Nesne

6.1E: Üstel Fonksiyonlar (Alıştırmalar) - Matematik


1. Açıklayın

2. Bir geyik sürüsünün popülasyonu (A(t)=205(1.13)^{t},) fonksiyonu ile temsil edilir, burada (t) yıl olarak verilir. En yakın tam sayıya göre, 6 yıl sonra sürü popülasyonu ne olur?

3. (2.2.25) ve (5,60.75) noktalarından geçen bir üstel denklem bulunuz.

4. Tablo 1'in doğrusal, üstel veya hiçbiri olmayan bir fonksiyonu temsil edip edemeyeceğini belirleyin. Üstel gibi görünüyorsa, noktalardan geçen bir fonksiyon bulun.

tablo 1
x1234
f(x)30.90.270.081

5. Başlangıç ​​($8,500) depozitolu bir emeklilik hesabı açılır ve aylık bileşik olarak (8,12 \%) faiz gelir. 20 yıl sonra hesabın değeri ne olacak?

6. Hsu-Mei bir araba peşinatı için (5.000$) tasarruf etmek istiyor. En yakın dolara, 3 yıl içinde hedefine ulaşmak için günlük bileşik olarak (7.5 \%) APR'li bir hesaba şimdi ne kadar yatırım yapması gerekecek?

7. (y=2.294 e^{-0.654 t}) denklemi sürekli büyümeyi mi, sürekli bozulmayı mı temsil ediyor yoksa hiçbirini mi temsil etmiyor? Açıklamak.

8. Bir yatırım hesabının, başlangıç ​​($10,500) kazanç (6,25 \%) faiziyle, sürekli bileşik olarak açıldığını varsayalım. 25 yıl sonra hesabın değeri ne kadar olacak?


cebir 9
sayı teorisi, değişkenler, operatörler, üs alma, karekökler, . Analitik Geometri 4
çizgiler, düzlemler, mesafeler, kavşaklar, . Matematik 11
fonksiyonlar, türevler, integraller, ekstremumlar, kökler, limitler, . geometri 7
şekiller, üçgenler, dörtgenler, daireler, . Lineer Cebir 15
vektörler, doğrusal kombinasyonlar, bağımsızlık, nokta çarpım, çapraz çarpım, . trigonometri 4
sinüs, kosinüs, tanjant, .


Üstel Gösterim



8. Sınıf öğrencilerinin üstel gösterimi öğrenmesine yardımcı olacak örnekler, videolar ve çözümler.

New York Eyaleti Ortak Çekirdek Matematik 8. Sınıf, Modül 1, Ders 1.

Öğrenciler bir sayının bir kuvvete yükseltilmesinin ne anlama geldiğini ve tekrarlanan çarpmanın sembolik olarak nasıl temsil edileceğini bilirler.

Öğrenciler parantez gerektiren bazı tabanların nedenini bilirler.

Çözmeden, yeniden yazmanın başka bir yolu nedir:
3 + 3 + 3 + 3 + 3 =

Nasıl yeniden yazardık:
3 & çarpı 3 & çarpı 3 & çarpı 3 & çarpı 3 =

Bu tür gösterimi daha önce gördünüz, buna üstel gösterim denir. Genel olarak, herhangi bir x sayısı ve herhangi bir pozitif tam sayı n için,

x n sayısı, n'inci kuvvete yükseltilmiş x olarak adlandırılır, n, in x n'nin üssü ve x, x n'nin tabanıdır.

x n sayısı, n'inci kuvvete yükseltilmiş x olarak adlandırılır, n, x n'deki x'in üssü ve x, x n'nin tabanıdır.

x 2'ye x'in karesi denir ve x 3 onun küpüdür.

Çeşitli matematik konularını uygulamak için aşağıdaki ücretsiz Mathway hesap makinesini ve problem çözücüyü deneyin. Verilen örnekleri deneyin veya kendi probleminizi yazın ve adım adım açıklamalarla cevabınızı kontrol edin.

Bu site veya sayfayla ilgili geri bildirimlerinizi, yorumlarınızı ve sorularınızı bekliyoruz. Lütfen geri bildiriminizi veya sorularınızı Geri Bildirim sayfamız aracılığıyla gönderin.


6.1 Üstel Fonksiyonlar

Bir araştırma, Amerika Birleşik Devletleri'nde vegan olan nüfusun yüzdesinin 2009'dan 2011'e iki katına çıktığını buldu. 2011'de nüfusun %2,5'i vegandı ve herhangi bir hayvansal ürün içermeyen bir diyete bağlı kaldı - et, kümes hayvanları, balık, süt veya yumurta. Bu oran devam ederse veganlar 2015'te ABD nüfusunun %10'unu, 2019'da %40'ını ve 2021'de %80'ini oluşturacak.

tam olarak ne anlama geliyor katlanarak büyümek? kelime ne yapar çift ile ortak noktası var yüzde artış? İnsanlar bu kelimeleri yanlış yere atıyorlar. Bu kelimeler doğru kullanılmış mı? Sözler kesinlikle medyada sık sık yer alıyor.

  • Yüzde değişimi bir değişiklik dayalı bir yüzde orijinal miktardan.
  • üstel büyüme bir artırmak eşit zaman aralıklarında sabit bir çarpımsal değişim hızına dayalıdır, yani, yüzde orijinal miktarın zamanla artması.
  • Üstel bozulma, bir azaltmak eşit zaman aralıklarında sabit bir çarpımsal değişim hızına dayalıdır, yani, yüzde orijinal miktarın zamanla azalması.

Üstel büyümeyi net bir şekilde anlayabilmemiz için üstel büyüme ile doğrusal büyümeyi karşılaştıralım. İki fonksiyon oluşturacağız. İlk fonksiyon üsteldir. 0 girdisiyle başlayacağız ve her girdiyi 1 artıracağız. Karşılık gelen ardışık çıktıları ikiye katlayacağız. İkinci fonksiyon doğrusaldır. 0 girişi ile başlayacağız ve her girişi 1 artıracağız. Karşılık gelen ardışık çıkışlara 2 ekleyeceğiz. Tablo 1'e bakın.

Tablo 1'den, bu iki fonksiyon için üstel büyümenin doğrusal büyümeyi gölgede bıraktığı sonucunu çıkarabiliriz.

  • üstel büyüme artış aralığındaki orijinal değeri ifade eder. aynı yüzde etki alanında bulunan eşit artışlar üzerinde.
  • Doğrusal büyüme artış aralığındaki orijinal değeri ifade eder. aynı miktar etki alanında bulunan eşit artışlar üzerinde.

Görünüşe göre, “aynı yüzde” ile “aynı miktar” arasındaki fark oldukça önemlidir. Üstel büyüme için, eşit artışlarla, sabit çarpımsal değişim oranı, girdi bir arttığında çıktının iki katına çıkmasına neden oldu. Doğrusal büyüme için, eşit artışlarla sabit toplam değişim oranı, girdi bir artırıldığında çıktıya 2 eklenmesiyle sonuçlandı.

Örneğimizden f ( x ) = 2 x f ( x ) = 2 x fonksiyonuna bakalım. − 3 − 3 ila 3 aralığındaki bir aralıkta karşılık gelen çıktıları belirlemek için bir tablo (Tablo 2) oluşturacağız.

Şekil 1'deki tabloda gözlemlediğimiz sıralı ikilileri çizerek ff'nin grafiğini inceleyelim ve ardından birkaç gözlem yapalım.

Üstel f ( x ) = 2 x f ( x ) = 2 x fonksiyonunun grafiğinin davranışını tanımlayalım ve bazı temel özelliklerini vurgulayalım.


Üstel büyüme eğrisi

(Orijinal gönderi gtdub1234)
Lütfen yardım et!!

Aşağıdaki üstel büyüme eğrisinin altındaki alanı 2 saniye ile 4 saniye arasında belirleyin.
saniye
𝑦 = 􀶱tümleşik (1 &eksi𝑒^-t) dt

1-e^-t beni telaşlandırıyor..

(Orijinal gönderi gtdub1234)
yaparım, nereden başlamalı!

1-e^-t beni telaşlandırıyor..

İlgili bölümü okuyup bazı örnekler üzerinde çalıştınız mı?

Sadece matematikle panikliyorum, bu çevrimiçi bir HNC edexel, sanırım belki de öğretmenle iletişime geçmeliyim.

Kitapta bu türden bir örnek yok.

Muhtemelen aynı yöntemi kullanan sorular yaptım ama bu konuda hangi yöntemi kullanacağımdan emin değilim

[ 1e^1 / 1] =[e] ( parantezin üstünde/altında 4 & 2 @ ile)

(Orijinal gönderi gtdub1234)
[ 1e^1 / 1] =[e]

sorunun ikinci kısmı aynı ancak e'den önce -1 olmadan.

aynı şekilde mi çözeyim

Aşağıya doğru kaydırın. 2. yıl saf kitap bak.

Hangi soruya hangi cevap?

Asıl sorunun cevabını henüz görmedim. Sana verdiğim sorular ne bildiğini öğrenmek içindi.

doğru ama asıl sorunuz .

bunu bilmek işinize yarayabilir ama sonunda (çok yakında?) daha genel ilkeleri de bilmeniz gerekecek.


İPUCU $ $ Şeklinde $displaystyle m lim_ frak:. $ Bunu bir türevle ilişkilendirin.

Limiti bir türev olarak kabul eden bu çözümün yalnızca tanım türev ve temel kurallar polinomların ve güçlerin türevlerini hesaplamak için. yapar değil kuvvet serileri veya Taylor serileri, l'Hôpital kuralı, ortalama değer teoremi vb. gibi daha ileri teknikler hakkında bilgi gerektirir. Burada sıklıkla belirttiğim gibi, limit alıştırmaları sıklıkla bu biçimdedir (örn. ya da bu ya da bu) bu nedenle - uygulandığında - genellikle alternatiflerden çok daha basit olan bu tekniğe aşina olmak faydalı olacaktır.

$egingroup$ Bunu denedim ve işe yaradı, ancak yukarıdaki formda tam olarak alamadım. $f(p) = (1+p)e^<-frac<1+p>> - (1-p)e^<-frac<1-p>>$. $f(0) = 0$. O zaman, orijinal sınır şuna eşittir: $frac<1> <2>lim_

frak

= frac<1> <2>f'(0)$ $endgroup$ &ndash jrand 3 Nis '11, 20:51


Üstel Fonksiyonlara Giriş

Tekrar, üstel fonksiyonlar hayatta, özellikle iş ve bilim dünyasında çok faydalıdır. Bankada faiz kazandıysanız (veya kazanmamış olsanız bile), muhtemelen üstel işlevlerle ilgili olan “bileşik”, “takdir” veya “amortisman” kelimelerini duymuşsunuzdur.

Sadece üstel fonksiyonlar söz konusu olduğunda, fonksiyonların çok hızlı arttığını veya azaldığını unutmayın (sabit bir sayı ile çarpılır). Bu yüzden paranızı erken yaşta biriktirmeye başlamak ve zamanla büyümesine izin vermek gerçekten iyidir.

Üslü fonksiyonların üstlerindeki “(x)” nedeniyle böyle adlandırıldığını unutmayın! Üstel fonksiyonlar yazılır (y=a<^>,,,b>0). “(b)”, kendisiyle “(x)” ile çarpılan sayı olduğu için üstel fonksiyonun tabanı olarak adlandırılır (ve (b=1) olduğunda üstel bir fonksiyon değildir). (b) ayrıca “büyüme” veya “çürüme” faktörü olarak da adlandırılır.

(b>1) olduğunda, üstel büyüme (fonksiyon büyüyor) ve (0<b<1) olduğunda üstel bozunma (fonksiyon küçülüyor). Bu mantıklı, çünkü bir kesri çarptığınızda (daha az 1 ) kendi başına birçok kez payda büyüdüğü için küçülür.


Üsler Dersi

Aşağıdaki tabloda 2 sayısı çarpan olarak tekrar tekrar yazılmıştır. Faktörlerin çarpımı da bu tabloda gösterilmektedir. Diyelim ki öğretmeniniz sizden 2'yi bir milyon kez çarpan olarak yazın ödev için. Bunun ne kadar süreceğini düşünüyorsun? Cevap.

Faktörler Faktörlerin Ürünü Açıklama
2 x 2 = 4 2, 2 kez bir faktördür
2x2x2 = 8 2, 3 kez bir faktördür
2x2x2x2 = 16 2, 4 kez bir faktördür
2x2x2x2x2 = 32 2, 5 kez bir faktördür
2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64 2, 6 kez bir faktördür
2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128 2, 7 kez bir faktördür
2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 256 2, 8 kez bir faktördür

2'yi bir milyon kez bir faktör olarak yazmak çok zaman alıcı ve sıkıcı bir iş olacaktır. Buna yaklaşmanın daha iyi bir yolu kullanmaktır. üsler. Üstel gösterim, bir sayıyı birçok faktörün ürünü olarak yazmanın daha kolay bir yoludur.

üs bize kaç kez olduğunu söyler baz faktör olarak kullanılmaktadır.

Örneğin, 2'yi bir milyon kez çarpan olarak yazmak için taban 2'dir ve üs 1.000.000'dur. Bu sayıyı üstel biçimde aşağıdaki gibi yazıyoruz:

olarak oku iki milyonuncu güce yükseltildi

Örnek 1: Üsleri kullanarak 2 x 2 x 2 x 2 x 2 yazın, ardından cevabınızı yüksek sesle okuyun.

Çözüm: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2 5 2 beşinci güce yükseltildi

Üslerin nasıl çalıştığını görmek için yukarıdaki tabloya bir kez daha bakalım.

üstel
Form
faktör
Form
Standart
Form
2 2 = 2 x 2 = 4
2 3 = 2x2x2 = 8
2 4 = 2x2x2x2 = 16
2 5 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
2 6 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64
2 7 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128
2 8 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 256

Şimdiye kadar sadece 2 tabanı olan sayıları inceledik.

Örnek 2: Üsleri kullanarak 3 x 3 x 3 x 3 yazın, ardından cevabınızı yüksek sesle okuyun.

Çözüm: 3 x 3 x 3 x 3 = 3 4 3 dördüncü güce yükseltilmiş

Örnek 3: Üsleri kullanarak 6 x 6 x 6 x 6 x 6 yazın, ardından cevabınızı yüksek sesle okuyun.

Çözüm: 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6 5 6 beşinci güce yükseltildi

Örnek 4: Üsleri kullanarak 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 yazın, ardından cevabınızı yüksek sesle okuyun.

Çözüm: 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 = 8 7 8 yedinci güce yükseltildi

Örnek 5: 10 3 , 3 6 ve 1 8'i faktör formunda ve standart formda yazın.

üstel
Form
faktör
Form
Standart
Form
10 3 10x10x10 1,000
3 6 3x3x3x3x3x3 729
1 8 1x1x1x1x1x1x1x1 1

Üsleri 0, 1, 2 ve 3 olan sayılar için aşağıdaki kurallar geçerlidir:

Kural Misal
Sıfır güce yükseltilmiş herhangi bir sayı (0 hariç) 1'e eşittir. 149 0 = 1
Birinci güce yükseltilmiş herhangi bir sayı her zaman kendisine eşittir. 8 1 = 8
Bir sayı ikinci kuvvete yükseltilirse, onun olduğunu söyleriz. kare. 3 2 olarak okunur üç kare
Bir sayı üçüncü kuvvete yükseltilirse, diyoruz ki küp. 4 3 olarak okunur dört küp

Özet: Tam sayılar standart biçimde, faktör biçiminde ve üstel biçimde ifade edilebilir. Üstel gösterim, bir sayının art arda faktör olarak yazılmasını kolaylaştırır. Üstel biçimde yazılan bir sayı, bir üste yükseltilmiş bir tabandır. Üs, bize tabanın kaç kez faktör olarak kullanıldığını söyler.

Egzersizler

Yönergeler: Aşağıdaki her soruyu okuyun. CEVAP KUTUSUNA bir kez tıklayın ve cevabınızı yazın ve ardından ENTER'a tıklayın. Cevaplarınızda virgül kullanmayın, sadece rakamlar kullanın. ENTER'a tıkladıktan sonra, SONUÇ KUTUSU'nda cevabınızın doğru mu yanlış mı olduğunu gösteren bir mesaj belirecektir. Baştan başlamak için TEMİZLE'yi tıklayın.


Cevaplı Daha Fazla Soru


  1. 3 x + 2 3 x + 2 3 x + 1
    = 3 x + 2 3 x + 2 3 x 3
    = 3 x + 2 3 x + 6 3 x
    = 3 x (1 + 2 + 6)
    = 9 3 x = 3 2 3 x = 3 x + 2

  2. f(1) = A e k = 3 ve f(2) = A e 2 k = 9
    A e 2 k = 9 şu şekilde yazılabilir:
    A e k e k = 9 ve ayrıca biliyoruz ki A e k = 3
    3 e k = 9
    hangi basitleştirir
    e k = 3
    k'yi çözmek için her iki tarafın ln'sini alın ve elde edin
    k = ln(3)
    A e k = 3 denkleminde k'yi ln(3) ile değiştirin ve elde etmeyi basitleştirin
    bir = 1.

  3. öyle bir t bulun ki
    120 e 0,011 t = 125 e 0,007 t
    e 0,011 t - 0,007 t = 125 / 120
    Basitleştirin ve her iki tarafı da alın
    0,004 t = ln (125 / 120)
    t = 10,2 yıl
    İki popülasyon 2004 + 10 = 2014'te eşitti
    2014 yılında her şehrin nüfusu
    120 e 0.011 10 = 134 bin.

  4. denklemi r için çözün
    bir 0 e20 r = A 0 / 2
    basitleştirin
    e20 r = 1/2
    Her iki taraftan da al
    20 r = ln(1/2)
    r = - 0.035

6.1E: Üstel Fonksiyonlar (Alıştırmalar) - Matematik

Önceki makale, Olasılık Dağılımlarının temellerini ele aldı ve Tekdüzen Olasılık Dağılımı hakkında konuştu. Bu makale, Üniform Dağılım gibi Sürekli bir dağılım olan Üstel Olasılık Dağılımı'nı ele almaktadır.

Giriş –

Diyelim ki şu soruyla karşı karşıyayız: Belirli bir olay meydana gelmeden önce ne kadar beklememiz gerekiyor?
Verilen problemi Üstel Dağılım kullanarak modellersek, bu sorunun cevabı olasılık terimleriyle verilebilir.
Beklememiz gereken süre bilinmediği için bunu Rastgele Değişken olarak düşünebiliriz. Belirli bir aralıkta olayın olma olasılığı aralığın uzunluğuyla orantılıysa, Rastgele Değişken üstel bir dağılıma sahiptir.
Bir Üstel Rastgele Değişkenin desteği (Rastgele Değişkenin alabileceği değerler kümesi), tüm pozitif gerçek sayıların kümesidir.

Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu –

Pozitif bir gerçek sayı için Üstel olarak dağıtılmış bir Rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekilde verilir:

Buraya oran parametresidir ve yoğunluk fonksiyonu üzerindeki etkileri aşağıda gösterilmiştir –

Yukarıdaki fonksiyonun geçerli bir olasılık yoğunluk fonksiyonu olup olmadığını kontrol etmek için, desteğinin üzerindeki integralinin 1 olup olmadığını kontrol etmemiz gerekir.

Kümülatif Yoğunluk Fonksiyonu –

Bildiğimiz gibi, kümülatif yoğunluk fonksiyonu, belirli bir değere kadar tüm olayların olasılıklarının toplamından başka bir şey değildir. .
Üstel dağılımda, kümülatif yoğunluk fonksiyonu tarafından verilir-

Beklenen Değer –

Beklenen değeri bulmak için, olasılık dağılım fonksiyonunu x ile çarparız ve tüm olası değerlere (destek) entegre ederiz.

Varyans ve Standart sapma –

Üstel dağılımın varyansı şu şekilde verilir:

Dağıtımın Standart Sapması –

  • Örnek – X, bir parçacığın Geiger sayacıyla saptanması arasındaki süreyi göstersin ve X'in E(X) = 1.4 dakika ile üstel bir dağılıma sahip olduğunu varsayalım. Sayacı başlattıktan sonraki 30 saniye içinde bir parçacığı tespit etmemiz olasılığı nedir?
  • Çözüm – Parçacıkların art arda tespiti arasındaki süreyi ifade eden Rastgele Değişken (X) üstel olarak dağıtıldığından, Beklenen Değer şu şekilde verilir:

    Deneyin başlamasından sonraki 30 saniye içinde parçacığı tespit etme olasılığını bulmak için yukarıda tartışılan kümülatif yoğunluk fonksiyonunu kullanmamız gerekir. Dakika cinsinden oran parametremiz olduğu için verilen 30 saniyeyi dakikaya çeviriyoruz.

Bellek Özelliği Eksikliği –

Şimdi, yukarıdaki örnekte, 30 saniyelik işarette bir parçacık tespit edildikten sonra, üç dakika sonra hiçbir parçacık tespit edilmediğini düşünün.
Son 3 dakikadır beklediğimiz için bir tespitin yapıldığını hissediyoruz. vadesi yani sonraki 30 saniye içinde bir parçacığın tespit edilme olasılığı 0,3'ten yüksek olmalıdır. Ancak. bu üstel dağılım için doğru değildir. Koşullu olasılık olarak ifade edilebilecek yukarıdaki senaryonun olasılığını bularak bunu kanıtlayabiliriz.

Tespit edilmeden üç dakika beklememiz, sonraki 30 saniyede tespit edilme olasılığını değiştirmez. Bu nedenle, olasılık yalnızca dikkate alınan aralığın uzunluğuna bağlıdır.

Referanslar –

Dikkat okuyucu! Don's şimdi öğrenmeyi bırak. Hepsini öğren Ücretsiz Canlı Derslerle GATE CS konseptleri youtube kanalımızda.