Nesne

8.9.E: Riemann ve Stieltjes İntegralleri Üzerindeki Problemler


Alıştırma (PageIndex{1})

"(mathcal{M})" yerine "(mathcal{C},)" ve "temel ve integrallenebilir" veya "temel ve negatif olmayan" yerine "(mathcal{C})-basit ," Sonuç 1(ii)(iv)(vii) ve Teoremler 1(i) ve 2(ii), tümü §4'te ve R-integralleri için §4'te Problem 5-7'yi yapın.

Alıştırma (PageIndex{2})

Not 1'i doğrulayın.

Alıştırma (PageIndex{2'})

R-integralleri için §5'teki Problemleri (5-7) yapın.

Alıştırma (PageIndex{3})

R-integralleri için aşağıdakileri yapın.
(i) Teoremleri (1(mathrm{a})-(mathrm{g})) ve (2,)'nin her ikisini de (§5(mathcal{C} ext {-partitions) içinde ispatlayın })).
(ii) Teorem 1'i ve Sonuç 1 ve 2'yi kanıtlayın, tümü §6'da.
(iii) (b) tanımının (left(1^{prime} ight),left(1^{prime prime} ight),) formüllerine benzer formüllerle değiştirilebileceğini gösterin ve (1) §5'teki Tanım 1'in.
[İpucu: Sorunları Kullan (left.1 ext { ve } 2^{prime} . ight])

Alıştırma (PageIndex{4})

Teorem (1,) Lemmas 3 ve (4,) ve Corollary (4 .) ispatındaki tüm detayları doldurun

Alıştırma (PageIndex{5})

Bileşenler aracılığıyla (f, g: E^{n} ightarrow E^{s}left(C^{s} ight),) için aşağıdakileri kanıtlayın.
(i) Teoremler (1-3) ve
(ii) R-integrallerinin toplamsallığı ve doğrusallığı.
Ayrıca R-integralleri için §7'deki Problem 13'ü de yapın.

Alıştırma (PageIndex{6})

(f: A ightarrow E^{s}left(C^{s} ight))'nin sınırlı ve a.e olduğunu kanıtlayın. (A,) üzerinde sürekli sonra
[
R int_{A}|f| geqleft|R int_{A} fsağ| .
]
(m=) Lebesgue ölçüsü için, bunu sadece R-entegre edilebilirliğini varsayarak yapın.

Alıştırma (PageIndex{7})

(f, g: A ightarrow E^{1})'nin R ile integrallenebilir olduğunu kanıtlayın, o zaman
(i) (f^{2},) öyledir ve
(ii) (f g) da öyle.
[İpuçları: (i) Lemma 1 kullanın. A üzerinde (h=|f| leq K[
left(inf hleft[A_{i} ight] ight)^{2}=inf f^{2}left[A_{i} ight] ext { ve }left( sup hsol[A_{i}sağ]sağ)^{2}=sup f^{2}left[A_{i}sağ] ;
]
yani
[
egin{hizalanmış} sup f^{2}left[A_{i}sağ]-inf f^{2}left[A_{i} ight] &=left(sup hleft [A_{i}sağ]+inf hsol[A_{i}sağ]sağ)sol(sup hsol[A_{i}sağ]-inf hsol[A_{ i}sağ]sağ) & leqleft(sup hleft[A_{i}sağ]-inf hleft[A_{i}sağ]sağ) 2 K . end{hizalanmış}
]
(ii) Kullanım
[
f g=frac{1}{4}sol[(f+g)^{2}-(f-g)^{2}sağ] .
]
(iii) (m=) Lebesgue ölçüsü için, bunu Teorem 3'ü kullanarak yapın.]

Alıştırma (PageIndex{8})

Sürekli bir (alpha) için (m=) hacim fonksiyonunun (v) (veya LS fonksiyonu (s_{alpha}) ise, o zaman formüllerde ( 1) ve ( (2),) (A_{i}) (overline{A}_{i}) ile değiştirilebilir ((left.A_{i} ight) .)
[İpucu: Bunu burada gösteriniz (m A=m overline{A}),
[
R int_{A} f=R int_{overline{A}} f ,
]
ve toplama, (A_{i}) bazı ortak "yüzlere" sahip olsa bile çalışır (yalnızca iç kısımları ayrıktır).]

Alıştırma (PageIndex{9})

(Riemann toplamları.) Riemann, (underline{S}) ve (ar{S} yerine toplamları kullandı.)
[
S(f, mathcal{P})=sum_{i} fleft(x_{i}sağ) d m A_{i} ,
]
burada (m=v ext { (bkz. Problem } 8)) ve (x_{i}) (overline{A_{i}}'den keyfi olarak seçilir).
Sınırlı bir (f,) için bunu kanıtlayın
[
r=R int_{A} f d m
]
her (varepsilon>0,) için (A=[a, b]) üzerinde bulunur iff öyle ki (mathcal{P}_{varepsilon}) vardır
[
|S(f, mathcal{P})-r|]
her ayrıntılandırma için
[
mathcal{P}=left{A_{i}sağ}
]
(mathcal{P}_{varepsilon}) ve herhangi bir (x_{i} in overline{A_{i}}) seçeneği.
[İpucu: Problem (8,) ile bunun formül ( 3 ) ile eşdeğer olduğunu gösterin.]

Alıştırma (PageIndex{10})

(m)'yi Bölüm 7, §4, Problem 9'daki (sigma_{alpha}) ile değiştirerek (S için (S(f, mathcal{P}, alpha)) yazın (f, mathcal{P})) Problem (9,)'de Problem 9'u Stieltjes integralinin bir tanımı olarak ele alırken,
[
S int_{a}^{b} f d alpha quadleft( ext { veya } S int_{a}^{b} f d sigma_{alpha}sağ) .
]
Burada (f, alpha: E^{1} ightarrow E^{1}) (tek renkli olsun ya da olmasın; (f, alpha: E^{1} ightarrow C) bile olur).
(alpha: E^{1} ightarrow E^{1})'nin sürekli olduğunu ve (alpha uparrow,) olduğunu kanıtlayın.
[
S int_{a}^{b} f d alpha=R int_{a}^{b} f d alpha ,
]
(R S)-integrali.

Alıştırma (PageIndex{11})

(Parçalara göre entegrasyon.) Devam Problemi (10,) bunu ispatla
[
S int_{a}^{b} f d alpha
]
varsa
[
S int_{a}^{b} alpha d f
]
yapar ve sonra
[
S int_{a}^{b} f d alpha+S int_{a}^{b} alpha d f=K ,
]
nerede
[
K=f(b) alpha(b)-f(a) alpha(a) .
]
[İpuçları: ([a, b],) ile herhangi bir (mathcal{C})-partition (mathcal{P}=left{A_{i} ight}) alın
[
overline{A_{i}}=left[y_{i-1}, y_{i}sağ] ,
]
söyle. Herhangi bir (x_{i} in overline{A}_{i},) için şunu doğrulayın:
[
S(f, mathcal{P}, alpha)=sum fsol(x_{i}sağ)sol[alphasol(y_{i}sağ)-alphasol(y_{ i-1}sağ)sağ]=sum fsol(x_{i}sağ) alphaleft(y_{i}sağ)-sum fsol(x_{i}sağ) alphasol(y_{i-1}sağ)
]
ve
[
K=sum fsol(x_{i}sağ) alphasol(y_{i}sağ)-sum fsol(x_{i-1}sağ) alphasol(y_{ i-1}sağ) .
]
şunu çıkar
[
KS(f, mathcal{P}, alpha)=Sleft(alpha, mathcal{P}^{prime}, f ight)=sum alphaleft(x_{i}sağ) )sol[fsol(x_{i}sağ)-fsol(y_{i}sağ)sağ]-sum alphasol(x_{i-1}sağ)sol[ fsol(y_{i}sağ)-fsol(x_{i-1}sağ)sağ] ;
]
burada (mathcal{P}^{prime}) (x_{i}) ve (y_{i},) bölüm noktalarını birleştirerek elde edilir, böylece (mathcal{P}'yi iyileştirir. ).
Şimdi, (S int_{a}^{b} alpha d f) varsa, (mathcal{P}_{varepsilon})'u Problem 9'daki gibi düzeltin ve şunu gösterin:
[
left|K-S(f, mathcal{P}, alpha)-S int_{a}^{b} alpha d f ight|]
ne zaman (left.mathcal{P} ext { rafine } mathcal{P}_{varepsilon} . ight])

Alıştırma (PageIndex{12})

(alpha: E^{1} ightarrow E^{1}), ([a, b]) üzerinde (C D^{1}) sınıfındaysa ve eğer
[
S int_{a}^{b} f d alpha
]
var (bkz. Problem (10),) eşittir
[
R int_{a}^{b} f(x) alpha^{prime}(x) d x .
]
[İpuçları: Set (phi=f alpha^{prime}, mathcal{P}=left{A_{i} ight}, overline{A_{i}}=left[a_ {i-1}, a_{i}sağ]). Sonra
[
S(phi, mathcal{P})=sum fleft(x_{i}sağ) alpha^{prime}left(x_{i}sağ)left(a_{i}- a_{i-1}sağ), quad x_{i} in overline{A_{i}}
]
ve (Bölüm 5'teki Sonuç 3, §2)
[
S(f, mathcal{P}, alpha)=sum fsol(x_{i}sağ)sol[alphaleft(a_{i}sağ)-alphasol(a_{ i-1}sağ)sağ]=sum fsol(x_{i}sağ) alpha^{prime}left(q_{i}sağ), quad q_{i} in A_{i} .
]
(f) sınırlı olduğundan ve (alpha^{prime}) ([a, b]) (neden?) üzerinde düzgün sürekli olduğundan, şunu çıkarınız:
[
egin{aligned}(forall varepsilon>0)left(exists mathcal{P}_{varepsilon} ight)left(forall mathcal{P}_{varepsilon} ight)( forall mathcal{P}& ext { rafine etme }left.mathcal{P}_{varepsilon} ight) &|S(phi, mathcal{P})-S(f, mathcal{P}, alpha)|]
İlerlemek. Sorun 9'u kullanın.]

Alıştırma (PageIndex{13})

(Ortalama kanunları.) (f, g, alpha: E^{1} ightarrow E^{1} ; p leq f leq q) on (A=[a, b] ; ) (p, q in E^{1} .) Aşağıdakileri kanıtlayın.
(i) Eğer (alpha uparrow) ve eğer
[
s int_{a}^{b} f d alpha
]
varsa, o zaman ((vardır c in[p, q])) öyle ki
[
S int_{a}^{b} f d alpha=c[alpha(b)-alpha(a)] .
]
Benzer şekilde, eğer
[
R int_{a}^{b} f d alpha
]
varsa, o zaman ((vardır c in[p, q])) öyle ki
[
R int_{a}^{b} f d alpha=c[alpha(b+)-alpha(a-)] .
]
(i') (f) ayrıca (A,) üzerinde Darboux özelliğine sahipse, o zaman bazı (x_{0} in) için (c=fleft(x_{0} ight)) bir.)
(ii) (alpha) sürekli ise ve (f uparrow) (A,) üzerindeyse o zaman
[
S int_{a}^{b} f d alpha=[f(b) alpha(b)-f(a) alpha(a)]-S int_{a}^{b} alpha d f
]
vardır ve ((vardır z in A)) öyle ki
[
egin{hizalanmış} S int_{a}^{b} fd alpha &=f(a) S int_{a}^{z} d alpha+f(b) S int_{z}^{ b} d alpha &=f(a)[alpha(z)-alpha(a)]+f(b)[alpha(b)-alpha(z)] . end{hizalanmış}
]
(ii') (g) sürekli ise ve (f uparrow) (A,) üzerindeyse, o zaman ((var z in A)) öyle ki
[
R int_{a}^{b} f(x) g(x) dx=p cdot R int_{a}^{z} g(x) d x+q cdot R int_{z}^ {b} g(x) dx .
]
(f downarrow,) ise (f)'yi (-f .) ile değiştirin (Ayrıca Bölüm (9,) §1'deki Sonuç 5'e bakın.)
[İpuçları: (i) (alpha uparrow,) olarak şunu elde ederiz:
[
p[alpha(b)-alpha(a)] leq S int_{a}^{b} f d alpha leq q[alpha(b)-alpha(a)] .
]
(Neden?) Şimdi §6, Teorem 3 ve Problem 2'deki gibi tartışın.
(ii) Problem (11,)'yi kullanın ve (i)'yi (int alpha d f)'ye uygulayın.
(ii') (5, $ 10, g) Bölümünün 2. Teoremi ile (eta in CD^{1} .) (left.S int_{'e Problem 12'yi uygula a}^{b} fd eta .sağ])


Geleneksel olarak, $f(x)$ fonksiyonunun bir $[a,b]$ aralığındaki integrali, eğri üzerindeki $f(x)$ işaretinin alanı olarak tanımlanır:

ve Riemann integrali onu kesin olarak tanımlamanın bir yoludur. Özellikle küçük dikdörtgenlerin alanlarının toplamı olarak tanımlıyoruz:

$xi_k$ burada $[x_ içinde örneklenir,x_k]$ ve artan dizi $$, $[a,b]$ aralığının bir bölümü olarak adlandırılır:

[a=x_0le x_1le x_2lecdotsle x_N=b]

Riemann integralini resmileştirmek için $operatorname'yi tanımlayalım$ bölümündeki maksimum aralığın uzunluğu olarak $$:

O zaman $f(x)$ fonksiyonunun bir fonksiyonu olduğunu söyleriz. Riemann entegre edilebilir tüm $varepsilon>0$ için $delta>0$ var ise, $operatornameledelta$ her zaman sahip olduğumuz

[solvert oplam_^Nf(xi_k)(x_k-x_)-int_a^bf(x)mathrm dx ight vert <varepsilon]

Alternatif olarak, eğer $f(x)$ fonksiyonunun bir fonksiyonu $[a,b]$ üzerinde Riemann ile integrallenebilir ise, o zaman limit

vardır ve $int_a^bf(x)mathrm dx$'a yakınsar.


Hp Uzayları Teorisi

Teorem 3.8 (F. ve M. Riesz)

İzin Vermek μ(t) [0, 2'de sınırlı varyasyonun normalleştirilmiş karmaşık değerli bir fonksiyonu olsunπ] özelliği ile

Sonra μ(t) kesinlikle süreklidir.

Teorem 3.7'ye göre, hipotez karşılık gelen Poisson–Stieltjes integralini ima eder. f(z) analitiktir |z| < 1 dolayısıyla f ∈ H 1. Ancak Teorem 3.1'e göre, her H 1 fonksiyon formda gösterilebilir

Poisson gösterimi benzersiz olduğundan (Bölüm 1.2), (t) = f(e o ) dt.

İspattaki temel adım Teorem 3.1'in kullanılmasıydı. H 1 Poisson integralleri ile fonksiyonlar. Aslında bu sonuç bir anlamda eşdeğer F. ve M. Riesz teoremine. Aşağıda bazen yararlı olan başka bir varyant bulunmaktadır. Kanıt bir alıştırma olarak bırakılmıştır.


Riemann-Stieltjes ve Analizin Temel Teoremi Bölüm I

Herkese merhaba. Riemann-Stieltjes integrali hakkında başka bir yazıyla buradayım. Özellikle, Kalkülüsün Temel Teoremi ve Riemann-Stieltjes integrali ile (daha iyi bir kelime olmadığı için) ne kadar iyi işbirliği yaptığı hakkında yorum yapıyorum. Özellikle bu yazı için Rudin'den Teorem 6.21 ve Teorem 6.22'yi tartışacağım.

Bu teoremlerin ispatlarını ilk gördüğümde ve takip ettiğimde, Rudin'in sadece Riemann integrallenebilir fonksiyonları için teoremleri ispatlamayı seçmesinin garip olduğunu düşündüm. Bu yüzden, Riemann-Stieltjes integrallenebilir fonksiyonları için bu teoremleri ispatlamayı alıştırma problemlerimin bir parçası olarak belirledim. Ve çabucak, bazı sorunlar yaşamadan ispatı kelimesi kelimesine kopyalayamayacağımı gördüm. O zaman, ispatların Riemann-Stieltjes integraline uygulanabilmesi için gerekli olan minimum sayıda hipotezi eklemem gerektiğine karar verdim.

Rudin'de göründüğü gibi teoremi ve ardından yarattığım değiştirilmiş versiyonu belirterek başlayacağım. Bu gönderi bir önceki gönderinin bir devamı olduğundan ve bu gönderiden gelen tanımlar veya önceki sonuçlar adil bir oyundur.

Teorem 1 (Rudin'de 6.21) Eğer açıksa ve üzerinde öyle bir türevlenebilir fonksiyon varsa o zaman

Teorem 2 (Riemann-Stieltjes modifikasyonu) Diyelim ki monoton olarak artan, sürekli, surjective bir fonksiyondur ve . İzin Vermek . Böyle bir türevlenebilir fonksiyon varsa, o zaman

Ne olabileceğine dair birkaç kısıtlama koyduğum açık olmalı. Bu ihtiyacın monoton bir şekilde artması, belirtmeye gerek kalmadan varsayılabilirdi. Sürekli, surjective olması, aralığın uç noktalarında bir özdeşlik olarak hareket etmesi ve kod alanının . Bu, ne tür işlevlerin olabileceğini ciddi şekilde sınırlayacaktır. Örneğin, o zaman sürekli olamayacak olan herhangi bir tür adım işlevi olamaz. Şimdi ispatı benim teoremin versiyonuna uyarlamak için tüm varsayımların neden gerekli olduğunu görebilirsiniz.

Kanıt: Olsun ver. Bunun için bir bölüm seçin. Ortalama değer teoremi öyle noktalar yaratır ki

için . ile aynı anlamı verir. Şimdi bunun herkes için olduğunu iddia etmek için 'nin öznelliğini kullanıyoruz. Dolayısıyla, . Yani, anladık

Şimdi bir miktar alırsak, bunu alacağız

Son eşitliğin, aralığın uç noktalarında bir kimlik olarak hareket etmesinin istenmesiyle elde edildiğine dikkat edin. Şimdi Rudin'deki Teorem 6.7 (c) (yazının sonuna bakın) diyor ki

Bu herhangi biri için geçerli olduğundan, aslında şu sonuca varıyoruz:

Teorem 2 ispatlandıktan sonra, Riemann-Stieltjes integrali için Teorem 6.22'nin bir benzerini ifade edebilir ve ispatlayabiliriz.

Teorem 3 (Rudin'de 6.22) Diyelim ki ve , , , , üzerinde türevlenebilir fonksiyonlar. Sonra

Teorem 4 (Riemann-Stieljes modifikasyonu) Diyelim ki monoton olarak artan, sürekli, surjective bir fonksiyondur ve . Diyelim ki ve , , , , üzerinde türevlenebilir fonksiyonlar. Sonra

Bu teoremin ispatı kitaptan kelimesi kelimesine aktarılabilir. Bunu yapacağım, ancak birkaç şeyi açıklığa kavuşturmak için kitapta eksik olan birkaç ayrıntıyı ekleyeceğim.

Kanıt: Ayarla o zaman. Şimdi, türevlenebilir oldukları için sürekli olacaklar ve böylece . Bu nedenle. Şimdi tek yapmamız gereken Teorem 2'yi . bunu alacağız

integrallerin doğrusallığını kullanarak sonucu elde ederiz.

Sanırım yorgun olduğum ve dün gece blog yazarak çok fazla zaman harcadığım için yazıyı burada sonlandıracağım. Bir sonrakine kadar.

Teorem 5 (Rudin'de 6.7 (c)) Bazı bölümler için ve bunun keyfi noktalar olduğunu varsayarsak ve sonra


1. Giriş

kavramı Riemann-Stieltjes integrali ∫ a b f ( t ) d u ( t ) , nerede f denir integral, sen denir entegratör, matematikte önemli bir rol oynar, örneğin karmaşık integralin tanımında, [ a , b ] aralığındaki tüm sürekli fonksiyonların Banach uzayında sınırlı lineer fonksiyonların temsilinde, karmaşık Hilbert üzerindeki kendine eş operatörlerin spektral temsilinde uzaylar ve üniter operatörler gibi diğer operatör sınıfları, vb.

Bununla birlikte, bu integralin sayısal analizi, 1990'dan itibaren Michael Tortorella'dan kaynaklanan ufuk açıcı makalenin işaret ettiği gibi oldukça zayıftır [1]. Ancak bu yönde daha önceki sonuçlar Dubuc ve Todor tarafından sırasıyla 1984 ve 1987 tarihli makalelerinde [2, 3] ve [4] sağlandı. Riemann-Stieltjes integralinin yaklaşıklığına ilişkin son sonuçlar için, Diethelm [5], Liu [6], Mercer [7], Munteanu [8], Mozyrska'nın çalışmasına bakınız. et al. [9] ve buradaki referanslar. İlk yazar ve RGMIA'dan meslektaşları tarafından aynı yönde elde edilen diğer yeni sonuçlar için bkz. [10-16] ve [17]. Bu konuyla ilgili kapsamlı bir önbaskı listesi http://rgmia.org adresinde bulunabilir.

Riemann-Stieltjes integrali ∫ abp ( t ) dv ( t ) 'ye yaklaşmak için, burada p , v : [ a , b ] → R yukarıdaki integralin bulunduğu fonksiyonlardır, Dragomir [18]'de aşağıdaki integral özdeşliği oluşturdu :

ilgili integrallerin mevcut olması şartıyla. u ( t ) = t , t ∈ [ a , b ] olduğu özel durumda, yukarıdaki özdeşlik ünlüye indirgenir. Montgomery kimliği (bkz. [[19], s.565]) birçok yazar tarafından çeşitli bilgilerin elde edilmesinde yaygın olarak kullanılmaktadır. Ostrowski türündeki eşitsizlikler. Ostrowski'nin eşitsizliği ile ilgili yakın tarihli kapsamlı bir çalışma koleksiyonu için kitap [20], makalelere [10–12, 21–32] ve [33] bakın. Orta nokta ve yamuk kurallarıyla ilgili kareleme kurallarının hata sınırlarına ilişkin diğer sonuçlar için [34–45] ve buradaki referanslara bakın.

Bu yazıda [18, 46, 47] (ayrıca [11, 27] ve [13]'e bakınız)'dan elde edilen son sonuçlardan motive olarak, Riemann-Stieltjes integralinin ∫ abf ( λ ) du ( λ ) yaklaşım problemini araştırıyoruz. integrand olduğunda f dır-dir n-kez diferansiyellenebilir ve f(n) türevi ya yerel olarak sınırlı varyasyondur ya da [ a , b ] içeren bir aralıkta Lipschitzian'dır. Önsel birkaç entegratör sınıfı için hata sınırları sen ve sonlu Laplace-Stieltjes dönüşümü ve sonlu Fourier-Stieltjes sinüs ve kosinüs dönüşümlerinin yaklaştırılmasındaki uygulamalar da sağlanmaktadır.


1. Giriş

Hilger [1], sürekli ve ayrık hesap teorisini birleştirmek için zaman ölçeği kavramını tanıttı. Zaman ölçeklerinde dinamik denklemler alanı, diğerlerinin yanı sıra klasik diferansiyel ve fark denklemleri teorisini içerir, bağlar ve genişletir. Sadece ℝ (sürekli duruma karşılık gelen) ve ℕ (ayrık duruma karşılık gelen) 'den daha fazla zaman ölçeği ve dolayısıyla daha birçok dinamik denklem sınıfı vardır. Bohner ve Peterson [2, 3] tarafından zaman ölçeklerinde kapsamlı bir bibliyografyaya sahip mükemmel bir kaynak üretilmiştir.

Son zamanlarda, zaman ölçeklerinde sınır değer problemlerinin (BVP'ler) pozitif çözümleri için varoluş teorisi birçok yazarın dikkatini çekmiştir. Zaman ölçeklerinde üç noktalı BVP'ler için BVP'ler ve [12-17]. Çözümlerin varlığı için m-nokta BVP'ler zaman ölçeklerinde, okuyucuyu [18–20]'ye yönlendiriyoruz.

Aynı zamanda, integral sınır koşullarına sahip bir sınıf sınır değeri problemlerinin kimya mühendisliği, termo-elastisite, popülasyon dinamiği, ısı iletimi, kimya mühendisliği yeraltı su akışı, termo-elastisite ve plazma fiziği alanlarında çeşitli uygulamaları olduğunu fark ettik. Öte yandan, integral sınır koşullarına sahip sınır değer problemleri çok ilginç ve önemli bir problem sınıfını oluşturur. Özel durumlar [[21–24] ve buradaki referanslar] olarak iki noktalı, üç noktalı, çok noktalı ve yerel olmayan sınır değer problemlerini içerirler. Bununla birlikte, zaman ölçeklerinde integral sınır koşullarına sahip sınır değer problemlerinin çözümlerinin varlığı konusunda çok az çalışma yapılmıştır.

Yukarıdaki ifadelerden hareketle, bu yazıda, integral sınır koşulları ile aşağıdaki sınır değer problemi ile ilgileniyoruz.

f : [ 0 , T ] T × ℝ × ℝ → ℝ ve e : [ 0 , T ] T → ℝ sürekli fonksiyonlardır, g : [ 0 , T ] T → ℝ ∫ 0 T Δ g ile artan bir fonksiyondur ( s ) = 1 ve (1.1)'deki integral, bu makalenin 2. Bölümünde tanıtılan zaman ölçeklerinde bir Riemann-Stieltjes'dir.

Zaman ölçeklerinde hesap teorisine göre, zaman ölçeklerinde integral sınır koşullarına sahip sınır değer problemlerinin de iki noktalı, üç noktalı, 'yi kapsadığını gösterebiliriz. nSürekli durumda yerel olmayan sınır değer problemlerinin yaptığı gibi nokta sınır problemleri. Örneğin, BVP'lerde (1.1), izin ver

nerede k ≥ 1 bir tamsayıdır, bir ben ∈ [0, ∞), ben = 1, . k, < t i >i = 1 k [ 0 , T ] T 'deki farklı noktaların sonlu artan bir dizisidir ve χ(s) karakteristik fonksiyondur, yani,

daha sonra BVP'lerdeki (1.1) yerel olmayan durum, k-nokta sınır koşulu

nerede t ben , ben = 1, 2, . k belirlenebilir (Bölüm 2'deki Önerme 2.5'e bakınız).

Rezonansın mekanik bir denklemdeki etkisi bilim adamları için çok önemlidir. Neredeyse her mekanik denklem bir miktar rezonans sergileyecektir ve çok küçük bir harici darbeli kuvvetin uygulanmasıyla bile tam da bunu yapmak için uyarılabilir. Bilim adamları genellikle mekanik bir denklemden rezonansı ortadan kaldırmak için çok çalışırlar, çünkü bunun ters-üretken olduğunu düşünürler. Aslında, tüm rezonansı önlemek imkansızdır. Matematikçiler denklemlerden daha fazla rezonans teorisi sağladılar. Adi diferansiyel denklemin rezonansta olduğu durumda, çoğu çalışma denkleme yönelmiştir. x″(t) = f (t, x(t), x'(t)) + e(t). Örneğin, Feng ve Webb [25] aşağıdaki sınır değer problemini inceledi:

ne zaman αξ = 1(ξ ∈ (0, 1)) rezonansta.

bunu görmek kolay x 1(t) ≡ c(c ∈ ℝ ) ve x 2(t) = nokta(p ∈ ℝ ) doğrusal haritalamanın temel bir çözüm kümesidir. Lx(t) = x ΔΔ (t) = 0. sen 1(x) = x Δ (0) ve U 2 ( x ) = x ( T ) - ∫ 0 T x σ ( s ) Δ g ( s ) . ∫ 0 T Δ g ( s ) = 1 olduğundan, şuna sahibiz:

Böylece, det S(x) = 0, bu, BVP'lerin (1.1) rezonansta olduğunu gösterir. Mawhin'in çakışma derecesi teoremini rezonansta zaman ölçeklerinde integral sınır değer problemlerine uygulayarak, bu makale BVP'lere (1.1) en az bir çözüm bulunması için bazı yeterli koşulları oluşturacaktır.

Bu makalenin geri kalanı aşağıdaki gibi organize edilmiştir. Bölüm 2, zaman ölçeklerinde Riemann-Stieltjes integralini tanıtır. BVP'lere (1.1) en az bir çözümün varlığı için bazı lemmalar ve kriterler Bölüm 3'te oluşturulmuştur ve Bölüm 4'te ana sonuçlarımızı göstermek için örnekler verilmiştir.


Giriş

Bu makalenin ilk amacı, [1] ve [2]'nin sonuçlarının sadece (mathbb'de değil, değerlerine ulaşan fonksiyonlara genelleştirilmesidir.) ancak daha genel alanlarda. Daha sonra, herhangi bir (pge1) için daha kesin sonuçlar elde etmek için, (mathcal alanını tanıtıyoruz.^

( [a,b ], W )) düzenlenmiş fonksiyonların/sinyallerin (f:[a,b] ightarrow W) ( (a< b) gerçek sayılardır ve W toplam varyasyonu (delta^<1-p>) olarak (delta ightarrow 0+) olan fonksiyonlar tarafından (delta>0) doğruluğuyla eşit olarak yaklaşıklaştırılabilen bir Banach uzayıdır). Bu şekilde, (int_^ ile göstereceğimiz Riemann-Stieltjes toplamlarının limitinin varlığı hakkında bir sonuç elde edeceğiz. f ,mathrmg) , (mathcal'den gelen işlevler için^

( [a,b ] )) ve (matematiksel^ ( [a,b ] )) ne zaman (p,q>1) , (p^<-1>+q^<-1>>1) . Bu türün sonuçları daha önce Young [3, 4] ve D’yačkov [5] tarafından elde edilmişti (çok detaylı açıklama için [6, Bölüm 3]'e bakınız), ancak bunlar şu şekilde ifade edildi: p- veya (daha genel) ϕ-varyasyonlar. Bu durumda Riemann-Stieltjes toplamlarının limiti olarak elde edilen integrale genellikle Young integrali denir. Günümüzde, integral olarak tanımlanan nesnenin mutlaka Riemann-Stieltjes toplamlarının limiti olarak elde edilmediği düzensiz entegratörlerle ilgili entegrasyon hakkında oldukça zengin bir literatür bulunduğundan bahsetmek yerinde olacaktır. [7]'de kesirli hesaba dayalı ilginç bir yaklaşım geliştirildi. Terry Lyons tarafından geliştirilen modern kaba yol teorisinde, (int_<0>^ formunun integrallerinin varlığı f(y_) cdotmathrmx_) ve y tatmin edici (y(t) = y(0) + int_<0>^ f(y_) cdotmathrmx_) çok düzensiz için bile kanıtlanmıştır x, olduğu sürece f yeterince düzenlidir ve yinelenen integrallerin değerleri ile sağlanır (int_< s < t_<2>> mathrmx_^) , (int_< s < t < t_<2>> mathrmx_^, matematik x_^) , (int _< s < t <u < t_<2>> mathrmx_^ ,matematikx_^, matematikx_^) , vb. bkz. [8, 9]. Bahsedilen her iki yaklaşım da, entegratör ve entegratörün standart Brownian hareketi veya daha genel semimartingales ile aynı düzensizliği ortaya çıkardığı durumla başa çıkmak için araçlar sağlar (her ne kadar bu durumda Young integrali mevcut olmasa da ve tarihsel olarak, entegrallerden biriydi). stokastik integralin gelişmesinin ana nedenleri). Hurst parametresinin (1/2) olduğu özel durum dışında yarı martingale olamayan kesirli bir Brown hareketi tarafından sürülen integrallerle başa çıkmak için çeşitli integraller kullanılır: Young integrali, kesirli integral veya Skorohod integrali bkz. [10, 11].

Riemann-Stieltjes toplamlarının yakınsamasını elde etmek için, [1]'de ele alınana benzer bir varyasyon probleminin kısmi çözümünü kullanacağız. [1]'de şu problem ele alındı: real (a< b) , (c>0) , düzenlenmiş bir fonksiyon/sinyal verildiğinde (f:[a,b] ightarrow mathbb) (düzenlenmiş bir fonksiyonun tanımı için sonraki bölüme bakınız) ve (xin[f (a )-c/2,f (a )+c/2 ]) , toplam varyasyonlarının en azını bulun tüm fonksiyonlar (f^:[a,b] ightarrow mathbb) eşit olarak yaklaşık olan f doğrulukla (c/2) ,

ve (f^'den başlayın (a )=x) . (g:[a,b] ightarrow mathbb öğesinin toplam varyasyonunun) olarak tanımlanır

Bu infimum, kesik varyasyon nın-nin folarak tanımlanan

ve aşağıdaki sınırlar geçerlidir:

nerede (B (f,c/2 ):= < g: Vert fg Vert _<[a,b] ,infty >le c/2 > ) (bkz. [1, Thm. 4 ve Ek 15]). Ayrıca, sahip olduğumuz

Ne yazık ki, bu sonuç değerlerine daha genel metrik uzaylarda ulaşan fonksiyonlar için artık geçerli değildir.

Açıklama 1

(2) için bile geçerli olmadığını görmek zor değil. f (mathbb içindeki değerlerine ulaşmak^<2>) ile (|cdot|) (mathbb'de Öklid normu olarak anlaşılır^<2>) . Gerçekten de (f: [0,2 ] ightarrow mathbb olsun^<2>) (f (t )= (cos(2pilfloor t floor /3 ),sin(2pilfloor t floor/3 ) )) ile tanımlanabilir. (operatör adımız var^>(f,[0,2]) =0) , ancak işlev dizisi yok (f_: [0,2 ] ightarrow mathbb^<2>) , (n=1,2,ldots) , öyle ki (Vert f-f_ Vert _<[0,2],infty >lesqrt<3>/2) ve (lim_ operatör ismi(f_,[0,2]) =0) . Böylece (c = sqrt<3>) için, (inf_<>in B (f,c/2 )> operatöradı(f^,[a,b]) > operatöradı^(f,[a,b]) ) .

Açıklama 1, birkaç yıl önce Krzysztof Oleszkiewicz tarafından, eğer kırpılmış varyasyon, (B(f,c/2))'den (mathbb'de değerlere ulaşan fonksiyonların toplam varyasyonu için en büyük alt sınırsa) sorulan soruyu yanıtlar (olumsuz)^) , (d=2,3,ldots) , veya (mathbb dışındaki boşluklarda) . Neyse ki, (2)'nin sol tarafının kısaltılmış varyasyonu açısından kolay bir tahminini belirtmek mümkündür. f, için f değerlere ulaşmak hiç metrik uzay (toplam varyasyonu ve kesilmiş varyasyonu tanımlamak için f değerlerine ((E,d )) metrik uzayında ulaştığımızda, sadece (|f (t_) yerine koyarız )-f (t_ )|) uzaklığı ile (d (f (t_) ),f(t_ ) )) ) Teorem 1'e bakınız.

Teorem 1'in bir uygulaması, [2]'nin Riemann-Stieltjes integralinin varlığına ilişkin sonuçlarının genelleştirilmesi olacaktır. İntegrant ve integratörün değerlerine Banach uzaylarında ulaştığı durumu ele alacağız. Banach uzaylarının kısıtlaması, ispatımızın yönteminin, herhangi bir Banach uzayında doğrudan yapılabilen bir Cauchy dizisinin limitine kadar toplamın parçalara göre çoklu uygulamasını gerektirmesi gerçeğinden kaynaklanmaktadır. Bu yolla, bir Banach uzayında ((E, Vert cdot Vert _) bir yol boyunca Riemann-Stieltjes integralinin varlığı hakkında genel bir teorem elde edeceğiz. )) (integran, sürekli doğrusal eşlemelerin (F:E ightarrow V) (L (E,V )) uzayında bir yol olduğu için, burada V başka bir Banach uzayıdır) ve bu uzayda düzensiz yollar tarafından yönlendirilen integraller için Loéve-Young eşitsizliğinin geliştirilmiş bir versiyonudur.

Ünlü Loéve-Young eşitsizliği şu şekilde ifade edilebilir. (f:[a,b] ightarrow L (E,V )) ve (g:[a,b] ightarrow E) ortak süreksizlik noktaları olmayan iki düzenlenmiş fonksiyonsa ve f ve g sonlu p- ve q-varyasyonlar, sırasıyla (p > 1) , (q > 1) ve (p^<-1>+q^<-1>>1) , ardından Riemann-Stieltjes integrali ( int_^f,mathrmg) var ve şu tahmine sahibiz:

$V^

igl(f,[a,b] igr):=sup_sup _< t_<1>< cdots < t_le b> oplam_^ iglVert f (t_ )-f (t_ ) igrVert _^

$

belirtmek p- ve q-varyasyonları f ve g, sırasıyla (bazen kuvvetli varyasyonlar). ( ilde sabiti ile orijinal Loéve-Young tahmini _=1+zeta(1/p+1/q )) , burada ζ ünlü Riemann zeta fonksiyonudur, [3]'te gerçek fonksiyonlar için formüle edilmiştir. Bu eşitsizliğin daha genel, Banach uzay-değerli fonksiyonlar için karşılığı, sabit ( ilde_=4^<1/p+1/q>zeta(1/p+1/q )) , [12, Teorem 1.16]'nın ispatında formüle edilmiştir. (3)'ün geliştirilmiş versiyonumuz şudur:

nerede (Vert f Vert _< ext,[a,b]>:=sup_ Vert f (s )-f (t ) Vert _) , ve C_) bağlı olarak evrensel bir sabittir p ve q sadece. Dikkat edin ki her zaman

(3)'ün kanıtlarını ve şimdiye kadar ortaya çıkan ilgili sonuçları kısaca yorumlayalım. Young'ın (3)'ün orijinal kanıtı, sonlu diziler için basit ama akıllı tümevarım argümanını kullandı. O zamandan beri, (3)'ün çeşitli genellemeleri ortaya çıktı, örneğin kontrol fonksiyonlarına dayalı olarak [8, Kısım 3.3] veya [12, Kısım 1.3]'e bakınız. Kontrol fonksiyonlarına dayalı ancak farklı sabitlere sahip başka bir kanıt [13, Bölüm 6]'da bulunabilir. [13]'te kanıtlanan eşitsizliğin soyut bir versiyonu, dikiş lemması, [14] tarafından kanıtlanmıştır. Tüm bu yaklaşımlar, yalnızca p- ve q-varyasyon (veya Hölder) normları görünürken, yaklaşımımız, p-varyasyon normu f, yani, ((V^

(f,[a,b] ) )^<1/p>) , ((V^) faktörü ile değiştirilir

(f,[a,b] ) )^ <1-1/q>Vert f Vert _< ext,[a,b]>^<1+p/q-p>) , bu normdan birçok kez daha küçük olabilir. Açıklama 2'de Loéve-Young eşitsizliğinin daha da geliştirilmiş bir versiyonunu formüle ediyoruz. Açıklama 2'de formüle edilen eşitsizlik, ilişki (18), verim (4) ve bu, (5) ile birlikte verim (3), ancak zıt yönde akıl yürütme ((4)'ün türetilmesi veya (3)'ten Açıklama 2'de belirtilen eşitsizlik) mümkün görünmemektedir.

Bu sonuçlar, örneğin şu durumlarda uygulanabilir: f ve g yörüngeleri α- kararlı süreçler (X^<1>) , (X^<2>) ile (alphain(1,2)) . Bununla birlikte, elde edilen sonuçlar, kesilmiş varyasyon veya p-varyasyon, (f (t )=F (X^ <1>(A (t ) ) )) ve (g (t )=G (X^ <2>(B (t )) olduğunda geçerli kalırlar ) )) (atlayışların teknik varsayımı ile f ve g aynı anda meydana gelmez), burada (A,B: [0,+infty ) ightarrow [0,+infty )) parçalı monoton, muhtemelen rastgele, zaman değişiklikleridir (yani. (0=T_<0>< T_<1><cdots) var, öyle ki (T_ ightarrow +infty ) neredeyse kesinlikle (n ightarrow +infty ) olarak ve bir ve B her aralıkta monotondur ((T_,T_ )) , (i=1,2,ldots) ) ve (F,G:mathbb ightarrow mathbb) yerel olarak Lipschitz'dir.

Daha önce bahsedildiği gibi, iyileştirilmiş Loéve-Young eşitsizliğinin hala geçerli olduğu daha zayıf koşullar elde etmenin mümkün olduğu görülüyor ve bunun hala geçerli olduğunu kanıtlayacağız (ve Riemann-Stieltjes integrali (int _^)f,mathrmg) var) fonksiyonlar için f ve g hiçbir ortak süreksizlik noktası olmaksızın, tatmin edici

Lyons'un erken dönem çalışmalarından [15] iyi bilinmektedir ki, f ve g sonlu p- ve q-varyasyonlar, sırasıyla (p > 1) , (q > 1) ve (p^<-1>+q^<-1>>1) , ardından belirsiz integral (I(cdot) )) sonlu q-varyasyon. Bununla birlikte, simetrik olduğu da iyi bilinmektedir. α-kararlı süreç X (alpha in[1,2]) ile sonlu p-herhangi bir (p>alpha) için varyasyon, oysa onun α-varyasyon sonsuzdur ( ([0,+infty )'nin herhangi bir uygun kompakt alt aralığında) bkz, örneğin, [16, Thm. 4.1]. Böylece, örneğin, (f (t )=F (X^ <1>(A (t ) ) )) ve (g (t )=G (X^ <2>(B (t )), ) )) önceki paragraftaki gibidir, o zaman (I (cdot )) sonlu diyebiliriz p-herhangi bir (p>alpha) için ([0,+infty ))'nin herhangi bir kompakt alt aralığında varyasyon, ancak daha fazlasını söyleyemez. Sonuçlarımıza göre, (I (cdot)inmathcal) ^([0,t],mathbb)) herhangi () ayrıca, tahminler alacağız ben Teorem 3'e bakınız. Böylece, yeni uzayların ve eşitsizliklerin tanıtılmasının en az iki uygulaması vardır: (1) fonksiyon ailesini sonlu ile tanımlarız. p-varyasyon, (mathcal'in uygun bir alt kümesi olarak^

) , yani, doğrulukla eşit olarak yaklaştırılabilen fonksiyon ailesi δ toplam varyasyonu (delta ^<1-p>) olarak (delta ightarrow 0+) , (2) olan basit fonksiyonlarla, düzensiz yollar tarafından sürülen integraller için daha iyi tahminler elde ederiz. düzensiz yollar tarafından yönlendirilen diferansiyel denklemlerin çözümlerinin varlığına ilişkin bazı sonuçları güçlendirmek için kullanılabilir [2, Bölüm 3] ve Bölüm 4.3'e bakınız.

Gazetenin organizasyonu hakkında yorum yapalım. Bir sonraki bölümde, (inf_ için çok genel tahminleri kanıtlayacağız. operatör ismi(g,[a,b]) ) için düzenlenmiş (f:[a,b] ightarrow E) , burada E kesilmiş varyasyonu açısından herhangi bir metrik uzaydır. f. Next, in Section 3, we use the obtained estimates to prove a new theorem on the existence of the Riemann-Stieltjes integral driven by irregular paths in Banach spaces. In the proofs we closely follow [2]. In Section 4, we introduce the Banach spaces (mathcal^

([a,b],W)) , (pge1) (Section 4.1) and in Section 4.2 obtain more exact estimates of the rate-independent irregularity of functions from these spaces (in terms of ϕ-variation). In the last subsection we deal with the irregularity of the integrals driven by signals from the spaces (mathcal^

([a,b],W)) , (pge1) .


5 Answers 5

It's fairly easy to visualize the Riemann–Stieltjes integral $int_a^b f(t),dg(t)$ [I changed the name of the integration variable for convenience below] if $fge0$ and $g$ is nondecreasing. Just draw the graph of the curve $(x,y)=(g(t),f(t))$. The integral is just the area below the curve. (Whenever $g$ makes a jump at some $t_0$, fill in the gap by setting $y=f(t_0)$ there.) The Riemann–Stieltjes sums are now easy to visualize as sums of areas of rectangles (details left as an exercise).

Well the amusing example is fundamental to analytic number theory, because any sum of a smooth function can be written as a stieltjes integral. Here is a typical use: Say we want to estimate the $sum_

f(p)$ where $f$ is a nice smooth, positive, decreasing function (say faster than $1/x$), and the summation is taken over the primes. Then by Stieltjes non-sense (this is essentially Ilya's example but slightly more elaborate): $sum_

= int_<3/2>^ f(t) extpi(t)$ where $pi(t)$ is the prime counting function. By using "integration by parts for Stieltjes integrals" the previous integral is equal to $f(x) pi(x) - int_<3/2>^ pi(t) extf(t)$. When $f$ is a nice differentiable function we have that $ extf(t) = f'(t) extt$. Thus the previous integral simply equals to $f(x) pi(x) - int_<3/2>^ pi(t) f'(t) extt$. Now we know that $pi(x) sim frac$ so putting this inside the integral and assuming that $f$ is not too bad (i.e let's say $f$ decreasing and in size about $1/x$, but not as small as to make our integral constant) we get that $sum_

f(p) sim - int_<3/2>^ frac extt$ (the minus sign is there because we assume $f$ to be decreasing in the increasing case the procedure described above doesn't work so well because the term $f(x)pi(x)$ and the integral $int_<3/2>^ pi(t)f'(t) extt$ give a contribution of roughly equal size, so when we approximate $pi(t)$ we are (usually) left only with the error term). If you take $f(x) = 1/x$ then a simple consequence of the above result is that $sum_

frac<1>

sim loglog(x)$. I hope this example was worthwhile. (I know you asked for visualization but I think this is a good example of actual use, maybe it will be helpful)

First of all, you can think of this integral using almost the same picture. The only difference is that instead of summing just the areas of the rectangles, you first multiply each area by $g(x_)-g(x_i)$ and then add.

The idea is that we no longer consider the real line as having the same "weight" everywhere some parts are now "more important" than others. When we did usual integration, we assigned the the piece of the line between $x_i$ and $x_$ the weight $x_-x_i$, exactly proportional to its length. Now, instead, this same piece is given weight $g(x_)-g(x_i)$.

In particular, if we picked g so that $g(x)=x$ for all x, we would get the regular integral back. Eğer g were constant, all integrals would become zero no part of the real line would matter at all.

Final amusing example if g(x)=0 for $x leq 0$ and g(x)=1 for $x > 0$, then no part of the line matters except the origin. For simplicity, suppose some $x_i=0$. Then, our Riemann-Stjeltes sum will be: $sum_^n f(x_i)cdot underbrace<(g(x_)-g(x_i))>_< extx_i=0> = f(0)$no matter what our step is. So, the integral of any function f olacak f(0). (The function will need to be continuous for integrals to be well-defined, as always)

But, I think what you are really missing is the concept of a measure, at least an intuitive one. It takes a bit of work to learn, but makes understanding all kinds of integration much easier. My favorite source for this is the dirt-cheap book by Kolmogorov-Fomin (you'd need to look at the last couple of chapters, and to reference the first chapters episodically), but it would certainly require some time and might be more than you need. Ideally, just take a graduate-level (or similar) analysis course.


Referanslar

Tariboon, J, Sitthiwirattham, T: Positive solutions of a nonlinear three-point integral boundary value problem. Bound. Value Probl. 2010, Article ID 519210 (2010)

Kong, LJ: Second order singular boundary value problems with integral boundary conditions. Nonlinear Anal. 72(5), 2628-2638 (2010)

Webb, JRL, Infante, G: Non-local boundary value problems of arbitrary order. J. Lond. Matematik. Soc. 79(2), 238-258 (2009)

Webb, JRL, Infante, G: Positive solutions of nonlocal boundary value problems: a unified approach. J. Lond. Matematik. Soc. 74(2), 673-693 (2006)

Agarwal, RP: The numerical solution of multipoint boundary value problems. J. Comput. Appl. Matematik. 5, 17-24 (1979)

Kwong, MK: The shooting method and multiple solutions of two/multi-point BVPS of second-order ODE. Elektron. J. Qual. Theory Differ. Equ. 2006, 6 (2006)

Kwong, MK, Wong, JSW: The shooting method and nonhomogeneous multipoint BVPs of second-order ODE. Bound. Value Probl. 2007, Article ID 64012 (2007)

Ma, RY: Positive solutions of a nonlinear m-point boundary value problem. Comput. Matematik. Appl. 42, 755-765 (2001)

Wang, HL, Ouyang, ZG, Wang, LG: Application of the shooting method to second-order multi-point integral boundary-value problems. Bound. Value Probl. 2013, Article ID 205 (2013)


8.9.E: Problems on Riemann and Stieltjes Integrals

Tuesday and Thursdays, 11-12:30 in Room 4-153.

Note that the text, [1], is Rudin's ``Principles of Mathematical Analysis''. The problems are from the 3rd edition.

There are two sections of 18.100B, plus a section of 18.100A. This web page is only for my section. The lecturer for the other section of 18.100B is Professor S. Helgason.

The timetable here should not be completely relied upon! As set out below it will mean that we move at a quite brisk pace. Probably I will have to modify it a bit as I go along. The dates of the tests and on which homework is due will not change but it is possible that the material they cover will change a little.

Lecture 1: February 3. Where do we start?

Reading:- Rudin Pages 1 - 11.

Problems:- Rudin Chapter 1, Problems 1,3,5.

NOTE: There is a homework due tomorrow. You can in fact get full marks by handing in a page with your name on it. However, try the first three questions so that I can help you with setting out proofs. Our grader has not yet been selected.

First `Proof' - that there is no rational with square 2.

Naive set theory, union and intersection, Cartesian product.

Lecture 2: February 5. The real numbers.

Problems:- Rudin Chapter 1, Problems 8,9,10.

Least upper bound property.

Archimedean property of real numbers.

Lecture 3: February 10. Countability.

Problems:- Rudin Chapter 2, Problems 2,3,4.

Maps, surjectivity, injectivity, bijectivity.

Finite, countable, uncountable, at-most-countable and infinite sets.

Countability of the integers (duh).

A countable union of countable sets is countable.

Cartesian product of two countable sets is countable.

Countability of the rationals.

The uncountability of the set of sequences with values in

Amusement for the over-prepared. Prove Sylvester's theorem. Suppose and are non-negative integers. Show that every integer larger than can be expressed as a linear combination with and non-negative integres.

Lecture 4: February 12. Metric spaces, open sets.

Problems:- Rudin Chapter 2, Problems 9a, 9b, 9c, 11,

Euclidean metric, discrete metric and supremum metric.

Open balls in a metric space.

Open subsets of a metric space.

Unions and finite intersections of open sets are open.

Limit points and closed sets.

Lecture 5: February 19 (Monday schedule on February 17). Closed sets.

Problems:- Rudin Chapter 2, Problems 10, 22, 23.

Complements of closed sets are open and vice versa.

Lecture 6: February 24. Compact sets.

Problems:- Rudin Chapter 2, Problems 12, 16, 25.

Countable intersection property

Infinite subsets of compact sets have limit points

Lecture 7: February 26. Compact subsets of Euclidean space

Problems:- Rudin Chapter 2, Problems 24, 26, 29.

Compactness of the unit cube.

Lecture 8: March 2. Completeness.

Reading:- Rudin Pages 42-43, 47-55.

Problems:- Rudin Chapter 2, Problems 19, 20, 21.

Completeness of Euclidean spaces.

Lecture 9: March 4. Sequences and series.

Reading:- Rudin Pages 55-69, 71-75.

Problems:- Rudin Chapter 3, Problems 2, 7, 12, 16.

Completeness of compact spaces.

Did not do series, root, ratio tests, absolute convergence.

Lecture 10: March 9. Continuity.

Problems:- Rudin Chapter 4, Problems 1, 4, 15.

Limits of functions at a point.

Continuity of functions at a point.

Lecture 11: March 11. Continuity and sets.

Problems:- Rudin Chapter 4, Problems 1, 4, 15.

Continuity and closes sets.

Continutiy and components.

Lecture 12: March 16. Continuity and compactness.

Continuity and compactness.

A continuous function on a compact set has a maximum

Continuity and connectedness.

A continuous function on an interval takes intermediate values.

Lecture 13: March 18. First in-class test. Covers all material in Lectures 1-10.

Lecture 14: March 30. Differentiability.

Reading:- Rudin pages 103-107.

Differentiability and the derivative.

Differentiability implies continuity.

Lecture 15: April 1. (Professor Helgason will lectures, since I will be away.) Mean value theorem.

Reading:- Rudin pages 107-110.

Increasing and decreasing functions

Lecture 16: April 6. Riemann-Stieltjes integral defined.

Reading:- Rudin pages 120-124.

Upper and lower integrals.

Lecture 17: April 8. Integrability of a continuous function.

Reading:- Rudin pages 124-127.

Continuous functions are Riemann-Stieltjes integrable.

Monotonic functions are R-S integrable w.r.t. continuous length functions.

Continuous function of R-S integrable function is R-S integrable.

Lecture 18: April 13. Riemann-Stieltjes integral.

Reading:- Rudin pages 128-133.

Properties of the integral

Lecture 19: April 15. Fundamental theorem of calculus.

Reading:- Rudin pages 133-136.

Lecture 20: April 22 (April 20 is a holiday). Sequences of functions.

Reading:- Rudin pages 143-151

Pointwise convergence of sequences of functions

Uniform convergence and continuity

Lecture 21: April 27. Second in-class test Lecture 22:

April 29. Uniform convergence.

Reading:- Rudin pages 150-154.

The metric space of bounded continuous functions on a metric space.

Uniform convergence and integration.

Uniform convergence and differentiation.

Lecture 23: May 4. Equicontinuity

Reading:- Rudin pages 154-161.

Equicontinuity and compactness.

Lecture 24: May 6. Power series

Reading:- Rudin pages 172-180

Lecture 25: May 11. Fundamental theorem of algebra.

Reading:- Rudin pages 180-185.

Exponential, logarithm and trigonometric functions.

Fundamental theorem of algebra.

Final review, with some indications of what more we could have done with a little time. I will give you some idea of the structure of the final examination. Also I will try to give you an idea of the relationship of the material in this course to other mathematics courses.


Videoyu izle: THE RIEMANN-STIELTJES INTEGRAL by MATv (Aralık 2021).