Nesne

1.6: Özlü Kürenin Hacmi


(S) yarıçapı (R), merkezi orijinde olan bir küre olsun ve (C) yarıçapı (r) ((r < R)) olan z ile bir silindir olsun -dönme ekseni ekseni. Bu çekirdekli küre, çemberin sınırladığı bölge alınarak da gerçekleştirilebilir.

[ x^2 + y^2 = R^2 ]

ve çizgi

[ x = r ]

ve onu (y) ekseni etrafında döndürmek. Y eksenine dik bir kesit almak ve bunu y ekseni etrafında döndürmek bir rondela oluşturur. Pulun iç yarıçapı (r) ve pulun dış yarıçapının karesi

[ R^2 - y^2]

Bölgenin (x ekseninden) yüksekliği h olsun.

[ h = R^2 - r^2]

Dolayısıyla yıkayıcının alanı

[ Alan = p[(R^2 - y^2 ) - r^2] = p[(R^2 - r^2 ) - y^2] = p[h^2 - y^2]]

Kesitin sahip olacağı en küçük (y) değeri (-h) ve en büyüğü (h)'dir.

Bunu integral olarak yazabiliriz.

[egin{align*} pi int_{-h}^{h}left(h^{2}-y^{2} ight) dy &=pileft(h^{2} y-frac{1}{3} y^{3}sağ]_{-h}^{h} [4pt] &=pileft[left(h^{3}-frac {1}{3} h^{3}sağ)-sol((-h)^{3}-frac{1}{3}(-h)^{3}sağ)sağ] [4pt] &=frac{4}{3} pi h^{3} end{align*}]

Hacmin yalnızca bölgenin yüksekliğine bağlı olduğuna dikkat edin.


Sert küreler

sert küreler akışkanların ve katıların istatistiksel mekanik teorisinde model parçacıklar olarak yaygın olarak kullanılmaktadır. Basitçe, uzayda üst üste gelemeyecek, delinemez küreler olarak tanımlanırlar. Atomların ve küresel moleküllerin çok yakın mesafelerde deneyimledikleri aşırı güçlü ("sonsuz elastik sıçrayan") itmeyi taklit ederler. Sert küre sistemleri analitik yollarla, moleküler dinamik simülasyonları ile ve belirli kolloidal model sistemlerin deneysel çalışmasıyla incelenir. Sert küre sistemi, basit sıvıların yarı evrensel yapısını ve dinamiklerini açıklayan genel bir model sağlar. [1]


Dikdörtgen bir kutunun hacim formülü yükseklik x genişlik x uzunluk, aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi:

Bir kutunun veya dikdörtgen bir tankın hacmini hesaplamak için üç boyuta ihtiyacınız vardır: genişlik, uzunluk ve yükseklik. Şeklin düzenliliği nedeniyle genellikle ölçülmesi kolaydır. Bir boyutu dikdörtgen prizmanın derinliği veya yüksekliği olarak belirleyerek, diğer ikisinin çarpımı bize daha sonra hacmi elde etmek için derinlik/yükseklik ile çarpılması gereken yüzey alanını verir. Farklı bir şekle sahip bir tankın hacmini hesaplamak için, tank hacmi hesaplayıcımızı kullanın.


Küre Hesap Makinesinin Hacmi

Yarıçapı 5 birim olan bir kürenin hacmi 523.599 birim küptür.

Bir Kürenin Hacmini Hesaplama:

Yarıçapı bilinen ('r' ile gösterilen) bir kürenin hacmi ('V' ile gösterilir) aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

Düz ingilizcede, bir kürenin hacmi, yarıçap (r) küpü ve PI'nin çarpımının üçte dördü alınarak hesaplanabilir.

3.14159'u kullanarak PI'ye yaklaşabilirsiniz. Yarıçap için verilen sayı çok fazla basamak içermiyorsa daha kısa bir yaklaşım kullanabilirsiniz. Size verilen yarıçapın çok sayıda rakamı varsa, daha uzun bir yaklaşım kullanmanız gerekebilir.

İşte 5 metre yarıçaplı bir kürenin hacminin nasıl bulunacağını gösteren adım adım bir durum. PI'yi tahmin etmek için 3.14'ü kullanacağız çünkü bize verilen yarıçapın sadece bir rakamı var.


Kullanım kılavuzu¶

BodyContainer, simülasyonda Body nesnelerini tutar ve O.bodies olarak erişilebilir.

Gövde nesneleri oluşturma¶

Vücut nesneleri, bileşenleri (Şekil, Bağ, Durum, Malzeme) tarafından nadiren elle oluşturulur, bunun yerine kolaylık işlevleri küre, faset ve duvar onları oluşturmak için kullanılır. Bu işlevlerin kullanılması, Body'nin iç kısımları bir şekilde değişirse, gelecekte daha iyi uyumluluk sağlar. Bu fonksiyonlar, parçacığın geometrisini ve diğer bazı özellikleri alır. Ayrıntılar için belgelerine bakın. Aynı Malzeme birkaç (veya daha fazla) gövde için kullanılıyorsa, aşağıda açıklandığı gibi O.materials içine eklenerek paylaşılabilir.

Malzemeleri tanımlama¶

O.materials nesnesi (Omega.materials örneği), gövdeler için tanımlanmış paylaşılan malzemeleri tutar. Yalnızca eklemeyi destekler ve genellikle yalnızca birkaç örneği tutar (sınır olmamasına rağmen).

her malzemeye verilen etiket isteğe bağlıdır, ancak gövde oluşturmak için küre ve diğer işlevlere geçirilebilir. O.materials.append tarafından döndürülen değer, malzemenin kimliğidir ve küreye de aktarılabilir – etiket kullanmaktan biraz daha hızlıdır, ancak az sayıda parçacık için fark edilmez ve belki de daha az kullanışlıdır.

Küre çağrılırken Malzeme belirtilmemişse, son uygun bir varsayılan olan tanımlanmış malzeme kullanılır. Henüz bir malzeme tanımlanmadıysa (dolayısıyla son malzeme yok), varsayılan bir malzeme oluşturulacaktır: FrictMat(yoğunluk=1e3,young=1e7,poisson=.3,frictionAngle=.5). Bu, ciddi simülasyonlar için olmamalı, ancak kesin malzeme özelliklerinin az çok alakasız olduğu basit komut dosyalarında kullanışlıdır.

Birden çok parçacık eklemek¶

Yukarıda gösterildiği gibi, gövdeler ekleme yöntemi kullanılarak aynı anda birer birer veya birkaçı eklenir:

Sonraki bölümlerde tanıtılan birçok fonksiyon, simülasyona kolaylıkla eklenebilecek gövdelerin listesini döndürür.

Bu işlevler küreyi ve yüzü dahili olarak kullandığından, bu işlevlere iletilen ek argümanları kabul ederler. Özellikle, her gövde için malzeme yukarıdaki kurallara göre seçilir (belirtilmemişse sonuncusu, etikete, indekse göre vb.).

Parçacıkları bir araya toplama¶

Bazı durumlarda, tek tek parçacıkların katı bir kümesini oluşturmak isteyebilirsiniz (yani parçacıklar simülasyon sırasında karşılıklı konumlarını koruyacaktır). Buna küme diyoruz. Bir küme, kendi üyelerinin clumpId tarafından başvurulan özel bir gövde tarafından dahili olarak temsil edilir (ayrıca bkz. isClump, isClumpMember ve isStandalone). Her cisim gibi bir kümenin de tüm üyeler arasındaki (kütle) denge noktası olan bir konumu vardır. Bir küme gövdesinin kendisinin diğer gövdelerle etkileşimi yoktur. Kümeler arasındaki etkileşimler, küme üyeleri arasındaki etkileşimlerle temsil edilir. Aynı kümenin küme üyeleri arasında hiçbir etkileşim yoktur.

YADE, küme oluşturmanın farklı yollarını destekler:

appendClumped() işlevi bu görev için tasarlanmıştır. Örneğin, birbirine bağlı 2 küre ekleyebiliriz:

-> appendClumped(), bir kimlik demeti döndürür (clumpId,[memberId1,memberId2. ])

Bu durumda, küme() işlevi mevcut gövdelerin bir listesine uygulanabilir:

  • Diğer bir seçenek, belirli bir ambalajdaki bağımsız küreleri (bkz. SpherePack ve makeCloud) küme şablonlarını kullanarak kümelerle değiştirmektir.

Bu, replaceByClumps() adlı bir işlev tarafından yapılır. Bu işlev bir clumpTemplates() listesi ve bir miktar listesi alır ve küreleri kümelerle değiştirir. Yeni bir kümenin hacmi, değiştirilen kürenin hacmiyle aynı olacaktır (küme hacmi/kütle/atalet, yalnızca çift örtüşmelerin olduğu varsayılarak örtüşmeleri hesaba katar).

-> replaceByClumps() bir demet listesi döndürür: [(clumpId1,[memberId1,memberId2. ]),(clumpId2,[memberId1,memberId2. ]). ]

Bir kümeye gövdeler eklemek ve bir kümeden gövdeleri serbest bırakmak da mümkündür. Ayrıca kümeyi silebilirsiniz (küme üyeleri bağımsız hale gelir).

Ek olarak YADE, bir salmastranın bir yığının yuvarlaklığını veya yuvarlaklık katsayısını elde etmeyi sağlar. Ambalajın parçaları, hariç tutma listesi aracılığıyla yuvarlaklık ölçümünden çıkarılabilir.

-> getRoundness(), bir ambalajın veya ambalajın bir bölümünün yuvarlaklık katsayısı RC'yi döndürür

Örneklere/kümelere/klasöre bir göz atın. Orada kümeler için farklı işlevlerin kullanımını gösteren bazı örnekler bulacaksınız.

Küre salmastralar¶

Kürelerin düzenlenmesiyle keyfi bir şekle sahip bir katıyı temsil etmek, küre paketleme problemini ortaya çıkarır, yani belirli bir katı yaklaşık olarak onlarla doldurulacak şekilde kürelerin uzaysal düzenlenmesi. DEM simülasyonunun amaçları için çeşitli gereksinimler olabilir.

  1. Kürelerin yarıçaplarının dağılımı. Bu durumda yarıçaplarında herhangi bir kısıtlama olmaması, kürelerin sayısının sonsuz olması ve yarıçaplarının sıfıra yaklaşması koşuluyla keyfi hacim kürelerle tamamen doldurulabilir. Hem parçacık sayısı hem de minimum küre yarıçapı (kritik zaman adımı yoluyla) hesaplama maliyetini belirlediğinden, yarıçap dağılımı zorunlu olarak verilmelidir. En tipik dağılım düzgündür: ortalama ± dağılım, dağılım sıfır ise, tüm küreler aynı yarıçapa sahip olacaktır.
  2. Pürüzsüz sınır. Bazı algoritmalar sınırları, küreler üzerlerinde hizalanacak şekilde ele alır ve onları yüzey olarak daha pürüzsüz hale getirir.
  3. Paketleme yoğunluğu veya kürelerin hacmi ve katı boyutu oranı. Yarıçap dağılımı ile yakından ilgilidir.
  4. Koordinasyon numarası, (ortalama) küre başına kişi sayısı.
  5. Modellenen katının da böyle bir tercihi olmadıkça, tercih edilen yönlere sahip izotropi (düzenlilik/düzensizlik ile ilgili) genellikle istenmez.
  6. İzin Verilen Küreler'in örtüşmesi bazı algoritmalar kürelerin hafifçe üst üste geldiği yerlerde paketleme oluşturabilir, çünkü örtüşme genellikle DEM'de kuvvetlere neden olur, örtüşmeyen paketleme bazen “stressiz” olarak adlandırılır.

Hacim gösterimi¶

Yade'de söz konusu katının tam hacmini temsil etmek için 2 yöntem vardır: sınır gösterimi ve yapıcı katı geometri. Temel farklılıklarına rağmen, Yade'de Predicate sınıfında soyutlanırlar. Predicate aşağıdaki işlevleri sağlar:

  1. ilişkili katı için eksen hizalı sınırlayıcı kutuyu tanımlar (isteğe bağlı olarak yönlendirilmiş sınırlayıcı kutuyu tanımlar)
  2. verilen noktanın katının içinde mi yoksa dışında mı olduğuna karar verebilir çoğu yüklem ayrıca (tam veya yaklaşık olarak) noktanın içeride olup olmadığını söyleyebilir ve temsil edilen katı sınırdan belirli bir dolgu mesafesini karşılar (böylece o hacmin küresi katıdan dışarı çıkmaz).
Yapıcı Katı Geometri (CSG)¶

CSG yaklaşımı, hacmi geometrik olarak tanımlar ilkeller veya ilkel katılar (küre, silindir, kutu, koni,…) ve bunlar üzerinde boole işlemleri. Yade'de tanımlanan temel öğeler arasında inCylinder, inSphere, inEllipsoid, inHyperboloid, notInNotch bulunur.

Örneğin, gerilim-sıkıştırma testi için hiperboloid (köpek kemiği) numunesi şu şekilde oluşturulabilir (img. img-hyperboloid'de gösterilmiştir):

pack.inHyperboloid yüklemi ile oluşturulmuş örnek, pack.randomDensePack ile paketlenmiştir.

Sınır gösterimi (BREP)¶

Bir katıyı sınırlarıyla temsil etmek, CSG hacimlerinden çok daha esnektir, ancak çoğunlukla yalnızca yaklaşıktır. Yade, GTS tarafından okunabilen yüzeyleri içe aktarmak için GNU Üçgenleştirilmiş Yüzey Kitaplığı'na (GTS) arayüz sağlar, aynı zamanda bunları simülasyon komut dosyaları içinden açıkça inşa eder. Bu, oldukça karmaşık şekillerin parametrik yapısını mümkün kılar, 2 boyutlu çoklu çizgiden (pack.revolutionSurfaceMeridians) 3 boyutlu çoklu çizgiler kümesi oluşturma, bu tür 3 boyutlu çoklu çizgiler (pack.sweptPolylines2gtsSurface) arasındaki yüzeyi üçgenleme işlevleri vardır.

Örneğin, basit bir huni oluşturabiliriz (examples/funnel.py, img-funnel'de gösterilmiştir):

Example/funnel.py betiğiyle oluşturulmuş üçgenlenmiş huni.

GTS yüzey nesneleri 2 şey için kullanılabilir:

    işlevi, huni örneğinde gösterildiği gibi, simülasyonun kendisinde üçgenlenmiş yüzeyi (Faset parçacıklarından) oluşturabilir. (Üçgenlenmiş yüzey ayrıca ymport.stl kullanılarak bir STL dosyasından doğrudan içe aktarılabilir.) Yüzey, kapalı hacmin sınır temsili olarak kullanılarak yüklem oluşturulabilir.

Örnekler/gts-horse/gts-horse.py (img. img-horse) önce her iki olasılığı da gösterir, bir GTS yüzeyi içe aktarılır:

Bu yüzey nesnesi, paketleme için yüklem olarak kullanılır:

ve sonra, çevrildikten sonra, simülasyonun kendisinde üçgenlenmiş yüzey için temel olarak:

Paketleme yüklemi olarak kullanılan ithal GTS yüzeyi (at) (üstte) ve fasetlerden oluşturulmuş yüzey (altta). Bu simülasyonun filmi için http://www.youtube.com/watch?v=PZVruIlUX1A adresine bakın.

Yüklemlerde Boole işlemleri¶

Bir çift yüklemdeki (A ve B notu) Boole işlemleri tanımlanmıştır:

    A & B (bağlaç): nokta, ilgili her iki yüklemde de olmalıdır. bir | B (ayrılma): nokta birinci veya ikinci yüklemde olmalıdır. A - B (ikinci yüklem ile bağlaç reddedilir): nokta ikinci yüklemde değil ilk yüklemde olmalıdır. A ^ B (özel ayırma): nokta tam olarak iki yüklemden birinde olmalıdır.

Oluşturulan yüklemler ayrıca sınırlayıcı kutularını doğru şekilde tanımlar. Örneğin, A - B işlemini kullanarak kutuyu alıp silindiri içeriden çıkarabiliriz (img. img-predicate-differance):

Bu iki yüklemin farkı kullanılarak içeriden çıkarılan silindirli kutu.

Paketleme algoritmaları¶

Aşağıda sunulan algoritmalar, merkezleri ve yarıçapları ile tanımlanan geometrik küreler üzerinde çalışır. Aşağıda belgelenen birkaç istisna dışında, prosedür aşağıdaki gibidir:

  1. Küre konumları ve yarıçapları hesaplanır (bazı işlevler bunun için hacim yüklemi kullanır, bazıları kullanmaz) her konum için çağrılır ve hesaplanan yarıçap, paketleme işlevinin fazladan anahtar sözcük argümanlarını alır (yani, paketleme işlevinin tanımında belirtmediği argümanlar) **kw olarak belirtilmiştir). Her küre çağrısı, Sphereshape ile gerçek Body nesneleri oluşturur. Body nesnelerinin listesi döndürülür.
  2. Paketleme işlevinden döndürülen liste, toSimulation() kullanılarak simülasyona eklenebilir. Eski kod, O.bodies.append için bir çağrı kullandı.

Delikli kutu örneğini alarak:

Tel , renk ve malzeme anahtar sözcük bağımsız değişkenleri pack.randomDensePack içinde bildirilmez, bu nedenle de belgelendikleri küreye aktarılır. küreler artık bir SpherePack nesnesidir.:

Aşağıda açıklanan paketleme algoritmaları yoğun paketlemeler üretir. Gevşek paketlemeye ihtiyaç duyulursa, SpherePack sınıfı, makeCloud() yöntemi aracılığıyla gevşek paketleme oluşturmak için işlevler sağlar. Dinamik algoritmalarda ilk yapılandırmayı oluşturmak için dahili olarak kullanılır. Örneğin:

verilen kutuyu daha fazla küre yerleşemeyecek duruma gelene kadar kürelerle dolduracaktır. Nesne, simülasyona küre eklemek için kullanılabilir:

Geometrik¶

Geometrik algoritmaların avantajları arasında dinamik simülasyon gerçekleştirmeden paketleme hesaplamaları vardır.

  • hız
  • küreler birbirine tam olarak değiyor, örtüşme yok (bazılarının "stressiz" paketleme dediği şey)

başlıca dezavantajları, yarıçap dağılımının tam olarak belirlenememesidir, belirli durumlarda (düzenli paketlemeler) küre yarıçapları, sistemi zaten belirleyen algoritma tarafından verilir. Sorununuz için kesin yarıçap dağılımı önemliyse, bunun yerine dinamik algoritmaları düşünün.

Düzenli¶

Yade, yukarıda açıklandığı gibi hacim tahminleriyle kullanılabilen sabit yarıçaplı küreler için paketleme üreteçlerini tanımlar. Bunlar yoğun ortogonal paketleme (pack.regularOrtho) ve yoğun altıgen paketlemedir (pack.regularHexa). İkincisi, maksimum yoğunluğa ulaşan “altıgen yakın paketleme” oluşturur (http://en.wikipedia.org/wiki/Close-packing_of_spheres).

Normal salmastraların açık dezavantajı, bazı durumlarda sorun olmayabilecek çok güçlü yön tercihlerine sahip olmalarıdır.

Düzensiz¶

Rastgele geometrik algoritmalar, yukarıda açıklanan hacim yüklemleriyle hiçbir şekilde bütünleşmezler, küre konumlandırma sırasında kullanılan kendi sınır/hacim tanımlarını alırlar. Öte yandan bu, aralarında boş alan bırakmak yerine, kürelerin uygun yerlerde temas ettirilmesi anlamında sınıra saygı göstermelerini mümkün kılmaktadır.

ESyS-Particle ile geliştirilen paketleme üretimi için kütüphanedir (python modülü). Verilen yarıçap aralığına sahip kürelerin rastgele yerleştirilmesiyle paketleme oluşturur. Eklenen küreler birbirine tam olarak temas eder ve daha da önemlisi, komşuluğundaysa sınıra da dokunurlar. Sınır, GenGeo kitaplığının özel nesnesi olarak temsil edilir (Küre, silindir, kutu, dışbükey çokyüzlü,…). Bu nedenle, GenGeo, yukarıda açıklandığı gibi yade yüklemleriyle temsil edilen hacimle kullanılamaz.

Bu modül tarafından oluşturulan paketler, doğrudan ymport.gengeo aracılığıyla veya ymport.gengeoFile aracılığıyla kaydedilen dosyadan içe aktarılabilir. Örnek bir betik örneği vardır/test/genCylLSM.py. GenGeo için tam dokümantasyon ESyS dokümantasyon web sitesinde bulunabilir.

esys-particle ve python-demgengeo debian paketleri vardır.

Dinamik¶

Rastgele yoğun paketleme için en çok yönlü algoritma pack.randomDensePack tarafından sağlanır. Örtüşmeyen kürelerin ilk gevşek ambalajı, istenen (şu anda yalnızca tekdüze) yarıçap dağılımı tarafından verilen yarıçaplarla, küboid hacme rastgele yerleştirilerek oluşturulur. Daha fazla küre eklenemediğinde, paketleme sıkıştırılır ve ardından sıkıştırılmaz (bu "gerilmelerin" kesin değerleri için py/pack/pack.py'ye bakın) bir DEM simülasyonu çalıştırılarak Omega.switchScene, mevcut simülasyonu etkilememek için kullanılır). Son olarak, elde edilen paketleme, yukarıda açıklandığı gibi sağlanan yüklem kullanılarak kırpılır.

Doğası gereği, bu yöntem nispeten uzun sürebilir ve hesaplama süresini kısaltmak için 2 hüküm vardır:

  • SpheresInCell parametresini kullanan küre sayısı belirtilirse, yalnızca daha küçük numune periyodik sınır oluşturulur ve daha sonra yüklemi dolduracak şekilde tekrarlanır. Bu,kürelerInCell parametresine bağlı olarak düşük düzenlilikle yüksek kaliteli paketleme sağlayabilir (birkaç binlik değer önerilir).
  • memoizeDb parametresinin sağlanması, pack.randomDensePack'in, benzer parametrelere sahip paketlemeler için sağlanan dosyaya (SQLite veritabanı) ilk bakmasını sağlayacaktır. Başarılı olduğunda, ambalaj basitçe veritabanından okunur ve iade edilir. Önceden var olan benzer bir paketleme yoksa, normal prosedür çalıştırılır ve sonuç döndürülmeden önce veritabanına kaydedilir, böylece aynı parametrelere sahip sonraki çağrılar hızlı bir şekilde geri döner.

Tam periyodik paketleme almanız gerekiyorsa (yüklem tarafından kırpılmış paketleme yerine), pack.randomPeriPack'i kullanabilirsiniz.

Spesifik ihtiyaç durumunda, “elle” ambalajlamayı kendiniz oluşturabilirsiniz. Örneğin, paketleme sınırı, uzayda rastgele konumlandırılmış kürelerin yerçekimi altında düşmesine izin vererek fasetlerden oluşturulabilir.

Üçgen yüzeyler¶

Yade, GTS modülü aracılığıyla python'da sunulan GNU Triangulated Surface kitaplığı ile bütünleşir. GTS, belgelerinde bulunabilecek yüzey işleme (kabalaştırma, mozaikleme, basitleştirme, içe aktarma) için çeşitli işlevler sağlar.

GTS yüzeyleri, Body.shape tipi Faset - tek nirengi elemanları olan parçacıklar kümesi olarak simülasyona eklenebilen geometrik nesnelerdir. pack.gtsSurface2Facets, GTS yüzey üçgenlemesini O.bodies.append aracılığıyla simülasyona eklenmeye hazır gövdeler listesine dönüştürmek için kullanılabilir.

Faset parçacıkları varsayılan olarak Body.dynamic olarak oluşturulur (sıfır atalet kütlesine sahiptirler). Bu, uzayda sabit oldukları ve kuvvetlere maruz kaldıklarında hareket etmeyecekleri anlamına gelir. Ancak yapabilirsiniz

  • Bir PartialEngine (Çeviri Motoru veya RotationEngine gibi) kullanarak yönlere rastgele hareketi reçete edin
  • o parçacığa açıkça kütle ve atalet atayın
  • bu parçacığı bir kümenin parçası yapın ve kümenin kendisinin kütlesini ve ataletini atayın (aşağıda açıklanmıştır).

Fasetler sadece (şu anda) kürelerle etkileşime girebilir, diğer fasetlerle değil. dinamik. 2 yüzün çarpışması etkileşim yaratmaz, bu nedenle yüzeylerde kuvvet olmaz.

İthalat¶

Yade şu anda ymport modülünde harici dosyalardan üçgenlenmiş yüzeyleri içe aktarmak için 3 format sunmaktadır:

yerel GTS formatında ymport.gts metin dosyası. ymport.stl STereoLitography formatı, Blender'dan dışa aktarılan metin veya ikili biçimde, ancak birçok CAD sisteminden de. ymport.gmsh. popüler açık kaynaklı ağ oluşturma programı GMSH için yerel formatta metin dosyası.

Faset listesi oluşturmadan önce yüzeyleri manipüle etmeniz gerekiyorsa, içe aktarma işlevlerinin tanımlandığı py/ymport.py dosyasını inceleyebilirsiniz. Çoğu durumda oldukça basittirler.

Parametrik yapı¶

GTS modülü, köşeler, kenarlar ve üçgenlerle yüzey oluşturmanın uygun bir yolunu sağlar.

Bununla birlikte, sıklıkla yüzey, uzaydaki çoklu çizgiler arasındaki yüzey olarak uygun bir şekilde tanımlanabilir. Örneğin silindir, iki çokgen (kapalı çokçizgi) arasındaki yüzeydir. pack.sweptPolylines2gtsSurface, birden fazla çoklu çizgiyi üçgenleme ile bağlama işlevselliği sunar.

pack.sweptPolylines2gtsSurface uygulamasının uygulanması oldukça basittir: tüm çoklu çizgiler aynı uzunlukta olmalıdır ve bunlar, her bir çoklu çizgi içindeki indekslerini takip eden noktalar arasındaki üçgenlerle bağlanır (mesafeye göre değil). Öte yandan, eşik parametresi pozitifse, noktalar aynı anda olabilir: bu eşiğe yakın köşeleri olan dejenere üçgenler otomatik olarak elimine edilir.

Listeleri verimli bir şekilde manipüle etmek (kod uzunluğu açısından), python'daki liste anlamalarına aşina olmayı gerektirir.

Başka örnekler, example/mill.py (tamamen parametrelendirilmiş) veya example/funnel.py (sabit kodlanmış sayılarla) içinde bulunabilir.

Etkileşim oluşturma¶

Tipik durumlarda, simülasyonlar sırasında parçacıklar çarpıştıkça etkileşimler oluşturulur. Bu, parçacıklar arasındaki yaklaşık teması algılayan bir Çarpıştırıcı ve ardından tam çarpışmayı algılayan bir IGeomFunctor tarafından yapılır.

Bazı malzeme modelleri (somut model gibi), kürelerin geometrik temasından daha yoğun olan ilk etkileşim ağına dayanır: etkileşim yarıçapı (veya etkileşim oranı) bu ilk ağı oluşturmak için. Bu tipik olarak şu şekilde yapılır (bir örnek için example/concrete/uniax.py'ye bakın):

Yaklaşık çarpışma algılaması, etkileşim yarıçapı içindeki parçacıklar arasında da yaklaşık temaslar algılanacak şekilde ayarlanır. Bu, Bo1_Sphere_Aabb.aabbEnlargeFactor değerinin etkileşim yarıçapı değerine ayarlanmasından oluşur.

Geometri functor ( Ig2 ) temas halinde olmayan 2 küre verilirse normalde "temas yok" der. Bu nedenle, ona Bo1_Sphere_Aabb.aabbEnlargeFactor ile aynı değer verilmelidir (Ig2_Sphere_Sphere_ScGeom.interactionDetectionFactor ).

Yalnızca Sphere + Sphere etkileşimlerinin desteklendiğini unutmayın, Ig2_Facet_Sphere_ScGeom'da distFactor'a benzer bir parametre yoktur. Bu kasıtlıdır, çünkü küre paketleme ile temsil edilen dökme malzemede etkileşim yarıçapı anlamlıdır, oysa yüzeyler genellikle bu yoğun etkileşim ağından muaf tutulması gereken sınır koşullarını temsil eder.

İlk ağın oluşturulması için simülasyonun tek bir adımını çalıştırın.

Hem Bo1 hem de Ig2 işlevlerinde etkileşim yarıçapını yeniden varsayılan değerlerine sıfırlayın.

Halihazırda kurulmuş olan simülasyon etkileşimlerine devam edin silinmeyecektir (Kullanımdaki Law2 functor izin verir).

Kodda, böyle bir senaryo buna benzer görünebilir (etiketleme, Labeling Things bölümünde açıklanmıştır):

Talep üzerine bireysel etkileşimler¶

createInteraction kullanılarak çarpışma algılamadan bağımsız olarak bir çift parçacık arasında etkileşim oluşturmak mümkündür. Bu işlev, eşleşen Ig2 ve Ip2 functor'larını arar ve kullanır. Etkileşim, verilen parçacıklar arasındaki mesafeden bağımsız olarak oluşturulacaktır (herhangi bir geometrik temas olmadan bile etkileşimin oluşturulmasını zorlamak için Ig2 işlevine özel bir parametre ileterek). Bir sonraki simülasyon adımında etkileşimin silinmesini önlemek için uygun kurucu yasa kullanılmalıdır.

Birçok etkileşim oluşturulacaksa bu yöntem oldukça yavaş olacaktır (işlev araması her biri için tekrarlanacaktır). Bu durumda, yade-dev @ list . launchpad . net'ten createInteraction işlevinin çift kimliklerinin listesini de kabul etmesini isteyin.

Temel motorlar¶

Yade'deki tipik bir DEM simülasyonu her adımda en azından aşağıdakileri yapar (ayrıntılar için İşlev bileşenleri bölümüne bakın):

  1. Kuvvetleri önceki adımdan sıfırlayın
  2. Yeni çarpışmaları algıla
  3. Etkileşimleri ele al
  4. Kuvvetleri uygulayın ve parçacıkların konumlarını güncelleyin

Bu noktaların her biri bir veya birkaç motora karşılık gelir:

Motorların sırası önemlidir. Çoğu durumda, InteractionLoop'tan sonra herhangi bir ek motor koyacaksınız:

  • kuvvet uygularsa NewtonIntegrator'dan önce gelmelidir, aksi takdirde kuvvet hiçbir zaman etkili olmaz.
  • cisimlerin konumlarını kullanıyorsa, NewtonIntegrator'dan önce gelmelidir, aksi takdirde bir sonraki adımdaki konumlar kullanılacaktır (bu, VTKRecorder ile görselleştirme için çıktı gibi birçok durumda kritik olmayabilir).

O.engines dizisi her zaman bir kerede atanmalıdır (nedeni, motorların kendilerinin referans olarak geçilmesine rağmen, dizinin kopyalanmış c++'dan Python'a veya Python'dan c++'a). Bu, mevcut bir O.motorun değiştirilmesini içerir, bu nedenle

yerine kullanılmalıdır. 2. konumdan sonra bir motor eklemek için (örneğin), python dilim gösterimini kullanın:

Yade başladığında, O.engines makul bir varsayılan listeyle doldurulur, böylece basit şeyler denerken onu yeniden tanımlamaya kesinlikle gerek kalmaz. Varsayılan sahne, sürtünme özelliklerine sahip küreleri, kutuları ve fasetleri doğru şekilde işleyecek ve zaman adımını dinamik olarak ayarlayacaktır. Örnekler/simple-scene/simple-scene-default-engines.py içinde bir örnek bulabilirsiniz.

Fonksiyon seçimi¶

Yukarıdaki örnekte, yalnızca elips yazarak functor'ları atladık. yerine. Göndericiler ve işlevler bölümünde açıklandığı gibi, 4 tür işlev ve ilgili gönderici vardır. Seçimin tutarlı olması gerekse de, kullanıcı hangilerini kullanacağını seçebilir.

Bo1 fonktörleri¶

Bo1 fonktörleri, kullanımdaki çarpıştırıcıya bağlı olarak seçilmelidir, bunlar doğrudan çarpıştırıcıya verilir (dahili olarak BoundDispatcher kullanır).

Şu anda (Ocak 2019), en yaygın seçenek Aabb fonktörlerini kullanan InsertionSortCollider'dır ve bu durumda Aabb'ı yaratan Aabb kullanılmalıdır. Simülasyonunuzdaki parçacık şekillerine bağlı olarak uygun işlevler seçin:

Gerektiğinden fazla functor kullanmak (simülasyonda hiç faset yoksa Bo1_Facet_Aabb gibi) performans cezasına neden olmaz. Öte yandan, mevcut şekiller için eksik işlevler, bu cisimlerin diğer cisimlerle çarpışmamasına neden olur (serbestçe iç içe geçerler).

Kullanımları yalnızca deneysel olsa da başka çarpıştırıcılar da var:

    Aabb üzerinde çalışan doğruluk referanslı çarpıştırıcıdır, InsertionSortCollider'dan önemli ölçüde daha yavaştır. yalnızca küreler üzerinde çalışır, doğrudan küreler üzerinde çalıştığı için BoundDispatcher kullanmaz. ızgara konumlarını dahili olarak hesaplayan kavram kanıtı ızgara tabanlı çarpıştırıcıdır (BoundDispatcher da yoktur)
Ig2 functorları¶

Ig2 functor seçimi (hepsi IGeomFunctor'dan türetilmiştir) şunlara bağlıdır:

örneğin çarpışması gereken şekil kombinasyonları:

Sphere + Sphere için çarpışmaları yönetir, ancak Facet + Sphere için değil - istenirse ek bir işlev kullanılmalıdır:

Yine, eksik kombinasyon, verilen şekil kombinasyonlarının birbirine serbestçe nüfuz etmesine neden olacaktır. Her çift için birkaç olası işlev seçeneği vardır, bu nedenle varsayılan olarak InsertionSortCollider'a yerleştirilemezler. Birbirinden geçen cisimler için yaygın bir hata, gerekli functor'un eklenmemiş olmasıdır.

Law2 functor tarafından kabul edilen IGeom tipi (aşağıda) Law2'den sonra functor adının ilk kısmıdır (örneğin, Law2_ScGeom_CpmPhys_Cpm, ScGeom'u kabul eder).

IP2 functorları¶

Ip2 functor'ları (IPhysFunctor'dan türetilmiştir) aşağıdakilere bağlı olarak seçilmelidir:

    Simülasyon içindeki kombinasyonlar. Çoğu durumda, Ip2 functor'ları kurucu yasa tarafından kabul edilen aynı Material sınıfının (FrictMat ile 2 gövde için Ip2_FrictMat_FrictMat_FrictPhys gibi) 2 örneğini işler (Law2 functor), Law2 functor adının ikinci kısmıdır (örneğin, Law2_Schys_FrictPhys kabul eder)

Bo1 ve Ig2 işlevlerinden farklı olarak, işlenmeyen Malzeme kombinasyonu, bir istisna tarafından bildirilen bir hata koşuludur.

Kanun2 işlev(ler)i¶

Law2 functor, Ig2 ve Ip2 fonktörlerinin seçimi için nihai kriterdi, seçiminde kendi içinde herhangi bir kısıtlama yoktur, çünkü yeni nesneler yaratmadan sadece kuvvetleri uygular.

Çoğu simülasyonda, yalnızca bir Law2 functor kullanımda olacaktır, ancak bunlardan birkaçının daha önce sırasıyla Ig2 ve Ip2 fonktörleri tarafından üretilen IGeom ve IPhys kombinasyonuna dayalı olarak gönderilmesi mümkündür (sırasıyla Şekillerin ve Malzemelerin kombinasyonuna dayalı olarak). ).

Ip2 işlevlerinde olduğu gibi, herhangi bir Law2 işlevi tarafından işlenmeyen bir IGeom ve IPhys kombinasyonunu almak bir hatadır.

Yade'de birçok Kanun2 vardır ve her an yenileri ortaya çıkabilir. Bazı durumlarda farklı işlevler, aynı temas yasasının yalnızca farklı uygulamalarıdır (örneğin, Law2_ScGeom_FrictPhys_CundallStrack ve Law2_L3Geom_FrictPhys_ElPerfPl). Ayrıca, bazen, bir işlevcinin özelliği, daha genel bir işlevin özel bir durumu olarak yeniden üretilebilir. Bu nedenle, belirli bir kurucu davranış için, kullanıcı farklı işlevler arasında seçim yapabilir. Böyle bir seçimle karşı karşıya kalırken en çok kullanılan ve en doğrulanmış uygulamanın tercih edilmesi şiddetle tavsiye edilir. Bu seçimi yönlendirmek için, olgun ve bakımsız olarak sınıflandırılan kullanılabilir işlevler listesi burada güncellenir.

Örnekler¶

Oluşturulan ve kabul edilen türler zincirine birkaç örnek verelim.

Temel DEM modeli¶

Law2_ScGeom_FrictPhys_CundallStrack kurucu yasasını kullanmak istediğimizi varsayalım. bunu görüyoruz

  1. Ig2 functorları ScGeom oluşturmalıdır. Simülasyonda örneğin küreler ve kutular varsa, Sphere + Sphere ve Box + Sphere kombinasyonlarını kabul eden functor'lara ihtiyacımız olacak. Kutuların kendi aralarında etkileşim olmasını istemiyoruz (aslında böyle bir işlev yok). Bu bize Ig2_Sphere_Sphere_ScGeom ve Ig2_Box_Sphere_ScGeom'u verir.
  2. Ip2 functorları FrictPhys oluşturmalıdır. InteractionPhysicsFunctors'a bakıldığında sadece Ip2_FrictMat_FrictMat_FrictPhys var. Bu da parçacıklar için FrictMat kullanmamızı zorunlu kılıyor.

Sonuç bu nedenle olacaktır:

Beton model¶

Bu durumda amacımız Law2_ScGeom_CpmPhys_Cpm kurucu yasasını kullanmaktır.

  • Simülasyonda, bu türleri kabul eden ve ScGeom üreten Ig2 fonksiyonlarını seçen küreler ve fasetler kullanıyoruz: Ig2_Sphere_Sphere_ScGeom ve Ig2_Facet_Sphere_ScGeom.
  • CpmPhys oluşturmak için kullanılabilecek Material kullanmalıyız. CpmPhys'in yalnızca tüm parçacıklar için CpmMat seçimini belirleyen Ip2_CpmMat_CpmMat_CpmPhys tarafından oluşturulduğunu bulduk.

Koşullar dayatmak¶

Çoğu simülasyonda, tüm parçacıkların uzayda serbestçe yüzmesi istenmez. Küresel uzayla ilgili olarak tüm veya bazı parçacıkların hareketini engelleyen sınır koşulları dayatmanın birkaç yolu vardır.

Hareket kısıtlamaları¶

Body.dynamic, bir cismin NewtonIntegrator tarafından hızlandırılıp hızlandırılmayacağını belirler, sıfır olmayan kuvvetin uygulanmasının sonsuz yer değiştirmeyle sonuçlanacağı sıfır kütleli cisimler için yanlış yapmak zorunludur.

Yönler şu noktada geçerlidir: sıfır hacme ve sıfır kütleye sahip oldukları için faset onları varsayılan olarak dinamik olmayan yapar (bu, faset olarak dynamic=True iletilerek veya Body.dynamic ayarı State.mass öğesini non-non olarak ayarlanarak değiştirilebilir). sıfır değeri de yapılmalıdır). Aynı durum duvar için de geçerlidir.

Küreyi dinamik olmaktan çıkarmak basitçe şu şekilde sağlanır:

State.blockedDOF'lar, küresel alanda 6 serbestlik derecesinden herhangi birinin seçici olarak engellenmesine izin verir. Örneğin, bir kürenin sadece xy düzleminde hareket etmesi şu şekilde yapılabilir:

Body.dynamic'in aksine, bloke DOF'lar yalnızca seçilen yönlerdeki kuvvetleri (ve ivmeyi) engeller. Aslında, b.dynamic=False, b.state.blockedDOFs=='xyzXYZ' ifadesinin neredeyse yalnızca bir kısaltmasıdır. İnce bir fark, ilkinin hız bileşenlerini otomatik olarak sıfırlaması, ancak en sonuncusunun yapmamasıdır. If you prescribed linear or angular velocity, they will be applied regardless of blockedDOFs. It also implies that if the velocity is not zero when degrees of freedom are blocked via blockedDOFs assignements, the body will keep moving at the velocity it has at the time of blocking. The differences are shown below:

It might be desirable to constrain motion of some particles constructed from a generated sphere packing, following some condition, such as being at the bottom of a specimen this can be done by looping over all bodies with a conditional:

Arbitrary spatial predicates introduced above can be expoited here as well:

Imposing motion and forces¶

Imposed velocity¶

If a degree of freedom is blocked and a velocity is assigned along that direction (translational or rotational velocity), then the body will move at constant velocity. This is the simpler and recommended method to impose the motion of a body. This, for instance, will result in a constant velocity along (x) (it can still be freely accelerated along (y) and (z) ):

Conversely, modifying the position directly is likely to break Yade’s algorithms, especially those related to collision detection and contact laws, as they are based on bodies velocities. Therefore, unless you really know what you are doing, don’t do that for imposing a motion:

Imposed force¶

Applying a force or a torque on a body is done via functions of the ForceContainer. It is as simple as this:

This way, the force applies for one time step only, and is resetted at the beginning of each step. For this reason, imposing a force at the begining of one step will have no effect at all, since it will be immediatly resetted. The only way is to place a PyRunner inside the simulation loop.

Applying the force permanently is possible with another function (in this case it does not matter if the command comes at the begining of the time step):

The force will persist across iterations, until it is overwritten by another call to O.forces.setPermF(id,f) or erased by O.forces.reset(resetAll=True) . The permanent force on a body can be checked with O.forces.permF(id) .

Boundary controllers¶

Engines deriving from BoundaryController impose boundary conditions during simulation, either directly, or by influencing several bodies. You are referred to their individual documentation for details, though you might find interesting in particular

    for applying strain along one axis at constant rate useful for plotting strain-stress diagrams for uniaxial loading case. See examples/concrete/uniax.py for an example. which applies prescribed stress/strain along 3 perpendicular axes on cuboid-shaped packing using 6 walls (Box objects) for applying stress/strain along 3 axes independently, for simulations using periodic boundary conditions (Cell)

Field appliers¶

Engines deriving from FieldApplier are acting on all particles. The one most used is GravityEngine applying uniform acceleration field (GravityEngine is deprecated, use NewtonIntegrator.gravity instead).

Partial engines¶

Engines deriving from PartialEngine define the ids attribute determining bodies which will be affected. Several of them warrant explicit mention here:

    and RotationEngine for applying constant speed linear and rotational motion on subscribers. and TorqueEngine applying given values of force/torque on subscribed bodies at every step. for applying generalized displacement delta at every timestep designed for precise control of motion when testing constitutive laws on 2 particles.

The real value of partial engines is when you need to prescribe a complex type of force or displacement field. For moving a body at constant velocity or for imposing a single force, the methods explained in Imposing motion and forces are much simpler. There are several interpolating engines (InterpolatingDirectedForceEngine for applying force with varying magnitude, InterpolatingHelixEngine for applying spiral displacement with varying angular velocity see examples/test/helix.py and possibly others) writing a new interpolating engine is rather simple using examples of those that already exist.

Convenience features¶

Labeling things¶

Engines and functors can define a label attribute. Whenever the O.engines sequence is modified, python variables of those names are created/updated since it happens in the __builtins__ namespaces, these names are immediately accessible from anywhere. This was used in Creating interactions to change interaction radius in multiple functors at once.

Make sure you do not use label that will overwrite (or shadow) an object that you already use under that variable name. Take care not to use syntactically wrong names, such as “er*452” or “my engine” only variable names permissible in Python can be used.

Simulation tags¶

Omega.tags is a dictionary (it behaves like a dictionary, although the implementation in C++ is different) mapping keys to labels. Contrary to regular python dictionaries that you could create,

After Yade startup, O.tags contains the following:

You can add your own tags by simply assigning value, with the restriction that the left-hand side object must be a string and must not contain = .

Saving python variables¶

Python variable lifetime is limited in particular, if you save simulation, variables will be lost after reloading. Yade provides limited support for data persistence for this reason (internally, it uses special values of O.tags ). The functions in question are saveVars and loadVars.

saveVars takes dictionary (variable names and their values) and a mark (identification string for the variable set) it saves the dictionary inside the simulation. These variables can be re-created (after the simulation was loaded from a XML file, for instance) in the yade.params. mark namespace by calling loadVars with the same identification mark:

Enumeration of variables can be tedious if they are many creating local scope (which is a function definition in Python, for instance) can help:


Sphere calculator

Foods, Nutrients and Calories

CREAMY MINTS, UPC: 071720530153 contain(s) 423 calories per 100 grams (&asymp3.53 ounces) [ price ]

Gravels, Substances and Oils

CaribSea, Marine, Aragonite, Special Coarse Aragonite weighs 1 153.3 kg/m³ (71.99817 lb/ft³) with specific gravity of 1.1533 relative to pure water. Calculate how much of this gravel is required to attain a specific depth in a cylindrical, quarter cylindrical or in a rectangular shaped aquarium or pond [ weight to volume | volume to weight | price ]

Volume to weight, weight to volume and cost conversions for Refrigerant R-23, liquid (R23) with temperature in the range of -95.56°C (-140.008°F) to 4.45°C (40.01°F)

Weights and Measurements

A square centimeter per hour (cm²/h) is a derived metric SI (System International) measurement unit of kinematic viscosity.

Magnetic flux density is a vecor quantity that measures the direction and magnitude of a magnetic field.


Volume Of Sphere

A sphere is a solid with all its points the same distance from the center. The distance is known as the radius of the sphere. The maximum straight distance through the center of a sphere is known as the diameter of the sphere. The diameter is twice the radius.

The following figure gives the formula for the volume of sphere. Scroll down the page for examples and solutions.


How to find the volume of a sphere?

The volume of a sphere is equal to four-thirds of the product of pi and the cube of the radius.

The volume and surface area of a sphere are given by the formulas:

nerede r is the radius of the sphere.

Misal:
Calculate the volume of sphere with radius 4 cm.

Çözüm:
Volume of sphere

We can also change the subject of the formula to obtain the radius given the volume.

Misal:
The volume of a spherical ball is 5,000 cm 3 . What is the radius of the ball?

How to use the formula to calculate the volume of a sphere?

Misal:
Find the volume of a sphere with a diameter of 14 cm.

Volume of a hemisphere

What is a hemisphere?

bir hemisphere is half a sphere, with one flat circular face and one bowl-shaped face.

How to find the volume of a hemisphere?

The volume of a hemisphere is equal to two-thirds of the product of pi and the cube of the radius.

The volume of a hemisphere is given by the formula:

How to find the volume of a hemisphere?

Misal:
Find the volume of a fishbowl with a diameter of 33cm.

How to solve word problems about spheres?
The following video shows how to solve problems involving the formulas for the surface area and volume of spheres.

Misal:
A sphere has a volume of 288π. Find its area. Leave you answer in terms of π

Misal:
A ball has a diameter of 18 cm.
a) Sketch a cylinder that fits the ball and label its height and base.
b) What is the volume of the cylinder?
c) What is the volume of the ball?

Misal:
The cylinder is melted down into a sphere of radius r. Find an expression for r in terms of x.

How to proof the Formula of the Volume of a Sphere?
This video gives a proof for the formula of the volume of a sphere that does not involve calculus. This is an "approximated" proof. You would need to use calculus for a more rigorous proof.

How to derive the formula of a sphere using calculus?

How Archimedes derived the volume of a sphere?
To do so, he had to use a formula for the volume of a cone.

Çeşitli matematik konularını uygulamak için aşağıdaki ücretsiz Mathway hesap makinesini ve problem çözücüyü deneyin. Verilen örnekleri deneyin veya kendi probleminizi yazın ve adım adım açıklamalarla cevabınızı kontrol edin.

Bu site veya sayfayla ilgili geri bildirimlerinizi, yorumlarınızı ve sorularınızı bekliyoruz. Lütfen geri bildiriminizi veya sorularınızı Geri Bildirim sayfamız aracılığıyla gönderin.


Filled Volume

The volume or capacity of a tank can be found in a few easy steps. Of course, the calculator above is the easiest way to calculate tank volume, but follow along to learn how to calculate it yourself.

Step One: Measure the Tank

The first step is to measure the key dimensions of the tank. For round tanks find the diameter and length or height. For rectangular or cubes, find the length, width, and height.

Step Two: Find the Tank Volume Formula

In order to calculate a tank’s capacity a formula for volume will be needed. The volume formula varies by the style of tank being measured. See the formulas below and select the one for your style.

Cylinder Tank Formula

r = radius (diameter ÷ 2)
l = length (or height for a vertical tank)

Oval Tank Formula

area = ((h – w) × w) + (&pi × r 2 )
tank volume = area × l

r = radius (tank width ÷ 2)
w = width
l = length
h = height

Capsule Tank Formula

cylinder volume = &pi × r 2 × l
sphere volume = 4/3 &pi × r 3
tank volume = cylinder volume + sphere volume

r = radius (diameter ÷ 2)
l = length (or height for a vertical tank)

Rectangular Tank Formula

l = length
w = width
h = height

Not finding a formula for the shape of your tank? Find even more volume formulas.

Step Three: Solve the Volume Formula

When you have the tank dimensions and the appropriate formula to solve for volume, simply enter the dimensions into the formula and solve.

Örneğin, let’s find the volume of a cylinder tank that is 36″ in diameter and 72″ long.

tank volume = &pi × 18 2 × 72
tank volume = 73,287 cu in

Thus, the capacity of this tank is 73,287 cubic inches.

Step Four: Convert Volume Units

The resulting tank volume will be in the cubic form of the initial measurements. For instance, if the initial tank measurements were in inches, then the volume measurement will be in cubic inches. Often other forms of volume, such as gallons or liters, are needed.

Thus, the final step is to convert from one volume measurement to the desired unit of the result. Try our volume conversion calculators to convert the results.


1.6: The Volume of Cored Sphere

Earth&rsquos core is the very hot, very dense center of our planet.

Earth Science, Geology, Geography, Physical Geography, Physics

Illustration by Chuck Carter

Planetary Cores
All known planets have metal cores. Even the gas giants of our solar system, such as Jupiter and Saturn, have iron and nickel at their cores.

process by which a substance grows by the collection and clustering of different parts.

mixture of two or more metals.

process of studying a problem or situation, identifying its characteristics and how they are related.

material remains of a culture, such as tools, clothing, or food.

irregularly shaped planetary body, ranging from 6 meters (20 feet) to 933 kilometers (580 miles) in diameter, orbiting the sun between Mars and Jupiter.

(atm) unit of measurement equal to air pressure at sea level, about 14.7 pounds per square inch. Also called standard atmospheric pressure.

the basic unit of an element, composed of three major parts: electrons, protons, and neutrons.

single axis or line around which a body rotates or spins.

seismic wave that travels through the interior of the Earth.

to exist on the edge of a boundary.

line separating geographical areas.

seismic boundary between Earth's liquid outer core and solid inner core.

type of stony meteorite containing hardened droplets, called chondrules, of silicate minerals.

to mix vigorously or violently.

arrangement of the parts of a work or structure in relation to each other and to the whole.

instance of being pressed together or forced into less space.

items gathered closely together in one place.

to transmit, transport, or carry.

puzzling question or problem.

transfer of heat by the movement of the heated parts of a liquid or gas.

movement of a fluid from a cool area to a warm area.

the extremely hot center of Earth, another planet, or a star.

force that explains the paths of objects on rotating bodies.

rocky outermost layer of Earth or other planet.

type of mineral that is clear and, when viewed under a microscope, has a repeating pattern of atoms and molecules.

temperature at which a ferromagnetic material loses its ferromagnetism&mdashits ability to possess magnetism in the absence of a magnetic field.

steady, predictable flow of fluid within a larger body of that fluid.

(singular: datum) information collected during a scientific study.

to put out of shape or distort.

having parts or molecules that are packed closely together.

device that compresses a test substance to up to 6 million atmospheres of pressure.

to break up or disintegrate.

the sudden shaking of Earth's crust caused by the release of energy along fault lines or from volcanic activity.

set of physical phenomena associated with the presence and flow of electric charge.

chemical that cannot be separated into simpler substances.

imaginary line around the Earth, another planet, or star running east-west, 0 degrees latitude.

on the outside or outdoors.

to constantly change back and forth.

material that is able to flow and change shape.

temperature at which liquid becomes solid the freezing point of water is 0 degrees Celsius (32 degrees Fahrenheit).

rate of occurrence, or the number of things happening in a specific area over specific time period.

device used for heating by burning a fuel, such as wood or coal.

process by which a celestial body generates a magnetic field.

having to do with the physical formations of the Earth.

change in a celestial body's magnetic field so that the magnetic North and South Poles are switched.

gradual change in temperature from the Earth's core (hot) to its crust (cool), about 25° Celsus per kilometer of depth (1° Fahrenheit per 70 feet of depth).

process of a glacier moving and changing the landscape.

to move toward or be attracted to something.

chemical substance with a specific gravity of at least 5.0.

half of a sphere, or ball-shaped object.

intensely hot region deep within the Earth that rises to just underneath the surface. Some hot spots produce volcanoes.

deepest layer of the Earth, beneath the outer core.

oddly crystallized structure at the heart of our planet, with iron crystals oriented east-west instead of north-south (as with the inner core).

to explain or understand the meaning of something.

chemical element with the symbol Fe.

(Ӱ billion years ago) point in Earth's planetary formation when the temperature reached the melting point of iron and heavy elements (mostly iron and nickel) gravitated toward the center of the planet.

(acronym for light amplification by stimulated emission of radiation) an instrument that emits a thin beam of light that does not fade over long distances.

outer, solid portion of the Earth. Also called the geosphere.

(large low shear velocity province) seismically anomalous region at the deepest part of Earth's mantle. Also called a superplume or thermo-chemical pile.

able to produce a force field that can attract or repel certain substances, usually metals (magnets).

area around and affected by a magnet or charged particle.

direction that all compass needles point.

flexible and capable of reforming itself without breaking when under stress.

middle layer of the Earth, made of mostly solid rock.

temperature at which a solid turns to liquid.

type of rock that has crashed into Earth from outside the atmosphere.

inorganic material that has a characteristic chemical composition and specific crystal structure.

representation of a process, concept, or system, often created with a computer program.

solid material turned to liquid by heat.

nickel-iron alloys that form Earth's core.

to move in a circular pattern around a more massive object.

relative positions of specific atoms or molecules in a chemical compound.

liquid, iron-nickel layer of the Earth between the solid inner core and lower mantle.

layer in the atmosphere containing the gas ozone, which absorbs most of the sun's ultraviolet radiation.

to look quickly or from a secret location.

very important or crucial point.

large, spherical celestial body that regularly rotates around a star.

process of separating different layers of a planetary body by chemical and physical mechanisms.

state of matter with no fixed shape and molecules separated into ions and electrons.

valuable metal, such as gold, silver, or platinum.

seismic shock wave that represents longitudinal motion. Also called a primary wave or pressure wave.

transformation of an unstable atomic nucleus into a lighter one, in which radiation is released in the form of alpha particles, beta particles, gamma rays, and other particles. Also called radioactivity.

ray extending from the center of a circle or sphere to its surface or circumference.

natural substance composed of solid mineral matter.

object's complete turn around its own axis.

shock wave of force or pressure that travels through the Earth.

moving, measurable change in pressure and density of a material.

material that has a chemical affinity for iron.

most common group of minerals, all of which include the elements silicon (Si) and oxygen (O).

to create an image, representation, or model of something.

the sun and the planets, asteroids, comets, and other bodies that orbit around it.

flow of charged particles, mainly protons and electrons, from the sun to the edge of the solar system.

series of changes affecting natural and human activity on Earth's surface.

series of changes affecting natural and human activity on Earth's surface.

area where one tectonic plate slides under another.

seismic shock wave that represents perpendicular motion. Also called a secondary wave or shear wave.

massive slab of solid rock made up of Earth's lithosphere (crust and upper mantle). Also called lithospheric plate.

degree of hotness or coldness measured by a thermometer with a numerical scale.

to pass along information or communicate.

powerful light waves that are too short for humans to see, but can penetrate Earth's atmosphere. Ultraviolet is often shortened to UV.

exactly the same in some way.

measurement of the rate and direction of change in the position of an object.

measure of the resistance of a fluid to a force or disturbance.

activity that includes a discharge of gas, ash, or lava from a volcano.

upward movement of molten material from within the Earth to the surface, where it cools and hardens.

radiation in the electromagnetic spectrum with a very short wavelength and very high energy.

Media Credits

The audio, illustrations, photos, and videos are credited beneath the media asset, except for promotional images, which generally link to another page that contains the media credit. The Rights Holder for media is the person or group credited.

Editor

Jeannie Evers, Emdash Editing

Producer

Caryl-Sue, National Geographic Society

Last Updated

For information on user permissions, please read our Terms of Service. If you have questions about how to cite anything on our website in your project or classroom presentation, please contact your teacher. They will best know the preferred format. When you reach out to them, you will need the page title, URL, and the date you accessed the resource.

Medya

If a media asset is downloadable, a download button appears in the corner of the media viewer. If no button appears, you cannot download or save the media.

Text on this page is printable and can be used according to our Terms of Service.

Interactives

Any interactives on this page can only be played while you are visiting our website. You cannot download interactives.

Related Resources

Earth Structure

The structure of the earth is divided into four major components: the crust, the mantle, the outer core, and the inner core. Each layer has a unique chemical composition, physical state, and can impact life on Earth's surface. Movement in the mantle caused by variations in heat from the core, cause the plates to shift, which can cause earthquakes and volcanic eruptions. These natural hazards then change our landscape, and in some cases, threaten lives and property. Learn more about how the earth is constructed with these classroom resources.

Earth's Interior

Dig deep&mdashreally deep&mdashwith our gallery of illustrations and a downloadable poster of Earth's interior.

Sediment Core

Photo of a kneeling woman with a sediment core.

Ice Coring

Photo: Man cuts cores out of ice in an ice cave.

Related Resources

Earth Structure

The structure of the earth is divided into four major components: the crust, the mantle, the outer core, and the inner core. Each layer has a unique chemical composition, physical state, and can impact life on Earth's surface. Movement in the mantle caused by variations in heat from the core, cause the plates to shift, which can cause earthquakes and volcanic eruptions. These natural hazards then change our landscape, and in some cases, threaten lives and property. Learn more about how the earth is constructed with these classroom resources.

Earth's Interior

Dig deep&mdashreally deep&mdashwith our gallery of illustrations and a downloadable poster of Earth's interior.


1.6: The Volume of Cored Sphere

What is a Tetrahedron? A tetrahedron is a three-dimensional figure with four equilateral triangles. If you lift up three triangles (1), you get the tetrahedron in top view (2). Generally it is shown in perspective (3).

If you look at the word tetrahedron (tetrahedron means "with four planes"), you could call every pyramid with a triangle as the base a tetrahedron.

However the tetrahedron is the straight, regular triangle pyramid on this website.

Pieces of the Tetrahedron üst
Height and area of a lateral triangle
Four equilateral triangles form a tetrahedron.

. A triangle is picked out: The three heights intersect each other in one point as in every triangle. This is the centre of the triangle. The height can be calculated by the side a as h=sqr(3)/2*a using the Pythagorean theorem.
The heights also are medians and intersect with the ratio 2:1. That is used in the following calculations.

The area of the triangle is A=sqr(3)/4*a².
Space Height The height of the tetrahedron is between the centre of the basic triangle (1) and the vertex (2). For calculations you regard the so-called support triangle (3, yellow), which is formed by one edge and two triangle heights. There is H=sqr(6)/3*a using the Pythagorean theorem.
Centre, Circumscribed Sphere, and Inscribed Sphere The centre of a tetrahedron is the intersection of two space heights (1,2,3). It is centre of gravity, centre of the sphere through the four corners, and centre of the largest sphere, which still fits inside the tetrahedron (4).

. You get two formulas for r and R with the help of the Pythagorean theorem (1) and H=R+r (2):
There is r=sqr(6)/12*a , R=sqr(6)/4*a.
Angle
. The angle of inclination (edge angle) between a lateral triangle and the base is seen in the yellow support triangle.
There is 70,5°.
Surface
. The area of the base and the lateral faces form the surface O. There is O=4*A (triangle) = sqr(3)a².
Volume

If you put a prism (1) with the volume A(triangle)*H around the tetrahedron and move the vertex to the corners of the prism three times (2,3,4), you get three crooked triangle pyramids with the same volume. They fill the prism (5).
Thus the volume of a triangle pyramid is (1/3)*A(triangle)*H.
There is V=sqr(2)/12*a³ for the tetrahedron.

Tetrahedal Numbers üst

. You can build a tetrahedron with layers of spheres. The number of the spheres in one layer is 1,3,6,10. generally n(n+1)/2.
If you add the spheres layer by layer, you get the tetrahedral numbers 1,4,10,20. generally 1+3+6+10+. +n(n+1)/2=n(n+1)(n+2)/6.
. If you glue 20 marbles to two groups with four and two with six, you get a well known puzzle: You must form a pyramid with four pieces.
There are many similar puzzles.

Tetrahedron in the Cube üst
Six face diagonals form a tetrahedron in the cube.
If you know the 3D-view, you can three-dimensionally look at the following two cube pairs. The volume of the tetrahedron is the third part of the volume of the cube.

If you draw a second tetrahedron and the lines of intersection, you get a penetration of two tetrahedrons.

The figure consists of the face diagonals and the connecting lines of the centres of the lateral squares of the original cube. The last ones form an octahedron.

Rings of Tetrahedrons üst
You can make paper tetrahedrons and stick an even number of them to a ring. The ring can continually twist inwards or outwards through the centre. This is a pretty toy. - These rings are also called kaleidocycles. You find more on my web page Kaleidocycles.

Tetrahedra on the Internet üst

H.B.Meyer (Polyeder aus Flechtstreifen)
Tetraeder

Eric W. Weisstein (World of Mathematics)
dörtyüzlü

H.B.Meyer (Polyeder aus Flechtstreifen)
dörtyüzlü

Wikipedia
Tetrahedron, Tetrapod (structure), Tetrahedral number
Gail from Oregon, thank you for supporting me in my translation.

Feedback: Email address on my main page


Videoyu izle: The figure shows a spherical shell with uniform volume (Aralık 2021).