Nesne

15.4E: Green Teoremi (Alıştırmalar)


Aşağıdaki alıştırmalar için Green teoremini uygulayarak çizgi integrallerini değerlendirin.

1. (displaystyle int_C 2xy,dx+(x+y),dy), burada (C), ((0, 0)) ile ((1, 1)) arasındaki yoldur (y=x^3) grafiği boyunca ve ((1, 1))'den ((0, 0))'ye, (y=x) grafiği boyunca saat yönünün tersine

2. (displaystyle int_C 2xy,dx+(x+y),dy), burada (C), (y=0) ve (y=) grafikleri arasındaki bölgenin sınırıdır 4−x^2) saat yönünün tersine yönlendirilmiş

Cevap:
(displaystyle int_C2xy,dx+(x+y),dy=frac{32}{3}) iş birimi

3. (displaystyle int_C 2arctanleft(frac{y}{x}sağ),dx+ln(x^2+y^2),dy), burada (C) saat yönünün tersine yönlü (x=4+2cos θ,;y=4sin θ) ile tanımlanır

4. (displaystyle int_C sin xcos y,dx+(xy+cos xsin y),dy), burada (C), (y grafikleri arasında uzanan bölgenin sınırıdır) =x) ve (y=sqrt{x}) saat yönünün tersine yönlendirilmiş

Cevap:
(displaystyle int_Csin xcos y,dx+(xy+cos xsin y),dy=frac{1}{12}) iş birimleri

5. (displaystyle int_C xy,dx+(x+y),dy), burada (C), (x^2+y^2=1 grafikleri arasındaki bölgenin sınırıdır. ) ve (x^2+y^2=9) saat yönünün tersine yönlendirilmiş

6. (displaystyle ∮_C (−y,dx+x,dy)), burada (C), ((−1,0)) ile ((−1,0)) arasındaki (C_1) doğru parçasından oluşur (1, 0)), ardından ((1, 0))'den ((1, 0))'ye yarım daire şeklindeki yay (C_2) gelir.

Cevap:
(displaystyle ∮_C (−y,,dx+x,,dy)=π) iş birimi

Aşağıdaki alıştırmalar için Green teoremini kullanın.

7. (C), ((0, 0)) ile ((1, 1)) ila ((0, 1)) ve geri ((0) arasındaki doğru parçalarından oluşan eğri olsun. , 0)). (displaystyle int_C xy,dx+sqrt{y^2+1},dy) değerini bulun.

8. Çizgi integralini (displaystyle int_C xe^{−2x},dx+(x^4+2x^2y^2),dy) değerlendirin, burada (C) daireler arasındaki bölgenin sınırıdır (x^2+y^2=1) ve (x^2+y^2=4) ve pozitif yönelimli bir eğridir.

Cevap:
(displaystyle int_C xe^{−2x},dx+(x^4+2x^2y^2),dy=0) iş birimi

9. Bölgenin çevresinde ve çevresinde (vecs F(x,y)=xy,mathbf{hat i}+y^2,mathbf{hat j}) alanının saat yönünün tersine dolaşımını bulun ilk çeyrekte (y=x^2) ve (y=x) eğrileriyle çevrelenir ve saat yönünün tersine yönlendirilir.

10. (displaystyle ∮_C y^3,dx−x^3y^2,dy) değerlendirin, burada (C) orijinde merkezlenmiş pozitif yönlü yarıçap (2) çemberidir.

Cevap:
(displaystyle ∮_C y^3,dx−x^3y^2,dy=−24π) iş birimi

11. (displaystyle ∮_C y^3,dx−x^3,dy) değerlendirin, burada (C) yarıçapı (2) ve yarıçapı (1) merkezde bulunan iki daireyi içerir. kökenli, her ikisi de pozitif yönelimli.

12. (displaystyle ∮_C −x^2y,dx+xy^2,dy) hesaplayın, burada (C) orijinde merkezlenmiş ve saat yönünün tersine yönlendirilmiş (2) yarıçaplı bir dairedir .

Cevap:
(displaystyle ∮_C −x^2y,dx+xy^2,dy=8π) iş birimi

13. Köşeleri olan (C) üçgeni boyunca (displaystyle ∮_C 2[y+xsin(y)],dx+[x^2cos(y)−3y^2],dy) integralini hesaplayın ((0, 0), ,(1, 0)) ve ((1, 1)), Green teoremi kullanılarak saat yönünün tersine yönlendirilir.

14. (displaystyle ∮_C (x^2+y^2),dx+2xy,dy) integralini değerlendirin, burada (C), (y=x^2)'den gelen parabolü izleyen eğridir. ((0,0), ,(2,4),) ardından ((2, 4)) ile ((2, 0)) arasındaki satır ve son olarak (()'dan gelen satır 2, 0)) ila ((0, 0)).

Cevap:
(displaystyle ∮_C (x^2+y^2),dx+2xy,dy=0) iş birimi

15. (displaystyle ∮_C (y−sin(y)cos(y)),dx+2xsin^2(y),dy), çizgi integralini değerlendirin, burada (C) (x=−1, ,x=2, ,y=4−x^2) ve (y=x−2.) ile sınırlanan bölge etrafında saat yönünün tersine bir yol

Aşağıdaki alıştırmalarda, alanı bulmak için Green teoremini kullanın.

16. Elips (frac{x^2}{9}+frac{y^2}{4}=1) ile daire (x^2+y^2=25) arasındaki alanı bulun.

Cevap:
(A=19π; ext{birim}^2)

17. Parametrik denklemin çevrelediği bölgenin alanını bulun

(vecs p(θ)=(cos(θ)−cos^2(θ)),mathbf{hat i}+(sin(θ)−cos(θ)sin(θ) )),mathbf{hat j}) için (0≤θ≤2π.)

18. Hiposikloid (vecs r(t)=cos^3(t),mathbf{hat i}+sin^3(t),mathbf{hat j) ile sınırlanan bölgenin alanını bulun }). Eğri (t∈[0,2π].) ile parametrelendirilir.

Cevap:
(A=frac{3}{8π}; ext{birim}^2)

19. Köşeleri ((0,4), ,(4,1), ,(3,0), ,(−1,−1),) ve ((−2) olan bir beşgenin alanını bulun ,2)).

20. (displaystyle int_{C^+}(y^2+x^3),dx+x^4,dy) değerini değerlendirmek için Green teoremini kullanın, burada (C^+) kare ([0,1]×[0,1]) saat yönünün tersine yönlendirilir.

Cevap:
(displaystyle int_{C^+} (y^2+x^3),dx+x^4,dy=0)

21. Yarıçapı (a) olan bir diskin alanının (A=πa^2; ext{units}^2) olduğunu kanıtlamak için Green teoremini kullanın.

22. Dört yapraklı bir gülün bir döngüsünün alanını bulmak için Green teoremini kullanın (r=3sin 2θ). (İpucu: (x,dy−y,dx=r^2,dθ)).

Cevap:
(A=frac{9π}{8}; ext{birim}^2)

23. Parametrik denklemlerle verilen sikloidin bir kemerinin altındaki alanı bulmak için Green teoremini kullanın: (x=t−sin t,;y=1−cos t,;t≥0.)

24. Eğri tarafından çevrelenen bölgenin alanını bulmak için Green teoremini kullanın

(vecs r(t)=t^2,mathbf{hat i}+left(frac{t^3}{3}−tsağ),mathbf{hat j}, ) için (−sqrt{3}≤t≤sqrt{3}).

Cevap:
(A=frac{8sqrt{3}}{5}; ext{birim}^2)

25. [T] (displaystyle int_C xe^y,dx+e^x,dy) integralini değerlendirmek için bir bilgisayar cebir sistemi kullanarak Green teoremini değerlendirin; burada (C), (x^2 tarafından verilen dairedir) +y^2=4) ve saat yönünün tersine yönlendirilir.

26. (displaystyle int_C(x^2y−2xy+y^2),ds) değerini değerlendirin, burada (C), (0≤x≤1,;0≤y) birim karesinin sınırıdır ≤1), saat yönünün tersine hareket ettirildi.

Cevap:
(displaystyle int_C (x^2y−2xy+y^2),ds=3)

27. Değerlendir (displaystyle int_C frac{−(y+2),dx+(x−1),dy}{(x−1)^2+(y+2)^2}), burada (C), iç kısmı saat yönünün tersine döndürülen ((1,−2)) noktasını içermeyen herhangi bir basit kapalı eğridir.

28. Değerlendir (displaystyle int_C frac{x,dx+y,dy}{x^2+y^2}), burada (C) orijini çevreleyen herhangi bir parçalı, düzgün basit kapalı eğridir, saat yönünün tersine geçti.

Cevap:
(displaystyle int_C frac{x,dx+y,dy}{x^2+y^2}=2π)

Aşağıdaki alıştırmalarda, kuvvetin yaptığı işi hesaplamak için Green teoremini kullanın. (vecs F) kapalı yol (C) etrafında saat yönünün tersine hareket eden bir parçacık üzerinde.

29. (vecs F(x,y)=xy,mathbf{hat i}+(x+y),mathbf{hat j}, quad C:x^2+y^2=4 )

30. (vecs F(x,y)=(x^{3/2}−3y),mathbf{hat i}+(6x+5sqrt{y}),mathbf{hat j }, quad C): köşeleri ((0, 0), ,(5, 0),) ve ((0, 5)) olan bir üçgenin sınırı

Cevap:
(W=frac{225}{2}) iş birimi

31. (displaystyle int_C (2x^3−y^3),dx+(x^3+y^3),dy)'yi değerlendirin, burada (C) saat yönünün tersine yönlendirilmiş bir birim çemberdir.

32. Bir parçacık ((−2,0) noktasında başlar, (x)-ekseni boyunca ((2, 0))'ye doğru hareket eder ve sonra (y=sqrt{4) yarım daire boyunca hareket eder. −x^2}) başlangıç ​​noktasına. (vecs F(x,y)=x,mathbf{hat i}+(x^3+3xy^2),mathbf{ kuvvet alanına göre bu parçacık üzerinde yapılan işi bulmak için Green teoremini kullanın. hat j}).

Cevap:
(W=12π) iş birimi

33. David ve Sandra rüzgarda sürtünmesiz bir gölette kayıyorlar. David içeride kayıyor ve saat yönünün tersi yönünde (2) yarıçaplı bir daire çiziyor. Sandra, bir kez, yine saat yönünün tersine de, (3) yarıçaplı bir daire etrafında kayıyor. ((x,y)) noktasındaki rüzgar kuvvetinin (vecs F(x,y)=(x^2y+10y),mathbf{hat i}+(x^3) olduğunu varsayalım +2xy^2),mathbf{hat j}). Kimin daha fazla iş yaptığını belirlemek için Green teoremini kullanın.

34. (vecs F(x,y)=(3y−4x),mathbf{hat i}+(4x−y),mathbf{hat j kuvvet alanı tarafından yapılan işi bulmak için Green teoremini kullanın. }) bir nesne elips etrafında saat yönünün tersine bir kez hareket ettiğinde (4x^2+y^2=4.)

Cevap:
(W=2π) iş birimi

35. Çizgi integralini (displaystyle ∮_C e^{2x}sin 2y,dx+e^{2x}cos 2y,dy) değerlendirmek için Green teoremini kullanın, burada (C) elips (9) (x−1)^2+4(y−3)^2=36) saat yönünün tersine yönlendirilir.

36. (displaystyle ∮_C y^2,dx+x^2,dy) çizgi integralini değerlendirin, burada (C) köşeleri ((0,0), ,() olan bir üçgenin sınırıdır 1,1)) ve ((1,0)), saat yönünün tersine yönlendirme ile.

Cevap:
(displaystyle ∮_C y^2,dx+x^2,dy=frac{1}{3}) iş birimi

37. (displaystyle int_C vecs h·dvecs r) eğer (vecs h(x,y)=e^y,mathbf{hat i}−sin'i değerlendirmek için Green teoremini kullanın πx,mathbf{hat j}), burada (C) köşeleri ((1, 0), ,(0, 1),) ve ((−1,0) olan bir üçgendir ),) saat yönünün tersine hareket etti.

38. (displaystyle int_Csqrt{1+x^3},dx+2xy,dy) çizgi integralini değerlendirmek için Green teoremini kullanın; burada (C), köşeleri ((0, 0) olan bir üçgendir , ,(1, 0),) ve ((1, 3)) saat yönünde yönlendirilir.

Cevap:
(displaystyle int_C sqrt{1+x^3},dx+2xy,dy=3) iş birimleri

39. (displaystyle int_C x^2y,dx−xy^2,dy) çizgi integralini değerlendirmek için Green teoremini kullanın; burada (C) bir dairedir (x^2+y^2=4) saat yönünün tersine yönlendirilir.

40. Çizgi integralini (displaystyle int_C left(3y−e^{sin x} ight),dx+left(7x+sqrt{y^4+1} ight),dy) değerlendirmek için Green teoremini kullanın ) burada (C) saat yönünün tersine doğrultulmuş (x^2+y^2=9) çemberidir.

Cevap:
(displaystyle int_C left(3y−e^{sin x} ight),dx+left(7x+sqrt{y^4+1} ight),dy=36π) iş birimleri

41. (displaystyle int_C (3x−5y),dx+(x−6y),dy) çizgi integralini değerlendirmek için Green teoremini kullanın, burada (C) elips (frac{x^2}{) 4}+y^2=1) ve saat yönünün tersine yönlendirilir.

42. (C), ((0, 0)) ile ((1, 0)) ve ((1, 1)) ve son olarak ((0,)'a geri dönen üçgen kapalı bir eğri olsun. 0).) (vecs F(x,y)=4y,mathbf{hat i}+6x^2,mathbf{hat j}.) ('yi değerlendirmek için Green teoremini kullanın. displaystyle ∮_Cvecs F·dvecs r.)

Cevap:
(displaystyle ∮_Cvecs F·dvecs r=2) iş birimi

43. (displaystyle ∮_C y,dx−x,dy) çizgi integralini değerlendirmek için Green teoremini kullanın, burada (C) daire (x^2+y^2=a^2) saat yönünde.

44. (displaystyle ∮_C (y+x),dx+(x+sin y),dy,) çizgi integralini değerlendirmek için Green teoremini kullanın; burada (C), orijini kendisiyle birleştiren herhangi bir düzgün basit kapalı eğridir saat yönünün tersine yönlendirilir.

Cevap:
(displaystyle ∮_C (y+x),dx+(x+sin y),dy=0) iş birimi

45. Çizgi integralini (displaystyle ∮_C left(y−ln(x^2+y^2) ight),dx+left(2arctan frac{y}{x}) değerlendirmek için Green teoremini kullanın right),dy,) burada (C) pozitif yönlü dairedir ((x−2)^2+(y−3)^2=1.)

46. (displaystyle ∮_C xy,dx+x^3y^3,dy,)'yi değerlendirmek için Green teoremini kullanın; burada (C) köşeleri ((0, 0), ,(1) olan bir üçgendir , 0),) ve ((1, 2)) pozitif yönelimli.

Cevap:
(displaystyle ∮_C xy,dx+x^3y^3,dy=2221) iş birimleri

47. (displaystyle int_C sin y,dx+xcos y,dy,) çizgi integralini değerlendirmek için Green teoremini kullanın; burada (C) elipstir (x^2+xy+y^2= 1) saat yönünün tersine yönlendirilir.

48. (vecs F(x,y)=left(cos(x^5)−13y^3sağ),mathbf{hat i}+13x^3,mathbf{hat j olsun }.) Saat yönünün tersine dolaşımı (displaystyle ∮_Cvecs F·dvecs r,) bulun; burada (C), ((−2,0))'yi birleştiren doğru parçasından oluşan bir eğridir ve ((−1,0),) yarım daire (y=sqrt{1−x^2},) ((1, 0)) ve ((2, 0) birleştiren doğru parçası ),) ve yarım daire (y=sqrt{4−x^2}.)

Cevap:
(displaystyle ∮_Cvecs F·dvecs r=15π^4) iş birimi

49. (displaystyle ∫_C sin(x^3),dx+2ye^{x^2},dy,) çizgi integralini değerlendirmek için Green teoremini kullanın; burada (C), birbirine bağlanan üçgen kapalı bir eğridir ((0, 0), ,(2, 2),) ve ((0, 2)) noktaları saat yönünün tersine.

50. (C) saat yönünün tersine döndürülen (0≤x≤π,;0≤y≤π,) karesinin sınırı olsun. (displaystyle ∫_C sin(x+y),dx+cos(x+y),dy.)'yi bulmak için Green teoremini kullanın.

Cevap:
(displaystyle int_Csin(x+y),dx+cos(x+y),dy=4) iş birimleri

51. (displaystyle ∫_C vecs F·dvecs r,) çizgi integralini değerlendirmek için Green teoremini kullanın; burada (vecs F(x,y)=(y^2−x^2),mathbf{ hat i}+(x^2+y^2),mathbf{hat j},) ve (C), (y=0,;x=3, ile sınırlanan bir üçgendir. ) ve (y=x,) saat yönünün tersine yönlendirilir.

52. (displaystyle ∫_C vecs F·dvecs r,) integralini değerlendirmek için Green Teoremini kullanın; burada (vecs F(x,y)=(xy^2),mathbf{hat i}+ x,mathbf{hat j},) ve (C) saat yönünün tersine yönlendirilmiş bir birim çemberdir.

Cevap:
(displaystyle ∫_C vecs F·dvecs r=π) iş birimi

53. (displaystyle ∮_C (xy+y^2),dx+x^2,dy,) çizgi integralini değerlendirmek için bir düzlemde Green teoremini kullanın; burada (C), sınırlı bir bölgenin kapalı eğrisidir (y=x) ve (y=x^2) ile saat yönünün tersine yönlendirilir.

54. (vecs F(x,y)=−x,mathbf{hat i}+2y,mathbf{hat j})'nin köşeleri ((±1) olan bir kare üzerinde dışa doğru akısını hesaplayın ,,±1),) burada birim normal dışarıyı gösterir ve saat yönünün tersine yönlendirilir.

Cevap:
(displaystyle ∮_Cvecs F·vecs N ,ds=4)

55. [T] (C) saat yönünün tersine yönlü (x^2+y^2=4) daire olsun. kullanarak (displaystyle ∮_C left[left(3y−e^{arctan x}),dx+(7x+sqrt{y^4+1} ight),dy ight]) değerini değerlendirin bilgisayar cebir sistemi.

56. (vecs F(x,y)=−x,mathbf{hat i}+y,mathbf{hat j}) alanının (x^2+y^2 boyunca akışını bulun =16) saat yönünün tersine yönlendirilir.

Cevap:
(displaystyle ∮_C vecs F·vecs N,ds=32π)

57. (vecs F=(y^2−x^2),mathbf{hat i}+(x^2+y^2),mathbf{hat j},) olsun ve (C) (y=0, ,x=3,) ve (y=x) ile sınırlandırılmış, saat yönünün tersine yönlendirilmiş bir üçgen olsun. (vecs F) ile (C) arasındaki dışa doğru akıyı bulun.

58. [T] (C) saat yönünün tersine bir kez katedilen (x^2+y^2=1) birim çember olsun. Değerlendir (displaystyle ∫_C left[−y^3+sin(xy)+xycos(xy) ight],dx+left[x^3+x^2cos(xy) ight] ],dy) bir bilgisayar cebir sistemi kullanarak.

Cevap:
(displaystyle ∫_C sol[−y^3+sin(xy)+xycos(xy)sağ],dx+sol[x^3+x^2cos(xy)sağ] ,dy=4.7124) iş birimi

59. [T] (vecs F(x,y)=xy^2,mathbf{hat i}+x^2y,mathbf{hat j}) vektör alanının halkanın sınırı boyunca dışa akışını bulun (R=ig{(x,y):1≤x^2+y^2≤4ig}=ig{(r,θ):1≤r≤2,,0≤ θ≤2πig}) bir bilgisayar cebir sistemi kullanarak.

60. (y=x^2) ve (x=y^2) parabolleriyle sınırlanan (R) bölgesini ele alalım. (C), saat yönünün tersine yönlü (R)'nin sınırı olsun. (displaystyle ∮_C left(y+e^{sqrt{x}} ight),dx+left(2x+cos(y^2) ight),dy'yi değerlendirmek için Green teoremini kullanın. )

Cevap:
(displaystyle ∮_C left(y+e^{sqrt{x}}sağ),dx+left(2x+cos(y^2) ight),dy=13) iş birimleri

Gilbert Strang (MIT) ve Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd), katkıda bulunan birçok yazarla birlikte. OpenStax'ın bu içeriği bir CC-BY-SA-NC 4.0 lisansı ile lisanslanmıştır. http://cnx.org adresinden ücretsiz olarak indirin.


Ek satış hakkı

Ek satış hakkıveya bir "fazla tahsis seçeneği" [1], bir hisse arzındaki özel bir düzenlemeyi tanımlamak için yaygın olarak kullanılan bir terimdir, örneğin, sigortacıları temsil eden yatırım bankasının hisseyi desteklemesini sağlayan bir ilk halka arz (IPO) kendi sermayesini riske atmadan tekliften sonra fiyat. Seçenek, lider sigortacı, lider yönetici ve ihraççı (birincil hisseler durumunda) veya satıcı (ikincil hisseler) arasındaki yüklenim sözleşmesinde bir hüküm olarak kodlanmıştır. [2] Bu hüküm, sigortacıya, teklif edilen hisse fiyatı üzerinden ek şirket hisselerinde %15'e kadar satın alma hakkı vermektedir. [3] [1]

Terim, sigortacıların bu uygulamayı bir halka arzda kullanmalarına izin vermek için ilk şirket olan Green Shoe Manufacturing'in (şimdi Stride Rite olarak adlandırılmaktadır) adından türetilmiştir. [4]

Greenshoe seçeneklerinin hisse senedi tekliflerinde kullanılması iki nedenden dolayı yaygındır. Birincisi, bir sigortacının, bir teklifin hemen ardından teklif fiyatının altında işlem görme riskini azaltan yeni hisselerin fiyatını stabilize etmesi için yasal bir mekanizmadır - hem ihraççının hem de sigortacının ticari itibarına zarar veren bir sonuç. İkinci olarak, sigortacılara, hisseler için teklif sonrası talebe dayalı olarak teklifin nihai boyutunu belirleme konusunda bir miktar esneklik sağlar.


620 Güz 2017

Dersin Kapsamı. Pek çok vücut fiziği, etkileşen parçacıklardan oluşan geniş toplulukların toplu davranışını anlamak için bir çerçeve sağlar. Bu ders, bu alana bir giriş sağlar, size temel teknik ve kavramları tanıtır, bu yöntemleri kullanarak hesaplamalar ve problem çözme konusunda size ilk elden deneyim kazandırmayı amaçlar.

Bu kursun içeriği, ek materyallerle birlikte Cambridge University Press tarafından yayınlanan ve Amazon'da bulunan "Introduction to Many Body Physics" kitabım olacaktır.

  • Metinler: İşte kurs için diğer bazı iyi referanslar.


      • Çok Parçacık Fiziği,Üçüncü baskı G. Mahan tarafından. (Plenum, 2000). Birçok vücut fiziği üzerine klasik bir metin. Şematik ve Yeşil Fonksiyonlar yöntemine odaklanır. Çok kapsamlı ama biraz tarihli.
          • Yoğun Madde Fiziğindeki Temel Kavramlar P. W. Anderson tarafından. Klasik bir referans. Birçoğumuz hala ilham ve felsefe için bu kitaba dönüyoruz. Ayrıca arkada önemli baskılardan oluşan güzel bir seçkiye sahiptir.


          Geleneksel Birçok Vücut Teorisi ve Yeşiller Fonksiyonları

          • ``İstatistiksel Fizikte Kuantum Alan Teorisinin Yöntemleri'' Abrikosov, Gorkov ve Dzyalozinskii tarafından. (Dover Paperback) - Altmışlı yıllardan, genellikle AGD olarak bilinen klasik metin.
          • ``Çok-Cisim probleminde Feynman Diyagramları için bir rehber R. D. Mattuck tarafından. Konuya hafif bir giriş. Dover tarafından yeniden basıldı.
          • ``Katı Hal Fiziği için Yeşiller fonksiyonları'' S.Doniach ve E.H. Sondheimer. AGD kadar kapsamlı değil, ancak daha az tehdit edici ve bir şekilde daha yönetilebilir. Fizikte Sınırlar serisi no 44.
          • ``Kuantum Birçok Parçacık Sistemi'' J. W. Negele ve H. Orland tarafından. Ne yazık ki tüm iyi fizik çözülmemiş alıştırmalarda! Ancak, fonksiyonel integral konusuna değinen bu kümenin tek örneğidir.


          Çok Vücut Problemine daha yeni yaklaşımlar.

          • R. Shankar, Rev Mod Phys 66 129 (1994). Yoğun madde fiziğinin en iyi yorumcularından biri tarafından yazılmış, renormalizasyon grubu ve fonksiyonel integral teknikleri hakkında şaşırtıcı derecede bağımsız bir inceleme.
          • Yoğun Madde Fiziğinin Alan Teorileri E. Fradkin tarafından. (Fizikte Sınırlar, Addison Wesley). Kesirli istatistikler ve kesirli kuantum Hall etkisi hakkında ilginç materyal.
          • Yoğun Madde Fiziğinde Kuantum Alan Teorisi A. Tsvelik tarafından. (Cambridge kağıdı arkası) Tek boyutlu sistemler için çok iyi. Egzersiz yok.
          • D. Pines ve P. Nozieres'in Kuantum Sıvıları Teorisi. Alan teorisinin kullanılmasını önleyen Fermi sıvı teorisine mükemmel bir giriş.
          • İstatistiksel Fizik, cilt II Lifshitz ve Pitaevskii tarafından. Bergama. Birçok vücut fiziğinin, özellikle yoğun madde fiziğinin uygulamaları üzerine harika bir kitap.

          Çevrimiçi referanslar (Şuna bakın - bu harika bir bağlantı).

          Saat: 12.00 çarşamba günü am ve cuma günleri 13.40 ARC-212. Bazen seyahatimi telafi etmek için ek bir sınıf düzenleyeceğiz. Bu geçici olarak gerçekleşecek 10.20am içinde SEC 217 (Not SEC ARC değil!) ara sıra Pazartesi günleri. Bu rahatsızlık için özür dilerim.

          Ofis saati: 9.50 Cuma günleri veya anlaşma ile. telefon x 9033

          Değerlendirme: Değerlendirme, haftalık ödevler, eve götürme ara sınavı ve eve götürme final sınavı temelinde yapılacaktır. Etkileşimli bir dersi teşvik etmek istiyorum ve not verirken bunu dikkate alacağım!


          anahat
          Aşağıdaki listeden seçilmiş bir sorti yapacağız. Yıldız işaretleri, yüksek öncelikli olacak alanları gösterir

          • İkinci Niceleme. ``Ücretsiz'' sistemler-- yarıparçacık kavramının yapı taşı. *
          • Fononlar ve fotonlar, Fermi ve Bose akışkanlarının spin sistemleri (x-y) modeli. Etkileşimler.*
          • Green'in Fonksiyonları ve Feynman diyagramları .*
          • Sonlu sıcaklık Yeşil Fonksiyonlar. *
          • Sonlu sıcaklık Feynman Diyagramlarının (i) elektron-fonon problemine * (ii) taşınım teorisine uygulanması.
          • Fonksiyonel İntegral Yaklaşım (eğer zaman izin verirse).
          • Kırık Simetri ve Süperiletkenlik. *

          Program (Şu anda geliştirme aşamasındadır - lütfen son program için tekrar kontrol edin):


          Green'in Fonksiyonları ve Sınır Değer Problemleri, Üçüncü Baskı

          Green'in Fonksiyonlar ve Sınır Değer Problemleri, Üçüncü Baskı, uygulamalı matematik, fizik bilimleri ve mühendislikteki önemli problemlerin üstesinden gelmek için diferansiyel ve integral denklemlerin kullanımına yönelik matematiksel teknikler sağlayarak önceki iki baskının geleneğini sürdürüyor. Bu yeni baskı, sınır değer problemlerinin pratik çözümünde kilit rol oynayan modern hesaplama yöntemlerinin etkin kullanımı için gerekli olan matematiksel kavramları ve nicel araçları sunmaktadır. Teori ve uygulamaların dikkatli bir şekilde harmanlanmasıyla yazarlar, gerçek analiz, fonksiyonel analiz, doğrusal olmayan analiz, doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemler, integral denklemler, yaklaşım teorisi ve sayısal analiz arasındaki boşluğu başarıyla kapatarak, temel matematiksel anlama ve analiz için kapsamlı bir temel sağlar. ve hesaplamalı modelleme problemleri.

          Son gelişmeleri yansıtmak için baştan sona güncellenen ve gözden geçirilen kitap, sınır değer problemleri için modern hesaplamalı matematiğin araçları hakkında kapsamlı yeni bir bölüm içermektedir. Üçüncü Baskı, aşağıdakiler de dahil olmak üzere çok sayıda yeni konu içerir:

          Banach uzayları için doğrusal olmayan analiz araçları

          Sonlu elemanlar ve ilgili ayrıklaştırmalar

          Banach uzaylarında en iyi ve en iyiye yakın yaklaşım

          Ayrıklaştırılmış denklemler için yinelemeli yöntemler

          Sobolev ve Besov uzay doğrusalına genel bakış

          Doğrusal olmayan denklemler için yöntemler

          Doğrusal olmayan eliptik denklemlere uygulamalar

          Ek olarak, çeşitli konular önemli ölçüde genişletildi ve zayıf türevler ve Sobolev uzayları, Hahn-Banach teoremi, dönüşlü Banach uzayları, Banach Schauder ve Banach-Steinhaus teoremleri ve Lax-Milgram teoremi üzerine yeni materyaller dahil edildi. kitap. Her bölümde bulunan yeni ve gözden geçirilmiş alıştırmalar, okuyucuların kendi problem çözme becerilerini geliştirmelerine olanak tanır ve her bölümdeki güncellenmiş bibliyografyalar, yeni ve gelişmekte olan araştırma ve uygulamalar için kapsamlı bir kaynak sağlar.

          Dikkatli matematik dengesi ve anlamlı uygulamalarıyla, Green's Functions and Boundary Value Problems, Third Edition, uygulamalı analiz ve kısmi diferansiyel denklemlerdeki sınır değer problemleri ile ilgili dersler için lisansüstü düzeyde mükemmel bir kitaptır. Ayrıca günlük işlerinde uygulamalı matematiği kullanan matematikçiler, fizikçiler, mühendisler ve bilim adamları için değerli bir referanstır.

          İncelemeler

          Yazar Bios

          MICHAEL HOLST, Doktora, San Diego'daki California Üniversitesi'nde Matematik ve Fizik Bölümlerinde Profesördür ve burada hem Hesaplamalı Matematik Merkezi'nin hem de Hesaplamalı Bilim, Matematik ve Mühendislik Doktora Programı'nın Eş-Direktörüdür. Dr. Holst, uygulamalı analiz, hesaplamalı matematik, kısmi diferansiyel denklemler ve matematiksel fizik alanlarında çok sayıda makale yayınlamıştır.


          15.4E: Green Teoremi (Alıştırmalar)

          Pick Teoreminin İncelenmesi

          Pick Teoremi nedir?

          Pick Teoremi, köşeleri bir kafes üzerindeki noktalar olan herhangi bir çokgenin alanını belirlemek için kullanışlı bir yöntemdir, düzenli aralıklı noktalar dizisi. Kafesler farklı düzenlemelerde noktalara sahip olsa da, bu makale Pick Teoremini incelemek için kare bir kafes kullanır.

          Alanı Pick Teoremi ile hesaplanabilen çokgen örnekleri aşağıda gösterilmiştir.

          Her şeklin alanı diğer yöntemlerle (örneğin, onu daha küçük parçalara bölmek veya çevreleyen bir dikdörtgen kullanmak) kullanarak hesaplanabilse de, Pick teoremi nispeten basit bir alternatif sağlar. Bu formülü anlamak için iki tanım gereklidir:

          Sınır Noktası (B): poligonda bir kafes noktası (köşeler dahil)

          İç Nokta (ben): çokgenin iç bölgesindeki bir kafes noktası

          Pick Teoremi, köşeleri kafes noktaları olan bir çokgenin alanını belirtmek için bu tanımları kullanır:

          Örneğin, yukarıdaki sarı çokgenin alanı, kenar noktalarının (5) ve iç noktaların (5) sayılmasını gerektirir. Bu değerler formülde kullanılır:

          Alıştırma olarak, yeşil ve mavi şekillerin alanını hesaplamak için Pick Teoremini kullanın. Çözümler

          Pick Teoremini sınıf ortamında düzenli olarak kullanmıştım ama arkasındaki matematiği anlamadım. Neden çalışıyor? Kanıtlayabilir miyim? Aşağıda sunulan çalışma benim Pick's Teoremini anlama ve bu soruları cevaplama girişimimdir.

          Pick teoreminin altında yatan mekaniği anlamak için, çok basit çokgenler ve dikey ve yatay kenarları olan dikdörtgenlerle başladım. Bu dikdörtgenleri incelemek birkaç ilişkiyi ortaya çıkardı:

          için j x k dikdörtgen, B = 2 j + 2k.

          için j x k dikdörtgen, ben = (j – 1)(k – 1).

          Bu ilişkileri kullanarak, Pick Teoreminin dikey ve yatay kenarları olan dikdörtgenlerin alanını doğru bir şekilde hesapladığını doğrulayabilirim.

          İsterseniz yukarıdaki 5 x 3 dikdörtgeni egzersiz olarak kullanın. 16 sınır noktası ve 8 iç noktanın yanı sıra 15 birim karelik bir alana sahip olduğunu doğrulamak için formülleri kullanın.

          Dikdörtgenlerle Pick Teoreminin bu anlayışı, aşağıdaki üçgenlerle ilgili araştırmamı başlatmama yardımcı oldu.

          Dikey ve Yatay Ayaklı Üçgenler

          Yukarıda açıklanan dikdörtgenlerle ortak özellikleri göz önüne alındığında, bir dikey ve bir yatay bacaklı dik üçgenleri incelemeye başladım. Aşağıdaki şekli göz önünde bulundurun:

          Yeşil üçgenlerin her biri bir j'nin alanının yarısıdır. x k dikdörtgen. Yukarıdaki dikdörtgenler gibi, sınır ve iç noktaların sayısını tanımlamak için ilişkiler mevcuttur:

          Sınır noktalarının sayısı j + k + 1 + saat, nerede h hipotenüs uç noktalarını içermeyen üçgenin hipotenüsüyle kesişen kafes noktalarının sayısını temsil eder. h yarısı olan herhangi bir üçgen için hesaplanabilir j x k dikdörtgenin en büyük ortak faktörünü bularak j ve k ve çıkarma 1 ( h = gcf ( h, k) - 1). Örneğin, yukarıda gösterilen daha büyük yeşil üçgen, 4 x 8'lik bir dikdörtgenin yarısıdır. gcf (4, 8) = 4, yani h = 3. Şekil bu hesaplamayı doğrulamaktadır.

          Bir j x k dikdörtgeninin iç noktalarının sayısını hatırlayın: ben = (j - 1)( k - 1). Bu dikdörtgen iki üçgene bölündüğünde, hipotenüs ile çakışan iç noktalar sınır noktaları olur. Bu noktalar olarak sayısallaştırılmıştır h. Böylece, iki üçgenin iç noktalarının sayısı ( j - 1)(k - 1) - h. Bir üçgenin iç noktalarının sayısını elde etmek için bu değeri yarıya indirdim:

          Dikey ve yatay bir bacağı olan bir üçgenin sınır noktaları ve iç noktaları için formülleri Pick's Teoremi'ne girerek, alanın doğru hesaplanmasını doğruladım:

          Bu durumda Pick Teoreminin doğruluğunu bilmek, bir kafes üzerinde oluşturulan diğer üçgen türlerinin araştırılmasını sağlar.

          Dikey Kenarlı veya Yatay Kenarlı Üçgenler

          Bu üçgen, kenarlarından yalnızca birinin dikey veya yatay olarak hizalanması nedeniyle yukarıdaki üçgenlerden farklıdır.

          Bu üçgene göre Pick Teoreminin doğruluğunu doğrulamak için bir j x k üçgenin iki köşesi dikdörtgenin köşeleriyle çakışacak şekilde dikdörtgen. Daha sonra aşağıdaki şemaya göre kenarları etiketledim.

          Dikdörtgenin alanı, üç üçgenin alanlarının toplamıdır. İstenilen (kahverengi) üçgenin alanını bulmak için sınır ve iç noktaların sayısını hesapladım. Not h1 ve h2, segmentin uzunluğunu değil, işaretli segmentin iç kısmına denk gelen kafes noktalarının sayısını temsil eder.

          Bu formüller ve Pick Teoremi kullanılarak doğru alan elde edilir:


          Chebyshev’s Teoremi Örnek Problemler

          Şimdi Chebyshev'in formülünün nasıl uygulanacağını belirli örneklerle göstereceğiz. Bu Chebyshev's Teoremi uygulama problemleri, Chebyshev'in Teoreminin kullanımı ve sonucun nasıl yorumlanacağı konusunda size bir anlayış vermelidir.

          Örnek 1

          Öğrenci test puanlarının dağılımı sola çarpıktır. Chebyshev's Kuralını kullanarak, ortalamanın 1,5 standart sapması içinde öğrenci puanlarının yüzdesini tahmin edin.
          Çözüm:
          Bu problemde k'nin değeri 1.5'tir, bu yüzden Chebyshev'in formülünde 1.5 yerine koyuyoruz:
          $ 1 – frac<1> <1.5^2>$
          k değerinin karesini alırsak
          $ k^2 = 1.5^2 = 2.25 $
          1'i 2,25'e böl
          $ frac<1> <2.25>= 0.4444 $
          1'den 0.4444'ü çıkar
          $ 1 – 0.4444 = 0.5556 $
          Cevabı yüzdeye dönüştürmek için 100 ile çarpın
          0,5556 $ cdot 100 = %55,56 $Yorum:
          Çarpık sol dağılımdaki test puanlarının en az %55,56'sı ortalamanın 1,5 standart sapması dahilindedir. Yani, ortalamanın altında 1,5 standart sapmadan, ortalamanın üzerinde 1,5 standart sapmaya kadar.

          Örnek 2

          Öğrenci kredi puanlarının dağılımı sağa çarpıktır. Chebyshev's Kuralını kullanarak, ortalamanın 2,5 standart sapması içinde kredi puanlarının yüzdesini tahmin edin.
          Çözüm:
          Bu problemde k'nin değeri 2.5'tir, bu yüzden Chebyshev'in formülünde 2.5 yerine koyuyoruz:
          $ 1 – frac<1> <2.5^2>$
          k değerinin karesini alırsak
          $ k^2 = 2.5^2 = 6.25 $
          1'i 6,25'e böl
          $ frac<1> <6.25>= 0.16 $
          1'den 0.16 çıkar
          $ 1 – 0.16 = 0.84 $
          Cevabı yüzdeye dönüştürmek için 100 ile çarpın
          0,84 $ cdot 100 = %84 $Yorum:
          Çarpık sağa dağılımdaki kredi puanlarının en az %84'ü, ortalamanın 2,5 standart sapması dahilindedir. Yani, ortalamanın 2,5 standart sapma altından, ortalamanın üzerinde 2,5 standart sapmaya kadar.

          Yukarıdaki Chebyshev's Teorem Hesaplayıcıya 1.5 ve 2.5 girebilir ve burada gösterilen sonuçların aynısını doğrulayabilirsiniz.


          3D CAD ve PLM Varlıklarınızın Değerini Artırın

          3B CAD varlıklarınızın kullanımını, dahili alt kullanım için veya müşteriler ve tedarikçilerle işbirliği için diğer 3B CAD veya Görselleştirme formatlarına çevirerek genişletin.

          3B PDF

          Yayınla'yı kullanarak 3DEXPERIENCE, CATIA V5, CREO, JT ve NX verilerinizden daha fazla değer elde edin 3B PDF veya Besteci, metin ve 3D içerikli zengin akıllı belgeler oluşturmak için.

          Genişletilmiş Gerçeklik (XR)

          Tasarım, Fabrika Düzeni, Eğitim, Görselleştirme ve AR/MR ve VR için Görsel Dijital İkiz için İşbirliğine Dayalı XR Deneyimleri. Görselleştirme Hattı tarafından otomatik olarak sağlanan 3B verilerle

          Mevcut 3B CAD Varlıklarınızı kullanın

          3D CAD varlıklarınız fikri mülkiyetinizi elinde tutar ve çözümlerimiz bu varlıklardan daha fazla değer elde etmenizi sağlar.

          Mühendislik İşbirliği

          Mühendislik doğası gereği işbirlikçi bir faaliyettir, çözümlerimiz şirket içinde ve tedarikçilerle kolay ve hızlı bir şekilde işbirliği yapmanızı sağlar.

          Görsel Dijital İkiz

          Visual Digital Twin, fiziksel bir nesnenin üzerine yerleştirilmesine ve izlenmesine olanak tanıyan zengin bir 3D dijital model sunar. Muayene, eğitim, paketleme ve tam bir Dijital ikizi desteklemek için kullanım için.

          Bağlamda ve Tam Ölçekte Tasarım

          Teorem XR, ürünlerinizi tam ölçekte ve bağlam içinde daha iyi anlamanızı sağlar, Multi-cad, CAD mühendislerinin yerel olmayan CAD verileriyle bağlam içinde tasarım yapmalarını sağlar.

          Veri Paylaşım Maliyetini Azaltın

          Çözümlerimiz, 3D CAD varlıklarınızın paylaşılmasını ve görselleştirilmesini sağlayarak maliyetleri düşürmeye ve pazara sunma süresini hızlandırmaya yardımcı olur.

          Yaşam Döngüsü boyunca sizi desteklemek

          Hızla ilerlemenizi sağlamak ve zaman içinde çözümlerimizi kullanımınızı desteklemek için, tüm kullanım aşamaları için bir dizi destek paketi sunuyoruz.

          3D CAD'İNİZDEN DAHA FAZLA DEĞER SUNMAK

          Ürünlerimiz ve çözümlerimiz, mevcut 3B CAD varlıklarının farklı biçimlerde kullanılmasını sağlar: masaüstünde görselleştirme, 3B içerikli belgeler yayınlama, müşteriler ve tedarikçilerle CAD dosyalarını değiş tokuş etme ve Artırılmış, Karma ve Yeni görselleştirme teknolojilerini destekleme. Sanal gerçeklik. Mühendislik ve üretim maliyetlerini düşürmeye, ürün kalitesini iyileştirmeye ve ürünlerin ve üretim süreçlerinin daha hızlı gelişimini desteklemeye yardımcı oluyoruz. With enhanced data sharing and supplier collaboration taking advantage of the new spatial computing, visualization and remote rendering technologies, our products and solutions aid companies get to market faster, improve competitive position and achieve a faster return on investment.

          Development Partners

          Meet Our Customers


          Mathematicians are not the people who find Maths easy they are the people who enjoy how mystifying, puzzling and hard it is. Are you a mathematician?

          Comment recorded on the 24 May 'Starter of the Day' page by Ruth Seward, Hagley Park Sports College:

          "Find the starters wonderful students enjoy them and often want to use the idea generated by the starter in other parts of the lesson. Keep up the good work"

          Comment recorded on the 3 October 'Starter of the Day' page by Mrs Johnstone, 7Je:

          "I think this is a brilliant website as all the students enjoy doing the puzzles and it is a brilliant way to start a lesson."

          Each month a newsletter is published containing details of the new additions to the Transum website and a new puzzle of the month.

          The newsletter is then duplicated as a podcast which is available on the major delivery networks. You can listen to the podcast while you are commuting, exercising or relaxing.

          Transum breaking news is available on Twitter @Transum and if that's not enough there is also a Transum Facebook page.

          Featured Activity

          Newsletter

          The Transum Newsletter for July 2021 has just been published. Click on the image above to read about the latest developments on this site and try to solve the puzzle of the month. You can read the newsletter online or listen to it by downloading the podcast.


          7 Reasons Your Poop Is Green—and What You Should Do About It

          By now, you&aposve probably become pretty well accustomed to how your poop looks (on a good day, it&aposs ideally dark brown, solid, and snakes around the toilet—like a perfect poop emoji). But let&aposs say one day, upon inspection, your stool has a green tinge to it—what the heck does that mean?

          Turns out, green stool is pretty common (you can likely breathe a sigh of relief). In fact, there are several reasons your poop might take on a greenish hue, including dietary changes or new prescription medications.

          Neden? See, your stool is mostly made of your digested food and bacteria, Shanti Eswaran, MD, a gastroenterologist at Michigan Medicine, tells Health. "However, several other factors determine stool color, including bile content, medications like Pepto Bismol and antibiotics, and ingested pigments from things like food coloring."

          Typically, reasons for green poop fall under two categories: illness or food. Here, doctors explain, specifically, the top seven reasons your poop might have a greenish color𠅊nd what you can (or should) do about it.

          1. You’re taking antibiotics.

          If you&aposve recently been ill and taken an antibiotic, it&aposs not uncommon to see a color change in your stool, says Eswaran. "Antibiotics will alter the bacterial content of the stool, sometimes also leading to a change in stool color," she explains. It&aposs also not uncommon to have antibiotic-induced diarrhea, which could cause your stomach to hurt. Luckily, this should clear up within a few days, after you complete your course of the medication.

          2. You’ve had an infection, especially involving diarrhea.

          Not dissimilar to the reason antibiotics do a number on your poop, bacteria invading the GI tract could cause a green tinge to your stool. "Bacterial infections can also change the normal flora in the stool, changing its color," says Eswaran. "Bacterial infections—like salmonella and norovirus—will also make the stool looser and more frequent."

          Diarrhea itself always increases the odds of green stool, too. Food moving through the body too quickly may not have the necessary time for bile to break it down, which could cause your stool to remain a greenish color instead of brown.

          3. You have a liver or gastrointestinal illness.

          Heidi Moretti, RD, a dietitian focusing on functional nutrition, says it&aposs not uncommon to see green stool if you have other GI issues, especially ones that cause diarrhea. "Conditions such as colitis or IBS can also cause lighter-green stools," she says. "Food intolerances that cause diarrhea can also make this condition occur, as well."

          The liver, gallbladder and the GI system are "intimately involved with each other," says Donese Worden, NMD, a board-certified naturopathic physician and adjunct faculty member at Arizona State University. "When one is upset, the entire system is affected. Bile that is produced in the liver and stored in the gallbladder can be yellow or green, and so [green stool] might be a sign of gallbladder or liver problem."  

          4. You’re eating a ton of green veggies.

          The food you eat may also cause your food, of the natural or artificial variety, may also cause your poop to turn green, Emily Haller, RDN, a registered dietician at Michigan Medicine&aposs Taubman GI Clinic, tells Health. "Green vegetables and fruits contain chlorophyll, which is the pigment that gives plants and algae their green color," she says. "Generally, a small serving of green vegetables won&apost change stool color, but larger servings of green vegetables such as spinach, kale, broccoli, bok choy, green peppers, etc. could contribute to green stool."

          Haller says it&aposs "completely normal and healthy" to have green poop as the result of eating your veggies—so definitely keep doing it. "Not only are these vegetables tasty, but they are full of vitamins, minerals and fiber," she says.

          5. You’ve been consuming green dyes (think: frosting and ice cream).

          On the other hand, it&aposs also possible to have green stool after consuming highly-pigmented mint ice cream or frosted cookies. "Some packaged or processed foods contain food dye," says Haller. "Green, blue, and yellow food coloring can also turn your poop green." In this case, the green poop is a sign you might be overdoing it on the processed stuff.

          6. You’re taking iron supplements.

          Iron supplements are notoriously difficult on the stomach, with side effects like diarrhea, nausea and upset stomach this is why those with an inflammatory bowel condition or ulcer will want to check with their doctor before taking𠅋ut most people may just see a color change as a side effect. "Iron supplements can give your stools a greenish tinge, or can look just generally darker," says Moretti. "This is okay and normal," as long as it&aposs not associated with discomfort, of course.

          7. You’re on the birth control shot.

          If you&aposve recently started getting the birth control shot, you might be seeing changes to your stool. Depo-Provera (medroxyprogesterone) has been known to cause green poop as a side effect – although why that occurs is still up for debate. Worden notes "anything that changes hormones can also affect the biliary system," including the liver and gallbladder, and if what you consume isn&apost being broken down normally, it could increase the odds of green stool.

          Should you ever worry about green poop—and when should you call your doctor?

          Green stool in and of itself is "not necessarily a cause for concern," says Eswaren. If you see another color change, however, she&aposd want to hear from you ASAP. "Red blood in the stool or black tarry stool is not normal and should be addressed right away," Eswaren says.

          If you have green poop with diarrhea that&aposs not clearing up, or one of your medications seems to be causing a sour stomach along with tinged stool, then you&aposd want to contact your doctor for new or different treatment.

          To get our top stories delivered to your inbox, sign up for the Healthy Living newsletter


          Independent Random Variables

          In some cases, the probability distribution of one random variable will not be affected by the distribution of another random variable defined on the same sample space. In those cases, the joint distribution functions have a very simple form, and we refer to the random variables as independent.

          Definition (PageIndex)

          Discrete random variables (X_1, X_2, ldots, X_n) are bağımsız if the joint pmf factors into a product of the marginal pmf's:
          $p(x_1, x_2, ldots, x_n) = p_(x_1)cdot p_(x_2) cdots p_(x_n).label$
          It is equivalent to check that this condition holds for the cumulative distribution functions.

          Recall the definition of independent events (Definition 2.3.2): (A) and (B) are independent events if (P(Acap B) = P(A) P(B)). This is the basis for the definition of independent random variables because we can write the pmf's in Equation ef in terms of events as follows:
          $p(x,y) = P(X=x ext Y=y) = P(cap) = P(X=x) P(Y=y) = p_X(x) p_Y(y) otag$
          In the above, we use the idea that if (X) and (Y) are independent, then the event that (X) takes on a given value (x) is independent of the event that (Y) takes the value (y).

          Example (PageIndex)

          Consider yet again the discrete random variables defined in Example 5.1.1. According to the definition, (X) and (Y) are independent if
          $p(x,y) = p_X(x)cdot p_Y(y), otag$
          for allpairs ((x,y)). Recall that the joint pmf for ((X,Y)) is given in Table 1 and that the marginal pmf's for (X) and (Y) are given in Table 2. Note that, for ((x,y) = (0,-1)), we have the following
          $p(0,-1) = frac<1><8>, p_X(0) = frac<1><8>, p_Y(-1) = frac<1> <8>quadRightarrowquad p(0,-1) eq p_X(0)cdot p_Y(-1). otag$
          Thus, (X) and (Y) are değilindependent, or in other words, (X) and (Y) are dependent. This should make sense given the definition of (X) and (Y). The winnings earned depend on the number of heads obtained. So the probabilities assigned to the values of (Y) will be affected by the values of (X).

          We also have the following very useful theorem about the expected value of a product of independent random variables, which is simply given by the product of the expected values for the individual random variables.

          Theorem (PageIndex)

          If (X) and (Y) are independent random variables, then ( ext[XY] = ext[X] ext[Y]).

          Assume (X) and (Y) are independent random variables. If we let (p(x,y)) denote the joint pmf of ((X, Y)), then, by Definition 5.1.3, (p(x,y) = p_X(x)p_Y(y)), for all pairs ((x,y)). Using this fact and Theorem 5.1.1, we have
          aşla
          Metin[XY] &= mathop_<(x,y)>xycdot p(x,y) = mathop_<(x,y)>xycdot p_X(x)p_Y(y)
          &= sum_xsum_y xyp_(x)P_Y(y) = sum_x xp_X(x) left(sum_y p_Y(y) ight) = sum_x xp_X(x) ext[Y]
          &= ext[Y]sum_x xp_X(x) = ext[Y] ext[X].
          son

          Theorem 5.1.2 can be used to show that two random variables are değilindependent: if ( ext[XY] eq ext[X] ext[Y]), then (X) and (Y) cannotbe independent. However, beware using Theorem 5.1.2 to show that random variables are independent. Note that Theorem 5.1.2 assumesthat (X) and (Y) are independent and then the property about the expected value follows. The other direction does not hold. In other words, if ( ext[XY] = ext[X] ext[Y]), then (X) and (Y) may or may not be independent.