Nesne

3.8: Açık ve Kapalı Kümeler. Mahalleler - Matematik


BEN. (A), ((S, ho)) içinde açık bir küre veya (E^{n} içinde bir ((overline{a}, overline{b})) açık aralığı olsun .) O zaman her (p in A) küçük bir küre içine alınabilir (G_{p}(delta) subseteq A() Şekil 7 ve 8()). (Bu, "sınır" noktaları için başarısız olur; ancak açık bir (G_{q}) veya ((overline{a}, overline{b}) içinde hiçbiri yoktur. )).

Bu, herhangi bir ((S, ho)) için aşağıdaki fikirleri önerir.

Tanım

Bir (p) noktasının bir (A subseteq(S, ho)) kümesinin içinde olduğu söylenir iff (A) bazı (G_{p} ;) içerir, yani, (p ,) bir küre ile birlikte (G_{p},) (A .)'ye aittir. of (A) ("(A^{prime prime}) öğesinin içi gösterilir (A^{0} .) Not: (emptyset^{0}=emptyset)) ve (S^{0}=S !)

Tanım

(mathrm{A}) set (A subseteq(S, ho)) açık olduğu söylenir, eğer (A) onun iç kısmı ile çakışır (left(A^{0}=A) sağ) .) Bunlar (emptyset) ve (S .)

Örnek (PageIndex{1})

(1) Yukarıda belirtildiği gibi, bir açık küre (G_{q}(r)) yalnızca iç noktalara sahiptir ve bu nedenle Tanım (2 .) anlamında bir açık kümedir (kanıt için Problem 1'e bakınız). .)

(2) Aynısı, (E^{n} .) içindeki bir ((overline{a}, overline{b})) açık aralığı için de geçerlidir (Bkz. Problem (2 . ))

(3) (E^{n}) içindeki herhangi bir aralığın içi, onun (overline{a}) ve (overline{b}) uç noktalarını asla içermez. Aslında, ((overline{a}, overline{b}) .) açık aralığı ile çakışmaktadır (Bkz. Problem (4 . ))

(4) (E^{1}) içindeki tüm rasyonellerin (R) kümesinin hiçbir iç noktası (left(R^{0}=emptyset ight)) yoktur çünkü olamaz herhangi bir (G_{p}=(p-varepsilon, p+varepsilon) içerir.) Gerçekten de, herhangi bir (G_{p}) irrasyonel içerir (bkz. Bölüm 2, §§11-12, Problem 5 (),) bu nedenle tamamen (R .) içinde bulunmaz.

Teorem (PageIndex{1})

(Hausdorff özelliği). ((S, ho)) içindeki herhangi iki (p) ve (q) ((p eq q)) iki ayrık kürenin merkezleridir.

Daha kesin,

[(exists varepsilon>0) quad G_{p}(varepsilon) cap G_{q}(varepsilon)=emptyset.]

Kanıt

(p ​​ eq q,) olarak, metrik aksiyom (left(mathrm{i}^{prime} ight) ile ( ho(p, q)>0) var.) Böylece koyabiliriz

[varepsilon=frac{1}{2} ho(p, q)>0.]

Geriye bu (varepsilon, G_{p}(varepsilon) cap G_{q}(varepsilon)=emptyset) ile olduğunu göstermek kalıyor.

Bir çelişki ararken, bunun başarısız olduğunu varsayalım. O zaman (x in G_{p}(varepsilon) cap G_{q}(varepsilon)) vardır, böylece ( ho(p, x)

[ ho(p, q) leq ho(p, x)+ ho(x, q)

bu imkansız çünkü ( ho(p, q)=2 varepsilon . square)

Not. Şekil 9'a bir bakış, bu ispat fikrini açıklar, yani eşit yarıçaplı iki ayrık küre elde etmek için (varepsilon leq frac{1}{2} ho(p, q) 'yi seçmek yeterlidir. ) Okuyucunun bu tür diyagramları (E^{2}) içindeki kılavuz olarak kullanması tavsiye edilir.

II. Artık kapalı kümeleri açık kümeler cinsinden tanımlayabiliriz.

Tanım

Bir (A subseteq(S, ho)) kümesinin, tümleyeni (-A=S-A) açıksa, yani yalnızca iç noktaları varsa kapalı olduğu söylenir.

Yani, her (p in-A) ((A ) dışında) bir küre (G_{p} subseteq-A) içindedir, böylece

[A cap G_{p}=emptyset.]

Örnek (PageIndex{1})

(Devam etti).

(5) (emptyset) ve (S) kümeleri kapalıdır, tümleyenleri için (S) ve (emptyset,) yukarıda belirtildiği gibi açıktır. Böylece bir küme hem kapalı hem de açık ("copen") olabilir.

(6) ((S, ho)) içindeki tüm kapalı küreler ve (E^{n}) içindeki tüm kapalı aralıklar (3 .) Tanımına göre kapalı kümelerdir. 10 ),) eğer (A=overline{G}_{q}(r)) veya (A=[overline{a}, overline{b}]), o zaman herhangi bir nokta ( p) (A) dışında bir (G_{p}(delta)) küresi içine alınabilir, (A ;)'dan ayrıktır, bu nedenle Tanıma göre (3, A) kapalıdır (bkz. Sorun 12()).

(7) ((S, ho)) içindeki bir tek noktalı ({q}) ("singleton" olarak da adlandırılır) her zaman kapalıdır, () dışındaki herhangi bir (p) için {q}(p eq q)), Teorem 1 ile ({q})'dan ayrık bir küre içindedir Ayrık bir uzayda (§§11,) Örnek (3)), ({ q}) açık bir (g) lobu olduğu için de açıktır, ({q}=G_{q}left(frac{1}{2} ight)() neden ? () ;) yani "clopen". Dolayısıyla böyle bir uzayda tüm kümeler "clopen". (p ​​in A) için, (-A . için benzer şekilde ({p}=G_{p}left(frac{1}{2} ight) subseteq A ;) anlamına gelir. ) Böylece (A) ve (-A) sadece iç noktalara sahiptir, dolayısıyla ikisi de açıktır.

(8) (E^{1})'deki ((a, b]) aralığı ne açık ne de kapalı.(Neden?)

III. (Bu bölümün geri kalanı Bölüm (4), §10'a ertelenebilir.)

Teorem (PageIndex{2})

Herhangi bir sonlu ya da sonsuz açık küme ailesinin birleşimi (A_{i}(i in I)), ile gösterilir

[igcup_{i in I} A_{i},]

kendisi açıktır. Aynı zamanda

[igcap_{i=1}^{n} A_{i}]

sonlu sayıda açık küme için. (Bu, sonsuz sayıda (A_{i} ;) kümesi için başarısız olur, aşağıdaki Problem 11'e bakın.)

Kanıt

(A=igcup_{i} A_{i})'nin herhangi bir (p) noktasının (A)'nın içinde olduğunu göstermeliyiz.

Şimdi eğer (p in igcup_{i} A_{i}, p) bir (A_{i},) içindeyse ve bu bir (A_{i}) iç noktasıysa ( için (A_{i}) varsayıma göre açıktır). Böylece bir küre var

[G_{p} subseteq A_{i} subseteq A,]

gereğince, gerektiği gibi.

Sonlu kesişimler için, iki açık kümeyi (A) ve (B) ((n) kümeleri için, ardından tümevarım takip eder) düşünmek yeterlidir. Her (p in A cap B) öğesinin (A cap B .) öğesinin içinde olduğunu göstermeliyiz.

Şimdi (p in A) ve (A) açık olduğu için, elimizde bazı (G_{p}left(delta^{prime} ight) subseteq A .) var. is (G_{p}left(delta^{prime prime} ight) subseteq B .) O zaman iki küreden daha küçük olanı (G_{p},) olarak adlandırın her ikisinde de (A) ve (B,) yani

[G_{p} subseteq A kap B]

ve (p) gerçekten de (A cap B,)'nin içindedir. (Meydan)

Teorem (PageIndex{3})

(A_{i}(i in I)) kümeleri kapalıysa,

[igcap_{i in I} A_{i}]

(sonsuz sayıda set için bile). Aynı zamanda

[igcup_{i=1}^{n} A_{i}]

sonlu sayıda kapalı küme için (A_{i} .) (Yine, bu sonsuz sayıda küme için başarısız olur (A_{i} . ))

Kanıt

(A=igcap_{i in I} A_{i} .) (A)'nın kapalı olduğunu kanıtlamak için, (-A)'nın açık olduğunu gösterelim.

Şimdi küme teorisi ile (bkz. Bölüm 1, §§1-3, Teorem 2),

[-A=-igcap_{i} A_{i}=igcup_{i}left(-A_{i}sağ),]

burada (left(-A_{i} ight)) açıktır ((A_{i} için) kapalıdır () .) Böylece Teorem (2,-A) ile gerektiği gibi açın.

İkinci iddia ( (igcup_{i=1}^{n} A_{i} ) ile ilgili olarak) oldukça benzer şekilde takip eder. (Meydan)

sonucu (PageIndex{1})

(A) boş olmayan küme (A subseteq(S, ho)) is open iff (A) açık kürelerin birleşimidir.

Çünkü (A) böyle bir birleşim ise, Teorem (2 .) ile açıktır. Tersine, eğer (A) açıksa, o zaman her (p in A) (G_'dedir) {p} subseteq A .) Tüm bu (G_{p}(p in A)) (A,)'nın tümünü kapsar, yani (A subseteq igcup_{p in A} G_{ p} .) Ayrıca, (igcup_{p in A} G_{p} subseteq A) çünkü tüm (G_{p}) (A .) içindedir.

[A=igcup_{p in A} G_{p}.]

sonucu (PageIndex{2})

Bir metrik uzayda ((S, ho)) her sonlu (F) kümesi kapalıdır.

Kanıt

Eğer (F=emptyset, F) Örnek ((5) ile kapatılırsa .) If (F eq emptyset,) let

[F=left{p_{1}, ldots, p_{n} ight}=igcup_{k=1}^{n}left{p_{k} ight}. ]

Şimdi Örnek ((7),) ile her bir (left{p_{k} ight}) kapalıdır; dolayısıyla (F) teoremine göre öyledir (3 . square)

Not. Belirli bir uzaydaki tüm açık kümelerin ailesi ((S, ho)) (mathcal{G} ile gösterilir); tüm kapalı kümelerin, (mathcal{F} .) ile bu, (" A in mathcal{G}^{prime prime}) ile (A)'nın açık olduğu anlamına gelir; "A (in mathcal{F}^{prime prime}), (A)'nın kapalı olduğu anlamına gelir. Teorem 2 ve (3,) ile

[(forall A, B in mathcal{G}) quad A cup B in mathcal{G} ext{ ve } A cap B in mathcal{G};]

benzer şekilde (mathcal{F} .) için Bu bir tür "kapatma yasası"dır. (mathcal{F}) ve (mathcal{G})'nin "sonlu birleşimler ve kesişimler altında kapalı" olduğunu söylüyoruz.

Sonuç olarak, ((S, ho) .)'nin herhangi bir ((A, ho)) altuzayını ele alalım. (ki bu sadece (A) noktalarından oluşmalıdır) () .) Şimdi bunların, sonraki kümeleri (A ile keserek ((S, ho)) kümesinden elde edildiğini göstereceğiz. )

Teorem (PageIndex{4})

((A, ho)), ((S, ho)) öğesinin bir alt uzayı olsun. O halde ((A, ho)) içindeki açık (kapalı) kümeler tam olarak (A cap U,) ile (U) (()kapalı()) (S) içinde açın.

Kanıt

(G) ((A, ho) 'da açık olsun.) Sonuç olarak (1, G) bazı açık kürelerin birleşimidir (G_{i}^{*}(i in I)) in ((A, ho) .) (Kısacası için, merkezleri ve yarıçapları atlıyoruz; ayrıca önemsiz durumu da atlıyoruz (G=emptyset .)

[G=igcup_{i} G_{i}^{*}=igcup_{i}left(A cap G_{i}sağ)=A cap igcup_{i} G_{i}, ]

küme teorisi ile (bkz. Bölüm 1, §§1-3,) Problem 9).

Yine doğal sonucu (1, U=igcup_{i} G_{i}) ((S, ho) .) içinde bir açık kümedir. Böylece (G) formuna sahiptir

[A cap igcup_{i} G_{i}=A cap U,]

iddia edildiği gibi (U) ile (S,) içinde açılır.

Tersine, ikincisini varsayalım ve (p in G .) O zaman (p in A) ve (p in U .) olsun (U) ((S, ho),) ((S, ho)) içinde öyle bir (G_{p}) küresi vardır ki (p in G_{p} subseteq U .) As (p in A,) elimizde

[p in A cap G_{p} subseteq A cap U.]

Ancak, (A cap G_{p}) ((A, ho),) içinde bir küredir, buna (G_{p}^{*} .) diyelim.

[p in G_{p}^{*} subseteq A cap U=G;]

yani, (p) ((A, ho) .'deki (G)'nin bir iç noktasıdır.) Her (p in G)'nin (G,)'nin içinde olduğunu görüyoruz. ((A, ho),) içinde bir küme olarak, yani (G) ((A, ho) .) içinde açıktır.

Bu, açık kümeler için teoremi kanıtlar. Şimdi (F) ((A, ho) .) içinde kapalı olsun. O zaman Tanıma göre (3, AF) ((A, ho) .) içinde açık olsun (Tabii ki, ((A, ho)'da çalışırken, tamamlayıcıları alırken (S)'yi (A) ile değiştiririz.) (G=AF,) öyle olsun ki (F=AG,) ve (G) ((A, ho) .) içinde açıktır. Yukarıda gösterildiği gibi, (G=A cap U) ile (U) (S) içinde açılır.

Böylece

[F=A-G=A-(A cap U)=A-U=A cap(-U)]

küme teorisi ile Burada (-U=S-U) ((S, ho)) içinde kapalıdır çünkü (U) orada açıktır. Böylece (F=A cap(-U),) gerektiği gibi.

Tersinin ispatı (kapalı kümeler için) bir alıştırma olarak bırakılmıştır. (Meydan)


Açık küme

Matematikte, açık kümeler gerçek çizgideki açık aralıkların bir genellemesidir. Metrik uzayda, yani bir uzaklık tanımlandığında açık kümeler, her P noktasıyla birlikte, P'ye yeterince yakın olan tüm noktaları (yani, P'ye uzaklığı bir değerden küçük olan tüm noktaları) içeren kümelerdir. P'ye bağlı olarak).

Daha genel olarak, açık kümeler, belirli bir kümenin belirli bir alt kümeleri koleksiyonunun üyeleri, üyelerinin her birliğini, üyelerinin her sonlu kesişimini, boş kümeyi ve tüm kümeyi içerme özelliğine sahip bir koleksiyon olarak tanımlanır. kendisi. Böyle bir koleksiyonun verildiği bir kümeye topolojik uzay denir ve koleksiyona topoloji denir. Bu koşullar çok gevşektir ve açık kümelerin seçiminde büyük esneklik sağlar. Örneğin, her alt küme açık olabilir (ayrık topoloji) veya alanın kendisi ve boş küme (ayrıksız topoloji) dışında hiçbir küme açık olamaz.

Bununla birlikte, pratikte, açık kümeler genellikle, tanımlanmış bir mesafe ölçüsü olmaksızın, metrik uzaylarınkine benzer bir yakınlık kavramı sağlamak için seçilir. Özellikle, bir topoloji, süreklilik, bağlantılılık ve kompaktlık gibi orijinal olarak bir mesafe ile tanımlanan özellikleri tanımlamaya izin verir.

Herhangi bir mesafesi olmayan bir topolojinin en yaygın durumu, topolojik uzaylar olan manifoldlar tarafından verilir, yakın her nokta, bir Öklid uzayının açık bir kümesine benzer, ancak genel olarak üzerinde hiçbir mesafe tanımlanmamıştır. Daha az sezgisel topolojiler, örneğin cebirsel geometri ve şema teorisinde temel olan Zariski topolojisi gibi matematiğin diğer dallarında kullanılır.


8 Cevap 8

Açık kümeleri belirterek bir küme üzerinde bir topoloji tanımlar.

$X$ bir küme olsun. $ au$ aşağıdaki özelliklere sahip bir küme ailesiyse, buna topoloji denir.

  • $X$ ve $varnothing$, $ au$ içinde
  • $ au$ içindeki herhangi bir (muhtemelen sonsuz, hatta sayılamayan şekilde sonsuz) küme birleşimi $ au$ içindedir.
  • $ au$ öğesinin herhangi bir sonlu sayıda elemanının kesişimi $ au$ içindedir.

$ au$ içindeki kümelere açık kümeler diyoruz. Örneğin, $mathbb içindeki açık kümelerin koleksiyonunun^2$ tam olarak bu özelliklere sahiptir.

$S$ kümesinin bir mahallesi, bir açık küme $U$ içeren bir $P$ kümesidir, yani $Salt küme Ualt küme P$.

Daha fazla bilgi için, bkz topoloji Munkres tarafından.

Öğrencileri topolojiyle tanıştırmanın sorunlarından biri, açık küme aksiyomlarının, uzun vadede son derece yararlı olsalar da, oldukça sezgisel olduklarında, genellikle bir topolojinin tanımı olarak alınmasıdır. Mahalle tanımının, biraz hantal olsa da, analizden elde edilen fikirlerle yakından ilişkili olma avantajına sahip olduğunu ve tarihsel bir temele sahip olduğunu savunuyorum, elbette şöyledir:

bir komşu topoloji bir kümede $X$ her öğeye $x in X$ boş olmayan bir küme atar $mathcal N(x)$ $X $ altkümesi olarak adlandırılır mahalleler $x$ , özelliklerle birlikte:

$N$, $x$'ın bir mahallesiyse, o zaman $x in N$ .

M $x$ ve $M subseteq N subseteq X$ mahallesiyse, $N$ $x$ mahallesidir.

$x$'lık iki mahallenin kesişimi $x$'lık bir komşuluktur.

$N$, $x$'ın bir mahallesiyse, o zaman $N$, $x$'ın bir $M$ mahallesini içerir, öyle ki $N$, $M$'ın her noktasının bir mahallesidir.

Sonra bir fonksiyon $f: X o Y$ diyor sürekli $X$ ve $Y$ üzerinde wrt mahalleler eğer her $x in X$ ve $f(x)$'ın $N$ mahallesi için $f(M) olacak şekilde $x$ değerinde bir $M$ mahallesi varsa alt küme N$ . Açık küme süreklilik tanımı daha sonra komşuluklar açısından bu tanıma eşdeğer olarak gerekçelendirilir.

Ayrıca, $X$'daki bir $U$ kümesinin açık $U$ tüm noktalarının bir mahallesi ise.

SONRA açık küme aksiyomları geliştirilebilir ve komşulukların kurtarılabileceği gösterilebilir.

Öğrenciler, topoloji kavramına, avantajları kıyaslanması gereken birçok yaklaşımın olduğunun farkında olmalıdır. "Al ya da bırak" yaklaşımı olmamalı, ancak öğrenciler teorinin karakteri ve yöntemleri açısından bir yargı oluşturmaya teşvik edilmelidir. Ve hangi durumlarda hangi tanımın uygun olduğunu görün.

14 Haziran: Açık kümenin tanımını motive etmek için Topology and Groupoids kitabımda yukarıdaki yaklaşım benimsenmiştir.

17 Kasım 2016. Peter Freyd, Değişken Kategoriler kitabının Giriş bölümünde yazıyor

"Topoloji, sonlu kesişim ve sonsuz birleşmeler altında kapalı küme ailelerinin incelenmesi olarak alenen tanımlansaydı, topolojinin embriyonik öğrencilerine ciddi bir kötülük yapılmış olurdu. Böyle bir tanımın matematiksel doğruluğu, temel aksiyomlarının olabileceği dışında topoloji hakkında hiçbir şey ortaya koymaz. oldukça basitleştirildi ve kategori teorisi ile aynı pedagojik problemle karşı karşıya kaldık.

Topolojinin (mükemmel olmasa da) daha iyi bir tanımı, sürekli haritaların incelenmesi ve kategori teorisinin aynı şekilde functors teorisi olarak daha iyi tanımlanmasıdır. Her iki açıklama da ilk tanımlar olarak mantıksal olarak kabul edilemez, ancak konuların hem mevcut hem de tarihsel motivasyonlarını daha doğru bir şekilde yansıtıyorlar."

Ayrıca Bill Lawvere'in matematikte uzay kavramının hareketin temsili için çok önemli olduğuna dair sözlerine de bir gönderme yapmak istiyorum. Bu, bu derste, özellikle Hareketle ilgili bölüm ve videoda gösterilmektedir.

G-C Rota'nın "Bağımsız düşünceler"e bir referans daha eklemek istiyorum. O kontrast bir tanım Birlikte açıklama (s.48). Kitapta belirtilmesi gereken daha birçok önemli nokta var!

2 Mayıs 2020 Ayrıca bir topolojinin kapatma işlemi açısından olduğu kadar Int ve Ext açısından da aksiyomlaştırılabileceğinden bahsedeceğim. Öğrenciler, sadece otoriter bir bakış açısını kabul etmekle kalmayıp düşünmeye ve değerlendirmeye teşvik edilmelidir. (De Gruyter tarafından 2012'de yayınlanmış, 328 sayfa ve dört editörlü, Değişmeli Cebir 2'de İlerleme, Kapanışlar, Sonluluk ve Çarpanlara ayırma adlı bir cilt vardır ve çevrimiçi olarak mevcuttur, Önsöz'ün matematikteki analojiler hakkında bazı iyi görüşleri vardır).

13 Mayıs 2020 Ayrıca filtre kavramını ve daha fazla ayrıntı için topolojik uzayları aksiyomlaştırma yollarına ve daha fazlasına bağlantı eklemeliyim.


3.8: Açık ve Kapalı Kümeler. Mahalleler - Matematik

Tm 3.1: İki dışbükey kümenin kesişimi bir dışbükey kümedir.

bir düzlem eğrisi birim aralıktan düzleme her iki koordinatta da sürekli olan bir eşlemenin görüntüsüdür. Eşleme bire bir ise, eğri basit. Uç noktalar çakışırsa, eğri kapalı. Basit bir kapalı eğri ile belirlenen düzlem bölgesinin içini ve dışını tartışmak istiyoruz. Bunu tam olarak yapmak için biraz daha konsepte ihtiyacımız var.

tanım: yarıçapı r olan bir P noktasının açık dairesel komşuluğu, Nepal Rupisi). Ayrıca kapalı mahalle.

İç nokta bir setin.

Dış nokta bir setin.

sınır noktası bir setin.

bir açık küme sadece iç noktalara sahiptir.

bir kapalı küme tüm sınır noktalarını içerir.

Bunların birbirini dışlayan kavramlar olmadığını vurgulayın.

tanım: bir destek hattı iç noktaları olan iki boyutlu bir küme için, kümenin tüm noktaları çizgi tarafından belirlenen aynı kapalı yarım düzlemde olacak şekilde kümenin en az bir sınır noktasından geçen bir çizgidir.

Tmm. 3.3: Bir doğru, kümenin en az bir sınır noktasından geçiyorsa, ancak kümenin iç noktasından hiç geçmiyorsa ve bunun tersi de bir dışbükey küme için bir destek çizgisidir.

  1. bir bitiş noktası olarak sınır noktasına sahip olmak ve
  2. ayrıca dışbükey kümenin veya sınırının diğer noktalarını da içerir.

tanım: Bir çizgi teğet o noktadaki iki eşdoğrusal yarı tanjantın birleşimi ise bir noktada dışbükey kümeye.

Bu teğet kavramının farklı hesapta kullanılandan.

Bir dışbükey kümenin sınır noktaları şu şekilde sınıflandırılabilir: düzenli veya köşe,

Tmm. 3.4 : Basit bir kapalı eğrinin içi, ancak ve ancak eğrinin her noktasından iç kısım için en az bir destek çizgisi geçiyorsa, bir dışbükey kümedir.

Tmm. 3.5 : Bir düzlemin uygun bir alt kümesi olan bir düzlem kapalı dışbükey küme, tüm destekleyici yarı düzlemlerinin kesişimidir.

tanım: bir dışbükey gövde kapalı, sınırlı, boş olmayan ve iç noktaları olan dışbükey bir noktalar kümesidir.

Tmm. 3.6 : Basit bir kapalı eğri S ve bunun içi, ancak ve ancak K'nin bir iç noktasından geçen her doğru S'yi tam olarak iki noktada keserse, dışbükey bir K gövdesi oluşturur.

Tm 3.7 : İki uzayda dışbükey bir cismin sınırı basit bir kapalı eğridir. (Kanıt yok)

Tm 3.8 : Basit bir kapalı eğri S, 2 boyutlu dışbükey bir K gövdesinin sınırıdır, ancak ve ancak S üzerindeki ardışık noktalar tarafından belirlenen her kapalı kapalı çokgen bir dışbükey çokgen bölgenin sınırıysa.

tanım: basit bir kapalı eğrinin uzunluğu tüm yazılı çokgen eğrilerin uzunluğunun en küçük üst sınırıdır. Bir bölgenin sınırının uzunluğuna denir. çevre bölgenin.

Tm 3.9 : Eğer K1 ve K2 K ile dışbükey çokgen bölgelerdir1 K2, sonra K'nin çevresi1 K'nin çevresinden küçük veya eşit2.

Thm 3.10: 2 boyutlu dışbükey gövdeler için aynı.

3,11: Dışbükey bir poligonal bölgenin her noktası için ax + by + c fonksiyonu tanımlanırsa, bir tepe noktasının koordinatları için maksimum değer oluşur ve başka bir tepe noktasının koordinatları için minimum değer oluşur.

tanım: dışbükey örtü S kümesinin S içeren en küçük dışbükey kümesidir.

3,16: Bir küme ancak ve ancak kendi dışbükey gövdesiyse dışbükeydir.

tanım: K dışbükey kümesinin bir A noktasına denir. uç nokta K'nin K'de bulunan herhangi bir doğru parçasının bir iç noktası değildir.

3,17 : Bir dışbükey çokgen bölge S, uç noktalarının dışbükey gövdesi K'dir.

3,18 : Düzlemdeki sonlu sayıda noktanın dışbükey gövdesi, dışbükey bir çokgen bölgedir.

3,19: S, basit bir kapalı eğri T üzerindeki sonlu bir nokta kümesi olsun. T, tüm bu S kümeleri için bir dışbükey K kümesinin sınırıdır, S'nin hiçbir noktası K'nin dışbükey gövdesinin bir iç noktası değildir.

tanım: Sınırlı 2 boyutlu bir kümenin iki paralel destek çizgisi arasındaki bir l çizgisi boyunca dik mesafedir. Genişlik setin l satırı ile gösterilen yönde.

3,21: İzin Vermek ve ' maksimum genişlik yönünde bir S kümesi için paralel destek düzlemleri olsun. A herhangi bir noktası ise S, sonra l'den A'ya dik çizgi ve ' kesişir ' S'nin bir B noktasında.

Tm 3.22: İzin Vermek ve ' maksimum genişlik yönünde kapalı bir S kümesi için paralel destek düzlemleri olsun. Sonra S ve S her biri tam olarak bir nokta içerir.

tanım: Bir kümenin genişliği tüm yönlerde aynıysa, kümenin bir küme olduğunu söyleriz. sabit genişlik kümesi.

Sabit genişliğe sahip dışbükey kümeler pratik açıdan ilgi çekicidir. Diskler bir örnektir, ancak en ilginç örnek şudur: Reuleaux üçgeni.

Reuleaux üçgeninin yapımı.

Uygulamalar : Bazı otomobillerde ve kar motosikletlerinde kullanılan Wankel motoru. Bir film filmi sürmek için vites. Kare delikler açan matkap. "Jimmy geçirmez" yangın hidrantları.


Gösteriler ve teknik her şey oluşturmak için 1 numaralı araç.

İlk hesaplamalı bilgi motoruyla her şeyi keşfedin.

Bilim, matematik, mühendislik, teknoloji, işletme, sanat, finans, sosyal bilimler ve daha pek çok alanda binlerce ücretsiz uygulamayı keşfedin.

Matematik eğitimini modernleştirme girişimine katılın.

Wolfram|Alpha ile integralleri çözün.

Ev ödevi problemlerini başından sonuna kadar adım adım gözden geçirin. İpuçları, bir sonraki adımı kendi başınıza denemenize yardımcı olur.

Yerleşik Adım adım çözümlerle sınırsız rastgele alıştırma problemi ve cevapları. Çevrimiçi pratik yapın veya yazdırılabilir bir çalışma sayfası yapın.

Wolfram eğitim uzmanları tarafından oluşturulmuş öğretme ve öğrenme araçları koleksiyonu: dinamik ders kitabı, ders planları, widget'lar, etkileşimli Gösteriler ve daha fazlası.


Yeni özellikler¶

Atama ifadeleri¶

Daha büyük bir ifadenin parçası olarak değişkenlere değerler atayan yeni sözdizimi := var. Bir morsun gözlerine ve dişlerine benzerliği nedeniyle sevgiyle “mors operatörü” olarak bilinir.

Bu örnekte, atama ifadesi len() öğesinin iki kez çağrılmasını önlemeye yardımcı olur:

Benzer bir fayda, bir eşleşmenin oluşup oluşmadığını test etmek için ve diğeri bir alt grubu çıkarmak için olmak üzere eşleşme nesnelerinin iki kez gerekli olduğu normal ifade eşleşmesi sırasında ortaya çıkar:

Operatör ayrıca, döngü sonlandırmasını test etmek için bir değer hesaplayan ve daha sonra döngü gövdesinde aynı değere tekrar ihtiyaç duyan while döngüleri için de kullanışlıdır:

Bir başka motive edici kullanım durumu, bir filtreleme koşulunda hesaplanan bir değerin ifade gövdesinde de gerekli olduğu liste kavrayışlarında ortaya çıkar:

Karmaşıklığı azaltan ve okunabilirliği artıran vakaları temizlemek için mors operatörünün kullanımını sınırlamaya çalışın.

Görmek PEP 572 tam bir açıklama için.

(Emily Morehouse tarafından bpo-35224'te katkıda bulunulmuştur.)

Yalnızca konumsal parametreler¶

Bazı işlev parametrelerinin konumsal olarak belirtilmesi gerektiğini ve anahtar sözcük bağımsız değişkenleri olarak kullanılamayacağını belirtmek için yeni bir işlev parametresi sözdizimi / vardır. Bu, Larry Hastings'in Argüman Kliniği aracıyla açıklamalı C işlevleri için help() tarafından gösterilen gösterimin aynısıdır.

Aşağıdaki örnekte, parametreler bir ve b sadece konumsaldır, oysa c veya d konumsal veya anahtar kelime olabilir ve e veya f anahtar kelimeler olması gerekir:

Aşağıdaki geçerli bir çağrıdır:

Ancak bunlar geçersiz aramalardır:

Bu gösterim için bir kullanım durumu, saf Python işlevlerinin mevcut C kodlu işlevlerin davranışlarını tam olarak taklit etmesine izin vermesidir. Örneğin, yerleşik divmod() işlevi, anahtar sözcük bağımsız değişkenlerini kabul etmez:

Başka bir kullanım durumu, parametre adı yardımcı olmadığında anahtar kelime bağımsız değişkenlerini engellemektir. Örneğin, yerleşik len() işlevi, len(obj, /) imzasına sahiptir. Bu, aşağıdaki gibi garip aramaları engeller:

Bir parametreyi yalnızca konumsal olarak işaretlemenin bir başka yararı da, gelecekte müşteri kodunu kırma riski olmadan parametre adının değiştirilmesine olanak sağlamasıdır. Örneğin, istatistik modülünde parametre adı uzak gelecekte değiştirilebilir. Bu, aşağıdaki işlev belirtimi ile mümkün olmuştur:

/ öğesinin solundaki parametreler olası anahtar sözcükler olarak gösterilmediğinden, parametre adları **kwargs içinde kullanım için kalır:

Bu, keyfi anahtar kelime argümanlarını kabul etmesi gereken işlevlerin ve yöntemlerin uygulanmasını büyük ölçüde basitleştirir. Örneğin, koleksiyon modülündeki koddan bir alıntı:

Görmek PEP 570 tam bir açıklama için.

(Bpo-36540'ta Pablo Galindo tarafından katkıda bulunulmuştur.)

Derlenmiş bayt kodu dosyaları için paralel dosya sistemi önbelleği¶

Yeni PYTHONPYCACHEPREFIX ayarı ( -X pycache_prefix olarak da mevcuttur), örtük bayt kodu önbelleğini her kaynak dizindeki varsayılan __pycache__ alt dizinleri yerine ayrı bir paralel dosya sistemi ağacı kullanacak şekilde yapılandırır.

Önbelleğin konumu sys.pycache_prefix içinde bildirilir ( Yok, __pycache__ alt dizinlerindeki varsayılan konumu belirtir).

(Carl Meyer tarafından bpo-33499'da katkıda bulunulmuştur.)

Hata ayıklama derlemesi, sürüm derlemesiyle aynı ABI'yi kullanır¶

Python, yerleşik sürüm veya hata ayıklama modunda olsun, artık aynı ABI'yi kullanır. Unix'te Python hata ayıklama modunda oluşturulduğunda, yayın modunda yerleşik C uzantılarını ve kararlı ABI kullanılarak oluşturulmuş C uzantılarını yüklemek artık mümkün.

Yayın yapıları ve hata ayıklama yapıları artık ABI uyumludur: Py_DEBUG makrosunun tanımlanması artık tek ABI uyumsuzluğunu tanıtan Py_TRACE_REFS makrosu anlamına gelmez. sys.getobjects() işlevini ve PYTHONDUMPREFS ortam değişkenini ekleyen Py_TRACE_REFS makrosu, yeni ./configure --with-trace-refs derleme seçeneği kullanılarak ayarlanabilir. (Bpo-36465'te Victor Stinner tarafından katkıda bulunulmuştur.)

Unix'te, C uzantıları artık Android ve Cygwin dışında libpython'a bağlı değildir. Statik olarak bağlı bir Python'un, paylaşılan bir Python kütüphanesi kullanılarak oluşturulmuş bir C uzantısını yüklemesi artık mümkün. (Bpo-21536'da Victor Stinner tarafından sağlanmıştır.)

Unix'te Python hata ayıklama modunda oluşturulduğunda, içe aktarma artık yayın modunda derlenmiş C uzantılarını ve kararlı ABI ile derlenmiş C uzantılarını da arar. (Bpo-36722'de Victor Stinner tarafından sağlanmıştır.)

Python'u bir uygulamaya gömmek için, yeni bir --embed seçeneği python3-config --libs --embed öğesine geçirilerek -lpython3.8 (uygulamayı libpython'a bağlayın). Hem 3.8 hem de daha eski sürümleri desteklemek için, önce python3-config --libs --embed'i ve önceki komut başarısız olursa python3-config --libs'e ( --embed olmadan) geri dönüşü deneyin.

Python'u bir uygulamaya gömmek için bir pkg-config python-3.8-embed modülü ekleyin: pkg-config python-3.8-embed --libs, -lpython3.8 içerir. Hem 3.8 hem de daha eski sürümleri desteklemek için, önce pkg-config python-XY-embed --libs'i ve önceki komut başarısız olursa pkg-config python-XY --libs'e ( --embed olmadan) geri dönüşü deneyin (XY'yi Python sürümüyle değiştirin) ).

Öte yandan, pkg-config python3.8 --libs artık -lpython3.8 içermiyor. C uzantıları libpython ile bağlantılı olmamalıdır (kodları komut dosyası tarafından işlenen Android ve Cygwin hariç) bu değişiklik bilerek geriye dönük uyumsuzdur. (Bpo-36721'de Victor Stinner tarafından katkıda bulunulmuştur.)

F-strings desteği = kendi kendini belgeleyen ifadeler ve hata ayıklama için¶

f-string s'ye bir = belirteci eklendi. f' gibi bir f-string' ifadesi, eşittir işareti olan ifadenin metnine, ardından değerlendirilen ifadenin temsiline genişleyecektir. Örneğin:

Normal f-string format belirteçleri, ifadenin sonucunun nasıl görüntülendiği üzerinde daha fazla kontrole izin verir:

= belirteci, hesaplamaların gösterilebilmesi için tüm ifadeyi görüntüler:

(Bpo-36817'de Eric V. Smith ve Larry Hastings tarafından katkıda bulunulmuştur.)

PEP 578: Python Çalışma Zamanı Denetim Kancaları¶

PEP, bir Denetim Kancası ve Doğrulanmış Açık Kanca ekler. Her ikisi de Python'da ve yerel kodda mevcuttur ve saf Python koduyla yazılmış uygulamaların ve çerçevelerin ekstra bildirimlerden yararlanmasına olanak tanırken, aynı zamanda katıştırıcıların veya sistem yöneticilerinin denetimin her zaman etkin olduğu Python yapılarını dağıtmasına olanak tanır.

PEP 587: Python Başlatma Yapılandırması¶

PEP 587 Python Başlatma'yı yapılandırmak için yeni bir C API ekler ve tüm yapılandırma üzerinde daha iyi kontrol ve daha iyi hata raporlaması sağlar.


Bir Noktanın Komşuluğu

$sol( ight)$ bir topolojik uzay olsun. $X$ içeren $X$ $X$ alt kümesinin $x$ komşusu olduğu söylenir, eğer $x$ içeren bir $U$ kümesi varsa, öyle ki $N$ $U$ içerir, yani.

Bir noktanın komşuluğu mutlaka açık bir küme değildir. Ancak, bir noktanın komşuluğu bir açık küme ise, buna o noktanın açık komşuluğu diyoruz.

$X = sol < ise ight>$ topolojili $ au = left< ,X> ight>$ (Sierpinski alanı olarak bilinir), ardından $left< a ight>$ ve $X$ $a$'ın komşularıdır çünkü $left< a ight>$ açık kümesini bulabiliriz, öyle ki

$a in left < a ight>subseteq left< a ight>$ ve $a in left < a ight>subset X$

Öte yandan $X$, $b$'ın tek komşuluğudur çünkü $X$ açık kümesini şu şekilde bulabiliriz:

Başka bir örnek olarak, $X = left < olsun ight>$ topolojili $ au = left< ,left< b ight>,left < ight>,X> ight>$ sonra $left< a ight>,left < sağ>,sol < sağ>,sol < sağ>,sol < sağ>,sol < ight>,X$ $a$ komşularıdır. Benzer şekilde, $left< b ight>,left < sağ>,sol < sağ>,sol < sağ>,sol < sağ>,sol < sağ>,sol < ight>,X$, $b$'ın mahalleleridir ve $X$, $c$ ve $d$'ın tek mahallesidir. Bu çizimden açıkça görülmektedir ki bir $x$ noktasının birden fazla komşuluğu olabilir.

Mahalle Sistemi

$sol( ight)$ bir topolojik uzay olsun. $x in X$ noktasının tüm komşuluklarının kümesinin $x$'lık bir komşuluk sistemi olduğu söylenir. $Nsol( x sağ)$ ile gösterilir. Yukarıdaki örnek bu komşuluk sistemini göstermektedir.

teoremler
• $X$ topolojik uzayının kendisi, noktalarının her birinin bir komşuluğudur.
• Bir topolojik uzayın bir alt kümesi, ancak ve ancak kendi noktalarının her birinin komşuluğu ise açıktır.
• Bir noktanın iki komşusunun kesişimi aynı zamanda bir topolojik uzayda onun komşuluğudur.
• Bir noktanın iki komşusunun birleşimi aynı zamanda bir topolojik uzayda onun komşuluğudur.
• $A$, $x$ ve $A altkümesi B$'ın bir mahallesiyse, o zaman $B$'ın da $x$'ın bir mahallesi olduğunu gösterin.
• $A$, $x$'ın bir komşusuysa, o zaman $B$'ın aynı zamanda $x$'ın bir komşuluğu ve $A$'ın, $B'nin her noktasının bir komşuluğu olacak şekilde açık bir $B$ kümesinin var olduğunu gösterin. $.
• Bir noktanın komşuluk sistemi boş olmayan bir kümedir.
• Bir noktanın sonlu sayıdaki komşularının kesişimi de onun komşuluğudur.
• $X$ topolojik uzayının $N(x)$ üyesini içeren herhangi bir $M$ alt kümesi de $N(x)$'a aittir.
• Eş sonlu bir topolojik uzayın bir noktasının her komşuluğu açıktır.


Tek taraflı

1. Bir kaplama uzayı ve bir alt uzay için, izin verin. Kısıtlamanın bir kaplama alanı olduğunu gösteriniz.

Bir örtme uzayı olduğu için, her biri için , içinde açık kümelerin ayrık bir birleşimi olacak şekilde açık bir örtü vardır ve bunların her biri 'ye homeomorfik olarak eşlenir. Her biri için, izin verin. Daha sonra altuzay topolojisi ile açık bir kapaktır. Verilen bir , açık kümelerin bir birleşimi olarak yazın . Ardından, açık kümelerin bir birleşimi olan . Geriye bunun bir homomorfizma olduğunu göstermek kalıyor. Bununla birlikte, kod alanı aralıkla sınırlıyken, bu tam olarak to sınırlamasıdır. Bir homeomorfizma olduğu için kısıtlama da öyle.

4. Construct a simply-connected covering space of the space that is the union of a sphere and a diameter.

Let be an infinite union alternating between spheres and line segments. This could be represented as the subspace of consisting of spheres with radius centered at each and line segments from for each .

5. Let be the subspace of consisting of the four sides of the square together with the segments of the vertical lines inside the square. Show that for every covering space there is some neighborhood of the left edge of that lifts homeomorphically to . Deduce that as no simply-connected covering space.

A covering space of gives an open cover of , and since is compact we can choose the cover to be finite. I construct by induction a neighborhood of the left side that lifts homeomorphically to a subspace of . Let be the open set in the cover that contains the bottom left corner. Then is a finite union of open sets, each one of which is mapped homeomorphically to by . Now, assume that we have a subcollection of such that there is an open set that is mapped homeomorphically to by . If does not cover the left edge of the square, then there must be some element of that intersects and also intersects the complement of in the left edge. To see this, note that if no such element exists, then and give a separation of the left edge, but the left edge is connected!

Let denote this set, and let denote some point in the intersection of and . Let . Then so it must be contained in some open set in that maps homeomorphically to . We let be the union of that set and , so is mapped homeomorphically to by . This process terminates when we reach a collection covering the left side of the square. Therefore, we have a neighborhood of the left side that is mapped homeomorphically to a subspace of . Since any neighborhood of the left side must contain a rectangular neighborhood (by compactness), this neighborhood contains all but finitely many of the vertical lines . Consider a loop in that starts at the bottom left of the rectangle, up the left side, right to one of these vertical lines, down to the bottom, and back to the bottom left. This loop is mapped to a nontrivial loop in , so it cannot be trivial in . Therefore, no covering space of is simply connected. This shows that the condition that is locally path-connected is necessary for the existence of a simply-connected cover.

7. Let be the quasi-circle that is the union of a portion of a portion of the graph , the line segment in the -axis, and an arc connecting the two pieces. Collapsing the segment in the -axis to a point gives a quotient map . Show that does not lift to the covering space , even though .

Assume that is a lift of , so . Let be a homotopy from to a point. Then is a homotopy from to a point, and gives a homotopy from to a point in . INCOMPLETE

9. Show that if a path-connected, locally path-connected space has finite, then every map is nullhomotopic.

induces a homomorphism of fundamental groups Since is finite, the only such homomorphism is the trivial homomorphism. Thus, , so the map satisfies the requirements to lift to a map . Composing with a homotopy from to a constant map induces a homotopy from the identity to a constant map, so is nullhomotopic.

10. Find all connected 2 sheeted covering spaces of , up to isomorphism of covering spaces without basepoints.

Let and denote the two loops in . For 2-sheeting coverings, there are possibilities for each pair of permutations on two elements, one permutation for each generator. If both generators apply the identity permutation, the associated covering space is two disconnected copies of . There are two covering spaces where one generator transposes the vertices and the other stabilizes them. In the last covering space, both generators transpose the vertices.


14. Find all connected covering spaces of .

Note that . This group has subgroups the trivial group, the family , and the family . The trivial group corresponds to the universal covering space described by an infinite chain of beads. We write . The subgroups correspond to the family ( corresponds with the covering space itself). The associated covering spaces are chains of beads, with a copy of attached to each end of the chain. The subgroups correspond to the family of subgroups . The corresponding covering spaces are loops of beads, labeled appropriately.

15. Let be a simply-connected covering space of and let be a path-connected, locally path connected subspace, with a path-component of . Show that is the covering space corresponding to the kernel of the map .

is a covering space by the result of problem 1. Let and be the insertion maps, and let be the homomorphism of fundamental groups induced by . We see that . This map has an associatiated homomorphism of fundamental groups which commutes with . The latter map is trivial, because it passes through , which is trivial. Therefore, we see that must be the trivial map. So, .

For the converse, if some path is nullhomotopic when included in , (so is nullhomotopic), then by the lifting criterion the composition lifts to a path . Choosing the base point as a point in , we see by the uniqueness of the lift that in . Thus, we can restrict the range of to get a path in . This path lifts , so we see that .


2. Fundamental Examples

This chapter provides various examples of topological spaces which will be used all along these notes and are often at the core of the subject.

2.1. Trivial Topologies

Definition 2.1.

Let E be a set. The topology ∅ , E is the indiscrete topology on E . The topology 2 E is the discrete topology on E .

Proposition 2.2.

Let F , &Tscr be a topological space. All functions from E , 2 E into F , &Tscr are continuous. The only continuous functions from E , ∅ , E to F are constant if F , &Tscr is T1.

Kanıt.

When E is given the discrete topology, then for all open subsets V of F one has f - 1 ⁢ V open in E . On the other hand, if E is given the indiscrete topology and F , &Tscr is T1 then assume f takes two values, l and k . Then ∁ F ⁢ l is open, so f - 1 ⁢ ∁ F ⁢ l must be open, and as it is nonempty (it contains f - 1 ⁢ k ), it is all of E , which is absurd. ∎

2.2. Order topologies

Definition 2.3.

Let ( E , ≤ ) be a linearly ordered set. Let ∞ , - ∞ be two symbols not in E . Define E ¯ = E ∪ - ∞ , ∞ and extend ≤ to E ¯ by setting for all x , y ∈ E ¯ :

x ≤ y ⇔ ( x ∈ E ∧ y ∈ E ∧ x ≤ y ) ∨ ( x = - ∞ ) ∨ ( y = ∞ ) .

Let < be the relation ≤ ⁣ ∩ ⁣ ≠ (i.e. x < y ⇔ ( x ≤ y ∧ x ≠ y ) ) on E ¯ . Let a , b ∈ E ¯ . We define the set a , b = x ∈ E : a < x ∧ x < b .

Definition 2.4.

Let ( E , ≤ ) be a linearly ordered set. Then the topology induced by the set:

is the order topology on E .

Proposition 2.5.

The set I E is a basis for the order topology on E .

Kanıt.

Since E is linearly ordered, so is E ¯ . It is immediate that a , b ∩ c , d = a &prime , d &prime if a &prime is the largest of a and c and d &prime is the smallest of b and d . ∎

Remark 2.6.

The default topology on &Ropf is the order topology.

Definition 2.7.

Let ( E , ≤ ) be an ordered set, and a , b ∈ E . We define a , b = x ∈ E : a ≤ x ∧ x ≤ b .

2.3. Trace Topologies

Proposition 2.8.

Let E , &Tscr E be a topological space. Let A ⊆ E . Then the trace topology on A induced by &Tscr E is the topology:

Kanıt.

It is a trivial exercise to show that the above definition indeed gives a topology on A . ∎

Just as easy is the following observation:

Proposition 2.9.

Let E , &Tscr be a topological space. Let &Bscr be a basis for &Tscr . Let A ⊆ E . Then the set B ∩ A : B ∈ &Bscr is a basis for the trace topology on A induced by &Tscr .

Kanıt.
Remark 2.10.

The default topology on &Nopf , &Zopf and &Qopf is the trace topology induced by the order topology on &Ropf . Since n = n - 1 2 , n + 1 2 ∩ &Zopf for all n ∈ &Zopf , we see that the natural topologies form &Nopf and &Zopf are in fact the discrete topology.

Remark 2.11.

Let A ⊆ E , where E , &Tscr is a topological space. Let i : A → E be the inclusion map. Then the trace topology is the initial topology for i , i.e. &Tscr ⁢ i .

2.4. Product Topologies

Definition 2.12.

Let I be some nonempty set. Let us assume given a family E i , &Tscr i i ∈ I of topological spaces. A basic open set of the cartesian product ∏ i ∈ I E i is a set of the form ∏ i ∈ I U i where i ∈ I : U i ≠ E i is finite and for all i ∈ I , we have U i ∈ &Tscr i .

Definition 2.13.

Let I be some nonempty set. Let us assume given a family E i , &Tscr i i ∈ I of topological spaces. The product topology on ∏ i ∈ I E i is the smallest topology containing all the basic open sets.

Proposition 2.14.

Let I be some nonempty set. Let us assume given a family E i , &Tscr i i ∈ I of topological spaces. The collection of all basic open sets is a basis on the set ∏ i ∈ I E i .

Kanıt.
Remark 2.15.

The product topology is not just the basic open sets on the cartesian products: there are many more open sets!

Proposition 2.16.

Let I be some nonempty set. Let us assume given a family E i , &Tscr i i ∈ I of topological spaces. The product topology on ∏ i ∈ I E i is the initial topology for the the set p i : i ∈ I where p i : ∏ j ∈ I E j → E i is the canonical surjection for all i ∈ I .

Kanıt.

Fix i ∈ I . Let V ∈ &Tscr E i . By definition, p i - 1 ⁢ V = ∏ j ∈ I U j where U j = E j for j ∈ I ∖ i , and U i = V . Hence p i - 1 ⁢ V is open in the product topology. As V was an arbitrary open subset of E i , the map p i is continuous by definition. Hence, as i was arbitrary in I , the initial topology for p i : i ∈ I is coarser than the product topology.

Conversely, note that the product topology is generated by p i - 1 ⁢ V : i ∈ I , V ∈ &Tscr E i , so it is coarser than the initial topology for p i : i ∈ I . This concludes this proof. ∎

Corollary 2.17.

Let I be some nonempty set. Let us assume given a family E i , &Tscr i i ∈ I of topological spaces. Let &Tscr be the product topology on F = ∏ i ∈ I E i . Let D , &Tscr D be a topological space. Then f : D → F is continuous if and only if p i ∘ f is continuous from D , &Tscr D to E i , &Tscr E i for all i ∈ I , where p i is the canonical surjection on E i for all i ∈ I .

Kanıt.

We simply applied the fundamental property of initial topologies. ∎

Remark 2.18.

The box topology on the cartesian product is the smallest topology containing all possible cartesian products of open sets. It is finer than the product topology in general. Since the product topology is the coarsest topology which makes the canonical projections continuous, it is the preferred one on cartesian products. Of course, both agree on finite products.

Remark 2.19.

The product topology is the default topology on a cartesian product of topological spaces.

2.5. Metric spaces

Definition 2.20.

Let E be a set. A function d : E × E → 0 , ∞ is a distance on E when:

For all x , y ∈ E , we have d ⁢ x , y = 0 if and only if x = y ,

For all x , y ∈ E we have d ⁢ x , y = d ⁢ y , x ,

For all x , y , z ∈ E we have d ⁢ x , y ≤ d ⁢ x , z + d ⁢ z , y .

Definition 2.21.

A pair E , d is a metric space when E is a set and d a distance on E .

The following is often useful:

Proposition 2.22.

Let (E,d) be a metric space. Let x , y , z ∈ E . Then:

d ⁢ x , y - d ⁢ x , z ≤ d ⁢ y , z ⁢ .

Kanıt.

Since d ⁢ x , y ≤ d ⁢ x , z + d ⁢ z , y we have d ⁢ x , y - d ⁢ x , z ≤ d ⁢ z , y = d ⁢ y , z . Since d ⁢ x , z ≤ d ⁢ x , y + d ⁢ y , z we have d ⁢ x , z - d ⁢ x , y ≤ d ⁢ y , z . Hence the proposition holds. ∎

Definition 2.23.

Let E , d be a metric space. Let x ∈ E and r ∈ 0 , ∞ ⊆ &Ropf . The open ball of center x and radius r in E , d is the set:

B ⁢ x , r = y ∈ E : d ⁢ x , y < r ⁢ .

Definition 2.24.

Let E , d be a metric space. The metric topology on E induced by d is the smallest topology containing all the open balls of E .

Theorem 2.25.

Let E , d be a metric space. The set of all open balls on E is a basis for the metric topology on E induced by d .

Kanıt.

It is enough to show that the set of all open balls is a basis. By definition, E = ⋃ x ∈ E B ⁢ x , 1 . Now, let us be given B ⁢ x , r x and B ⁢ y , r y for some x , y ∈ E and r x , r y > 0 . If the intersection of these two balls is empty, we are done let us assume that there exists z ∈ B ⁢ x , r x ∩ B ⁢ y , r y . Let ρ be the smallest of r x - d ⁢ x , z and r y - d ⁢ y , z . Let w ∈ B ⁢ z , ρ . Then:

d ⁢ x , w ≤ d ⁢ x , z + d ⁢ z , w < d ⁢ x , z + r x - d ⁢ x , z = r x

so w ∈ B ⁢ x , r x . Similarly, w ∈ B ⁢ y , r y . Hence, B ⁢ z , ρ ⊆ B ⁢ x , r x ∩ B ⁢ y , r y as desired. ∎

The following theorem shows that metric topologies are minimal in the sense of making the distance functions continuous.

Theorem 2.26.

Let E , d be a metric space. For all x ∈ E , the function y ∈ E ↦ d ⁢ x , y is continuous on E for the metric topology. Moreover, the metric topology is the smallest topology such that all the functions in the set y ↦ d ⁢ x , y : x ∈ E are continuous.

Kanıt.

Fix x ∈ E . It is sufficient to show that the preimage of 0 , r and r , ∞ by d x : y ∈ E ↦ d ⁢ x , y is open in the metric topology of E , where r ≥ 0 is arbitrary. Indeed, these intervals form a basis for the topology of 0 , ∞ . Let r ≥ 0 be given. Then d x - 1 ⁢ 0 , r = B ⁢ x , r by definition, so it is open. Moreover, it shows that the minimal topology making all these maps continuous must indeed contain the metric topology. Now, let y ∈ E such that d ⁢ x , y > r . Let ρ = d ⁢ x , y - r > 0 . Then if d ⁢ w , y < ρ for some w ∈ E then:

d ⁢ x , y ≤ d ⁢ x , w + d ⁢ w , y ⁢ so ⁢ d ⁢ x , y - d ⁢ w , y ≤ d ⁢ x , w

for all y ∈ d x - 1 ⁢ r , ∞ . Therefore, d x - 1 ⁢ r , ∞ is open, as desired, and our proposition is proven. ∎

Remark 2.27.

The topology on 0 , ∞ is the trace topology on 0 , ∞ induced by the usual, i.e. the order topology on &Ropf .

Remark 2.28.

The metric topology is the default topology on a metric space.

There are more examples of continuous functions between metric spaces. More precisely, a natural category for metric spaces consists of metric spaces and Lipschitz maps as arrows, defined as follows:

Definition 2.29.

Let E , d E , F , d F be metric spaces. A function f : E → F is k -Lipschitz for k ∈ 0 , ∞ if:

∀ x , y ∈ E ⁢ d F ⁢ f ⁢ x , f ⁢ y ≤ k ⁢ d E ⁢ x , y ⁢ .

Definition 2.30.

Let E , d E , F , d F be metric spaces. Let f : E → F be a Lipschitz function. Then the Lipschitz constant of f is defined by:

Lip ⁢ f = sup ⁡ d F ⁢ f ⁢ x , f ⁢ y d E ⁢ x , y : x , y ∈ E , x ≠ y ⁢ .

Remark 2.31.

Lip ⁢ f = 0 if and only if f is constant.

Proposition 2.32.

Let E , d E , F , d F be metric spaces. If f : E → F is a Lipschitz function, then it is continuous.

Kanıt.

Assume f is nonconstant (otherwise the result is trivial). Let k be the Lipschitz constant for f . Let y ∈ F and ϵ > 0 . Let x ∈ f - 1 ⁢ B ⁢ y , ϵ . Let z ∈ E such that d E ⁢ x , z < δ x = ϵ - d ⁢ f ⁢ x , y k (note that the upper bound is nonzero).

( 2.1 ) d F ⁢ f ⁢ z , y d F ⁢ f ⁢ z , f ⁢ x + d F ⁢ f ⁢ x , y
( 2.2 ) k ⁢ d E ⁢ x , z + d F ⁢ f ⁢ x , y
( 2.3 ) < ϵ - d F ⁢ f ⁢ x , y + d F ⁢ f ⁢ x , y = ϵ .

Hence f - 1 ⁢ B ⁢ y , ϵ = ⋃ x ∈ f - 1 ⁢ B ⁢ y , ϵ B ⁢ x , δ x . So f is continuous. ∎

Remark 2.33.

The proof of continuity for Lipshitz maps can be simplified: it is a consequence of the squeeze theorem. We refer to the chapter on metric spaces for this.

Remark 2.34.

Using Lipshitz maps as morphisms for a category of metric spaces is natural. Another, more general type of morphisms, would be uniform continuous maps, which are discussed in the compact space chapter.

2.6. Co-Finite Topologies

A potential source for counter-examples, the family of cofinite topologies is easily defined:

Proposition 2.35.

&Tscr cof ⁢ E = ∅ ∪ U ⊂ E : ∁ E ⁢ U ⁢ is finite ⁢ .

Then &Tscr cof ⁢ E is a topology on E .

Kanıt.

By definition, ∅ ∈ &Tscr cof ⁢ E . Moreover, ∁ E ⁢ E = ∅ which is finite, so E ∈ &Tscr cof ⁢ E . Let U , V ∈ &Tscr cof ⁢ E . If U or V is empty then U ∩ V = ∅ so U ∩ V ∈ &Tscr cof ⁢ E . Otherwise, ∁ E ⁢ U ∩ V = ∁ E ⁢ U ∪ ∁ ⁢ V which is finite, since by definition ∁ E ⁢ U and ∁ E ⁢ V are finite. Hence U ∩ V ∈ &Tscr cof ⁢ E . Last, let &Uscr ⊆ &Tscr cof ⁢ E . Again, if &Uscr = ∅ then ⋃ &Uscr = ∅ ∈ &Tscr cof ⁢ E . Let us now assume that &Uscr contains at least one nonempty set V . Then:

Since ∁ E ⁢ V is finite by definition, so is ⋃ &Uscr , which is therefore in &Tscr cof ⁢ E . This completes our proof. ∎

2.7. The one-point compactification of &Nopf

Limits of sequences is a central tool in topology and this section introduces the natural topology for this concept. The general notion of limit is the subject of the next chapter.

Definition 2.36.

Let ∞ be some symbol not found in &Nopf . We define &Nopf ¯ to be &Nopf ∪ ∞ .


3.8: Open and Closed Sets. Neighborhoods - Mathematics

If you want to prove that a set is open or closed, then it is tempting to argue directly from the definitions of "open" and "closed". But one can often argue much more cleanly by using some basic facts and avoiding epsilons and deltas.

Önkoşullar

Basic analysis, definitions of open and closed sets, easy theorems about open and closed sets.

General discussion

Here are some theorems that can be used to shorten proofs that a set is open or closed.

A union of open sets is open, as is an intersection of finitely many open sets.

An intersection of closed sets is closed, as is a union of finitely many closed sets.

Eğer is a continuous function and is open/closed, then is open/closed.

A subset of (or more generally of a metric space) is closed if and only if whenever is a sequence of elements of ve , sonra is also an element of .

Örnek 1

İzin Vermek be the set of all real numbers such that there exists a rational number öyle ki . What is the neatest way of showing that is open?

One method that involves nothing more than formal manipulations is to express the definition of gibi

nerede is the continuous function ve is the open interval . Since each is open and is continuous, so is each , and therefore so is their union. And we have shown this without dirtying our hands with epsilons and deltas.

General discussion

Often in analysis it is helpful to bear in mind that "there exists" goes with unions and "for all" goes with intersections. For example, the set of all real numbers such that there exists a positive integer ile is the union over all of the set of ile . Perhaps writing this symbolically makes it clearer:

This often makes it possible to show that a set is open by showing that it is a union of sets that are more obviously open. Similarly, one can often express the set of all that satisfy some condition as the inverse image of another set under a continuous function. Here is an example.

Örnek 2

Prove that the set of all non-singular matrices is open (in any reasonable metric that you might like to put on them).

A quick argument is that this set is equal to , which is the inverse image of the open set under the continuous map .

General discussion

This example differs from the previous one in that the definition of "non-singular" was not in a form where we could immediately apply the basic theorems. Instead, we had to search for an appropriate function (the determinant) that would do the job for us. In spirit, this argument is a bit like proving that a subgroup of a group is normal by finding a homomorphism from to some other group with as its kernel.

Örnek 3

İzin Vermek be a continuous function. Then the graph of is closed. The graph of is the set of all points of the form .

A direct proof of this would be to take some point ile and argue that there exists such that if has distance at most itibaren then . That can be done, but it is slightly tedious.

A quick proof is to consider the map . This is continuous, and the graph of is . Therefore, the graph is closed.

General discussion

Again, we chose a continuous function in order to solve this problem. Was any ingenuity required? Well, the graph of is . If one is trying to express it as the inverse image of a closed set under a continuous function, then it doesn't take too much ingenuity to rewrite this as . But if you want a proof that takes Hayır ingenuity at all, then notice that the statement is telling us that the pair lies on the line (to put it slightly confusingly). So we could have argued first that the line consisting of all points of the form is closed and then that the map is continuous. The graph of is so we are done.

But how would we prove that is closed if we wanted to do no work? Probably we'd end up considering the map and then we would be back with the earlier argument.

Örnek 4

Is there another work-free way to prove that the graph of a continuous function is closed? How about using the sequence definition of closed sets? So we take a sequence of points in that converges to some other point in . That implies that bazı . Since is continuous, . But then , which belongs to the graph of , so we are done.


Videoyu izle: Mantık 3. Matematik. # #matematik (Aralık 2021).