Nesne

3.8: Çoklu İntegrallerde Değişkenlerin Değişimi (Jacobians) - Matematik


Öğrenme hedefleri

  • Belirli bir değişken dönüşümü altındaki bir bölgenin görüntüsünü belirleyin.
  • Belirli bir dönüşümün Jacobian'ını hesaplayın.
  • Değişken değişikliği kullanarak bir çift katlı integrali değerlendirin.
  • Değişkenlerin değişimini kullanarak bir üçlü integrali değerlendirin.

İkame Kuralından, ikame yoluyla entegrasyon yöntemini hatırlayın. gibi bir integrali değerlendirirken

[int_2^3 x(x^2 - 4)^5 dx,]

(u = g(x) = x^2 - 4) yerine koyarız. Ardından (du = 2x , dx) veya (x , dx = frac{1}{2} du) ve sınırlar (u = g(2) = 2^2 - 4 = olarak değişir. 0) ve (u = g(3) = 9 - 4 = 5). Böylece integral olur

[int_0^5 frac{1}{2}u^5 du]

ve bu integralin değerlendirilmesi çok daha basittir. Başka bir deyişle, integrasyon problemlerini çözerken, orijinal integralden çok daha basit hale gelen bir integral elde etmek için uygun ikameler yaparız.

Bu fikri, hesaplamaları daha basit hale getirmek için dikdörtgen koordinatlardaki çift katlı integralleri kutupsal koordinatlara ve dikdörtgen koordinatlardaki üçlü integralleri silindirik veya küresel koordinatlara dönüştürdüğümüzde de kullandık. Daha genel olarak,

[int_a^b f(x) dx = int_c^d f(g(u))g'(u) du,]

(x = g(u), , dx = g'(u) du) ve (u = c) ve (u = d) nerede (c = g(a)) sağlar ve (d = g(b)).

Benzer bir sonuç, yerine koyduğumuzda çift katlı integrallerde ortaya çıkar.

  • (x = f (r, eta) = r , cos , eta)
  • ( y = g(r, heta) = r , sin , heta) ve
  • (dA = dx , dy = r , dr , d eta).

sonra alırız

[iint_R f(x,y) dA = iint_S (r , cos , eta, , r , sin , heta)r , dr , d eta]

burada (R) alanı, kutupsal koordinatlarda (S) alanı ile değiştirilir. Genel olarak, entegrasyonu kolaylaştırmak için değişkenleri değiştirmek için kullandığımız işleve dönüşüm veya eşleme denir.

Düzlemsel Dönüşümler

Bir düzlemsel dönüşüm (T), bir düzlemdeki (G) bölgesini, değişkenlerin değişmesiyle başka bir düzlemdeki (R) bölgesine dönüştüren bir fonksiyondur. Hem (G) hem de (R), (R^2)'nin altkümeleridir. Örneğin, Şekil (PageIndex{1}), tarafından (xy)-düzleminde bir (R) bölgesine dönüştürülen (uv)-düzlemindeki bir (G) bölgesini gösterir. (x = g(u,v)) ve (y = h(u,v)) değişkenlerinin değişimi veya bazen (x = x(u,v)) ve (y =) yazarız y(u,v)). Tipik olarak, bu fonksiyonların her birinin sürekli birinci kısmi türevleri olduğunu varsayacağız; bu, (g_u, , g_v, , h_u,) ve (h_v)'nin var olduğu ve aynı zamanda sürekli olduğu anlamına gelir. Bu gereksinime duyulan ihtiyaç yakında netlik kazanacaktır.

tanım: bire bir dönüşüm

(T(u,v) = (x,y)) olarak tanımlanan bir (T: , G ightarrow R), iki nokta haritası yoksa bire bir dönüşüm olduğu söylenir. aynı görüntü noktasına.

(T)'nin bire bir dönüşüm olduğunu göstermek için, (T(u_1,v_1) = T(u_2, v_2)) varsayıyoruz ve sonuç olarak((u_1,v_1) elde ettiğimizi gösteriyoruz. = (u_2, v_2)). Eğer (T) dönüşümü (G) alanında bire bir ise, o zaman ters (T^{-1}) (R) alanıyla birlikte bulunur, öyle ki (T ^{-1} circ T) ve (T circ T^{-1}) kimlik işlevleridir.

Şekil (PageIndex{2}), (T(u,v) = (x,y)) eşlemesini gösterir, burada (x) ve (y) (u) ile ilişkilidir ve (v) denklemleri (x = g(u,v)) ve (y = h(u,v)). (G) bölgesi, (T)'nin etki alanıdır ve (R) bölgesi, (T) aralığıdır, ayrıca resim (G)'nin (T) dönüşümü altında.

Örnek (PageIndex{1A}): Dönüşümün Nasıl Çalıştığını Belirleme

Bir (T) dönüşümünün (T(r, heta) = (x,y)) olarak tanımlandığını varsayalım, burada (x = r , cos , heta, , y = r , sin , eta). Kutup dikdörtgeninin (G = {(r, heta) | 0 leq r leq 1, , 0 leq heta leq pi/2}) görüntüsünü (r) içinde bulun heta)-düzlemi, (xy)-düzleminde bir (R) bölgesine. (T) ifadesinin (G) içinde bire bir dönüşüm olduğunu gösterin ve (T^{-1} (x,y)) öğesini bulun.

Çözüm

(r) (r heta)-düzleminde 0 ile 1 arasında değiştiği için, (xy)-düzleminde yarıçapı 0 ile 1 arasında olan dairesel bir diskimiz var. ( heta) (r heta)-düzleminde 0 ile (pi/2) arasında değiştiği için, birinci çeyrekte yarıçaplı bir çeyrek daire (1) elde ederiz. (xy)-düzlemi (Şekil (PageIndex{2})). Dolayısıyla (R) birinci çeyrekte (x^2 + y^2 = 1) ile sınırlanmış bir çeyrek dairedir.

(T)'nin bire bir dönüşüm olduğunu göstermek için, (T(r_1, heta_1) = T(r_2, heta_2)) varsayalım ve sonuç olarak ((r_1, heta_1) = (r_2, heta_2)). Bu durumda, elimizde

[T(r_1, heta_1) = T(r_2, heta_2),]

[(x_1,y_1) = (x_1,y_1),]

[(r_1 cos , heta_1, r_1 sin , heta_1) = (r_2 cos , heta_2, r_2 sin , heta_2),]

[r_1 cos , heta_1 = r_2 cos , heta_2, , r_1 sin , heta_1 = r_2 sin , heta_2.]

Bölerek elde ederiz

[frac{r_1 cos , heta_1}{r_1 sin , heta_1} = frac{ r_2 cos , heta_2}{ r_2 sin , heta_2}]

[frac{cos , heta_1}{sin , heta_1} = frac{cos , heta_2}{sin , heta_2}]

[ an , heta_1 = an , heta_2]

[ heta_1 = heta_2]

çünkü tanjant fonksiyonu (0 leq heta leq pi/2) aralığında bire-bir fonksiyondur. Ayrıca, (0 leq r leq 1) olduğundan, elimizde (r_1 = r_2, , heta_1 = heta_2) var. Bu nedenle, ((r_1, heta_1) = (r_2, heta_2)) ve (T), (G)'den (R)'ye bire bir dönüşümdür.

(T^{-1}(x,y))'yi bulmak için (r, heta)'yı (x,y) cinsinden çözün. (r^2 = x^2 + y^2) ve ( an , heta = frac{y}{x}) olduğunu zaten biliyoruz. Böylece (T^{-1}(x,y) = (r, heta)) (r = sqrt{x^2 + y^2}) ve ( an^{ olarak tanımlanır. -1} left(frac{y}{x}sağ)).

Örnek (PageIndex{1B}): (T) Altındaki Görüntüyü Bulma

(T) dönüşümü (T(u,v) = (x,y)) ile tanımlansın, burada (x = u^2 - v^2) ve (y = uv). Köşeleri ((0,0), , (0,1)) ve ((1,1)) olan (uv)-düzleminde üçgenin görüntüsünü bulun.

Çözüm

Üçgen ve görüntüsü Şekil (PageIndex{3}) içinde gösterilmektedir. Üçgenin kenarlarının nasıl dönüştüğünü anlamak için, ((0,0)) ile ((0,1)) (A)'yı birleştiren kenarı, ((0,)'yı birleştiren kenarı çağırın. 0)) ve ((1,1)) taraf (B) ve ((1,1)) ve ((0,1)) tarafı (C) ile birleştiren kenar ).

  • (A: , u = 0, , 0 leq v leq 1) kenarı (x = -v^2, , y = 0)'a dönüşür, yani bu (A) kenarıdır ') ((-1,0)) ve ((0,0)) ile birleşir.
  • (B: , u = v, , 0 leq u leq 1) kenarı (x = 0, , y = u^2)'ye dönüşür, yani bu kenar (B' ) ve ((0,0)) ve ((0,1)) birleşir.
  • (C: , 0 leq u leq 1, , v = 1) tarafı için (x = u^2 - 1, , y = u)'ye dönüşür (dolayısıyla (x = y) ^2 - 1) yani bu, parabolik yayın üst yarısını ((-1,0)) ve ((0,1)) birleştiren (C') kenarıdır.

(uv)-düzlemindeki üçgenin tüm bölgesindeki tüm noktalar, (xy)-düzlemindeki parabolik bölge içinde eşlenir.

Alıştırma (PageIndex{1})

Bir (T) dönüşümü (T(u,v) = (x,y)) olarak tanımlansın, burada (x = u + v, , y = 3v). (uv)-düzleminden (G = {(u,v) : , 0 leq u leq 1, , 0 leq v leq 2}) dikdörtgeninin görüntüsünü bulun (xy)-düzleminde bir (R) bölgesine dönüşümden sonra. (T)'nin bire bir dönüşüm olduğunu gösteriniz ve (T^{-1} (x,y))'yi bulunuz.

İpucu

Örnek (PageIndex{1B}) adımlarını izleyin.

Cevap

(T^{-1} (x,y) = (u,v)) burada (u = frac{3x-y}{3}) ve (v = frac{y}{3 })

tanımını kullanarak, biz var

[Delta A yaklaşık J(u,v) Delta u Delta v = left|frac{kısmi (x,y)}{kısmi (u,v)}sağ| Delta u Delta v.]

Jacobian'ın sıklıkla basitçe şu şekilde ifade edildiğine dikkat edin:

[J(u,v) = frac{kısmi (x,y)}{kısmi (u,v)}.]

Şuna da dikkat edin:

[ egin{vmatrix} dfrac{partial x}{partial u} & dfrac{partial y}{partial u} onumber dfrac{partial x}{partial v} & dfrac{partial y}{partial v} end{vmatrix} = left( frac{partial x}{partial u}frac{partial y}{partial v} - frac{partial x}{partial v} frac{partial y}{partial u}sağ) = egin{vmatrix} dfrac{partial x}{partial u} & dfrac{partial x}{ kısmi v} onumber dfrac{partial y}{partial u} & dfrac{partial y}{partial v} end{vmatrix} .]

Dolayısıyla (J(u,v) = frac{partial(x,y)}{partial(u,v)}) gösterimi, Jacobian determinantını (x)'in kısmileriyle yazabileceğimizi önerir. ilk satırda ve ikinci satırda (y)'nin kısmileri.

Örnek (PageIndex{2A}): Jacobian'ı Bulma

Örnek (PageIndex{1A})'de verilen dönüşümün Jacobian'ını bulun.

Çözüm

Örnekteki dönüşüm (T(r, heta) = ( r , cos , heta, , r , sin , heta)) şeklindedir, burada (x = r , cos , eta) ve (y = r , sin , eta). Böylece Jacobian

[J(r, heta) = frac{partial(x,y)}{partial(r, heta)} = egin{vmatrix} dfrac{partial x}{partial r} & dfrac{partial x}{partial heta} dfrac{partial y}{partial r} & dfrac{partial y}{partial heta} end{vmatrix} = aşlangıç{ vmatrix} cos heta & -rsin heta sin heta & rcos heta end{vmatrix} = r , cos^2 heta + r , sin^2 heta = r ( cos^2 eta + sin^2 eta) = r. umara yok]

Örnek (PageIndex{2B}): Jacobian'ı Bulma

Örnek (PageIndex{1B})'de verilen dönüşümün Jacobian'ını bulun.

Çözüm

Örnekteki dönüşüm (T(u,v) = (u^2 - v^2, uv)) şeklindedir, burada (x = u^2 - v^2) ve (y = uv) . Böylece Jacobian

[J(u,v) = frac{partial(x,y)}{partial(u,v)} = egin{vmatrix} dfrac{partial x}{kısmi u} & dfrac {kısmi x}{kısmi v} dfrac{kısmi y}{kısmi u} & dfrac{kısmi y}{kısmi v} end{vmatrix} = aşlangıç{vmatrix} 2u & -2v v & u end{vmatrix} = 2u^2 + 2v^2. umara yok]

Alıştırma (PageIndex{2})

Önceki kontrol noktasında verilen dönüşümün Jacobian'ını bulun: (T(u,v) = (u + v, 2v)).

İpucu

Önceki iki örnekteki adımları izleyin.

Cevap

[J(u,v) = frac{partial(x,y)}{partial(u,v)} = egin{vmatrix} dfrac{partial x}{kısmi u} & dfrac {partial x}{partial v} onumber dfrac{partial y}{partial u} & dfrac{partial y}{partial v} end{vmatrix} = egin{vmatrix} 1 & 1 umber 0 & 2 end{vmatrix} = 2]

Alıştırma (PageIndex{3})

(int_0^1 int_0^{sqrt{1-x^2}} (x^2 + y^2) dy , dx,) integralini düşünürsek (x = r ) değişkenlerinin değişimini kullanın , cos , heta) ve (y = r , sin , heta) ve elde edilen integrali bulun.

İpucu

Önceki örnekteki adımları izleyin.

Cevap

[int_0^{pi/2} int_0^1 r^3 dr , d heta]

Bir sonraki örnekte, entegre edeceğimiz bölgenin entegrasyon için uygun bir dönüşüm önerebileceğine dikkat edin. Bu yaygın ve önemli bir durumdur.

Örnek (PageIndex{4}): Değişkenleri Değiştirme

[iint_R (x - y) dy , dx,] integralini düşünün, burada (R), ((1,2), , (3,4), , () noktalarını birleştiren paralelkenardır. 4,3)), ve ((6,5)) (Şekil (PageIndex{7})). Değişkenlerde uygun değişiklikleri yapın ve elde edilen integrali yazın.

Çözüm

Öncelikle, entegre edeceğimiz bölgeyi anlamamız gerekiyor. Paralelkenarın kenarları (x - y + 1, , x - y - 1 = 0, , x - 3y + 5 = 0) ve (x - 3y + 9 = 0) şeklindedir (Şekil (PageIndex{8})). Onlara bakmanın başka bir yolu da (x - y = -1, , x - y = 1, , x - 3y = -5) ve (x - 3y = 9) şeklindedir.

Açıkça paralelkenar (y = x + 1, , y = x - 1, , y = frac{1}{3}(x + 5)) ve (y = ) çizgileriyle sınırlandırılmıştır. frac{1}{3}(x + 9)).

(u = x - y) ve (v = x - 3y) yaparsak, integral üzerindeki sınırların (-1 leq u leq 1) ve ( -9 leq v leq -5).

(x) ve (y) için çözmek için, ilk denklemi (3) ile çarparız ve ikinci denklemi çıkarırız, (3u - v = (3x - 3y) - (x - 3y) = 2 kere). Sonra (x = frac{3u-v}{2}) var. Ayrıca, sadece ikinci denklemi birinciden çıkarırsak, (u - v = (x - y) - (x - 3y) = 2y) ve (y = frac{uv}{2} elde ederiz. ).

Böylece dönüşümü seçebiliriz.

[T(u,v) = left( frac{3u - v}{2}, , frac{u - v}{2} sağ)] ve Jacobian (J(u, v)). Sahibiz

[J(u,v) = frac{partial(x,y)}{partial(u,v)} = egin{vmatrix} dfrac{partial x}{kısmi u} & dfrac {partial x}{partial v} dfrac{partial y}{partial u} & dfrac{partial y}{partial v} end{vmatrix} = aşlangıç{vmatrix} 3/ 2 & -1/2 onumber 1/2 & -1/2 end{vmatrix} = -frac{3}{4} + frac{1}{4} = - frac{1}{ 2} umara]

Bu nedenle, (|J(u,v)| = frac{1}{2}). Ayrıca, orijinal integrand olur

[x - y = frac{1}{2} [3u - v - u + v] = frac{1}{2} [3u - u] = frac{1}{2}[2u] = u. umara yok]

Bu nedenle, (T) dönüşümünün kullanılmasıyla, integral şu ​​şekilde değişir:

[iint_R (x - y) dy , dx = int_{-9}^{-5} int_{-1}^1 J (u,v) u , du , dv = int_{ -9}^{-5} int_{-1}^1left(frac{1}{2} ight) u , du , dv, onumber] ki bu hesaplaması çok daha basittir.

Alıştırma (PageIndex{4})

[iint_R frac{4}{(x - y)^2} dy , dx, onumber] integralinde değişkenlerde uygun değişiklikleri yapın; burada (R), ( çizgileriyle sınırlanan yamuktur x - y = 2, , x - y = 4, , x = 0) ve (y = 0). Elde edilen integrali yazın.

İpucu

Önceki örnekteki adımları izleyin.

Cevap

(x = frac{1}{2}(v + u)) ve (y = frac{1}{2} (v - u))

ve

[int_{2}^4 int_{-u}^u left(frac{1}{2} ight)cdotfrac{4}{u^2} ,dv , du. umara yok]

Değişkenlerin değişimi için bir problem çözme stratejisi vermeye hazırız.

Sonraki örnekte, integrali hesaplamayı çok daha basit hale getiren bir ikame buluyoruz.

Örnek (PageIndex{5}): Bir İntegrali Değerlendirmek

(u = x - y) ve (v = x + y) değişkenlerinin değişimini kullanarak, [iint_R (x - y)e^{x^2-y^2} dA integralini hesaplayın, ] burada (R), (x + y = 1) ve (x + y = 3) çizgileri ve (x^2 - y^2 = -1 eğrileri ile sınırlanan bölgedir. ) ve (x^2 - y^2 = 1) (Şekil (PageIndex{9})'deki ilk bölgeye bakın).

Çözüm

Daha önce olduğu gibi, önce (R) bölgesini bulun ve dönüşümü hayal edin, böylece dönüşümler yapıldıktan sonra integrasyon limitlerini elde etmek daha kolay olur (Şekil (PageIndex{9})).

(u = x - y) ve (v = x + y) verildiğinde, (x = frac{u+v}{2}) ve (y = frac{vu}{ var) 2}) ve dolayısıyla kullanılacak dönüşüm (T(u,v) = left(frac{u+v}{2}, , frac{vu}{2} ight)). (x + y = 1) ve (x + y = 3) satırları sırasıyla (v = 1) ve (v = 3) olur. (x^2 - y^2 = 1) ve (x^2 - y^2 = -1) eğrileri sırasıyla (uv = 1) ve (uv = -1) olur.

Böylece (S) bölgesini şu şekilde tanımlayabiliriz (ikinci bölge Figure (PageIndex{9})'e bakın)

[S = sol{ (u,v) | 1 leq v leq 3, , frac{-1}{v} leq u leq frac{1}{v}sağ}. umara yok]

Bu dönüşüm için Jacobian

[J(u,v) = frac{partial(x,y)}{partial(u,v)} = egin{vmatrix} dfrac{partial x}{kısmi u} & dfrac {partial x}{partial v} dfrac{partial y}{partial u} & dfrac{partial y}{partial v} end{vmatrix} = aşlangıç{vmatrix} 1/ 2 ve 1/2 -1/2 ve 1/2 end{vmatrix} = frac{1}{2}. umara yok]

Bu nedenle, (T) dönüşümünü kullanarak, integral şu ​​şekilde değişir:

[iint_R (x - y)e^{x^2-y^2} dA = frac{1}{2} int_1^3 int_{-1/v}^{1/v} ue^ {uv} du , dv. umara yok]

Değerlendirmeyi yapıyoruz,

[frac{1}{2} int_1^3 int_{-1/v}^{1/v} ue^{uv} du , dv = frac{2}{3e} yaklaşık 0,245. umara yok]

Alıştırma (PageIndex{5})

(x = v) ve (y = sqrt{u + v}) ikamelerini kullanarak (displaystyleiint_R y , sin (y^2 - x) ,dA, ) burada (R), (y = sqrt{x}, , x = 2) ve (y = 0) çizgileriyle sınırlanan bölgedir.

İpucu

Bir resim çizin ve entegrasyonun sınırlarını bulun.

Cevap

(frac{1}{2} (sin 2 - 2))

Farklı bir ikame ile başka bir örnek deneyelim.

Örnek (PageIndex{6B}): Değişkenlerin Değişimiyle Üçlü İntegrali Değerlendirmek

Üçlü integrali değerlendirin

[int_0^3 int_0^4 int_{y/2}^{(y/2)+1} left(x + frac{z}{3}sağ) dx , dy , dz ]

Dönüşümü kullanarak (xyz)-space'de

(u = (2x - y) /2, , v = y/2) ve (w = z/3).

Daha sonra (uvw)-space içinde uygun bir bölge üzerinden entegre edin.

Çözüm

Daha önce olduğu gibi, üzerinde entegrasyon gerçekleştirmemiz gereken (xyz)-space içindeki (G) bölgesinin bir tür taslağı, (uvw)-space () içindeki (D) bölgesinin tanımlanmasına yardımcı olabilir. Şekil (PageIndex{13})). Açıkça (xyz)-space'deki (G) (x = y/2, , x = (y/2) + 1, , y = 0, , y = 4 düzlemleriyle sınırlıdır) , , z = 0) ve (z = 4). Ayrıca dönüşümler için (u = (2x - y) /2, , v = y/2) ve (w = z/3) kullanmamız gerektiğini de biliyoruz. (x,y) ve (z) için çözmemiz gerekiyor. Burada (x = u + v, , y = 2v) ve (z = 3w) olduğunu buluruz.

Elementer cebiri kullanarak, (G) bölgesi için karşılık gelen yüzeyleri ve (uvw)-uzaydaki integrasyon limitlerini bulabiliriz. Bu denklemleri bir tabloda listelemek uygundur.

(D) bölgesi için (xyz) cinsinden denklemler(G) bölgesi için (uvw) içinde karşılık gelen denklemler(uvw) içindeki entegrasyon için sınırlar
(x = y/2)(u + v = 2v/2 = v)(u = 0)
(x = y/2)(u + v = (2v/2) + 1 = v + 1)(u = 1)
(y = 0)(2v = 0)(v = 0)
(y = 4)(2v = 4)(v = 2)
(z = 0)(3w = 0)(w = 0)
(z = 3)(3w = 3)(w = 1)

Şimdi dönüşüm için Jacobian'ı hesaplayabiliriz:

[J(u,v,w) = egin{vmatrix} dfrac{partial x}{partial u} & dfrac{partial x}{partial v} & dfrac{partial x}{ partial w} dfrac{kısmi y}{kısmi u} & dfrac{kısmi y}{kısmi v} & dfrac{kısmi y}{kısmi w} dfrac{ kısmi z}{partial u} & dfrac{partial z}{partial v} & dfrac{partial z}{partial w} end{vmatrix} = egin{vmatrix} 1 & 1 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 end{vmatrix} = 6. umber]

Entegre edilecek fonksiyon olur

[f(x,y,z) = x + frac{z}{3} = u + v + frac{3w}{3} = u + v + w.]

Artık her şeyi bir araya getirmeye ve sorunu tamamlamaya hazırız.

[egin{align*} int_0^3 int_0^4 int_{y/2}^{(y/2)+1} left(x + frac{z}{3}sağ) dx , dy , dz &= int_0^1 int_0^2 int_0^1 (u + v + w) |J (u,v,w)|du , dv , dw [4pt]
&= int_0^1 int_0^2 int_0^1 (u + v + w) |6|du , dv , dw [4pt]
&= 6 int_0^1 int_0^2 int_0^1 (u + v + w) , du , dv , dw [4pt]
&= 6 int_0^1 int_0^2 left[ frac{u^2}{2} + vu + wu ight]_0^1 , dv , dw [4pt]
&= 6 int_0^1 int_0^2 left(frac{1}{2} + v + usağ) dv , dw [4pt]
&= 6 int_0^1 left[frac{1}{2} v + frac{v^2}{2} + wv sağ]_0^2 dw[4pt]
&= 6 int_0^1 (3 + 2w), dw = 6Big[3w + w^2Big]_0^1 = 24. end{align*}]

Alıştırma (PageIndex{6})

(D), (1 leq x leq 2, , 0 leq xy leq 2) ve (0 leq z leq tarafından tanımlanan (xyz)-space'deki bölge olsun 1).

(iint_D (x^2 y + 3xyz) , dx , dy , dz)'yi (u = x, , v = xy) ve (w = 3z) dönüşümünü kullanarak değerlendirin .

İpucu

Bölgelerin her yüzeyi için bir tablo yapın ve örnekte gösterildiği gibi sınırlara karar verin.

Cevap

[int_0^3 int_0^2 int_1^2 left(frac{v}{3} + frac{vw}{3u}sağ) du , dv , dw = 2 + ln 8 ]

Anahtar kavramlar

  • Bir (T) dönüşümü, bir düzlemdeki (uzay) (G) bölgesini bir (R) bölgesine dönüştüren bir fonksiyondur. değişkenlerin değişmesiyle başka bir düzlemde (uzayda).
  • (T(u,v) = (x,y)) (veya (T(u,v,w) = (x,y,z) olarak tanımlanan bir (T: G ightarrow R) dönüşümü) )) aynı görüntü noktasına iki nokta eşleşmiyorsa, bire bir dönüşüm olduğu söylenir.
  • (f) (R) üzerinde sürekli ise, o zaman [iint_R f(x,y) dA = iint_S f(g(u,v), , h(u,v)) left |frac{partial(x,y)}{partial (u,v)}sağ| du , dv.]
  • (F) (R) üzerinde sürekli ise, o zaman [egin{align*}iint_R F(x,y,z) , dV &= iint_G F(g(u,v,w) ), , h(u,v,w), , k(u,v,w) left|frac{partial(x,y,z)}{partial (u,v,w)} ight| ,du , dv , dw. [4pt] &= iint_G H(u,v,w) |J(u,v,w)| , du , dv , dw. end{hiza*}]

[T] Lame ovaller (veya süperelipsler), (left(frac{x}{a} ight)^n + left( frac{y}{b} ight)^n = denklemlerinin düzlem eğrileridir. 1), nerede bir, b, ve n pozitif reel sayılardır.

bir. Sırasıyla (a = 1, , b = 2, , n = 4) ve (n = 6) için Lame ovalleriyle sınırlanan (R) bölgelerinin grafiğini oluşturmak için bir CAS kullanın.

b. Dairesel olarak da adlandırılan ve aşağıdaki şekilde grafiği verilen Lamé ovali (x^4 + y^4 = 1) ile sınırlanan (R) bölgesini birim diske eşleyen dönüşümleri bulun.

c. (x^4 + y^4 = 1) ile sınırlanan (R) bölgesinin (A (R)) alanının yaklaşıklığını bulmak için bir CAS kullanın. Cevabınızı iki ondalık basamağa yuvarlayın.

[T] Lame ovaller, tasarımcılar ve mimarlar tarafından sürekli olarak kullanılmaktadır. Örneğin, Kanadalı bir mimar olan Gerald Robinson, Ontario, Peterborough'daki bir alışveriş merkezinde, (left(frac{x}{a} ight)^ denkleminin üst elips şeklinde bir otopark tasarlamıştır. n + left( frac{y}{b}sağ)^n = 1) ile (frac{a}{b} = frac{9}{7}) ve (n = e ). (a = 900) yarda, (b = 700) yarda ve (n = 2.72) yarda durumunda otopark alanının yaklaşık bir değerini bulmak için bir CAS kullanın.

[Çözüm Gizle]

(A(R) simeq 83,999,2)

Bölüm İnceleme Alıştırmaları

Doğru ya da yanlış? Cevabınızı bir kanıt veya bir karşı örnekle gerekçelendirin.

[int_a^b int_c^d f(x,y) , dy , dx = int_c^d int_a^b f(x,y) , dy , dx]

Fubini teoremi, tüm değişkenlerde (f) sürekli olduğu sürece üç boyuta genişletilebilir.

[Çözüm gizle]

Doğru.

[int_0^{2pi} int_0^1 int_0^1 dz , dr , d heta] integrali bir dik koninin hacmini temsil eder.

(x = u^2 - 2v, , y = 3v - 2uv) için dönüşümün Jacobian'ı (-4u^2 + 6u + 4v) ile verilir.

[Çözüm Gizle]

Yanlış.

Aşağıdaki integralleri değerlendirin.

[iint_R (5x^3y^2 - y^2) , dA, , R = {(x,y)|0 leq x leq 2, , 1 leq y leq 4} ]

[iint_D frac{y}{3x^2 + 1} dA, , D = {(x,y) |0 leq x leq 1, , -x leq y leq x} ]

[Çözüm Gizle]

(0)

[iint_D sin (x^2 + y^2) dA] burada (D) başlangıç ​​[int_0^1 int_0^1 xye^ merkezli (2) yarıçaplı bir disktir {x^2} dx , dy]

[Çözüm Gizle]

(frac{1}{4})

[int_{-1}^1 int_0^z int_0^{x-z} 6dy , dx , dz]

[iiint_R 3y , dV,] nerede (R = {(x,y,z) |0 leq x leq 1, , 0 leq y leq x, , 0 leq z leq sqrt{9 - y^2}})

[Çözüm Gizle]

(1.475)

[int_0^2 int_0^{2pi} int_r^1 r , dz , d heta , dr]

[int_0^{2pi} int_0^{pi/2} int_1^3 ho^2 , sin(varphi) d ho , dvarphi, , d heta ]

[Çözüm Gizle]

(frac{52}{3} pi)

[int_0^1 int_{-sqrt{1-x^2}}^{sqrt{1-x^2}} int_{-sqrt{1-x^2-y^2}} ^{sqrt{1-x^2-y^2}} dz , dy , sx]

Aşağıdaki sorunlar için belirtilen alanı veya hacmi bulun.

Bir (r = cos (4 heta)) yaprağı tarafından çevrelenen bölgenin alanı.

[Çözüm Gizle]

(frac{pi}{16})

(z = 2x^2 + 2y^2) paraboloidi ile (z = 8) düzlemi arasında kalan cismin hacmi.

(x^2 + y^2 = 16) silindiriyle ve (z = 1) ile (z + x = 2) arasında sınırlanan katının hacmi.

[Çözüm Gizle]

(93.291)

Üst tarafı ((0,0,0.25)) ve merkezi ((0,0,0)) olan alt yarıçapı 1 olan iki küre arasındaki kesişimin hacmi.

Aşağıdaki problemler için bölgenin kütle merkezini bulunuz.

( ho(x,y) = xy) sadece ilk çeyrekte yarıçapı (1) olan daire üzerinde.

[Çözüm Gizle]

(sol(frac{8}{15}, frac{8}{15}sağ))

( ho(x,y) = (y + 1) sqrt{x}) (y = e^x, , y = 0) ve (x = 1) ile sınırlanan bölgede ).

( ho(x,y,z) = z) yarıçapı (2) ve yüksekliği (2) olan ters koni üzerinde.

(sol(0,0,frac{8}{5}sağ))

(z = sqrt{(x^2 + y^2)}) ve (z^2 + x^2 + y^2 = z'nin üstündeki katı tarafından verilen bir dondurma külahının hacmi ).

Aşağıdaki problemler Michigan eyaletindeki Mount Holly'yi inceliyor. Mount Holly, kayak merkezine dönüştürülmüş bir çöplüktür. Holly Dağı'nın şekline, yüksekliği (1100) ft ve yarıçapı (6000) ft olan dik dairesel bir koni ile yaklaşılabilir.

Holly Dağı'nı inşa etmek için kullanılan sıkıştırılmış çöpün ortalama yoğunluğu (400 , lb/ft^3) ise, dağı inşa etmek için gereken iş miktarını bulun.

[Çözüm Gizle]

(1.452 pi imes 10^{15} ) ft-lb

Gerçekte, Holly Dağı'nın altındaki çöpün, yukarıdaki çöpün tüm ağırlığı ile daha da sıkıştırılmış olması çok muhtemeldir. Yüksekliğe göre bir yoğunluk fonksiyonu düşünün: Dağın tepesindeki yoğunluk hala yoğunluktur (400, lb/ft^3) ve yoğunluk artar. Her (100) fit derinde yoğunluk iki katına çıkar. Holly Dağı'nın toplam ağırlığı nedir?

Aşağıdaki problemler, Dünya'nın katmanlarının sıcaklığını ve yoğunluğunu dikkate almaktadır.

[T] Dünyanın katmanlarının sıcaklığı aşağıdaki tabloda gösterilmektedir. Dünya'nın yarıçapı boyunca sıcaklığa (3) derecelik bir polinom uydurmak için hesap makinenizi kullanın. Sonra Dünya'nın ortalama sıcaklığını bulun. (İpucu: iç çekirdekte (0) ile başlar ve yüzeye doğru dışa doğru artar)

KatmanMerkezden derinlik (km)Sıcaklık (^oC)
kayalık kabuk0 ila 400
Üst Manto40 ila 150870
Örtü400 ila 650870
İç Manto650 ila 2700870
Erimiş Dış Çekirdek2890 - 51504300
İç çekirdek5150 ila 63787200

Kaynak: http://www.enchantedlearning.com/sub...h/Inside.shtml

[Çözüm Gizle]

(y = -1.238 imes 10^{-7} x^3 + 0.001196 x^2 - 3.666x + 7208); ortalama sıcaklık yaklaşık (2800 ^oC)

[T] Dünyanın katmanlarının yoğunluğu aşağıdaki tabloda gösterilmektedir. Hesap makinenizi veya bir bilgisayar programını kullanarak yoğunluğa en uygun ikinci dereceden denklemi bulun. Bu denklemi kullanarak Dünya'nın toplam kütlesini bulun.

KatmanMerkezden derinlik (km)Yoğunluk ((g/cm^3))
İç çekirdek012.95
Dış çekirdek122811.05
Örtü34885.00
Üst Manto63383.90
Kabuk63782.55

Kaynak: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu...rthstruct.html

Aşağıdaki problemler, ağırlık merkezlerini kullanarak hacmi hesaplamak için bir yöntem olan Pappus Teoremi ile ilgilidir (bir tazeleme için Momentler ve Kütle Merkezleri'ne bakın). Bir bölge (R) varsayarsak, (x) ekseni etrafında döndüğünüzde hacim (V_x = 2pi A ar{y}) tarafından verilir ve ( ekseni etrafında döndüğünüzde y)-ekseni hacim (V_y = 2pi A ar{x}) ile verilir, burada (A) (R) alanıdır. (x^2 + y^2 = 1) ile sınırlandırılmış ve (y = x + 1) üzerinde bir bölge düşünün.

Bölgeyi (x) ekseni etrafında döndürdüğünüzdeki hacmi bulun.

[Çözüm Gizle]

(frac{pi}{3})

Bölgeyi (y) ekseni etrafında döndürdüğünüzdeki hacmi bulun.

Sözlük

Jacobian

iki değişkendeki Jacobian (J (u,v)) bir (2 imes 2) determinantıdır:

[J(u,v) = egin{vmatrix} frac{kısmi x}{kısmi u} frac{kısmi y}{kısmi u} onumber frac{kısmi x}{ partial v} frac{partial y}{partial v} end{vmatrix};]

Jacobian (J (u,v,w)) üç değişkende bir (3 imes 3) determinantıdır:

[J(u,v,w) = egin{vmatrix} frac{partial x}{partial u} frac{partial y}{partial u} frac{partial z}{partial u} onumber frac{partial x}{partial v} frac{partial y}{partial v} frac{partial z}{partial v} onumber frac{ kısmi x}{partial w} frac{partial y}{partial w} frac{partial z}{partial w}end{vmatrix}]

bire bir dönüşüm
(T(u,v) = (x,y)) olarak tanımlanan bir (T : G ightarrow R) dönüşümünün, aynı görüntü noktasına iki nokta eşlenmiyorsa bire bir olduğu söylenir
düzlemsel dönüşüm
Bir düzlemdeki (G) bölgesini değişkenlerin değişmesiyle başka bir düzlemdeki (R) bölgesine dönüştüren (T) fonksiyonu
dönüşüm
Değişkenlerin değişmesiyle bir düzlemdeki GG bölgesini başka bir düzlemde RR bölgesine dönüştüren bir fonksiyon

MÜHENDİSLİK MATEMATİK 1 - MA6151

(MA6151) Gerçek bir matrisin öz değerleri ve öz vektörleri – Karakteristik denklem – Özdeğerlerin ve öz vektörlerin özellikleri. – Cayley-Hamilton Teoreminin ifadesi ve uygulamaları. – Matrislerin köşegenleştirilmesi – İkinci dereceden bir formun ortogonal dönüşümle kanonik forma indirgenmesi – İkinci dereceden formların doğası.

ÜNİTE II: SIRALAR VE SERİLER

Diziler: Tanım ve örnekler – Seriler. Türler ve Yakınsama – Pozitif terimler dizisi – Yakınsama testleri. Karşılaştırma testi, İntegral testi ve D'Alembert'in oran testi. – Değişen seriler – Leibnitz testi – Pozitif ve negatif terimler dizisi – Mutlak ve koşullu yakınsaklık.

ÜNİTE III: DİFERANSİYEL HESAPL UYGULAMALARI

Kartezyen koordinatlarda eğrilik – Eğriliğin merkezi ve yarıçapı. – Eğrilik çemberi – Evolütler – Zarflar – Normallerin zarfı olarak evrimleşir.

ÜNİTE IV: BİRÇOK DEĞİŞKENİN DİFERANSİYEL HESABI

Limitler ve Süreklilik – Kısmi türevler – Toplam türev – Kapalı fonksiyonların türevi – Jacobian ve özellikler: – İki değişkenli fonksiyonlar için Taylor serisi – İki değişkenli fonksiyonların maksimum ve minimumları – Lagrange belirsiz çarpanlar yöntemi.

ÜNİTE V: ÇOKLU ENTEGRALLER

Kartezyen ve kutupsal koordinatlarda çift katlı integraller. – İntegral sırasının değişimi – Düzlem eğrileri tarafından çevrelenen alan – Çift katlı integrallerdeki değişkenlerin değişimi – Eğri bir yüzeyin alanı – Üçlü integraller – Katıların Hacmi.


Matematik 2E 2014Bahar

Vektör değerli fonksiyonların diferansiyel ve integral hesabı. Çoklu integrallerde değişkenlerin değişimi, doğrusal ve yüzey integralleri, diverjans ve kıvrılma, Green, Gauss ve Stokes teoremleri. Ön koşul: 2D.

Hızlı İnceleme

Ders Programı

Sınavlar

  • Ara Sınav 1: 23 Nisan Çar. Ders saati. Bölüm 15.8-10 Bölüm 16.1, 2.
  • Ara Sınav 2: 14 Mayıs Çar. Ders saati. Bölüm 16.3 - 6.
  • Final Sınavı: Kümülatif. Bölüm 15.8-10 Bölüm 16.1-9
    Ders A: 9 Haziran Pazartesi, 10:30-12:30 Ders B: 11 Haziran Çarşamba, 1:30 - 15:30.

Lütfen öğrenci kimliğinizi getirin -- Öğrenci kimliğini ibraz edemezseniz sınava giremezsiniz. Ara Sınav ve Final Sınavları için mazeret yoktur.

Ödev ve Test

  • 15.2: 18, 30
  • 15.3: 16, 18, 24, 52
  • 15.7: 12, 14, 20, 34
  • 15.8: 10, 16, 18, 22, 24, 30
  • 15.9: 18, 20, 22, 26, 36, 40
  • 15.10: 8, 14, 16, 18, 24, 26
  • 16.1: 4, 6, 22, 24, 26, 36
  • 16.2: 4, 8, 12, 14, 16, 20, 22, 50
  • 16.3: 8, 12, 16, 18, 20, 30
  • 16.4: 4, 8, 10, 12, 14, 28
  • 16.5: 6, 8, 14, 20, 27, 29, 32, 33
  • 16.6: 20, 24, 34, 40, 46, 50, 62, 64
  • 16.7: 10, 18, 24, 28, 40, 48
  • 16.8: 6, 8, 14, 16, 18
  • 16.9: 8, 12, 14, 24, 26
  • 16.10: Doğru-Yanlış Testi, 2, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 24, 26, 28, 32, 34, 36

Ev ödevi problemlerinin cevabı burada bulunabilir.

Ödev toplanmayacak, ancak hepsini yapmanız gerekiyor. UNUTMAYIN: Ne kadar çok problem yaparsanız, materyali o kadar iyi anlarsınız. Öğrenciler ev ödevi setleri üzerinde birlikte çalışmaya teşvik edilir. Perşembe günkü tartışma oturumunda haftada yaklaşık bir bilgi yarışması yapılacaktır. Bir sınavda iki ila üç kısa soru vardır. Sınav problemleri, ödevdeki problemlerle aynı veya çok benzer olacaktır. Bu nedenle, bir öğrenci ödevde iyi bir girişimde bulunduysa, quizde de başarılı olmalıdır. En düşük iki quiz notu, final notu hesaplamasından düşülecektir.


MAC 3474 Başarılar Matematik 3 çevrimiçi: Ders Konuları ve HW

Seviye Tespit Sınavı 27 Ağustos Perşembe, 18:00-10:00 (çevrimiçi) arasındadır. Burada mevcuttur ve Canvas'ta açıktır. Okumak müfredat yerleştirme sınavının teslimi hakkında.Testi Canvas üzerinden yapmakla ilgili tüm sorunlar çözülmüş gibi görünüyordu. Resmi bölümde olmayan öğrenciler, Canvas üzerinden teste erişmek için en kısa sürede UF ID'lerini bana e-posta ile göndermelidir. Ancak yukarıdaki bağlantı saat 18.00'de etkinleştirilecek ve Canvas'ın işinize yaramaması durumunda çalışmanızı e-posta ile gönderebilirsiniz. E-postanızın saat 22'den önce gönderildiğinden emin olun (geç başvurular kabul edilmeyecektir). Yerleştirme testi için konular: temel fonksiyonlar ve özellikleri, türevlerin farklılaşma özelliklerini sınırlar uç değer problemleri Riemann integrali Kalkülüsün Temel Teoremi Temel integrasyon teknikleri (parçalara, ikamelere göre) diziler ve bir dizinin toplamının dizi limiti, kök, oran ve yakınsaklık için karşılaştırma testleri geometrik seriler kuvvet serileri Temel fonksiyonların temsili kuvvet serilerinin entegrasyonu ve türevleri. Bu konuları, örneğin Stewart'ın bir matematik ders kitabını (herhangi bir yeni baskı iyidir) veya benzerini kullanarak gözden geçirmek isteyebilirsiniz. Özellikle egzersiz bölümlerinden (ortalarından) bazı problemleri deneyin. Seviye belirleme sınavı problemlerinin büyük bir kısmı bunlara benzer olacaktır.. Çözümlü Yerleştirme Testi

Test 1, 14 Eylül Pazartesi, 19:00 - 21:00 (Tuval üzerinden başvuru). Ödev, Ders 1-6 konularını kapsayacaktır. Çözümlerle test 1
2. test, 21 Eylül Pazartesi, 19:00 - 22:00 (Tuval üzerinden başvuru). Ödev Bölüm 1'in konularını kapsayacaktır. Çözümlerle test 2
Test 3, 28 Eylül Pazartesi, 19-10 pm (Tuval üzerinden başvuru). Ödev, Dersler 10, 11, 12 ve 13'ü kapsar Çözümlerle test 3
Test 4, 5 Ekim Pazartesi, 19-10 pm (Tuval üzerinden başvuru). Ödev Bölüm 2'yi kapsıyor
Çözümlerle test 4
Test 5, 19 Ekim Pazartesi, 19-10 öğleden sonra (Tuval üzerinden başvuru). Test, Ders 16-22'yi kapsar.
Çözümlerle test 5
Test 6, 26 Ekim Pazartesi, 19-10 pm (Tuval üzerinden başvuru). Test Bölüm 3'ü kapsar.
Çözümlerle test 6
Test 7, 9 Kasım Pazartesi, 19-10 pm (Tuval üzerinden başvuru). Test, Dersler 26-31'i kapsar
Çözümlerle test 7
test 8, 23 Kasım Pazartesi, 19-10 öğleden sonra (Tuval üzerinden başvuru). Test Bölüm 4'ü kapsar (37 ve 40. bölümler hariç)
Çözümlerle test 8
Final Sınavı 14 Aralık Pazartesi saat 15.00'e kadar, Canvas ile gönderin
Çözümlü Final Sınavı

Bu dönem için UF öğretimi değerlendirme dönemi 24 Kasım – Aralık 6'dır. Çevrimiçi yapılır. Gatorlink kullanıcı adınızı ve şifrenizi kullanarak Değerlendirme Sayfasına giriş yapmalısınız. Lütfen bunu yapmayı unutmayın!

Ders kitabı: S.V. Shabanov, Matematikte Kavramlar III (2019)

Ders Konuları ve Ödevler

Bölüm 1: Vektörler ve Uzay Geometrisi

1. Hafta (31 Ağustos - 4 Eylül)

Ders 1: Bölüm 1. Uzayda dikdörtgen koordinatlar: Uzayda mesafe fonksiyonu. Uzaklık aksiyomları. Düz çizgiler ve düz çizgi parçaları. Dikey çizgi parçaları. İki doğru parçası arasındaki açı. Uzayda uçaklar. Alanlar ve hacimler. Dikdörtgen koordinatlar. Sayıların sıralı üçlüsü olarak uzaydaki noktalar. Koordinat uçakları.
Ders 2: Uzaklık formülü. Bir koordinat sisteminin ötelenmesi ve döndürülmesi. Uzayda nokta kümelerinin cebirsel açıklaması. Bir küre.
Önerilen Çalışma Problemleri: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6
Ödev, 1.11: 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 14, 17, 18, 19, 21, 23, 26, 27

Ders 3: Bölüm 2: Vektörler ve yönlendirilmiş segmentler. Sayıların üçlü sıralı olarak vektörler. Bir noktanın konum vektörü. Bir vektörün bileşenleri. İki vektörün eşitliği. Başlangıç ​​ve bitiş noktaları verilen bir vektörün bileşenlerinin hesaplanması. Bir vektörün normu (veya uzunluğu). Sıfır vektör. Bir vektörün bir sayı ile çarpımı. Paralel vektörler (vektörlerin paralel olması için cebirsel kriter). Birim vektör. Vektörlerin eklenmesi (vektör cebirinin kuralları). Vektör cebiri kurallarının geometrik yorumu. Paralelkenar kuralı.
Önerilen Çalışma Problemleri: 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5
Ödev, 2.5: 1-11, 13, 16, 17, 18-21, 23, 24

Ders 4: Bölüm 3:Nokta çarpımı ve cebirsel özellikleri. Nokta çarpımının geometrik önemi. İki vektör arasındaki açı. İki vektörün ortogonal olma kriteri. Bir vektörün ortogonal ayrıştırılması. Bir vektörün başka bir vektör üzerine skaler ve vektör izdüşümleri. Cauchy-Schwarz ve üçgen eşitsizlikleri. Yön açıları. Temel vektörler. Nokta çarpımının bazı uygulamaları: Bir nokta cismin çeşitli kuvvetlerin etkisi altındaki dengesi ve sabit bir kuvvetin yaptığı iş.
Önerilen Çalışma Problemleri:
3.1, 3.2, 3.3
Ev ödevi, 3.8:
1-5, 9-17, 25, 26, 28, 30

2. Hafta (8-11 Eylül)

ders 5: Bölüm 4: Bir kare matrisin determinantı. İki vektörün çapraz çarpımı. Çapraz çarpımın cebirsel özellikleri. Çift çapraz çarpım için bac-cab kuralı. Jacobi kimliği. Çapraz ürünün değişmemesi ve birleşmesi olmaması. Çapraz ürünün geometrik önemi. Paralelkenar ve üçgenin alanları. Sağ el kuralı. İki vektörün paralel olma kriteri. Çapraz çarpım uygulamaları: tork. Genişletilmiş katı bir nesnenin dengesi.
Önerilen Çalışma Problemleri: 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.6
Ödev, 4.6: 1-11, 15-17, 19, 21, 26, 27, 30

Ders 6: 5. Bölüm: Üçlü ürün. Üçlü ürünün geometrik önemi. Paralel yüzün hacmi. Üç vektörün eş düzlemli olma kriteri. Üçlü ürün uygulamaları. Uzayda iki nokta kümesi arasındaki mesafe. İki doğrunun paralel, kesişen veya çarpık olması için kriterler. İki eğik çizgi arasındaki mesafe.
Önerilen Çalışma Problemleri: 5.2, 5.3, 5.4,
Ödev, 5.5: 1-11, 13, 15, 18.

Ders 7: Bölüm 6: Uzayda uçaklar. Bir düzlemin geometrik açıklaması. Bir uçak için normal. Belirli bir normali olan ve belirli bir noktadan geçen bir düzlemin denklemi. Paralel uçaklar. İki düzlem arasındaki açı. Bir düzlem ve bir nokta arasındaki mesafe.
Önerilen Çalışma Problemleri: 6.1, 6.2, 6.3, 6.4
Ödev, 6.5: 1-3, 7-9, 11-16, 21-23

3. Hafta (14-18 Eylül)

Test 1 (akşam 7'de açılır ve akşam 9'da kapanır)

Ders 8: Bölüm 7: Uzaydaki çizgiler. Bir çizginin geometrik açıklaması. Belirli bir noktadan geçen ve belirli bir vektöre paralel olan bir doğrunun vektör, parametrik ve simetrik denklemleri. Bir nokta ve bir çizgi arasındaki mesafe. Bir doğrunun başka bir doğru, bir düzlem ve bir küre ile kesişimi. Uzayda düzlemlerin ve doğruların göreli konumları.
Önerilen Çalışma Problemleri: 7.2, 7.3
Ödev, 7.5: 2, 3, 5-7, 9-11, 14, 17, 18, 21, 23, 24, 26

Ders 9: 9. Bölüm: Dörtgen silindirler. Bir düzlemde koordinat sisteminin dönüşleri ve ötelemeleri. Kuadrik silindirler için sınıflandırma teoremi. Kuadrik yüzeyler. Genel bir ikinci dereceden denklem tarafından tanımlanan uzayda nokta kümeleri. Uzayda koordinat sisteminin rotasyonları ve ötelemeleri. İkinci dereceden denklemin standart formu. Kuadrik yüzeyler için sınıflandırma teoremi. Koordinat düzlemlerine göre kesitler aracılığıyla ikinci dereceden yüzeylerin grafiklenmesi. Kaydırılmış kuadrik yüzeyler.
Önerilen Çalışma Problemleri: 9.1, 9.2, 9.3, 9.4
Ev ödevi, 9.6: 1-15, 18, 19, 24, 25, 28, 31

Bölüm 2: Vektör Fonksiyonları

Ders 10: Bölüm 10: Uzayda eğriler ve vektör fonksiyonları. Bir vektör fonksiyonunun tanımı.
Bir vektör fonksiyonunun etki alanı ve aralığı. Bir vektör fonksiyonunun limitleri ve sürekliliği. Sürekli grafiği
vektör fonksiyonu. Uzayda sürekli vektör fonksiyonları ve eğriler. Parametrik eğriler. basit parametrik
eğri. Uzayda ayarlanmış bir nokta olarak bir eğri.
Önerilen çalışma sorunları: 10.1, 10.2, 10.3, 10.4, 10.5, 10.6
Ev ödevi, 10.5: 3, 4, 11, 12, 14, 15, 17, 18, 22, 23, 27, 30, 34, 38, 42-44

4. Hafta (21-25 Eylül)

09.21M, Test 2 (Akşam 7'de açılır ve Kanvas üzerinden 22'de kapanır). Test Bölüm 1'i kapsar (Bölüm 8 hariç)

Ders 11, Bölüm 11: Vektör fonksiyonlarının türevi. Türevin tanımı.
Temel farklılaşma kuralları. Türevin geometrik önemi. Teğet çizgisi
ve bir eğrinin birim teğet vektörü. Normal uçak. Düzgün parametrik eğriler.
Uzayda bir nokta olarak düzgün eğriler. Belirli bir uzay eğrisinin düzgün olup olmadığının doğrulanması.
Önerilen Çalışma Problemleri: 11.1, 11.2, 11.3
Ev ödevi, 11.5: 4-6, 8, 11, 12, 15, 16, 19, 21, 23, 26, 31, 32

Ders 12, Bölüm 12: Vektör fonksiyonlarının entegrasyonu. Bir vektör fonksiyonunun belirli integrali.
Bir vektör fonksiyonunun belirsiz integrali. Vektör fonksiyonları için hesabın temel teoremi.
Uzayda harekete uygulama. Newton'un hareket denklemlerinden yörüngenin yeniden yapılandırılması.
Sabit bir kuvvet altında hareket. Sabit bir yerçekimi kuvveti altında hareketin yörüngesi.
Önerilen Çalışma Problemleri: 12.1, 12.2, 12.3
Ödev, 12.4: 3-9, 13, 18, 21, 22

Ders 13, Bölüm 13: Bir eğrinin yay uzunluğu.
Riemann integrali yoluyla düzgün bir eğrinin yay uzunluğu. Bir uzay eğrisinin yeniden parametreleştirilmesi. Doğal parametreleştirme
bir uzay eğrisi.
Önerilen Çalışma Problemleri: 13.1
Ev ödevi, 13.4: 4, 5, 7-9, 11, 14, 17, 20, 22, 23, 24

5. Hafta (28 Eylül-2 Ekim)

09.28M, Test 3 (Akşam 7'de açılır ve Kanvas üzerinden 22'de kapanır). Test Bölüm 10, 11, 12 ve 13'ü kapsar

Ders 14, Bölüm 14: Düzgün bir eğrinin eğriliği. eğriliğin değerlendirilmesi
pürüzsüz bir uzay eğrisinin izini süren bir vektör fonksiyonunun türevleri aracılığıyla.
Düzlemsel bir eğrinin eğriliği. Grafiğin eğriliği.
Eğriliğin geometrik önemi. Eğrilik yarıçapı. Oskülatör uçak.
Oskülatör daire.
Önerilen Çalışma Problemleri:14.1, 14.2, 14.3, 14.4, 14.5
Ev ödevi, 14.3:3, 5, 7, 9-11, 12, 14, 15-17, 20, 24, 27, 30, 33, 35.

Ders 15, Bölüm 15: Bir uzay eğrisine birim normal ve binormal vektörler.
burulma. Frenet-Serret denklemleri. Bir uzay eğrisinin şekli. Sabit eğrilik ve burulma ile eğriler.
Önerilen Çalışma Problemleri:15.1, 15.2, 15.3, 15.4, 15.5
Ödev, 15.4:3, 8, 10-14, 17, 18, 22

Bölüm 3: Çok Değişkenli Fonksiyonların Farklılaşması

Ders 16, Bölüm 16, 17: Birkaç değişkenli fonksiyonlar. Alan adı. Aralık. Bir fonksiyonun grafiği
iki değişkenden Seviye setleri. İki değişkenli bir fonksiyonun kontur haritası. Düz yüzeyler
üç değişkenli bir fonksiyonun Öklid uzayının bir alt kümesinin sınır noktaları.
Birkaç değişkenli bir fonksiyonun limitinin tanımı. Birkaç değişkenli bir fonksiyonun sürekliliği.
Ödev, 16.6: 4, 8, 10, 11, 12, 15, 17, 18, 22, 24, 27, 33-36, 37, 41, 45

6. Hafta (5-9 Ekim)

10.05M, Test 4 (Akşam 7'de açılır ve Kanvas üzerinden 22'de kapanır). Test Bölüm 2'yi kapsar

Ders 17, Bölüm 17, 18: Temel limit yasaları. Sıkma prensibi.
Sürekli fonksiyonların özellikleri (toplamların sürekliliği, çarpımlar ve sürekli fonksiyonların oranları
fonksiyonlar). Kompozisyonun sürekliliği. Polinom ve rasyonel fonksiyonların sürekliliği.
Bir sınır noktasına sürekli uzatma. Limitleri incelemek için genel bir strateji. Süreklilik argümanı.
Kompozisyon kuralı. Eğriler boyunca sınırlar. Çok değişkenli bir limitin olmaması için kriter.
Tekrarlanan limitler Düz çizgiler ve güç eğrileri boyunca sınırlar.
Sonsuzda limitler ve sonsuz limitler.
Önerilen Çalışma Problemleri: 17.1
Ev ödevi, 17.7: 1-3, 6-8, 10, 11, 15, 16, 17, 21, 23-25
Önerilen Çalışma Problemleri: 18.1, 18.2, 18.3, 18.4,
Ödev, 18.7: 1-3, 5, 6, 7, 10, 13, 15, 16, 19, 22, 24, 26, 27, 30

ders 18, Bölüm 19, 20: Kısmi türevler. Bir noktada birkaç değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevlerinin tanımı.
Fonksiyonun değişim oranları olarak kısmi türevlerin geometrik önemi
koordinat eksenleri boyunca bir nokta. Fonksiyon olarak kısmi türevler. Temel farklılaşma kuralları. Yüksek mertebeden kısmi türevler. Karışık türevler. Clairaut’s teoremi. Kısmi türevlerinden bir fonksiyonun yeniden yapılandırılması. Bütünleştirilebilirlik koşulları. Kısmi diferansiyel denklemler. Kısmi diferansiyel denklemin çözümü. Örnek: Dalga denklemi.
Ev ödevi, 19.4: 1-3, 6,7, 8-14, 22, 23, 25, 28
Önerilen Çalışma Problemleri: 20.1, 20.2
Ev ödevi, 20.4: 1, 3, 6, 7, 9, 12, 21-24, 26-28, 30, 33, 34, 39, 40-42, 44

Ders 19, Bölüm 21: Tek değişkenli bir fonksiyona iyi bir doğrusal yaklaşım ve fonksiyonun türevlenebilirliği. Birkaç değişkenli bir fonksiyona iyi bir doğrusal yaklaşım. Çok değişkenli bir fonksiyonun türevlenebilirliği. Süreklilik ve türevlenebilir bir fonksiyonun kısmi türevlerinin varlığı. Çok değişkenli fonksiyonlar için türevlenebilirlik, süreklilik ve kısmi türevlerin varlığı arasındaki ilişkiler. Bir noktada türevlenebilir bir fonksiyonun doğrusallaştırılması. İki değişkenli bir fonksiyonun grafiğine teğet düzlem. Teğet düzlem yaklaşımı.
Önerilen Çalışma Problemi: 21.1
Ödev, 21.6: 1-11, 14, 17, 19, 21-28.

7. Hafta (12-16 Ekim)

Ders 20, Bölüm 22: Zincir kuralları. Birkaç değişkenli fonksiyonların bileşimi. Bir eğri boyunca iki değişkenli bir fonksiyonun değişim oranı için basit zincir kuralı. Türevlenebilirlik ve zincir kuralı. Birkaç değişkenli fonksiyonlar için genel zincir kuralı. Örtülü olarak tanımlanan işlevler. Örtülü farklılaşma. Kapalı fonksiyon teoremi.
Önerilen Çalışma Problemi: 22.1
Ödev: 1-6, 11, 12, 18, 20, 23, 25, 28, 31, 33, 35-41.

Ders 21, Bölüm 23: Diferansiyel ve Taylor polinomları. Diferansiyel ve geometrik önemi. Bir fonksiyonun lineerleştirilmesi ve diferansiyeli. Uygulama: Hata analizi. Doğrusal yaklaşımın doğruluğu. Çok değişkenli fonksiyonların yüksek mertebeden diferansiyelleri ve Taylor polinomları.
Önerilen Çalışma Problemi: 23.1, 23.2
Ödev: 1-4, 8-11, 13-15, 18-20, 23, 27-29, 31-33, 38, 39.

Ders 22, Bölüm 24: Yönlü türev ve önemi. Gradyan. Türevlenebilir bir fonksiyonun bir noktadaki gradyanı ile fonksiyonun o noktadaki yönlü türevi arasındaki ilişki. İki değişkenli bir fonksiyonun seviye kümelerinin düzgün eğriler olduğu koşullar. Üç değişkenli bir fonksiyonun seviye kümelerinin düz yüzeyler olduğu koşullar. Gradyanın geometrik özellikleri. Bir noktada düz bir yüzeye teğet düzlem ve normal çizgi. Bir seviye eğrisine teğet ve normal çizgiler.
Önerilen Çalışma Problemleri: 24.1, 24.2, 24.3
Ödev: 1, 2, 4, 5, 6, 11, 14, 15, 16, 23-26, 30, 31, 34, 35, 41, 42, 44, 45, 46, 52

8. Hafta (19-23 Ekim)

10.19M, Test 5 (Akşam 7'de açılır ve Kanvas üzerinden 22'de kapanır). Test, Bölüm 3'ün 16-24 Bölümlerini kapsar

Ders 23, Bölüm 25: Çok değişkenli bir fonksiyonun minimum ve maksimum değerleri. Mutlak ve yerel maksimumlar ve minimumlar. Kritik noktalar. Eyer noktası. İki değişkenli fonksiyonlar için ikinci türev testi.
Önerilen Çalışma Problemleri: 25.1, 25.2, 25.3, 25.4, 25.5
Ödev, 25.6: 1, 2, 6-16, 28.

Ders 24, Bölüm 26: İkiden fazla değişkenli fonksiyonlar için ikinci türev testi. İkinci türev testi sonuçsuz olduğunda kritik bir noktanın yakınında bir fonksiyonun yerel davranışını incelemek için Taylor polinomlarının kullanılması. Bir kümedeki bir fonksiyonun uç değerleri. Aşırı değer teoremi. Ara değer teoremi.
Önerilen Çalışma Problemleri: 26.1, 26.2
Ödev, 26.6: 1-5, 13-19, 26-30.

Ders 25, Bölüm 27: Kısıtlamalara tabi bir fonksiyonun uç değerleri. Lagrange çarpanları yöntemi. Birkaç değişkenli fonksiyonlar için bir kısıtlama durumu. Çok değişkenli fonksiyonlar için iki ve daha fazla kısıtlama durumu. Bir kısıtlamaya tabi bir fonksiyonun yerel uç değerleri.
Önerilen Çalışma Problemleri: 27.1, 27.2
Ödev, 27.6: 1, 3-6, 8, 9, 11, 12, 25, 26, 28, 31, 32

9. Hafta (26-30 Ekim)

Test 6 (Akşam 7'de açılır ve Kanvas üzerinden 22'de kapanır). Test Bölüm 3'ü kapsar.

Bölüm 4: Çoklu integraller

Ders 26, Bölüm 28: Hacim problemi ve çift katlı integralin sezgisel fikri. Sınırlı bir bölgenin dikdörtgen bölümü. Sınırlı bir fonksiyon için üst ve alt toplamlar. Sınırlı bir kapalı bölge üzerinde sınırlı bir fonksiyonun çift katlı integralinin tanımı. Bütünlük ve süreklilik. İntegral edilemeyen bir fonksiyon örneği. Riemann toplamları. İntegral edilebilir bir fonksiyon için Riemann toplamlarının yakınsaklığı. Bir Riemann toplamı ile bir çift katlı integralin yaklaşımı.
Ödev, 28.6: 2, 3, 6, 10, 11, 12, 13, 17, 18

Ders 27, Bölüm 29 ve 30: Çift katlı integralin özellikleri: doğrusallık, düzlemsel bölgenin alanı, toplamsallık, pozitiflik, üst ve alt sınırlar, integral ortalama değer teoremi, mutlak değerin integrallenebilirliği, bölünmeden bağımsız (teorem). Yinelenen çift katlı integraller. Bir dikdörtgen üzerinde çift katlı integraller. Fubini'nin teoremi. Çift katlı integralin çarpanlara ayrılması.
Önerilen Çalışma Problemi: 30.1
Ödev, 29.1: 4-8, 10, 12, 15 30.3: 1-10, 16, 17, 21

Ders 28, Bölüm 31: Genel bölgeler üzerinde çift katlı integraller. Basit bölgeler. Yatay ve dikey basit bölgeler üzerinde yinelenen integraller. Yinelenen bir çift katlı integralde entegrasyon sırasını tersine çevirme. Çift katlı integrali hesaplamak için integralin simetrilerinin kullanılması.
Önerilen Çalışma Problemleri: 31.1, 31.2
Ödev, 31.6: 1-17, 21, 22, 24-26, 29-35, 39-42

10. Hafta (2-6 Kasım)

Ders 29, Bölüm 32: Kutupsal koordinatlarda çift katlı integraller. Entegrasyonda kutupsal koordinatlar. Bir bölgenin kutupsal koordinatların koordinat eğrileriyle bölünmesi. Alan elemanının dönüşümü. Kutupsal koordinatların Jacobian'ı. Çift katlı integralleri değerlendirmek için kutupsal koordinatların kullanımı.
Önerilen Çalışma Problemi: 32.1
Ödev, 32.5: 1-4, 9-11, 17-20, 27-29, 34-39

Ders 30, Bölüm 33: Çift katlı integrallerde değişkenlerin değişimi. Dönüşümler. Jacobian bir dönüşümün. Değişkenlerin değişimi. Koordinat eğrileri. Değişken değişimi altında alan dönüşümü. Entegrasyon bölgesini basitleştirmek için değişken değişiminin kullanılması.
Önerilen Çalışma Problemi: 33.1
Ödev, 33.5: 7-9, 11-14, 19-23.

Ders 31, Bölüm 34: Üçlü integraller. Üç katlı integralin tanımı. Üçlü integralin yinelenen bir integrale indirgenmesi. Fubini'nin teoremi. Simetri kullanımı.
Önerilen Çalışma Problemleri: 34.1, 34.2
Ödev, 34.6: 1-4, 7, 8, 12, 13, 18, 21, 22-24, 32

11. Hafta (9-13 Kasım)

11/09A, Test 7 (Akşam 7'de açılır ve Kanvas üzerinden 22'de kapanır). Test, Dersler 26-31'i kapsar

Ders 32, Bölüm 35: Küresel koordinatlarda üçlü integral. Küresel koordinatlar. Küresel koordinatların koordinat yüzeyleri. Küresel koordinatların Jacobian'ı. Küresel koordinatlarda üçlü integral. Üçlü integralleri değerlendirmek için küresel koordinatların kullanımı.
Önerilen Çalışma Problemi: 35.1
Ödev, 35.6: 4-13, 18-25, 30, 31

Ders 33, Bölüm 35: Silindirik koordinatlarda üçlü integral. Silindirik koordinatlar. Silindirik koordinatların koordinat yüzeyleri. Silindirik koordinatların koordinat yüzeylerine göre bir bölgenin bölünmesi. Hacim elemanının dönüşümü. Silindirik koordinatların Jacobian'ı. Silindirik koordinatlarda üçlü integral.
Önerilen Çalışma Problemi: 35.1
Ödev, 35.6: 4-13, 18-25, 30, 31

Ders 34, Bölüm 36: Üç katlı integrallerde değişkenlerin değişimi. Jacobian. Değişkenlerin değişimi. Koordinat yüzeyler. Değişkenlerin değişimi altında hacim dönüşümü. Eğrisel koordinatlarda üçlü integraller. Entegrasyon bölgesini basitleştirmek için değişken değişiminin kullanılması.
Önerilen Çalışma Problemi: 36.1
Ödev, 36.3: 1-3, 6-8, 13, 14, 15

12. Hafta (16-20 Kasım)

Bölüm 37 (İzin verilen süre): Uygun olmayan çoklu integraller. Bir entegrasyon bölgesinin tükenmesi. Sınırlı bölgeler üzerinde uygun olmayan çoklu integraller. Sınırsız bölgeler üzerinde uygun olmayan çoklu integraller. Sınırsız bölgelerin alanları ve hacimleri. Bütünleştirilebilirlik testleri.
Önerilen Çalışma Problemi: 37.1
Ev ödevi, 37.6: 1-3, 6, 7, 11-14, 16, 27, 28

Ders 35, Bölüm 38: Düzgün bir eğri boyunca bir fonksiyonun çizgi integrali.
Ödev, 38.3: 1-5, 9, 18, 19.

Ders 36, Bölüm 38: Sürekli kısmi türevli bir fonksiyonun grafiği ile tanımlanan pürüzsüz bir yüzeyin yüzey alanı.
Ödev, 38.3:
1-5, 9, 18, 19.

Ders 37, Bölüm 39: Sürekli kısmi türevli bir fonksiyonun grafiği ile tanımlanan pürüzsüz bir yüzey üzerinde bir fonksiyonun yüzey integrali.
Ödev, 39.5: 1-10

Bölüm 40 (İzin verilen süre): Çoklu integral uygulamaları: Genişletilmiş nesnelerin eylemsizlik momentleri ve kütle merkezi.
Önerilen Çalışma Problemi: 40.1, 40.2, 40.3
Ev ödevi, 40.3: 2-4, 7, 9, 11, 18, 22, 23, 25, 32, 34

13. Hafta (23-27 Kasım)

11/23M, Test 8 (Akşam 7'de açılır ve Kanvas üzerinden 22'de kapanır). Test Bölüm 4'ü kapsar (37 ve 40. bölümler hariç)

Bölüm 5: Vektör Analizi

Ders 38, Bölüm 41: Vektör alanları. Bir vektör alanının akış çizgileri. Bir vektör alanının çizgi integrali. Muhafazakar vektör alanı.
Önerilen Çalışma Problemi: 41.1.
Ödev, 41.6: 1-4, 9-11, 16, 17-25.

Ders 39, Bölüm 42: Çizgi integralleri için temel teorem. Bir vektör alanının yoldan bağımsız özelliği. Bir vektör alanının kıvrılması. Düzlemsel bölgelerin sınıflandırılması. Bağlı ve basit bağlantılı bölgeler. Bir vektör alanının muhafazakar olup olmadığını test edin.
Önerilen Çalışma Problemleri: 42.1, 42.2
Ödev, 42.6: 1-5, 9-11, 17-19.

14. Hafta (30 Kasım – Aralık 4)

Ders 40, Bölüm 43: Green'in teoremi. Green’s teoreminin çift katlı ve çizgi integrallerini düzlemsel eğriler üzerinde değerlendirmek için uygulamaları. Düzgün kapalı bir parametrik eğri ile sınırlanan bir bölgenin alanı.
Önerilen Çalışma Problemleri: 43.1, 43.2, 43.3
Ödev, 43.5: 3-6, 9 12, 13, 16, 17, 18, 21, 24

Ders 41, Bölüm 44: Yönlendirilebilir yüzeyler. Bir yüzeyin oryantasyonu. Yönlendirilmiş bir yüzey boyunca bir vektör alanının akışı. Bir grafikle temsil edilen bir yüzey boyunca akının değerlendirilmesi.
Ev ödevi, 44.5: 1-5, 8-13, 15, 18

Ders 42, Bölüm 46: Green's teoreminin başka bir vektör formu. Bir vektör alanının diverjansı. Diverjans teoremi. Yüzey integrali olarak katı bir bölgenin hacmi. Bir vektör alanının akışını değerlendirmek için diverjans teoreminin kullanımı. Akı integralinde yüzeyin deformasyonu. Bir vektör alanının diverjansının geometrik önemi.
Önerilen Çalışma Problemi: 46.1
Ödev, 46.6: 2, 6, 7, 13, 14, 18-26, 32, 33.

15. Hafta (7-9 Aralık)

Ders 43, Bölüm 45: Green’s teoreminin vektör formu. Bir vektör alanının çizgi integrali ile vektör alanının kıvrımının akı arasındaki ilişki (Stokes’ teoremi). Kapalı bir eğri boyunca çizgi integrallerini değerlendirmek için Stokes's 8217 teoreminin kullanılması. Bir vektör alanının kıvrılmasının geometrik önemi. Çizgi integralinde eğrinin deformasyonu.
Önerilen Çalışma Problemi: 45.1
Ödev, 45.7: 1, 4-7, 9, 10, 14, 17, 19.


Fraksiyonel integrasyon H-birkaç değişkenin işlevi ☆

Bu makalenin ana amacı, çok değişkenin kesirli entegrasyonu için bir dizi anahtar formül türetmektir. H-fonksiyon (Mellin-Barnes tipinde bir çoklu çevre integrali ile tanımlanır). Genel Euler integral formüllerinin (bu yazıda elde edilen) her birinin, çeşitli değişkenlerin genelleştirilmiş hipergeometrik fonksiyonlarının çeşitli aileleri için ilginç yeni sonuçlar verdiği gösterilmiştir. Anahtar formüllerin bu uygulamalarından bazıları, kesirli hesap teorisinde bilinen sonuçların potansiyel olarak yararlı genellemelerini sağlayacaktır.


Departman Detayları

Matematik Bölümü, öğrencilerin Mühendislik becerilerine yönelik Matematiksel uygulamaların yanı sıra yüksek öğrenim ve araştırma ihtiyaçlarını karşılayan dersler aracılığıyla güçlü bir Matematiksel temel sağlamak amacıyla 2008 yılında kurulmuştur. Hem akademik hem de profesyonel yaşamda kullanılabilecek paha biçilmez bilgileri vermek için kendini adamış, deneyimli ve enerjik öğretim üyelerine sahibiz. Halen bölümde bir Doçent ve beş Yardımcı Doçent bulunmaktadır. Fakültelerimiz, öğretim ve araştırma faaliyetleri alanlarında liderdir. Bölümün tanınmış ulusal/uluslararası dergilerde 12'den fazla araştırma yayını bulunmaktadır. Bölüm, öğrencilerin anlama ve problem çözme becerilerini geliştirmek için çeşitli yenilikçi teknikler benimsemektedir.

Dr. M. Ajith Rao

atama : Doçent
Vasıf : B.Sc. M.Sc., M.Phil., Ph.D.

Sashma C.H.

atama : Asistan. Profesör
Vasıf : Lisans, B.Ed. Yüksek Lisans, M.Ed.

Bayan Prabha

atama : Asistan. Profesör
Vasıf : B.Sc. Yüksek Lisans

Padmanbha Kamath

atama : Doçent
Vasıf : Lisans, Yüksek Lisans

Bölüm, Ulusal Matematik Günü'nü kutladı - 2018 0n 22 Aralık 2018

1 inci Dönem:

Ders Adı : Matematik ve Lineer Cebir

Öğretim Saati/hafta (L-T-P) : 3-2-0

Kurs Öğrenme Hedefleri: Bu ders Matematik ve Lineer Cebir (18MAT11) öğrencilere olanak sağlayacaktır:

1. Tüm mühendislik dallarında önemli olan kalkülüs ve diferansiyel denklem araçlarını tanımak.

2. Matrisler ve lineer cebir bilgisini kapsamlı bir şekilde geliştirmek

Modül Adı

Açıklama

Temel hesabın tekrarı, Kutup eğrileri - yarıçap vektörü ile teğet arasındaki açı, iki eğri arasındaki açı, pedal denklemi. Eğrilik ve eğrilik yarıçapı- Kartezyen ve kutupsal formlar (kanıtsız). Eğrilik merkezi ve çemberi (yalnızca formüller) ve evrim ve içe dönüşler için uygulamalar.

Bir değişken için Taylor&rsquos ve Maclaurin&rsquos serisi açılımları (yalnızca ifadeler), belirsiz formlar- L&rsquoHospital&rsquos kuralı. Kısmi türev alma Toplam türevler-bileşik fonksiyonların türevlenmesi. İki değişkenli bir fonksiyon için maksimum ve minimum Bir yardımcı koşullu Lagrange çarpanları yöntemi. Açıklayıcı örneklerle maksimum ve minimum uygulamaları.

Çoklu integraller: İkili ve üçlü integrallerin değerlendirilmesi. Çift katlı integrallerin değerlendirilmesi- entegrasyon sırasının değiştirilmesi ve kutupsal koordinatlara dönüşmesi. Alan, hacim ve ağırlık merkezi bulma uygulamaları.

Beta ve Gama fonksiyonları: tanımlar, Beta ve gama fonksiyonları arasındaki ilişki ve basit problemler.

Birinci dereceden adi diferansiyel denklemler(ODE&rsquos)

Tam ve tam diferansiyel denklemlere indirgenebilir. Bernoulli'nin denklemi. ODE'nin ortogonal yörüngeleri, Newton'un soğutma yasası ve L-R devrelerinin uygulamaları.

Doğrusal olmayan diferansiyel denklemler: Genel ve tekil çözümlere giriş Yalnızca p için çözülebilir Clairaut&rsquos ve yalnızca Clairaut&rsquos denklemine indirgenebilir.

Temel Lineer Cebir

Bir matris-kademe formunun sıralaması. Lineer denklem sisteminin çözümü ve tutarlılık. Gauss-eliminasyon yöntemi, Gauss &ndashJordan yöntemi ve Gauss-Seidel yöntemi. Öz değerler ve öz vektörler- Rayleigh's güç yöntemi. İkinci dereceden bir kare matrisin köşegenleştirilmesi.

Ders Çıktıları (CO'lar):

Bu dersin sonunda öğrenci,

1. Kutupsal eğrilerle ilgili problemleri çözmek için kalkülüs bilgisini ve eğrinin bükülgenliğini belirlemedeki uygulamalarını uygular.

2. Çok değişkenli fonksiyonların değişim oranlarını hesaplamak ve bileşik fonksiyonlar ve Jacobian ile ilgili problemleri çözmek için kısmi türev kavramını öğrenin.

3. Birden çok integrali ve bunların alan ve hacimleri hesaplamadaki kullanımlarını değerlendirmek için integral ve değişkenlerin sırası değişikliği kavramını uygular.

4. Birinci mertebeden lineer/lineer olmayan diferansiyel denklemleri standart yöntemler kullanarak analitik olarak çözün.

5. Lineer denklem sistemlerini çözmek için matris teorisini kullanır ve matris köşegenleştirme işlemi için gerekli öz değerleri ve öz vektörleri hesaplar.

1. B.S. Grewal: Yüksek Mühendislik Matematiği, Khanna Publishers, 43. Baskı, 2015.

2. E. Kreyszig: Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Sons, 10. Baskı (Yeniden Basım), 2016.

Referans kitapları:

1. C.Ray Wylie, Louis C.Barrett: &ldquoAdvanced Engineering Mathematics", 6. Baskı, McGraw-Hill Book Co., New York, 1995.

2. N.P.Bali and Manish Goyal: A Text Book of Engineering Mathematics, Laxmi Publishers, 7. Baskı, 2010.

3. B.V.Ramana: "Yüksek Mühendislik Matematiği" 11. Baskı, Tata McGraw-Hill, 2010.

4. Veerarajan T.,&rdquo Engineering Mathematics for First Year”, Tata McGraw-Hill, 2008.

5. Thomas G.B. ve Finney R.L.&rdquoCalculus and Analytical Geometry&rdquo9th Edition, Pearson, 2012.

Web bağlantıları ve Video Dersler:

2. yarıyıl

Ders Adı : İleri Matematik ve Sayısal Yöntem

Öğretim Saati/hafta (L-T-P) : 3-2-0

Kurs Öğrenme Hedefleri: Kursun amacı 18MAT21 vektör hesabı, adi ve kısmi diferansiyel denklemler, sonsuz seriler ve sayısal yöntemlerin somut temelleri ile öğrencilerin bu matematiksel araçlar hakkında bilgi sahibi olmalarını sağlamaktır.

Modül Adı

Açıklama

Vektör Farklılaşması: Skaler ve vektör alanları. Gradyan, yönlü türev curl ve diverjans-fiziksel yorumlama solenoid ve irrotasyonel vektör alanları- Örnek problemler.

Vektör İntegrali: Doğru integralleri, Green, Gauss ve Stokes teoremleri (kanıtsız). Kuvvet ve akı tarafından yapılan iş uygulamaları.

Daha yüksek mertebeden Diferansiyel Denklemler

Sabit katsayılı ikinci mertebeden lineer ODE'ler-Ters diferansiyel operatörler, Cauchy's ve Legendre homojen denklemlerinin parametrelerinin varyasyon yöntemi. Yay ve L-C-R devrelerinin salınımlarına uygulamaları.

Kısmi Diferansiyel Denklemler(PDE&rsquos)

Rasgele sabitlerin / fonksiyonların ortadan kaldırılmasıyla PDE'lerin oluşturulması. Homojen olmayan PDE'nin doğrudan entegrasyon ile çözümü. Yalnızca bir bağımsız değişkene göre türev içeren homojen PDE'ler. Lagrange'ın lineer PDE'sinin çözümü. Değişkenlere ayırma yöntemi ile tek boyutlu ısı ve dalga denklemlerinin türetilmesi ve çözümleri.

Sonsuz serilerin yakınsaklığı ve diverjansı- Cauchy's kök testi ve D&rsquoAlembert'squos oran testi(kanıtsız)- Açıklayıcı örnekler.

Kuvvet serisi çözümleri-Jn(x)'e götüren Bessel diferansiyel denkleminin seri çözümü - Bessel'in birinci tür diklik fonksiyonu. Pn(x)-Legendre polinomlarına giden Legendre diferansiyel denkleminin seri çözümü. Rodrigue'nin formülü (kanıtsız), problemler.

Temel Sayısal Yöntemler

Sonlu farklar. Newton'un ileri ve geri fark formülleri, Newton'un bölünmüş farkı ve Lagrange'ın formülleri kullanılarak enterpolasyon/ekstrapolasyon (Tüm formüller ispatsız). Polinom ve transandantal denklemlerin çözümü &ndash Newton-Raphson ve Regula-Falsi yöntemleri(sadece formüller)- Açıklayıcı örnekler.

Sayısal entegrasyon: Simpson'ın (1/3) ve (3/8)'inci kurallar, Weddle'ın kuralı (kanıtsız) &ndashProblems.

Kurs Çıktıları: Bu kursu tamamlayan öğrenciler şunları yapabilir:

1. Birinci mertebeden lineer/lineer olmayan diferansiyel denklemleri standart yöntemler kullanarak analitik olarak çözün.

2. Çeşitli fiziksel modelleri yüksek mertebeden diferansiyel denklemler aracılığıyla açıklar ve bu tür lineer adi diferansiyel denklemleri çözer.

3. Çeşitli kısmi diferansiyel denklemleri ve değişkenleri ayırmanın kesin yöntemleri/yöntemi ile çözümünü anlayın.

4. Sonsuz serilerin uygulamalarını tanımlar ve adi diferansiyel denklemlerin seri çözümlerini elde eder.

5. Sayısal yöntemler bilgisini çeşitli fiziksel ve mühendislik olaylarının modellerinde uygular.

1. B.S. Grewal: Yüksek Mühendislik Matematiği, Khanna Publishers, 43. Baskı, 2015.

2. E. Kreyszig: Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Sons, 10. Baskı (Yeniden Basım), 2016.

Referans kitapları:

1. C.Ray Wylie, Louis C.Barrett: &ldquoAdvanced Engineering Mathematics", 6. Baskı, McGraw-Hill Book Co., New York, 1995.

2. N.P.Bali and Manish Goyal: A Text Book of Engineering Mathematics, Laxmi Publishers, 7. Baskı, 2010.

3. B.V.Ramana: "Yüksek Mühendislik Matematiği" 11. Baskı, Tata McGraw-Hill, 2010.

4. Veerarajan T.,&rdquo Engineering Mathematics for First Year”, Tata McGraw-Hill, 2008.

5. Thomas G.B. ve Finney R.L.&rdquoCalculus and Analytical Geometry&rdquo9th Edition, Pearson, 2012.

Web bağlantıları ve Video Dersler:

3 üncü yarıyıl

4. yarıyıl

Ders Adı : Mühendislik Matematiği IV

Öğretim Saati/hafta (L-T-P) : 4-0-0

Kurs Hedefleri: Bu kurs öğrencilerin şunları yapmasını sağlayacaktır:

Bilim ve mühendislikte ortaya çıkan adi diferansiyel denklemleri, karmaşık analizleri, örnekleme teorisini ve birleşik olasılık dağılımını ve stokastik süreçleri çözmek için sayısal yöntemler hakkında bilgi sahibi olmak.

Modül Adı

Açıklama

Birinci mertebeden ve birinci mertebeden adi diferansiyel denklemlerin sayısal çözümü, Taylor serisi yöntemi değiştirilmiş Euler's yöntemi, Dördüncü mertebeden Runge - Kutta yöntemi. Milne&rsquos ve Adams-Bashforth öngörücü ve düzeltici yöntemleri (Kanıt yok).

Sayısal Yöntemler-2 ve Özel Fonksiyon

Sayısal Yöntemler: İkinci mertebeden adi diferansiyel denklemlerin sayısal çözümü, Runge-Kutta yöntemi ve Milne'squos yöntemi.

Özel Fonksiyonlar: Seri çözüm-Frobenious yöntemi. Seri çözüm-Bessel'in diferansiyel denklemi Jn(x)-Bessel'in birinci tür fonksiyonu Temel özellikler ve ortogonallik. Legendre'nin diferansiyel denkleminin seri çözümü Pn(x)-Legendre polinomları. Rodrigue'nin formülü, problemler.

Karmaşık Değişkenler: Karmaşık bir değişkenin fonksiyonunun gözden geçirilmesi, limitler, süreklilik, türevlenebilirlik. Kartezyen ve kutupsal formlarda analitik fonksiyonlar-Cauchy-Riemann denklemleri. Analitik fonksiyonların özellikleri ve yapısı. Karmaşık çizgi integralleri-Cauchy&rsquos teoremi ve Cauchy&rsquos integral formülü, Kalıntı, kutuplar, Cauchy&rsquos Kalıntı teoremi (kanıtsız) ve problemler.

Dönüşümler: Konformal dönüşümler, dönüşümlerin tartışılması: w=   , w=  , w=z+ : ve çift doğrusal dönüşümler-sorunlar.

Olasılık Dağılımları: Rastgele değişkenler (kesikli ve sürekli), olasılık kütle/yoğunluk fonksiyonları. Binom dağılımı, Poisson dağılımı. Üstel ve normal dağılımlar, problemler

Ortak olasılık dağılımı: İki ayrı rastgele değişken için Ortak Olasılık dağılımı, beklenti, kovaryans, korelasyon katsayısı.

Örnekleme Teorisi: Örnekleme, Örnekleme dağılımları, standart hata, ortalamalar ve oranlar için hipotez testi, ortalamalar için güven sınırları, öğrencinin t-dağılımı, Uyum iyiliği testi olarak Ki-kare dağılımı.

Stokastik süreç: Stokastik süreçler, olasılık vektörü, stokastik matrisler, sabit noktalar, düzenli stokastik matrisler, Markov zincirleri, yüksek geçiş olasılığı-basit problemler.

Ders Çıktıları (CO'lar):

Bu dersin sonunda öğrenci,

1. Akış problemlerinde ortaya çıkan birinci ve ikinci mertebeden adi diferansiyel denklemleri tek adımlı ve çok adımlı sayısal yöntemler kullanarak çözer.

2. Silindirik kutupsal koordinat sistemleriyle ilgili Bessel'in fonksiyonunu ve küresel kutupsal koordinat sistemleriyle ilgili Legendre'nin polinomlarını kullanarak kuantum mekaniği, hidrodinamik ve ısı iletimi problemlerini çözün.

3. Alan teorisi ve elektromanyetik teoride karmaşık potansiyellerin analitikliğini, potansiyel alanlarını, kalıntılarını ve kutuplarını analiz edin ve aero folyo teorisinde, akışkan akışı görselleştirmesinde ve görüntü işlemede ortaya çıkan konformal ve çift doğrusal dönüşümü tanımlayın.

4. Sayısal sinyal işleme, bilgi teorisi ve tasarım kararlılığı ve yapı mühendisliğinin optimizasyon kavramları ile ilgili olasılık dağılımları ile ilgili problemleri çözer.

5. Uygulanabilir rastgele olaylar için çok değişkenli korelasyon problemleriyle bağlantılı hipotezi ve stokastik matrisi kabul etme veya reddetmede verilen örnekleme dağılımı için önerilen hipotezin geçerliliğini çizin. Bir Markov zincirinin geçiş olasılığı matrisini tanımlayın ve ayrık parametreli rastgele süreçle ilgili problemleri çözün.


5 Cevap 5

Önce geometrik olarak yapalım ve sonra bunun cebirsel bir kavrayışa yol açıp açmadığını görelim.

$X$ ve $U$, $X$ -değeri yatay ve $U$ -değeri dikey olacak şekilde bir koordinat düzleminde çizilsin. O zaman $(X,U)$ birim karede bir noktadır. $U le 1/2$ ise, o zaman $max(U, 1/2) = 1/2$ ve $1/2$ ile $X$ karşılaştırırız, yani birim karenin alt yarısında, $max(U, 1/2) le X$ kriterini karşılayan $(X,U)$ noktaları kümesi $(1/2, 0), (1, 0), (1 , 1/2), (1/2, 1/2)$ , çünkü herhangi bir $X in [1/2, 1]$ en az $max(U, 1/2) = 1 kadar büyük olacaktır /2$ .

Meydanın üst yarısında ne olur? Bu durumda, $max(U, 1/2) = U$ , ve $X$'ın en az $U$ kadar büyük olmasını istiyoruz, bu nedenle bu, $U = X doğrusu üzerindeki veya altındaki tüm noktaları içerir $ bu üst yarıda, yani, köşeleri $(1/2, 1/2), (1, 1/2), (1,1)$ olan üçgendir.

Bir araya getirildiğinde, bu iki bölge, 3/8$ alana sahip olduğu kolayca görülen bir yamuk haline gelir.

Bunu cebirsel olarak akıl yürütmek için nasıl kullanırız? biz sadece yazıyoruz

$aşlangıç Pr[max(U, 1/2) le X] &= Pr[(1/2 le X) cap (U le 1/2)] + Pr[(U le X) cap (U > 1/2)] &= Pr[1/2 le X]Pr[U le 1/2] + Pr[1/2 < U le X] & = (1/2)(1/2) + (1/8) &= 3/8. son$

$Pr[1/2 < U < X]$ açık değilse, her zaman şu integrali alabiliriz: $Pr[1/2 < U < X] = int_^1 int_^1 , dx , du = int_^1 1-u , du = left[u - frac<2>sağ]_^1 = frac<1> <2>- frac<3> <8>= frac<1><8>.$


Vektör analizi

Skaler Üçlü Çarpım

Skaler üçlü çarpım A · ( B × C ) biçimindedir . Kenarları ile tanımlanan bir paralelyüz oluşturursak ( Şekil 7.6 ) bir, B, ve C ve BC tabanı ile, taban alanı B × C büyüklüğünde olacak, yüksekliği h 'nin bileşeni olacaktır. bir tabana dik (yani, izdüşüm bir B × C yönünde) ve paralel borunun hacmi taban alanının h katı olacaktır. h olarak hesaplayabiliriz

Şekil 7.6. Skaler üçlü ürün için paralel boru.

nokta çarpımının işareti negatif çıkabileceğinden mutlak değer alınır. Paralel yüzün hacmi daha sonra A · ( B × C ) skaler üçlü çarpımının mutlak değeri olarak tanımlanır .

Paralelyüzümüzün herhangi bir tarafını taban olarak alabileceğimize ve üçlü çarpımın çapraz çarpım faktörünün her iki işlenenden önce yazılabileceğine dikkat edin. A · ( B × C ), B · ( A × C ), B · ( C × A ) vb. on iki üçlü ürünün tümünün aynı büyüklüğe sahip olması gerektiği sonucuna varıyoruz, bunlar yalnızca işaretlerinde farklılık gösterebilirler.

Şimdi üçlü ürünün değerini bileşenlerine göre hesaplayalım. bir, B, ve C. Determinant olarak yazılan B × C ile başlayarak, bkz. (7.9) , A = A x e ˆ x + A y e ˆ y + A z e ˆ z olan nokta çarpımı, determinanttaki birim vektörlerin aşağıdaki bileşenlerle değiştirilmesine neden olur. bir, Böylece

Bu form, üçlü skaler ürünün simetrisini netleştirir. Bir determinantın herhangi iki satırı değiştirildiğinde işaret değiştirdiği için, sembollerinden herhangi ikisi değiştirilirse üçlü skaler çarpım işaret değiştirecektir. Ayrıca rollerde tam bir simetriye dikkat çekiyoruz. bir, B, ve C üründe farklı bağlamlarda görünmelerine rağmen. Belirleyici kurallardan, A · ( B × C ) 'nin faktörlerinin herhangi bir çift permütasyonu ile değişmeyeceğini (bunlar döngüsel permütasyonlardır) ve faktörlerin tek permütasyonları altında işaret değiştireceğini doğrulayabiliriz.


Geometrik Fonksiyon Teorisi

Albert Baernstein II , Handbook of Complex Analysis , 2002

4 Nevanlinna'nın N fonksiyon

İzin Vermek f D ( R ) diskinde holomorfik ve sabit olmayan olabilir ≡ < z ∈ C : | z | < R >, 0 < R ⩽ ∞ . w ∈ C ve 0 < için r$, tanımlamak

toplamın tüm çözümler üzerinde alındığı yer z nın-nin f(z) = w, çokluğu sayma ve n(t, w, f), çokluğu sayarak f ( z ) = w'nin D ( t ) içindeki çözümlerinin sayısıdır. Tanımımıza göre unutmayın N(r, w, f) = ∞ için w = f(0). Bölüm 10'da, aşağıdakiler için farklı bir sözleşme kabul edeceğiz: w = f(0).

Ağırlıklı ve ağırlıksız sayma fonksiyonları N ve n Rolf Nevanlinna'nın meromorfik fonksiyonların değer dağılımı teorisinde merkezi oyunculardır. Aşağıdaki bölümlerde görüleceği gibi, *-işlevlerinin uygulamaları bazen aşağıdakileri içeren hususlara dayanır: N. Özellikle, aşağıdaki "değişken değişikliği" formülünü kullanacağız. Bir altharmonik fonksiyonun Riesz ölçüsünün (3.3) ifadesinden hemen önce tanıtıldığını hatırlayın.

Önerme 4.1

f holomorfik olsun D (R) , ve içinde alt harmonik olmana izin ver Ω ≡ f ( D ( R ) ) , Riesz ölçüsü ile μ. Eğer sen(f(0)) sonlu, o zaman için 0 < r < $,

Bu formülün özel durumları folklordur. Örneğin, dava sen(w) = |w| p , p > 0, d μ ( w ) = 1 2 π p 2 | w | p − 2 d μ ( w ), [ 11 ]'de kullanıldı. Genel bir versiyon, C.S. Stanton tarafından doktora tezinde (University of Wisconsin–Madison, 1982) belirtilmiş ve kanıtlanmıştır. Çeşitli yönlerde uygulamalarla ilgili kanıtlar [ 60 , 110 , 14 ]'dedir.

Formülün bir kanıtı, eksi teknikler aşağıdaki gibidir. ayrıştırmak sen gibi

nerede Ω1 f ( D ( r ) ) ¯ ⊂ Ω 1 ⊂ Ω 1 ¯ ⊂ Ω ile bir etki alanıdır ve h içinde harmonik Ω1. (4.3) 'de ayarlayın w = f(rbenθ ) ve w.r.t'yi entegre edin / (2π). Jensen formülü, Fubini teoremi ve harmonik fonksiyonlar için ortalama değer teoremi ile sağ taraf ∫ Ω 1 ( ( N ( r , ζ , f ) + log | f ( 0 ) − ζ | ) d μ ( ζ ) + olur. h ( f ( 0 ) ) , bu (4.2)'nin sağ tarafına eşittir .

Önerme 4.1, makul hipotezler altında, eğer f meromorfiktir ve sen dır-dir δ-f(D(R)) üzerinde subharmonik. Tam ifadeler ve ispatlar [ 60 ] ve [ 14 ]'dedir.

Burada (4.2)'nin özel bir durumunu tartışıyoruz. Bir alan için Ω ⊂ C ve birΩ, Yeşil fonksiyonu Ω kutup ile bir ile belirtilecektir g(⋅, bir, Ω). z ∈ C Ω ise, tanımlarız g(z, bir, Ω) = 0. Böylece Yeşil fonksiyonlarımız g(z, bir, Ω) her zaman tüm z ∈ C için tanımlanacaktır. Eğer f D ( R ) 'de tek değerlidir , o zaman g ( w , f ( 0 ) , f ( D ( R ) ) ) = log R | f − 1 (w) | ve [ g ( z , f ( 0 ) , f ( D ( R ) ) = log r R ] + , kutupta f ( D ( r ) ) Yeşil fonksiyonudur f (0), aşağıdakilerden

Şimdi tek değerli olması gerekmeyen holomorfiğe dönelim. f, ama uzmanlaşmak sen düzlemde bir radyal fonksiyon olsun. Böylece, sen(w) yalnızca |w|. s ∈ R için Φ ( s ) = u ( e s ) tanımlayın . u ∈ C 2 ( C ) ise, o zaman

Önerme 4.2

f holomorfik olsun D (R) , ve Φ : R → R dışbükey olmak ve C 2 . Bundan dolayı 0 < r < $,

Genel olarak, bir radyal fonksiyon sen eğer ve sadece eğer subharmonik ise Φ dışbükeydir, bu durumda Riesz ölçüsü sen rotasyonel olarak simetriktir, ancak tekil bir bileşeni olabilir. (4.5) sağ taraf uygun şekilde yorumlanırsa doğru kalır. Bizim için önemli bir örnek u ( w ) = log + | w | t , t > 0 , bunun için Φ(s) = (s - günlük t) + ve Riesz ölçüsü, |w| = t. Formül (4.5) olur Cartan'ın Formülü:

Cartan'ın formülünün tartışması için, örneğin, [ 85 ], [ 79 ] veya [ 97 ]'ye bakınız.


Belirli çok boyutlu integral dönüşümler (I) *

Bu makalenin amacı, çekirdeği içeren genel bir çoklu integral dönüşümü tanıtmaktır. H-Mevcut yazarlar ([25, [26] ve [27]) tarafından başka bir yerde tanımlanan ve incelenen birkaç karmaşık değişkenin işlevi. Aşağıda Denklem (1.1) ile tanımlanan bu integral dönüşüm, ve birleşik formu (1.15), çekirdekleri bilinen terimlerle ifade edilebilen çeşitli bilinen integral dönüşüm sınıflarının ilginç birleşimlerini (ve uzantılarını) sağlamakla kalmaz. ÖRNEĞİN ve H bir ve iki değişkenli fonksiyonlar veya bu gibi birkaç fonksiyonun çarpımı, aynı zamanda çoklu integralleri içeren uygun genellemeler yapma imkanı da sunar. Uygulamalı matematik ve matematiksel analiz problemlerinde oldukça sık meydana gelen çok çeşitli fonksiyonlar burada kullanılan çekirdeğin özel durumları olduğundan ve bir eşzamanlı işlemsel hesap (çok boyutlu integral dönüşümlere dayalı), birkaç değişkene bağlı problemler operasyonel olarak ele alındığında oldukça doğal bir şekilde ortaya çıkar, integral dönüşüm (1.1) ve onun birleşik formunun (1.15) sistematik bir çalışmasının daha derin, genel ve faydalı sonuçlar.

Bu çalışma kısmen Kanada Ulusal Araştırma Konseyi tarafından Grant A-7353 kapsamında ve kısmen de Victoria Üniversitesi tarafından Grant FR08-893 kapsamında desteklenmiştir.


Videoyu izle: Calculus-II: Çift Katlı İntegralde Değişken Değiştirme Change of Variables in Double Integral (Aralık 2021).