Nesne

13.3: Doğrusal Bağımsızlık - Matematik


Öğrenme hedefleri

  1. Bir kümenin lineer bağımsız olup olmadığını belirleyin.

Bu bölümde, daha önce (mathbb{R}^n) açısından tanıtılan kavramları yeniden keşfedeceğiz ve onları soyut vektör uzaylarına uygulamak için genişleteceğiz.

Tanım (PageIndex{1}): Doğrusal Bağımsızlık

(V) bir vektör uzayı olsun. ({vec{v}_{1},cdots ,vec{v}_{n}} subseteq V,) ise, o zaman [sum_{i=1} ise lineer bağımsızdır ^{n}a_{i}vec{v}_{i}=vec{0} ;mbox{ima eder}; a_{1}=cdots =a_{n}=0] burada (a_i) gerçek sayılardır.

Vektörler kümesi, lineer olarak bağımsız değilse, lineer bağımlı olarak adlandırılır.

Örnek (PageIndex{1}): Doğrusal Bağımsızlık

(S subseteq mathbb{P}_2) [S = left{ x^2 + 2x - 1, 2x^2 - x + 3 ight}] tarafından verilen bir polinomlar kümesi olsun (S)'nin lineer bağımsız olup olmadığını belirleyin.

Çözüm

Bu (S) kümesinin lineer bağımsız olup olmadığını belirlemek için [a ( x^2 + 2x -1 ) + b(2x^2 - x + 3) = 0x^2 + 0x + 0] yazarız. lineer bağımsızdır, o zaman (a=b=0) tek çözüm olacaktır. Aşağıdaki gibi ilerliyoruz. [egin{hizalanmış} a ( x^2 + 2x -1 ) + b(2x^2 - x + 3) &=& 0x^2 + 0x + 0 ax^2 + 2ax - a + 2bx^ 2 - bx + 3b &=& 0x^2 + 0x + 0 (a+2b)x^2 + (2a -b)x - a + 3b &=& 0x^2 + 0x + 0end{hizalı }]

[egin{aligned} a + 2b &=& 0 2a - b &=& 0 -a + 3b &=& 0end{aligned}]

Artırılmış matris ve sonuç [left [ egin{array}{rr|r} 1 & 2 & 0 2 & -1 & 0 -1 & 3 & 0 end{array} tarafından verilir sağ ] ightarrow cdots ightarrow left [ egin{array}{rr|r} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 end{array} ight ]]

Dolayısıyla çözüm (a=b=0)'dır ve küme lineer bağımsızdır.

Sonraki örnek bize bir kümenin bağımlı olmasının ne anlama geldiğini gösterir.

Örnek (PageIndex{1}): Bağımlı Küme

Aşağıda verilen (S) kümesinin bağımsız olup olmadığını belirleyin. [S=left{ left [egin{dizi}{c} -1 0 1 end{dizi}sağ ], left [egin{dizi}{c} 1 1 1 end{array} ight ], left [egin{array}{c} 1 3 5 end{array} ight ] ight}]

Çözüm

(S)'nin lineer bağımsız olup olmadığını belirlemek için, [aleft [egin{array}{c} -1 0 1 end{array} ight ] +b için çözümler ararız. sol [egin{array}{c} 1 1 1 end{array} ight ] +cleft [egin{array}{c} 1 3 5 end{dizi} ight ] =left [egin{array}{c} 0 0 0 end{array} ight ]] Bu denklemin önemsiz çözümleri olduğuna dikkat edin, örneğin (a=2), (b=3) ve (c=-1). Bu nedenle (S) bağımlıdır.

Aşağıdaki bağımlı kümelerle ilgili önemli bir sonuçtur.

Öngörü (PageIndex{1}): Bağımlı Kümeler

(V) bir vektör uzayı olsun ve (W = left{ vec{v}_1, vec{v}_2, cdots, vec{v}_k ight}) olduğunu varsayalım. (V)'nin bir alt kümesi. O zaman (W) bağımlıdır, ancak ve ancak (vec{v}_i) (left{ vec{v}_1, vec{v}_2, (left{ vec{v}_1, vec{v}_2, cdots, vec{v}_{i-1}, vec{v}_{i+1}, cdots, vec{v}_k ight}) bazıları için (i leq k ).

Bunu göz önünde bulundurarak Örneği [örnek:bağımlı] tekrar ziyaret edin. Üç vektörden birini diğerlerinin birleşimi olarak yazabileceğimize dikkat edin. [left [egin{array}{c} 1 3 5 end{array} ight ] = 2left [egin{array}{c} -1 0 1 bitiş{dizi}sağ ] +3sol [egin{dizi}{c} 1 1 1 end{dizi}sağ ]]

Lemma [lem:bağımlı] ile bu küme bağımlıdır.

Belirli bir kümenin lineer bağımsız olduğunu biliyorsak, bu bilgiyi ilgili bir kümenin lineer bağımsız olup olmadığını belirlemek için kullanabiliriz. Aşağıdaki örneği düşünün.

Örnek (PageIndex{1}): İlgili Bağımsız Kümeler

(V) bir vektör uzayı olsun ve (S subseteq V)'nin (S = left{ vec{u}, vec{v}, tarafından verilen bir lineer bağımsız vektörler kümesi olduğunu varsayalım. vec{w} sağ}). (R subseteq V) (R = left{ 2vec{u} - vec{w}, vec{w} + vec{v}, 3vec{v ile verilsin. } + frac{1}{2} vec{u} sağ}). (R)'nin de lineer bağımsız olduğunu gösterin.

Çözüm

(R)'nin lineer bağımsız olup olmadığını belirlemek için, [a(2vec{u} - vec{w}) + b(vec{w} + vec{v}) + c( 3 yazarız. vec{v} + frac{1}{2}vec{u}) = vec{0}] Küme lineer bağımsız ise, tek çözüm (a=b=c=0 olacaktır. ). [egin{hizalanmış} a(2vec{u} - vec{w}) + b(vec{w} + vec{v}) + c( 3vec{v} + frac{ 1}{2} vec{u}) &=& vec{0} 2avec{u} - avec{w} + bvec{w} + bvec{v} + 3c vec{v} + frac{1}{2}cvec{u} &=& vec{0} (2a + frac{1}{2}c) vec{u} + ( b+3c)vec{v} + (-a + b) vec{w} &=& vec{0}end{hizalı}]

(S = left{ vec{u}, vec{v}, vec{w} ight}) kümesinin doğrusal olarak bağımsız olduğunu biliyoruz, bu da bu denklemin tümü (0)'a eşit olmalıdır. Başka bir deyişle: [egin{aligned} 2a + frac{1}{2} c &=& 0 b + 3c &=& 0 -a + b &=& 0 end{aligned} ]

Artırılmış matris ve sonuç şu şekilde verilir: [left [ egin{array}{rrr|r} 2 & 0 & frac{1}{2} & 0 0 & 1 & 3 & 0 - 1 & 1 & 0 & 0 end{array} ight ] ightarrow cdots ightarrow left [ egin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 end{array} ight ]] Dolayısıyla çözüm (a=b=c=0) ve küme lineer bağımsızdır.

Aşağıdaki teorem (mathbb{R}^n) cinsinden tartışıldı. Bunu burada genel durumda ele alıyoruz.

Teorem (PageIndex{1}): Benzersiz Temsil

(V) bir vektör uzayı ve (U = left{ vec{v}_1, cdots, vec{v}_k ight} subseteq V) bağımsız bir küme olsun. Eğer (vec{v} in mathrm{span} ;U), o zaman (vec{v}), (U'daki vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak benzersiz bir şekilde yazılabilir.

benzersiz temsil

Doğrusal olarak bağımsız bir vektör kümesinin açıklığını düşünün. Bu yayılmada olmayan bir vektörü alıp kümeye eklediğimizi varsayalım. Aşağıdaki lemma, elde edilen kümenin hala lineer bağımsız olduğunu iddia etmektedir.

Öngörü (PageIndex{1}): Doğrusal Bağımsız Bir Kümeye Ekleme

(vec{v} otin mathrm{span}left{ vec{u}_{1},cdots ,vec{u}_{k} ight}) ve ( left{ vec{u}_{1},cdots , vec{u}_{k} ight}) lineer bağımsızdır. O halde [left{ vec{u}_{1},cdots ,vec{u}_{k},vec{v} ight}] kümesi de lineer bağımsızdır.

Kanıt

(sum_{i=1}^{k}c_{i}vec{u}_{i}+dvec{v}= vec{0}.) varsayalım. (c_{i}=0) ve bu (d=0.) Ancak (d eq 0,) ise, o zaman (vec{v})'yi aşağıdakilerin doğrusal bir kombinasyonu olarak çözebilirsiniz: vektörler, (left{ vec{u}_{1},cdots ,vec{u} _{k} ight}), [vec{v}=-sum_{ i=1}^{k}left( frac{c_{i}}{d} ight) vec{u}_{i}] varsayımının aksine (vec{v}) (vec{u}_{i}) aralığında değil. Bu nedenle, (d=0.) Ama sonra (sum_{i=1}^{k}c_{i} vec{u}_{i}=vec{0}) ve doğrusal bağımsızlık of (left{ vec{u} _{1},cdots ,vec{u}_{k} ight}) ayrıca her bir (c_{i}=0) anlamına gelir.

Aşağıdaki örneği düşünün.

Örnek (PageIndex{1}): Doğrusal Bağımsız Bir Kümeye Ekleme

(S subseteq M_{22}) [S = left{ left [ egin{array}{rr} 1 & 0 0 & 0 end{array tarafından verilen lineer bağımsız bir küme olsun } ight ], left [ egin{array}{rr} 0 & 1 0 & 0 end{array} ight ] ight}] (R subseteq M_{22) kümesinin }) [R = left{ left [ egin{array}{rr} 1 & 0 0 & 0 end{array} ight ], left [ egin{array}{ tarafından verilir rr} 0 & 1 0 & 0 end{array} ight ], left [ egin{array}{rr} 0 & 0 1 & 0 end{array} ight ] ight} ] ayrıca lineer bağımsızdır.

Çözüm

(0)'a eşit olan matrislerin doğrusal bir kombinasyonunu yazmak ve katsayıların (0'a eşit olması gerektiğini göstermek yerine) yerine Lemma [lem:addlinearlyin Independence] kullanabiliriz.

Bunu yapmak için, [left [ egin{array}{rr} 0 & 0 1 & 0 end{array} ight ] otin mathrm{span}left{ left [ egin{array}{rr} 1 & 0 0 & 0 end{array} ight ], left [ egin{array}{rr} 0 & 1 0 & 0 end{array} doğru doğru}]

[egin{aligned} left [ egin{array}{rr} 0 & 0 1 & 0 end{array} ight ] &=& aleft [ egin{array}{rr} yazın 1 & 0 0 & 0 end{array} ight ] + bleft [ egin{array}{rr} 0 & 1 0 & 0 end{array} ight ] &=& left [ egin{array}{rr} a & 0 0 & 0 end{array} ight ] + left [ egin{array}{rr} 0 & b 0 & 0 end{ dizi} sağ ] &=& left [ egin{array}{rr} a & b 0 & 0 end{dizi} ight ]end{hizalı}]

Açıkça, bu denklemi doğru kılmak için mümkün bir (a,b) yoktur. Dolayısıyla yeni matris, (S) içindeki matrislerin açıklığında yer almaz. Lemma'ya göre [lem:addlinearlybağımsız], (R) da lineer bağımsızdır.


RD Sharma Çözümleri Ex-13.3, (Bölüm -3), İki Değişkenli Lineer Denklem, 9. Sınıf, Matematik 9. Sınıf Notlar | EduRev

S 15 : y = | x |.

Ans. verildik,

x = 1 yerine koyarsak, y = 1 elde ederiz.

x = -1 yerine koyarsak, y = 1 elde ederiz.

x = 2 yerine koyarsak, y = 2 elde ederiz.

x = -2 yerine koyarsak, y = 2 elde ederiz.

Pozitif veya negatif olsun, x'in her değeri için pozitif bir sayı olarak y elde ederiz.

S 16: y = |x| grafiğini çizin + 2.

Ans. verildik,

x = 0 yerine koyarsak y=2 elde ederiz

x = I yerine koyarsak, y=3 elde ederiz.

x =-1 yerine koyarsak Y = 3 elde ederiz.

x = 2 yerine koyarsak, y = 4 elde ederiz.

x = -2 yerine koyarsak, y = 4 elde ederiz.

Pozitif veya negatif olsun, x'in her değeri için, y'yi pozitif bir sayı olarak alırız ve y'nin minimum değeri 2 birime eşittir.

Soru 17 : Aşağıdaki lineer denklemlerin grafiklerini aynı grafik kağıdına çiziniz: 2x + 3y = 12, x – y = 1 İki doğrunun ve y ekseninin oluşturduğu üçgenin köşelerinin koordinatlarını bulunuz. Ayrıca üçgenin alanını bulunuz.

Ans. verildik,

anladık

Şimdi, y'de x = 0 yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

x = 6 yerine koyarsak

Böylece, verilen denklemle temsil edilen çizgi üzerindeki noktaların apsislerini ve koordinatlarını gösteren aşağıdaki tabloya sahibiz.

A(0,4) ve E(6,0) grafiğini çizerek ve noktaları birleştirerek denklemin grafiğini elde ederiz.

Şimdi, x = 0'ı y = x-1'de yerine koyarsak,

Böylece, verilen denklemle temsil edilen çizgi üzerindeki noktaların apsislerini ve koordinatlarını gösteren aşağıdaki tabloya sahibiz.

Grafiğe D(0,) ve E(-1,0) çizerek ve noktaları birleştirerek x— y = I denkleminin grafiğini elde ederiz.

Grafikte 2x + 3y = 12 ve x—y=1 doğrularının kesişmesiyle y ekseninde ABC üçgeni oluşur.

Bu nedenle, y eksenindeki AC, y ekseninde AC = 5 birim olan ABC üçgeninin tabanıdır.

FE'yi F'den y eksenine dik olarak çizin. x eksenine paralel FE, x ekseninde FE = 3 birim olan ABC üçgeninin yüksekliğidir.

Bu nedenle, ABC üçgeninin alanı, diyelim ki A, A = (Taban x Yükseklik)/2 =(AC x FE)/2 = (5×3)/2 ⇒15/2 = 7,5 sq.

Soru 18 : 4x – 3y + 4 = 0 ve 4x + 3y – 20 = 0 lineer denklemlerinin grafiklerini çizin. Bu doğrular ve x ekseni ile sınırlanan alanı bulun.

Ans. Bize verildi, 4x – 3y + 4 = 0

anladık

Şimdi, x = 0 yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

x = -I yerine koymak

Böylece, verilen denklemle temsil edilen çizgi üzerindeki noktaların apsislerini ve koordinatlarını gösteren aşağıdaki tabloya sahibiz.

E(0, 4/3) ve A (-1, 0) grafiğini çizip noktaları birleştirerek denklemin grafiğini elde ederiz.

4x + 3y – 20 = 0

Şimdi, x = 0 yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

x = 5 yerine koyarsak,

Böylece, verilen denklemle temsil edilen çizgi üzerindeki noktaların apsislerini ve koordinatlarını gösteren aşağıdaki tabloya sahibiz.

D (0,20/3) ve B(5,0) grafiğini çizerek ve noktaları birleştirerek 4x +3y – 20 = 0 denkleminin grafiğini elde ederiz.

Grafikte 4x-3y + 4 = 0 ve 4x+ 3y – 20 = 0 ile oluşan doğruların kesişimi ile,

ABC üçgeni x ekseni üzerinde oluşturulmuştur. Bu nedenle, x eksenindeki AB, x ekseninde AB = 6 birim olan ABC üçgeninin tabanıdır.

CF'yi x ekseninde C'den dik çizin.

CF y eksenine paralel, y ekseninde CF = 4 birim olan ABC üçgeninin yüksekliğidir.

Bu nedenle, ABC üçgeninin alanı, diyelim ki A

Q19 : Bir A treninin yolu 3x + 4y -12 = 0 denklemi ile, başka bir B treninin yolu ise 6x + 8y - 48 = 0 denklemi ile verilmektedir. Bu durumu grafiksel olarak gösteriniz.

Ans. Bize A treninin yolu verildi, 3x + 4y – 12 = 0

Şimdi, x = 0 yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

x = 4 in yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

Böylece, verilen denklemle temsil edilen çizgi üzerindeki noktaların apsislerini ve koordinatlarını gösteren aşağıdaki tabloya sahibiz.

A(4,0) ve E(0,3) grafiğini çizerek ve noktaları birleştirerek 3x+4y-12 = 0 denkleminin grafiğini elde ederiz.

Bize B treninin yolu verildi,

anladık

Şimdi, x = 0 yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

x = 8 yerine koyarsak,

Böylece, verilen denklemle temsil edilen çizgi üzerindeki noktaların apsislerini ve koordinatlarını gösteren aşağıdaki tabloya sahibiz.

C(0,6) ve D(8,0) grafiğini çizerek ve noktaları birleştirerek 6x+8y-48 = 0 denkleminin grafiğini elde ederiz.

S 20 : Ravish, kızı Aarushi'ye “Yedi yıl önce, o zaman senin yaşının yedi katıydım. Ayrıca, bundan üç yıl sonra senin yaşının üç katı olacağım.” Aarushi ve Ravish'in şimdiki yaşları sırasıyla x ve y ise, bu durumu hem cebirsel hem de grafiksel olarak gösteriniz.

Ans. Ravish'in şimdiki yaşı y yıl ve Aarushi'nin şimdiki yaşı x yıl olarak verildi.

Yedi yıl önceki Ravish Çağı = y – 7

Aarushi'nin yedi yıl önceki yaşı = x – 7

Ravish tarafından yedi yıl önce onun yedi kat daha yaşlı olduğu, o zaman Aarushi'nin o zaman olduğu söylenmiştir.

Bundan üç yıl sonraki Ravish Çağı = y + 3

Aarushi'nin bundan üç yıl sonraki yaşı = x+3

Ravish tarafından bundan üç yıl sonra Aarushi'nin üç kat daha büyük olacağı zaten söylendi.

(1) ve (2) verilen ifadenin cebirsel temsilidir.

Şimdi, x = 0'ı y = 7x —42'de yerine koyarsak,

y = 7x – 42'de x = 6 yerine koymak,

Böylece, verilen denklemle temsil edilen çizgi üzerindeki noktaların apsislerini ve koordinatlarını gösteren aşağıdaki tabloya sahibiz.

Şimdi, y = 3x + 6'da x=0 yerine koyarsak,

x= —2 yerine y = 3x + 6 koyarak,

Böylece, verilen denklemle temsil edilen çizgi üzerindeki noktaların apsislerini ve koordinatlarını gösteren aşağıdaki tabloya sahibiz.

Kırmızı -çizgi, 7x—y-42 =0 denklemini temsil eder.

Mavi çizgi, 3x —y +6 =0 denklemini temsil eder.

S21: Aarushi, 60 km/s sabit hızda bir araba kullanıyordu. Mesafe-zaman grafiğini çizin Grafikten, Aarushi'nin

(i) 212 Saat
(ii) 12 Saat

Ans. Aarushi, arabayı 60 km/s'lik sabit hızla sürüyor. Zamanı X ekseninde ve mesafeyi Y ekseninde temsil ediyoruz Şimdi, grafiksel olarak

Arabanın 60 km/saat sabit hızla hareket ettiği bilgisi verildi. Bu, otomobilin saatte 60 km yol kat ettiği anlamına gelir. Böylece elde ettiğimiz grafik düz bir çizgidir.

Ayrıca, araba hareketsizken, gidilen mesafenin 0 km, hızın 0 km/saat ve zamanın da 0 saat olduğunu biliyoruz. Böylece verilen doğru O (0 , 0) ve M (1, 60) noktalarından geçecektir.

0 ve M noktalarını birleştirin ve çizgiyi her iki yönde uzatın.

Şimdi, x = 12'den, y eksenini 30'da kesen x eksenine paralel bir çizgi çizdiğimiz L'deki düz çizgi grafiğiyle buluşan, y eksenine paralel noktalı bir çizgi çiziyoruz. Böylece, 12 saatte, kat edilen mesafe arabayla 30 km.

Şimdi, x = 212'den, y eksenini 150'de kesen x eksenine paralel bir çizgi çizdiğimiz düz çizgi grafiğiyle buluşan x = 212'den y eksenine paralel noktalı bir çizgi çiziyoruz. Böylece, 212 saatte kat edilen mesafe araçla 150 km.

(i) Mesafe = Hız x Zaman Katedilen mesafe, saat olarak şu şekilde verilir:

Mesafe=60 x

(ii) Mesafe = Hız x Zaman 12 saatte kat edilen mesafe

Mesafe=60 x


Eğim ve Y-Bir Lineer Denklemin Kesimi

(y = a + bx), (b) = eğim ve (a = y)-kesişim doğrusal denklemi için. Cebirden hatırlayın, eğim bir doğrunun dikliğini tanımlayan bir sayıdır ve (y)-kesişim noktası, doğrunun kesiştiği ((0, a)) noktasının (y) koordinatıdır. y ekseni. Hesaptan eğim, fonksiyonun ilk türevidir. Doğrusal bir fonksiyon için eğim (dy / dx = b)'dir, burada matematiksel ifadeyi "y (dy)'deki (x (dx) = b * dx)'deki bir değişiklikten kaynaklanan değişiklik" olarak okuyabiliriz. .

Şekil (PageIndex<5>) (y = a + bx) için üç olası grafik. (a) (b > 0) ise, doğru yukarı doğru sağa doğru eğimlidir. (b) (b = 0) ise, çizgi yataydır. (c) (b < 0) ise, doğru aşağı doğru sağa doğru eğimlidir.

Svetlana, kolej için ekstra para kazanmak için öğretmenler. Her ders seansı için, bir kereye mahsus olmak üzere 25$ artı saatlik ders başına 15$ ücret alıyor. Svetlana'nın öğretmenlik yaptığı her seans için kazandığı toplam para miktarını ifade eden doğrusal bir denklem (y = 25 + 15x).

Bağımsız ve bağımlı değişkenler nelerdir? Nedir y-kesişme ve eğim nedir? Bunları tam cümleler kullanarak yorumlayın.

Bağımsız değişken ((x)) Svetlana'nın her seansta ders verdiği saat sayısıdır. Bağımlı değişken ((y)) Svetlana'nın her seans için dolar cinsinden kazandığı miktardır.

Y-kesme noktası (25 (a = 25)). Özel ders seansının başlangıcında, Svetlana bir kereye mahsus 25$'lık bir ücret alır (bu, (x= 0) olduğunda). Eğim (15 (b = 15)). Her seans için Svetlana, ders verdiği her saat için 15 dolar kazanıyor.


RD Sharma Çözümleri Ex-13.3, (Bölüm -1), İki Değişkenli Lineer Denklem, Sınıf 9, Matematik Sınıf 9 Notlar | EduRev

Soru 1: Aşağıdaki lineer denklemlerin her birinin grafiğini iki değişkenli olarak çizin:

(i) x + y = 4
(ii) x – y = 2
(iii) -x + y = 6
(iv) y = 2x
(v) 3x + 5y = 15


Ans. (i) Bize x + y = 4 verildi

Şimdi, x = 0 yerine y = 4 – x koyarsak,

x = 4'ü y = 4 — x'te yerine koyarsak, y = 0 elde ederiz

Böylece, verilen tablo ile temsil edilen çizgi üzerindeki noktaların apsislerini ve koordinatlarını gösteren aşağıdaki tabloya sahibiz.

Şimdi, x = 0'ı y= x – 2'de yerine koyarsak, y = – 2 elde ederiz.

y = x – 2'de x = 2 yerine koyarsak, y = 0 elde ederiz.

Böylece, verilen denklemle temsil edilen çizgi üzerindeki noktaların apsislerini ve koordinatlarını gösteren aşağıdaki tabloya sahibiz.

(iii) Bize verildi, – x + y = 6

Şimdi, x = 0'ı y = 6 + x'de yerine koyarsak,

x = -6'yı y = 6+ x'de yerine koyarsak, y = 0 elde ederiz.

Böylece, verilen denklemle temsil edilen doğru üzerindeki noktaların apsislerini ve koordinatlarını gösteren aşağıdaki tabloya sahibiz.

Şimdi, x = 1'i y = 2x'te yerine koyarsak

x = 3 yerine y = 2x

Böylece, verilen denklemle temsil edilen çizgi üzerindeki noktaların apsislerini ve koordinatlarını gösteren aşağıdaki tabloya sahibiz.

(v) Bize verildi, 3x + 5y = 15

Şimdi, 5y = 15 – 3x'te x = 0 yerine koyarsak,

5y = 15 – 3x'te x = 5 yerine koymak

Böylece, verilen denklemle temsil edilen çizgi üzerindeki noktaların apsislerini ve koordinatlarını gösteren aşağıdaki tabloya sahibiz.


Şimdi, x = 0 yerine

x = 4 yerine koymak

Böylece, verilen denklemle temsil edilen çizgi üzerindeki noktaların apsislerini ve koordinatlarını gösteren aşağıdaki tabloya sahibiz.

Şimdi, x = 3y – 7'de x = 5 yerine koyarsak,

x = 3y – 7'de x = 8 yerine koymak,

Böylece, verilen denklemle temsil edilen çizgi üzerindeki noktaların apsislerini ve koordinatlarını gösteren aşağıdaki tabloya sahibiz.

(viii) Bize verildi, 2y = – x +1

Şimdi, x =1 in1 – x = 2Y yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

1 - x = 2Y'de x = 5 yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

Böylece, verilen denklemle temsil edilen çizgi üzerindeki noktaların apsislerini ve koordinatlarını gösteren aşağıdaki tabloya sahibiz.

Soru 2: ( 3, 12) içinden geçen iki doğrunun denklemlerini veriniz. Böyle kaç satır daha var ve neden?

Ans. x = 3 ve y = 12'nin aşağıdaki denklemlerin çözümü olduğunu gözlemliyoruz

Böylece, (3, 12) içinden geçen iki doğrunun denklemlerini elde ederiz, 4x – y = 0 ve 3x – y + 3 = 0.

Verilen noktadan geçen sonsuz sayıda doğrunun çizilebileceğini biliyoruz.

Yani içinden geçen sonsuz sayıda doğru vardır (3, 12)

Soru 3: Üç tekerlekli bir scooter, ilk kilometre için 15 Rs ve sonraki her kilometre için her biri 8 Rs ücret alıyor. x km'lik bir mesafe için, bir miktar Rs y ödenir. Yukarıdaki bilgileri temsil eden lineer denklemi yazınız.

Ans. x km'lik mesafeyi kat etmek için toplam Rs y ücreti şu şekilde verilir:

Rs y'nin toplam ücret olduğu (x - 1) ilk kilometrenin maliyeti zaten Rs 15 verildiği için alınır ve 1, ilk Kilometrenin maliyetini çıkarmak için seyahat edilen toplam mesafeden çıkarılmalıdır.

S 4 : Ödünç veren bir kütüphanenin ilk üç gün için sabit bir ücreti ve sonraki her gün için ek bir ücreti vardır. Aarushi, yedi gün boyunca saklanan bir kitap için 27 Rs ödedi. Sabit ücretler Rs x ve günlük ücretler Rs y ise. Yukarıdaki bilgileri temsil eden lineer denklemi yazınız.

Ans. İlk üç gün için Rs x ve 4 gün için günlük Rs y olmak üzere toplam 27 Rs tutarındaki ücretler tarafından verilir.

Burada (7 —3) alınır, çünkü ilk üç gün için ücretler zaten Rs x olarak verilmiştir ve kitap toplam 7 gün tutulduğu için kalan dört gün için ücretleri bulmamız gerekir.

S5: Bir sayı, rakamları ters çevrilerek elde edilen sayıdan 27 fazladır. Birimi ve onun basamağı sırasıyla x ve y ise, ifadeyi temsil eden lineer denklemi yazın.

Ans. Bize verilen sayı 'yx' şeklindedir,

y, sayının onluk basamağını temsil eder

Ve x, birimin sayının yerini temsil eder.

Şimdi, verilen sayı 10y + x

Sayının basamaklarını ters çevirerek elde edilen sayı 10x + y

Orijinal sayının, rakamları ters çevrilerek elde edilen sayıdan 27 fazla olduğu bize verilmiştir.

S6: İki basamaklı bir sayı ile basamaklarının sırasının ters çevrilmesiyle elde edilen sayının toplamı 121'dir. Sayının birimler ve onlar basamağı sırasıyla x ve y ise yukarıdaki ifadeyi temsil eden lineer denklemi yazınız.

Ans. Bize verilen sayı 'yx' şeklindedir,

y, sayının onluk basamağını ve x, sayının birler basamağını temsil eder.

Şimdi, verilen sayı 10y + x

Rakamları ters çevrilerek elde edilen sayı 10x+y

Bu iki sayının toplamının 121 olduğu bize verilmiştir.

S7 : (3,5) ve (-1,3) noktalarını grafik kağıdına çizin ve noktalardan geçen doğrunun (1,4) noktasından da geçtiğini doğrulayın.

Verilen (3, 5) ve (-1, 3) noktalarını bir grafik kağıdına çizerek BC doğrusunu elde ederiz.

A (1, 4) noktasını, kesişen doğrularla verilen düzlemde zaten çizdik.

Bu nedenle (3, 5) ve (-1, 3) noktalarından geçen doğrunun A (1, 4) noktasından da geçtiği kanıtlanmıştır.


Bölüm İncelemesi

En temel ilişki türü doğrusal bir ilişkidir. Bu tür bir ilişki, gerçek veya tahmin edilen veri değerleriyle sayısal olarak veya çizilen bir eğriden grafik olarak kullanılan denklemlerle cebirsel olarak tanımlanabilir. (Doğrular düz eğriler olarak sınıflandırılır.) Cebirsel olarak, bir lineer denklem tipik olarak şu şekli alır: y = mx + b, nerede m ve b sabitler, x bağımsız değişkendir, y bağımlı değişkendir. İstatistiksel bir bağlamda, formda doğrusal bir denklem yazılır. y = a + bx, nerede bir ve b sabitlerdir. Bu form, okuyucuların istatistiksel bağlamı cebirsel bağlamdan ayırt etmesine yardımcı olmak için kullanılır. denklemde y = a + bx, sabit bkatsayısı olarak adlandırılan , temsil eder eğim. Sabit bir denir y-kesişim noktası.

bir çizginin eğimi bağımsız ve bağımlı değişkenler arasındaki değişim oranını tanımlayan bir değerdir. eğim bize bağımlı değişkenin nasıl olduğunu söyler (y) bağımsızdaki her bir birim artış için değişir (x) ortalama olarak değişken. y-tutmak bağımsız değişken sıfıra eşit olduğunda bağımlı değişkeni tanımlamak için kullanılır.

13.4 Regresyon Denklemi

Bu regresyon analizi tartışmasının, modelleri test etmek ve çevremizdeki dünyayı daha iyi anlamaya yardımcı olmak için bir araç olarak sahip olduğu muazzam potansiyel değeri gösterdiği umulmaktadır. Regresyon modelinin sınırlamaları vardır, özellikle de temeldeki ilişkinin yaklaşık olarak doğrusal olması gerekliliği. Gerçek ilişkinin doğrusal olmadığı ölçüde, doğrusal tekniklerle tahmin edilebilen doğrusal bir ilişki veya doğrusal olmayan dönüşüm biçimleriyle yaklaşık olarak tahmin edilebilir. Verilerin çift logaritmik dönüşümü, ilişkinin bu özel şeklini test etmek için kolay bir yol sağlayacaktır. Makul derecede iyi bir ikinci dereceden form (Mikroekonomi İlkelerinden alınan toplam maliyet eğrisinin şekli) aşağıdaki denklemle oluşturulabilir:

burada X değerlerinin basitçe karesi alınır ve denkleme ayrı bir değişken olarak konur.

Genel regresyon modelinin daha zahmetli varsayımlarından bazılarını atlayabilecek ekonometrik "hileler" yolunda çok daha fazlası var. Bu istatistiksel teknik o kadar değerlidir ki, daha fazla çalışma herhangi bir öğrenciye istatistiksel olarak anlamlı, temettüler sağlayacaktır.


13.3.4. Binom Varyansı¶

(X) binom ((n, p)) dağılımına sahip olsun. Biz biliyoruz ki

burada (I_1, I_2, ldots, I_n) i.i.d. göstergeler, her biri (p) olasılığıyla 1 değerini alır. Bu göstergelerin her birinin beklentisi (p) ve varyansı (pq = p(1-p)) vardır. Bu nedenle

Örneğin, (X) bir madeni paranın 100 atışındaki tura sayısıysa, o zaman

İşte (X) dağılımı. (E(X) pm 3SD(X)) aralığı dışında neredeyse hiçbir olasılık olmadığını görebilirsiniz.

Bir zar (45) kez atılır. Altı noktalı yüzün kaç kez göründüğünün beklentisini ve standart sapmasını bulun.


13.3 X Alacağım, Lütfen

Bir ortağın A'dan F'ye kadar etiketli 6 kartı ve bir ortağın a'dan f'ye kadar etiketli 6 kartı vardır. Her kart çiftinde (örneğin, Kartlar A ve a), bir kartta bir denklem ve diğer kartta denklemi sağlayan bir koordinat çifti (x,y) vardır.

Denklemi olan ortak, ortağa x değeri veya y değeri için bir çözüm sorar ve neden yaptıklarını seçtiklerini açıklar.

Denklemi olan ortak, diğer değeri bulmak için bu değeri kullanır ve ilerledikçe her adımı açıklar.

Koordinat çiftine sahip ortak daha sonra denklemi olan ortağa doğru mu yanlış mı olduğunu söyler. Yanlışlarsa, her iki ortak da hataları bulmak ve düzeltmek için adımları gözden geçirmelidir. Haklılarsa, her iki ortak da bir sonraki kart grubuna geçer.

A'dan F'ye kadar olan Kartları bitirene kadar oynamaya devam edin.

Daha fazlası için hazır mısınız?

a, b ve c'nin pozitif sayılar olduğu ax + by = c denklemini düşünün.

  1. Denklemin grafiğinin x - ve y - kesme noktalarının koordinatlarını bulun.
  2. Grafiğin eğimini bulun.

STPM İleri Matematik T

Binom, Poisson veya Normal olsun, belirli bir dağılımı tanımlamak için bunların popülasyon parametrelerini bilmeniz gerekir. Ve elbette, parametreleri önceden bilmiyorsanız, tahmin etmek için örneklemeyi kullanmak istersiniz. Bu tahmin tarafsız Aynı şekilde alınan çok sayıda değerin ortalaması (veya beklentisi) parametrenin gerçek değeri ise. Bu parametreleri tahmin etmenin en iyi yolu, en küçük varyans.

Yani burada bu bölümde odaklanıyoruz nokta tahminleri. Parametrelerin bu olduğunu tahmin ediyoruz puan veya örnekler aracılığıyla topladığımız veriler. Aşağıdaki 3 denkleme bakın.

Bir üst sınır ile tarafsız bir tahmin gösteriyoruz. Dolayısıyla, popülasyondaki başarı oranının tarafsız tahmini, popülasyon ortalaması ve popülasyon varyansı ile gösterilir. p̂, μ̂ ve σ̂ 2 sırasıyla. Nüfus oranı ve nüfus ortalaması için en iyi yansız tahminin örneklem oranı olduğu bulunmuştur. ps ve örnek ortalama kendilerini. Bununla birlikte, popülasyon varyansı için en iyi yansız tahmin, yukarıdaki formülle farklı şekilde gösterilir. Beklenen varyans formülü ayrıca aşağıdaki biçimlere sahip olabilir:

Bu bölüm hakkında bilmeniz gereken tek şey bu. Size kısa bir örnek vereyim:

Bir kaynaktan rastgele seçilen 7 su örneğinde bir eser elementin litre başına miligram cinsinden konsantrasyonları,
240.8, 237.3, 236.7, 236.6, 234.2, 233.9, 232.5
Kaynaktan gelen az miktarda su başına eser element konsantrasyonunun ortalama ve varyansının tarafsız tahminlerini belirleyin.

Bu soruyu cevaplamak için hesap makinemizi kullanmamız gerekiyor. CASIO 570MS'nizi SD moduna ayarlayın ve her seferinde tek tek sayılara basarak tüm verileri içine girin. DT düğmesi, her şeyi girmeyi bitirene kadar. Ardından, basarsınız
shift+S-VAR. Size şu seçeneği sunar: x̅, xσn ve xσn-1. İlki size ortalamanın tarafsız tahminini verirken, sonuncusu size ortalamanın tarafsız tahminini verecektir. standart sapma. Cevapları hemen biliyor olsanız bile, onlara biraz çalıştığını gösterin:

Kolay değil mi? Sınavlarda kolay bir şey çıkmasını beklemediğinizi biliyorum. Muhtemelen bir sonraki bölüm hakkında daha fazla okumalısınız. ☺


Sıralı yanıtlar için Bayes parametrik olmayan yoğunluk regresyonu

Maria DeYoreo , Athanasios Kottas , Esnek Bayesian Regresyon Modellemesinde , 2020

3.3.4 İlgili çalışma ve uzantılar

Kategorik değişkenlerle ortak yanıt ortak değişken modelleme yaklaşımı, [52] , [15] , [23] , [12] ve [44] dahil olmak üzere başkaları tarafından araştırılmıştır. [52], çok terimli bir logit çekirdeği kullanarak tek değişkenli bir yanıtın sınıflandırılmasını ele aldı ve bu, genelleştirilmiş doğrusal modellerin karışımları ile alternatif yanıt türlerini barındırmak için [23] tarafından genişletildi. [15] bağımsız çekirdeklerin DP karışımlarını inceledi ve [12] ikili regresyon için ortak bir yanıt değişken modelleme yaklaşımı geliştirdi. Ancak, bu modeller sıralı veriler için veya sıralı yanıtlar arasındaki ilişki hakkında çıkarım yapmak için uygun olmayacaktır.

Sıralı regresyon için Bayesian parametrik olmayan modelleme ile ilgili çalışmalar, özellikle çok değişkenli ortamda nispeten sınırlıdır. İkili regresyonun özel durumunda, modellenecek yalnızca bir olasılık yanıt eğrisi vardır ve bu sorun büyük ilgi görmüştür. Mevcut yarı parametrik yaklaşımlar, DP veya DP karışım önceliklerini [42,5,4] kullanarak gizli yanıt için normallik varsayımını gevşetirken, diğerleri yanıt fonksiyonu [35,60,11] için doğrusallık varsayımını hedeflemiştir. Tek değişkenli bir sıra yanıtı için, [10] gizli yanıtın normallerin ölçek karışımlarından kaynaklandığını ve ortak değişken etkilerinin kübik eğrilerle dönüşüm üzerine toplamsal olduğunu varsayalım. Bu, toplamsal ortak değişken etkilerinin kısıtlayıcı varsayımı altında olsa da, marjinal regresyon eğrilerinde doğrusal olmayanlıkların elde edilmesini sağlar. [22], önceden bir DP ile modellenen konuya özgü rastgele etkiler terimlerini tanıtarak sıralı probit modelini genişletir.

[8] ortak değişkenler üzerinde doğrusal ortalamalar ile normal dağılımların ölçek karışımları ile bağıntılı sıralı yanıtlar için gizli değişkenleri modellemektedir. İlgili, [3] gizil değişkenlerin lineer çok değişkenli probit regresyonlarının karışımlarından, çok değişkenli normal dağılımda regresyon katsayıları ve kovaryans matrislerinin karıştırılmasından kaynaklandığını varsayar. İkinci modelleme yaklaşımı, ortak değişkenler içermeyen çok değişkenli sıralı veriler bağlamında, gizli yanıt dağılımının çok değişkenli normallerin bir DP karışımı ile modellendiği [31]'deki çalışmanın bir uzantısıdır.

Sıralı regresyon modelini geliştirirken tüm ortak değişkenlerin sürekli olduğunu varsaydık. Ayrık değişkenleri işlemek için çekirdeğin bazı modifikasyonlarına ihtiyaç vardır. Sıralı ortak değişkenler, sıralı yanıtlarla aynı şekilde ele alınabilir, böylece çok değişkenli normal çekirdeğin bazı öğelerinin sıralı ortak değişkenler yerine gizli sürekli ortak değişkenleri temsil ettiği varsayılır. [14] bu yaklaşımı, yıllarla ölçülen sıralı bir ortak değişken 'yaşı' yerleştirmek için kullanır. Sırasız kategorik ortak değişkenleri işlemek için çekirdeğin değiştirilmesi gerekir. For example, one could use a product of a multivariate normal distribution for the (latent) continuous variables and a categorical distribution for the discrete covariates.

Throughout this chapter, we have assumed a common vector of covariates X = ( X 1 , . . . , X p ) for each response vector Y. That is, the covariates are not specific to particular response variables, but rather ( Y , X ) arises as a multivariate vector. An alternative version of the probit model involves p j covariates ( X j , 1 , … , X j , p j ) specific to response variable Y j . This regression setting was described for multivariate continuous responses by [57] , and this is the version of the multivariate binary probit model considered in [9] .

Scenarios which make use of response-specific covariates fall broadly into two categories. The first consists of problems in which only a portion of the covariate vector is thought to affect a particular response, but there may be some overlap in the subset of covariates which generate the responses. [9] considered a voting behaviour problem of this kind in which the first of two responses was assumed to be generated by a subset of the covariates associated with the second response. This data structure can also be accommodated by modelling all covariates X jointly with Y, and conditioning on the relevant subset of X in the regression inferences.

The other type of data structure which is occasionally handled with a multivariate regression model with response-specific covariates involves univariate ordinal responses that are related in a hierarchical/dynamic fashion. For instance, [9] illustrate their model with the commonly used Six Cities data, in which Y = ( Y 1 , … , Y 4 ) represents wheezing status at ages 7 through 10. Such settings are arguably more naturally approached through hierarchical/dynamic modelling. Indeed, one extension of the methodology developed here involves dynamic modelling for ordinal regression relationships, such that at any particular time point a unique regression relationship is estimated in a flexible fashion, while dependence is incorporated across time. This methodology is presented in [14] , where a dependent DP [32] is used to model dynamically evolving random distributions. The ordinal variable in this application is fish maturity, which is recorded on an ordinal three-point scale. [44] develop similar models for spatially indexed mixed categorical count-continuous data, using a probit stick breaking process [16] , another type of dependent nonparametric prior, to induce dependence across spatial locations.


The Worst Stats Text eveR

OMG, why is this guy always talking about assumptions of linear models no matter what we do?!

Just as we discussed last week, linear models are just a special case of the GLMM. That is, the linear model assumes a certain error distribution (the normal or Gaussian) that helps things work smoothly and correctly. During the last two weeks, we discussed how we can use link functions to relax the assumption of linear models with respect to normality of residuals and homogeneity of variances, as well as assumptions about the linearity of relationships between explanatory variables and responses of interest by using data transformation. This week, we continue to relax the underlying assumptions of linear models to unleash the true power of estimation in mixed effects models. This is essentially as far as the basic framework for linear modeling goes (with the exception of multivariate techniques), and all other cases (e.g. spatial and temporal autocorrelation regressions) are simply specialized instances of these models.

Let’s take another look at the assumptions of linear models. We will repeat the same mantra from the past few weeks. Here are the three assumptions that we explicitly use when we use linear models (just in case you’ve forgotten them):

Residuals are normally distributed with a mean of zero

Independence of observations (residuals)

Linear relationship between X and Y

14.2.1 Assumption 1: Normality of residuals

We’ve seen these before, but let’s recap. For assumption 1, we are assuming a couple of implicit things: 1) The variable is continuous (and it must be if it’s error structure is normal), and 2) The error in our model is normally distributed.

In reality, this is probably the least important assumption of linear models, and really only matters if we are trying to make predictions from the models that we make, or when we are in gross violation of the assumption. Of course, we are often concerned with making predictions from the models that we make, so we can see why this might be important. However, more often we are in extreme violation of this assumption in some combination with assumption 4 above to such a degree that it actually does matter. For example, a response variable that is binomial (1 or zero) or multinomial in nature cannot possibly have normally distributed errors with respect to x unless there is absolutely no relationship between X and Y, right? So, if we wanted to predict the probability of patients dying from some medical treatment, or the presence/absence of species across a landscape then we can’t use linear models. This is where the link functions that we have been discussing really come into play. The purpose of the link function is to place our decidedly non-normal error structures into an asymptotically normal probability space. The other key characteristic of the link function is that it must be invertible, that way we can get back to the parameter scale that we want to use for making predictions and visualizing the results of our models.

14.2.2 Assumption 2: Independence of observations

This time we’ve broken assumption 2 in two components: Colinearity and autocorrelation of errors. Remember that the manifestation of these problems has primarily been in the precision of our coefficient estimates so far. This leads to the potential for change in the Type-I/II error rates in our models, causing us to draw false conclusions about which variables are important. As we discussed earlier in the course we expect to see some colinearity between observations, and we can deal with balancing this in our modeling through the use of model selection techniques to reduce Type-I and Type-II error. During the past couple of weeks, we examined tools that help us determine whether or not colinearity is actually causing problems in our models that go beyond minor nuisances. As for the second part, autocorrelation, we briefly touched on formulations of the GLM in our readings that included auto-regressive correlation matrices to relax this assumption of linear models and improve the precision of parameter estimates. This week, we will further extend this to include random effects so we can account for non-independence in the observations, and correlation in the residual errors of explanatory variables that could otherwise cause issues with accuracy and precision of our estimates. We will continue to use model selection as a method for determining tradeoffs between information gain and parameter redundancy that results from colinearity between explanatory variables, as well as for hypothesis testing.

14.2.3 Assumption 3: Homogeneity of variances

In past weeks, we looked at ways to reduce this issue by introducing blocking (categorical) variables to our models. Last week, we noted that this could be further mitigated through the use of weighted least squares and MLE within the GLM framework, which can be applied to a wide range of regression methods from linear models to GLMs and GLMMs. This week we will examine how we can use various formulations of the GLMM to account for heteroscedasticity in residual errors directly by including the appropriate error terms in our models. This essentially means that we can start to account for things like repeated measures, nested effects, and various other violations through the use of one tool…nifty!!

14.2.4 Assumption 4: Linearity and additivity

We’ve already looked at a couple of ways to deal with violations of these assumptions such as data transformation and/or polynomial formulations of the linear model. We will continue to apply these concepts this week as we begin to investigate the GLMM as robust framework for analysis.


Mathematics for Class 10

  • 100+ E-Learning Videos (Coming soon)
  • 100 Conceptual Notes for Class 8 maths
  • 250+ self-indulging friendly worksheets
  • 3000+ Questions
  • Detailed Explanations for each question
  • Difficulty Levels viz. for each test

FEATURES OF THE COURSE :

&bull Exhaustive practice tests
&bull Friendly self-indulging worksheets
&bull Progressive Practice patterns
&bull Personalized Learning Dashboard
&bull Concept-wise Analytics
&bull Instant feedback mechanism
&bull All India comparison of progress
&bull Unlimited attempts


BENEFITS OF THE COURSE :

&bull Improved performance &ndash With our scientifically designed content significant improvements in performance will be attained.
&bull Attain the desired IQ &ndash Get the desired IQ in 10th class mathematics with our exhaustive maths models for class 10 CBSE.
&bull Easy tracking of progress &ndash We provide easy tracking facility to help you understand how you are progressing with every step in the course.
&bull Self-paced learning &ndash Every individual has a different learning pace. Keeping that in mind, we have designed the course to be self-paced.
&bull Identify focus areas &ndash Students may be better in certain concepts than others. This course will facilitate them for a better understanding of the areas where they need to focus more.
&bull Build strong foundations &ndash With this course, we aim to help a child understand every concept of the subject so that their foundation in mathematics becomes very strong.
&bull Simple parent&rsquos supervision &ndash Parents will be able to monitor their children&rsquos performance easily with the features provided in the course.
&bull Quick re-learning &ndash Even if a child fails at solving a problem, they will be able to solve the problems again till they get it, thus allowing room for re-learning.


COURSES OFFERED :

&bull Class 10 &ndash Maths - Part 1 (178 lessons)
&bull Class 10 &ndash Maths &ndash Part 2 (142 lessons)

  • Chapter 1 - Real Number
  • Chapter 2 - Polynomials
  • Chapter 3 - Pair of linear equations
  • Chapter 4 - Quadratic equations
  • Chapter 5 - Arithmetic progressions
  • Chapter 6 - Triangles
  • Chapter 7 - Coordinate Geometry
  • Chapter 8 - Introduction to trigonometry
  • Chapter 9 - Some applications of trigonometry
  • Chapter 10 - Circles
  • Chapter 11 - Constructions
  • Chapter 12 - Area Related to circles
  • Chapter 13 - Surface Area and volumes
  • Chapter 14 - Statistics
  • Chapter 15 - Probability


DETAILED SYLLABUS :
1 Real Number
1.1 Real Number
1.1.1 Introduction
1.1.2 Euclid&rsquos Division Lemma
1.1.3 The Fundamental Theorem of Arithmetic
1.1.4 Revisiting Irrational Numbers
1.1.5 Revisiting Rational Numbers and Their Decimal Expansions

2 Polynomial
2.1 Polynomial
2.1.1 Introduction
2.1.2 Geometrical Meaning of the Zeroes of a Polynomial
2.1.3 Relationship between Zeroes and Coefficients of a Polynomial
2.1.4 Division Algorithm for Polynomials

3 Linear Equation in Two Variable
3.1 Pair of Linear Equations in Two Variables
3.1.1 Introduction
3.1.2 Pair of Linear Equations in Two Variables
3.1.3 Graphical Method of Solution of a Pair of Linear Equations
3.2 Solving a Pair of Linear Equations
3.2.1 Substitution Method
3.2.2 Elimination Method
3.2.3 Cross - Multiplication Method
3.3 Equations Reducible to a Pair of Linear Equations in Two Variables

4 Quadratic Equation
4.1 Quadratic Equations
4.1.1 Introduction
4.1.2 Quadratic Equations
4.1.3 Solution of a Quadratic Equation by Factorisation
4.1.4 Solution of a Quadratic Equation by Completing the Square
4.1.5 Nature of Roots
4.1.6 Applications of quadratic equations

5 Arithmetic Progression
5.1 Arithmetic Progression
5.1.1 Introduction
5.1.2 Introduction
5.1.3 Arithmetic Progression
5.1.4 nth Term of an AP
5.1.5 Sum of First n Terms of an AP

6 Triangles
6.1 Triangles
6.1.1 Introduction
6.1.2 Similar Figures
6.1.3 Similarity of Triangles
6.1.4 Criteria for Similarity of Triangles
6.1.5 Areas of Similar Triangles
6.1.6 Pythagoras Theorem

7 Coordinate Geometry
7.1 Coordinate Geometry
7.1.1 Introduction
7.1.2 Distance Formula
7.1.3 Section Formula
7.1.4 Area of a Triangle

8 Trigonometry
8.1 Trigonometry
8.1.1 Introduction
8.1.2 Trigonometric Ratios
8.1.3 Trigonometric Ratios of Some Specific Angles
8.1.4 Trigonometric Ratios of Complementary Angles
8.1.5 Trigonometric Identities

9 Application of Trigonometry
9.1 Some applications of Trigonometry
9.1.1 Introduction
9.1.2 Heights and Distances

10 Circles
10.1 Circles
10.1.1 Introduction
10.1.2 Tangent to a Circle
10.1.3 Number of Tangents from a Point on a Circle

11 Construction
11.1 Construction
11.1.1 Introduction
11.1.2 Division of a Line Segment
11.1.3 Construction of Tangents to a circle

12 Areas Related to Circle
12.1 Areas related to circle
12.1.1 Introduction
12.1.2 Perimeter and Area of a Circle &mdash A Review
12.1.3 Areas of Sector and Segment of a Circle
12.1.4 Areas of Combinations of Plane Figures

13 Surface Area and Volume
13.1 Surface Area & volume
13.1.1 Introduction
13.1.2 Surface Area of a Combination of Solids
13.2 Volumes
13.2.1 Volume of a Combination of Solids
13.3 Surface Area & volume
13.3.1 Conversion of Solid from One Shape to Another
13.3.2 Frustum of a Cone

14 Statistics
14.1 Statistics
14.1.1 Introduction
14.1.2 Mean of Grouped Data
14.1.3 Mode of Grouped Data
14.1.4 Median of Grouped Data
14.1.5 Graphical Representation of Cumulative Frequency Distribution

15 Probability
15.1 Probability &mdash A Theoretical Approach


Videoyu izle: Lineer Cebir: Boyut Dimension (Aralık 2021).