Nesne

9.2: Normlar - Matematik


Bir vektörün keyfi olarak normu iç ürün alanı (mathbb{R}^{n}) içindeki bir vektörün uzunluğunun veya büyüklüğünün analogudur. Bu kavramı resmi olarak şu şekilde tanımlıyoruz.

Tanım 9.2.1. (V ), (mathbb{F}) üzerinde bir vektör uzayı olsun. Bir harita
egin{denklem*}
egin{bölünmüş}
orm{cdot} : V & o mathbb{R}
v &mapsto orm{v}
end{bölünmüş}
end{denklem*}
bir norm (V ) üzerinde aşağıdaki üç koşul karşılanırsa.

  1. pozitif kesinlik: ( orm{v}=0 ) ancak ve ancak (v=0);
  2. Pozitif Homojenlik: ( orm{av}=|a|, orm{v} ) için tüm (ain mathbb{F} ) ve (vin V);
  3. Üçgen eşitsizliği: ( orm{v+w}le orm{v}+ orm{w} ) için tüm (v,win V).

Açıklama 9.2.2. Aslında, o zamandan beri her (vin V ) için ( orm{v}ge 0 ) olduğuna dikkat edin.

[ 0 = orm{v-v} le orm{v} + orm{-v} = 2 orm{v}. ]

Daha sonra bir normun her zaman bir iç çarpımdan (inner{cdot}{cdot} ) formül aracılığıyla tanımlanabileceğini göstermek istiyoruz.

[ orm{v} = sqrt{inner{v}{v}} ~ ext{hepsi için} ~ v in V . etiket{9.2.1} ]

Özellikler 1 ve 2, Tanım~9.1.1'deki Koşullar~1 ve 3'ten kolayca takip edilir. Üçgen eşitsizliği, bir sonraki bölümde Teorem~9.3.4 ef{thm:triangle}'da verdiğimiz gibi daha dikkatli ispat gerektirir.

(V=mathbb{R}^n) alırsak, normal nokta çarpım tarafından tanımlanan norm, bir vektörün olağan uzunluk kavramıyla ilgilidir. Yani, (v=(x_1,ldots,x_n)in mathbb{R}^n) için
egin{denklem} label{eqn:NormInRn}
orm{v} = sqrt{x_1^2+cdots + x_n^2}. etiket{9.2.2}
end{denklem}

Bunu, Şekil 9.2.1'de (mathbb{R^3} ) durumu için gösteriyoruz.

Şekil 9.2.1: Bir vektörün uzunluğu ( mathbb{R^3} ) denklem yoluyla 9.2.1.

Bir iç çarpımla başlamak ve onu bir norm tanımlamak için kullanmak her zaman mümkün olsa da, tersi daha fazla özen gerektirir. Özellikle, eğer ve ancak norm Paralelkenar Yasasını karşılıyorsa (Teorem 9.3.6~ ef{thm:ParallelogramLaw}) Denklem 9.2.1 aracılığıyla bir normun bir iç çarpımı tanımlamak için kullanılabileceği kanıtlanabilir.


9.2. matematik — Matematiksel fonksiyonlar¶

Bu modül her zaman kullanılabilir. C standardı tarafından tanımlanan matematiksel fonksiyonlara erişim sağlar.

Bu işlevler karmaşık sayılarla kullanılamaz, karmaşık sayılar için desteğe ihtiyacınız varsa cmath modülünden aynı adı taşıyan işlevleri kullanın. Çoğu kullanıcı karmaşık sayıları anlamak için gerektiği kadar matematik öğrenmek istemediğinden, karmaşık sayıları destekleyen ve desteklemeyen işlevler arasındaki ayrım yapılır. Karmaşık bir sonuç yerine bir istisna almak, parametre olarak kullanılan beklenmeyen karmaşık sayının daha erken tespit edilmesini sağlar, böylece programcı ilk etapta nasıl ve neden oluşturulduğunu belirleyebilir.

Aşağıdaki fonksiyonlar bu modül tarafından sağlanmaktadır. Aksi açıkça belirtilmediği sürece, tüm dönüş değerleri değişkendir.


İçindekiler

Bazı yazarlar olumsuz olmamayı "norm" tanımının bir parçası olarak dahil ederler, ancak bu gerekli değildir.

Eşdeğer normlar Düzenle

LaTeX ve ilgili biçimlendirme dillerinde, norm gösteriminin çift çubuğu | makrosu ile girilir. ‖ olarak işlenir. Paralel doğruları, paralel operatörü ve paralel toplamayı belirtmek için kullanılan çift dikey çizgi parallel ile girilir ve ∥ olarak işlenir. Benzer görünse de, bu iki makro | olarak karıştırılmamalıdır. bir parantez ve parallel bir operatörü belirtir. Bu nedenle boyutları ve etraflarındaki boşluklar aynı şekilde hesaplanmaz. Benzer şekilde, tek dikey çubuk | parantez olarak kullanıldığında ve operatör olarak kullanıldığında mid olarak.

Her (gerçek veya karmaşık) vektör uzayı bir normu kabul eder: Eğer x ∙ = ( x ben ) i ∈ I =left(x_Sağ)_> bir X vektör uzayı için bir Hamel temelidir, ardından gönderen gerçek değerli harita x = ∑ benben sbenxbenx (sonlu sayıdaki skaler hariç tümü sben 0) ila ∑ benben | sben | X üzerinde bir normdur. [5] Ayrıca, onları belirli problemler için yararlı kılan ek özellikler sergileyen çok sayıda norm vardır.

Mutlak değer normu Düzenle

Öklid normu Düzenle

Bu, orijinden noktaya olan olağan mesafeyi veren Öklid normudur. x— Pisagor teoreminin bir sonucu. Bu işlem aynı zamanda "SRSS" olarak da adlandırılabilir. skare rooo of the sum of skareler. [8]

Öklid normu, R n , ^,> [7] ancak bu vektör uzayında aşağıda gösterileceği gibi başka normlar da vardır. Ancak, tüm bu normlar, hepsinin aynı topolojiyi tanımlaması anlamında eşdeğerdir.

Bir Öklid vektör uzayının iki vektörünün iç çarpımı, ortonormal bir temelde koordinat vektörlerinin nokta çarpımıdır. Bu nedenle, Öklid normu koordinatsız bir şekilde şu şekilde yazılabilir:

Öklid normu da denir L 2 norm, [9] 2 norm, 2-norm, veya kare norm görmek L P Uzay. adı verilen bir mesafe fonksiyonunu tanımlar. Öklid uzunluğu, L 2 mesafe, veya 2 mesafe.

Karmaşık sayıların Öklid normu

Kuaterniyonlar ve oktonyonlar Düzenle

H > dördeyler ile tanımlanır

Bu durumda norm, vektörün ve kendisinin iç çarpımının karekökü olarak ifade edilebilir:

Bu formül, Öklid uzayları ve karmaşık uzaylar dahil olmak üzere herhangi bir iç çarpım uzayı için geçerlidir. Karmaşık uzaylar için iç çarpım, karmaşık nokta çarpımına eşdeğerdir. Dolayısıyla bu durumda formül aşağıdaki gösterim kullanılarak da yazılabilir:

Taksi normu veya Manhattan normu

1-normu belirli bir sabit olan vektörler kümesi, norm eksi 1'e eşdeğer boyutta bir çapraz politopun yüzeyini oluşturur. ℓ 1 > normu. Bu normdan türetilen mesafeye Manhattan mesafesi veya 1 mesafe.

1-norm basitçe sütunların mutlak değerlerinin toplamıdır.

P-norm Düzenle

Bu tanım 0 < için hala ilgi çekicidir. P < 1 , ancak elde edilen fonksiyon bir norm tanımlamaz, [10] çünkü üçgen eşitsizliğini ihlal eder. Bu 0 < durumu için doğru olan nedir? P < 1, ölçülebilir analogda bile, karşılık gelen L P class bir vektör uzayıdır ve fonksiyonun

p -normunun kısmi türevi şu şekilde verilir:

Bu nedenle, x'e göre türev,

özel durum için P = 2 , bu olur

Maksimum norm (özel durum: sonsuz norm, tek tip norm veya üst norm) Düzenle

Sonsuzluk normu verilen bir sabit, c olan vektörler kümesi, kenar uzunluğu 2 olan bir hiperküpün yüzeyini oluşturur.C.

Sıfır norm Düzenle

Bir vektörün sıfırdan Hamming mesafesi

Metrik geometride, ayrık metrik, farklı noktalar için bir, aksi takdirde sıfır değerini alır. Bir vektör uzayının elemanlarına koordinat bazında uygulandığında, ayrık uzaklık, çekiç mesafesi, kodlama ve bilgi teorisinde önemlidir. Gerçek veya karmaşık sayılar alanında, ayrık metriğin sıfıra uzaklığı sıfırdan farklı noktada homojen değildir, sıfırdan farklı argüman sıfıra yaklaştıkça sıfıra olan uzaklık bir kalır. Bununla birlikte, bir sayının sıfırdan ayrık uzaklığı, bir normun diğer özelliklerini, yani üçgen eşitsizliği ve pozitif kesinliği karşılar. Vektörlere bileşen bazında uygulandığında, sıfırdan ayrık mesafe homojen olmayan bir "norm" gibi davranır, bu da vektör argümanında sıfır olmayan bileşenlerin sayısını tekrar sayar, bu homojen olmayan "norm" süreksizdir.

Sinyal işleme ve istatistikte David Donoho, sıfır "norm" tırnak işaretleri ile. Donoho'nun gösterimini takiben, x'in sıfır "normu", basitçe x'in sıfır olmayan koordinatlarının sayısı veya vektörün sıfırdan Hamming uzaklığıdır. Bu "norm" sınırlı bir kümeye yerelleştirildiğinde, p 0'a yaklaştıkça p -normlarının sınırıdır. Elbette, sıfır "norm" olumsuzluk gerçekten bir norm, çünkü pozitif homojen değil. Aslında, yukarıda açıklanan anlamda bir F-normu bile değildir, çünkü skaler-vektör çarpımındaki skaler argümana ve vektör argümanına göre birlikte ve ayrı ayrı süreksizdir. Terminolojiyi kötüye kullanan bazı mühendisler [ kim? ] Donoho'nun tırnak işaretlerini atlayın ve uygunsuz bir şekilde sıfır olmayanlar sayısı işlevini çağırın. L 0 normu, ölçülebilir fonksiyonların Lebesgue uzayının gösterimini yansıtır.

Sonsuz boyutlar Düzenle

Yukarıdaki normların sonsuz sayıda bileşene genelleştirilmesi, ℓ p ve Lp normlar ile boşluklar

Sonsuz boyutlu normlu vektör uzaylarının diğer örnekleri Banach uzayı makalesinde bulunabilir.

Kompozit normlar Düzenle

Herhangi bir norm ve herhangi bir dolaylı doğrusal dönüşüm A için, x'in yeni bir normunu tanımlayabiliriz.

3B'de bu, 1-norm (oktahedronlar) ve maksimum norm (paralelkenar tabanlı prizmalar) için benzerdir ancak farklıdır.

Matris normları olarak adlandırılan (gerçek veya karmaşık girişleri olan) matris uzayları üzerinde de normlar vardır.

Soyut cebirde

E, ayrılamaz dereceden bir k alanının sonlu uzantısı olsun. P μ ve k'nin cebirsel kapanışı K olsun. E'nin farklı gömülmeleri <σJ>J , sonra Galois-teorik norm bir elementin αE ( ∏ j σ k ( α ) ) p μ değeridir . < extstyle sol(prod _(alfa )>sağ)^>>> Bu fonksiyon derece bakımından homojen olduğu için [E:k] , Galois-teorik norm, bu makalenin anlamında bir norm değildir. Ancak [E:k] Normun -th kökü (bu kavramın mantıklı olduğu varsayılarak), bir normdur. [12]

Kompozisyon cebirleri Düzenle

Bileşim cebirlerinde norm N ( z ) kavramı, olumsuzluk için negatif veya sıfır olabileceğinden, bir normun olağan özelliklerini paylaşır. z ≠ 0. Bir kompozisyon cebiri (A, *, n) bir alan üzerinde bir cebirden oluşur A, bir involüsyon * ve ikinci dereceden bir form N ( z ) = z z ∗ , ,> "norm" olarak adlandırılır.

Kompozisyon cebirlerinin karakteristik özelliği, homomorfizma özelliğidir. n: ürün için wz iki elementten w ve z kompozisyon cebirinin normu N ( w z ) = N ( w ) N ( z ) değerini sağlar. R için, ,> C , ,> H , ,> ve Ö kompozisyon cebir normu, yukarıda tartışılan normun karesidir. Bu durumlarda norm, kesin bir ikinci dereceden formdur. Diğer bileşim cebirlerinde norm, izotropik ikinci dereceden bir formdur.

Denklik Düzenle

Birim çember kavramı (norm 1'in tüm vektörlerinin kümesi) farklı normlarda farklıdır: 1-norm için birim çember bir karedir, 2-norm için (Öklid normu), iyi bilinendir. birim çember, sonsuzluk normu için ise farklı bir karedir. Herhangi P-norm, uyumlu eksenleri olan bir süper elipstir (ilgili resme bakın). Normun tanımı nedeniyle, birim çember dışbükey ve merkezi olarak simetrik olmalıdır (bu nedenle, örneğin, birim top bir dikdörtgen olabilir, ancak bir üçgen olamaz ve bir için p ≥ 1 P-norm).

Vektör uzayı açısından, seminorm uzayda bir topoloji tanımlar ve bu tam olarak seminorm farklı vektörler arasında ayrım yapabildiğinde bir Hausdorff topolojisidir, bu da seminormun bir norm olmasına eşdeğerdir. Bu şekilde tanımlanan topoloji (bir norm veya bir seminorm tarafından), diziler veya açık kümeler olarak anlaşılabilir. Bir dizi vektör < v n >>> normunda v , if ‖ v n − v ‖ → 0 -v ight| o 0> olarak n → ∞ . Eşdeğer olarak, topoloji açık topların birleşimi olarak temsil edilebilecek tüm kümelerden oluşur. Eğer ( X , ‖ ⋅ ‖ ) bir normlu uzay ise [15] ‖ x − y ‖ = ‖ x − z ‖ + ‖ z − y ‖ tüm x için , y ∈ X ve z ∈ [ x , y ] . >x,yin X< ext< ve >>zin [x,y]. >

Eşdeğer normlar, aynı süreklilik ve yakınsama kavramlarını tanımlar ve birçok amaç için ayırt edilmeleri gerekmez. Daha kesin olmak gerekirse, vektör uzayında eşdeğer normlarla tanımlanan tek biçimli yapı, tek biçimli izomorfiktir.

Herhangi bir yerel dışbükey topolojik vektör uzayı, kesinlikle dışbükey kümelerden oluşan yerel bir tabana sahiptir. Böyle bir temel oluşturmak için yaygın bir yöntem, bir aile (P) seminormların P noktaları ayıran: kümelerin tüm sonlu kesişimlerinin toplanması <P < 1/n> uzayı yerel dışbükey bir topolojik vektör uzayına dönüştürür, böylece her p sürekli olur.


9.2: Normlar - Matematik

MDPI tarafından yayınlanan tüm makaleler, bir açık erişim lisansı altında dünya çapında anında kullanıma sunulmaktadır. Şekil ve tablolar dahil olmak üzere MDPI tarafından yayınlanan makalenin tamamının veya bir kısmının yeniden kullanılması için özel bir izin gerekmemektedir. Açık erişim Creative Common CC BY lisansı altında yayınlanan makaleler için, orijinal makaleden açıkça alıntı yapılması şartıyla makalenin herhangi bir kısmı izinsiz olarak yeniden kullanılabilir.

Özellik Belgeleri, alanda yüksek etki için önemli potansiyele sahip en gelişmiş araştırmaları temsil eder. Özellik Bildirileri, bilimsel editörlerin bireysel daveti veya tavsiyesi üzerine sunulur ve yayınlanmadan önce hakem incelemesinden geçer.

Özellik Belgesi, orijinal bir araştırma makalesi, genellikle birkaç teknik veya yaklaşımı içeren önemli bir yeni araştırma çalışması veya bilimsel alandaki en heyecan verici gelişmeleri sistematik olarak gözden geçiren, alandaki en son ilerleme hakkında kısa ve kesin güncellemeler içeren kapsamlı bir inceleme makalesi olabilir. Edebiyat. Bu tür kağıt, gelecekteki araştırma yönleri veya olası uygulamalar hakkında bir görünüm sağlar.

Editörün Seçimi makaleleri, dünyanın dört bir yanından MDPI dergilerinin bilimsel editörlerinin tavsiyelerine dayanmaktadır. Editörler, yazarlar için özellikle ilginç olacağına veya bu alanda önemli olacağına inandıkları dergide yakın zamanda yayınlanan az sayıda makaleyi seçerler. Amaç, derginin çeşitli araştırma alanlarında yayınlanan en heyecan verici çalışmalardan bazılarının anlık görüntüsünü sağlamaktır.


Doğrusal Olmayan Sistemlerin Modellenmesi için Hesaplamalı Yöntemler

Sonuç 15

Soruna minimum Frobenius normu çözümü (7.46) - (7.47) benzersizdir ve operatör tarafından verilir ℱ ˜ 0 matris tarafından belirlenir ℱ ˜ 0 öyle ki

Operatörle ilgili hata ℱ ˜ 0 tarafından verilir (7.57) .

Kanıt. İzin vermek r (m, n, k) ⊆ ℝ m×n hepsinin çeşitliliği olmak m × n en fazla rank matrisleri k. Teorem 53'e göre, problemin minimum Frobenius normu çözümü

(7.60) ile verilir. Bu, Açıklama 30'da kullanılana benzer bir şekilde gerçekleşir. (7.58)'de, terim | | E x y ( E y y 1 / 2 ) † − F E y y 1 / 2 | | 2 bağlı olan tek kişidir F. Operatör ℱ ˜ 0 ile ilişkili hatanın bir temsili doğrudan Teorem 55'in ispatından gelir. Bu nedenle, Sonuç 15 doğrudur.

Illüstrasyon

2'ye 2 gerçek matrisin Frobenius normu

||A||F = Sqrt [Tr [Transpoze [A] .A]]

bir maksimum norm n-tarafından-n ortogonal matris

beri n-tarafından-n ortogonal matris A bir vektörün Öklid normunu korur v içinde ℝ n , ||A.v|| = ||v||, tüm vektörler için v içinde ℝ n .

Maksimum norm ||A||Maks. nın-nin A Oranların maksimumu olarak tanımlandığından, Öklid vektör normu tarafından uyarılan 1'dir.A.v||/||v|| = ||v||/||v|| = 1, sıfırdan farklı tüm vektörler alınır v.

4'e 4 Hilbert matrisinin Frobenius normu

MatrixForm [H = HilbertMatrix[4]]

||H||F = N [Sqrt [Tr [Transpoze [H] .H]]]

norm fonksiyonu matematik bir “Frobenius” seçeneğine sahiptir:

4'e 4 Hilbert matrisinin tek normu

4'e 4 Hilbert matrisinin iki normu

H = HilbertMatrix[4] N[SingularValueList[H]]

||H||2 = Maks [N [SingularValueList [H]]]

4'e 4 Hilbert matrisinin sonsuzluk normu

||H| = N [Maks [Tablo [Toplam [H [[n]]] , ]]]

Her vektör normu bir matris normunu indükler ||A|| vektör normlarının maksimumu olarak ||Av|| tüm vektörleri ele geçirdi v bunun için ||v|| = 1.

Tekil olmayanın uyarılmış normu m-tarafından-n matris

Ortogonal matrisler Öklid normlarını koruduğu için, indüklenmiş matris normu ||A|| bir ortogonal matrisin 1'dir.


9. Sınıf Matematik Çalışma Kılavuzu Pdf

9. sınıf matematik çalışma kılavuzu pdf kitabı için ücretsiz pdf almak için, iyi bir çalışma ve master matematik 9. sınıf pdf kitap web sitelerinden edinebilirsiniz. Bu web sitelerinin birçoğu, ücretsiz olarak erişebileceğiniz matematik el kitabı ve çalışma kılavuzu 9. sınıf pdf ücretsiz indir kitaplarından oluşan iyi koleksiyonlar bulundurur. Bu kitabı edinmek için 9. sınıf matematik testi cevapları pdf dosyasını bu PDF PORTALından indirebilirsiniz. Bu web sitesinde bu kitaba erişmekte herhangi bir sorun yaşamamalısınız. O halde bir şans verin ve yüzlerce platin matematik 9. sınıf pdf indirme olanağına buradan ücretsiz erişin.


Final Sınavı

  • Final sınavı 11 Haziran Salı günü 15:30-17:30 saatleri arasında yapılacaktır.
  • içinde olacak 66 Roessler Salonu, bizim normal sınıfımız değil.
  • Final kapsamlı olacak ve sınıfta ele aldığımız tüm materyalleri içerecek.
  • 8 1/2 x 11 inçlik bir "hile sayfası" (ön ve arka) hazırlamanıza ve final sırasında kullanmanıza izin verilir, ancak başka hiçbir referansa izin verilmez.
  • Final haftası çalışma saatlerini 10 Haziran Pazartesi 14:30'da tutacağım. -- 16:00.
  • 5.1 İntegralin tanımı
  • 5.2 İntegralin varlığı ve özellikleri
  • 5.3 Kalkülüsün temel teoremi
  • 5.4 Uygun olmayan integraller
  • 7.1 Öklid uzayı
  • 7.2 Normlar ve R n'de yakınsama
  • 7.3 Açık ve kapalı kümeler
  • 8.1 R n'de sürekli fonksiyonlar
  • 9.1 Kısmi türevler
  • 9.2 Diferansiyel
  • 9.3 Zincir kuralı
  • 9.4 Yönlü türevler, gradyanlar ve teğet vektörler
  • 9.6 Ters fonksiyon teoremi
  • 10.1 Dikdörtgen Üzerinde Entegrasyon
  • 10.2--10.3 Ürdün bölgeleri üzerinden entegrasyon
  • 10.4 Yinelenen integraller
  • 10.5 Değişkenlerin değişimi

Alıştırma için, işte başka bir Profesör tarafından öğretilen önceki bir Math 125B finali. (Çok değişkenli entegrasyon sorusu yoktur ve Problem 4 ve 6 tartıştığımız materyalin biraz dışındadır, ancak yine de bunları yapabilmeniz gerekir.)


9.2.1. Sayı-teorik ve temsil fonksiyonları¶

tavanı iade et x, büyük veya eşit en küçük tam sayı x. Eğer x bir kayan nokta değildir, bir İntegral değeri döndürmesi gereken x.__ceil__() işlevini temsil eder.

Büyüklüğü (mutlak değer) olan bir şamandıra döndür x ama işareti y. İmzalı sıfırları destekleyen platformlarda copysign(1.0, -0.0) döndürür -1.0.

mutlak değerini döndür x.

Geri dönmek x faktöriyel. Eğer ValueError yükseltir x integral değildir veya negatiftir.

katını geri ver x, küçük veya eşit en büyük tam sayı x. Eğer x bir kayan nokta değildir, bir İntegral değeri döndürmesi gereken x.__floor__() işlevini temsil eder.

Platform C kitaplığı tarafından tanımlandığı gibi fmod(x, y) döndürün. Python ifadesinin x % y aynı sonucu döndürmeyebileceğini unutmayın. C standardının amacı, bazı tamsayılar için fmod(x, y)'nin tam olarak (matematiksel olarak sonsuz kesinliğe) x - n*y'ye eşit olmasıdır. n sonuç ile aynı işarete sahip olacak şekilde x ve büyüklüğü abs(y)'den küçüktür. Python’s x % y, işaretiyle bir sonuç döndürür y bunun yerine, kayan argümanlar için tam olarak hesaplanamayabilir. Örneğin, fmod(-1e-100, 1e100) -1e-100'dür, ancak Python’s -1e-100 % 1e100'ün sonucu 1e100-1e-100'dür, bu tam olarak bir kayan nokta olarak temsil edilemez ve şuraya yuvarlanır: şaşırtıcı 1e100 . Bu nedenle, yüzenlerle çalışırken genellikle fmod() işlevi tercih edilirken, tamsayılarla çalışırken Python’s x % y tercih edilir.

mantis ve üssünü döndür x (m, e) çifti olarak. m bir şamandıradır ve e tam olarak x == m * 2**e olacak şekilde bir tamsayıdır. Eğer x sıfırdır, (0.0, 0) döndürür, aksi takdirde 0,5 <= abs(m) < 1 . Bu, bir şamandıranın dahili temsilini taşınabilir bir şekilde “seçmek” için kullanılır.

Yinelenebilirdeki değerlerin doğru bir kayan nokta toplamını döndürün. Birden çok ara kısmi toplamı izleyerek kesinlik kaybını önler:

Algoritmanın doğruluğu, IEEE-754 aritmetik garantilerine ve yuvarlama modunun yarı çift olduğu tipik duruma bağlıdır. Bazı Windows olmayan yapılarda, temeldeki C kitaplığı genişletilmiş kesinlik eklemeyi kullanır ve ara sıra bir ara toplamı iki katına çıkarabilir ve bunun en az önemli bitinde kapalı olmasına neden olabilir.

Daha fazla tartışma ve iki alternatif yaklaşım için, doğru kayan nokta toplamı için ASPN yemek kitabı tariflerine bakın.

Tam sayıların en büyük ortak bölenini döndür a ve B. Eğer ikisinden biri a veya B sıfır değilse, gcd(a, b)'nin değeri her ikisini de bölen en büyük pozitif tam sayıdır a ve B. gcd(0, 0) 0 değerini döndürür.

Nouveau dans la sürüm 3.5.

Değerler ise True döndür a ve B birbirine yakın ve aksi takdirde Yanlış.

İki değerin birbirine yakın olup olmadığı, verilen mutlak ve bağıl toleranslara göre belirlenir.

rel_tol göreli toleranstır – arasında izin verilen maksimum farktır. a ve B, daha büyük mutlak değerine göre a veya B. Örneğin, %5'lik bir tolerans ayarlamak için rel_tol=0.05 iletin. Varsayılan tolerans, iki değerin yaklaşık 9 ondalık basamak içinde aynı olmasını sağlayan 1e-09'dur. rel_tol sıfırdan büyük olmalıdır.

abs_tol minimum mutlak toleranstır – sıfıra yakın karşılaştırmalar için yararlıdır. abs_tol en az sıfır olmalıdır.

Herhangi bir hata oluşmazsa, sonuç şöyle olacaktır: abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b))), abs_tol) .

NaN , inf ve -inf'nin IEEE 754 özel değerleri IEEE kurallarına göre işlenecektir. Spesifik olarak, NaN, NaN dahil olmak üzere başka hiçbir değere yakın olarak kabul edilmez. inf ve -inf yalnızca kendilerine yakın olarak kabul edilir.

Nouveau dans la sürüm 3.5.

PEP485 – Yaklaşık eşitliği test etmek için bir işlev

Eğer True döndür x ne bir sonsuzluk ne de bir NaN, aksi halde False. (0.0 olduğunu unutmayın dır-dir sonlu sayılır.)

Nouveau dans la sürüm 3.2.

Eğer True döndür x pozitif veya negatif bir sonsuzluktur ve aksi halde Yanlış.

Eğer True döndür x bir NaN'dir (sayı değil), aksi takdirde Yanlış.

x * (2**i) döndür . Bu aslında frexp() işlevinin tersidir.

kesirli ve tamsayı kısımlarını döndür x. Her iki sonuç da şu işareti taşır: x ve yüzerler.

IEEE 754 stili geri kalanını döndür x göre y. sonlu için x ve sonlu sıfırdan farklı y, bu x - n*y farkıdır , burada n , x / y bölümünün tam değerine en yakın tam sayıdır . x / y ardışık iki tam sayının tam ortasındaysa, en yakın hatta n için tamsayı kullanılır. Kalan r = kalan(x, y) bu nedenle her zaman abs(r) <= 0,5 * abs(y)'yi sağlar.

Özel durumlar IEEE 754'ü takip eder: özellikle kalan(x, math.inf) x herhangi bir sonlu için x, ve kalan(x, 0) ve kalan(math.inf, x) herhangi bir NaN olmayan için ValueError değerini yükseltir x. Kalan işlemin sonucu sıfır ise, bu sıfır ile aynı işarete sahip olacaktır. x.

IEEE 754 ikili kayan nokta kullanan platformlarda, bu işlemin sonucu her zaman tam olarak gösterilebilir: yuvarlama hatası uygulanmaz.

Nouveau dans la sürüm 3.7.

Gerçek değeri döndür x İntegrale kısaltılır (genellikle bir tamsayı). x.__trunc__() için temsilciler.

frexp() ve modf()'un C eşdeğerlerinden farklı bir çağrı/dönüş modeline sahip olduğuna dikkat edin: tek bir argüman alırlar ve ikinci dönüş değerlerini bir ‘output parametresi’ aracılığıyla döndürmek yerine bir çift değer döndürürler. Python'da böyle bir şey yoktur).

ceil() , floor() ve modf() işlevleri için şunu unutmayın: tüm yeterince büyük büyüklükteki kayan nokta sayıları tam sayılardır. Python şamandıraları tipik olarak en fazla 53 bit hassasiyet taşır (C platformu çift tipi ile aynı), bu durumda herhangi bir şamandıra x abs(x) >= 2**52 ile mutlaka kesirli bitleri yoktur.


Abreu, G. (2002). Matematiksel uygulamaların bağlamları arasındaki geçişler üzerine kültürel bir psikoloji perspektifine doğru. G. Abreu, A. Bishop & N. Presmeg (Ed.),Matematiksel uygulamaların bağlamları arasındaki geçişler (s. 173–192). Dordrecht, Hollanda: Kluwer.

Abreu, G., & Cline, T. (2003). Okullu matematik ve kültürel bilgi.Pedagoji, Kültür ve Toplum, 11, 11–30.

Boaler, J. (2002). Matematiksel aktivitenin doğasını keşfetmek: Matematik bilme kavramlarını genişletmek için teori, araştırma ve 'çalışan hipotezleri' kullanma.Matematikte Eğitim Çalışmaları, 51, 3–21.

Civil, M., & Planas, N. (2004). Matematik dersine katılım: Her öğrencinin bir sesi var mı?Matematik Öğrenimi İçin, 24 (1), 7–12.

Cobb, P. ve Yackel, E. (1998). Matematik sınıfının kültürü üzerine yapılandırmacı bir bakış açısı. F. Seeger, Y. Voigt ve U. Waschescio'da (Ed.),Matematik sınıfının kültürü (s. 158–190). Cambridge: Cambridge University Press.

Confrey, J. (2000). Sistemik reforma uygulamak için yapılandırmacılıktan yararlanmak.Matematik Eğitiminde İskandinav Çalışmaları, 8 (3), 7–30.

Cook-Gumperz, J. (1986).Okuryazarlığın sosyal yapıları. New York: Cambridge University Press.

Coulthard, D. (Ed.) (1992).Sözlü söylem analizindeki gelişmeler. Londra: Routledge.

Dowling, P. (1998).Matematik eğitiminin sosyolojisi. Londra: Falmer.

Forman, E.A. ve Ansell, E. (2001). Bir matematik sınıfı topluluğunun çoklu sesleri.Matematikte Eğitim Çalışmaları, 46 (1/3), 115–142.

Forman, E.A. ve McCormick, D.E. (1995). Söylem analizi, sosyokültürel bir bakış açısı.İyileştirici ve Özel Eğitim, 16(3), 150–158.

Gee, J.P. (1999).Söylem analizine giriş: Teori ve yöntem. Londra: Routledge.

Gorgorió, N., & Planas, N. (baskıda). Çok etnikli sınıflarda matematik öğreniminin aracıları olarak sosyal temsiller.Avrupa Eğitim Psikolojisi Dergisi.

Khisty, L., & Chval, K. (2002). Pedagojik söylem ve matematikte eşitlik: Öğretmenlerin konuşması önemli olduğunda.Matematik Eğitimi Araştırma Dergisi, 14 (3), 154–168.

Klein, M. (2002). Yeni zamanlarda / yeni zamanlar için matematik öğretimi: Pedagojik sürecin üretken kalitesinin postyapısalcı bir analizi.Matematikte Eğitim Çalışmaları, 50(1), 63–78.

Lerman, S. (2000). Matematik eğitimi araştırmalarında toplumsal dönüş. J. Boaler'de (Ed.),Matematik öğretimi ve öğrenimi üzerine çoklu bakış açıları (s. 19–44). Westport, CT: Ablex.

Lerman, S. (2001). Matematik öğrenme hesapları için muhasebe: Videolarda ve transkriptlerde ZPD'yi okumak. D. Clarke'da (Ed.),Matematik ve fen derslerinde uygulama ve anlam üzerine bakış açıları (s. 53–74). Dordrecht, Hollanda: Kluwer.

Mehan, H. (1979).Öğrenme dersleri: Sınıfta sosyal organizasyon. Harvard: Harvard University Press.

Mehan, H. (1992). Okullarda eşitsizliği anlamak: Yorumlayıcı çalışmaların katkısı.Eğitim Sosyolojisi, 65, 1–20.

Mehan, H. ve Wood, H. (1975).Etnometodolojinin gerçekliği. New York: Wiley Bilimler Arası.

Moll, L. (1992). İki dilli sınıf çalışmaları ve topluluk analizi: Bazı yeni eğilimler.Eğitim Araştırmacısı, 21 (2), 20–24.

Morgan, C. ve Watson, A. (2002). Öğretmenlerin öğrencilerin matematiğine ilişkin değerlendirmelerinin yorumlayıcı doğası: Eşitlik sorunları.Matematik Eğitiminde Araştırma Dergisi, 33 (2), 78–110.

Nkhoma, P. (2002). Başarılı siyah Güney Afrikalı öğrencilerin başarılarının faktörleri olarak gördükleri şey.Matematikte Eğitim Çalışmaları, 50 (1), 103–113.

Planas, N. (2001).Matematiğin önündeki engeller: La çeşitli yorumlamalar de la norma. Yayınlanmamış doktora tezi. Barselona: Universitat Autonoma de Barcelona. 25 Nisan 2004'te şu adresten erişildi: http://www.tdcat.cbuc.es/TDCat-1116101-145701/index.html

Planas, N. (2004). Metodología parasal analizler ile sosyal, kültürel ve eğitici materyallerin etkileşimini analiz eder.Enseñanza de las Ciencias, 22 (1), 19–36.

Planas, N., & Civil, M. (2002). Matematik sınıfındaki kesintileri anlamak: Eşitlik için çıkarımlar.Matematik Eğitimi Araştırma Dergisi, 14(3), 169–189.

Potter, J. (1996).Gerçekliği temsil etme: Söylem, retorik ve sosyal inşa. Londra: Adaçayı.

Skovsmose, O. (2000). Aforizma ve eleştirel matematik eğitimi.Matematik Öğrenimi İçin, 20 (1), 2–8.

Pomerantz, A., & Fehr, B, J (1997). Konuşma analizi: Bir anlam oluşturma pratikleri olarak sosyal eylem çalışmasına bir yaklaşım. T. A. van Dijk'te (Ed.),Sosyal etkileşim olarak söylem (s. 64–91). Londra: Adaçayı.

Walkerdine, V. (1998).Kızları sayma: Kızlar ve matematik (matematik eğitiminde çalışmalar). Londra: Routledge Falmer.

Wood, L. ve Kroger, R. (2000).Söylem analizi yapmak: Konuşma ve metinde eylemi inceleme yöntemleri. Londra: Adaçayı.

Yackel, E., & Cobb, P. (1996). Matematikte sosyomatematiksel normlar, argümantasyon ve özerklik.Matematik Eğitiminde Araştırma Dergisi, 27 (4), 458–477.

Zevenbergen, R. (1996). Liberal bir burjuva söylemi olarak konstrüktivizm.Matematikte Eğitim Çalışmaları, 31, 95–113.

Zevenbergen, R. (2003). Matematik sınıflarında yetenek gruplaması: Bourdieu analizi.Matematik Öğrenimi İçin, 23 (3), 5–10.


1 Cevap 1

Mutlak değer, bir normun belirli bir örneğidir. Veya normları $mathbf fonksiyonları olarak düşünebilirsiniz. omatbb$ nerede $mathbf$, $mathbf alanı üzerindeki bir vektör uzayıdır$ ve "mutlak değerler", "temel alandaki normlardır".

Mutlak değer, $|>|colonmathbb işlevidir o[0,infty)$ herhangi bir $r$ gerçek sayısı verildiğinde, $|r|$ yazdığımız ve aşağıdaki özellikleri karşılayan negatif olmayan bir gerçek sayı elde edersiniz:

Bu, gerçek değişkenin gerçek değerli bir işlevidir, çünkü girdi olarak gerçek bir sayı alır ve çıktı olarak (negatif olmayan) bir gerçek sayı verir. Sadece, örneğin $f$ işlevini çağırmak ve çıktıyı $f(x)$ olarak yazmak yerine, "$|>|$" işlevini çağırıyoruz ve çıktıyı $|x|$ olarak yazıyoruz.

Benzer şekilde, karmaşık sayılar için modül fonksiyonumuz var, $|>|colonmathbb$|z| ile tanımlanan o[0,infty)$ = sqrt<>>$ ve bu da yukarıdaki üç koşulu yerine getirir.

$mathbf ise$, $mathbb üzerinde bir vektör uzayıdır$, sonra bir $mathbf üzerinde norm$ $||>||colon mathbf işlevidirtatmin etmesi gereken mutlak değeri genelleştiren o[0,infty)$:

  • $||matematik|| tüm $mathbf için geq 0$inmatematik$$||matematik||=0$ ancak ve ancak $mathbf ise=mathbf<0>$.
  • $||rmatematik|| = |r|,||matematik||$ tüm $rinmathbb için$, tüm $mathbfinmatematik$.
  • $||matematik+matematik|| leq ||matematik|| + ||matematik||$ tüm $mathbf için,matematikinmatematik$.

Yine, bu bir fonksiyondur: verilen herhangi bir vektör $mathbf$ etki alanında, $||mathbf||$ işlevin çıktısıdır (negatif olmayan bir gerçek sayı).

Özellikle, $mathbb öğesini görüntülerseniz$ kendi üzerinde bir vektör uzayı olarak, o zaman mutlak değer $mathbb üzerinde bir norm verir$.

$mathbb üzerindeki vektör uzayları için$, ikinci özellikteki $r$'ın mutlak değerini $r$ modülüyle değiştirirsiniz.

Gönderinizde tanımladığınız norm, $||epsilon||=max|epsilon_i|$, $mathbb üzerine yerleştirilebilecek belirli bir normdur.^n$ $mathbb üzerinde tanımlanabilecek birçok norm vardır^n$.

Bir vektör uzayındaki norm kavramı, $mathbb içindeki herhangi bir alanla yapılabilir.$, modülü o alanla sınırlayarak.

Katma. Ayrıca herhangi bir $mathbf alanıyla başlayarak norm kavramını genişletebiliriz.$, örneğin rasyoneller gibi, sadece bir "mutlak değer" işlevi ister $|>|colon mathbfYukarıdaki özellikler 1, 2 ve 3'ü karşılayan o [0,infty)$. Sonra herhangi bir vektör uzayı için norm kavramını o alan üzerine genişletirsiniz. Bu tür "mutlak değerlere", olağan mutlak değerlerle karıştırılmaması için "normlar" olarak atıfta bulunulması yaygındır. Asaf'ın bahsettiği klasik bir örnek, rasyonellere ilişkin $p$-adic normlarıdır. İlk olarak, bir $p$ tamsayısı verilen bir $p$ asalını düzeltin, $a$'ın $p$ sırasını $p$'ın $a$'ı bölen en büyük kuvveti olarak tanımlarız: yani, $mathrm_p(a) = n$ ancak ve ancak $p^n$ $a$ ve $p^'yi bölerse$, $a$'ı bölmez. $mathrm'ı resmi olarak ayarladık_p(0)=infty$. Daha sonra bunu rasyonellere genişletiriz: verilen rasyonel bir $frac$, $mathrm'e izin verdik_p(frac) = matematik_p(a) - mathrm_p(b)$. Son olarak, rasyoneller üzerinde $p$-adic normunu tanımlarız, $||>||_pcolonmathbb o[0,infty)$ ile $||frac||_p = p^<-o_p(a/b)>$. ("Eşdeğer normlar" olarak adlandırılana karşılık gelen $p$ dışındaki tabanları kullanabilirsiniz).

Burada gerçekten $||>||_p$'ı rasyonel olarak bir tür "standart dışı mutlak değer" olarak düşünmek istiyorsunuz, bu, $p$-adic sayılarla başlayan birçok ilginç matematiğe yol açar, eğer "Cauchy dizilerini" tanımlamak için $|>|$ yerine $||>||_p$ kullanırsınız ve ikinci durumda gerçeklere götüren aynı yapıyı yaparsınız.


Videoyu izle: MATEMATİKKALKÜLÜS - Diziler- Yakınsaklık incelemesi, limit hesabı örnekleri (Aralık 2021).