verilmiştir. "near" (x=0), (p_1(x) yaklaşık f(x));'nin, yani teğet doğrunun (f)'ye iyi yaklaştığını unutmayın.

Bu yaklaşımın bir dezavantajı, teğet doğrunun yalnızca (f); örneğin, (f)'nin içbükeyliği ile eşleşmez. Yine de, içbükeylikle eşleşen bir (p_2(x)) polinomu bulabiliriz. Şekil 8.16'daki tablo aşağıdaki bilgileri vermektedir:

[f(0) = 2 qquad f^prime(0) = 1qquad f^{primeprime}(0) = 2.]

Bu nedenle, polinomumuzun (p_2(x)) aynı özelliklere sahip olmasını istiyoruz. Yani, ihtiyacımız var

[p_2(0) = 2 qquad p_2'(0) = 1 qquad p_2''(0) = 2.]

Bu sadece bir başlangıç-değer problemidir. Bunu, ilk olarak Bölüm 5.1'de açıklanan teknikleri kullanarak çözebiliriz. (p_2(x)) öğesini olabildiğince basit tutmak için, yalnızca (p_2''(0)=2) değil, aynı zamanda (p_2''(x)=2) olduğunu varsayacağız. Yani, (p_2)'nin ikinci türevi sabittir.

Eğer (p_2''(x) = 2), bir sabit (C) için (p_2'(x) = 2x+C) ise. (p_2'(0) = 1) olduğunu belirlediğimize göre, (C=1) ve böylece (p_2'(x) = 2x+1) buluruz. Son olarak, (p_2(x) = x^2+x+C) hesaplayabiliriz. Başlangıç ​​değerlerimizi kullanarak (p_2(0) = 2) biliyoruz, dolayısıyla (C=2.) (p_2(x) = x^2+x+2.) sonucuna varıyoruz Bu fonksiyon çizilir (f) ile Şekil (PageIndex{2}).

Bu yaklaşım sürecini, (f)'nin (x=0) noktasındaki türevlerinin çoğuyla eşleşen daha yüksek dereceli polinomlar oluşturarak tekrarlayabiliriz. Genel olarak, (f)'nin ilk (n) türevleriyle eşleşmek için (n) dereceli bir polinom oluşturulabilir. Şekil (PageIndex{2}) ayrıca, 0'daki ilk dört türevi bunlarla eşleşen (p_4(x)= -x^4/2-x^3/6+x^2+x+2) gösterir. (f). (Şekil (PageIndex{1}'deki tabloyu kullanarak), (p_4^{(4)}(x)=-12) ile başlayın ve ilgili başlangıç-değer problemini çözün.)

Gittikçe daha fazla türev kullandığımız için, (f) polinom yaklaşımımız gitgide daha iyi hale geliyor. Bu örnekte, yaklaşıklığın "iyi" olduğu aralık giderek büyüyor.Şekil (PageIndex{3}) (p_{13}(x)) gösterir; bu polinomun görsel olarak doğrulayabiliriz. (f)'ye ([-2,3]) üzerinde çok iyi yaklaşır.

(p_{13}(x)) polinomu özellikle "güzel" değildir.

[ p_{13} = dfrac{16901x^{13}}{6227020800}+dfrac{13x^{12}}{1209600}-dfrac{1321x^{11}}{39916800}-dfrac{779x ^{10}}{1814400}-dfrac{359x^9}{362880}+dfrac{x^8}{240}+dfrac{139x^7}{5040}+dfrac{11 x^6} {360}-dfrac{19x^5}{120}-dfrac{x^4}{2}-dfrac{x^3}{6}+x^2+x+2.]

Oluşturduğumuz polinomlar buna örnektir. Taylor polinomları, bu tür fonksiyonlar hakkında önemli keşifler yapan İngiliz matematikçi Brook Taylor'ın adını almıştır. Yukarıdaki Taylor polinomlarını başlangıç ​​değer problemlerini çözerek oluştururken, Taylor polinomlarının oluşumlarını çok daha doğrudan yapan genel bir model izlediği gösterilebilir. Bu, aşağıdaki tanımda açıklanmıştır.

Tanım 38: Taylor Polinomları ve Maclaurin PolinomlarıLS

(f), ilk (n) türevi (x=c)'de bulunan bir fonksiyon olsun.

  1. (x=c)'de (f)'nin (n) derecesinin Taylor polinomu [p_n(x) = f(c) + f^prime(c)(xc) + dfrac'tır {f^{primeprime}(c)}{2!}(xc)^2+dfrac{f^{primeprimeprime}(c)}{3!}(xc)^3+ cdots+dfrac{f,^{(n)}(c)}{n!}(xc)^n.]
  2. Taylor polinomunun özel bir durumu, (c=0) olan Maclaurin polinomudur. yani, Derecenin Maclaurin polinomu (f)'nin (n) değeri [p_n(x) = f(0) + f^prime(0)x + dfrac{f^{primeprime}(0)}{2'dir !}x^2+dfrac{f^{primeprimeprime}(0)}{3!}x^3+cdots+dfrac{f,^{(n)}(0)}{ n!}x^n.]

Aşağıdaki örneklerde Taylor ve Maclaurin polinomları oluşturma alıştırması yapacağız.

Örnek (PageIndex{1}): Maclaurin polinomlarını bulma ve kullanma

  1. (f(x) = e^x) için (n^ ext{th}) Maclaurin polinomunu bulun.
  2. (e) değerini yaklaşık olarak hesaplamak için (p_5(x)) kullanın.

Çözüm

  1. (x=0)'da değerlendirilen (e^x) türevlerinin bir tablosunu oluşturarak başlıyoruz. Bu özel durumda, bu, Şekil 8.19'da gösterildiği gibi nispeten basittir.

    Maclaurin serisinin tanımına göre, elimizde [egin{align*}p_n(x) &= f(0) + f^prime(0)x + dfrac{f^{primeprime}( var 0)}{2!}x^2+dfrac{f^{primeprimeprime}(0)}{3!}x^3+cdots+dfrac{f,^n(0)} {n!}x^n&= 1+x+dfrac{1}{2}x^2+dfrac{1}{6}x^3 + dfrac{1}{24}x^4 + cdots + dfrac{1}{n!}x^n.end{align*}]

  2. 1. bölümdeki cevabımızı kullanarak, [p_5 = 1+x+dfrac{1}{2}x^2+dfrac{1}{6}x^3 + dfrac{1}{24}x^ elde ederiz. 4 + dfrac{1}{120}x^5.] (e'nin değerini yaklaşık olarak hesaplamak için, (e = e^1 = f(1) yaklaşık p_5(1).) olduğuna dikkat edin. (p_5(1)): [p_5(1) = 1+1+dfrac12+dfrac16+dfrac1{24}+dfrac1{120} = dfrac{163}{60}'ı değerlendirmek çok basittir. yaklaşık 2.71667.]

    (f(x)=e^x) ve (p_5(x)) grafiği Şekil (PageIndex{5}) içinde verilmiştir.

Örnek (PageIndex{2}): Taylor polinomlarını bulma ve kullanma

  1. (y=ln x)'nin (n^ ext{th}) Taylor polinomunu (x=1) noktasında bulun.
  2. (ln 1.5) değerini yaklaşık olarak hesaplamak için (p_6(x)) kullanın.
  3. (ln 2) değerini yaklaşık olarak hesaplamak için (p_6(x)) kullanın.

Çözüm

  1. (x=1)'de değerlendirilen (ln x) türevlerinin bir tablosunu oluşturarak başlıyoruz. Bu, önceki örnekte olduğu kadar basit olmasa da, Şekil (PageIndex{6}'de gösterildiği gibi bir model ortaya çıkıyor).
    Tanım 38'i kullanarak, [egin{align*}p_n(x) &= f(c) + f^prime(c)(xc) + dfrac{f^{primeprime}(c) elde ederiz }{2!}(xc)^2+dfrac{f^{primeprimeprime}(c)}{3!}(xc)^3+cdots+dfrac{f,^n(c )}{n!}(xc)^n&= 0+(x-1)-dfrac12(x-1)^2+dfrac13(x-1)^3-dfrac14(x-1) ^4+cdots+dfrac{(-1)^{n+1}}{n}(x-1)^n.end{align*}] ((x-1)'in katsayılarının nasıl olduğuna dikkat edin. )) terimleri "güzel" olur.
  2. Yukarıdaki çalışmamızı kullanarak (p_6(x)) değerini hesaplayabiliriz: [p_6(x) = (x-1)-dfrac12(x-1)^2+dfrac13(x-1)^3- dfrac14(x-1)^4+dfrac15(x-1)^5-dfrac16(x-1)^6.] (p_6(x)) yakınsa (ln x) olduğundan (x=1), biz yaklaşıktırız (ln 1.5 yaklaşık p_6(1.5)): [egin{align*}p_6(1.5) &= (1.5-1)-dfrac12(1.5-1) )^2+dfrac13(1.5-1)^3-dfrac14(1.5-1)^4+cdots &cdots +dfrac15(1.5-1)^5-dfrac16(1.5-1)^ 6&=dfrac{259}{640}&yaklaşık 0.404688.end{align*}] Bir hesap makinesinin (ln 1.5 yaklaşık 0.4055.) gösterdiği için bu iyi bir yaklaşıklıktır. (PageIndex{7}) (y=ln x) ile (y=p_6(x)) çizer. Bunu (ln 1.5yaklaşık p_6(1.5)) görebiliriz.
  1. (ln 2)'yi ( p_6(2)): [egin{align*}p_6(2) &= (2-1)-dfrac12(2-1)^2+ ile yaklaşık olarak elde ederiz. dfrac13(2-1)^3-dfrac14(2-1)^4+cdots &cdots +dfrac15(2-1)^5-dfrac16(2-1)^6&= 1-dfrac12+dfrac13-dfrac14+dfrac15-dfrac16 &= dfrac{37}{60} &yaklaşık 0.616667.end{align*}] Bu yaklaşıklık çok etkileyici değil: bir el tutulan hesap makinesi (ln 2 yaklaşık 0,693147.) gösterir Şekil 8.22'deki grafik (p_6(x))'nin (ln x) için daha az doğru yaklaşıklık sağladığını gösterir, çünkü (x) yaklaştıkça 0 veya 2.

    Şaşırtıcı bir şekilde, Şekil (PageIndex{8})'de gösterildiği gibi, 20(^ ext{th}) derece Taylor polinomu bile (x>2 için (ln x)'yi yaklaşık olarak veremez). ). Bunun neden olduğunu birazdan tartışacağız.

Taylor polinomları, temel olarak iki durumda (f(x)) fonksiyonlarını tahmin etmek için kullanılır:

  1. (f(x)) bilindiğinde, ancak belki de doğrudan hesaplanması "zor" olduğunda. Örneğin, (y=cos x)'i bir dik üçgenin kenarlarının oranı ("bitişik") olarak tanımlayabiliriz. hipotenüs üzerinde'') veya birim çember ile. Ancak, bunların hiçbiri (cos 2) için uygun bir hesaplama yöntemi sağlamaz. Yeterince yüksek derecede bir Taylor polinomu, yalnızca genellikle bir bilgisayara ((+), (-), ( imes) ve (div) bağlı işlemleri kullanarak bu tür değerleri hesaplamak için makul bir yöntem sağlayabilir. )).
  2. (f(x)) bilinmediğinde, ancak türevleri hakkında bilgi biliniyorsa. Bu, özellikle diferansiyel denklemlerin çalışmasında, düşünülenden daha sık meydana gelir.

Taylor polinomları olmasına rağmen abilir trigonometrik fonksiyonların değerlerini hesaplamak için hesap makinelerinde ve bilgisayarlarda kullanılabilir, pratikte genellikle değildirler. CORDIC algoritması gibi diğer daha verimli ve doğru yöntemler geliştirilmiştir.

Her iki durumda da, sahip olunması gereken kritik bir bilgi parçası, "Yaklaşımım ne kadar iyi?"dir. (cos 2'yi hesaplamak için bir Taylor polinomu kullanırsak), yaklaşımın ne kadar doğru olduğunu nasıl bilebiliriz?

Sayısal Entegrasyon çalışırken de aynı sorunu yaşadık. Teorem 43, diyelim ki belirli bir integrali yaklaşık olarak hesaplamak için Simpson Kuralını kullanırken hatanın sınırlarını sağladı. Bu sınırlar, örneğin, (10) alt aralıklarını kullanmanın, tam değerin (pm .01) içinde bir yaklaşıklık sağladığını belirlememize izin verdi. Aşağıdaki teorem, Taylor (ve dolayısıyla Maclaurin) polinomları için benzer sınırlar verir.

TEOREM 76: TAYLOR'UN TEOREMİSİ

  1. (f), (n+1^ ext{th}) türevi bir (I) aralığında bulunan bir fonksiyon olsun ve (c) (I) içinde olsun. O zaman, (I) içindeki her bir (x) için, (x) ile (c) arasında (z_x) vardır, öyle ki
    [f(x) = f(c) + f^prime(c)(xc) + dfrac{f^prime (c)}{2!}(xc)^2+ cdots +dfrac{ f,^{(n)}(c)}{n!}(xc)^n+R_n(x),]
    nerede ( R_n(x) = dfrac{f,^{(n+1)}(z_x)}{(n+1)!}(x-c)^{(n+1)}.)
  2. ( ig|R_n(x)ig| leq dfrac{maxleft|,f,^{(n+1)}(z) ight|}{(n+1)!} üyük|(xc)^{(n+1)}üyük|)

Taylor Teoreminin ilk kısmı (f(x) = p_n(x) + R_n(x)) olduğunu belirtir, burada (p_n(x)) (n^ ext{th}) sırasıdır Taylor polinomu ve (R_n(x)), Taylor yaklaşımında kalan veya hatadır. İkinci kısım, bu hatanın ne kadar büyük olabileceğinin sınırlarını verir. ((n+1)^ ext{th}) türevi büyükse, hata büyük olabilir; (x) (c)'den uzaksa, hata da büyük olabilir. Ancak paydadaki ((n+1)!) terimi, (n) arttıkça hatanın küçülmesini sağlama eğilimindedir.

Aşağıdaki örnek, Örnek 8.7.2'de yapılan (ln 1.5) ve (ln 2) yaklaşımları için hata tahminlerini hesaplar.

Örnek (PageIndex{3}): Bir Taylor polinomunun hata sınırlarını bulma

(ln 1.5) ve (ln 2)'yi (p_6(x) ile, (f(x)=ln) 6. derece Taylor polinomu ile yaklaştırırken hata sınırlarını bulmak için Teorem 76'yı kullanın. x) (x=1), Örnek 8.7.2'de hesaplandığı gibi.

Çözüm

  1. (ln 1.5) ile (p_6(1.5)) yaklaşımıyla başlıyoruz. Teorem, hem (x) hem de (c) içeren bir (I) açık aralığına başvurur. Kullandığımız aralık ne kadar küçükse o kadar iyidir; bize hatanın daha doğru (ve daha küçük!) bir yaklaşımını verecektir. Bu aralık hem (c=1) hem de (x=1,5) içerdiğinden (I = (0.9,1.6)) izin veriyoruz.

    Teorem (maxig|f,^{(n+1)}(z)ig|) referansını verir. Bizim durumumuzda bu, "(y=ln x)'nin (7^ ext{th}) türevi ((0.9,1.6)) aralığında ne kadar büyük olabilir?'' sorusudur. Yedinci türev (y = -6!/x^7) (I) üzerinde elde ettiği en büyük değer yaklaşık 1506'dır. Böylece hatayı şu şekilde bağlayabiliriz:[egin{align*} büyük|R_6(1.5)ig| &leq dfrac{maxig|f,^{(7)}(z)ig|}{7!}ig|(1.5-1)^7 ig|&leq dfrac{1506}{5040}cdotdfrac1{2^7}&yaklaşık 0,0023.end{align*}]

    (p_6(1.5) = 0.404688); hesapladık. bir hesap makinesi kullanarak (ln 1.5 yaklaşık 0.405465) buluruz, bu nedenle asıl hata yaklaşık (0.000778), bu da bizim sınırımızdan (0.0023) küçüktür. Bu Taylor Teoremini doğrular; teorem, yaklaşımımızın gerçek değerin yaklaşık binde 2'si içinde olacağını belirtirken, yaklaşıklık aslında daha yakındı.

  2. Yine, hem (c=1) hem de (x=2) içeren bir (I) aralığı buluyoruz; (I = (0.9,2.1)) seçiyoruz. Bu aralıktaki (f)'nin yedinci türevinin maksimum değeri yine yaklaşık 1506'dır (en büyük değerler (x=0.9)'a yaklaştığından). Böylece [egin{hiza*}ig| R_6(2)üyük| &leq dfrac{maxig|f,^{(7)}(z)ig|}{7!}ig|(2-1)^7ig|&leq dfrac{1506}{5040}cdot1^7&yaklaşık 0.30.end{align*}]

    Bu sınır eskisi kadar iyi değil. 6. derece Taylor polinomunu (x =1)'de kullanmak bizi doğru cevabın 0,3'üne getirecektir. (p_6(2)yaklaşık 0.61667 olarak), hata tahminimiz (ln 2)'nin gerçek değerinin (0.31667) ile (0.91667) arasında bir yerde olduğunu garanti eder. Bu sınırlar özellikle kullanışlı değildir.

    Gerçekte, yaklaşımımız sadece yaklaşık 0,07 ile kapalıydı. Ancak, gerçek cevabı bilmediğimiz için görünüşte yaklaşıyoruz. İyi bir yaklaşıma sahip olduğumuzdan emin olmak için, daha yüksek dereceli bir polinom kullanmaya başvurmamız gerekir.

Tekrar pratik yapıyoruz. Bu sefer, yaklaşıklığımızın belirli bir miktar içinde olduğunu garanti eden (n)'yi bulmak için Taylor teoremini kullanıyoruz.

Örnek (PageIndex{4}): Yeterince doğru Taylor polinomlarını bulma

(n)'yi, (x=0) noktasındaki (f(x)=cos x)'nin (n^ ext{th}) Taylor polinomu (cos 2'ye yaklaşacak şekilde bulun) ) gerçek cevabın (0.001) dahilinde. (p_n(2)) nedir?

Çözüm

Taylor teoremini izleyerek, (f(x)=cos x) türevlerinin boyutuna ilişkin sınırlara ihtiyacımız var. Bu trigonometrik fonksiyon durumunda, bu kolaydır. Kosinüsün tüm türevleri (pm sin x) veya (pm cos x). Her durumda, bu fonksiyonlar mutlak değerde asla 1'den büyük değildir. Hatanın (0,001) değerinden küçük olmasını istiyoruz. Uygun (n) bulmak için aşağıdaki eşitsizlikleri göz önünde bulundurun:

[aşlamak{hizalamak*}
dfrac{maxig|f,^{(n+1)}(z)ig|}{(n+1)!}ig|(2-0)^{(n+1)} üyük| &leq 0.001
dfrac1{(n+1)!}cdot2^{(n+1)} &leq 0.001
end{hiza*}]

Bu son eşitsizliği deneme yanılma yoluyla karşılayan bir (n) buluyoruz. (n=8) olduğunda, ( dfrac{2^{8+1}}{(8+1)!} yaklaşık 0,0014); (n=9) olduğunda, ( dfrac{2^{9+1}}{(9+1)!} yaklaşık 0,000282 <0,001). Bu yüzden (cos 2)'yi (p_9(2)). ile yaklaşık yapmak istiyoruz.

Şimdi (p_9(x)) hesaplamak için yola çıktık. Yine, (x=0)'da değerlendirilen (f(x)=cos x) türevlerinin bir tablosuna ihtiyacımız var. Bu değerlerin bir tablosu Şekil (PageIndex{8}) içinde verilmiştir.

(x=0'da değerlendirilen türevlerin nasıl belirli bir model izlediğine dikkat edin. Taylor polinomundaki (x)'in tüm tek kuvvetleri, katsayıları 0 olduğu için kaybolacaktır. Hata sınırlarımız (p_9(x)'e ihtiyacımız olduğunu belirtirken), çalışmamız bunun ile aynı olacağını gösteriyor. (p_8(x)).

Polinomumuzu (x=0'da oluşturduğumuz için) bir Maclaurin polinomu oluşturuyoruz ve:

[aşlamak{hizalamak*}
p_8(x) &= f(0) + f^prime(0)x + dfrac{f^{primeprime}(0)}{2!}x^2 + dfrac{f^{ primeprimeprime}(0)}{3!}x^3 + cdots +dfrac{f,^{(8)}}{8!}x^8
&= 1-dfrac{1}{2!}x^2+dfrac{1}{4!}x^4-dfrac{1}{6!}x^6+dfrac{1}{8 !}x^8
end{hiza*}]

Sonunda yaklaşık olarak (cos 2):

[cos 2 yaklaşık p_8(2) = -dfrac{131}{315} yaklaşık -0.41587. umara yok]

Hata sınırımız, bu yaklaşımın doğru yanıtın (0,001) dahilinde olduğunu garanti eder. Teknoloji bize yaklaşık olarak doğru cevabın yaklaşık (0.0003) içinde olduğunu gösteriyor.

Şekil (PageIndex{10}), (y=p_8(x)) ve (y=cos x) grafiğini gösterir. İki işlevin ((-pi,pi)) konusunda ne kadar iyi anlaştığını not edin.

Örnek (PageIndex{5}): Taylor polinomlarını bulma ve kullanma

  1. (f(x)=sqrt{x}) için (x=4.)'de 4. derece Taylor polinomunu, (p_4(x)) bulun.
  2. (sqrt{3}) için yaklaşık olarak (p_4(x)) kullanın.
  3. (sqrt{3})'ye (p_4(3)) ile yaklaşırken hatanın sınırlarını bulun.

Çözüm

  1. (f)'nin (x=4) noktasındaki türevlerini değerlendirerek başlıyoruz. Bu, Şekil (PageIndex{11}) içinde yapılır. Bu değerler, (p_4(x)) Taylor polinomunu oluşturmamıza izin verir: [p_4(x) = 2 + dfrac14(x-4) +dfrac{-1/32}{2!}(x- 4)^2+dfrac{3/256}{3!}(x-4)^3+dfrac{-15/2048}{4!}(x-4)^4.]
  2. (p_4(x) yaklaşık sqrt{x}) (x=4'e yakın olduğu için, (sqrt{3})'yi (p_4(3) = 1.73212) ile yaklaşık yaparız.
  3. Hatanın sınırını bulmak için, (x=3) ve (x=4) içeren bir açık aralığa ihtiyacımız var. (I = (2.9,4.1)) ayarlıyoruz. (f(x)=sqrt{x})'nin beşinci türevinin bu aralıkta aldığı en büyük değer (x=2.9'a yakındır), yaklaşık (0.0273'de). Böylece [ig|R_4(3)ig| leq dfrac{0.0273}{5!}ig|(3-4)^5ig| yaklaşık 0.00023.]
    Bu, yaklaşıklığımızın ondalık basamaktan sonraki en az ilk 2 basamak için doğru olduğunu gösterir. (Yaklaşımımızın aslında ondalık basamaktan sonra 4 haneye kadar doğru olduğu ortaya çıktı.) (f(x)=sqrt x) ve (p_4(x)) grafiği Şekil (PageIndex'te verilmiştir.) {12}). ((2,7)) üzerinde iki fonksiyonun nasıl neredeyse ayırt edilemez olduğuna dikkat edin.

Son örneğimiz, diferansiyel denklemleri çözmek için Taylor polinomlarının kullanımına kısa bir giriş sağlar.

Örnek (PageIndex{6}): Bilinmeyen bir işlevin yaklaştırılması

Aşağıdaki iki olgu dışında bir (y=f(x)) işlevi bilinmiyor.

  1. (y(0) = f(0) = 1) ve
  2. (y^asal= y^2)

(Bu ikinci gerçek, şaşırtıcı bir şekilde, fonksiyonun türevinin aslında fonksiyonun karesi olduğunu söylüyor!)

(y=f(x)) 3. derece Maclaurin polinomu (p_3(x))'i bulun.

Çözüm

Başlangıçta (p_3(x)) bulmak için yeterli bilginin verilmediği düşünülebilir. Ancak, yukarıdaki ikinci gerçeğin (y^prime(0))'nin ne olduğunu bize nasıl bildirdiğine dikkat edin:

[y^prime = y^2 Rightarrow y^prime(0) = y^2(0). umara yok]

(y(0) = 1) olduğundan, (y^prime(0) = 1) sonucuna varırız.

Şimdi (y^{primeprime}) hakkında bilgi buluyoruz. (y^prime=y^2 ile başlayarak), her iki tarafın türevlerini alın, göre (x). Bu, örtük farklılaşma kullanmamız gerektiği anlamına gelir.

[aşlamak{hizalamak*}
y^asal &= y^2
dfrac{d}{dx}left(y^primesağ) &= dfrac{d}{dx}left(y^2sağ)
y^{primeprime} &= 2ycdot y^prime.
ext{Şimdi her iki tarafı da (x=0) noktasında değerlendirin: }&
y^{primeprime}(0) &= 2y(0)cdot y^prime(0)
y^{primeprime}(0) &= 2
end{hiza*}]

(y^{primeprimeprime}(0)) bulmak için bunu bir kez daha tekrarlıyoruz. Yine örtük farklılaşmayı kullanıyoruz; bu sefer Ürün Kuralı da gereklidir.

[aşlamak{hizalamak*}
dfrac{d}{dx}left(y^{primeprime}sağ) &= dfrac{d}{dx} left(2yy^primesağ)
y^{primeprimeprime} &= 2y^primecdot y^prime + 2ycdot y^{primeprime}.
ext{Şimdi her iki tarafı da (x=0) noktasında değerlendirin: }&
y^{primeprimeprime}(0) &= 2y^prime(0)^2 + 2y(0)y^{primeprime}(0)
y^{primeprimeprime}(0) &= 2+4=6
end{hiza*}]

Özetle, elimizde:

[y(0) = 1 qquad y^prime(0) = 1 qquad y^{primeprime}(0) = 2 qquad y^{primeprimeprime}(0) = 6. umara]

Şimdi (p_3(x)) oluşturabiliriz:

[aşlamak{hizalamak*}
p_3(x) &= 1 + x + dfrac{2}{2!}x^2 + dfrac{6}{3!}x^3
&= 1+x+x^2+x^3.
end{hiza*}]

Başlangıç ​​(y^prime=y^2), burada (y(0)=1) ile başladığımız diferansiyel denklemin çok fazla zorluk çekmeden çözülebileceği ortaya çıktı: ( y = dfrac {1}{1-x}). Şekil 8.28, (p_3(x)) ile çizilen bu fonksiyonu göstermektedir. (x=0) yakınında ne kadar benzer olduklarına dikkat edin.

Diferansiyel denklemlerin çözümlerini yaklaşık olarak elde etmek için Taylor polinomlarını kullanırken hata analizi yapmak bu metnin kapsamı dışındadır. Bu konu genellikle Diferansiyel Denklemlere giriş derslerinde işlenir ve genellikle Sayısal Analiz derslerinde derinlemesine işlenir. Böyle bir analiz çok önemlidir; Yaklaşımlarının ne kadar iyi olduğunu bilmek gerekir. Bu örneği basitçe Taylor polinomlarının kullanışlılığını göstermek için inceledik.

Bu bölümün çoğu sonsuz serilerin incelenmesine ayrılmıştır. Bu bölüm, bunun yerine terimlerin sonlu toplamına odaklanarak bu çalışmadan bir adım geri çekilmiştir. Bir sonraki bölümde, keşfediyoruz Taylor Serisi, burada sonsuz bir seriye sahip bir fonksiyonu temsil ediyoruz.


Videoyu izle: 54 Maclaurin ve Taylor Serileri - ÖABT Matematik Dersi - Hakan Efe 2020 (Aralık 2021).