Nesne

7.5: Trigonometrik Denklemleri Çözme - Matematik


Öğrenme hedefleri

  • Sinüs ve kosinüs cinsinden lineer trigonometrik denklemleri çözün.
  • Tek bir trigonometrik fonksiyon içeren denklemleri çözün.
  • Bir hesap makinesi kullanarak trigonometrik denklemleri çözün.
  • İkinci dereceden formdaki trigonometrik denklemleri çözün.
  • Temel özdeşlikleri kullanarak trigonometrik denklemleri çözün.
  • Çok açılı trigonometrik denklemleri çözün.
  • Dik üçgen problemlerini çözün.

Miletli Thales (yaklaşık MÖ 625-547) geometrinin kurucusu olarak bilinir. Efsaneye göre Mısır'daki Büyük Giza Piramidi'nin yüksekliğini aşağıdaki teoriyi kullanarak hesaplamıştır. benzer üçgenler, asasının gölgesini ölçerek geliştirdiği. Oranlara dayanan bu teori, fraktal geometri, mühendislik ve mimari dahil olmak üzere bir dizi alanda uygulamalara sahiptir. Çoğu zaman, yükseklik açısı ve alçaltma açısı benzer üçgenler kullanılarak bulunur.

Bu bölümün önceki bölümlerinde trigonometrik özdeşlikleri inceledik. Bu bölümde, piramitlerin boyutlarını bulma gibi gerçek dünya senaryolarını incelemek için trigonometrik denklemler çalışmamıza başlıyoruz.

Sinüs ve Kosinüste Lineer Trigonometrik Denklemleri Çözme

Trigonometrik denklemler, adından da anlaşılacağı gibi, trigonometrik fonksiyonları içeren denklemlerdir. Polinom denklemlerini veya rasyonel denklemleri çözmeye birçok yönden benzer şekilde, eğer çözümler varsa, değişkenin yalnızca belirli değerleri çözüm olacaktır. Genellikle belirli bir aralıkta bir trigonometrik denklemi çözeceğiz. Ancak, aynı sıklıkla, olası tüm çözümleri bulmamız istenecektir ve trigonometrik fonksiyonlar periyodik olduğundan, çözümler her periyotta tekrarlanır. Başka bir deyişle, trigonometrik denklemlerin sonsuz sayıda çözümü olabilir. Ek olarak, rasyonel denklemler gibi, herhangi bir çözümün geçerli olduğunu varsaymadan önce fonksiyonun tanım kümesi dikkate alınmalıdır. dönem hem sinüs fonksiyonunun hem de kosinüs fonksiyonunun değeri (2pi)'dir. Diğer bir deyişle, her (2pi) birimi, y-değerler tekrar eder. Tüm olası çözümleri bulmamız gerekiyorsa, ilk çözüme (2pi k)'yi eklemeliyiz, burada (k) bir tam sayıdır. Noktanın (2pi) olduğu bir fonksiyon için tüm olası çözümleri belirtme biçimini veren kuralı hatırlayın:

[sin heta=sin( heta pm 2kpi)]

Diğer trigonometrik fonksiyonlar için tüm olası çözümleri belirtmek için benzer kurallar vardır. Trigonometrik denklemleri çözmek, cebirsel denklemleri çözmekle aynı teknikleri gerektirir. Denklemi bir cümle gibi yatay olarak soldan sağa okuyoruz. Çözümü daha basit bir süreç haline getirmek için bilinen kalıpları, çarpanları arar, ortak paydaları bulur ve belirli ifadeleri bir değişkenle değiştiririz. Ancak trigonometrik denklemlerle, önceki bölümlerde geliştirdiğimiz özdeşlikleri kullanma avantajına da sahibiz.

Örnek (PageIndex{1A}): Kosinüs Fonksiyonunu İçeren Lineer Trigonometrik Bir Denklemi Çözme

(cos heta=dfrac{1}{2}) denklemi için olası tüm tam çözümleri bulun.

Çözüm

Birim çemberden biliyoruz ki

[ egin{align*} cos heta &=dfrac{1}{2} [4pt] heta &=dfrac{pi}{3},space dfrac{5pi} {3} end{hiza*}]

Bunlar ([ 0,2pi ]) aralığındaki çözümlerdir. Tüm olası çözümler tarafından verilmiştir

[ heta=dfrac{pi}{3} pm 2kpi quad ext{and} quad heta=dfrac{5pi}{3} pm 2kpi onumber]

burada (k) bir tam sayıdır.

Örnek (PageIndex{1B}): Sinüs Fonksiyonunu İçeren Doğrusal Bir Denklemi Çözme

(sin t=dfrac{1}{2}) denklemi için olası tüm tam çözümleri bulun.

Çözüm

(t)'nin tüm olası değerlerini çözmek, çözümlerin (2pi) periyodunun ötesindeki açıları içerdiği anlamına gelir. Toplam ve Fark Kimlikleri bölümünden, çözümlerin (t=dfrac{pi}{6}) ve (t=dfrac{5pi}{6}) olduğunu görebiliriz. Ancak sorun, denklemi çözen tüm olası değerleri istemektir. Bu nedenle, cevap

[t=dfrac{pi}{6}pm 2pi k quad ext{and} quad t=dfrac{5pi}{6}pm 2pi k onumber]

burada (k) bir tam sayıdır.

Nasıl Yapılır: Bir trigonometrik denklem verildiğinde cebir kullanarak çözün

  1. Karelerin farkı veya faktoring fırsatı gibi cebirsel bir özellik öneren bir model arayın.
  2. Trigonometrik ifadeyi (x) veya (u) gibi tek bir değişkenle değiştirin.
  3. Denklemi, cebirsel bir denklemin çözüleceği şekilde çözün.
  4. Elde edilen ifadelerdeki değişken için trigonometrik ifadeyi tekrar yerine koyun.
  5. açı için çözün.

Örnek (PageIndex{2}): Doğrusal Trigonometrik Denklemi Çözün

Denklemi tam olarak çözün: (2 cos heta−3=−5), (0≤ heta<2pi).

Çözüm

Denklemi çözmek için cebirsel teknikleri kullanın.

[egin{align*} 2 cos heta-3&= -5 2 cos heta&= -2 cos heta&= -1 heta&= pi end{align*} ]

Alıştırma (PageIndex{2})

Aşağıdaki lineer denklemi ([0,2pi)): (2 sin x+1=0) aralığında tam olarak çözün.

Cevap

(x=dfrac{7pi}{6},space dfrac{11pi}{6})

Tek Trigonometrik Fonksiyon İçeren Denklemleri Çözme

Altı trigonometrik fonksiyondan sadece birini içeren denklemler verildiğinde, çözümleri cebirsel teknikleri ve birim çemberi kullanmayı içerir (bkz. [bağlantı]). Denklem sinüs ve kosinüs dışındaki trigonometrik fonksiyonları içerdiğinde birkaç değerlendirme yapmamız gerekir. Birincil trigonometrik fonksiyonların karşılıklarını içeren problemlere cebirsel bir perspektiften bakılması gerekir. Başka bir deyişle, karşılıklı fonksiyonu yazacağız ve fonksiyonu kullanarak açıları çözeceğiz. Ayrıca, tanjant fonksiyonunu içeren bir denklem, sinüs veya kosinüs fonksiyonu içeren bir denklemden biraz farklıdır. İlk olarak, bildiğimiz gibi, teğetin periyodu (pi), (2pi) değil. Ayrıca, teğetin etki alanı, (dfrac{pi}{2}) tek tamsayı katları dışında, tabii ki, bir sorun etki alanına kendi kısıtlamalarını koymadıkça, gerçek sayılardır.

Tek Trigonometrik Fonksiyon İçeren Bir Problemi Çözme

Problemi tam olarak çözün: (2 {sin}^2 heta−1=0), (0≤ heta<2pi).

Çözüm

Bu problem kolayca çarpanlarına ayrılmadığı için karekök özelliğini kullanarak çözeceğiz. İlk olarak, (sin heta) yı izole etmek için cebir kullanırız. Sonra açıları bulacağız.

[aşlamak{hizalamak*}
2 {sin}^2 heta-1&= 0
2 {sin}^2 heta&= 1
{sin}^2 heta&= dfrac{1}{2}
sqrt{ {sin}^2 heta }&= pm sqrt{ dfrac{1}{2} }
sin heta&= pm dfrac{1}{sqrt{2}}
&= pm dfrac{sqrt{2}}{2}
heta&= dfrac{pi}{4}, space dfrac{3pi}{4},space dfrac{5pi}{4}, space dfrac{7pi}{4 }
end{hiza*}]

Örnek (PageIndex{3B}): Kosekant İçeren Bir Trigonometrik Denklemi Çözme

Aşağıdaki denklemi tam olarak çözün: (csc heta=−2), (0≤ heta<4pi).

Çözüm

( heta)'nın, (csc heta=−2) aralığının (0≤ heta<4pi) üzerinde olduğu tüm ( heta) değerlerini istiyoruz.

[egin{align*} csc heta&= -2 dfrac{1}{sin heta}&= -2 sin heta&= -dfrac{1}{2} heta&= dfrac{7pi}{6},space dfrac{11pi}{6},space dfrac{19pi}{6}, space dfrac{23pi}{ 6} end{hiza*}]

analiz

(sin heta=−dfrac{1}{2}) olarak, dört çözümün de üçüncü ve dördüncü çeyreklerde olduğuna dikkat edin.

Örnek (PageIndex{3C}): Tanjant İçeren Bir Denklemi Çözme

Denklemi tam olarak çözün: ( anleft( heta−dfrac{pi}{2} ight)=1), (0≤ heta<2pi).

Çözüm

Tanjant fonksiyonunun periyodu (pi) olduğunu hatırlayın. ([ 0,pi )) aralığında ve (dfrac{pi}{4}) açısında, tanjant (1) değerine sahiptir. Ancak istediğimiz açı (left( heta−dfrac{pi}{2} ight)). Böylece, eğer ( anleft(dfrac{pi}{4} ight)=1), o zaman

[egin{align*} heta-dfrac{pi}{2}&= dfrac{pi}{4} heta&= dfrac{3pi}{4} pm k pi end{hiza*}]

([ 0,2pi ) aralığı üzerinde iki çözümümüz var:

( heta=dfrac{3pi}{4}) ve ( heta=dfrac{3pi}{4}+pi=dfrac{7pi}{4})

Alıştırma (PageIndex{3})

( an x=sqrt{3}) için tüm çözümleri bulun.

Cevap

(dfrac{pi}{3}pm pi k)

Örnek (PageIndex{4}): Tanjant İçeren Denklemin Tüm Çözümlerini Tanımlayın

(2( an x+3)=5+ an x), (0≤x<2pi) denkleminin tüm tam çözümlerini tanımlayın.

Çözüm

Bu denklemi sadece cebir kullanarak çözebiliriz. Eşittir işaretinin sol tarafında ( an x) ifadesini ayırın.

Birim çember üzerinde tanjant değeri (−1) olan iki açı vardır: ( heta=dfrac{3pi}{4}) ve ( heta=dfrac{7pi }{4}).

Bir Hesap Makinesi Kullanarak Trigonometrik Denklemleri Çözün

Tüm fonksiyonlar sadece birim çember kullanılarak tam olarak çözülemez. Özel açılardan biri dışında bir açıyı içeren bir denklemi çözmemiz gerektiğinde, bir hesap makinesi kullanmamız gerekecek. Verilen sorunun kriterlerine bağlı olarak derece veya radyan olarak uygun moda ayarlandığından emin olun.

Örnek (PageIndex{5A}): Sinüs İçeren Bir Trigonometrik Denklemi Çözmek için Hesap Makinesi Kullanma

( heta)'nın radyan cinsinden olduğu (sin heta=0.8) denklemini çözmek için bir hesap makinesi kullanın.

Çözüm

Modun radyan olarak ayarlandığından emin olun. ( heta) bulmak için ters sinüs fonksiyonunu kullanın. Çoğu hesap makinesinde 2'ye basmanız gerekir.ND düğmesine ve ardından ({sin}^{−1}) işlevini getirmek için SIN düğmesine basın. Ekranda gösterilen ({sin}^{−1}) şeklindedir. Hesap makinesi parantez içindeki giriş için hazırdır. Bu problem için ({sin}^{−1}(0.8)) girip ENTER'a basıyoruz. Böylece, dört ondalık basamağa,

({sin}^{−1}(0.8)≈0.9273)

Çözüm şudur

( heta≈0.9273pm 2pi k)

Derece cinsinden açı ölçümü

[egin{align*} heta&yaklaşık 53.1^{circ} heta&yaklaşık 180^{circ}-53.1^{circ} &yaklaşık 126.9^{circ} end {hizala*}]

analiz

Bir hesap makinesinin sinüs işlevi için yalnızca kadran I veya IV'te bir açı döndüreceğini unutmayın, çünkü bu, ters sinüsün aralığıdır. Diğer açı (pi− heta) kullanılarak elde edilir.

Örnek (PageIndex{5B}): Sekant İçeren Trigonometrik Bir Denklemi Çözmek için Hesap Makinesi Kullanma

Cevabınızı radyan cinsinden vererek ( sec θ=−4, ) denklemini çözmek için bir hesap makinesi kullanın.

Çözüm

Biraz cebirle başlayabiliriz.

[egin{align*} sec heta&= -4 dfrac{1}{cos heta}&= -4 cos heta&= -dfrac{1}{4} end {hizala*}]

MOD'un radyan cinsinden olduğunu kontrol edin. Şimdi ters kosinüs fonksiyonunu kullanın

[egin{align*}{cos}^{-1}left(-dfrac{1}{4} ight)&yaklaşık 1.8235 heta&yaklaşık 1.8235+2pi k end {hizala*}]

(dfrac{pi}{2}≈1.57) ve (pi≈3.14),(1.8235) bu iki sayı arasında olduğundan, dolayısıyla ( heta≈1.8235) ikinci çeyrektedir . Kosinüs de III. kadranda negatiftir. Bir hesap makinesinin, kosinüs işlevi için yalnızca kadran I veya II'de bir açı döndüreceğini unutmayın, çünkü bu, ters kosinüs aralığıdır. Bkz. Şekil (PageIndex{2}).

Bu nedenle, III. kadrandaki açının ölçüsünü de bulmamız gerekiyor. III. çeyrekte, referans açısı ( heta '≈pi−1.8235≈1.3181)'dir. Üçüncü çeyrekteki diğer çözüm ( heta '≈pi+1.3181≈4.4597)'dir.

Çözümler ( heta≈1.8235pm 2pi k) ve ( heta≈4.4597pm 2pi k).

Alıştırma (PageIndex{5})

(cos heta=−0.2)'yi çözün.

Cevap

( heta≈1.7722pm 2pi k) ve ( heta≈4.5110pm 2pi k)

Trigonometrik Denklemleri Kuadratik Formda Çözme

çözme ikinci dereceden denklem daha karmaşık olabilir, ancak bir kez daha cebiri herhangi bir ikinci dereceden denklemde olduğu gibi kullanabiliriz. Denklemin modeline bakın. Denklemde birden fazla trigonometrik fonksiyon mu var yoksa sadece bir tane mi var? Hangi trigonometrik fonksiyonun karesi alınır? Temsil edilen yalnızca bir fonksiyon varsa ve terimlerden birinin karesi alınmışsa, ikinci dereceden bir standart formu düşünün. Trigonometrik işlevi (x) veya (u) gibi bir değişkenle değiştirin. İkame, denklemi ikinci dereceden bir denklem gibi gösteriyorsa, trigonometrik denklemleri çözmek için ikinci dereceden denklemleri çözmek için aynı yöntemleri kullanabiliriz.

Örnek (PageIndex{6A}): Bir Trigonometrik Denklemi Kuadratik Formda Çözme

Denklemi tam olarak çözün: ({cos}^2 heta+3 cos heta−1=0), (0≤ heta<2pi).

Çözüm

İkame kullanarak ve (cos heta) yerine (x) koyarak başlıyoruz. İkame kullanmak gerekli değildir ancak görsel olarak problemin çözülmesini kolaylaştırabilir. (cos heta=x) olsun. Sahibiz

(x^2+3x−1=0)

Denklem çarpanlara ayrılamaz, bu yüzden kullanacağız ikinci dereceden formül: (x=dfrac{−bpm sqrt{b^2−4ac}}{2a}).

[egin{align*} x&= dfrac{ -3pm sqrt{ {(-3)}^2-4 (1) (-1) } }{2} &= dfrac{- 3pm sqrt{13}}{2}end{align*}]

(x)'i (cos heta ) ile değiştirin ve çözün.

[egin{align*} cos heta&= dfrac{-3pm sqrt{13}}{2} heta&= {cos}^{-1}left(dfrac{- 3+sqrt{13}}{2}sağ) end{align*}]

Yalnızca + işaretinin kullanıldığını unutmayın. Bunun nedeni, bir hesap makinesinde ( heta={cos}^{−1}left(dfrac{−3−sqrt{13}}{2} ight)) çözdüğümüzde bir hata almamızdır. , çünkü ters kosinüs fonksiyonunun etki alanı ([ -1,1 ]). Ancak ikinci bir çözüm var:

[egin{align*} heta&= {cos}^{-1}left(dfrac{-3+sqrt{13}}{2} ight) &yaklaşık 1,26 end{ hizala*}]

Açının bu terminal tarafı, I. kadranda yer alır. Kosinüs IV. kadranda da pozitif olduğundan, ikinci çözüm şudur:

[egin{align*} heta&= 2pi-{cos}^{-1}left(dfrac{-3+sqrt{13}}{2} ight) &yaklaşık 5.02 end{hiza*}]

Örnek (PageIndex{6B}): Bir Trigonometrik Denklemi Kuadratik Formda Çarpanlara Ayırarak Çözme

Denklemi tam olarak çözün: (2 {sin}^2 heta−5 sin heta+3=0), (0≤ heta≤2pi).

Çözüm

Gruplama kullanılarak, bu ikinci dereceden faktör çarpanlarına ayrılabilir. Ya gerçek ikameyi yapın, (sin heta=u) ya da çarpanlara ayırdığımızda onu hayal edin:

[egin{align*} 2 {sin}^2 heta-5 sin heta+3&= 0 (2 sin heta-3)(sin heta-1)&= 0 qquad ext {Şimdi her faktörü sıfıra eşitleyin.} 2 sin heta-3&= 0 2 sin heta&= 3 sin heta&= dfrac{3}{2} sin heta-1&= 0 sin heta&= 1 end{align*}]

( heta): (sin heta≠dfrac{3}{2}) için sonraki çözümü, çünkü sinüs fonksiyonunun aralığı ([ −1,1 ]). Ancak, (sin heta=1), ( heta=dfrac{pi}{2}) çözümünü verir.

analiz

Bazı faktörlerin çözümü olmadığından, verilen etki alanındaki tüm çözümleri kontrol ettiğinizden emin olun.

Alıştırma (PageIndex{6})

({sin}^2 heta=2 cos heta+2), (0≤ heta≤2pi)'yi çözün. [İpucu: Denklemi yalnızca kosinüs cinsinden ifade etmek için bir ikame yapın.]

Cevap

(cos heta=−1), ( heta=pi)

Örnek (PageIndex{7A}): Cebir Kullanarak Trigonometrik Denklemi Çözme

Tam olarak çözün: (2 {sin}^2 heta+sin heta=0;space 0≤ heta<2pi)

Çözüm

İkinci dereceden bir probleme benzediği için bu problem tanıdık gelmelidir. (sin heta=x) olsun. Denklem (2x^2+x=0) olur. Faktoring yaparak başlıyoruz:

[aşlamak{hizalamak*}
2x^2+x&= 0
x(2x+1)&= 0qquad ext {Her faktörü sıfıra eşitleyin.}
x&= 0
2x+1&= 0
x&= -dfrac{1}{2} end{align*}]
Ardından, orijinal ifadeyi (sin heta ) denklemine (x) yerine geri koyun. Böylece,
[egin{align*} sin heta&= 0
heta&= 0,pi
sin heta&= -dfrac{1}{2}
heta&= dfrac{7pi}{6},dfrac{11pi}{6}
end{hiza*}]

(0≤ heta<2pi) etki alanı içindeki çözümler ( heta=0,pi,dfrac{7pi}{6},dfrac{11pi}{6} şeklindedir. ).

Yerine koymamayı tercih edersek, aynı çarpanlara ayırma modelini izleyerek ve her faktörü sıfıra eşitleyerek denklemi çözebiliriz.

[egin{align*} {sin}^2 heta+sin heta&= 0 sin heta(2sin heta+1)&= 0 sin heta&= 0 heta&= 0,pi 2 sin heta+1&= 0 2sin heta&= -1 sin heta&= -dfrac{1}{2} heta&= dfrac{7pi}{6},dfrac{11pi}{6} end{align*}]

analiz

Çözümleri Şekil (PageIndex{3})'deki grafikte görebiliriz. (0≤ heta<2pi) aralığında, grafik (x)-ekseni dört kez, belirtilen çözümlerde. İkinci dereceden formda olan trigonometrik denklemlerin, ikinci dereceden denklemlerde bulunan beklenen iki çözüm yerine en fazla dört çözüm üretebileceğine dikkat edin. Bu örnekte, pozitif sinüs değerine karşılık gelen her bir çözüm (açı), bu değerle sonuçlanacak iki açı verecektir.

Toplam ve Fark Kimlikleri bölümündeki sonuç üzerinden birim çember üzerindeki çözümleri de doğrulayabiliriz.

Örnek (PageIndex{7B}): Bir Trigonometrik Denklemi İkinci Dereceden Formda Çözme

İkinci dereceden denklemi tam olarak çözün: (2 {sin}^2 heta−3 sin heta+1=0), (0≤ heta<2pi).

Çözüm

Gruplamayı kullanarak çarpanlara ayırabiliriz. ( heta)'nın çözüm değerleri birim çemberde bulunabilir.

[egin{align*} (2 sin heta-1)(sin heta-1)&= 0 2 sin heta-1&= 0 sin heta&= dfrac{1 }{2} heta&= dfrac{pi}{6}, dfrac{5pi}{6} sin heta&= 1 heta&= dfrac{pi}{2 } end{hiza*}]

Alıştırma (PageIndex{7})

İkinci dereceden denklemi (2{cos}^2 heta+cos heta=0) çözün.

Cevap

(dfrac{pi}{2}, space dfrac{2pi}{3}, space dfrac{4pi}{3}, space dfrac{3pi}{2} )

Temel Kimlikleri Kullanarak Trigonometrik Denklemleri Çözme

Cebir bir dizi trigonometrik denklemi çözmek için kullanılabilirken, temel özdeşlikleri de kullanabiliriz çünkü bunlar denklem çözmeyi kolaylaştırır. Çözmek için kullandığımız tekniklerin kimlikleri doğrulamak için kullanılanlarla aynı olmadığını unutmayın. Cebirin temel kuralları, kimliğin bir tarafını diğer tarafla eşleşecek şekilde yeniden yazmak yerine burada geçerlidir. Sonraki örnekte, denklemi basitleştirmek için iki kimlik kullanıyoruz.

Örnek (PageIndex{8A}): Bir Denklemi Çözmek için Kimlikleri Kullanın

(0≤x<2pi) aralığında tam olarak trigonometrik denklemi çözmek için özdeşlikleri kullanın.

(cos x cos(2x)+sin x sin(2x)=dfrac{sqrt{3}}{2})

Çözüm

Denklemin sol tarafının kosinüs için fark formülü olduğuna dikkat edin.

[egin{align*} cos x cos(2x)+sin x sin(2x)&= dfrac{sqrt{3}}{2} cos(x-2x)&= dfrac{sqrt{3}}{2}qquad ext{Kosinüs için fark formülü} cos(-x)&= dfrac{sqrt{3}}{2}qquad ext{Kullan negatif açı özdeşliği.} cos x&= dfrac{sqrt{3}}{2} end{align*}]

Toplam ve Fark Kimlikleri bölümündeki birim çemberden, (x=dfrac{pi}{6} olduğunda (cos x=dfrac{sqrt{3}}{2}) olduğunu görüyoruz. ,space dfrac{11pi}{6}).

Örnek (PageIndex{8B}): Çift Açılı Formül Kullanarak Denklemi Çözme

Denklemi tam olarak çift açılı bir formül kullanarak çözün: (cos(2 heta)=cos heta).

Çözüm

Kosinüsün çift açısının yerini alacak üç ifade seçeneğimiz var. Bir seferde bir trigonometrik fonksiyonu çözmek daha kolay olduğu için, sadece kosinüs içeren çift açılı özdeşliği seçeceğiz:

[egin{align*} cos(2 heta)&= cos heta 2{cos}^2 heta-1&= cos heta 2 {cos}^2 eta -cos heta-1&= 0 (2 cos heta+1)(cos heta-1)&= 0 2 cos heta+1&= 0 cos heta&= - dfrac{1}{2} cos heta-1&= 0 cos heta&= 1 end{align*}]

Öyleyse, eğer (cos heta=−dfrac{1}{2}), o zaman ( heta=dfrac{2pi}{3}pm 2pi k) ve ( theta=dfrac{4pi}{3}pm 2pi k); eğer (cos heta=1), o zaman ( heta=0pm 2pi k).

Örnek (PageIndex{8C}): Bir Kimlik Kullanarak Denklemi Çözme

Denklemi tam olarak bir özdeşlik kullanarak çözün: (3 cos heta+3=2 {sin}^2 heta), (0≤ heta<2pi).

Çözüm

Sağ tarafı yeniden yazarsak, denklemi kosinüs cinsinden yazabiliriz:

[aşlamak{hizalamak*}
3 cos heta+3&= 2 {sin}^2 heta
3 cos heta+3&= 2(1-{cos}^2 heta)
3 cos heta+3&= 2-2{cos}^2 heta
2 {cos}^2 heta+3 cos heta+1&= 0
(2 cos heta+1)(cos heta+1)&= 0
2 cos heta+1&= 0
cos heta&= -dfrac{1}{2}
heta&= dfrac{2pi}{3},space dfrac{4pi}{3}
cos heta+1&= 0
cos heta&= -1
heta&= pi
end{hiza*}]

Çözümlerimiz ( heta=dfrac{2pi}{3},space dfrac{4pi}{3},space pi).

Trigonometrik Denklemleri Çoklu Açılarla Çözme

Bazen, (sin(2x)) veya (cos(3x)) gibi çoklu açılara sahip özdeşliklere sahip bir trigonometrik denklemi çözmek mümkün değildir. Bu denklemlerle karşılaştığınızda, (y=sin(2x))'nin (y=sin x) fonksiyonunun 2 katı kadar yatay bir sıkıştırma olduğunu hatırlayın. (2pi) aralığında, bir (y=sin x) döngüsünün aksine iki (y=sin(2x)) periyodunun grafiğini çizebiliriz. Grafiğin bu sıkıştırılması, iki kat daha fazla olabileceğine inanmamıza neden oluyor. x-(sin(2x)=0) ile (sin x=0) karşılaştırıldığında kesişir veya çözümler. Bu bilgi denklemi çözmemize yardımcı olacaktır.

Örnek (PageIndex{9}): Bir Çok Açılı Trigonometrik Denklemi Çözme

Tam olarak çözün: (cos(2x)=dfrac{1}{2}) üzerinde ([ 0,2pi )).

Çözüm

Bu denklemin bir açının katı olan standart denklem olduğunu görebiliriz. (cos(alpha)=dfrac{1}{2}), (alpha)'nın I ve IV kadranlarında olduğunu biliyoruz. ( heta={cos}^{−1} dfrac{1}{2}) yalnızca çeyrek I ve II'de çözümler verecek olsa da, (cos heta= denkleminin çözümlerinin olduğunu biliyoruz. dfrac{1}{2}) I ve IV kadranlarında olacaktır.

Bu nedenle, olası açılar ( heta=dfrac{pi}{3}) ve ( heta=dfrac{5pi}{3}). Yani, (2x=dfrac{pi}{3}) veya (2x=dfrac{5pi}{3}), bu da (x=dfrac{pi}{6 anlamına gelir) }) veya (x=dfrac{5pi}{6}). Bu mantıklı mı? Evet, çünkü (cosleft(2left(dfrac{pi}{6} ight) ight)=cosleft(dfrac{pi}{3} ight)=dfrac {1}{2}).

Başka olası cevaplar var mı? İlk adımımıza dönelim.

I. çeyrekte, (2x=dfrac{pi}{3}), yani (x=dfrac{pi}{6}) belirtildiği gibi. Tekrar çemberin etrafında dönelim:

[aşlamak{hizalamak*}
2x&= dfrac{pi}{3}+2pi
&= dfrac{pi}{3}+dfrac{6pi}{3}
&= dfrac{7pi}{3}
x&= dfrac{7pi}{6}
ext {Bir rotasyon verimi daha}
2x&= dfrac{pi}{3}+4pi
&= dfrac{pi}{3}+dfrac{12pi}{3}
&= dfrac{13pi}{3}
end{hiza*}]

(x=dfrac{13pi}{6}>2pi), bu nedenle (x) için bu değer (2pi'den büyük), dolayısıyla bu ( üzerinde bir çözüm değil [ 0,2pi )).

Dördüncü çeyrekte, (2x=dfrac{5pi}{3}), yani (x=dfrac{5pi}{6}) belirtildiği gibi. Tekrar çemberin etrafında dönelim:

[egin{align*} 2x&= dfrac{5pi}{3}+2pi &= dfrac{5pi}{3}+dfrac{6pi}{3} &= dfrac{11pi}{3} end{align*}]

yani (x=dfrac{11pi}{6}).

Bir rotasyon verimi daha

[egin{align*} 2x&= dfrac{5pi}{3}+4pi &= dfrac{5pi}{3}+dfrac{12pi}{3} &= dfrac{17pi}{3} end{align*}]

(x=dfrac{17pi}{6}>2pi), yani (x) için bu değer (2pi'den büyük), dolayısıyla bu ( üzerinde bir çözüm değil [ 0,2pi )).

Çözümlerimiz (x=dfrac{pi}{6}, space dfrac{5pi}{6}, space dfrac{7pi}{6}) ve (dfrac'tır {11pi}{6}). (sin(nx)=c biçimindeki bir problemi çözdüğümüz zaman, birim çemberi (n) kez dolaşmamız gerektiğine dikkat edin.

Sağ Üçgen Problemlerini Çözme

Artık, dik üçgenlerin özelliklerini ve Pisagor Teoremi'ni uygulamayı içeren problemleri çözmek için öğrendiğimiz tüm yöntemleri kullanabiliriz. Tanıdık Pisagor Teoremi ile başlıyoruz,

[a^2+b^2=c^2 label{Pisagor}]

ve bir duruma uyacak bir denklem modelleyin.

Örnek (PageIndex{10A}): Bir Denklemi Modellemek için Pisagor Teoremini Kullanma

London Eye Dönme dolabın merkezini yere sabitleyen kablolardan biri değiştirilmelidir. Dönme dolabın merkezi yerden (69,5) metre yüksekliktedir ve yerdeki ikinci çapa Dönme dolabın tabanından (23) metredir. Kablo yaklaşık olarak ne kadardır ve yükseklik açısı nedir (yerden dönme dolabın merkezine kadar)? Bkz. Şekil (PageIndex{4}).

Çözüm

Probleme uyan bir denklemi modellemek için Pisagor Teoremini (Denklem ef{Pisagor}) ve dik üçgenlerin özelliklerini kullanın. Verilen bilgileri kullanarak bir dik üçgen çizebiliriz. Kablonun uzunluğunu Pisagor Teoremi ile bulabiliriz.

[egin{align*} a^2+b^2&= c^2 {(23)}^2+{(69.5)}^2&yaklaşık 5359 sqrt{5359}&yaklaşık 73.2 space m end{hiza*}]

Yükseliş açısı ( heta),yerdeki ikinci ankrajın ve tekerleğin merkezine ulaşan kablonun oluşturduğu bir açıdır. Ölçüsünü bulmak için tanjant fonksiyonunu kullanabiliriz. İki ondalık basamağa yuvarlayın.

[egin{align*} an heta&= 69.523 { an}^{-1}(69.523)&yaklaşık 1.2522 &yaklaşık 71.69^{circ} end{align*} ]

Yükseliş açısı yaklaşık olarak (71.7°) ve kablonun uzunluğu (73,2) metredir.

Örnek (PageIndex{10B}): Soyut Bir Problemi Modellemek için Pisagor Teoremini Kullanma

OSHA güvenlik yönetmelikleri, bir merdivenin tabanının, merdiven uzunluğunun her bir (4) fit'i için duvardan (1) fit uzağa yerleştirilmesini gerektirir. Herhangi bir uzunluktaki bir merdivenin zeminle oluşturduğu açıyı ve merdivenin duvara değdiği yüksekliği bulunuz.

Çözüm

Herhangi bir merdiven uzunluğu için, tabanın duvardan merdiven uzunluğunun dörtte birine eşit bir mesafede olması gerekir. Eşdeğer olarak, eğer merdivenin tabanı ise “bir” duvardan fit, merdivenin uzunluğu (4a) fit olacaktır. Bkz. Şekil (PageIndex{5}).

( heta)'ya bitişik kenar (a) ve hipotenüs (4a)'dir. Böylece,

[egin{align*} cos heta&= dfrac{a}{4a} &= dfrac{1}{4} {cos}^{-1}left (dfrac{ 1}{4}sağ )&yaklaşık 75,5^{circ} end{align*}]

Merdivenin yüksekliği zeminle (75,5°)'lik bir açı oluşturur. Merdivenin duvara değdiği yükseklik Pisagor Teoremi kullanılarak bulunabilir:

[egin{align*} a^2+b^2&= {(4a)}^2 b^2&= {(4a)}^2-a^2 b^2&= 16a^2- a^2 b^2&= 15a^2 b&= asqrt{15} end{align*}]

Böylece merdiven yerden (asqrt{15}) feet yükseklikte duvara dokunur.

medya

Trigonometrik denklemleri çözerek ek talimat ve alıştırma için bu çevrimiçi kaynaklara erişin.

  • Trigonometrik Denklemleri Çözme I
  • Trigonometrik Denklemleri Çözme II
  • Trigonometrik Denklemleri Çözme III
  • Trigonometrik Denklemleri Çözme IV
  • Trigonometrik Denklemleri Çözme V
  • Trigonometrik Denklemleri Çözme VI

Anahtar kavramlar

  • Lineer trigonometrik denklemleri çözerken, cebirsel denklemleri çözdüğümüz gibi cebirsel teknikleri kullanabiliriz. Karelerin farkı, ikinci dereceden biçim veya kendini ikame etmeye uygun bir ifade gibi kalıpları arayın. Örnek (PageIndex{1}), Örnek (PageIndex{2}) ve Örnek (PageIndex{3}).
  • Tek bir trigonometrik fonksiyon içeren denklemler, birim çember kullanılarak çözülebilir veya doğrulanabilir. Örnek (PageIndex{4}), Örnek (PageIndex{5}) ve Örnek (PageIndex{6}) ve Örnek (PageIndex{7}).
  • Ayrıca bir grafik hesap makinesi kullanarak trigonometrik denklemleri çözebiliriz. Örnek (PageIndex{8}) ve Örnek (PageIndex{9}).
  • Birçok denklem formda ikinci dereceden görünür. Denklemin daha basit görünmesini sağlamak için ikameyi kullanabilir ve sonra cebirsel bir ikinci dereceden çözümü çözmek için kullandığımız teknikleri kullanabiliriz: çarpanlara ayırma, ikinci dereceden formül, vb. Bkz. Örnek (PageIndex{10}), Örnek (PageIndex{ 11}), Örnek (PageIndex{12}) ve Örnek (PageIndex{13}).
  • Özdeşlikleri trigonometrik denklemi çözmek için de kullanabiliriz. Örnek (PageIndex{14}), Örnek (PageIndex{15}) ve Örnek (PageIndex{16}).
  • Standart bir trigonometrik fonksiyonun sıkıştırılması olan çok açılı trigonometrik denklemi çözmek için ikame kullanabiliriz. Sıkıştırmayı hesaba katmamız ve verilen aralıkta tüm çözümleri bulduğumuzu doğrulamamız gerekecek. Bkz. Örnek (PageIndex{17}).
  • Gerçek dünya senaryoları, Pisagor Teoremi ve trigonometrik fonksiyonlar kullanılarak modellenebilir ve çözülebilir. Bkz. Örnek (PageIndex{18}).

Çözüm

sin(x) = 1 / 2 denkleminin grafik çözümleri, önce sağ tarafı sıfır sin(x) - 1 / 2 = 0 olan denklem yazılarak elde edilir. Daha sonra denklemin sol tarafını ve çözümlerinin grafiğini çizerek elde edilir. denklem, aşağıda gösterildiği gibi f(x) = sin(x) - 1 / 2 grafiğinin x - kesme noktalarıdır. Aşağıdaki grafikteki iki x kesme noktasının yukarıda bulunan analitik çözümlere yakın olduğunu kontrol etmek kolaydır:π / 6 ve 5π/6.


Denklem nedir?

Denklem, iki şeyin eşit olduğunu söylemenin bir yoludur, kelimenin tam anlamıyla bir matematiksel eşitlik ifadesi, bu nedenle "alıntı" adını almıştır. Sadece bu basit gerçeği hatırlamak, daha sonra denklemler üzerinde gerçekleştirilen bazı işlemleri anlamanıza yardımcı olabilir.

Misal: (2x=8) (x değişkeninin iki katı eşittir 8 numara)

Hatırlanması gereken bir şey denklemler hakkında, her iki tarafa da aynı işlemi yaptığınız sürece, eşittir işaretinin her iki tarafında işlem yapabilmenizdir. Denklemin, her iki tarafta aynı ağırlıkta dengelenmiş bir teraziyi temsil ettiğini hayal edin. Her iki tarafa da aynısını yaptığınız sürece, her iki tarafa da ağırlık ekleyebilir veya kaldırabilirsiniz. Ayrıca her iki tarafı da aynı faktörle çarpabilir veya bölebilirsiniz. Her iki taraftaki iki ifadenin dengesini değiştirmediğiniz sürece hala geçerli bir denkleminiz var.

Misal: (4x=8) denklemini alın. Bu yeni denklemi elde etmek için her iki tarafı 4'e bölebilirsiniz:

(x) denklemini her iki tarafı da aynı miktara bölerek çözdünüz ve geride çok basit ve geçerli bir denklem bıraktınız.


7.5: Trigonometrik Denklemleri Çözme - Matematik

Açıları bulma

Açıları bulmak için bilinenleri kullanabiliriz. ters trigonometrik fonksiyonlar. Hesap makinenizde ters tetik fonksiyonları (SI>), (CO>) veya (TA>). Bu fonksiyonların çıktısı her zaman açılar olarak anlaşılmalıdır. Açıları bulmak için aşağıdaki prosedürü kullanın:

  1. Verilen açının sinüsünü, kosinüsünü veya tanjantını hesaplayın (hangisi sizin için en uygunsa).
  2. Değerlendir ters tetik fonksiyonu bu numara için.

Sinüs, kosinüs ve tanjant fonksiyonlarının neler olduğu hakkında daha fazla bilgiyi üçgenlerin eksik kenarlarını bulma makalesinde bulabilirsiniz.

Misal: Belirtilen açının ölçüsünü en yakın dereceye kadar bulun.

Çözüm: Açının kosinüsünü hesaplayalım. Sahibiz

(large cos left( ? ight) = frac<<48>><<52>> yaklaşık 0,923)

Şimdi kullanıyoruz ters kosinüs düğmesi hesaplamak için hesap makinesinde

Bu sonucu (23^circ ) olarak yuvarlarız. Şimdi bir örnek daha deneyelim:

Misal: Belirtilen açının ölçüsünü en yakın dereceye kadar bulun.

Çözüm: Bu sefer, sadece farklı olmak için, hadi hesaplayalım sinüs verilen açı. Sahibiz

(large sin left( ? ight) = frac<<54>><<90>> = 0,6)

Sinüs kullandığımız için, 0.6'nın ters sinüsünü hesaplayacağız. Sahibiz

Bu sonucu (37^circ ) olarak yuvarlarız.

Aşağıda yapabilirsiniz indir biraz Bedava matematik çalışma sayfaları ve uygulama.


İçindekiler

Bu bölümde, aynı büyük harf bir üçgenin tepe noktasını, aynı küçük harf ise üçgenin bir kenarını ve uzunluğunu belirtir.

Bir dik üçgenin dar açısı A = θ verildiğinde, hipotenüs c, iki dar açıyı birleştiren kenardır. yan b bitişik to θ, θ'yi dik açıya bağlayan üçgenin kenarıdır. Üçüncü tarafın a olduğu söylenir karşısında θ için.

θ açısı verilirse, dik açılı üçgenin tüm kenarları bir ölçekleme faktörüne kadar iyi tanımlanmıştır. Bu, herhangi iki kenar uzunluğunun oranının yalnızca θ'ye bağlı olduğu anlamına gelir. Böylece bu altı oran, trigonometrik fonksiyonlar olan altı θ fonksiyonunu tanımlar. Daha doğrusu altı trigonometrik fonksiyon şunlardır: [4] [5]

sinüs günah ⁡ θ = bir c = o p p o s ben t e h y p o t e n u s e >= > < matematik >>> kosekant csc ⁡ θ = c a = h y p o e n u s e o p p o s ben t e >= > < matematik >>>
kosinüs cos ⁡ θ = b c = a d j a c e n t h y p o t e n u s e >= > < matematik >>> secant sec ⁡ θ = c b = h y p o t e n u s e bir d j a c e n t >= > < matematik >>>
tanjant tan ⁡ θ = bir b = o p p o s ben t e bir d j a c e n t >= > < matematik >>> kotanjant karyolası ⁡ θ = b a = a d j a c e n t o p p o s ben t e >= > < matematik >>>

Geometrik uygulamalarda, bir trigonometrik fonksiyonun argümanı genellikle bir açının ölçüsüdür. Bu amaç için, herhangi bir açı birimi uygundur ve açılar en yaygın olarak, dik açının 90° ve tam dönüşün 360° olduğu (özellikle temel matematikte) geleneksel derece birimleriyle ölçülür.

Bununla birlikte, kalkülüs ve matematiksel analizde, trigonometrik fonksiyonlar genellikle açılardan ziyade gerçek veya karmaşık sayıların fonksiyonları olarak daha soyut olarak kabul edilir. Aslında, sin ve cos fonksiyonları, tüm karmaşık sayılar için, güç serileri [7] aracılığıyla üstel fonksiyon cinsinden veya belirli başlangıç ​​değerleri [8] verilen diferansiyel denklemlerin çözümleri olarak tanımlanabilir (aşağıya bakınız), herhangi bir geometrik kavrama atıfta bulunmadan. Diğer dört trigonometrik fonksiyon (tan, cot, sec, csc), paydada sıfırın olduğu durumlar dışında, sin ve cos'un bölümleri ve karşılıkları olarak tanımlanabilir. Gerçek argümanlar için, bu tanımların temel geometrik tanımlarla örtüştüğü kanıtlanabilir. Eğer argüman radyan cinsinden verilen bir açı olarak kabul edilir. [7] Ayrıca, bu tanımlar türevler için basit ifadeler ve trigonometrik fonksiyonlar için belirsiz integraller ile sonuçlanır. [9] Bu nedenle, temel geometrinin ötesindeki ayarlarda, radyan, açı ölçülerini tanımlamak için matematiksel olarak doğal birim olarak kabul edilir.

Radyan (rad) kullanıldığında, açı, birim çemberin gördüğü yayın uzunluğu olarak verilir: birim çember üzerinde 1 uzunluğunda bir yaya denk gelen açı 1 rad'dır (≈ 57.3°) ve bir tam dönüş (360°) 2 π (≈ 6.28) rad'lik bir açıdır. gerçek sayı için x, notasyonlar günah x, çünkü x, vb. bir açıda değerlendirilen trigonometrik fonksiyonların değerine bakın. x rad. Derece birimleri amaçlanıyorsa, derece işareti açıkça gösterilmelidir (örneğin, günah , çünkü , vb.). Bu standart gösterimi kullanarak, argüman x trigonometrik fonksiyonlar için ilişkiyi tatmin eder x = (180x/ π )°, öyle ki örneğin sin π = sin 180° aldığımızda x = π . Bu şekilde, derece sembolü, 1° = π /180 ≈ 0.0175 olacak şekilde matematiksel bir sabit olarak kabul edilebilir.

Altı trigonometrik fonksiyon, Öklid düzlemi üzerindeki, bu koordinat sisteminin O orijininde ortalanmış yarıçaplı bir daire olan birim daire ile ilgili noktaların koordinat değerleri olarak tanımlanabilir. Dik açılı üçgen tanımları 0 ve π 2 < extstyle <2>>> radyan (90°) arasındaki açılar için trigonometrik fonksiyonların tanımına izin verirken, birim çember tanımları tüm pozitif ve negatif gerçek sayılara genişletilecek trigonometrik fonksiyonlar.

trigonometrik fonksiyonlar cos ve sin sırasıyla şu şekilde tanımlanır: x- ve y- A noktasının koordinat değerleri . Yani,

Diğer trigonometrik fonksiyonlar birim çember boyunca şu şekilde bulunabilir:

Pisagor özdeşliği ve geometrik ispat yöntemleri uygulanarak, bu tanımların sinüs ve kosinüs cinsinden tanjant, kotanjant, sekant ve kosekant tanımlarıyla örtüştüğü, yani

herhangi bir θ açısı ve herhangi bir k tamsayısı için tutun. Aynısı diğer dört trigonometrik fonksiyon için de geçerlidir. Dört kadranda sinüs, kosinüs, kosekant ve sekant fonksiyonlarının işaretini ve monotonluğunu gözlemleyerek, 2 π'nin periyodik oldukları en küçük değer olduğu gösterilebilir (yani, 2 π bu fonksiyonların temel periyodudur). ). Bununla birlikte, π açısıyla bir döndürmeden sonra, B ve C noktaları zaten orijinal konumlarına dönerler, böylece tanjant işlevi ve kotanjant işlevi temel bir π periyoduna sahip olur. yani eşitlikler

herhangi bir θ açısı ve herhangi bir k tamsayısı için tutun.

En önemli açılar için cebirsel ifadeler aşağıdaki gibidir:

Payları, paydası 2 olan ardışık negatif olmayan tam sayıların karekökleri olarak yazmak, değerleri hatırlamanın kolay bir yolunu sağlar. [12]

Bu tür basit ifadeler, bir düz açının rasyonel katları olan diğer açılar için genellikle mevcut değildir. Derece olarak ölçülen, üçün katı olan bir açı için, sinüs ve kosinüs karekök cinsinden ifade edilebilir, bkz. Gerçek radikallerde ifade edilen trigonometrik sabitler. Sinüs ve kosinüsün bu değerleri böylece cetvel ve pergel ile oluşturulabilir.

Derecelerden oluşan bir tamsayı açısı için sinüs ve kosinüs, gerçek olmayan bir karmaşık sayının karekökleri ve küp kökü cinsinden ifade edilebilir. Galois teorisi, açı 3°'nin katı değilse, gerçek olmayan küp köklerinin kaçınılmaz olduğunu kanıtlamaya izin verir.

Derece olarak ölçülen bir rasyonel sayı olan bir açı için sinüs ve kosinüs, n'inci köklerle ifade edilebilen cebirsel sayılardır. Bu, siklotomik polinomların Galois gruplarının döngüsel olması gerçeğinden kaynaklanır.

Derece olarak ölçülen, rasyonel bir sayı olmayan bir açı için, o zaman açı ya da sinüs ve kosinüs aşkın sayılardır. Bu, 1966'da kanıtlanan Baker teoreminin bir sonucudur.

Basit cebirsel değerler

Aşağıdaki tablo, trigonometrik fonksiyonların en basit cebirsel değerlerini özetlemektedir. [13] ∞ simgesi, izdüşümsel olarak uzatılmış gerçek çizgi üzerinde sonsuzdaki noktayı temsil eder, imzalı değildir, çünkü tabloda göründüğünde, karşılık gelen trigonometrik fonksiyon + ∞ bir tarafta ve − ∞ diğer tarafta, bağımsız değişken tablodaki değere yöneldiğinde.

Matematikteki modern eğilim, geometriyi tersinden ziyade kalkülüsten inşa etmektir. [ kaynak belirtilmeli ] Bu nedenle, çok temel bir seviye dışında, trigonometrik fonksiyonlar, kalkülüs yöntemleri kullanılarak tanımlanır.

Trigonometrik fonksiyonlar tanımlandıkları her noktada, yani sinüs ve kosinüs için her yerde ve teğet için π /2 + dışında her yerde türevlenebilir ve analitiktir. k her k tamsayı için π.

Trigonometrik fonksiyon periyodik fonksiyonlardır ve ilkel periyodu sinüs ve kosinüs için 2 π ve her açık aralıkta artan tanjant için π'dir ( π /2 + k π , π /2 + (k + 1) π ) . Bu aralıkların her bir uç noktasında, tanjant fonksiyonunun bir düşey asimptotu vardır.

Matematikte, ya güç serileri ya da diferansiyel denklemler kullanılarak trigonometrik fonksiyonların iki eşdeğer tanımı vardır. Bu tanımlar eşdeğerdir, birinden başlayarak diğerini bir özellik olarak almak kolaydır. Bununla birlikte, diferansiyel denklemler aracılığıyla yapılan tanım, örneğin, güç serilerinin katsayılarının seçimi oldukça keyfi olarak görünebileceğinden ve Pisagor özdeşliğini diferansiyel denklemlerden çıkarmak çok daha kolay olduğundan, bir şekilde daha doğaldır.

Diferansiyel denklemlerle tanımlama

Sinüs ve kosinüs, benzersiz türevlenebilir fonksiyonlardır.

Bu denklemlerin türevlerini alarak, hem sinüs hem de kosinüsün diferansiyel denklemin çözümleri olduğu anlaşılır.

Kosinüs tarafından sinüsün bölümü olarak tanjant tanımına bölüm kuralı uygulandığında, kişi tanjant fonksiyonunun doğruladığını alır.

Güç serisi genişletme Düzenle

Diferansiyel denklemleri katsayıları belirsiz güç serilerine uygulayarak, sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının Taylor serisinin katsayıları için tekrarlama bağıntıları çıkarılabilir. Bu tekrarlama bağıntılarının çözülmesi kolaydır ve seri açılımları verir [14]

Bu serilerin yakınsaklık yarıçapı sonsuzdur. Bu nedenle, sinüs ve kosinüs, tüm karmaşık düzlemde tanımlanmış ve holomorfik (tanım gereği) karmaşık değerli fonksiyonlar olan tüm fonksiyonlara ("sinüs" ve "kosinüs" de denir) genişletilebilir.

Tüm fonksiyonların kesirleri olarak tanımlanan diğer trigonometrik fonksiyonlar, kutup adı verilen bazı izole noktalar dışında, meromorfik fonksiyonlara, yani tüm karmaşık düzlemde holomorfik olan fonksiyonlara genişletilebilir. Burada kutuplar, tanjant ve sekant için ( 2 k + 1 ) π 2 < extstyle (2k+1)<2>>> veya k π < kotanjant ve kosekant için displaystyle kpi >k, isteğe bağlı bir tam sayıdır.

Diğer trigonometrik fonksiyonların Taylor serisinin katsayıları için de yineleme bağıntıları hesaplanabilir. Bu seriler sonlu bir yakınsama yarıçapına sahiptir. Katsayılarının kombinatoryal bir yorumu vardır: sonlu kümelerin değişen permütasyonlarını sıralarlar. [15]

birinin aşağıdaki seri açılımları vardır: [16]

Kısmi kesir açılımı

Kısmi kesir açılımı olarak, sadece çevrilmiş karşılıklı fonksiyonların toplandığı, kotanjant fonksiyonun kutupları ve karşılıklı fonksiyonların eşleştiği bir seri gösterimi vardır: [17]

Bu kimlik Herglotz hilesiyle kanıtlanabilir. [18] (–n) ile n terim kesinlikle yakınsak seriye yol açar:

Benzer şekilde, sekant, kosekant ve tanjant fonksiyonları için kısmi bir kesir açılımı bulunabilir:

Sonsuz ürün genişletmesi

Sinüs için aşağıdaki sonsuz çarpım, karmaşık analizde büyük önem taşır:

Bu açılımın kanıtı için bkz. Bundan şu sonucu çıkarılabilir ki

Üstel fonksiyonla ilişkisi (Euler formülü) Düzenle

Bu formül genellikle x'in gerçek değerleri için düşünülür, ancak tüm karmaşık değerler için doğru kalır.

Bu lineer sistemi sinüs ve kosinüs cinsinden çözerek, bunları üstel fonksiyon cinsinden ifade edebiliriz:

x gerçek olduğunda, bu şu şekilde yeniden yazılabilir:

Çoğu trigonometrik özdeşlik, yukarıdaki formüller kullanılarak ve ardından e a + b = e a e b =e^e^> sonucu basitleştirmek için.

Fonksiyonel denklemleri kullanan tanımlar Düzenle

Çeşitli fonksiyonel denklemler kullanılarak trigonometrik fonksiyonlar da tanımlanabilir.

Örneğin, [19] sinüs ve kosinüs, fark formülünü sağlayan benzersiz sürekli fonksiyon çiftini oluşturur.

cos ⁡ ( x − y ) = cos ⁡ x cos ⁡ y + günah ⁡ x günah ⁡ y

Karmaşık düzlemde Düzenle

Alan renklendirmesinden yararlanarak, trigonometrik fonksiyonları karmaşık değerli fonksiyonlar olarak grafiklendirmek mümkündür. Karmaşık fonksiyonlara özgü çeşitli özellikler grafikten görülebilir, örneğin, z 'nin sanal kısmı büyüdükçe (beyaz renk sonsuzluğu temsil ettiğinden) sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının sınırsız olduğu görülebilir ve fonksiyonların basit sıfırlar veya kutuplar içerdiği gerçeği, renk tonunun her sıfır veya kutup etrafında tam olarak bir kez dönmesi gerçeğinden anlaşılır. Bu grafikleri karşılık gelen Hiperbolik fonksiyonlarınkilerle karşılaştırmak, ikisi arasındaki ilişkileri vurgular.

Birçok özdeşlik trigonometrik fonksiyonlarla ilişkilidir. Bu bölüm, daha fazla kimlik için en temel olanları içerir, bkz. trigonometrik kimliklerin listesi. Bu özdeşlikler, birim çember tanımlarından veya dik açılı üçgen tanımlarından geometrik olarak kanıtlanabilir (ancak, sonraki tanımlar için [0, π /2] aralığında olmayan açılar için dikkatli olunmalıdır, bkz. trigonometrik kimlikler). Yalnızca kalkülüs araçlarını kullanan geometrik olmayan ispatlar için, Euler'in kimliğinin yukarıdaki ispatına benzer bir şekilde, doğrudan diferansiyel denklemler kullanılabilir. Euler'in özdeşliği, tüm trigonometrik fonksiyonları karmaşık üsteller cinsinden ifade etmek ve üstel işlevin özelliklerini kullanmak için de kullanılabilir.

Parite Düzenle

Kosinüs ve sekant çift fonksiyonlardır, diğer trigonometrik fonksiyonlar tek fonksiyonlardır. Yani:

Dönemler Düzenle

Tüm trigonometrik fonksiyonlar, periyot 2 π'nin periyodik fonksiyonlarıdır. Bu, en küçük periyodu π olan tanjant ve kotanjant dışında en küçük periyottur. Bu, her k tamsayı için birinin

Pisagor kimliği Düzenle

Pisagor özdeşliği, Pisagor teoreminin trigonometrik fonksiyonlar cinsinden ifadesidir. Bu

Toplam ve fark formülleri Düzenle

Toplam ve fark formülleri, sinüs ve kosinüs ve açıların kendilerinin tanjantları cinsinden iki açının toplamının veya farkının sinüsünü, kosinüsünü ve tanjantını genişletmeye izin verir. Bunlar, Ptolemy'ye kadar uzanan argümanlar kullanılarak geometrik olarak türetilebilir. Euler formülü kullanılarak cebirsel olarak da üretilebilir.

İki açı eşit olduğunda, toplam formüller daha basit denklemlere indirgenir. çift ​​açılı formüller.

Bu kimlikler, üründen toplama kimliklerini türetmek için kullanılabilir.

bu, trigonometrik fonksiyonların integrallerinin ve ters türevlerinin hesaplanmasını rasyonel kesirlerinkine indirgemeye izin veren teğet yarım açı ikamesidir.

Türevler ve ters türevler Düzenle

Trigonometrik fonksiyonların türevleri, bölüm kuralı uygulanarak sinüs ve kosinüs türevlerinden elde edilir. Aşağıdaki tabloda ters türevler için verilen değerler, türevleri alınarak doğrulanabilir. C sayısı bir integrasyon sabitidir.

Alternatif olarak, 'eş fonksiyonların' türevleri trigonometrik özdeşlikler ve zincir kuralı kullanılarak elde edilebilir:

Trigonometrik işlevler periyodiktir ve bu nedenle dolaylı değildir, bu nedenle kesin olarak konuşursak, ters bir işlevi yoktur. Bununla birlikte, bir trigonometrik fonksiyonun monoton olduğu her aralıkta, bir ters fonksiyon tanımlanabilir ve bu, ters trigonometrik fonksiyonları çok değerli fonksiyonlar olarak tanımlar. Gerçek bir ters fonksiyon tanımlamak için, etki alanını, fonksiyonun monoton olduğu ve bu nedenle bu aralıktan fonksiyon tarafından imajına çift nesnel olduğu bir aralıkla sınırlandırılmalıdır. Temel değerler kümesi olarak adlandırılan bu aralık için ortak seçim aşağıdaki tabloda verilmiştir. Her zamanki gibi, ters trigonometrik fonksiyonlar, adından veya fonksiyonun kısaltmasından önce "yay" öneki ile gösterilir.

sin -1 , cos -1 vb. gösterimler genellikle arcsin ve arccos vb. için kullanılır. Bu gösterim kullanıldığında, ters fonksiyonlar çarpımsal terslerle karıştırılabilir. "Arc" ön ekine sahip gösterim, böyle bir karışıklığı önler, ancak arksekant için "arcsec", "arcsecond" ile karıştırılabilir.

Sinüs ve kosinüs gibi ters trigonometrik fonksiyonlar da sonsuz seriler cinsinden ifade edilebilir. Ayrıca karmaşık logaritmalar cinsinden ifade edilebilirler.

Bir üçgenin açıları ve kenarları

Bu bölümlerde A , B , C bir üçgenin üç (iç) açısını ve a , b , c karşılık gelen karşıt kenarların uzunluklarını gösterir. İçerdikleri trigonometrik fonksiyonlarla adlandırılan çeşitli formüllerle ilişkilidirler.

Sinüs yasası

sinüs yasası a , b ve c kenarları ve A , B ve C kenarlarının karşısındaki açıları olan keyfi bir üçgen için şunu belirtir:

Δ üçgenin alanıdır veya eşdeğer olarak,

Üçgeni iki doğruya bölerek ve yukarıdaki sinüs tanımını kullanarak kanıtlanabilir. Sinüs yasası, iki açı ve bir kenar biliniyorsa, bir üçgende bilinmeyen kenarların uzunluklarını hesaplamak için kullanışlıdır. Bu sık karşılaşılan bir durum üçgenleme, iki açıyı ve erişilebilir bir kapalı mesafeyi ölçerek bilinmeyen mesafeleri belirleme tekniği.

Kosinüs kanunu

kosinüs yasası (kosinüs formülü veya kosinüs kuralı olarak da bilinir) Pisagor teoreminin bir uzantısıdır:

Bu formülde C'deki açı c kenarının karşısındadır. Bu teorem, üçgeni ikiye bölerek ve Pisagor teoremi kullanılarak kanıtlanabilir.

İki kenar ve aralarındaki açı biliniyorsa, bir üçgenin kenarını belirlemek için kosinüs yasası kullanılabilir. Tüm kenarların uzunlukları biliniyorsa, bir açının kosinüslerini (ve dolayısıyla açıların kendilerini) bulmak için de kullanılabilir.

Teğetler Yasası

Aşağıdakilerin tümü teğet yasasını oluşturur [20]

Formüllerin sözcüklerle açıklanması zahmetli olacaktır, ancak uzunluklar ve karşılık gelen karşıt açılar için toplamlar ve farklılıklar örüntüleri teoremde açıkça görülmektedir.

Kotanjantlar Yasası

> (üçgen için yazılı dairenin yarıçapı)

> (üçgenin yarı çevresi),

o zaman aşağıdakilerin tümü kotanjant yasasını oluşturur [20]

Teorem şu şekildedir: yarım açının kotanjantı, yarı çevre eksi söz konusu açının karşı tarafının üçgenin yarıçapına oranına eşittir.

Periyodik fonksiyonlar Düzenle

Trigonometrik fonksiyonlar fizikte de önemlidir. Sinüs ve kosinüs fonksiyonları, örneğin, bir yaya bağlı bir kütlenin hareketi ve küçük açılar için, bir kütlenin sarkaç hareketi gibi birçok doğal fenomeni modelleyen basit harmonik hareketi tanımlamak için kullanılır. dize. Sinüs ve kosinüs fonksiyonları, düzgün dairesel hareketin tek boyutlu izdüşümleridir.

Trigonometrik fonksiyonların ayrıca genel periyodik fonksiyonların incelenmesinde de faydalı olduğu kanıtlanmıştır. Periyodik fonksiyonların karakteristik dalga desenleri, ses veya ışık dalgaları gibi tekrar eden fenomenleri modellemek için kullanışlıdır. [21]

Oldukça genel koşullar altında, periyodik bir fonksiyon f(x) bir Fourier serisinde sinüs dalgalarının veya kosinüs dalgalarının toplamı olarak ifade edilebilir. [22] Sinüs veya kosinüs tabanlı fonksiyonları φ ile göstermek , periyodik fonksiyonun açılımı f(t) şu şekli alır:

Örneğin, kare dalga Fourier serisi olarak yazılabilir.

Sağ üstteki kare dalga animasyonunda, sadece birkaç terimin zaten oldukça iyi bir yaklaşım ürettiği görülebilir. Bir testere dişi dalgasının genişlemesinde birkaç terimin üst üste binmesi aşağıda gösterilmiştir.

Trigonometrinin ilk çalışmaları antik çağa kadar izlenebilirken, günümüzde kullanılan trigonometrik fonksiyonlar orta çağda geliştirilmiştir. Akor işlevi, İznikli Hipparchus (MÖ 180–125) ve Romalı Mısırlı Ptolemy (MS 90–165) tarafından keşfedilmiştir. Sinüs ve versine (1 - kosinüs) fonksiyonları, jyā ve koti-jyā Gupta dönemi Hint astronomisinde kullanılan işlevler (Aryabhatiya, Surya Siddhanta), Sanskritçe'den Arapça'ya ve ardından Arapça'dan Latince'ye çeviri yoluyla. [23] (Aryabhata'nın sinüs tablosuna bakın.)

Halihazırda kullanılan altı trigonometrik fonksiyonun tümü, üçgenleri çözmede kullanılan sinüs yasası gibi 9. yüzyılda İslam matematiğinde biliniyordu. [24] Sinüs (Hint matematiğinden uyarlanmıştır) dışında, diğer beş modern trigonometrik fonksiyon, kosinüs, tanjant, kotanjant, sekant ve kosekant dahil olmak üzere Fars ve Arap matematikçiler tarafından keşfedilmiştir. [24] El-Khwārizmī (c. 780-850) sinüs, kosinüs ve tanjant tabloları üretti. 830 dolaylarında, Habash al-Hasib al-Marwazi kotanjantı keşfetti ve tanjant ve kotanjant tabloları üretti. [25] [26] Muhammed ibn Jabir el-Harrânî el-Battânî (853-929), sekant ve sekantın karşılıklı fonksiyonlarını keşfetti ve 1° ile 90° arasındaki her derece için ilk kosekant tablosunu üretti. [26] Trigonometrik fonksiyonlar daha sonra Omar Khayyám, Bhāskara II, Nasir al-Din al-Tusi, Jamshīd al-Kāshī (14. yüzyıl), Ulugh Beg (14. yüzyıl), Regiomontanus (1464), Rheticus ve dahil olmak üzere matematikçiler tarafından incelenmiştir. Rheticus'un öğrencisi Valentinus Otho.

Sangamagrama'lı Madhava (c. 1400), sonsuz seriler açısından trigonometrik fonksiyonların analizinde ilk adımlar attı. [27] (Madhava serisine ve Madhava'nın sinüs tablosuna bakınız.)

Şartlar teğet ve sekant İlk olarak Danimarkalı matematikçi Thomas Fincke tarafından kitabında tanıtıldı. geometrik rotundi (1583). [28]

17. yüzyıl Fransız matematikçisi Albert Girard, kısaltmaların ilk yayınlanmış kullanımını yaptı. günah, çünkü, ve bronz kitabında trigonometri. [29]

1682'de yayınlanan bir makalede Leibniz, günahın günah olduğunu kanıtladı. x x'in cebirsel bir fonksiyonu değildir. [30] Bir dik üçgenin kenarlarının oranları olarak tanıtılmasına ve dolayısıyla rasyonel işlevler gibi görünmesine rağmen, Leibnitz sonucu bunların aslında argümanlarının aşkın işlevleri olduğunu ortaya koydu. Dairesel fonksiyonları cebirsel ifadelere asimile etme görevi Euler tarafından yapılmıştır. Sonsuzluğun Analizine Giriş (1748). Yöntemi, sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının, üstel serilerin sırasıyla çift ve tek terimlerinden oluşan alternatif seriler olduğunu göstermekti. "Euler'in formülünü" ve neredeyse modern kısaltmaları sundu (günah., çünkü, tanga., karyola, sn., ve kosek.). [23]

Tarihsel olarak birkaç işlev yaygındı, ancak şimdi nadiren kullanılmaktadır, örneğin akor, versine (ilk tablolarda [23] ortaya çıkmıştır), örtücü, hasrsine, [31] ekssekant ve excosecant. Trigonometrik kimlikler listesi, bu işlevler arasında daha fazla ilişki gösterir.

  • crd(θ) = 2 günah(
  • θ / 2 )
  • bağışla(θ) = 1 - çünkü(θ) = 2 günah 2 (
  • θ / 2 )
  • örtün(θ) = 1 - günah(θ) = ver(
  • π / 2 - θ)
  • Haversin(θ) =
  • 1 / 2 ver(θ) = günah 2 (
  • θ / 2 )
  • exsec(θ) = sn(θ) − 1
  • excsc(θ) = exsec(
  • π / 2 - θ) = csc(θ) − 1

Kelime sinüs Latince'den türemiştir [32] sinüs, "kıvrım yeri" anlamına gelir ve daha özel olarak "bir toga'nın üst kısmının asılı kıvrımı", "bir giysinin göğsü" anlamına gelir ve bu, Arapça kelime olarak yorumlanan şeyin çevirisi olarak seçilmiştir. jaib, el-Battani ve el-Khwārizmī'nin eserlerinin 12. yüzyılda Ortaçağ Latincesine çevirilerinde "cep" veya "katlama" anlamına gelir. [33] Seçim, Arapça yazılı formun yanlış okunmasına dayanıyordu. j-y-b ( جيب ), kendisi Sanskritçe'den bir harf çevirisi olarak ortaya çıkmıştır. jiva, eş anlamlısı ile birlikte jyā (Sinüs için standart Sanskritçe terim), sırayla Eski Yunanca χορδή "sicim" den uyarlanan "yay teli" anlamına gelir. [34]

Kelime teğet Latince'den geliyor tangenler çizgiden beri "dokunma" anlamına gelen dokunuşlar birim yarıçapın çemberi, oysa sekant Latince kökenli secanlar—"kesme"—çizgiden beri kesikler çember. [35]

"Ko-" ön eki ("kosinüs", "kotanjant", "kosekant" olarak) Edmund Gunter'ın kitabında bulunur. Canon üçgen (1620), tanımlayan kosinüs kısaltması olarak sinüs tamamlayıcısı (tamamlayıcı açının sinüsü) ve tanımlamaya devam eder kotangenler benzer şekilde. [36] [37]


Math2.org Matematik Tabloları:

En basit tanımıyla, bir trigonometrik (lafzen "üçgen ölçme") işlevi, bir dik olmayan açıyı ilişkilendiren birçok işlevden biridir. sağ üçgen üçgenin herhangi iki kenarının uzunluklarının oranına (veya tersi).

Bu nedenle, herhangi bir trigonometrik fonksiyon (f), her zaman aşağıdaki denklemlerden birini sağlar:

  • Önceki denklem doğruysa, herhangi bir dik üçgeni seçebiliriz, sonra dik olmayan açılardan birinin ölçümünü alabiliriz ve trigonometrik fonksiyonu o noktada değerlendirdiğimizde açı, sonuç şu olacak üçgenin iki kenarının uzunluklarının oranı.
  • Bununla birlikte, eğer ikinci denklem geçerliyse, herhangi bir dik üçgeni seçebiliriz, sonra iki belirli kenarın uzunluklarının oranını hesaplayabiliriz ve herhangi birinde trigonometrik fonksiyonu değerlendirdiğimizde oran, sonuç dik olmayan üçgenlerden birinin ölçüsü olacaktır. (Bunlara denir ters tetik fonksiyonları önceki tetikleme işlevlerinin tersini veya tersini yaptıkları için.)

Since there are three sides and two non-right angles in a right triangle, the trigonometric functions will need a way of specifying which sides are related to which angle. (It is not-so-useful to know that the ratio of the lengths of two sides equals 2 if we do not know which of the three sides we are talking about. Likewise, if we determine that one of the angles is 40°, it would be nice to know of which angle this statement is true.

Under a certain convention, we label the sides as karşısında, bitişik, ve hypotenuse relative to our angle of interest q . full explaination

As mentioned previously, the first type of trigonometric function, which relates an angle to a side ratio, always satisfies the following equation:

f( q ) =
opp/opp
f( q ) =
opp/adj
f( q ) =
opp/hyp
f( q ) =
adj/opp
f( q ) =
adj/adj
f( q ) =
adj/hyp
f( q ) =
hyp/opp
f( q ) =
hyp/adj
f( q ) =
hyp/hyp

The three diagonal functions shown in red always equal one. They are degenerate and, therefore, are of no use to us. We therefore remove these degenerate functions and assign labels to the remaining six, usually written in the following order:

sine( q ) = opp/hypcosecant( q ) = hyp/opp
cosine( q ) = adj/hypsecant( q ) = hyp/adj
tangent( q ) = opp/adjcotangent( q ) = adj/opp

Furthermore, the functions are usually abbreviated: sine (sin), cosine (cos), tangent (tan) cosecant (csc), secant (sec), and cotangent (cot).

Do not be overwhelmed. By far, the two most important trig functions to remember are sine and cosine. All the other trig functions of the first kind can be derived from these two funcions. For example, the functions on the right are merely the multiplicative inverse of the corresponding function on the left (that makes them much less useful). Futhermore, the sin(x) / cos(x) = (opp/hyp) / (adj/hyp) = opp / adj = tan(x). Therefore, the tangent function is the same as the quotient of the sine and cosine functions (the tangent function is still fairly handy).

sin( q ) = opp/hypcsc( q ) = 1/sin( q )
cos( q ) = adj/hypsec( q ) = 1/cos( q )
tan( q ) = sin( q )/cos( q )cot( q ) = 1/tan( q )

Let's examine these functions further. You will notice that there are the sine, secant, and tangent functions, and there are corresponding "co"-functions. They get their odd names from various similar ideas in geometry. You may suggest that the cofunctions should be relabeled to be the multiplicative inverses of the corresponding sine, secant, and tangent functions. However, there is a method to this madness. bir cofunction of a given trig function (f) is, by definition, the function obtained after the Tamamlayıcı its parameter is taken. Since the complement of any angle q is 90° - q , the the fact that the following relations can be shown to hold

The trig functions evaluate differently depending on the units on q , such as degrees, radians, or grads. For example, sin(90°) = 1, while sin(90)=0.89399. explaination

Just as we can define trigonometric functions of the form

inverse functions
arcsine(opp/hyp)
= q
arccosecant(hyp/opp)
= q
arccosine(adj/hyp)
= q
arcsecant(hyp/adj)
= q
arctangent(opp/adj)
= q
arccotangent(adj/opp)
= q

As before, the functions are usually abbreviated: arcsine (arcsin), arccosine (arccos), arctangent (arctan) arccosecant (arccsc), arcsecant (arcsec), and arccotangent (arccot). According to the standard notation for inverse functions (f -1 ), you will also often see these written as sin -1 , cos -1 , tan -1 csc -1 , sec -1 , and cot -1 . Beware: There is another common notation that writes the square of the trig functions, such as (sin(x)) 2 as sin 2 (x). This can be confusing, for you then belki then be lead to think that sin -1 (x) = (sin(x)) -1 , which is değil true. The negative one superscript here is a special notation that denotes inverse functions (not multiplicative inverses).


Other Popular Topics

Rules for Operations on Inequalities

TI-Nspire For Dummies Cheat Sheet

How to Convert between Fractions and Repeating Dec.

Important Terms in Game Theory

10 Math Concepts You Can’t Ignore

How to Calculate Monthly Payments for a Sinking Fund

Using Probability When Hitting the Slot Machines

Change between Slope-Intercept and Standard Form

Solve a Minimization Problem Using Linear Programm.

Dummies has always stood for taking on complex concepts and making them easy to understand. Dummies helps everyone be more knowledgeable and confident in applying what they know. Whether it’s to pass that big test, qualify for that big promotion or even master that cooking technique people who rely on dummies, rely on it to learn the critical skills and relevant information necessary for success.

Copyright © 2021 & Trademark by John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.


7.5: Solving Trigonometric Equations - Mathematics

MATH 113 - College Algebra and Trigonometry, is intended as a preparation for MATH 220, Elementary Calculus.

Önkoşullar

Satisfactory score on Math Department placement exam or completion of the appropriate module of MATH 003.

Konular

Radicals and rational exponents
Fractional expressions

Polynomial and Rational Functions

Linear equations and geometric sequences with mathematical modeling
Quadratic equations including quadratic formula and applications
Inequalities including linear, polynomial and rational inequalities
Graphs of equations including intercepts and symmetry
Cartesian plane, Lines in the plane (review) with applications
Functions with modeling
Graphs of functions, including translations and reflections
Combinations of functions including composition
Inverse functions
Quadratic functions (graphing and max-min problems)
Polynomial functions including graphing and the intermediate value theorem
Graphing rational functions with applications

Logarithmic and Exponential Functions

Definition, graph, models
Solving logarithmic and exponential equations
Application of exponential and logarithmic functions

Trigonometri

Angles, radians
Trigonometric functions, graphs
Trigonometric equations
Law of sines and Law of cosines

Material covered in MATH 113 in place of the above Trigonometry prior to Fall 2012:

Systems of equations in two or more variables
Substitutions
Elimination
Gauss-Jordan or Gaussian elimination
Systems of inequalities (in two variables)
Matrices and matrix operations
Sequences and summation notation (including arithmetic sequences and geometric sequences)


Thursday, August 27, 2015

Converting from Base 14 to Base 10 Problems

"Published in Newark, California, USA"

Convert 15DC214 into Base 10.

Çözüm:

The given number which is 15DC214 is written in Base 14. Base 14 number is also called tetradecimal system. The digits of Base 14 number are 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, and 13 . Since 10, 11, 12, and 13 are not accepted as a digit, then we have to substitute a variable which is A = 10, B = 11, C = 12, and D = 13. Hence, the digits of a Base 14 number are 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, and D.

On the other hand, Base 10 number is a number whose digits are 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, and 9. If you don't see any subscript at the given number, then that number is written in Base 10. Base 10 number is also called decimal system. Base 10 number is a common number that we are using right now in everyday life.

Now, let's convert 15DC214 into Base 10. How? Let's multiply each digits by the powers of 14 as follows:

Base 6 Digits: 1 5 D C 2
Multiply by: 14⁴ 14³ 14 ² 14¹ 14 ⁰

Add all the digits, we have

(1 x 14⁴ ) + (5 x 14³ ) + (D x 14 ² ) + (C x 14¹ ) + (2 x 14 ⁰ ) = 38416 + 13720 + 2548 + 168 + 2 = 54854

Therefore, 15DC214 = 54854


All The Formulas For Igcse Math

Physics Formulas Image By Ckip On Biology Science Igcse

Geometry Formulas Geometric Formulas Geometry Formulas

Pdf Print Complete Mathematics For Cambridge Igcse Fifth Edition

Plane And Solid Geometry Formulas Geometry Formulas Solid

Jtotheizzoe Crookedindifference 17 Equations That Changed The

Important Equations In Physics For Igcse Course General Physics 1

Part Of Hypotenuse Altitude Altitude Other Part Of Hyp Cos A

Pdf Print Complete Mathematics For Cambridge Igcse Fifth Edition

Pdf Print Complete Mathematics For Cambridge Igcse Fifth Edition

Geometry Formulas Cheat Sheet Eocgeom05geomformulas Gif

Physics Formula Sheet Physics Math Formulas

Real Estate Math Formulas Cheat Sheet Gcse Foundation Maths

Gcse Maths Revision Resources Gcse Foundation Maths Gcse Math

Gcse Maths Revision Resources Gcse Math Gcse Maths Revision

Angles In Polygons Revision Poster Gcse Math Learning Math

Trigonometry Kis Igcse Maths Trigonometry Simple Math Math Notes

Gcse Maths Revision Resources Gcse Maths Revision Gcse Math

Pdf Print Complete Mathematics For Cambridge Igcse Fifth Edition

Edexcel Igcse Mathematics B Past Papers Edexcel Igcse Mathematics

Pdf Print Complete Mathematics For Cambridge Igcse Fifth Edition


Videoyu izle: Trigonometriska ekvationer (Aralık 2021).