Nesne

5.5: Bire Bir ve Üzerine Dönüşümler - Matematik


Öğrenme hedefleri

  1. Doğrusal bir dönüşümün üzerine mi yoksa bire bir mi olduğunu belirleyin.

(T: mathbb{R}^n mapsto mathbb{R}^m) doğrusal bir dönüşüm olsun. tanımlıyoruz Aralık veya resim (T)'nin (mathbb{R}^{m}) vektörleri kümesi olarak (T left(vec{x} ight)) (eşdeğeri olarak, (Avec{x})) bazıları için (vec{x}in mathbb{R}^{n}). (Tmathbb{R}^{n}), (Tleft( mathbb{R}^{n} ight)) veya (mathrm{Im} yazmak yaygındır. sol( Tsağ)) bu vektörleri belirtmek için.

Öngörü (PageIndex{1}): Bir Matris Dönüşümünün Aralığı

(A) bir (m imes n) matrisi olsun, burada (A_{1},cdots , A_{n}) (A.)'nın sütunlarını gösterir. O zaman, bir vektör için (vec{x}=left [ egin{array}{c} x_{1} vdots x_{n} end{array} ight ]) içinde (mathbb{R} ^n),

[Avec{x}=sum_{k=1}^{n}x_{k}A_{k}]

Bu nedenle, (A left( mathbb{R}^n ight)) bu ürünlerin tüm lineer kombinasyonlarının toplamıdır.

Kanıt

Bu, matris çarpımının tanımından kaynaklanmaktadır.

Bu bölüm, bire bir ve üzerine olarak adlandırılan lineer dönüşümlerin iki önemli karakterizasyonunu incelemeye ayrılmıştır. Şimdi onları tanımlıyoruz.

Tanım (PageIndex{1}): Bire Bir

(vec{x}_1) ve (vec{x}_2)'nin (mathbb{R}^n) içindeki vektörler olduğunu varsayalım. Doğrusal bir dönüşüm (T: mathbb{R}^n mapsto mathbb{R}^m) olarak adlandırılır bire bir (genellikle (1-1) olarak yazılır) eğer (vec{x}_1 eq vec{x}_2) bunu takip ederse: [Tleft( vec{x}_1 ight) ) eq T left(vec{x}_2sağ)]

Eşdeğer olarak, eğer (Tleft( vec{x}_1 ight) =Tleft( vec{x}_2 ight) ,) ise (vec{x}_1 = vec{x} _2). Böylece, aynı vektöre iki farklı vektör almıyorsa, (T) bire birdir.

İkinci önemli karakterizasyon üzerine çağrılır.

Tanım (PageIndex{2}): Onto

(T: mathbb{R}^n mapsto mathbb{R}^m) doğrusal bir dönüşüm olsun. Sonra (T) çağrılır üzerine eğer (vec{x}_2 in mathbb{R}^{m}) varsa (vec{x}_1 in mathbb{R}^{n}) öyle bir ( Tleft( vec{x}_1sağ) = vec{x}_2.)

Genellikle bire bir olan doğrusal bir dönüşüm olarak adlandırılırız. enjeksiyon. Benzer şekilde, üzerine olan bir lineer dönüşüm genellikle a olarak adlandırılır. tahmin.

Aşağıdaki önerme önemli bir sonuçtur.

Teorem (PageIndex{1}): Bire Bir

(T:mathbb{R}^n mapsto mathbb{R}^m) doğrusal bir dönüşüm olsun. O zaman (T) bire birdir, ancak ve ancak (T(vec{x}) = vec{0}) (vec{x}=vec{0}) ima ediyorsa.

Kanıt

Burada iki şeyi kanıtlamamız gerekiyor. İlk olarak, eğer (T) bire bir ise, o zaman (T(vec{x}) = vec{0}), (vec{x}=vec{0) anlamına geldiğini kanıtlayacağız. }). İkinci olarak, eğer (T(vec{x})=vec{0}), (vec{x}=vec{0}) anlamına geliyorsa, bunun (T) olduğunu göstereceğiz. ) bire birdir. Doğrusal bir dönüşümün (T(vec{0}) = vec{0}) özelliğine sahip olduğunu hatırlayın.

İlk önce (T)'nin bire bir olduğunu varsayalım ve (T(vec{0})) düşünün. [T(vec{0})=Tleft( vec{0}+vec{0}sağ) =T(vec{0})+T(vec{0})] ve böylece, (T(vec{0}))'nin toplamalı tersini her iki tarafa da ekleyerek, (T(vec{0})=vec{0}) olduğu görülür. (T(vec{x})=vec{0}) ise (vec{x}=vec{0}) olması gerekir çünkü sadece (T( vec{0})=vec{0}) ve (T)'nin bire bir olduğu varsayılır.

Şimdi varsayalım ki (T(vec{x})=vec{0},) o zaman (vec{x}=vec{0}.) ise (T(vec) {v})=T(vec{u}),) sonra [T(vec{v})-T(vec{u})=Tleft( vec{v}-vec{ u} ight) =vec{0}] ki bu, (vec{v}-vec{u}=0) olduğunu gösterir. Diğer bir deyişle, (vec{v}=vec{u}) ve (T) bire birdir.

Bu önermenin, eğer (A=left [ egin{array}{ccc} A_{1} & cdots & A_{n} end{array} ight ]) ise (A) olduğunu söylediğine dikkat edin. bire birdir, ancak ve ancak her [0 = sum_{k=1}^{n}c_{k}A_{k}] olduğunda her bir skaler (c_{k}=0) izlerse.

Şimdi bire bir ve lineer dönüşüm örneğine bir göz atacağız.

Örnek (PageIndex{1}): Bire Bir ve Doğrusal Dönüşüme Doğru

[Tleft [ egin{array}{c} x y end{array} ight ] =left [ egin{array}{rr} 1 & 1 1 & 2 end{ varsayalım array} ight ] left [ egin{array}{r} x y end{array} ight ]] Ardından, (T:mathbb{R}^{2} ightarrow mathbb{ R}^{2}) doğrusal bir dönüşümdür. (T) açık mı? Bire bir mi?

Çözüm

(T) matris çarpımı olarak ifade edilebildiğinden, (T)'nin doğrusal bir dönüşüm olduğunu biliyoruz. bakarak başlayacağız. Diyelim ki (left [ egin{array}{c} a b end{array} ight ] in mathbb{R}^{2}.) Var mı (left [ start{array}{c} x y end{array} ight ] in mathbb{R}^2) öyle ki (Tleft [ egin{array}{c} x y end{array} ight ] =left [ egin{array}{c} a b end{array} ight ] ?) Eğer öyleyse, o zaman (left [ egin{dizi}'den beri {c} a b end{array} ight ]), (mathbb{R}^{2},) içinde rastgele bir vektördür, bunu (T)'nin açık olduğunu takip edecektir.

Bu soru size tanıdık geldi. [left [ egin{array}{cc} 1 & 1 1 & 2 end{array} ight ] left [ egin{array}{c denkleminin bir çözümü olup olmadığı soruluyor. } x y end{array} ight ] =left [ egin{array}{c} a b end{array} ight ]] Bu, bir çözüm istemekle aynı şeydir aşağıdaki denklem sistemi. [egin{array}{c} x+y=a x+2y=b end{array}] Artırılmış matrisi ve satır küçültmeyi ayarlayın. [left [ egin{array}{rr|r} 1 & 1 & a 1 & 2 & b end{array} ight ] ightarrow left [ egin{array}{rr|r} 1 & 0 & 2a-b 0 & 1 & ba end{array} ight ] label{ontomatrix}] Bu noktadan sistemin bir çözümü olduğunu görebilirsiniz. Bu nedenle, herhangi bir (a, b) için öyle bir (left [ egin{array}{c} x y end{array} ight ]) olduğunu gösterdik ki ( Tleft [ egin{array}{c} x y end{dizi} ight ] =left [ egin{array}{c} a b end{dizi} sağ ]) . Böylece (T) üzerindedir.

Şimdi (T)'nin bire bir olup olmadığını bilmek istiyoruz. Önerme [prop:onetoonematrices] ile (Avec{x}=0) ifadesinin (vec{x}=0) içerdiğini göstermek yeterlidir. (Avec{x}=0) sistemini göz önünde bulundurun: [left [ egin{array}{cc} 1 & 1 1 & 2 end{array} ight ] sol [ egin{array}{c} x y end{array} ight ] = left [ egin{array}{c} 0 0 end{dizi} sağ ]]

Bu, tarafından verilen sistemle aynıdır.

[egin{dizi}{c} x + y = 0 x + 2y = 0 end{dizi}]

Bu sistemin çözümünün (x = 0) ve (y = 0) olduğunu göstermemiz gerekiyor. Artırılmış matrisi ve satır indirgeyi ayarlayarak, [left [ egin{array}{rr|r} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 end{array} ight ] elde ederiz. ]

Bu bize (x = 0) ve (y = 0) olduğunu söyler. Orijinal sisteme dönersek, bu diyor ki, eğer

[left [ egin{array}{cc} 1 & 1 1 & 2 end{array} ight ] left [ egin{array}{c} x y end{dizi } ight ] = left [ egin{dizi}{c} 0 0 end{dizi} sağ ]]

ardından [left [ egin{array}{c} x y end{array} ight ] = left [ egin{array}{c} 0 0 end{array} ight ] ]

Başka bir deyişle, (Avec{x}=0), (vec{x}=0) anlamına gelir. Önerme [prop:onetoonematrices] ile, (A) bire birdir ve dolayısıyla (T) da bire birdir.

Ayrıca, yukarıdaki çözümümüzden on için (T)'nin bire bir olduğunu görebilirdik. [ontomatrix] tarafından verilen matrise bakarak, bir benzersiz (x=2a-b) ve (y=b-a) ile verilen çözüm. Bu nedenle, yalnızca bir vektör vardır, özellikle (left [ egin{array}{c} x y end{array} ight ] = left [ egin{array}{c} 2a-b ba end{array} ight ]) öyle ki (Tleft [ egin{array}{c} x y end{array} ight ] =left [ egin{array}{ c} a b end{dizi} sağ ]). Dolayısıyla Tanıma göre [def:onetoone], (T) bire birdir.

Örnek (PageIndex{2}): Bir Onto Dönüşümü

(T: mathbb{R}^4 mapsto mathbb{R}^2) [T left [ egin{array}{c} a b c tarafından tanımlanan doğrusal bir dönüşüm olsun d end{array} ight ] = left [ egin{array}{c} a + d b + c end{array} ight ] mbox{ tümü için } left [ egin {array}{c} a b c d end{array} ight ] in mathbb{R}^4] (T)'nin açık olduğunu ancak bire bir olmadığını kanıtlayın.

Çözüm

(T)'nin aslında lineer olduğunu kanıtlayabilirsiniz.

(T)'nin açık olduğunu göstermek için, (left [ egin{array}{c} x y end{array} ight ]) (mathbb{R'de rastgele bir vektör olsun. }^2). (left [ egin{array}{c} x y 0 0 end{array} ight ] in mathbb{R}^4) vektörünü alarak [T elde ederiz. left [ egin{array}{c} x y 0 0 end{array} ight ] = left [ egin{array}{c} x + 0 y + 0 end{array} ight ] = left [ egin{array}{c} x y end{array} ight ]] Bu, (T)'nin açık olduğunu gösterir.

Önerme ile [prop:onetoonematrices] (T) bire birdir, ancak ve ancak (T(vec{x}) = vec{0}) (vec{x} = vec anlamına geliyorsa) {0}). [T left [ egin{array}{r} 1 0 0 -1 end{array} ight ] = left [ egin{array}{c} 1 + - olduğunu gözlemleyin 1 0 + 0 end{array} ight ] = left [ egin{array}{c} 0 0 end{array} ight ]] Sıfırdan farklı bir vektör var (vec{ x}) (mathbb{R}^4) içinde, öyle ki (T(vec{x}) = vec{0}). Buradan, (T)'nin bire bir olmadığı sonucu çıkar.

Yukarıdaki örnekler, bir doğrusal dönüşümün (T) bire bir mi yoksa üzerine mi olduğunu belirlemek için bir yöntemi göstermektedir. (T)'nin (A) matrisinin bu bilgiyi sağlayabileceği ortaya çıktı.

Teorem (PageIndex{2}): Bire Bir veya Üzerine Dönüşümün Matrisi

(T: mathbb{R}^n mapsto mathbb{R}^m) (m imes n) matrisi (A) tarafından indüklenen doğrusal bir dönüşüm olsun. O zaman (T) bire birdir, ancak ve ancak (A)'nın rankı (n) ise. (T) sadece ve ancak (A)'nın rankı (m) ise açıktır.

Örnek [exa:ontotransformation] düşünün. Yukarıda (T)'nin açık olduğunu ancak bire bir olmadığını gösterdik. Şimdi bu teoremi (T) hakkındaki bu gerçeği belirlemek için kullanabiliriz.

Örnek (PageIndex{3}): Bir Onto Dönüşümü

(T: mathbb{R}^4 mapsto mathbb{R}^2) [T left [ egin{array}{c} a b c tarafından tanımlanan doğrusal bir dönüşüm olsun d end{array} ight ] = left [ egin{array}{c} a + d b + c end{array} ight ] mbox{ tümü için } left [ egin {array}{c} a b c d end{array} ight ] in mathbb{R}^4] (T)'nin açık olduğunu ancak bire bir olmadığını kanıtlayın.

Çözüm

Teoremi [thm:matrixonetooneonto] kullanarak (T)'nin (T) matrisinden bire bir olmadığını ancak üzerinde olduğunu gösterebiliriz. (T'nin (A) matrisini bulmak için, (mathbb{R}) (vec{e}_i) standart temel vektörlerinin her birine (T) uyguladığımızı hatırlayın. ^4). Sonuç, [A = left [ egin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 0 end{ tarafından verilen (2 imes 4) matrisi A'dır. array} ight ]] Neyse ki, bu matris zaten indirgenmiş satır-adım formundadır. (A)'nın rankı (2)'dir. Bu nedenle, yukarıdaki teorem (T) üzerindedir, ancak bire bir değildir.

(S) ve (T) doğrusal dönüşümlerse, bunların (S circ T) ile gösterilen bileşiklerini tartışabileceğimizi hatırlayın. Aşağıdakiler, hem (S) hem de (T) açıksa ne olduğunu inceler.

Örnek (PageIndex{4}): Onto Dönüşümlerinin Kompoziti

(T: mathbb{R}^k mapsto mathbb{R}^n) ve (S: mathbb{R}^n mapsto mathbb{R}^m) doğrusal dönüşümler olsun. (T) ve (S) açıksa, o zaman (S circ T) açık.

Çözüm

(vec{z}in mathbb{R}^m) olsun. (S) açık olduğundan, (vec{y}in mathbb{R}^n) vektörü vardır, öyle ki (S(vec{y})=vec{z} ). Ayrıca, (T) açık olduğundan, (vec{x}in mathbb{R}^k) vardır, öyle ki (T(vec{x})=vec{y }). Böylece [vec{z} = S(vec{y}) = S(T(vec{x})) = (ST)(vec{x}),] şunu gösterir ki her bir ( vec{z}in mathbb{R}^m) var ve (vec{x}in mathbb{R}^k) öyle ki ((ST)(vec{x}) var =vec{z}). Bu nedenle, (S circ T) üzerindedir.

Bir sonraki örnek, bire bir dönüşümlerle ilgili olarak aynı kavramı göstermektedir.

Örnek (PageIndex{5}): Bire Bir Dönüşümlerin Bileşik

(T: mathbb{R}^k mapsto mathbb{R}^n) ve (S: mathbb{R}^n mapsto mathbb{R}^m) doğrusal dönüşümler olsun. (T) ve (S) bire bir ise, (S circ T)'nin bire bir olduğunu kanıtlayın.

Çözüm

(S circ T)'nin bire bir olduğunu kanıtlamak için, eğer (S(T (vec{v})) = vec{0})'nin (vec'i izlediğini göstermemiz gerekir. {v} = vec{0}). (S(T (vec{v})) = vec{0}) olduğunu varsayalım. (S) bire bir olduğundan, bunu (T (vec{v}) = vec{0}) takip eder. Benzer şekilde, (T) bire bir olduğundan, bunu (vec{v} = vec{0}) takip eder. Dolayısıyla (S circ T) bire birdir.


Bir fonksiyonun birinci koordinatları farklı ve ikinci koordinatları aynı olan iki sıralı çifti yoksa, fonksiyon bire bir olarak adlandırılır. Bu kafa karıştırıcı geliyor, bu yüzden aşağıdakileri düşünelim:

Bire bir fonksiyonda, verilen herhangi bir y ile eşleştirilebilecek yalnızca bir x vardır.

Bir fonksiyonun grafiği, yatay çizgi testi kullanılarak bir fonksiyonun birebir olup olmadığını belirlemek için de kullanılabilir:

Her yatay çizgi, bir fonksiyonun grafiğini birden fazla noktadan kesmiyorsa, fonksiyon bire birdir.

Aşağıdaki iki fonksiyonun grafiklerini göz önünde bulundurun:

 

Her çizimde fonksiyon mavi ve yatay çizgi kırmızıdır. İlk çizim için (solda), grafiği iki kez kesen yatay bir çizgi çizmek mümkün olduğundan fonksiyon bire bir değildir. Ancak, ikinci grafik (sağda) bire bir fonksiyondur, çünkü grafiği birden fazla kesen yatay bir çizgi çizmek imkansız görünmektedir.

Örnek: Aşağıdaki işlevin bire bir olup olmadığını belirleyin:

Çözüm: (5, 6) ve (8, 6) sıralı ikilileri farklı birinci koordinatlara ve aynı ikinci koordinata sahip olduğundan bu fonksiyon bire bir değildir.


Çok karışık ! daire 1 (5,8) merkezlidir ve yarıçapı 8 santimetredir. 2. daire (1,−2) merkezlidir ve yarıçapı 4 santimetredir. Dairelerin benzer olduğunu kanıtlamak için daire 1'e hangi dönüşümler uygulanabilir? cevaplarınızı kutulara girin. Daireler benzerdir çünkü dönüştürme kuralı (_ , _) kullanarak daire 1'i çevirebilir ve ardından ( _ ) ölçek faktörü kullanarak genişletebilirsiniz.

Biz biliyoruz ki
Bir veya daha fazla benzerlik dönüşümleri (yansımalar, ötelemeler, döndürmeler, genişlemeler) bir şekli diğerine eşleyen bulunabilirse, şekillerin benzer olduğu kanıtlanabilir.
Bu problemde, daire 1 ve daire 2'nin benzer olduğunu kanıtlamak için, bir daireyi diğerine eşlemek için bir öteleme ve bir ölçek faktörü (bir genişlemeden) bulunacaktır.

bizde var
Daire 1 (5,8) merkezlidir ve yarıçapı 8 santimetredir
Daire 2 (1,-2) merkezlidir ve yarıçapı 4 santimetredir

Aşama 1
1 numaralı dairenin merkezini 2 numaralı dairenin merkezine taşıyın.
dönüşüm aşağıdaki kurala sahiptir
(x,y)> (x-4,y-10)
böyle
(5,8)> (5-4,8-10)> (1,-2)
böyle
merkez daire 1 şimdi merkez daire 2'ye eşittir
Daireler artık eş merkezlidir (aynı merkeze sahiptirler)

Adım 2
Daire 1'in boyutunu daire 2'ye denk gelecek şekilde küçültmek için bir genişleme gereklidir.

ölçek faktörü=yarıçap daire 2/yarıçap daire 1> 4/8> 0,5

yarıçap daire 1 olacak=8*ölçek faktörü> 8*0.5> 4 cm
yarıçaplı daire 1 şimdi yarıçaplı daire 2'ye eşittir

Bir çeviri ve ardından bir genişleme, bir daireyi diğerine eşleştirecek ve böylece dairelerin benzer olduğunu kanıtlayacaktır.

cevap
Daireler benzerdir, çünkü Daire 1'i dönüştürme kuralını (x-4,y-10) kullanarak çevirebilir ve ardından (0.5) ölçek faktörü kullanarak genişletebilirsiniz.

1. soru: ∠G = 180 - (104+33) = 43°. Fotoğrafa göre bunu iddia edebiliriz. Gerçekten de, ∠N= ∠H olduğunu düşündük.

2. soru: Bu dönüşümü gerçekleştirmek için benzerlik dönüşümü kullanılarak aşağıdaki adımlar uygulanmalıdır.
1) İkinci dairenin merkezinden birinci dairenin merkezine doğru bir vektör çizilmelidir.
2) İkinci daire, bu vektör tarafından birinci daireye taşınmalıdır.
3) Son olarak, dönüşüm bu genişleme ile yapılır. Gerçekten de, her şey, tüm çemberlerin benzer olduğu çemberlerin benzerliği için teoreme gelir.
Ve ölçek faktörü

Prosedürdeki cevap

Bir veya daha fazla benzerlik dönüşümleri (yansımalar, ötelemeler, döndürmeler, genişlemeler) bir şekli diğerine eşleyen bulunabilirse, şekillerin benzer olduğu kanıtlanabilir.

Bu problemde, daire 1 ve daire 2'nin benzer olduğunu kanıtlamak için, bir daireyi diğerine eşlemek için bir öteleme ve bir ölçek faktörü (bir genişlemeden) bulunacaktır.

Daire 1 (5,8) merkezlidir ve yarıçapı 8 santimetredir

Daire 2 (1,-2) merkezlidir ve yarıçapı 4 santimetredir

1 numaralı dairenin merkezini 2 numaralı dairenin merkezine taşıyın.

dönüşüm aşağıdaki kurala sahiptir

merkez daire 1 şimdi merkez daire 2'ye eşittir

Daireler artık eş merkezlidir (aynı merkeze sahiptirler)

Daire 1'in boyutunu daire 2'ye denk gelecek şekilde küçültmek için bir genişleme gereklidir.

ölçek faktörü=yarıçap daire 2/yarıçap daire 1> 4/8> 0,5

yarıçap daire 1 olacak=8*ölçek faktörü> 8*0.5> 4 cm

yarıçaplı daire 1 şimdi yarıçaplı daire 2'ye eşittir

Bir çeviri ve ardından bir genişleme, bir daireyi diğerine eşleştirecek ve böylece dairelerin benzer olduğunu kanıtlayacaktır.


Bölüm 5 Özdeğerler ve Özvektörler ¶ kalıcı bağlantı

Bu bölüm, lineer cebir üzerine herhangi bir ilk dersin özünü oluşturur: özdeğerler ve özvektörler, konunun çoğu gerçek dünya uygulamasında çok önemli bir rol oynar.

Örnek

Bir tavşan popülasyonunda,

  1. yeni doğan tavşanların yarısı ilk yıllarında hayatta kalır
  2. bunların yarısı ikinci yıllarını yaşıyor
  3. maksimum yaşam süresi üç yıldır
  4. tavşanlar sırasıyla birinci, ikinci ve üçüncü yıllarında 0, 6, 8 yavru tavşan üretir.

Nedir asimptotik Bu sistemin davranışı? 100 yıl sonra tavşan nüfusu nasıl olacak?

Bölüm 5.1'de özdeğerleri ve özvektörleri tanımlayacağız ve ikincisinin nasıl hesaplanacağını Bölüm 5.2'de göstereceğiz, birincisini hesaplamayı öğreneceğiz. Bölüm 5.4'te bir matrisin köşegen matrise ne zaman "benzer" olduğunu belirlemek için özdeğerleri ve özvektörleri kullanacağız ve böyle bir matrisin cebir ve geometrisinin anlaşılmasının çok daha basit olduğunu göreceğiz. Son olarak, Bölüm 5.6'yı, Google'ın PageRank algoritmasını kullanarak İnternet'te arama yapmak da dahil olmak üzere, gerçek dünya sorunlarına özdeğerlerin ve özvektörlerin ortak bir uygulamasını sunarak harcadık.


İçindekiler

∀ a , b ∈ X , f ( a ) = f ( b ) ⇒ a = b ,

mantıksal olarak çelişkili olana eşdeğer olan,

  • Herhangi bir set için x ve herhangi bir alt küme S nın-nin x, dahil etme haritasıSx (herhangi bir öğe gönderir s nın-nin S kendisine) dolaylıdır. Özellikle, kimlik işlevixx her zaman dolaylıdır (ve aslında bijektiftir).
  • Bir fonksiyonun tanım kümesi boş küme ise, fonksiyon injektif olan boş fonksiyondur.
  • Bir fonksiyonun tanım kümesinde bir eleman varsa (yani bir tekli küme ise), o zaman fonksiyon her zaman injektiftir.
  • İşlev F : rr tarafından tanımlanan F(x) = 2x + 1 injektiftir.
  • İşlev G : rr tarafından tanımlanan G(x) = x 2 olumsuzluk enjekte, çünkü (örneğin) G(1) = 1 = G(−1) . Ancak, eğer G etki alanı negatif olmayan gerçek sayılar olacak şekilde yeniden tanımlanır [0,+∞), sonra G enjektiftir.
  • Üstel fonksiyon exp : rr exp(x) = ex injektiftir (ancak gerçek bir değer negatif bir sayıya eşlendiğinden, örtük değildir).
  • Doğal logaritma işlevi ln : (0, ∞) → r tarafından tanımlanan x ↦ ln x enjektiftir.
  • İşlev G : rr tarafından tanımlanan G(x) = xnx dolaylı değildir, çünkü örneğin, G(0) = G(1) = 0 .

Daha genel olarak, ne zaman x ve Y ikisi de gerçek çizgi mi r, daha sonra bir injektif fonksiyon F : rr grafiği herhangi bir yatay çizgiyle birden fazla kez kesişmeyen grafiktir. Bu ilke olarak adlandırılır yatay çizgi testi. [2]

Sol tersleri olan fonksiyonlar her zaman enjeksiyondur. yani verilen F : xY , eğer bir fonksiyon varsa G : Yx öyle ki her biri için xx ,

G(F(x)) = x (F tarafından geri alınabilir G), Daha sonra F enjektiftir. Bu durumda, G geri çekilmesi denir F. Tersine, F bölümü denir G.

Buna karşılık, her enjeksiyon F boş olmayan etki alanı ile sol ters vardır Gbir eleman sabitlenerek tanımlanabilen a etki alanında F Böylece G(x) öğesinin benzersiz ön görüntüsüne eşittir x altında F eğer varsa ve G(x) = a aksi takdirde. [5]

sol ters G mutlaka tersi değildir F, çünkü kompozisyon diğer sırada, FG , üzerindeki kimlikten farklı olabilir Y. Başka bir deyişle, bir injektif fonksiyon bir sol ters tarafından "tersine çevrilebilir", ancak fonksiyonun bijektif olmasını gerektiren ters çevrilebilir olması şart değildir.

Aslında, bir injektif işlevi çevirmek için F : xY bijective (dolayısıyla ters çevrilebilir) bir işleve dönüştürmek, kod alanını değiştirmek için yeterlidir. Y gerçek aralığına göre J = F(x) . Yani, izin ver G : xJ öyle ki G(x) = F(x) hepsi için x içinde x Daha sonra G bijektiftir. Aslında, F dahil olarak çarpanlara ayrılabilirJ,YG , nerede dahilJ,Y dahil etme işlevi J içine Y.

  • Eğer GF enjektiftir, o zaman F injektiftir (ancak G olması gerekmez).
  • F : xY ancak ve ancak, herhangi bir işlev verildiğinde, injektiftir G, H : Wx ne zaman olursa FG = FH , Daha sonra G = H . Başka bir deyişle, injektif fonksiyonlar tam olarak kategorideki monomorfizmlerdir.Ayarlamak kümeler.
  • Eğer F : xY enjektiftir ve A bir alt kümesidir x, Daha sonra F −1 (F(A)) = A . Böylece, A görüntüsünden kurtarılabilirF(A).
  • Eğer F : xY enjektiftir ve A ve B her ikisi de alt kümesidir x, Daha sonra F(AB) = F(A) ∩ F(B) .
  • Her fonksiyon H : WY olarak ayrıştırılabilir H = FG uygun bir enjeksiyon için F ve şüphe G. Bu ayrışma, izomorfizme kadar benzersizdir ve F aralığın dahil etme işlevi olarak düşünülebilir H(W) nın-nin H kod alanının bir alt kümesi olarak Y nın-nin H.
  • Eğer F : xY bir enjektif fonksiyondur, o zaman Y en az olduğu kadar çok elemana sahiptir. x, kardinal sayılar anlamında. Özellikle, ek olarak, bir enjeksiyon varsa Y ile x, Daha sonra x ve Y aynı kardinal numaraya sahiptir. (Bu, Cantor-Bernstein-Schroeder teoremi olarak bilinir.)
  • İkisi de olursa x ve Y aynı sayıda elemanla sonlu, o zaman F : xY eğer ve sadece eğer injektiftir F surjective (bu durumda F bijektiftir).
  • İki cebirsel yapı arasında bir homomorfizma olan bir injektif fonksiyon, bir gömmedir.
  • Bir fonksiyonun grafiği ile kod alanı arasındaki bir ilişki olan surjektivitenin aksine, injectivity tek başına fonksiyonun grafiğinin bir özelliğidir. F injektif olup olmadığına yalnızca grafiği (kodomain değil) dikkate alınarak karar verilebilir. F.

Bir işlevin kanıtı F injektif olup olmadığı, işlevin nasıl sunulduğuna ve işlevin hangi özellikleri taşıdığına bağlıdır. Bazı formüllerle verilen fonksiyonlar için temel bir fikir vardır. Enjektivite tanımını kullanıyoruz, yani eğer F(x) = F(y) , Daha sonra x = y . [6]

Kanıt: İzin ver F : xY . Sanmak F(x) = F(y) . yani 2x + 3 = 2y + 3 ⇒ 2x = 2yx = y . Bu nedenle, tanımdan anlaşılacağı F enjektiftir.

Bir fonksiyonun injektif olduğunu kanıtlamanın başka birçok yöntemi vardır. Örneğin, hesapta eğer F bir aralıkta tanımlanan türevlenebilir bir fonksiyon ise, türevin o aralıkta her zaman pozitif veya her zaman negatif olduğunu göstermek yeterlidir. Lineer cebirde, eğer F doğrusal bir dönüşümdür, çekirdeğin olduğunu göstermek yeterlidir. F yalnızca sıfır vektörünü içerir. Eğer F sonlu etki alanına sahip bir işlevdir, her etki alanı öğesinin görüntü listesine bakmak ve listede iki kez görüntü olup olmadığını kontrol etmek yeterlidir.

Gerçek değerli bir fonksiyon için grafiksel bir yaklaşım F gerçek bir değişkenin x yatay çizgi testidir. Her yatay doğru eğrisini keserse F(x) en fazla bir noktada, sonra F enjektif veya bire birdir.


İçindekiler

Rasgele bir pozitif tamsayı üzerinde aşağıdaki işlemi göz önünde bulundurun:

Modüler aritmetik gösterimde f fonksiyonunu aşağıdaki gibi tanımlayın:

Şimdi, herhangi bir pozitif tamsayı ile başlayarak ve her adımda sonucu bir sonrakinde girdi olarak alarak bu işlemi tekrar tekrar yaparak bir dizi oluşturun.

(yani: aben f'nin değeri n'ye özyinelemeli olarak i kez uygulanır aben = F ben (n) ).

Collatz varsayımı: Başlangıçta hangi pozitif tamsayı seçilirse seçilsin, bu süreç sonunda 1 sayısına ulaşacaktır.

Eğer varsayım yanlışsa, bunun nedeni sadece 1'i içermeyen bir diziye yol açan bir başlangıç ​​sayısının olması olabilir. Böyle bir dizi ya 1'i hariç tutan tekrar eden bir döngüye girer ya da sınırsız bir şekilde artar. Böyle bir dizi bulunamadı.

en küçüğüm o kadar aben < a0 denir durma zamanı n. Benzer şekilde, en küçük k öyle ki ak = 1 denir toplam durma süresi n. [3] i veya k indekslerinden biri yoksa, sırasıyla durma süresinin veya toplam durma süresinin sonsuz olduğunu söyleriz.

Collatz varsayımı, her n'nin toplam durma süresinin sonlu olduğunu ileri sürer. Ayrıca şunu söylemekle eşdeğerdir: n ≥ 2, sınırlı bir durma süresine sahiptir.

3'ten berin + 1, n tek olduğunda çifttir, bunun yerine Collatz işlevinin "kısayol" biçimi kullanılabilir

Örneğin, ile başlayan n = 12 , biri 12, 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 dizisini alır.

Numara n = 19'un 1: 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1'e ulaşması daha uzun sürer.

için sıra n = 27, aşağıda listelenen ve grafikte gösterilen, 1'e inmeden önce 9232'ye kadar tırmanarak 111 adım (tek sayılarla 41 adım, kalın harflerle) alır.

27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 (OEIS'de A008884 dizisi)

Toplam durma süresi, daha küçük herhangi bir başlangıç ​​değerinden daha uzun olan sayılar, aşağıdakilerle başlayan bir dizi oluşturur:

1, 2, 3, 6, 7, 9, 18, 25, 27, 54, 73, 97, 129, 171, 231, 313, 327, 649, 703, 871, 1161, 2223, 2463, 2919, 3711, 6171, . (OEIS'de A006877 dizisi).

Maksimum yörünge noktası daha küçük herhangi bir başlangıç ​​değerinden daha büyük olan başlangıç ​​değerleri aşağıdaki gibidir:

1, 2, 3, 7, 15, 27, 255, 447, 639, 703, 1819, 4255, 4591, 9663, 20895, 26623, 31911, 60975, 77671, 113383, 138367, 159487, 270271, 665215, 704511, . (OEIS'de A006884 dizisi)

n'nin 1'e ulaşması için gereken adım sayısı

0, 1, 7, 2, 5, 8, 16, 3, 19, 6, 14, 9, 9, 17, 17, 4, 12, 20, 20, 7, 7, 15, 15, 10, 23, 10, 111, 18, 18, 18, 106, 5, 26, 13, 13, 21, 21, 21, 34, 8, 109, 8, 29, 16, 16, 16, 104, 11, 24, 24, . (OEIS'de A006577 dizisi)

olurken en büyük toplam durma süresine sahip başlangıç ​​değeri

10'dan küçük 9, 19 basamaklı, 100'den küçük 97, 118 basamaklı, 1000'den az 871, 178 basamaklı, 104'ten az 6171, 261 basamaklı, 105'ten küçük 77 031, 350 basamaklı, 106'dan az 837 799, 524 basamaklı, 107'den az 8 400 511, 685 basamaklı, 108'den az 63 728 127, 949 basamaklı, daha az 10 9'dan büyük 670 617 279 , 986 adımlı, 10 10'dan küçük 9 780 657 630 , 1132 adımlı, [11] 10 11'den küçük 75 128 138 247 , 1228 adımlı, 10'dan küçük 12 989 345 275 647, 1348 basamaklı, 10 13'ten küçük 7 887 663 552 367, 1563 basamaklı, 10 14'ten az 80 867 137 596 217, 1662 basamaklı, 10 15'ten az 942 488 749 153 153 1862 basamaklı, 10 16'dan küçük 7 579 309 213 675 935, 1958 basamaklı, 10 17'den küçük 93 571 393 692 802 302, 2091 basamaklı ve 10 18'den küçük 931 386 2283 basamaklı 509 544 713 451 . [12]

Bu sayılar, belirtilen adım sayısına sahip en düşük sayılardır, ancak verilen sınırın altındaki sayılar olması gerekmez. Örnek olarak, 9 780 657 631, 9 780 657 630'da olduğu gibi 1132 adıma sahiptir.

Basamak sayılarına göre (2 tabanında) en küçük toplam durma süresine sahip başlangıç ​​değerleri, 2'den beri ikisinin kuvvetleridir. n 1'e ulaşmak için n kez yarıya iner ve asla artırılmaz.

İlk 1000 sayının yörüngelerini gösteren yönlendirilmiş grafik.

x ekseni başlangıç ​​sayısını temsil eder, y ekseni 1'e kadar olan zincir sırasında ulaşılan en yüksek sayıyı temsil eder. x = 9663 )

20'den az adıma sahip tüm sayıların ağacı (Büyütmek için tıklayın).

Varsayım kanıtlanmamış olsa da, sorunu inceleyen çoğu matematikçi, deneysel kanıtlar ve buluşsal argümanlar onu desteklediği için varsayımın doğru olduğunu düşünüyor.

Deneysel kanıt Düzenle

2020 [güncelleme] itibariyle 2 68 ≈ 2.95×10 20'ye kadar olan tüm başlangıç ​​değerleri için varsayım bilgisayar tarafından kontrol edilmiştir. Şimdiye kadar test edilen tüm başlangıç ​​değerleri, sonunda 3. periyodun tekrarlanan döngüsünde (421) sona erer. [13]

Bu bilgisayar kanıtı, varsayımın tüm başlangıç ​​değerleri için doğru olduğunu kanıtlamak için yeterli değildir. Pólya varsayımı gibi bazı çürütülmüş varsayımlarda olduğu gibi, çok büyük sayılar göz önüne alındığında karşı örnekler bulunabilir.

Ancak, bu tür doğrulamaların başka sonuçları olabilir. Örneğin, önemsiz olmayan bir döngünün periyodu ve yapısal formu üzerinde ek kısıtlamalar türetilebilir. [14] [15] [16]

Olasılıksal bir buluşsal düzenleme

Durma süreleri Düzenle

Terras tarafından kanıtlandığı gibi, hemen hemen her pozitif n tamsayısının sonlu bir durma süresi vardır. [18] Başka bir deyişle, hemen hemen her Collatz dizisi, başlangıç ​​değerinin kesinlikle altında olan bir noktaya ulaşır. İspat, parite vektörlerinin dağılımına dayanır ve merkezi limit teoremini kullanır.

2019'da Terence Tao, logaritmik yoğunluğu kullanarak, neredeyse tüm Collatz yörüngelerinin, bu fonksiyonun ne kadar yavaş olursa olsun sonsuza sapması koşuluyla, başlangıç ​​noktasının herhangi bir fonksiyonunun altına indiğini göstererek bu sonucu önemli ölçüde iyileştirdi. Bu çalışmaya karşılık, Quanta Dergisi Tao'nun "on yıllardır Collatz varsayımı üzerindeki en önemli sonuçlardan birini elde ettiğini" yazdı. [19] [20]

Alt sınırlar Düzenle

Bilgisayar destekli bir ispatta Krasikov ve Lagarias, aralıktaki tamsayıların sayısının [1,x] sonunda 1'e ulaşan en azından eşittir x Yeterince büyük olan tüm x için 0.84 . [21]

Bu bölümde, Collatz işlevinin kısayol biçimini düşünün.

Bir döngü bir dizidir (a0, a1, . aQ) farklı pozitif tam sayıların olduğu yerde F(a0) = a1 , F(a1) = a2 , . ve F(aQ) = a0 .

Bilinen tek döngü, önemsiz döngü olarak adlandırılan 2. periyodun (1,2)'sidir.

Döngü uzunluğu Düzenle

Önemsiz bir döngünün uzunluğunun en az 17 087 915 olduğu bilinmektedir. [15] Aslında, Eliahou (1993), önemsiz olmayan herhangi bir döngünün p periyodunun şu şekilde olduğunu kanıtladı:

p = 301994 a + 17087915 b + 85137581c

2 68'e kadar olan varsayımın yakın zamanda doğrulanmasını açıklayan benzer bir akıl yürütme, geliştirilmiş alt sınır 114 208 327 604'e (veya "kısayol" olmadan 186 265 759 595) yol açar. Bu alt sınır, 114 208 327 604 = 17 087 915 × 361 + 85 137 581 × 1269 olduğundan yukarıdaki sonuçla tutarlıdır.

K-döngüleri Düzenle

Bir k döngüsü, 2'ye bölünebilen bir döngüdür.k bitişik alt diziler: k artan çift sayı dizisi ile değişen k artan tek sayı dizisi. [16] Örneğin, döngü tek bir artan tek sayılar dizisinden ve ardından azalan bir çift sayı dizisinden oluşuyorsa, buna döngü denir. 1 döngü.

Steiner (1977), önemsizden (12) başka bir 1-döngü olmadığını kanıtlamıştır. [22] Simons (2004), 2 çevrim olmadığını kanıtlamak için Steiner'in yöntemini kullandı. [23] Simons & de Weger (2005) bu kanıtı 68 döngüye kadar genişletti: k = 68 . [16] Her biri için k 68'in ötesinde, bu yöntem bir k-döngüsünün en küçük terimi için bir üst sınır verir: örneğin, bir 77-döngü varsa, o zaman çevrimin en az bir elemanı 38137 × 250'den küçüktür. [16] 2 68'e kadar olan varsayımın doğrulanması ile birlikte, bu, 'ye kadar önemsiz olmayan bir k-döngüsünün var olmadığı anlamına gelir. k = 77. [13] Kapsamlı bilgisayar aramaları devam ettikçe, daha büyük k değerler hariç tutulabilir. Argümanı daha sezgisel olarak ifade etmek için: Her devrenin ardışık inişlerin ardından ardışık çıkışlardan oluştuğu en fazla 77 devre içeren döngüleri aramamıza gerek yok.

Ters Düzenle

Sözde büyümenin aşağıdan yukarıya yöntemini dikkate alan varsayımı kanıtlamak için başka bir yaklaşım var. Collatz grafiği. NS Collatz grafiği ters ilişki ile tanımlanan bir grafiktir

Temel ikide hesaplayan soyut bir makine olarak

Collatz işlevinin tekrarlanan uygulamaları, bit dizilerini işleyen soyut bir makine olarak temsil edilebilir. Makine, yalnızca bir "1" kalana kadar herhangi bir tek sayı üzerinde aşağıdaki üç adımı gerçekleştirecektir:

  1. İkili sistemde sayının (sağ) sonuna 1 ekleyin (2 vererekn + 1 )
  2. Bunu, ikili toplama ile orijinal numaraya ekleyin (2 vererekn + 1 + n = 3n + 1 )
  3. Sondaki tüm "0"ları kaldırın (yani, sonuç tek olana kadar art arda ikiye bölün).

Örnek Düzenleme

Başlangıç ​​sayısı 7, ikinci tabanda 111 olarak yazılır. Elde edilen Collatz dizisi şöyledir:

Parite dizisi olarak Düzenle

Bu bölüm için Collatz fonksiyonunu biraz değiştirilmiş biçimde düşünün.

This can be done because when n is odd, 3n + 1 is always even.

If P(…) is the parity of a number, that is P(2n) = 0 and P(2n + 1) = 1 , then we can define the Collatz parity sequence (or parity vector) for a number n as Pben = P(aben) , where a0 = n , ve aben+1 = F(aben) .

Using this form for F(n) , it can be shown that the parity sequences for two numbers m and n will agree in the first k terms if and only if m and n are equivalent modulo 2 k . This implies that every number is uniquely identified by its parity sequence, and moreover that if there are multiple Hailstone cycles, then their corresponding parity cycles must be different. [3] [18]

Applying the f function k times to the number n = 2 k a + B will give the result 3 C a + NS , where d is the result of applying the f function k times to b , and c is how many increases were encountered during that sequence (e.g. for 2 5 a + 1 there are 3 increases as 1 iterates to 2, 1, 2, 1, and finally to 2 so the result is 3 3 a + 2 for 2 2 a + 1 there is only 1 increase as 1 rises to 2 and falls to 1 so the result is 3a + 1 ). When b is 2 k − 1 then there will be k rises and the result will be 2 × 3 k a - 1 . The factor of 3 multiplying a is independent of the value of a it depends only on the behavior of b . This allows one to predict that certain forms of numbers will always lead to a smaller number after a certain number of iterations, e.g. 4a + 1 becomes 3a + 1 after two applications of f and 16a + 3 becomes 9a + 2 after 4 applications of f . Whether those smaller numbers continue to 1, however, depends on the value of a .

As a tag system Edit

For the Collatz function in the form

Hailstone sequences can be computed by the extremely simple 2-tag system with production rules

aM.Ö , Ba , Caaa .

In this system, the positive integer n is represented by a string of n copies of a , and iteration of the tag operation halts on any word of length less than 2. (Adapted from De Mol.)

The Collatz conjecture equivalently states that this tag system, with an arbitrary finite string of a as the initial word, eventually halts (see Tag system#Example: Computation of Collatz sequences for a worked example).

Iterating on all integers Edit

An extension to the Collatz conjecture is to include all integers, not just positive integers. Leaving aside the cycle 0 → 0 which cannot be entered from outside, there are a total of 4 known cycles, which all nonzero integers seem to eventually fall into under iteration of f . These cycles are listed here, starting with the well-known cycle for positive n :

Odd values are listed in large bold. Each cycle is listed with its member of least absolute value (which is always odd) first.

Cycle Odd-value cycle length Full cycle length
1 → 4 → 2 → 1 . 1 3
−1 → −2 → −1 . 1 2
−5 → −14 → −7 → −20 → −10 → −5 . 2 5
−17 → −50 → −25 → −74 → −37 → −110 → −55 → −164 → −82 → −41 → −122 → −61 → −182 → −91 → −272 → −136 → −68 → −34 → −17 . 7 18

The generalized Collatz conjecture is the assertion that every integer, under iteration by f , eventually falls into one of the four cycles above or the cycle 0 → 0. The 0 → 0 cycle is often regarded as "trivial" by the argument, as it is only included for the sake of completeness.

Iterating on rationals with odd denominators Edit

The Collatz map can be extended to (positive or negative) rational numbers which have odd denominators when written in lowest terms. The number is taken to be 'odd' or 'even' according to whether its numerator is odd or even. Then the formula for the map is exactly the same as when the domain is the integers: an 'even' such rational is divided by 2 an 'odd' such rational is multiplied by 3 and then 1 is added. A closely related fact is that the Collatz map extends to the ring of 2-adic integers, which contains the ring of rationals with odd denominators as a subring.

When using the "shortcut" definition of the Collatz map, it is known that any periodic parity sequence is generated by exactly one rational. [26] Conversely, it is conjectured that every rational with an odd denominator has an eventually cyclic parity sequence (Periodicity Conjecture [3] ).

If a parity cycle has length n and includes odd numbers exactly m times at indices k0 < ⋯ < km−1 , then the unique rational which generates immediately and periodically this parity cycle is


Comparing Cardinalities of Sets

İzin vermek ve be two finite sets such that there is a function . We claim the following theorems:

Eğer is one to one then .

Eğer is onto then .

Eğer is both one-to-one and onto then .

The observations above are all simply pigeon-hole principle in disguise.

teorem İzin vermek be two finite sets so that . Any function from ile cannot be one-to-one.

İzin vermek be any function. Think of the elements of as the holes and elements of as the pigeons. There are more pigeons than holes. Therefore two pigeons have to share (here map on to) the same hole.

We now prove the following claim over finite sets .

Claim İzin vermek be a finite set. Prove that every one-to-one function is also onto.

We will prove by contradiction.

İzin vermek be a one-to-one function as above but not onto.

Öyleyse, such that for every , .

Öyleyse, can be written as a one-to-one function from (since nothing maps on to ).

Similarly, we repeat this process to remove all elements from the co-domain that are not mapped to by to obtain a new co-domain .

is now a one-to-one and onto function from ile .

However, . Therefore by pigeon-hole principle cannot be one-to-one.

The last statement directly contradicts our assumption that is one-to-one. QED.


5.5: One-to-One and Onto Transformations - Mathematics

New International Version
Then one of the elders said to me, “Do not weep! See, the Lion of the tribe of Judah, the Root of David, has triumphed. He is able to open the scroll and its seven seals.”

New Living Translation
But one of the twenty-four elders said to me, “Stop weeping! Look, the Lion of the tribe of Judah, the heir to David’s throne, has won the victory. He is worthy to open the scroll and its seven seals.”

English Standard Version
And one of the elders said to me, “Weep no more behold, the Lion of the tribe of Judah, the Root of David, has conquered, so that he can open the scroll and its seven seals.”

Berean Study Bible
Then one of the elders said to me, “Do not weep! Behold, the Lion of the tribe of Judah, the Root of David, has triumphed to open the scroll and its seven seals.”

Berean Literal Bible
And one of the elders says to me, "Do not weep. Behold, the Lion of the tribe of Judah, the root of David, has overcome to open the scroll and its seven seals."

King James Bible
And one of the elders saith unto me, Weep not: behold, the Lion of the tribe of Juda, the Root of David, hath prevailed to open the book, and to loose the seven seals thereof.

New King James Version
But one of the elders said to me, “Do not weep. Behold, the Lion of the tribe of Judah, the Root of David, has prevailed to open the scroll and to loose its seven seals.”

New American Standard Bible
And one of the elders said to me, “Stop weeping behold, the Lion that is from the tribe of Judah, the Root of David, has overcome so as to be able to open the scroll and its seven seals.”

NASB 1995
and one of the elders said to me, “Stop weeping behold, the Lion that is from the tribe of Judah, the Root of David, has overcome so as to open the book and its seven seals.”

NASB 1977
and one of the elders said to me, “Stop weeping behold, the Lion that is from the tribe of Judah, the Root of David, has overcome so as to open the book and its seven seals.”

Amplified Bible
Then one of the [twenty-four] elders said to me, “Stop weeping! Look closely, the Lion of the tribe of Judah, the Root of David, has overcome ve conquered! He can open the scroll and [break] its seven seals.”

Christian Standard Bible
Then one of the elders said to me, “Do not weep. Look, the Lion from the tribe of Judah, the Root of David, has conquered so that he is able to open the scroll and its seven seals.”

Holman Christian Standard Bible
Then one of the elders said to me, “Stop crying. Look! The Lion from the tribe of Judah, the Root of David, has been victorious so that He may open the scroll and its seven seals.”

American Standard Version
and one of the elders saith unto me, Weep not behold, the Lion that is of the tribe of Judah, the Root of David, hath overcome to open the book and the seven seals thereof.

Aramaic Bible in Plain English
And one of the Elders said to me, “Do not weep behold, The Lion from the tribe of Judah, The Root of David, has prevailed to open the scroll and its seals.”

Contemporary English Version
Then one of the elders said to me, "Stop crying and look! The one who is called both the 'Lion from the Tribe of Judah' and 'King David's Great Descendant' has won the victory. He will open the scroll and its seven seals."

Douay-Rheims Bible
And one of the ancients said to me: Weep not behold the lion of the tribe of Juda, the root of David, hath prevailed to open the book, and to loose the seven seals thereof.

English Revised Version
and one of the elders saith unto me, Weep not: behold, the Lion that is of the tribe of Judah, the Root of David, hath overcome, to open the book and the seven seals thereof.

Good News Translation
Then one of the elders said to me, "Don't cry. Look! The Lion from Judah's tribe, the great descendant of David, has won the victory, and he can break the seven seals and open the scroll."

GOD'S WORD® Translation
Then one of the leaders said to me, "Stop crying! The Lion from the tribe of Judah, the Root of David, has won the victory. He can open the scroll and the seven seals on it."

International Standard Version
"Stop crying," one of the elders told me. "Look! The Lion from the tribe of Judah, the Root of David, has conquered. He can open the scroll and its seven seals."

Literal Standard Version
and one of the elders says to me, “Do not weep behold, the Lion of the tribe of Judah, the root of David, has overcome to open the scroll, and to loose its seven seals”

NET Bible
Then one of the elders said to me, "Stop weeping! Look, the Lion of the tribe of Judah, the root of David, has conquered thus he can open the scroll and its seven seals."

New Heart English Bible
One of the elders said to me, "Do not weep. Look, the Lion who is of the tribe of Judah, the Root of David, has overcome so that he can open the scroll and loose its seven seals."

Weymouth New Testament
one of the Elders said to me, "Do not weep. The Lion which belongs to the tribe of Judah, the Root of David, has triumphed, and will open the book and break its seven seals."

World English Bible
One of the elders said to me, "Don't weep. Behold, the Lion who is of the tribe of Judah, the Root of David, has overcome he who opens the book and its seven seals."

Young's Literal Translation
and one of the elders saith to me, 'Weep not lo, overcome did the Lion, who is of the tribe of Judah, the root of David, to open the scroll, and to loose the seven seals of it

Genesis 49:9
Judah is a young lion--my son, you return from the prey. Like a lion he crouches and lies down like a lioness, who dares to rouse him?

Isaiah 11:1
Then a shoot will spring up from the stump of Jesse, and a Branch from his roots will bear fruit.

Isaiah 11:10
On that day the Root of Jesse will stand as a banner for the peoples. The nations will seek Him, and His place of rest will be glorious.

Daniel 7:16
I approached one of those who were standing there, and I asked him the true meaning of all this. So he told me the interpretation of these things:

Romans 15:12
And once more, Isaiah says: "The Root of Jesse will appear, One who will arise to rule over the Gentiles in Him the Gentiles will put their hope."

Hebrews 7:14
For it is clear that our Lord descended from Judah, a tribe as to which Moses said nothing about priests.

Revelation 3:21
To the one who overcomes, I will grant the right to sit with Me on My throne, just as I overcame and sat down with My Father on His throne.

And one of the elders said to me, Weep not: behold, the Lion of the tribe of Juda, the Root of David, has prevailed to open the book, and to loose the seven seals thereof.

Revelation 4:4,10 And round about the throne NS four and twenty seats: and upon the seats I saw four and twenty elders sitting, clothed in white raiment and they had on their heads crowns of gold…

Revelation 7:13 And one of the elders answered, saying unto me, What are these which are arrayed in white robes? and whence came they?

Jeremiah 31:16 Thus saith the LORD Refrain thy voice from weeping, and thine eyes from tears: for thy work shall be rewarded, saith the LORD and they shall come again from the land of the enemy.

Luke 7:13 And when the Lord saw her, he had compassion on her, and said unto her, Weep not.

Luke 8:52 And all wept, and bewailed her: but he said, Weep not she is not dead, but sleepeth.

Genesis 49:9,10 Judah dır-dir a lion's whelp: from the prey, my son, thou art gone up: he stooped down, he couched as a lion, and as an old lion who shall rouse him up? …

Numbers 24:9 He couched, he lay down as a lion, and as a great lion: who shall stir him up? Blessed dır-dir he that blesseth thee, and cursed dır-dir he that curseth thee.

Hebrews 7:14 İçin it is evident that our Lord sprang out of Juda of which tribe Moses spake nothing concerning priesthood.

Revelation 22:16 I Jesus have sent mine angel to testify unto you these things in the churches. I am the root and the offspring of David, ve the bright and morning star.

Isaiah 11:1,10 And there shall come forth a rod out of the stem of Jesse, and a Branch shall grow out of his roots: …

Jeremiah 23:5,6 Behold, the days come, saith the LORD, that I will raise unto David a righteous Branch, and a King shall reign and prosper, and shall execute judgment and justice in the earth…

Revelation 1:1 The Revelation of Jesus Christ, which God gave unto him, to shew unto his servants things which must shortly come to pass and he sent and signified it by his angel unto his servant John:

Revelation 6:1 And I saw when the Lamb opened one of the seals, and I heard, as it were the noise of thunder, one of the four beasts saying, Come and see.

The Lion of the tribe of Juda-- The lion was the ancient symbol of the tribe of Judah. Jacob described his son as "a lion's whelp" (Genesis 49:9) the standard of Judah in the Israelitish encampment is said to have been a lion. It was the symbol of strength, courage, and sovereignty.

The Root of David.-- The Lion is also the representative of the royal house of David. " Christ cometh of the seed of David" (comp. Mark 12:35 with John 8:42) the prophets have described Him as the Branch, which would spring from the ancient stock (Isaiah 11:1 Zechariah 6:12). But there seems also a reference to the deeper thought that He who is the Branch is also the Root (comp. Isaiah 11:10) He is the one who was David's Lord (Matthew 22:41-45), and "the true source and ground of all power" to David and David's tribe, and of all who looked to Him, and not to themselves, for strength. . . .

Verse 5. - And one of the elders saith unto me, Weep not . One of the elders, as representing the Church (see on Revelation 4:4), bids St. John to take heed to him who was about to disclose to some extent the future of that Church. There is, of course, no indication that any particular individual is signified, though some have striven to identify the elder. Thus De Lyra mentions St. Peter, who was already martyred others, referred to by De Lyra, say St. Matthew, who, in his Gospel, declares Christ's power (Matthew 28:18). Behold, the Lion of the tribe of Juda. The title is accorded to Christ, in illustration of the following act. The Representative of the royal and victorious tribe of Judah was he who had prevailed to open the book, where others had failed (cf. Genesis 40:9, "Judah is a lion's whelp" Hebrews 7:14, "For it is evident that our Lord sprang out of Judah"). The Root of David . The Root of David is a synonym for Stem or Branch (cf. Isaiah 11:1, "There shall come forth a Rod out of the stem of Jesse, and a Branch shall grow out of his roots" and Romans 15:12, "Esaias saith, There shall be a Root of Jesse"). Further, Christ may be said to have been the Root of David, by virtue of his pre-existence and his creative power. It is one of the paradoxes of the Incarnation, that he who is the Root of David should also be a Branch. Hath prevailed to open the book hath conquered ( ἐνίκησεν ). Not, as the Authorized Version appears to read, that the act of victory consisted in the opening of the book, but the ability to open was a consequence of a former act of victory, viz. the redemption. So in ver. 9 the ascription of praise runs, "Thou art worthy because thou wast slain" (on the infinitive epexegetic, see Winer). Some see a reference here to Revelation 3:7, "He that openeth, and no man shutteth." And to loose the seven seals thereof and the seven seals thereof (Revised Version). Omit "to loose?"

bir
εἷς (heis)
Adjective - Nominative Masculine Singular
Strong's 1520: One. (including the neuter Hen) a primary numeral one.

nın-nin
ἐκ (ek)
Preposition
Strong's 1537: From out, out from among, from, suggesting from the interior outwards. A primary preposition denoting origin, from, out.

NS
τῶν (tōn)
Article - Genitive Masculine Plural
Strong's 3588: The, the definite article. Including the feminine he, and the neuter to in all their inflections the definite article the.

elders
πρεσβυτέρων (presbyterōn)
Adjective - Genitive Masculine Plural
Strong's 4245: Comparative of presbus older as noun, a senior specially, an Israelite Sanhedrist or Christian 'presbyter'.

said
λέγει (legei)
Verb - Present Indicative Active - 3rd Person Singular
Strong's 3004: (a) I say, speak I mean, mention, tell, (b) I call, name, especially in the pass., (c) I tell, command.

to me,
μοι (moi)
Personal / Possessive Pronoun - Dative 1st Person Singular
Strong's 1473: I, the first-person pronoun. A primary pronoun of the first person I.

olumsuzluk
Μὴ (Mē)
Adverb
Strong's 3361: Not, lest. A primary particle of qualified negation not, lest also (whereas ou expects an affirmative one) whether.

weep!
κλαῖε (klaie)
Verb - Present Imperative Active - 2nd Person Singular
Strong's 2799: To weep, weep for, mourn, lament. Of uncertain affinity to sob, i.e. Wail aloud.

Behold,
ἰδοὺ (idou)
Verb - Aorist Imperative Active - 2nd Person Singular
Strong's 2400: See! Lo! Behold! Look! Second person singular imperative middle voice of eido used as imperative lo!

NS
ὁ (ho)
Article - Nominative Masculine Singular
Strong's 3588: The, the definite article. Including the feminine he, and the neuter to in all their inflections the definite article the.

Lion
Λέων (Leōn)
Noun - Nominative Masculine Singular
Strong's 3023: A lion. A primary word a 'lion'.

nın-nin
ἐκ (ek)
Preposition
Strong's 1537: From out, out from among, from, suggesting from the interior outwards. A primary preposition denoting origin, from, out.

NS
τῆς (tēs)
Article - Genitive Feminine Singular
Strong's 3588: The, the definite article. Including the feminine he, and the neuter to in all their inflections the definite article the.

tribe
φυλῆς (phylēs)
Noun - Genitive Feminine Singular
Strong's 5443: A tribe or race of people. From phuo an offshoot, i.e. Race or clan.

of Judah,
Ἰούδα (Iouda)
Noun - Genitive Masculine Singular
Strong's 2448: Judah, Judas, Jude. Of Hebrew origin Judah, a part of Palestine.

NS
ἡ (hē)
Article - Nominative Feminine Singular
Strong's 3588: The, the definite article. Including the feminine he, and the neuter to in all their inflections the definite article the.

root
Ῥίζα (Rhiza)
Noun - Nominative Feminine Singular
Strong's 4491: A root, shoot, source that which comes from the root, a descendent. Apparently a primary word a 'root'.

of David,
Δαυίδ (Dauid)
Noun - Genitive Masculine Singular
Strong's 1138: David, King of Israel. Of Hebrew origin Dabid, the Israelite king.

has triumphed
ἐνίκησεν (enikēsen)
Verb - Aorist Indicative Active - 3rd Person Singular
Strong's 3528: To conquer, be victorious, overcome, prevail, subdue. From nike to subdue.

to open
ἀνοῖξαι (anoixai)
Verb - Aorist Infinitive Active
Strong's 455: To open. From ana and oigo to open up.

NS
τὸ (to)
Article - Accusative Neuter Singular
Strong's 3588: The, the definite article. Including the feminine he, and the neuter to in all their inflections the definite article the.

scroll
βιβλίον (biblion)
Noun - Accusative Neuter Singular
Strong's 975: A papyrus roll. A diminutive of biblos a roll.

its
αὐτοῦ (autou)
Personal / Possessive Pronoun - Genitive Neuter 3rd Person Singular
Strong's 846: He, she, it, they, them, same. From the particle au the reflexive pronoun self, used of the third person, and of the other persons.

seven
ἑπτὰ (hepta)
Adjective - Accusative Feminine Plural
Strong's 2033: Seven. A primary number seven.

seals.?
σφραγῖδας (sphragidas)
Noun - Accusative Feminine Plural
Strong's 4973: Probably strengthened from phrasso a signet by implication, the stamp impressed, literally or figuratively.


5.5: One-to-One and Onto Transformations - Mathematics

Since stereographic projection sets up a one-to-one correspondence between points of the plane and points of the sphere except N - the North pole - and since it has nice properties, it is convenient to take the sphere as a model for the complex projective line (see Hopf fibration).

It is natural in projective geometry to consider linear transformations and they turn out to be important in this context:

is a linear transformation if the determinant is not zero, i.e. it is invertible. Cross-ratio can be defined just as in the real case and it is invariant under linear transformations. In the real case, the linear transformations were considered as changes of base giving different parametrizations of the line, but here we usually keep the coordinate system fixed and consider that the transformations move the points giving homeomorphisms (i.e. 1-1 and onto transformations continuous in both directions) of the complex line.

Converting to the non-homogeneous coordinate z , the linear transformations become

and are called Möbius transformations and, in this context, the sphere is called the Riemann sphere . The condition ensures that z' is not constant.

Möbius transformations transform circles and lines into circles and lines which on the sphere become simply circles into circles. To prove this property, divide the fraction in the case to get

The transformation can then be considered as the composite

z to cz ile cz + d to 1 / (cz + d ) to g / ( cz + d ) to z' .

Multiplying by c = re i &theta rotates a circle about the origin through theta and blows it up away from the origin or shrinks it towards by a factor r, adding a constant merely translates it and inverting, which takes re i &theta to 1/ re - I &theta , is inversion with respect to the unit circle at the origin followed by complex conjugation. All these transformations are known to take circles to circles unless the circle goes through - d/c when the circle goes to a line. The case works in the same way. (For the action of the inverse function on circles, see the article on applications of complex numbers in geometry.)

Corresponding to the fact that any three different points determine a change of base on the real projective line, a Möbius transformation can be determined by choosing three points that are to be the images of 0, 1 and infinity, which is N on the sphere.

Möbius transformations have had many important applications, some of which are described in the internet.


It's the division algorithm at work. If $n$ and $k$ are positive integers, we know that there are unique integers $q$ and $r$ such that $n=qk+r$ and leq r < n$. Then $1k, 2k, ldots qk$ are all less than (or equal to) $n$.

In general, if $x mid n$, then $dfrac = m iff n = m imes x$, where $m$ is the number of multiples of x that yields $n$.

A complete list of all the positive multiples of 5 up to 60. $1 imes 5 = 5$ $2 imes 5 = 5 + 5 =10$ $3 imes 5 = 5 + 5 +5 = 15$ $4 imes 5 = 5 + 5 +5 +5 =20$ $5 imes 5 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 25$ $6 imes 5 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 +5 = 30$ $7 imes 5 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 +5 +5 = 35$ $8 imes 5 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 +5 +5 +5 = 40$ $9 imes 5 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 +5 +5 +5 +5= 45$ $10 imes 5 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 +5 +5 +5 +5 + 5 = 50$ $11 imes 5 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 +5 +5 +5 +5 + 5 +5 = 55$ $12 imes 5 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 +5 +5 +5 +5 + 5 +5 +5 = 60$ See how they're numbered on the left by the $n$ in $n imes 5$. Can you generalize this?


Videoyu izle: Dönüşümler 1. Matematik. AYT Matematik # #trigonometri (Aralık 2021).