Nesne

13: Vektör Uzayları - Matematik


13: Vektör Uzayları - Matematik

Vektör Matematiğinin Oyunlarda Pratik Kullanımı

Yeni başlayanlar için 3B uzayda geometri biraz göz korkutucu görünebilir. Kağıt üzerinde 2B yeterince zordu, ama şimdi 3B'de geometri? İyi haber: Grafiklerde trigonometri kullanımı nadirdir ve birçok nedenden dolayı kaçınılır. Anlaması ve kullanması daha kolay olan başka araçlarımız da var. Burada eski dostumuzu tanıyabilirsin - bir vektör.

Bu makale sizi 3B vektörlerle tanıştıracak ve birkaç gerçek dünya kullanım örneğinde size yol gösterecektir. 3D'ye odaklansa da, burada açıklanan çoğu şey 2D için de geçerlidir. Makale, cebir ve geometriye aşinalık, bazı programlama dilleri, temel bilgi birikimine sahip olduğunu varsayar. OOP.


Veri Bilimi İçin Temel Matematik: Skalar ve Vektörler

Lineer cebir, vektör uzaylarını inceleyen matematiğin dalıdır. Vektörlerin vektör uzaylarını nasıl oluşturduğunu ve lineer cebirin bu uzaylara lineer dönüşümleri nasıl uyguladığını göreceksiniz. Ayrıca doğrusal denklemler ve vektör denklemleri arasındaki güçlü ilişkiyi de öğreneceksiniz.

Makineler sadece sayıları anlar. Örneğin, bir spam dedektörü oluşturmak istiyorsanız, önce metin verilerinizi sayılara dönüştürmeniz gerekir (örneğin, kelime yerleştirmeleri). Veriler daha sonra vektörlerde, matrislerde ve tensörlerde saklanabilir. Örneğin, görüntüler, her piksel için her rengin parlaklığını temsil eden 0 ile 255 arasındaki değerlerin matrisleri olarak temsil edilir. Bu vektörleri, matrisleri ve tensörleri manipüle etmek için lineer cebir alanındaki araçları ve kavramları kullanmak mümkündür.

Doğrusal cebir, matematiğin inceleyen dalıdır. vektör uzayları. Vektörlerin vektör uzaylarını nasıl oluşturduğunu ve lineer cebirin bu uzaylara lineer dönüşümleri nasıl uyguladığını göreceksiniz. Ayrıca, aşağıdakiler gibi önemli veri bilimi kavramlarıyla ilgili doğrusal denklemler ve vektör denklemleri arasındaki güçlü ilişkiyi de öğreneceksiniz. en küçük kareler yaklaşımı. Sonunda önemli matris ayrıştırma yöntemlerini öğreneceksiniz: özbileşim ve Tekil Değer Ayrışımı (SVD), örneğin denetimsiz öğrenme yöntemlerini anlamak için önemlidir. Temel bileşenler Analizi (PCA).

Skaler ve Vektörler

Vektörler nedir?


Lineer cebir ile ilgilenir vektörler. Alandaki diğer matematiksel varlıklar, vektörlerle olan ilişkileriyle tanımlanabilir: skalerörneğin, tek sayılar ölçek vektörler (uzama veya daralma) kendileriyle çarpıldığında.

Ancak vektörler, kullanıldıkları alana göre çeşitli kavramlara atıfta bulunurlar. Veri bilimi bağlamında, verilerinizden değerleri depolamanın bir yoludur. Örneğin, insanların boy ve kilosunu alın: bunlar farklı anlamlara sahip farklı değerler olduğundan, örneğin iki vektör kullanarak bunları ayrı ayrı saklamanız gerekir. Ardından, değerlerin farklı özniteliklere karşılık geldiği gerçeğini kaybetmeden bu özellikleri işlemek için vektörler üzerinde işlemler yapabilirsiniz.

Vektörleri veri örneklerini depolamak için de kullanabilirsiniz; örneğin, on kişinin boyunu on değer içeren bir vektör olarak saklayın.

Vektörleri adlandırmak için küçük, kalın harfler kullanacağız (vv gibi). Her zaman olduğu gibi, bu kitapta kullanılan notasyonların özeti için Temel Matematikte Veri Bilimi Ek'e bakın.

Geometrik ve Koordinat Vektörleri


Kelime vektör birden fazla kavramı ifade edebilir. Geometrik ve koordinat vektörleri hakkında daha fazla bilgi edelim.

koordinatlar bir konumu tanımlayan değerlerdir. Örneğin, dünyadaki herhangi bir konum coğrafi koordinatlarla (enlem, boylam ve yükseklik) belirtilebilir.

geometrik vektörler, olarak da adlandırılır Öklid vektörleri, büyüklükleri (uzunluk) ve yönleri ile tanımlanan matematiksel nesnelerdir. Bu özellikler, bir konumdan diğerine yer değiştirmeyi tanımlamanıza olanak tanır.


Örneğin, Şekil 1, noktanın bir (1, 1) koordinatları ve nokta B (3, 2) koordinatlarına sahiptir. geometrik vektörler v yer değiştirmeyi açıklar bir için B, ancak vektörler büyüklükleri ve yönleriyle tanımlandığından, v orijinden başlayarak.

kartezyen düzlem

Şekil 1'de, adı verilen bir koordinat sistemi kullandık. kartezyen düzlem. Yatay ve dikey çizgiler, koordinat eksenleri, genellikle sırasıyla etiketlenir x ve y. İki koordinatın kesişimi denir Menşei ve her eksen için 0 koordinatına karşılık gelir.

Kartezyen düzlemde, herhangi bir konum şu şekilde belirtilebilir: x ve y koordinatlar. Kartezyen koordinat sistemi daha fazla boyuta genişletilebilir: bir noktanın bir n-boyutlu uzay nn koordinatlarıyla belirtilir. gerçek koordinat n-boyutlu uzay, içeren n-gerçek sayıların demetleri, olarak adlandırılır. Örneğin uzay, gerçek sayı çiftlerini (koordinatlar) içeren iki boyutlu uzaydır. Üç boyutta (), uzaydaki bir nokta üç gerçek sayı ile temsil edilir.

koordinat vektörleri vektör koordinatlarına karşılık gelen sıralı sayı listeleridir. Vektör başlangıç ​​noktaları orijinde olduğundan, yalnızca son noktanın koordinatlarını kodlamanız gerekir.


Örneğin, vektörü alalım v Şekil 2'de temsil edilmektedir. Karşılık gelen koordinat vektörü aşağıdaki gibidir:

Her değer bir yön ile ilişkilendirilir: bu durumda, ilk değer xx ekseni yönüne ve ikinci sayı ise yön yönüne karşılık gelir. y-eksen.


Şekil 3'te gösterildiği gibi, bu değerlere denir. bileşenler veya girdileri vektörün.


Ek olarak, Şekil 4'te gösterildiği gibi, okun uç noktasını basitçe gösterebilirsiniz: bu bir dağılım grafiğidir.

indeksleme konumunu (dizini) kullanarak bir vektör bileşeni (vektörden değerlerden biri) alma sürecini ifade eder.

Python, sıfır tabanlı indeksleme kullanır, yani ilk indeks sıfırdır. Ancak matematiksel olarak, sözleşme tek tabanlı indeksleme kullanmaktır. bileşeni belirteceğim ben vektörün v gibi bir alt simge ile vben, kalın yazı tipi olmadan vektörün bileşeni bir skalerdir.

Numpy'de vektörler denir tek boyutlu diziler. Bir tane oluşturmak için np.array() işlevini kullanabilirsiniz:

örneğini ele alalım v, aşağıdaki gibi tanımlanan üç boyutlu vektörler:

Şekil 5'te gösterildiği gibi, vektörün uç noktasına xx ekseninde 3, yy ekseninde 4 ve zz ekseninde 2 birim hareket ederek ulaşabilirsiniz.


Daha genel olarak, bir n-boyutlu uzay, bir uç noktanın konumu şu şekilde tanımlanır: n bileşenler.

kullanarak bir vektörün boyutluluğunu belirtebilirsiniz. Ayarlamak gösterim ifade eder gerçek koordinat uzayı: bu, koordinat değerleri olarak gerçek sayılara sahip nn boyutlu uzaydır.

Örneğin, aşağıdaki vektör gibi vektörlerin üç bileşeni vardır. v Örneğin:

Veri Biliminde Vektörler

Veri bilimi bağlamında, verilerinizi temsil etmek için koordinat vektörlerini kullanabilirsiniz.

Bir özelliğe karşılık gelen her bir bileşenle veri örneklerini vektörler olarak temsil edebilirsiniz. Örneğin, bir emlak veri setinde, özellikleri farklı bileşenler (oda sayısı, konum vb.) olan bir daireye karşılık gelen bir vektörünüz olabilir.

Bunu yapmanın başka bir yolu, her biri tüm gözlemleri içeren özellik başına bir vektör oluşturmaktır.

Verileri vektörlerde depolamak, doğrusal cebir araçlarından yararlanmanıza olanak tanır. Çok sayıda bileşene sahip vektörleri görselleştiremeseniz bile, aynı işlemleri bunlara uygulayabileceğinizi unutmayın. Bu, iki veya üç boyutu kullanarak lineer cebir hakkında bilgi edinebileceğiniz ve ardından öğrendiklerinizi daha fazla sayıda boyutla kullanabileceğiniz anlamına gelir.

Nokta Ürün


nokta ürün (bu işlemi karakterize etmek için kullanılan nokta sembolüne atıfta bulunarak), aynı zamanda skaler ürün, vektörler üzerinde yapılan bir işlemdir. İki vektör alır, ancak toplama ve skaler çarpmanın aksine, tek bir sayı döndürür (skaler, dolayısıyla adı). adı verilen daha genel bir işlemin bir örneğidir. iç ürün.


Şekil 6, nokta çarpımının nasıl çalıştığının bir resmini gösterir. Aynı indekse sahip bileşenlerin çarpımının toplamına karşılık geldiğini görebilirsiniz.

Tanım


İki vektör arasındaki nokta çarpımı sen ve v⋅ sembolü ile gösterilen , her bir bileşen çiftinin çarpımının toplamı olarak tanımlanır. Daha resmi olarak, şu şekilde ifade edilir:

ile m vektörlerin bileşenlerinin sayısı sen ve v (aynı sayıda bileşene sahip olmaları gerekir) ve ben geçerli vektör bileşeninin indeksi.

nokta sembolü

Nokta çarpımının sembolünün, skalerler arasındaki çarpmayı belirtmek için kullanılan nokta ile aynı olduğuna dikkat edin. Bağlam (elementler skaler veya vektör ise) size hangisi olduğunu söyler.

Bir örnek alalım. Aşağıdaki vektörlere sahipsiniz:

Bu iki vektörün nokta çarpımı şu şekilde tanımlanır:

arasındaki nokta çarpımı sen ve v 35'tir. İki vektörü dönüştürür sen ve v skalere dönüştürülür.

Bu vektörlerin nokta çarpımını hesaplamak için Numpy'yi kullanalım. Numpy dizilerinin dot() yöntemini kullanabilirsiniz:


İçindekiler

Gyrogroups, zayıf bir şekilde ilişkili grup benzeri yapılardır. Ungar, gyrocommutative-gyrogroup dediği şey için gyrogroup terimini önerdi; gyrogroup terimi, gruplara karşı değişmeli gruplara benzer şekilde gyrocommutative olmayan durum için ayrıldı. Gyrogroups bir tür Bol döngüsüdür. Gyro-değişmeli gyrogroups eşdeğerdir K-döngüleri [2] farklı tanımlanmış olsa da. Şartlar Brück döngü [3] ve ikili symset [4] de kullanılıyor.

Gyrogruplar Düzenle

Aksiyomlar Düzenle

  1. İçinde G 0 ⊕ ile sol kimlik olarak adlandırılan en az bir 0 öğesi vardırbir = bir hepsi için birG.
  2. Her biri için birG bir öğe var ⊖ bir içinde G a'nın ⊖ ile sol tersi olarak adlandırılırbirbir = 0.
  3. Herhangi bir, b, c içinde G benzersiz bir gyr öğesi vardır[bir, b]c içinde G öyle ki ikili işlem sol gyroassociative yasasına uyar: bir(bc) = (birb) ⊕ gyr[bir, b]c
  4. Harita döner[bir, b]:GG tarafından verilen c → dön[bir, b]c magmanın bir otomorfizmidir (G, ⊕ ). Bu gyr[bir, b] bir Aut(G, ⊕ ) ve otomorfizm gyr[bir, b] nın-nin G gyroautomorfizma denir G tarafından oluşturulan bir, b içinde G. operasyon gyr:G × G → Otomatik(G, ⊕ ) jiratörü olarak adlandırılır. G.
  5. gyroautomorphism gyr[bir, b] sol döngü özelliğine sahip gyr[bir, b] = gir[birb, b]

İlk aksiyom çifti grup aksiyomları gibidir. Son çift, jiratör aksiyomlarını sunar ve orta aksiyom iki çifti birbirine bağlar.

Bir gyrogroup tersleri ve bir özdeşliğe sahip olduğundan, bir yarıgrup ve bir döngü olarak nitelendirilir.

Gyrogroups, grupların bir genellemesidir. Her grup, kimlik haritası olarak tanımlanan gyr ile bir gyrogroup örneğidir.

Sonlu bir gyrogroup örneği [5]'te verilmiştir.

Kimlikler Düzenle

Herhangi bir gyrogroupta bulunan bazı kimlikler (G, ⊕ ):

Ayrıca, aşağıdaki gyrocommutatiflik tanımının motivasyonu olan Gyration inversiyon yasası kanıtlanabilir:

Herhangi bir gyrogroup'un Gyration grubu tarafından sağlanan bazı ek teoremler şunları içerir:

Daha fazla kimlik [6] sayfa 50'de verilmiştir.

Gyro-değişimlilik Düzenle

Birlikte Ekleme Düzenle

Beltrami–Klein disk/top modeli ve Einstein ilavesi

Göreli hızlar, hiperbolik geometrinin Beltrami-Klein modelinde noktalar olarak kabul edilebilir ve böylece Beltrami-Klein modelinde vektör toplama, hız toplama formülü ile verilebilir. Formülün 3'ten büyük boyutlu hiperbolik uzayda vektör toplamaya genellenebilmesi için, formülün nokta çarpım lehine çapraz çarpım kullanımından kaçınan bir biçimde yazılması gerekir.

Koordinatları kullanarak bu olur:

Burada "gyr", Thomas deviniminin Thomas gyration adlı bir operatöre matematiksel soyutlamasıdır ve

hepsi için w. Thomas presesyonunun hiperbolik geometride negatif hiperbolik üçgen kusuru olarak bir yorumu vardır.

Lorentz dönüşüm bileşimi Düzenle

3 koordinatlara uygulanan döndürmenin 3×3 matris formu gyr[ ile verilirsesen,v], daha sonra 4 koordinatlara uygulanan 4 × 4 matris dönüşü şu şekilde verilir:

İki Lorentz'in bileşimi B(sen) ve B(v) hızları sen ve v tarafından verilir: [9] [10]

İki Lorentz dönüşümünün bileşimi L(sen,U) ve L(v,V) U ve V dönüşlerini içeren: [11]

Yukarıda, bir destek 4 × 4 matris olarak gösterilebilir. Boost matrisi B(v) bileşenlerini kullanan destek B anlamına gelir. v, yani v1, v2, v3 matrisin girişlerinde veya daha doğrusu bileşenlerinde v/c Lorentz dönüşümü#Matris formları bölümünde kullanılan gösterimde. Matris girişleri, 3-hızın bileşenlerine bağlıdır. v, ve B(v) anlamına geliyor. Girişlerin 4-hızın bileşenlerine bağlı olduğu iddia edilebilir, çünkü 4-hızın girişlerinden 3'ü 3-hızın girişleri ile aynıdır, ancak artışı 3-hız ile parametreleştirmenin faydası şudur: iki hızlandırmanın bileşiminden elde ettiğiniz sonuç artışının 3 hızlı bileşimin bileşenlerini kullanması senv 4 × 4 matrisinde B(senv). Ancak sonuçtaki artışın aynı zamanda bir döndürme matrisi ile çarpılması gerekir, çünkü artırma bileşimi (yani iki 4 × 4 matrisin çarpımı) saf bir artırma değil, bir artırma ve bir döndürme ile sonuçlanır, yani aşağıdakine karşılık gelen 4 × 4 matrisi. dönme Döngüsü[sen,v] B'yi almak için(sen)B(v) = B(senv)Gir[sen,v] = Gyr[sen,v]B(vsen).

Einstein gyrovektör uzayları Düzenle

Einstein skaler çarpımı, jirovektörlerin doğrusal olduğu (tek dağılımlılık) dışında Einstein toplaması üzerinde dağılmaz, ancak vektör uzaylarının diğer özelliklerine sahiptir: Herhangi bir pozitif tamsayı için n ve tüm gerçek sayılar için r,r1,r2 ve vVs':

Poincare disk/top modeli ve Möbius ilavesi Düzenle

Açık birim diskin karmaşık düzlemde Möbius dönüşümü, kutupsal ayrışma ile verilir.

Bunu daha yüksek boyutlara genellemek için, karmaşık sayılar R 2 > ^<2>> ve Möbius toplaması vektör biçiminde şu şekilde yeniden yazılır:

Bu, karmaşık birim disk için s=1'in artık herhangi bir s>0 olduğu hiperbolik geometrinin Poincaré top modelinde noktaların vektör eklenmesini verir.

Möbius gyrovektör uzayları Düzenle

Möbius skaler çarpımı Einstein skaler çarpımı ile çakışır (yukarıdaki bölüme bakın) ve bu paralel vektörler için Möbius toplaması ve Einstein toplamasının çakışmasından kaynaklanır.

Uygun hız uzay modeli ve uygun hız ilavesi

Hiperbolik geometrinin uygun bir hız uzay modeli, uygun hız toplama formülüyle verilen vektör toplamalı uygun hızlarla verilir: [6] [12] [13]

Bu formül, diskleri veya yarım düzlemleri kullanan diğer hiperbolik geometri modellerine kıyasla tam bir uzay kullanan bir model sağlar.

İzomorfizmler Düzenle

Bir gyrovektör uzay izomorfizmi, gyrogroup ilavesini ve skaler çarpmayı ve iç çarpımı korur.

Üç jirovektör uzayı Möbius, Einstein ve Uygun Hız izomorfiktir.

M, E ve U sırasıyla Möbius, Einstein ve Uygun Hız gyrovektör uzayları ise elemanlarla vm, ve ve vsen daha sonra izomorfizmler şu şekilde verilir:

Gyrotrigonometri Düzenle

Gyrotrigonometri, hiperbolik üçgenleri incelemek için jirokonseptlerin kullanılmasıdır.

Genellikle çalışıldığı gibi hiperbolik trigonometri, cosh, sinh vb. hiperbolik fonksiyonlarını kullanır ve bu, Öklid trigonometrik fonksiyonları cos, sin kullanan, ancak sıradan düzlem üçgen özdeşlikleri yerine küresel üçgen özdeşlikleri olan küresel trigonometri ile çelişir. Gyrotrigonometri, sıradan trigonometrik fonksiyonları kullanma yaklaşımını benimser, ancak jiroüçgen özdeşlikleri ile bağlantılıdır.

Üçgen merkezleri Düzenle

Üçgen merkezlerinin incelenmesi geleneksel olarak Öklid geometrisi ile ilgilidir, ancak üçgen merkezleri hiperbolik geometride de incelenebilir. Gyrotrigonometri kullanılarak, hem öklid hem de hiperbolik geometri için aynı forma sahip olan trigonometrik barysentrik koordinatlar için ifadeler hesaplanabilir. İfadelerin örtüşmesi için ifadelerin değil 180 derece olan açı toplamının belirtimini kapsüller. [14] [15] [16]

Gyroparallelogram ekleme Düzenle

Gyrotrigonometri kullanılarak, jiroparalelogram yasasına göre çalışan bir jirovektör ilavesi bulunabilir. Bu, gyrogroup işlemine ortak eklemedir. Gyroparallelogram eklemesi değişmeli.

jiroparalelkenar kanunu Paralelkenar yasasına benzerdir, çünkü bir gyroparallelogram hiperbolik bir dörtgendir ve iki gyrodiyagonalinin gyromid noktalarında kesişir, tıpkı bir paralelkenarın iki köşegeni orta noktalarında kesişen bir Öklid dörtgeni olması gibi. [17]

Bloch vektörleri Düzenle

Öklid 3-uzayının açık birim küresine ait olan Bloch vektörleri Einstein toplaması [18] veya Möbius toplaması ile incelenebilir. [6]

Daha önceki gyrovektör kitaplarından birinin [19] gözden geçirilmesi şunları söylüyor:

"Yıllar boyunca, görelilik ve elektrodinamikte problem çözmede kullanım için Öklidyen olmayan tarzı teşvik etmek için bir avuç girişimde bulunuldu, başarısızlığı herhangi bir olumlu sonucun olmamasıyla birleştiğinde, herhangi bir önemli takipçiyi çekmeyi duraklatmalıdır. Yakın zamana kadar hiç kimse 1912'den beri mevcut olan araçlar üzerinde bir iyileştirme sunabilecek durumda değildi. Einstein'ın hız kompozisyonu yasasının yapısını tam olarak kullanan ilişkisel olmayan cebirsel formalizm." [20]


Haftalık program

(Güncellemeler ve değişiklikler için tekrar kontrol edin!)

Ders kitabından listelenen alıştırmalar uygulama olarak şiddetle tavsiye edilir, ancak bunlar toplanmaz. Bunların cevapları kitabın arkasında.

Problem setleri sınıfta toplanır ve Lisans Ofisi önündeki posta kutularına geri gönderilir (Math 410).

Sınıf konu   'ı oku Egzersizler vadesi
5 Eylül Koordinatlar ve vektörler &bölüm12.1, 12.2 &sekt12.1: 3, 5, 11, 15 &sekt12.2: 7, 13, 17, 21
7 Eylül Nokta ürün &sekt12.3 §12.3: 1, 5, 7, 9, 17, 35
12 Eylül Determinantlar ve çapraz çarpım &sekt12.4 §12.4: 1, 3, 13, 17, 19, 45 ödev 1: §12.1: 14, 34, 38 §12.2: 20, 24. Çözümler
17 Eylül Çizgiler ve uçaklar &sekt12.5 §12.5: 3, 7, 17, 25, 33, 69, 71
19 Eylül Doğruların ve düzlemlerin kesişimleri, Cramer kuralı Cramer'in kuralı çıktısı &sekt12.5: 19, 21, 43, 51, 57 Ödev 2: §12.3: 28, 52 §12.4: 18, 38. Çözümler
24 Eylül Konikler ve kuadrikler &sekt10.5, 12.6 &sekt10.5: 7, 13, 23, 55 &sekt12.6: 21-28, 43
26 Eylül kutupsal koordinatlar &sekt10.3, 10.4 &sekt10.3: 17, 29, 35 &sekt10.4: 1, 13, 29, 45 Ödev 3: §12.5: 34, 38, 62, 74, 76. Çözümler
1 Ekim gözden geçirmek Bölüm 12 ve &sekt10.3-10.5 Ara Sınava Hazırlık I
3 Ekim Ara Sınav I. İstatistik Çözümler:Sürüm A, Versiyon B

Finale hazırlık olarak, Salı yerine 14 Aralık Cuma günü saat 3-5 arası (Math 601'de) mesai saatlerim olacak. Ayrıca Irena Penev, 13 Aralık Perşembe günü, öğleden sonra 2-3'te Math 528'de bir inceleme oturumu yapacak.


13 – Vektör Analizi – Mühendislik Matematiği, Cilt I, İkinci Baskı

Biz biliyoruz ki skaler yalnızca büyüklük ile karakterize edilen bir miktardır, oysa vektör hem büyüklük hem de yön ile karakterize edilen bir miktardır. Örneğin, zaman, kütle ve sıcaklık skaler büyüklüklerdir, yer değiştirme, hız ve kuvvet ise vektörel büyüklüklerdir. Bir vektörü üzerinde bir okla temsil ediyoruz. Geometrik olarak bir vektörü temsil ediyoruz yönlendirilmiş bir çizgi parçası tarafından , nerede yönü var P için S. Nokta P denir başlangıç ​​noktası ve nokta S denir uç nokta nın-nin . Uzunluk bu çizgi parçasının büyüklük nın-nin . iki vektör ve Olduğu söyleniyor eşit aynı büyüklük ve yöne sahiplerse. Bir vektörün ürünü ve bir skaler m bir vektör m Büyüklük |m| çarpı büyüklüğü yönü ile aynı veya tersi , buna göre m > 0 veya m < 0. Özellikle, eğer m = 0, sonra m boş bir vektördür . Birim büyüklüğü olan bir vektöre a denir. birim vektör. Eğer sıfır olmayan bir vektördür, o zaman ile aynı yöne sahip bir birim vektördür. ve ile gösterilir

Eğer vektörlerdir ve m ve n skalerdir (gerçek veya karmaşık), o zaman vektörlerin toplanması ve skaler çarpımı aşağıdaki özellikleri sağlar:

  1. (Ekleme için değişmeli yasa).
  2. (İlave için birleştirici yasa).
  3. (İlave için dağıtım yasası).
  4. (skalerler için dağılım yasası).
  5. (İlave için kimliğin varlığı).

(İlave için kimliğin varlığı)

Pozitif yönlerde birim vektörler x-, y-, ve z- üç boyutlu, dikdörtgen bir koordinat sisteminin eksenlerine denir dikdörtgen birim vektörleri ve sırasıyla ile gösterilir ben, ĵ, ve .

İzin Vermek bir1, bir2, ve bir3 vektörün son noktasının dikdörtgen koordinatları olsun Üç boyutlu bir dikdörtgen koordinat sisteminin orijindeki O başlangıç ​​noktası ile. Daha sonra, vektörler birben1, birĵ2 ve arandı dikdörtgen bileşen vektörleri ya da sadece bileşen vektörleri nın-nin içinde x, y, ve z yönleri sırasıyla.

Sonuç (toplam) vektör ve bu yüzden,

Ayrıca, büyüklüğü dır-dir

özellikle, yarıçap vektörü veya vektör pozisyonu itibaren Ö diyeceğim şey şu ki (x, y, z) üç boyutlu bir uzayda şu şekilde ifade edilir:

Skaler Çarpım veya Nokta Çarpım veya Vektörlerin İç Çarpımı

skaler ürün veya nokta ürün veya iç ürün iki vektör ve tarafından tanımlanan bir skalerdir

nerede θ vektörler arasındaki açıdır ve ve 0 ≤ θ ≤ π.

Bir Vektörün Başka Bir Vektöre Yansıtılması.

İzin Vermek vektörün izdüşümü olsun vektör üzerinde . Sonra


Bu, OCW'deki 2.400'den fazla kurstan biridir. Solda bağlantısı verilen sayfalarda bu kurs için materyalleri keşfedin.

MIT OpenCourseWare MIT müfredatının tamamını kapsayan, binlerce MIT kursundan alınan materyalin ücretsiz ve açık bir yayınıdır.

Kayıt veya kayıt yok. OCW materyallerini kendi hızınızda özgürce tarayın ve kullanın. Kayıt yok ve başlangıç ​​veya bitiş tarihi yok.

Bilgi senin ödülün. Kendi yaşam boyu öğrenmenize rehberlik etmek veya başkalarına öğretmek için OCW'yi kullanın. OCW'yi kullanmak için kredi veya sertifika sunmuyoruz.

Paylaşım için yapıldı. Dosyaları daha sonra indirin. Arkadaşlarınıza ve meslektaşlarınıza gönderin. Değiştirin, remiksleyin ve yeniden kullanın (kaynak olarak OCW'yi belirtmeyi unutmayın.)


Ellilik

Genellikle bunun için endişelenmenize gerek yoktur, ancak bazı durumlarda simetrik modeller kullandığınızda UV'ler yanlış yöne yönlendirilir ve T'niz yanlış yöne sahiptir.

Tersine çevrilmesi gerekip gerekmediğini kontrol etmek için kontrol basittir: TBN sağ el koordinat sistemi oluşturmalıdır, yani cross(n,t) b ile aynı oryantasyona sahip olmalıdır.

Matematikte, “A Vektörü, Vektör B ile aynı yönelime sahiptir”, dot(A,B)>0 olarak çevrilir, bu nedenle dot( cross(n,t) , b ) > 0 olup olmadığını kontrol etmemiz gerekir.

Yanlışsa, sadece ters çevirin t :

Bu aynı zamanda, computerTangentBasis()'in sonundaki her bir tepe noktası için de yapılır.


Sato, M., Kimura, T.: İndirgenemez homojen öncesi vektör uzaylarının ve bunların bağıl değişmezlerinin bir sınıflandırması. Nagoya Matematik. J,65, 1–155 (1977)

Sato, M., Kawai, T., Kashiwara, M.: Hiperfonksiyonlar ve Sözde Diferansiyel Denklemler. Matematik Ders Notları 287, Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag

Sato, M., Shintani, T.: Homojen vektör uzayları ile ilişkili zeta fonksiyonları üzerine. Anne. Matematik.,100, 131–170 (1974)

Sato, M.: Homojen öncesi vektör uzayları teorisi, (Japonca'da T. Shintani tarafından not edilmiştir). Sugaku hayır ayumi,15, 85–157 (1970)

Shintani, T.: Katsayıları integral ikili kübik formların sınıf sayıları olan Dirichlet serileri üzerinde. J. Matematik. Soc. Japonya,24, 132–188 (1972)

Servedio, F.: Afin Açık Yörüngeler, İndirgeyici İzotropi Grupları ve Baskın Gradyan Morfizmleri: Mikio Sato'nun Bir Teoremi. Pasifik J. of Math.,72, 537–545 (1977)

Kashiwara, M.: B-Fonksiyonları ve Holonomik Sistemler (Rationality ofb-fonksiyonlar). Env.38, 33–53 (1976)

Kashiwara, M., Kawai, T.: (mathop Pi limits_ için holonomik sistemlerde)^N (f_1 + sqrt < - 1>0)^ ) , RIMS, görünecek

Kashiwara, M., Kawai, T.: Mikro diferansiyel denklemlerin Holonomik sistemleri III, görünmesi

Sato, M., Kashiwara, M.: Sözde diferansiyel operatörlerin matrislerinin determinantı. Proc. Japonya Acad.51, 17–19 (1975)

Carathéodory, C.: Birinci Dereceden Varyasyonlar ve Kısmi Diferansiyel Denklemler Hesabı, Bölüm 1, Amsterdam: Holden-Day 1965, Almanca orijinalinden çevrilmiş, 1935

Oshima, T.: Temas geometrisindeki tekillikler ve dejenere sözde diferansiyel denklemler. J. Fak. bilim Üniv. Tokyo Sec. IA21, 43–83 (1974)

Kashiwara, M., Oshima, T.: Düzenli tekillikleri olan diferansiyel denklem sistemleri ve sınır değer problemleri. Anne. Matematik.,106, 145–200 (1977)

Bernstein, I.N.: Genelleştirilmiş fonksiyonların bir parametreye göre analitik devamı. Fonksiyonel Anal. Uygulama6, 26–40 (1972)

Kimura, T.: Theb- indirgenemez düzenli homojen öncesi vektör uzaylarının fonksiyonları ve holonomi diyagramları

Bijork, J.E.: Diferansiyel operatörlerin halkaları, Amsterdam: Kuzey Hollanda 1979

Boutet de Monvel-Kree: Sözde diferansiyel operatörler ve Gevrey sınıfları. Anne. Enst. Fourier17, 295–323 (1967)


Sorun 705

Bir $S$ kümesi ve bir $K$ skaler alanı üzerinde bir $V$ vektör uzayı için, $S$ ile $V$ arasındaki tüm fonksiyonların kümesini tanımlayın
[ Eğlence ( S , V ) = < f : S sağ ok V >. ]

$f, g in Fun(S, V)$, $z in K$ için toplama ve skaler çarpma şu şekilde tanımlanabilir:
[ (f+g)(s) = f(s) + g(s) , mbox < ve >(cf)(s) = c (f(s)) , mbox < tüm >s için içinde S . ]

(a) $Fun(S, V)$ öğesinin $K$ üzerinde bir vektör uzayı olduğunu kanıtlayın. Sıfır elementi nedir?

(b) $S_1 = < s >$ bir elemandan oluşan bir küme olsun. $Fun(S_1 , V)$ ile $V$ arasında bir eşbiçimlilik bulun. Bulduğunuz haritanın aslında doğrusal bir izomorfizm olduğunu kanıtlayın.

(c) $B = < e_1 , e_2 , cdots , e_n >$ öğesinin $V$'ın temeli olduğunu varsayalım. $Fun(S_1 , V)$ temeli oluşturmak için $B$ kullanın.

(d) $S = < s_1 , s_2 , cdots , s_m >$ olsun. $Fun(S, V)$ ile $n$-tuples vektör uzayı arasında, şu şekilde tanımlanan bir lineer izomorfizm oluşturun:
[ V^m = < (v_1 , v_2 , cdots , v_m ) mid v_i in V mbox< >1 leq i leq m > için. ]

(e) Rastgele bir sonlu küme $S$ için bir $Fun(S, V)$ temeli oluşturmak için $V$'ın $B$ tabanını kullanın. $Fun(S, V)$ boyutu nedir?

(f) $W subseteq V$ bir altuzay olsun. $Fun(S, W)$ öğesinin $Fun(S, V)$ öğesinin bir alt uzayı olduğunu kanıtlayın.


Videoyu izle: Lineer Cebir Alt Uzay Örnek Sorular (Aralık 2021).