Nesne

4.2E: Alıştırmalar - Matematik


Parametrik Eğriler Hesabı

Alıştırma (PageIndex{1})

Aşağıdaki alıştırmalar için, her bir parametrik denklem seti bir çizgiyi temsil etmektedir. Parametreyi ortadan kaldırmadan her satırın eğimini bulun.

1) (displaystyle x=3+t,y=1−t)

2) (displaystyle x=8+2t,y=1)

3) (displaystyle x=4−3t,y=−2+6t)

4) (displaystyle x=−5t+7,y=3t−1)

Cevap

Çözüm 2: 0,

4. Çözüm: (displaystyle frac{−3}{5})

Alıştırma (PageIndex{2})

Aşağıdaki alıştırmalar için, teğet doğrunun eğimini belirleyin, ardından verilen parametre değerinde teğet doğrunun denklemini bulun.

5) (displaystyle x=3sint,y=3cost,t=frac{π}{4})

6) (displaystyle x=maliyet,y=8sint,t=frac{π}{2})

7) (displaystyle x=2t,y=t^3,t=−1)

8) (displaystyle x=t+frac{1}{t},y=t−frac{1}{t},t=1)

9) (displaystyle x=sqrt{t},y=2t,t=4)

Cevap

Çözüm 6: (displaystyle Slope=0; y=8.),

Çözüm 8: Eğim tanımsız; (görüntüleme stili x=2).

Alıştırma (PageIndex{3})

Aşağıdaki alıştırmalar için eğri üzerinde verilen eğime sahip tüm noktaları bulun.

10) (displaystyle x=4cost,y=4sint,) eğim = 0,5

11) (displaystyle x=2maliyet,y=8sint,eğim=−1)

12) (displaystyle x=t+frac{1}{t},y=t−frac{1}{t},eğim=1)

13) (displaystyle x=2+sqrt{t},y=2−4t,eğim=0)

Cevap

Çözüm 10: (displaystyle t=arctan(−2); (frac{4}{sqrt{5}},frac{−8}{sqrt{5}})),

Çözüm 12: Puan mümkün değil; tanımsız ifade

Alıştırma (PageIndex{4})

Aşağıdaki alıştırmalar için, verilen t parametresi için teğet doğrunun denklemini Kartezyen koordinatlarda yazın.

14) (displaystyle x=e^{sqrt{t}},y=1−lnt^2,t=1)

15) (displaystyle x=tlnt,y=sin^2t,t=frac{π}{4})

16) (displaystyle x=e^t,y=(t−1)^2,at(1,1))

17) (displaystyle x=sin(2t),y=2sint) için burada (displaystyle 0≤t<2π.) Yatay bir teğet doğrunun bulunduğu tüm t değerlerini bulun.

18) (displaystyle x=sin(2t),y=2sint) için burada (displaystyle 0≤t<2π). Dikey bir teğet doğrunun bulunduğu tüm t değerlerini bulun.

19) (displaystyle x=4cos(t),y=4sin(t)) eğrisi üzerinde, eğimi (displaystyle frac{1}{2}) olan tüm noktaları bulun.

20) (displaystyle x=sin(t),y=cos(t)) için (displaystyle frac{dy}{dx}) öğesini bulun.

21) (displaystyle x=sin(t),y=cos(t))'ye teğet doğrunun (displaystyle t=frac{π}{4}) denklemini bulun.

22) (displaystyle x=4t,y=3t−2,) eğrisi için (displaystyle t=3) noktasındaki eğrinin eğimini ve içbükeyliğini bulun.

23) Denklemi (displaystyle x=4cosθ,y=4sinθ) olan parametrik eğri için, (displaystyle θ=frac{π}{4}) noktasındaki eğrinin eğimini ve içbükeyliğini bulun.

24) Denklemi (displaystyle x=2+secθ,y=1+2tanθ) olan eğrinin (displaystyle θ=frac{π}{6}) noktasında eğimini ve içbükeyliğini bulun.

25) (displaystyle x=t+4,y=t^3−3t) eğrisi üzerinde dikey ve yatay teğetlerin olduğu tüm noktaları bulun.

26) (displaystyle x=secθ,y=tanθ) eğrisinde yatay ve dikey teğetlerin bulunduğu tüm noktaları bulun.

Cevap

Çözüm 14: (displaystyle y=−(frac{2}{e})x+3),

Çözüm 16: (displaystyle y=2x−7),

Çözüm 18: (displaystyle frac{π}{4},frac{5π}{4},frac{3π}{4},frac{7π}{4}),

Çözüm 20: (displaystyle frac{dy}{dx}=−tan(t)),

Çözüm 22: (displaystyle frac{dy}{dx}=frac{3}{4}) ve (displaystyle frac{d^2y}{dx^2}=0), yani eğri, (displaystyle t=3) konumunda ne yukarı içbükey ne de aşağı içbükeydir. Bu nedenle grafik doğrusaldır ve sabit bir eğime sahiptir ancak içbükeyliği yoktur.

Çözüm 24: (displaystyle frac{dy}{dx}=4,frac{d^2y}{dx^2}=−6sqrt{3};) eğri aşağı doğru ( görüntüleme stili θ=frac{π}{6}).

Çözüm 26: Yatay teğet yok. (displaystyle (1,0),(−1,0)) noktasındaki dikey teğetler.

Alıştırma (PageIndex{5})

Aşağıdaki alıştırmalar için (displaystyle d^2y/dx^2) öğesini bulun.

27) (displaystyle x=t^4−1,y=t−t^2)

28) (displaystyle x=sin(πt),y=cos(πt))

29) (displaystyle x=e^{−t},y=te^{2t})

Cevap

Çözüm 28: (displaystyle −sn^3(πt))

Alıştırma (PageIndex{6})

Aşağıdaki alıştırmalar için, eğri üzerinde teğet doğrunun yatay veya dikey olduğu noktaları bulun.

30) (displaystyle x=t(t^2−3),y=3(t^2−3))

31) (displaystyle x=frac{3t}{1+t^3},y=frac{3t^2}{1+t^3})

Cevap

Çözüm 30: Yatay (displaystyle (0,−9)); dikey (görüntüleme stili (±2,−6).)

Alıştırma (PageIndex{7})

Aşağıdaki alıştırmalar için parametrenin değerinde (displaystyle dy/dx) öğesini bulun.

32) (displaystyle x=cost,y=sint,t=frac{3π}{4})

33) (displaystyle x=sqrt{t},y=2t+4,t=9)

34) (displaystyle x=4cos(2πs),y=3sin(2πs),s=−frac{1}{4})

Cevap

Çözüm 32: 1,

Çözüm 34: 0

Alıştırma (PageIndex{8})

Aşağıdaki alıştırmalar için, verilen noktada parametreyi kaldırmadan (displaystyle d^2y/dx^2) öğesini bulun.

35) (displaystyle x=frac{1}{2}t^2,y=frac{1}{3}t^3,t=2)

36) (displaystyle x=sqrt{t},y=2t+4,t=1)

37) (displaystyle x=3t^2,y=t^3−t) eğrisinin hem yukarı hem de aşağı içbükey olduğu t aralıklarını bulun.

38) (displaystyle x=2t+lnt,y=2t−lnt) eğrisinin içbükeyliğini belirleyin.

39) (displaystyle x=r(θ−sinθ),y=r(1−cosθ)) sikloidinin bir kemerinin altındaki alanı çizin ve bulun.

40) (displaystyle x=cost,y=e^t,0≤t≤frac{π}{2}) eğrisi ve (displaystyle y=1) doğrularıyla sınırlanan alanı bulun ve (displaystyle x=0).

41) (displaystyle x=acosθ,y=bsinθ,0≤θ<2π.) elips tarafından çevrelenen alanı bulun

42) (displaystyle 0≤θ≤frac{π}{2}) için (displaystyle x=2sin^2θ,y=2sin^2θtanθ) ile sınırlanan bölgenin alanını bulun.

Cevap

Çözüm 36: 4,

Çözüm 38: (displaystyle t>0) üzerinde içbükey yapın,

Çözüm 40: 1,

42. Çözüm: (displaystyle frac{3π}{2})

Alıştırma (PageIndex{9})

Aşağıdaki alıştırmalar için, parametrik eğriler ve parametrenin belirtilen değerleri ile sınırlanan bölgelerin alanını bulun.

43) (displaystyle x=2cotθ,y=2sin^2θ,0≤θ≤π)

44) [T] (displaystyle x=2acost−acos(2t),y=2aint−asin(2t),0≤t<2π)

45) [T] (displaystyle x=asin(2t),y=bsin(t),0≤t<2π) ("kum saati")

46) [T] (displaystyle x=2acost−asin(2t),y=bsint,0≤t<2π) ("gözyaşı")

Cevap

Çözüm 44: (displaystyle 6πa^2),

46. ​​Çözüm: (displaystyle 2πab)

Alıştırma (PageIndex{10})

Aşağıdaki alıştırmalar için, parametrenin belirtilen aralığında eğrinin yay uzunluğunu bulun.

47) (displaystyle x=4t+3,y=3t−2,0≤t≤2)

48) (displaystyle x=frac{1}{3}t^3,y=frac{1}{2}t^2,0≤t≤1)

49) (displaystyle x=cos(2t),y=sin(2t),0≤t≤frac{π}{2})

50) (displaystyle x=1+t^2,y=(1+t)^3,0≤t≤1)

51) (displaystyle x=e^tcost,y=e^tsint,0≤t≤frac{π}{2}) (yanıtı üç haneye yuvarlanmış bir ondalık sayı olarak ifade edin)

52) (displaystyle x=acos^3θ,y=asin^3θ) (displaystyle [0,2π)) (hiposikloid) aralığında

53) (displaystyle x=4(t−sint),y=4(1−cost).) sikloidinin bir kemerinin uzunluğunu bulun.

54) (displaystyle (x,y)) konumuna sahip bir parçacığın kat ettiği mesafeyi şu şekilde bulun: t verilen zaman aralığında değişir: (displaystyle x=sin^2t,y=cos^2t,0≤t≤3π).

55) (displaystyle x=θ−sinθ,y=1−cosθ) sikloidinin bir kemerinin uzunluğunu bulun.

56) (displaystyle x=4sinθ,y=3cosθ) elipsinin toplam uzunluğunun (displaystyle L=16∫^{π/2}_0sqrt{1−e^2sin^2θ} olduğunu gösterin dθ), burada (displaystyle e=frac{c}{a}) ve (displaystyle c=sqrt{a^2−b^2}).

57) (displaystyle x=e^t−t,y=4e^{t/2},−8≤t≤3.) eğrisinin uzunluğunu bulun

Cevap

Çözüm 48: (displaystyle frac{1}{3}(2sqrt{2}−1)),

Çözüm 50: 7.075,

52. Çözüm: (displaystyle 6a),

Çözüm 54: (displaystyle 6sqrt{2})

Alıştırma (PageIndex{11})

Aşağıdaki alıştırmalar için, verilen eğrinin x ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen yüzeyin alanını bulun.

58) (displaystyle x=t^3,y=t^2,0≤t≤1)

59) (displaystyle x=acos^3θ,y=asin^3θ,0≤θ≤frac{π}{2})

60) [T] (displaystyle x=t+t^3,y=t−frac{1}{t^2},1≤t≤2 döndürülerek oluşturulan yüzeyin alanını bulmak için bir CAS kullanın. ) x ekseni hakkında. (Üç ondalık basamağa cevap verin.)

61) (displaystyle x=3t^2,y=2t^3,0≤t≤5) y ekseni etrafında döndürülerek elde edilen yüzey alanını bulun.

62) (displaystyle x=t^2,y=2t,0≤t≤4) x ekseni etrafında döndürülerek oluşturulan yüzeyin alanını bulun.

63) (displaystyle x=t^2,y=2t^2,0≤t≤1) y ekseni etrafında döndürülerek oluşturulan yüzey alanını bulun.

Cevap

58. Çözüm: (displaystyle frac{2π(247sqrt{13}+64)}{1215}),

Çözüm 60: 59.101,

Çözüm 62: (displaystyle frac{8π}{3}(17sqrt{17}−1))


4.2E: Alıştırmalar - Matematik

Aşağıdaki fonksiyonun ikinci dereceden türevini bulun

Soru 1(i). x 3 + tank

Düşünelim

f(x) = x 3 + tanx

Her iki tarafı da w.r.t x türevinde,

f'(x) = 3x 2 + sn 2 x



Yine her iki tarafı da farklılaştırarak w.r.t x,

f”(x) = 6x + 2(secx)(secx.tanx)

f”(x) = 6x + 2sn 2 x.tanx

Soru 1(ii). günah(logx)

Düşünelim

y = günah(logx)

Her iki tarafı da w.r.t x türevinde,

(dy/dx) = cos(logx) × (1/x)

(dy/dx) = cos(logx)/x

Yine her iki tarafı da farklılaştırarak w.r.t x,

d 2 y/dx 2 = d/dx[cos(logx)/x]

=

= -[sin(logx) + cos(logx)]/x 2

Soru 1(iii). günlük(sinx)

Düşünelim

y = günlük(sinx)

Her iki tarafı da w.r.t x türevinde,



(dy/dx) = (1/sinx) × (cosx)

(dy/dx) = cotx

Yine her iki tarafı da farklılaştırarak w.r.t x,

d 2 y/dx 2 = -k saniye 2 x

Soru 1(iv). e x günah5x

Düşünelim

y = e x günah5x

Her iki tarafı da w.r.t x türevinde,

(dy/dx) = e x sin5x + 5e x cos5x

Yine her iki tarafı da farklılaştırarak w.r.t x,

d 2 y/dx 2 = e x günah5x + 5e x cos5x + 5(e x cos5x – 5e x günah5x)

d 2 y/dx 2 = -24e x günah5x + 10e x cos5x

d 2 y/dx 2 = 2e x (5cos5x – 12sinx)

Soru 1(v). e 6x cos3x

Düşünelim

y = e 6x cos3x

Her iki tarafı da w.r.t x türevinde,

(dy/dx) = 6e 6x cos3x – 3e 6x sin3x

Yine her iki tarafı da farklılaştırarak w.r.t x,

d 2 y/dx 2 = 6(6e 6x cos3x – 3e 6x sin3x) – 3(6e 6x sin3x + 3e 6x cos3x)



d 2 y/dx 2 = 36e 6x cos3x – 18e 6x sin3x – 18e 6x sin3x – 9e 6x cos3x

d 2 y/dx 2 = 27e 6x cos3x – 36e 6x sin3x

d 2 y/dx 2 = 9e 6x (3cos3x – 4sin3x)

Soru 1(vi). x 3 logx

Düşünelim

y = x 3 logx

Her iki tarafı da w.r.t x türevinde,

(dy/dx) = logx.3x 2 + x 3 (1/x)

(dy/dx) = logx.3x 2 + x 2

(dy/dx) = x 2 (1 + 3logx)

Yine her iki tarafı da farklılaştırarak w.r.t x,

d 2 y/dx 2 = (1 + 3logx).2x + x 2 (3/x)

d 2 y/dx 2 = 2x + 6xlogx + 3x

d 2 y/dx 2 = x(5 + 6logx)

Soru 1(vii). tan -1x

Düşünelim

y = tan -1 x

Her iki tarafı da w.r.t x türevinde,

(dy/dx) = 1/(1 + x 2 )

Yine her iki tarafı da farklılaştırarak w.r.t x,

d 2 y/dx 2 = (-1)(1 + x 2 ) -2 ,2x

Soru 1(viii). x.cosx

Düşünelim

y = x.cosx

Her iki tarafı da w.r.t x türevinde,

(dy/dx) = cosx + x(-sinx)

(dy/dx) = cosx – xsinx

Yine her iki tarafı da farklılaştırarak w.r.t x,



d 2 y/dx 2 = -sinx – (sinx + xcosx)

d 2 y/dx 2 = -2sinx – xcosx

d 2 y/dx 2 = -(xcosx + 2sinx)

Soru 1(ix). günlük(logx)

Düşünelim

y = günlük(logx)

Her iki tarafı da w.r.t x türevinde,

(dy/dx) = (1/logx) × (1/x)

(dy/dx) = 1/xlogx

Yine her iki tarafı da farklılaştırarak w.r.t x,

d 2 y/dx 2 = (-1)(xlogx) -2 .[(d/dx)xlogx]

d 2 y/dx 2 = (-1)(xlogx) -2 [logx+x.(1/x)]

d 2 y/dx 2 = (-1)(xlogx) -2 .(logx+1)

Soru 2. Eğer y = e -x .cosx ise, d 2 y/dx 2 = 2e -x .sinx olduğunu gösterin.

Düşünelim

y = e -x .cosx

Her iki tarafı da w.r.t x türevinde,

(dy/dx) = -e -x .cosx – e -x .sinx



Yine her iki tarafı da farklılaştırarak w.r.t x,

d 2 y/dx 2 = -(-e -x .cosx – e -x .sinx) – (-e -x .sinx + e -x .cosx)

d 2 y/dx 2 = e -x .cosx – e -x .cosx + e -x .sinx + e -x .sinx

d 2 y/dx 2 = 2e -x. günah

Dolayısıyla Kanıtlanmış

Soru 3. Eğer y = x + tanx ise, cos 2 x(d 2 y/dx 2 ) – 2y + 2x = 0 olduğunu gösterin.

Düşünelim

y = x + tanx

Her iki tarafı da w.r.t x türevinde,

(dy/dx) = 1 + sn 2 x

Yine her iki tarafı da farklılaştırarak w.r.t x,

d 2 y/dx 2 = 0 + (2secx)(secx.tanx)

d 2 y/dx 2 = 2sn 2 x.tanx

Her iki tarafı da cos 2 x ile çarparsak

çünkü 2 x(d 2 y/dx 2 ) = 2tanx

çünkü 2 x(d 2 y/dx 2 ) = 2(y – x) [çünkü, tanx = y – x]

çünkü 2 x(d 2 y/dx 2 ) – 2y + 2x = 0

Dolayısıyla Kanıtlanmış

Soru 4. y = x 3 logx ise, (d 4 y/dx 4 ) = (6/x) olduğunu kanıtlayın.

Düşünelim

y = x 3 logx

Her iki tarafı da w.r.t x türevinde,

(dy/dx) = logx.3x 2 + x 3 (1/x)

(dy/dx) = logx.3x 2 + x 2

(dy/dx) = x 2 (1 + 3logx)

Yine her iki tarafı da farklılaştırarak w.r.t x,

d 2 y/dx 2 = (1 + 3logx).2x + x 2 (3/x)

d 2 y/dx2 = 2x + 6xlogx + 3x

d 2 y/dx 2 = 5x + 6xlogx

Yine her iki tarafı da farklılaştırarak w.r.t x,

d 3 y/dx 3 = 5 + 6[logx + (x/x)]

d 3 y/dx 3 = 11 + 6logx

Yine her iki tarafı da farklılaştırarak w.r.t x,

d 4 y/dx 4 = (6/x)

Dolayısıyla Kanıtlanmış

Soru 5. Eğer y = log(sinx) ise, (d 3 y/dx 3 ) = 2cosx.cosec 3 x olduğunu kanıtlayın.

Düşünelim

y = günlük(sinx)

Her iki tarafı da w.r.t x türevinde,

(dy/dx) = (1/sinx) × (cosx)



(dy/dx) = cotx

Yine her iki tarafı da farklılaştırarak w.r.t x,

d 2 y/dx 2 = -k saniye 2 x

Yine her iki tarafı da farklılaştırarak w.r.t x,

d 3 y/dx 3 = -2cosecx.(-cosesx.cotx)

d 3 y/dx 3 = 2 saniye 2 x.cotx

d 3 y/dx 3 = 2 saniye 2 x.(cosx/sinx)

d 3 y/dx 3 = cosx.cosec 3 x

Dolayısıyla Kanıtlanmış

Soru 6. y = 2sinx + 3cosx ise, (d 2 y/dx 2 ) + y = 0 olduğunu gösterin.

Düşünelim

y = 2sinx + 3cosx

Her iki tarafı da w.r.t x türevinde,

(dy/dx) = 2cosx – 3sinx

Yine her iki tarafı da farklılaştırarak w.r.t x,

d 2 y/dx 2 = -2sinx – 3cosx

d 2 y/dx 2 = -(2sinx + 3cosx)

d 2 y/dx 2 = -y

d 2 y/dx 2 + y = 0

Dolayısıyla Kanıtlanmış

Soru 7. Eğer y = (logx/x) ise, (d 2 y/dx 2 ) = (2logx – 3)/x 3 olduğunu gösterin

Düşünelim

y = (logx/x)

Her iki tarafı da w.r.t x türevinde,

(dy/dx) = (1 – logx)/x 2

Yine her iki tarafı da farklılaştırarak w.r.t x,

d 2 y/dx 2 = [-x – 2x(1 – logx)]/x 4

d 2 y/dx 2 = (2xlogx – 3x)/x 4



d 2 y/dx 2 = (2logx – 3)/x 3

d2y/dx2 + y = 0

Dolayısıyla Kanıtlanmış

Soru 8. Eğer x = a secθ, y = b tanθ ise, (d 2 y/dx 2 ) = -b 4 /a 2 y 3 olduğunu gösterin

Sahibiz,

x = a snθ ve y = b tanθ

Her iki tarafı da w.r.t θ ile ayırt etmek için,

(dx/dθ) = bir snθ.tanθ, (dy/dθ) = b sn 2 θ

(dy/dx) = (dy/dθ) × (dθ/dx)

(dy/dx) = (b sn 2 θ)/(a snθ.tanθ)

(dy/dx) = (b/a).cosecθ

Yine her iki tarafı da farklılaştırarak w.r.t x,

(d 2 y/dx 2 ) = (b/a).(-cosecθ.cotθ).(dθ/dx)

(d 2 y/dx 2 ) = -(b/a).(cosecθ.cotθ).(1/a secθ.tanθ)

(d 2 y/dx 2 ) = – (b/a 2 ).(kotθ).(1/tan 2 θ)

d 2 y/dx 2 = -(b/a 2 ).(1/tan 3 θ)

d 2 y/dx 2 = -(b/a 2 tan 3 θ).(b 3 /b 3 )

d 2 y/dx 2 = -(b 4 /a 2 y 3 )

Dolayısıyla Kanıtlanmış

Soru 9. Eğer x = a(maliyet + tsint) ve y = a(sint – tcost) ise, 0 < t < π/2'de d 2 y/dx 2 = sn 3 t/ olduğunu kanıtlayın.

Sahibiz,

x = a(maliyet + tsint) ve y=a(sint – tmaliyet)

Her iki tarafı w.r.t t farklılaştırmada,

(dx/dt) = a(-sint + sint + tcost), (dy/dt) = a(maliyet – maliyet + tsint)

(dx/dt) = maliyet, (dy/dt) = bitiş

(dy/dx) = (dy/dt) × (dt/dx)

(dy/dx) = atsint × [1/atcost]

(dy/dx) = tant

Yine her iki tarafı da farklılaştırarak w.r.t x,

(d 2 y/dx 2 ) = sn 2 x.(dt/dx)

(d 2 y/dx 2 ) = sec2x.[1/atcost]

(d 2 y/dx 2 ) = sn 3 x/at

Dolayısıyla Kanıtlanmış

Soru 10. y = e x cosx ise, d 2 y/dx 2 = 2e x cos(x + π/2) olduğunu kanıtlayın.

Sahibiz,

y = e x cosx

Her iki tarafı da w.r.t x türevinde,

(dy/dx) = e x cosx – e x günah

Yine her iki tarafı da farklılaştırarak w.r.t x,

d 2 y/dx 2 = (e x cosx – e x sinx) – (e x sinx + e x cosx)

d 2 y/dx 2 = e x cosx – e x cosx – e x sinx – e x günah

d 2 y/dx 2 = -2e x sinx

d 2 y/dx 2 = 2e x cos(x + π/2)

Soru 11. Eğer x = a cosθ, y = b sinθ ise, (d 2 y/dx 2 ) = -b 4 /a 2 y 3 olduğunu gösterin

Sahibiz,

x = a cosθ ve y = b sinθ

Her iki tarafı da w.r.t θ farklılaştırarak,

(dx/dθ) = -a sinθ, (dy/dθ) = b cosθ

(dy/dx) = (dy/dθ)×(dθ/dx)

(dy/dx) = (b cosθ)/(-a sinθ)



(dy/dx) = -(b/a).kotθ

Yine her iki tarafı da farklılaştırarak w.r.t x,

(d 2 y/dx 2 ) = -(b/a).(-cosec 2 θ).(dθ/dx)

(d 2 y/dx 2 ) = (b/a).(cosec 2 θ).(1/-a sinθ)

(d 2 y/dx 2 ) = (b/a).(cosec 2 θ).(1/-a sinθ)

d 2 y/dx 2 = -(b/a 2 ).(1/sin 3 θ)

d 2 y/dx 2 =-(b/a 2 sin 3 θ).(b 3 /b 3 )

d 2 y/dx2 = -(b 4 /a 2 y 3 ) (y = a sinθ olduğundan beri)

Dolayısıyla Kanıtlanmış

Soru 12. Eğer x = a(1 – cos 3 θ), y = a sin 3 θ ise, (d 2 y/dx 2 ) = 32/27a'yı θ = π/6'da gösterin.

Sahibiz,

x = a(1 – cos 3 θ) ve y = bir günah 3 θ

Her iki tarafı da w.r.t θ farklılaştırarak,

(dx/dθ) = a(3cos 2 θ.sinθ), (dy/dθ) = a 3sin 2 θcosθ

(dx/dθ) = 3acos 2 θ.sinθ, (dy/dθ) = 3asin 2 θ.cosθ

(dy/dx) = (dy/dθ) × (dθ/dx)

(dy/dx) = (3asin 2 θ.cosθ) × (3acos 2 θ.sinθ)

(dy/dx) = tan 2 θ/tanθ

(dy/dx) = tanθ

Yine her iki tarafı da farklılaştırarak w.r.t x,

(d 2 y/dx 2 ) = sn 2 θ(dθ/dx)

(d 2 y/dx 2 ) = sn 2 θ.[1/3acos 2 θ.sinθ]

(d 2 y/dx 2 ) = sn 4 θ/3asinθ

θ = π/6'da

d 2 y/dx 2 = sn 4 (π/6)/3asin(π/6)

d 2 y/dx 2 = 32/27a

Dolayısıyla Kanıtlanmış

Soru 13. Eğer x = a(θ + sinθ), y = a(1 + cosθ) ise, (d 2 y/dx 2 ) = -(a/y 2 ) olduğunu kanıtlayın.

Sahibiz,

x = a(θ + sinθ) ve y = a(1 + cosθ)

Her iki tarafı da w.r.t θ ile ayırt etmek için,

(dx/dθ) = a(1 + cosθ), (dy/dθ) = -asinθ

(dy/dx) = (dy/dθ) × (dθ/dx)

(dy/dx) = [-asinθ] × [a(1 + cosθ)]

(dy/dx) = -sinθ/(1 + cosθ)

Yine her iki tarafı da farklılaştırarak w.r.t x,



(d 2 y/dx 2 ) = -(1 + cosθ)/a(1 + cosθ) 3

(d 2 y/dx 2 ) = -1/a(1 + cosθ) 2

(d 2 y/dx 2 ) = -[1/a(1 + cosθ) 2 ](a/a)

d2y/dx2 = -a/y 2

Dolayısıyla Kanıtlanmış

Soru 14. Eğer x = a(θ – sinθ), y = a(1 + cosθ) ise, (d 2 y/dx 2 ) bulun.

Sahibiz,

x = a(θ – sinθ) ve y = a(1 + cosθ)

Her iki tarafı da w.r.t θ ile ayırt etmek için,

(dx/dθ) = a(1 – cosθ), (dy/dθ) = -asinθ

(dy/dx) = (dy/dθ) × (dθ/dx)

(dy/dx) = [-asinθ] × [a(1 – cosθ)]

(dy/dx) = -sinθ/(1 – cosθ)

Yine her iki tarafı da farklılaştırarak w.r.t x,

(d 2 y/dx 2 ) = 1/a(1 – cosθ) 2



d 2 y/dx 2 = (1/4a)[k saniye 4 (θ/2)]

Soru 15. Eğer x = a(1 – cosθ), y = a(θ + sinθ), θ = π/2'de (d 2 y/dx 2 ) = -1/a olduğunu kanıtlayın.

Sahibiz,

x = a(1 – cosθ) ve y = a(θ + sinθ)

Her iki tarafı da w.r.t θ farklılaştırarak,

(dx/dθ) = a(sinθ), (dy/dθ) = a(1 + cosθ)

(dy/dx) = (dy/dθ) × (dθ/dx)

(dy/dx) = [a(1 + cosθ)] × [asinθ)]

(dy/dx) = (1 + cosθ)/sinθ

Yine her iki tarafı da farklılaştırarak w.r.t x,

d 2 y/dx 2 = (-sin 2 θ – cosθ – cos 2 θ)/asin 3 θ

d 2 y/dx 2 = -(sin 2 θ + cosθ + cos 2 θ)/asin 3 θ

θ = π/2'de,

d 2 y/dx 2 = -(1 + 0)/a

d 2 y/dx 2 = -(1/a)

Dolayısıyla Kanıtlanmış

Soru 16. Eğer x = a(1 + cosθ), y = a(θ + sinθ) ise, θ = π/2'de (d 2 y/dx 2 ) = -1/a olduğunu kanıtlayın.

Sahibiz,

x = a(1 + cosθ) ve y = a(θ + sinθ)

Her iki tarafı da w.r.t θ farklılaştırarak,

(dx/dθ) = a(-sinθ), (dy/dθ) = a(1 + cosθ)

(dy/dx) = (dy/dθ) × (dθ/dx)

(dy/dx) = [a(1 + cosθ)] × [-asinθ)]

(dy/dx) = -(1 + cosθ)/sinθ

Yine her iki tarafı da farklılaştırarak w.r.t x,



d 2 y/dx 2 = (-sin 2 θ – cosθ – cos 2 θ)/asin 3 θ

d 2 y/dx 2 = -(sin 2 θ + cosθ + cos 2 θ)/asin 3 θ

θ = π/2'de,

d 2 y/dx 2 = -(1 + 0)/a

d 2 y/dx 2 = -(1/a)

Dolayısıyla Kanıtlanmış

Soru 17. Eğer x = cosθ, y = sin 3 θ ise, y(d 2 y/dx 2 ) + (dy/dx) 2 = 3sin 2 θ(5cos 2 θ – 1) olduğunu kanıtlayın.

Sahibiz,

x = cosθ ve y = günah 3 θ

Her iki tarafı da w.r.t θ farklılaştırarak,

(dx/dθ) = -sinθ, (dy/dθ) = 3sin 2 θ.cosθ

(dy/dx) = (dy/dθ) × (dθ/dx)

(dy/dx) = [3sin 2 θ.cosθ] × [-sinθ]

(dy/dx) = -3sinθ.cosθ

Yine her iki tarafı da farklılaştırarak w.r.t x,

d 2 y/dx 2 = -3[sinθ(-sinθ) + cosθ.cosθ](dθ/dx)

d 2 y/dx 2 = (3sin 2 θ – 3cos 2 θ)/-sinθ

d 2 y/dx 2 = -(3sin 2 θ – 3cos 2 θ)/sinθ

L.H.S,

y(d 2 y/dx 2 ) + (dy/dx) 2 = -sin 3 θ[(3sin 2 θ – 3cos 2 θ)/sinθ] + (-3sinθ.cosθ) 2

= 3sin 2 θ.cos 2 θ – 3sin 4 θ + 9sin 2 θ.cos 2 θ

= 12sin 2 θ.cos 2 θ – 3sin 4 θ

= 3sin 2 θ(4cos 2 θ – sin 2 θ)

= 3sin 2 θ(4cos 2 θ – sin 2 θ – cos 2 θ + cos 2 θ)

= 3sin 2 θ[5cos 2 θ – (sin 2 θ + cos 2 θ)]

= 3sin 2 θ(5cos 2 θ – 1)

= R.H.S

L.H.S = R.H.S

Dolayısıyla Kanıtlanmış

Soru 18. y = sin(sinx) ise, (d 2 y/dx 2 ) + tanx.(dy/dx) + ycos 2 x = 0 olduğunu kanıtlayın

Sahibiz,

y = günah(sinx)

Her iki tarafı da w.r.t x türevinde,

(dy/dx) = cos(sinx).cosx

Yine her iki tarafı da farklılaştırarak w.r.t x,

d 2 y/dx 2 = -sin(sinx).cosx.cosx – cos(sinx).sinx

d 2 y/dx 2 = -sin(sinx).cos 2 x – cos(sinx).sinx

d 2 y/dx 2 = -sin(sinx).cos 2 x – cos(sinx).cosx.tanx

d 2 y/dx 2 = -ycos 2 x – (dy/dx)tanx

d 2 y/dx 2 + ycos 2 x + (dy/dx)tanx = 0

Dolayısıyla Kanıtlanmış

Soru 19. Eğer x = sin t, y = sin pt ise, (1 – x 2 )(d 2 y/dx 2 ) – x.(dy/dx) + p 2 y = 0 olduğunu kanıtlayın.

Sahibiz,

x = günah t ve y = günah pt

Her iki tarafı w.r.t t farklılaştırmada,

(dx/dt) = cos t, (dy/dt) = pcos pt

(dy/dx) = (dy/dt) × (dt/dx)

(dy/dx) = pcos pt×[1/cos t]

(dy/dx) = pcos pt/cos t

Yine her iki tarafı da farklılaştırarak w.r.t x,

d 2 y/dx 2 = (-p 2 sin pt.cos t + pcos pt.sin t)/cos 3 t

d 2 y/dx 2 = -(p 2 sin pt)/cos 2 t + (pcos pt.sin t)/cos 3 t

cos 2 t(d 2 y/dx 2 ) = -p 2 y + x(dy/dx)

(1 – sin 2 x)(d 2 y/dx 2 ) + p 2 y – x(dy/dx) = 0

(1 – y 2 )(d 2 y/dx 2 ) + p 2 y – x(dy/dx) = 0

Soru 20. y = (sin -1 x) 2 ise, (1 – x 2 )(d 2 y/dx 2 ) – x.(dy/dx) + p 2 y = 0 olduğunu kanıtlayın.


Her iki tarafı w.r.t t farklılaştırmada,

Yine her iki tarafı da farklılaştırarak w.r.t x,

d 2 y/dx 2 = [x/(1 – x 2 )](dy/dx) + 2/(1 – x 2 )

(1 – x 2 )d 2 y/dx 2 = x(dy/dx) + 2

(1 – x 2 )d 2 y/dx 2 – x(dy/dx) – 2 = 0

Dolayısıyla Kanıtlanmış

Soru 21. eğer y = , ispatlayın (1 + x 2 )y2 + (2x – 1)y1 = 0.

Sahibiz,

y =

Her iki tarafı w.r.t t farklılaştırmada,

y1 = × [1/(1 + x 2)]

Yine her iki tarafı da farklılaştırarak w.r.t x,

y2 =

(1 + x 2) y2 = /(1 + x 2 ) – 2x/(1 + x 2)

(1 + x 2) y2 = (dy/dx) – 2x(dy/dx)

(1 + x 2) y2 – (dy/dx) + 2x(dy/dx) = 0

(1 + x 2) y2 + (2x – 1)(dy/dx) = 0


Soru 22. y = 3cos(logx) + 4sin(logx) ise, x 2 y olduğunu kanıtlayın2 + xy1 + y = 0.

Sahibiz,

y = 3cos(logx) + 4sin(logx)

Her iki tarafı da w.r.t x türevinde,

y1 = -3sin(logx) × (1/x) + 4cos(logx) × (1/x)

xy1 = -3sin(logx) + 4cos(logx)

Yine her iki tarafı da farklılaştırarak w.r.t x,

xy2 + y1 = -3cos(logx)×(1/x) – 4sin(logx) × (1/x)

x 2 yıl2 + xy1 = -[3cos(logx) + 4sin(logx)]

x 2 yıl2 + xy1 = -y

x 2 yıl2 + xy1 + y = 0

Dolayısıyla Kanıtlanmış

Soru 23. y = e 2x (ax + b) ise y'yi gösteriniz2 – 4y1 + 4y = 0.

Sahibiz,

y = e 2x (ax + b)

Her iki tarafı da w.r.t θ farklılaştırarak,

y1 = 2e 2x (balta + b) + a.e 2x

Yine her iki tarafı da farklılaştırarak w.r.t x,

y2 = 4e 2x (balta + b) + 2ae 2x + 2a.e 2x

y2 = 4e 2x (balta + b) + 4a.e 2x

L.H,S'yi alalım,

= y2 – 4y1 + 4y

= 4e 2x (balta + b) + 4a.e 2x – 4[2e 2x (balta + b) + a.e 2x ] + 4[e 2x (balta + b)]

= 8e 2x (balta + b) – 8e 2x (balta + b) + 4a.e 2x – 4a.e 2x

= 0

= R.H.S

L.H.S = R.H.S

Dolayısıyla Kanıtlanmış

Soru 24. x = sin(logy/a) ise, (1 – x 2 )y olduğunu gösterin2 – xy1 – a 2 y = 0.

Sahibiz,

x = günah(loji/a)

(loji/a) = günah -1 x

mantık = asin -1 x

Her iki tarafı da w.r.t x farklılaştırarak,

(1/y)y1 = a/√(1 – x 2 )

y1 = ay/√(1 – x 2 )

Yine her iki tarafı da farklılaştırarak w.r.t x,

y2

(1 – x 2 )y2 = a√(1 – x 2 ) × y1 + eksen/√(1 – x 2 )

(1 – x 2 )y2 = a√(1 – x 2 ) × [ay/√(1 – x 2 )] + x[ay/√(1 – x 2 )]

(1 – x 2 )y2 = 2 p + xy

(1 – x 2 )y2 – a 2 p – xy1 = 0

Dolayısıyla Kanıtlanmış


Stres Altındaki Düzenleyici Sermaye, RWA, Kaldıraç ve Likidite Gereksinimleri

6.4.1 Kaldıraç Oranı

Bölüm 1'de tanıtılan Northern Rock vakası, aşırı kaldıracın banka ödeme gücü için nasıl kritik olabileceğini vurgulamaktadır. Kaldıraç oranı, aşağıda ayrıntılı olarak açıklandığı gibi, toplam düzeltilmiş varlıkların oranı olarak sermayenin bir ölçüsü olarak özetlenebilir:

Sermaye, önceki bölümlerde açıklanan katman 1 tanımı kullanılarak hesaplanır. Buna karşılık, finansal muhasebe bilançosu, riski ölçmek için bir başlangıç ​​noktası olarak kullanılır. Özel karşılıklar ve değerleme düzeltmeleri, ilgili oldukları riskten düşülebilir. Genel bir ilke olarak, teminatlar, garantiler ve satın alınan kredi riski azaltımı, risklerden mahsup edilemez (BIS, 2014b). Bir bankanın toplam risk ölçüsü, aşağıda listelenen kalemlerin toplamıdır:

Bilanço içi riskler. Tüm bilanço varlıkları, muhasebe ölçümlerine göre dahil edilir. Aşağıda açıklananlardan farklı olarak, bilanço içi türevler, teminatlar ve menkul kıymet finansmanı işlemlerine ilişkin sözleşmeler de dahildir.

Türev riskler. Türev ürünler için iki tür risk dikkate alınır. Bir yandan, türevin altında yatan araçtan risk doğabilir. Diğer yandan, karşı kredi riski dikkate alınmaktadır. Sonuç olarak, türev ürünler, sözleşmenin gerçeğe uygun değerini yansıtan muhasebe riski kullanılarak ölçülür. Kredi eşdeğeri tutarına tutarlı bir dönüşüm sağlamak için gelecekteki olası riskler için bir eklenti de kullanılır.

Menkul kıymetler finansman işlemleri. Güvenli borç verme ve borçlanma, önemli bir kaldıraç kaynağıdır. Geri alım anlaşmaları ve menkul kıymet finansmanı, riskin muhasebe ölçüsünün kullanılmasıyla dahil edilir. Düzenleyici netleştirme kuralları uygulanır.

Bilanço dışı kalemler. Taahhütler, akreditifler, başarısız işlemler ve ödenmemiş menkul kıymetler dahil olmak üzere bilanço dışı kalemler, tek tip bir %100 kredi dönüştürme faktörüne tabidir. Bunun tek istisnası, banka tarafından herhangi bir zamanda önceden haber verilmeksizin koşulsuz olarak iptal edilebilecek taahhütlerin %10'luk bir kredi dönüşüm faktörüne sahip olabilmesidir.

2013-2017 yılları arasındaki paralel çalışma döneminde minimum %3 oranı test edilmiştir. Basel Bankacılık Denetim Komitesi, bu yüzde ve oranın tasarımının tam bir kredi döngüsü ve farklı iş modelleri için uygun olup olmadığını araştıracaktır. Paralel dönem sonuçlarına göre 2017 yılının ilk yarısında düzeltmeler olabilir. Kaldıraç oranı 1 Ocak 2018 tarihinden itibaren açık bir zorunluluk haline gelecektir.

Bir sonraki bölümde, Bank Alpha'nın kaldıraç oranı, stres testi uygulamasının tamamı boyunca araştırılmaktadır.


13. Ders

Bir denizaltının yüksekliği tabloda gösterilmiştir. Uygun bir ölçekle koordinat eksenlerini çizin ve etiketleyin ve noktaları işaretleyin.

Çözüm

Geçerli bir iş e-posta adresi olan öğretmenler, Formatted Solution'a ücretsiz erişim için kaydolmak veya oturum açmak için burayı tıklayabilir.

2. sorun

(h > 42) ve (h< 60) eşitsizlikleri, bir eğlence parkı gezintisi için yükseklik gereksinimlerini temsil eder, burada (h) bir kişinin inç cinsinden boyunu temsil eder.

Bu kuralları mümkün olduğunca açık bir şekilde açıklayan bir cümle yazın veya bir işaret çizin.

Çözüm

Geçerli bir iş e-posta adresi olan öğretmenler, Formatted Solution'a ücretsiz erişim için kaydolmak veya oturum açmak için burayı tıklayabilir.

Sorun 3

(x) - ekseni öğleden önceki veya sonraki saatlerin sayısını ve (y) - ekseni santigrat derece cinsinden sıcaklığı temsil eder.

Resmi Genişlet

Sabah 9'da hava donma noktasının altındaydı. Bu nokta hangi kadranda çizilir?

Saat 11'de (10^circ ext) . Bu nokta hangi kadranda çizilir?

Başka bir zaman ve sıcaklık seçin. Ardından çeyreğe noktanın nerede çizilmesi gerektiğini söyleyin.

((0, 0)) noktası bu bağlamda neyi temsil ediyor?

Çözüm

Geçerli bir iş e-posta adresi olan öğretmenler, Formatted Solution'a ücretsiz erişim için kaydolmak veya oturum açmak için burayı tıklayabilir.

4. sorun

Çözüm

Geçerli bir iş e-posta adresi olan öğretmenler, Formatted Solution'a ücretsiz erişim için kaydolmak veya oturum açmak için burayı tıklayabilir.

IM 6–8 Math, orijinal olarak Open Up Resources tarafından geliştirildi ve Illustrative Mathematics® tarafından yazıldı ve telif hakkı 2017-2019'da Open Up Resources'a aittir. Creative Commons Atıf 4.0 Uluslararası Lisansı (CC BY 4.0) altında lisanslanmıştır. BİZİM'nin 6–8 Matematik Müfredatı https://openupresources.org/math-curriculum/ adresinde mevcuttur.

IM 6–8 Math'a yönelik uyarlamalar ve güncellemeler, 2019 telif hakkı Illustrative Mathematics'e aittir ve Creative Commons Attribution 4.0 Uluslararası Lisansı (CC BY 4.0) kapsamında lisanslanmıştır.

Ek İngilizce öğrenen destekleri eklemeye yönelik uyarlamalar, Open Up Resources'ın 2019 telif hakkıdır ve Creative Commons Attribution 4.0 Uluslararası Lisansı (CC BY 4.0) kapsamında lisanslanmıştır.

İkinci İngilizce değerlendirme seti ("B" grubu olarak işaretlenmiştir) 2019 telif hakkı Open Up Resources'a aittir ve Creative Commons Attribution 4.0 Uluslararası Lisansı (CC BY 4.0) kapsamında lisanslanmıştır.

"B" değerlendirmelerinin İspanyolca çevirisi, 2020 telif hakkı Illustrative Mathematics'e aittir ve Creative Commons Atıf 4.0 Uluslararası Lisansı (CC BY 4.0) kapsamında lisanslanmıştır.

Illustrative Mathematics adı ve logosu, Creative Commons lisansına tabi değildir ve Illustrative Mathematics'in önceden ve açık yazılı izni olmadan kullanılamaz.

Bu site, telif hakkı sahiplerinin mülkiyetinde olan kamuya açık resimler veya açık lisanslı resimler içerir. Açık lisanslı görüntüler, ilgili lisansların koşulları kapsamında kalır. Daha fazla bilgi için resim ilişkilendirme bölümüne bakın.


4.4 Dikeylik

Legendre polinomları gibi, ilişkili Legendre fonksiyonları da $(-1,1)$ aralığında bir dizi ortogonal fonksiyon oluşturur,

$ell eq ell'$ olduğunda. $m$'ın her iki işlev için de aynı olduğuna dikkat edin, integral $P_ell^m P_^ ile değiştirilseydi ifade doğru olmazdı.$m eq m'$ ile $. Denk.(4.16)'nın ispatı, Legendre polinomlarının ortogonalliğini kurmakla tamamen aynı adımları takip eder. Bunu tekrar ele almayacağız, ancak ispatın $P_^m$ ile çarpımı Denklem(4.4) ile başladığına dikkat edin, bu denklemin $ell$ olduğu denklemin ikinci bir kopyasından çıkarılır. $ell'$ ile değiştirilir. Denklemin her iki kopyasında da $m$ aynı olduğunda, $m^2/(1-x^2)$ içeren terimler çıkarma işleminden sonra birbirini götürür ve ispat Bölüm 3.7'deki gibi devam eder.

Alıştırma 4.7: Adımları doldurun ve Denk.(4.16)'nın tam bir türevini sağlayın.

İlişkili Legendre fonksiyonlarının normunu, integral içinde $ell'$'ı $ell$'a eşitleyerek tanımlarız. tarafından verildiğini göstereceğiz.

$m = 0$ olduğunda norm açıkça Denk.(3.47)'ye düşer. Denklemler (4.16) ve (4.17) tek bir ifadede birleştirilebilir

ki bu, $delta_$ Kronecker deltasını içerir.

II.1.8 Matematiksel Fizik Denklemleri A.N. Tikhonov ve A.A. Samarskii (Dover, 1990).> alternatif formda yazdığımız Denk.(4.7) bir kez daha

aşla frak igl[ (1-x^2)^ U_el^ igr] + (ell+m+1)(ell-m) (1-x^2)^m U_ell^m = 0. ag <4.19>end

Buna $m o m-1$ koyarız ve elde ederiz

Şimdi, Denk.(4.17), $[P^m_ell]^2 = (1-x^2)^m [U^m_ell]^2$'ı içerir, bunu şöyle yazarız:

aşla igl[ P^m_ell igr]^2 &= (1-x^2)^m U^m_ell frac_el> onumber &= frac igl[ (1-x^2)^m U^m_ell U^_ell igr] - U^_ell frac igl[ (1-x^2)^m U^m_ell igr] onumber &= frac igl[ (1-x^2)^m U^m_ell U^_ell igr] + (ell+m)(ell-m+1) (1-x^2)^ igl[ U_ell^ igr]^2 osayı &= frac igl[ (1-x^2)^ <1/2>P^m_ell P^_ell igr] + (ell+m)(ell-m+1) igl[ P_ell^ igr]^2 ag <4.21>end

son adımda Denk.(4.5)'in tanımına başvurduk. Bunu $x=-1$'dan $x=1$'a entegre ettiğimizde, toplam türevin kaybolan sınır terimleri ürettiğini görüyoruz ve elimizde

Bu, ilişkili Legendre fonksiyonlarının normu için bir özyineleme ilişkisidir.

Alıştırma 4.8: Denk.(4.22)'ye giden tüm adımları yeniden oluşturabildiğinizden emin olun.

$N^m_ell$ için Denklem(4.22)'yi çözmek artık basit bir meseledir. $m=1$ ile denklem $N^1_ell = (ell+1) ell, N^0_ell$ olur. $m=2$ ile $N^2_ell = (ell+2)(ell-1) N^1_ell = (ell+2)(ell+1) ell (ell) elde ederiz -1) N^0_ell$ ve $m=3$ ile $N^3_ell = (ell+3)(ell-2) N^2_ell = (ell+3) elde ederiz (ell+2)(ell+1) ell (ell-1) (ell-2) N^0_ell$. Net bir model ortaya çıkıyor ve özyineleme ilişkisinin $m$ yinelemesinden sonra şunu elde ediyoruz:

aşla N^m_ell = (ell+m)(ell+m-1)(ell+m-2) cdots (ell-m+1) N^0_ell. etiket <4.23>end

$N^0_ell$'ın önündeki faktör düzgün bir şekilde $(ell+m)!/(ell-m)!$ şeklinde yazılabilir, çünkü

Ve $N^0_ell = 2/(2ell+1)$ olduğunu bildiğimiz için --- bu Legendre polinomlarının normudur --- Denk.(4.17)'ye ulaştık.

Alıştırma 4.9: Bizi özyineleme bağıntısından Denk.(4.17)'ye götüren tüm adımları yeniden oluşturabildiğinizden emin olun.


Matematik Görevi 12 Uzman Matematik VCE Üniteleri 3 ve 4 Çözümler Kılavuzu & eBookPLUS

Maths Quest 12 Uzman Matematik VCE Üniteleri 3 ve 4 eBookPLUS ile Çözümler Kılavuzu içindeki her soruya tam olarak çalışılmış çözümler içerir. Matematik Görevi 12 Uzman Matematik VCE Ünite 3 ve 4 öğrenci metni.

Bu kaynak, aşağıdakileri içeren basılı bir öğrenci metnidir. Matematik Görevi 12 Uzman Matematik VCE Ünite 3 ve 4 Çözüm Kılavuzu eKitapPLUS.

Bu serideki daha fazla ürün için buraya tıklayın.

Konu 1 — Grafik çizimi 1

Alıştırma 1.2 — Modül fonksiyonuna giriş 1

Alıştırma 1.3 — Karşılıklı fonksiyonların grafiklerini çizme 2

Alıştırma 1.4 — Rasyonel fonksiyonların grafiklerini çizme 8

Alıştırma 1.5 — y = f (x) ve y = f ( x ) grafiklerinin y = f (x) 21'den çizimi

Alıştırma 1.6 — Daireler, elipsler ve hiperboller 26

Konu 2 — Trigonometri 33

Alıştırma 2.2 — Karşılıklı trigonometrik fonksiyonlar 33

Alıştırma 2.3 — Karşılıklı trigonometrik fonksiyonları kullanarak trigonometrik özdeşlikler 36

Alıştırma 2.4 — Bileşik açı formülleri 38

Alıştırma 2.5 — Çift açılı formüller 42

Alıştırma 2.6 — Ters trigonometrik fonksiyonlar 49

Alıştırma 2.7 — Trigonometrik denklemlerin genel çözümleri 59

Alıştırma 2.8 — Karşılıklı trigonometrik fonksiyonların grafikleri 65

Exercise 2.9 — Graphs of inverse trigonometric functions 74

Topic 3 — Complex numbers 83

Exercise 3.2 — Complex numbers in rectangular form 83

Exercise 3.3 — Complex numbers in polar form 88

Exercise 3.4 — Solving polynomial equations 100

Exercise 3.5 — Subsets of the complex plane: circles, lines and rays 105

Exercise 3.6 — Roots of complex numbers 114

Topic 4 — Kinematics 121

Exercise 4.2 — Constant acceleration 121

Exercise 4.3 — Motion under gravity 122

Exercise 4.4 — Velocity&ndashtime graphs 124

Exercise 4.5 — Variable acceleration 126

Topic 5 — Vectors in three dimensions 131

Exercise 5.3 — i j k notation 136

Exercise 5.4 — Scalar product and applications 143

Exercise 5.5 — Vector proofs using the scalar product 152

Exercise 5.6 — Parametric equations 158

Topic 6 — Mechanics 167

Exercise 6.2 — Statics of a particle 167

Exercise 6.3 — Inclined planes and connected particles 175

Exercise 6.4 — Dynamics 180

Exercise 6.5 — Dynamics with connected particles 186

Topic 7 — Differential calculus 193

Exercise 7.2 — Review of differentiation techniques 193

Exercise 7.3 — Applications of differentiation 202

Exercise 7.4 — Implicit and parametric differentiation 209

Exercise 7.5 — Second derivatives 217

Exercise 7.6 — Curve sketching 225

Exercise 7.7 — Derivatives of inverse trigonometric functions 239

Exercise 7.8 — Related rate problems 246

Topic 8 — Integral calculus 253

Exercise 8.2 — Areas under and between curves 253

Exercise 8.3 — Linear substitutions 264

Exercise 8.4 — Other substitutions 275

Exercise 8.5 — Integrals of powers of trigonometric functions 284

Exercise 8.6 — Integrals involving inverse trigonometric functions 291

Exercise 8.7 — Integrals involving partial fractions 302

Topic 9 — Differential equations 315

Exercise 9.2 — Verifying solutions to a differential equation 315

Exercise 9.3 — Solving Type 1 differential equations, = dy dx f (x) 325

Exercise 9.4 — Solving Type 2 differential equations, = dy dx f ( y) 330

Exercise 9.5 — Solving Type 3 differential equations, = dy dx f (x)g(y) 338

Exercise 9.6 — Solving Type 4 differential equations, = d y dx f x ( ) 2 2 344

Topic 10 — Further applications of integration 353

Exercise 10.2 — Integration by recognition 353

Exercise 10.3 — Solids of revolution 365

Exercise 10.4 — Volumes 372

Exercise 10.5 — Arc length, numerical integration and graphs of antiderivatives 381

Exercise 10.6 — Water flow 389

Topic 11 — Applications of first-order differential equations 397

Exercise 11.2 — Growth and decay 397

Exercise 11.3 — Other applications of first-order differential equations 400

Exercise 11.4 — Bounded growth and Newton&rsquos Law of Cooling 406


Melinda Mestre, Lily Okati, Timothy Sloane, Helen Silvester, James Kennedy, Mora Soliman, Mohammed Naanouh

Açıklama

This Oxford Student Pack contains the Oxford Insight Science for NSW Stage 4 2E Student book and Skills & Activities book:

Oxford Insight Science for NSW Stage 4 2E Student book and obook birssess:
Oxford Insight Science for NSW 2E Student book and obook birssess features a simple, engaging design with targeted on-page features that support student understanding and progression.

  • Staged books follow syllabus structure, making it easy to teach in any order that suits your classroom
  • NSW-specific case studies encourage the real world application of key concepts and skills
  • Check your learning questions review student progress and provide opportunities for extension
  • Skill builder questions are scaffolded to target key science skills from the syllabus
  • Chapter reviews assess student understanding, encourage reflection and suggest research projects
  • Margin glossary definitions provide clarification of key terms at the point of learning
  • Working scientifically chapter teaches and clarifies key science skills throughout each Stage
  • Student research project chapter provides guidance and support throughout the research project

obook birssess:
Oxford&rsquos premium digital learning solution encompasses a suite of resources to support teachers and students, including worksheets, sample data and experiments with supporting videos. Market-leading digital assessment features include pre-tests, post-tests, differentiated activities and advanced tracking and reporting tools (including sophisticated markbook functionality).


Oxford Insight Science for NSW Stage 4 2E Skills and Activity books:

Oxford Insight Science for NSW 2E Skills and Activity Books are full-colour write-in Student workbooks supported by integrated digital resources. Designed to help students revise course material and explore opportunities for extension, they provide students with additional tools to develop their understanding of the key science skills.


Physical Education for QLD Units 3 & 4 2E SB & oBook assess

Help other Sequel Pty Ltd users shop smarter by writing reviews for products you have purchased.

More From This Category

Hizmet

About Us

Bilgi

Resources

Stay In Touch

Subscribe to our newsletter and we'll keep you up to date on our products and services.

Copyright © 2021 Sequel Pty Ltd. E-commerce software by Neto
ABN: 65 075 562 533
Address: 6 Buttonwood Place, Willawong, QLD, 4110

Terms & Conditions

Welcome to our website. If you continue to browse and use this website, you are agreeing to comply with and be bound by the following terms and conditions of use, which together with our privacy policy govern Sequel Pty Ltd’s relationship with you in relation to this website. If you disagree with any part of these terms and conditions, please do not use our website.

The term ‘Sequel Pty Ltd’ or ‘us’ or ‘we’ refers to the owner of the website whose registered office is 6 Buttonwood Place, Willawong, QLD, 4110. Our ABN is 65 075 562 533. The term ‘you’ refers to the user or viewer of our website.

The use of this website is subject to the following terms of use:

  • The content of the pages of this website is for your general information and use only. It is subject to change without notice.
  • Neither we nor any third parties provide any warranty or guarantee as to the accuracy, timeliness, performance, completeness or suitability of the information and materials found or offered on this website for any particular purpose. You acknowledge that such information and materials may contain inaccuracies or errors and we expressly exclude liability for any such inaccuracies or errors to the fullest extent permitted by law.
  • Your use of any information or materials on this website is entirely at your own risk, for which we shall not be liable. It shall be your own responsibility to ensure that any products, services or information available through this website meet your specific requirements.
  • This website contains material which is owned by or licensed to us. This material includes, but is not limited to, the design, layout, look, appearance and graphics. Reproduction is prohibited other than in accordance with the copyright notice, which forms part of these terms and conditions.
  • All trademarks reproduced in this website, which are not the property of, or licensed to the operator, are acknowledged on the website.
  • Unauthorised use of this website may give rise to a claim for damages and/or be a criminal offence.
  • From time to time, this website may also include links to other websites. These links are provided for your convenience to provide further information. They do not signify that we endorse the website(s). We have no responsibility for the content of the linked website(s).
  • Your use of this website and any dispute arising out of such use of the website is subject to the laws of Australia.

Privacy Policy

This privacy policy sets out how we use and protect any information that you give us when you use this website.

We are committed to ensuring that your privacy is protected. Should we ask you to provide certain information by which you can be identified when using this website, then you can be assured that it will only be used in accordance with this privacy statement.

We may change this policy from time to time by updating this page. You should check this page from time to time to ensure that you are happy with any changes.

What we collect

We may collect the following information:

  • name and job title
  • contact information including email address
  • demographic information such as postcode, preferences and interests
  • other information relevant to customer surveys and/or offers

What we do with the information we gather

We require this information to understand your needs and provide you with a better service, and in particular for the following reasons:

  • Internal record keeping.
  • We may use the information to improve our products and services.
  • We may periodically send promotional emails about new products, special offers or other information which we think you may find interesting using the email address which you have provided.
  • From time to time, we may also use your information to contact you for market research purposes. We may contact you by email, phone, fax or mail. We may use the information to customise the website according to your interests.

We are committed to ensuring that your information is secure. In order to prevent unauthorised access or disclosure, we have put in place suitable physical, electronic and managerial procedures to safeguard and secure the information we collect online.

How we use cookies

A cookie is a small file which asks permission to be placed on your computer's hard drive. Once you agree, the file is added and the cookie helps analyse web traffic or lets you know when you visit a particular site. Cookies allow web applications to respond to you as an individual. The web application can tailor its operations to your needs, likes and dislikes by gathering and remembering information about your preferences.

We use traffic log cookies to identify which pages are being used. This helps us analyse data about webpage traffic and improve our website in order to tailor it to customer needs. We only use this information for statistical analysis purposes and then the data is removed from the system.
Overall, cookies help us provide you with a better website by enabling us to monitor which pages you find useful and which you do not. A cookie in no way gives us access to your computer or any information about you, other than the data you choose to share with us.
You can choose to accept or decline cookies. Most web browsers automatically accept cookies, but you can usually modify your browser setting to decline cookies if you prefer. This may prevent you from taking full advantage of the website.

Links to other websites

Our website may contain links to other websites of interest. However, once you have used these links to leave our site, you should note that we do not have any control over that other website. Therefore, we cannot be responsible for the protection and privacy of any information which you provide whilst visiting such sites and such sites are not governed by this privacy statement. You should exercise caution and look at the privacy statement applicable to the website in question.

Controlling your personal information

You may choose to restrict the collection or use of your personal information in the following ways:

  • whenever you are asked to fill in a form on the website, look for the box that you can click to indicate that you do not want the information to be used by anybody for direct marketing purposes
  • if you have previously agreed to us using your personal information for direct marketing purposes, you may change your mind at any time by writing to or emailing us.

We will not sell, distribute or lease your personal information to third parties unless we have your permission or are required by law to do so. We may use your personal information to send you promotional information about third parties which we think you may find interesting if you tell us that you wish this to happen.

If you believe that any information we are holding on you is incorrect or incomplete, please write to or email us as soon as possible at the above address. We will promptly correct any information found to be incorrect.


July 2, 2014

Solving Sudoku Puzzles

Recently, I got hooked on to Sudoku (thanks to a wonderful IPhone app). I found it to be a slightly more constructive time sink and plan to teach it to my daughter some day (she is one year old as of yet). For this, I thought of writing an assistive software to teach kids how to simplify a Sudoku. This motivated me to first build a Sudoku solver and this blog is about it.

A Sudoku is a matrix of cells, typically 9x9, but it can be any number. In this post, we consider N x N Sudoku (where N is a perfect square, i.e. 1x1, 4x4, 9x9, 16x16). Now for such a Sudoku, we first construct a groups of cells called as blocks. We get N row blocks, N column blocks and N sub-grid blocks. All the blocks contain N cells each. A cell can have a value from 1 to N, such that, if a cell is assigned a value, then no other cell in the same block can be assigned that value. To check if a Sudoku is solved, all the blocks must sum to N*(N+1)/2. Another check is one where number uniqueness constraints are satisfied per block and each cell is assigned a value from 1 to N.

  1. A number is assigned to a cell,
    • If a cell can hold only that number.
    • If that number can be held by only that cell (in at least one block).
    Once a cell is assigned a number, other cells (in the same block) get their possible hints (or values) pruned.

  • The two numbers are referred exclusively by these two cells in a given block. In this case other hints of the two numbers are pruned.
  • The two cells refer to those two numbers only. In this case the two numbers are removed from the hints of other cells in their shared block.

The program is oriented to be event driven, where a cell is asked to remove its hint based on the logic of (1,2,3). In this process if a cell has only one hint remaining, it triggers a fix event. When the fix event is called, this cell is assigned the value and that value is removed from the hint of cells that share block with it. If at anytime any inconsistencies are found, the events return a “false”, indicating that Sudoku is not solvable. This is a fail fast technique and it quickly helps in determining if a Sudoku is non-solvable or not. Otherwise, we would wait for all cells to get filled and then realize that it failed (wasting precious time). A simple brute-force strategy is very easy to code, however the possibilities to check are huge. For e.g., we might end up checking O(9^81) possibilities (which can be prohibitive). The simplification algorithms (1) and (2) come to the rescue by drastically simplifying the Sudoku. For most of the easy problems - the recursive step (3) is not even triggered.

I searched online for Sudoku problems and found that Peter Norvig has a blog about it. He used algo(1,3) but not (2) and has shared a set of easy, hard, and hardest Sudoku puzzles. It amazes me to say that for most hard problem, I take at least 8-10 minutes (and sometimes a hint) but a computer can solve it in order of

0.1 ms. If you are interested in the maths of Sudoku (e.g. number of possible solutions), please check out the wikipedia page: maths of sudoku.

In the first analysis below, we see how many cells different algorithms are able to solve.

Giriş (1) (2a) (2b) (2) (1+2a) (1+2b) (*)
Easy 35% 89% 54% 68% 70% 96% 94% 96%
Hard 25% 31% 26% 26% 26% 41% 31% 41%
Hardest 30% 45% 35% 35% 36% 50% 45% 50%

Here we see that algorithm (1) itself can solve 89% of the cells for easy problems. However, the joint application of (1+2) is able to solve 96% of the easy cells and 41% of the hard cells (and roughly provide a 10-15% improvement. This is a great simplification, especially for easy Sudoku problems. Amongst (2a) and (2b), I find (2a) to be a better strategy to run in conjunction with (1) as (1+2a) has same result as (*).

In the next analysis, we see how many hints are left after application of different algorithms

Giriş (1) (2a) (2b) (2) (1+2a) (1+2b) (*)
Easy 474 29 126 89 82 10 16 10
Hard 544 230 252 260 250 184 228 181
Hardest 508 161 191 193 189 141 158 141

Similar analysis as above. 2a appears better than 2b. But (*) must better than (1) or (2). So combining these strategies is much more effective. We see that clearly (1+2a) as good as (*) so we can simply drop algorithm 2b. To see how much (if at all) there is a penalty of running the (2b) algo, we turn to time taken.

For measuring time, I use Java's System.NanoTime() function, which gives very precise timing. Experiments are run on my MacBook Pro with 2.6Ghz intel I7 processor. To get the timings, I solve a puzzle 500 times and take the average solving time. We get the following timings.

Brute Force (1) (1+2a) (1+2b) (*)
Easy 0.14 ms 0.04 ms 0.03 ms 0.03 ms 0.03 ms
Hard 21 ms 1.16 ms 0.44 ms 0.55 ms 0.42 ms
Hardest 0.61 ms 0.17 ms 0.20 ms 0.19 ms 0.22 ms

Clearly brute force without simplification is a bad idea. (*) improves timing over (1) for hard problems at least. For other problems, numbers are very close to conclude. My experience over other random problems that I tried, suggests that (*) leads to fastest simplification (i.e. reduced iterations) and hence better.

I also tried the problem that Peter mentions taking most time and noted its timing through my Java implementation. It took 6134 ms for algo (1), but only 10ms for (*). A clear evidence of the joint algorithms' usefulness. This improved timing comes from the fact that Sudoku gets drastically simplified before entering the brute-force stage and even for each choice of brute-force, it further gets simplified eliminating possible hints.

The Sudoku program is generic in the sense that it can solve 1x1, 4x4, 9x9, 16x16, … problems. A quick run of the program is as follows:


How to Find Equations of Tangent Lines and Normal Lines

Suppose $f(x) = x^3$. Find the equation of the tangent line at the point where $x = 2$ .

Find the point of tangency.

Find the value of the derivative at $x = 2$ .

$ f'(x) = 3x^2longrightarrow f'(2) = 3(2^2) = 12 $

The the slope of the tangent line is $m = 12$ .

Find the point-slope form of the line with slope $m = 12$ through the point $(2,8)$ .

$ egin y - y_1 & = m(x-x_1)[6pt] y - 8 & = 12(x-2) end $

For reference, here is the graph of the function and the tangent line we just found.

Örnek 2

Suppose $f(x) = x^2 - x$. Find the equation of the tangent line with slope $m = -3$ .

Find the $x$-value where $f'(x)$ equals the slope.

$ egin f'(x) & = 2x -1[6pt] -3 & = 2x -1[6pt] -2 & = 2x[6pt] x & = -1 end $

Find the point on the function where $x = -1$ .

Find the equation of the line through the point $(-1,2)$ with slope $m=-3$ .

$ egin y -y_1 & = m(x-x_1)[6pt] y - 2 & = -3(x - (-1))[6pt] y - 2 & = -3(x+1) end $

For reference, here's the graph of the function and the tangent line we just found.

Tangent Lines to Implicit Curves

The procedure doesn't change when working with implicitly defined curves.

Example 3

Suppose $x^2 + y^2 = 16$. Find the equation of the tangent line at $x = 2$ for $y>0$ .

Find the $y$-value of the point of tangency.

$ egin lue + y^2 & = 16[6pt] lue <2^2>+ y^2 & = 16[6pt] lue <4>+ y^2 & = 16[6pt] y^2 & = 12[6pt] y & = pmsqrt<12>[6pt] y & = pmsqrt<4cdot 3>[6pt] y & = pm2sqrt 3 end $

Since the problem states we are interested in $y>0$, we use $y = 2sqrt 3$ .

The point of tangency is $(2, 2sqrt 3)$ .

Find the equation for $frac$ .

Since the equation is implicitly defined, we use implicit differentiation.

Find the slope of the tangent line at the point of tangency.

At the point $(2,2sqrt 3)$ , the slope of the tangent line is

The slope of the tangent line is $m = -frac 3$ .

Find the equation of the tangent line through $(2,2sqrt 3)$ with a slope of $m=-frac 3$ .

At the point $(2,2sqrt 3)$ , the slope of the tangent line is

$ egin y - y_1 & = m(x-x_1)[6pt] y - 2sqrt 3 & = -frac 3(x-2) end $

The equation of the tangent line is $y - 2sqrt 3 = -frac 3(x-2)$

For reference, the graph of the curve and the tangent line we found is shown below.

Normal Lines

Suppose we have a a tangent line to a function. The function and the tangent line intersect at the point of tangency. The line through that same point that is perpendicular to the tangent line is called a normal çizgi.

Recall that when two lines are perpendicular, their slopes are negative reciprocals. Since the slope of the tangent line is $m = f'(x)$ , the slope of the normal line is $m = -frac 1 $ .

Example 4

Suppose $f(x) = cos x$. Find the equation of the line that is normal to the function at $x = frac pi 6$ .

Find the point on the function.

$ fleft(frac pi 6 ight) = cos frac pi 6 = frac 2 $

The point is $left(frac pi 6, frac 2 ight)$ .

Find the value of the derivative at $x = frac pi 6$ .

$ f'(x) = -sin xlongrightarrow f'left(frac pi 6 ight) = -sinfracpi 6 = -frac 1 2 $

The slope of the tangent line is $m = -frac 1 2$. Since we are looking for the line that is perpendicular to the tangent line, we want to use $m = 2$ .

Find the equation of the line through the point $left(frac pi 6, frac 2 ight)$ with a slope of $m =2$ .

$ egin y -y_1 & = m(x-x_1)[6pt] y - frac 2 & = 2left(x - frac pi 6 ight) end $

The line normal to the function at $x = frac pi 6$ is $y - frac 2 = 2left(x - frac pi 6 ight)$ .

For reference, here is the graph of the function and the normal line we found.