Nesne

P.2: İnceleme - tam sayı üsleri


Üslerin Çarpım Kuralını Kullanma

(x^3 imes x^4) çarpımını düşünün. Her iki terim de aynı tabana sahiptir, (x), ancak farklı üslere yükseltilirler. Her ifadeyi genişletin ve ardından ortaya çıkan ifadeyi yeniden yazın.

[ egin{align*} x^3 imes x^4 &= overbrace{x imes x imes x}^{ ext{3 faktör}} imes overbrace{ x imes x imes x imes x}^{ ext{4 faktör}} [4pt] &= overbrace{x imes x imes x imes x imes x imes x imes x}^{ ext{7 faktör }} [4pt] &=x^7 end{align*}]

Bir çarpım üssünün iki faktörün üslerinin toplamı olduğuna dikkat edin. Yani aynı tabana sahip üstel ifadeleri çarparken sonucu ortak tabanla yazıp üsleri toplarız. Bu, üslerin çarpım kuralıdır.

[ x^3 imes x^4=x^{3+4}=x^7 osayı]

Şimdi gerçek sayılarla bir örnek düşünün.

(2^3 imes2^4=2^{3+4}=2^7)

Her bir üstel ifadeyi basitleştirerek bunun doğru olduğunu her zaman kontrol edebiliriz. (2^3)'nin (8), (2^4)'nin (16) ve (2^7)'nin (128) olduğunu buluruz. (8 imes16) çarpımı (128)'e eşittir, dolayısıyla ilişki doğrudur. Üslerin çarpımı kuralını, iki sayının çarpımı olan ifadeleri veya tabanı aynı fakat üsleri farklı olan ifadeleri basitleştirmek için kullanabiliriz.

Örnek (PageIndex{1}): Ürün Kuralını Kullanma

Aşağıdaki ürünlerin her birini tek bir tabanla yazınız. Daha fazla basitleştirmeyin.

  1. (t^5kez t^3)
  2. ((−3)^5kez(−3))
  3. (x^2kez x^5kez x^3)

Çözüm

Her bir ifadeyi basitleştirmek için çarpım kuralını (Denklem ef{prod}) kullanın.

  1. (t^5 imes t^3=t^{5+3}=t^8)
  2. ((−3)^5 imes(−3)=(−3)^5 imes(−3)^1=(−3)^{5+1}=(−3)^6)
  3. (x^2kez x^5kez x^3)

İlk başta, üç faktörlü bir ürünü basitleştiremeyeceğimiz görünebilir. Bununla birlikte, çarpmanın birleştirici özelliğini kullanarak, ilk ikisini sadeleştirerek başlayın.

[x^2 imes x^5 imes x^3=(x^2 imes x^5) imes x^3=(x^{2+5}) imes x^3=x^7 imes x^3=x^{7+3}=x^{10} umara]

Üç üslü bir adımda toplayarak aynı sonucu elde ettiğimize dikkat edin.

[x^2 imes x^5 imes x^3=x^{2+5+3}=x^{10} onumber]

Deneyin (PageIndex{1})

Aşağıdaki ürünlerin her birini tek bir tabanla yazınız. Daha fazla basitleştirmeyin.

  1. (k^6kez k^9)
  2. (left(dfrac{2}{y}sağ)^4 imesleft(dfrac{2}{y}sağ))
  3. (t^3kez t^6kez t^5)
Yanıtlar

bir. (k^{15}) ( qquad ) b. (left(dfrac{2}{y}sağ)^5) ( qquad ) c. (t^{14})

Üslerin Kuvvet Kuralını Kullanma

Üstel bir ifadenin bir güce yükseltildiğini varsayalım. Sonucu basitleştirebilir miyiz? Evet. Bunu yapmak için üslerin kuvvet kuralını kullanırız. ((x^2)^3) ifadesini düşünün. (2) üslü olduğundan parantez içindeki ifade iki kez çarpılır. Sonra sonuç üç kez çarpılır, çünkü tüm ifadenin üssü (3).

[egin{align*} (x^2)^3 &= (x^2) imes(x^2) imes(x^2) &= x imes x imes x imes x imes x imes x &= x^6 end{hiza*}]

Cevabın üssü, üslerin çarpımıdır. Yani üstel bir ifadeyi bir kuvvete yükseltirken sonucu ortak tabanla yazıp üsleri çarpıyoruz.

[ (x^2)^3=x^{2⋅3}=x^6 osayı]

Çarpım kuralı ile güç kuralının kullanımları arasında ayrım yapmaya dikkat edin. Çarpım kuralı kullanılırken, aynı tabana sahip farklı terimler üslere yükseltilir. Bu durumda, üsleri eklersiniz. Kuvvet kuralını kullanırken, üstel gösterimdeki bir terim bir kuvvete yükseltilir. Bu durumda, üsleri çarparsınız.

Ürün kuralıGüç Kuralı
(5^3 imes5^4=5^{3+4}=5^7)((5^3)^4=5^{3 imes4}=5^{12})
(x^5 imes x^2=x^{5+2}=x^7)((x^5)^2=x^{5 imes2}=x^{10})
((3a)^7kez(3a)^{10}=(3a)^{7+10}=(3a)^{17})(((3a)^7)^{10}=(3a)^{7 imes10}=(3a)^{70})

Örnek (PageIndex{2}): Güç Kuralını Kullanma

Aşağıdaki ürünlerin her birini tek bir tabanla yazınız. Daha fazla basitleştirmeyin.

  1. ((x^2)^7)
  2. (((2t)^5)^3)
  3. (((−3)^5)^{11})

Çözüm

Her bir ifadeyi basitleştirmek için kuvvet kuralını (Denklem ef{güç}) kullanın.

  1. ((x^2)^7=x^{2⋅7}=x^{14})
  2. (((2t)^5)^3=(2t)^{5⋅3}=(2t)^{15})
  3. (((−3)^5)^{11}=(−3)^{5⋅11}=(−3)^{55})

Deneyin (PageIndex{2})

Aşağıdaki ürünlerin her birini tek bir tabanla yazınız. Daha fazla basitleştirmeyin.

  1. (((3y)^8)^3)
  2. ((t^5)^7)
  3. (((−g)^4)^4)
Yanıtlar

bir. ((3y)^{24}) ( qquad ) b. (t^{35}) ( qquad ) c. ((−g)^{16})

Üslerin Bölüm Kuralını Kullanma

Üslerin bölüm kuralı, aynı tabana ancak farklı üslere sahip iki sayıyı bölen bir ifadeyi basitleştirmemizi sağlar. Çarpım kuralına benzer şekilde, (dfrac{y^m}{y^n}) gibi bir ifadeyi sadeleştirebiliriz. (dfrac{y^9}{y^5}) örneğini düşünün. Ortak çarpanları iptal ederek bölme işlemini gerçekleştirin.

[egin{align*} dfrac{y^9}{y^5} &= dfrac{ycdot ycdot ycdot ycdot ycdot ycdot ycdot ycdot y }{ycdot ycdot ycdot ycdot y} &= dfrac{ycdot ycdot ycdot y}{1} &= y^4 end{align*} ]

Bölümün üssünün, bölen ve temettü üsleri arasındaki fark olduğuna dikkat edin. Yani aynı tabana sahip üstel ifadeleri bölerken sonucu ortak tabanla yazıp üsleri çıkarıyoruz.

(dfrac{y^9}{y^5}=y^{9−5}=y^4)

Örnek (PageIndex{3}): Bölüm Kuralını Kullanma

Aşağıdaki ürünlerin her birini tek bir tabanla yazınız. Daha fazla basitleştirmeyin.

  1. (dfrac{(−2)^{14}}{(−2)^{9}})
  2. (dfrac{t^{23}}{t^{15}})
  3. (dfrac{(zsqrt{2})^5}{zsqrt{2}})

Çözüm

Her ifadeyi basitleştirmek için bölüm kuralını (Denklem ef{quot}) kullanın.

  1. (dfrac{(−2)^{14}}{(−2)^{9}}=(−2)^{14−9}=(−2)^5)
  2. (dfrac{t^{23}}{t^{15}}=t^{23−15}=t^8)
  3. (dfrac{(zsqrt{2})^5}{zsqrt{2}}=(zsqrt{2})^{5−1}=(zsqrt{2})^4 )

Deneyin (PageIndex{3})

Aşağıdaki ürünlerin her birini tek bir tabanla yazınız. Daha fazla basitleştirmeyin.

  1. (dfrac{s^{75}}{s^{68}})
  2. (dfrac{(−3)^6}{−3})
  3. (dfrac{(ef^2)^5}{(ef^2)^3})
Yanıtlar

bir. (s^7) ( qquad ) b. ((−3)^5) ( qquad ) c. ((ef^2)^2)

Üslerin Sıfır Üs Kuralını Kullanma

Bölüm Kuralı ve (m=n) kullanılırsa ne olur? Örneği düşünün.

[dfrac{t^8}{t^8}=1 qquad ext{çünkü bir sayının kendisine bölümü 1} onumber]

Bunun yerine bölüm kuralını kullanarak ifadeyi sadeleştirecek olsaydık,

[dfrac{t^8}{t^8}=t^{8−8}=t^0 onumber]

İki yanıtı eşitlersek sonuç (t^0=1) olur. Bu, sıfır olmayan herhangi bir gerçek sayı veya gerçek bir sayıyı temsil eden herhangi bir değişken için geçerlidir. Tek istisna, değeri tanımsız olan (0^0) ifadesidir.

Örnek (PageIndex{4}): Sıfır Üs Kuralını Kullanma

Üslerin sıfır üs kuralını kullanarak her ifadeyi basitleştirin.

  1. (dfrac{c^3}{c^3})
  2. (dfrac{-3x^5}{x^5})
  3. (dfrac{(j^2k)^4}{(j^2k) imes(j^2k)^3})
  4. (dfrac{5(rs^2)^2}{(rs^2)^2})

Çözüm

Her ifadeyi basitleştirmek için sıfır üssü ve diğer kuralları kullanın.

bir. [egin{align*} dfrac{c^3}{c^3} &= c^{3-3} &= c^0 &= 1 end{align*}]

b. [egin{align*} dfrac{-3x^5}{x^5} &= -3 imesdfrac{x^5}{x^5} &= -3 imes x^{ 5-5} &= -3 imes x^0 &= -3 imes 1 &= -3 end{align*}]

c. [egin{align*} dfrac{(j^2k)^4}{(j^2k) imes(j^2k)^3} &= dfrac{(j^2k)^4}{( j^2k)^{1+3}} && ext{ Çarpım kuralını paydada kullanın} &= dfrac{(j^2k)^4}{(j^2k)^4} && ext { Basitleştir} &= (j^2k)^{4-4} && ext{ Bölüm kuralını kullan} &= (j^2k)^0 && ext{ Basitleştir} &= 1 bitiş{hiza*}]

d. [egin{align*} dfrac{5(rs^2)^2}{(rs^2)^2} &= 5(rs^2)^{2-2} && ext{ Bölümü kullanın rule} &= 5(rs^2)^0 && ext{ Basitleştir} &= 5 imes1 && ext{ Sıfır üs kuralını kullan} &= 5 && ext{ Basitleştir} end {hizala*}]

Deneyin (PageIndex{4})

Üslerin sıfır üs kuralını kullanarak her ifadeyi basitleştirin.

  1. (dfrac{t^7}{t^7})
  2. (dfrac{(de^2)^{11}}{2(de^2)^{11}})
  3. (dfrac{w^4 imes w^2}{w^6})
  4. (dfrac{t^3 imes t^4}{t^2 imes t^5})
Yanıtlar

bir. (1) ( qquad ) b. (dfrac{1}{2}) ( qquad ) c. (1) ( qquad ) d. (1)

Negatif Üs Kuralını Kullanma

Bir üstel ifadenin daha büyük bir üslü başka bir üstel ifadeye bölündüğü durumu düşünün. Örneğin, (dfrac{t^3}{t^5}).

[egin{align*} dfrac{t^3}{t^5} &= dfrac{t imes t imes t}{t imes t imes t imes t imes t} &= dfrac{1}{t imes t} &= dfrac{1}{t^2} end{align*}]

Orijinal ifadeyi bölüm kuralını kullanarak sadeleştirecek olsaydık,

[egin{align*} dfrac{t^3}{t^5} &= t^{3-5} &= t^{-2} end{align*}]

Yanıtları bir araya getirdiğimizde, (t^{−2}=dfrac{1}{t^2}) elde ederiz. Bu, sıfır olmayan herhangi bir gerçek sayı (t) için geçerlidir.

Genel olarak, negatif üslü bir faktör, kesir çubuğu boyunca hareket ettirilirse, pozitif üs ile aynı faktör haline gelir - paydan paydaya veya tam tersi.

(a^{−n}=dfrac{1}{a^n}) ve (a^n=dfrac{1}{a^{−n}})

(a^n) üstel ifadesinin, (n) bir doğal sayı, (0) veya bir doğal sayının negatifi olduğunda tanımlandığını gösterdik. Bu, (a^n) ifadesinin herhangi bir (n) tamsayı için tanımlandığı anlamına gelir. Ayrıca, çarpım ve bölüm kuralları ve yakında inceleyeceğimiz tüm kurallar herhangi bir (n) tamsayı için geçerlidir.

Örnek (PageIndex{5}): Negatif Üs Kuralını Kullanma

Aşağıdaki bölümlerin her birini tek tabanlı olarak yazınız. Daha fazla basitleştirmeyin. Olumlu üslü cevaplar yazın.

  1. (dfrac{ heta^3}{ heta^{10}})
  2. (dfrac{z^2 imes z}{z^4})
  3. (dfrac{(-5t^3)^4}{(-5t^3)^8})

Çözüm

  1. (dfrac{ heta^3}{ heta^{10}}= heta^{3-10}= heta^{-7}=dfrac{1}{ heta^7})
  2. (dfrac{z^2 imes z}{z^4}=dfrac{z^{2+1}}{z^4}=dfrac{z^3}{z^4}=z^ {3-4}=z^{-1}=dfrac{1}{z})
  3. (dfrac{(-5t^3)^4}{(-5t^3)^8}=(-5t^3)^{4-8}=(-5t^3)^{-4}= dfrac{1}{(-5t^3)^4})

Deneyin (PageIndex{5})

Aşağıdaki bölümlerin her birini tek tabanlı olarak yazınız. Olumlu üslü cevaplar yazın.

  1. (dfrac{(-3t)^2}{(-3t)^8})
  2. (dfrac{f^{47}}{f^{49} imes f})
  3. (dfrac{2k^4}{5k^7})
Yanıtlar

bir. (dfrac{1}{(-3t)^6}) ( qquad ) b. (dfrac{1}{f^3}) ( qquad ) c. (dfrac{2}{5k^3})

Örnek (PageIndex{6}): Ürün ve Bölüm Kurallarını Kullanma

Aşağıdaki ürünlerin her birini tek bir tabanla yazınız. Olumlu üslü cevaplar yazın.

  1. (b^2kez b^{-8})
  2. ((-x)^5kez(-x)^{-5})
  3. (dfrac{-7z}{(-7z)^5})

Çözüm

  1. (b^2 imes b^{-8}=b^{2: + : -8}=b^{-6}=dfrac{1}{b^6})
  2. ((-x)^5 imes(-x)^{-5}=(-x)^{5: + :-5}=(-x)^0=1)
  3. (dfrac{-7z}{(-7z)^5}= dfrac{(-7z)^1}{(-7z)^5}=(-7z)^{1:-:5} =(-7z)^{-4}=dfrac{1}{(-7z)^4})

Deneyin (PageIndex{6})

Aşağıdaki ürünlerin her birini tek bir tabanla yazınız. Olumlu üslü cevaplar yazın.

  1. (t^{-11}kez t^6)
  2. (dfrac{25^{12}}{25^{13}})
Yanıtlar

bir. (t^{-5}=dfrac{1}{t^5}) ( qquad ) b. (dfrac{1}{25})

Bir Ürünün Gücünü Bulmak

İki üstel ifadenin bir çarpımının gücünü basitleştirmek için, bir çarpanlar çarpımının gücünü, çarpanların kuvvetlerinin çarpımına bölen bir üsler çarpım kuralının gücünü kullanabiliriz. Örneğin, ((pq)^3) düşünün. Faktörleri yeniden gruplandırmak için çarpmanın birleştirici ve değişmeli özelliklerini kullanarak başlıyoruz.

[egin{align*} (pq)^3 &= (pq) imes(pq) imes(pq) &= p imes q imes p imes q imes p imes q &= p^3 imes q^3 end{align*}]

Başka bir deyişle, ((pq)^3=p^3 imes q^3).

ÜSLER KURALININ GÜCÜ

[(ab)^n=a^nb^n]​

Örnek (PageIndex{7}): Bir Ürün Kuralının Gücünü Kullanma

Bir çarpım kuralının gücünü kullanarak aşağıdaki ürünlerin her birini mümkün olduğunca basitleştirin. Olumlu üslü cevaplar yazın.

  1. ((ab^2)^3)
  2. ((2t)^{15})
  3. ((-2w^3)^3)
  4. (dfrac{1}{(-7z)^4})
  5. ((e^{-2}f^2)^7)

Çözüm

Her bir ifadeyi basitleştirmek için çarpım ve bölüm kurallarını ve yeni tanımları kullanın.

bir. ((ab^2)^3=(a)^3 imes(b^2)^3=a^{1 imes3}kez b^{2 imes3}=a^3b^6)

b. ((2t)^{15}=(2)^{15} imes(t)^{15}=2^{15}t^{15}=32,768t^{15})

c. ((−2w^3)^3=(−2)^3 imes(w^3)^3=−8 imes w^{3 imes3}=-8w^9)

d. (dfrac{1}{(-7z)^4}=dfrac{1}{(-7)^4 imes(z)^4}=dfrac{1}{2401z^4})

e. ((e^{-2}f^2)^7=(e^{−2})^7 imes(f^2)^7=e^{−2 imes7} imes f^{2 imes7}=e^{−14}f^{14}=dfrac{f^{14}}{e^{14}})

Deneyin (PageIndex{7})

Bir çarpım kuralının gücünü kullanarak aşağıdaki ürünlerin her birini mümkün olduğunca basitleştirin. Olumlu üslü cevaplar yazın.

  1. ((g^2h^3)^5)
  2. ((5t)^3)
  3. ((-3y^5)^3)
  4. (dfrac{1}{(a^6b^7)^3})
  5. ((r^3s^{-2})^4)
Yanıtlar

bir. (g^{10}h^{15}) ( qquad ) b. (125t^3) ( qquad ) c. (-27y^{15}) ( qquad ) d. (dfrac{1}{a^{18}b^{21}}) ( qquad ) e. (dfrac{r^{12}}{s^8})

Bir Bölümün Gücünü Bulmak

İki ifadenin bir bölümünün gücünü basitleştirmek için aşağıdaki ifadeyi göz önünde bulundurun.

( left( dfrac{2}{x} sağ)^3 = dfrac{2}{x} cdot dfrac{2}{x} cdot dfrac{2}{x} = dfrac {2 cdot 2 cdot 2}{x cdot x cdot x} = dfrac{2^3}{x^3} )

Bu nedenle, genel olarak, faktörlerin bir bölümünün gücü, faktörlerin güçlerinin bölümüdür.

[left(dfrac{a}{b}sağ)^n=dfrac{a^n}{b^n}]

Örnek (PageIndex{8}): Bir Bölüm Kuralının Gücünü Kullanma

Bir bölüm kuralının gücünü kullanarak aşağıdaki bölümlerin her birini mümkün olduğunca basitleştirin. Olumlu üslü cevaplar yazın.

  1. (sol(dfrac{4}{z^{11}}sağ)^3)
  2. (sol(dfrac{p}{q^3}sağ)^6)
  3. (sol(dfrac{-1}{t^2}sağ)^{27})
  4. ((j^3k^{-2})^4)
  5. ((m^{-2}n^{-2})^3)

Çözüm

bir. (left(dfrac{4}{z^{11}}sağ)^3=dfrac{(4)^3}{(z^{11})^3}=dfrac{64}{ z^{11 imes3}}=dfrac{64}{z^{33}})

b. (left(dfrac{p}{q^3}sağ)^6=dfrac{(p)^6}{(q^3)^6}=dfrac{p^{1 imes6} }{q^{3 imes6}}=dfrac{p^6}{q^{18}})

c. (left(dfrac{-1}{t^2}sağ)^{27}=dfrac{(-1)^{27}}{(t^2)^{27}}=dfrac {-1}{t^{2 imes27}}=dfrac{-1}{t^{54}}=-dfrac{1}{t^{54}})

d. ((j^3k^{-2})^4=sol(dfrac{j^3}{k^2}sağ)^4=dfrac{(j^3)^4}{(k ^2)^4}=dfrac{j^{3 imes4}}{k^{2 imes4}}=dfrac{j^{12}}{k^8})

e. ((m^{-2}n^{-2})^3=left(dfrac{1}{m^2n^2}sağ)^3=dfrac{(1)^3}{ (m^2n^2)^3}=dfrac{1}{(m^2)^3(n^2)^3}=dfrac{1}{m^{2 imes3}n^{2 imes3}}=dfrac{1}{m^6n^6})

Deneyin (PageIndex{8})

Bir bölüm kuralının gücünü kullanarak aşağıdaki bölümlerin her birini mümkün olduğunca basitleştirin. Olumlu üslü cevaplar yazın.

  1. (sol(dfrac{b^5}{c}sağ)^3)
  2. (sol(dfrac{5}{u^8}sağ)^4)
  3. (sol(dfrac{-1}{w^3}sağ)^{35})
  4. ((p^{-4}q^3)^8)
  5. ((c^{-5}d^{-3})^4)
Yanıtlar

bir. (dfrac{b^{15}}{c^3}) ( qquad ) b. (dfrac{625}{u^{32}}) ( qquad ) c. (dfrac{-1}{w^{105}}) ( qquad ) d. (dfrac{q^{24}}{p^{32}}) ( qquad ) e. (dfrac{1}{c^{20}d^{12}})

Üstel İfadeleri Basitleştirme

Bir ifadeyi sadeleştirmenin, terimleri veya üsleri birleştirerek onu yeniden yazmak anlamına geldiğini hatırlayın; başka bir deyişle, ifadeyi daha az terimle daha basit bir şekilde yazmak. Üsler için kurallar, ifadeleri basitleştirmek için birleştirilebilir.

Örnek (PageIndex{9}): Üstel İfadeleri Basitleştirme

Her ifadeyi sadeleştirin ve cevabı yalnızca pozitif üslerle yazın.

  1. ((6m^2n^{-1})^3)
  2. (17^5 imes17^{-4} imes17^{-3})
  3. (left(dfrac{u^{-1}v}{v^{-1}}sağ)^2)
  4. ((-2a^3b^{-1})(5a^{-2}b^2))
  5. ((x^2sqrt{2})^4(x^2sqrt{2})^{-4})
  6. (dfrac{(3w^2)^5}{(6w^{-2})^2})

Çözüm

bir. [egin{align*} (6m^2n^{-1})^3 &= (6)^3(m^2)^3(n^{-1})^3 && ext{ Güç bir çarpım kuralının} &= 6^3m^{2 imes3}n^{-1 imes3} && ext{ Kuvvet kuralı} &= 216m^6n^{-3} && ext{ Kuvvet kuralı} &= dfrac{216m^6}{n^3} && ext{ Negatif üs kuralı} end{align*}]

b. [egin{align*} 17^5 imes17^{-4} imes17^{-3} &= 17^{5+(-4)+(-3)} && ext{ Çarpım kuralı} &= 17^{-2} && ext{ Basitleştir} &= dfrac{1}{17^2} ext{ veya } dfrac{1}{289} && ext{ Negatif üs kural} end{hiza*}]

Negatif sayıları çıkarırken hata yapmaktan kaçınmak için, Negatif Üs Kuralını Bölüm Kuralından önce uygulamak daha kolaydır. Her iki yaklaşım da aşağıda gösterilmiştir.

c. [egin{align*} left ( dfrac{u^{-1}v}{v^{-1}} sağ )^2
&= dfrac{(u^{-1}v)^2}{(v^{-1})^2} && ext{ Bir bölüm kuralının gücü}
&= dfrac{u^{-2}v^2}{v^{-2}} && ext{ Çarpım kuralının gücü}
end{hiza*}]

( egin{array}{ll|ll}
= u^{-2}v^{2-(-2)} & ext{Bölüm kuralı} & =dfrac{v^2 {color{Cerulean}{v^2}}}{ color{Cerulean }{u^2} } & ext{Negatif Üs Kuralı}
= u^{-2}v^4 & ext{Basitleştir} & =dfrac{v^{2+2}}{u^2} & ext{Ürün Kuralı}
= dfrac{v^4}{u^2} & ext{Negatif üs kuralı} & =dfrac{v^4}{u^2} & ext{Basitleştir}
end{dizi} )

d. [egin{align*} left (-2a^3b^{-1} ight ) left(5a^{-2}b^2 ight )
&= -2 cdot a^3 cdot b^{-1} cdot 5 cdot a^{-2} cdot b^2 && ext{ İlişkili çarpma yasası}
&= -2 cdot 5 cdot a^3 cdot a^{-2} cdot b^{-1} cdot b^2 && ext{ Değişmeli çarpma yasası}
&= (-2 cdot 5) cdot (a^3 cdot a^{-2}) cdot (b^{-1} cdot b^2) && ext{ İlişkili çarpma yasası}
&= -10 imes a^{3+(-2)} imes b^{-1+2} && ext{ Çarpım kuralı}
&= -10ab && ext{ Basitleştir} end{align*}]

e. [egin{align*} left (x^2sqrt{2})^4(x^2sqrt{2} ight )^{-4} &= left (x^2sqrt{ 2} ight )^{4-4} && ext{ Çarpım kuralı} &= left (x^2sqrt{2} ight )^0 && ext{ Basitleştir} &= 1 && ext{ Sıfır üs kuralı} end{align*}]

f. [egin{align*} dfrac{(3w^2)^5}{(6w^{-2})^2}
&= dfrac{(3)^5 imes(w^2)^5}{(6)^2 imes(w^{-2})^2} && ext{ Çarpım kuralının gücü}
&= dfrac{3^5w^{2 imes5}}{6^2w^{-2 imes2}} && ext{ Güç kuralı}
&= dfrac{243w^{10}}{36w^{-4}} && ext{ Basitleştir}
&= dfrac{243w^{10}w^4}{36} && ext{Negatif üs kuralı}
&= dfrac{243w^{10+4}}{36} && ext{ Çarpım kuralı}
&= dfrac{27w^{14}}{4} && ext{ Kesriyi azalt} end{align*}]

Deneyin (PageIndex{9x})

Aşağıdaki üstel ifadelerin her birini basitleştirin. Olumlu üslü cevaplar yazın.

  1. ( (2uv^{-2})^{-3} )
  2. ( x^8 cdot c^{-12} cdot x )
  3. ( Big( dfrac{e^2f^{-3}}{f^{-1}} Big)^2 )
  4. ( (9r^{-5}s^3)(3r^6s^{-4}) )
  5. ( ( frac{4}{9}tw^{-2} )^{-3} ( frac{4}{9}tw^{-2} )^3 )
  6. ( dfrac{ (2s^2k)^4 }{ (7s^{-1}k^2)^2 } )
Yanıtlar

bir. (dfrac{v^6}{8u^3}) ( qquad ) b. (dfrac{x^9}{c^12}) ( qquad ) c. (dfrac{e^4}{f^4}) ( qquad ) d. (dfrac{27r}{s}) ( qquad ) e. ( 1 ) ( qquad ) f. ( dfrac{8h^{16}}{49})

Anahtar Denklemler

Üs Kuralları Sıfırdan farklı a ve b reel sayıları ve m ve n tam sayıları için
Ürün kuralı(a^m⋅a^n=a^{m+n})
Kota kuralı(dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n})
Güç kuralı((a^m)^n=a^{m⋅n})
Sıfır üs kuralı(a^0=1)
Negatif kural(a^{−n}=dfrac{1}{a^n})
Ürün kuralının gücü((a⋅b)^n=a^n⋅b^n)
Bir bölüm kuralının gücü(sol(dfrac{a}{b}sağ)^n=dfrac{a^n}{b^n})

Anahtar kavramlar

  • Aynı tabana sahip üstel ifadelerin ürünleri, üsler eklenerek basitleştirilebilir.
  • Aynı tabana sahip üstel ifadelerin bölümleri, üsler çıkarılarak basitleştirilebilir.
  • Aynı tabana sahip üstel ifadelerin üsleri, üsler çarpılarak basitleştirilebilir.
  • Üssü sıfır olan bir ifade 1 olarak tanımlanır.
  • Negatif üslü bir ifade, karşılıklı olarak tanımlanır.
  • Faktörlerin bir ürününün gücü, aynı faktörlerin güçlerinin ürünü ile aynıdır.
  • Faktörlerin bir bölümünün gücü, aynı faktörlerin güçlerinin bölümü ile aynıdır.
  • Üstel ifadeler için kurallar, daha karmaşık ifadeleri basitleştirmek için birleştirilebilir.


Videoyu izle: ÜSLÜ DENKLEMLER - ŞENOL HOCA (Aralık 2021).