Nesne

6.3: ax²+bx+c Formunun Üç Terimlerini Çarpanlara Ayırma


Öğrenme hedefleri

  • (ax^{2}+bx+c) formunun üç terimli çarpanları.
  • Ortak çarpanlı çarpan üçlü terimler.

(ax^{2}+bx+c) Formunun Üç Terimlerini Çarpanlara Ayırma

(ax^{2}+bx+c) formunun üç terimlilerini çarpanlara ayırmak zor olabilir çünkü orta terim hem (a) hem de (c) çarpanlarından etkilenir. Bunu göstermek için, aşağıdaki çarpanlara ayrılmış üç terimliyi göz önünde bulundurun:

(10x^{2}+17x+3=(2x+3)(5x+1))

Bunun doğru çarpanlara ayırma olduğunu doğrulamak için çarpabiliriz.

(egin{aligned} (2x+3)(5x+1)&=10x^{2}+2x+15x+3 &=10x^{2}+17x+3quadcolor{Cerulean} {onay işareti} end{hizalanmış})

Daha önce gördüğümüz gibi, her iki terimlinin ilk terimlerinin çarpımı, üç terimli terimin ilk terimine eşittir. Üç terimlinin orta terimi, iki terimlilerin dış ve iç terimlerinin çarpımlarının toplamıdır. Her iki terimlinin son terimlerinin çarpımı, üç terimli terimin son terimine eşittir. Görsel olarak, aşağıdakilere sahibiz:

Genel olarak,

(egin{aligned} color{Cerulean}{a}color{siyah}{x^{2}+}color{Cerulean}{b}color{siyah}{x+}color{Cerulean}{ c}&= (px+m)(qx+n) &=pqx^{2}+pnx+qmx+mn &=color{Cerulean}{pq}color{siyah}{x^{ 2}+}color{Cerulean}{(pn+qm)}color{siyah}{x+}color{Cerulean}{mn} end{hizalı})

Bu bize,

[a=pqquad ext{ve}quad b=pn+qm,quad ext{nerede}quad c=mn]

Kısacası, bir üç terimlinin baş katsayısı (1) dışında bir şey olduğunda, deneme yanılma yöntemini kullanarak faktörleri belirlerken dikkate alınması gereken daha çok şey olacaktır. Anahtar, orta terimin nasıl elde edildiğinin anlaşılmasında yatmaktadır. ((2x+5)(3x+7)) ile çarpın ve orta terimin oluşumunu dikkatlice takip edin.

(egin{array}{ccc} {(color{Cerulean}{2x}color{black}{+}color{OliveGreen}{5}color{siyah}{)(3x+7)= color{Cerulean}{2x}color{black}{cdot 3x}}}&{underbrace{+color{Cerulean}{2x}color{black}{cdot 7+}color{OliveGreen}{ 5}color{black}{cdot 3x}}}&{+color{OliveGreen}{5}color{black}{cdot 7}} {}&{color{Cerulean}{orta :term}}&{} end{dizi})

(egin{aligned} &=6x^{2}+14x+15x+35 &=6x^{2}+29x+35 end{aligned})

İki terimlileri çarpmak için FOIL yöntemini düşünürsek, orta terim, iç çarpım ile dış çarpımın toplamından ortaya çıkar. Bu durumda, aşağıda gösterildiği gibi (14x+15x=29x):

Bu nedenle, toplamı orta terimin katsayısına eşit olan ilk ve son terimlerin faktörlerinin ürünlerini aramamız gerekir. Örneğin, (6x^{2}+29x+35) çarpanlarına ayırmak için (6) ve (35) çarpanlarına bakın.

(egin{array}{ccc}{6=1cdot 6}&{quad}&{35=1cdot 35}{=color{OliveGreen}{2cdot 3}}&{ quad}&{=color{OliveGreen}{5cdot 7}} end{dizi})

Orta terimin katsayısını üreten kombinasyon (2⋅7+3⋅5=14+15=29)'dir. Dış terimlerin (2) ve (7) katsayılarına ve iç terimlerin (5) ve (3) katsayılarına sahip olduğundan emin olun. Üç terimliyi çarpanlara ayırmak için bu bilgiyi kullanın:

(egin{aligned} 6x^{2}+29x+35&=(2xquadcolor{Cerulean}{?}color{black}{)(3x}quadcolor{Cerulean}{?} color{siyah}{)} &=(2x+5)(3x+7) end{hizalı})

Örnek (PageIndex{1})

faktör:

(3x^{2}+7x+2).

Çözüm:

Baş katsayı ve son terimin ikisi de asal olduğundan, her birini çarpanlarına ayırmanın yalnızca bir yolu vardır.

(3=1cdot 3quad ext{ve}quad 2=1cdot 2)

İlk terim olan (3x^{2}) çarpanlarını aşağıdaki gibi yazarak başlayın:

(3x^{2}+7x+2=(xquadcolor{Cerulean}{?}color{black}{)(3x}quadcolor{Cerulean}{?}color{siyah}{? )})

Orta ve son terimin ikisi de pozitiftir; bu nedenle, (2) çarpanları pozitif sayılar olarak seçilir. Bu durumda, tek seçenek bu faktörlerin hangi gruplandırmaya yerleştirileceğidir.

((x+1)(3x+2)quad ext{veya}quad (x+2)(3x+1))

Her ifadeyi çarparak hangi gruplandırmanın doğru olduğunu belirleyin.

(egin{hizalanmış} (x+1)(3x+2)&=3x^{2}+2x+3x+2 &=3x^{2}+5x+2quadcolor{kırmızı} {x}(x+2)(3x+1)&=3x^{2}+x+6x+2 &=3x^{2}+7x+2quadcolor{Cerulean}{ onay işareti} end{hizalanmış})

Bu ürünlerin yalnızca orta terimlerinde farklılık gösterdiğine dikkat edin. Ayrıca, aşağıda gösterildiği gibi, orta terimin iç ve dış çarpımların toplamı olduğuna dikkat edin:

Cevap:

((x+2)(3x+1))

Örnek (PageIndex{2})

faktör:

(12x^{2}+38x+20).

Çözüm:

İlk olarak, ilk ve son terimlerin faktörlerini düşünün.

(egin{array}{ccc}{12=1cdot 12}&{quad}&{20=1cdot 20}{=2cdot 6}&{quad}&{=2 cdot 10}{=3cdot 4}&{quad}&{=4cdot 5} end{dizi})

Toplamları orta terimin katsayısı olan (38)'e eşit olan faktörlerin ürünlerini arıyoruz. Kısaca, düşünce süreci (2) ve (6) faktörlerinden başlayarak gösterilmektedir. Faktoring bu noktada ilk terimle başlar.

(12x^{2}+38x+20=(2xquadcolor{Cerulean}{?}color{black}{)(6x}quadcolor{Cerulean}{?}color{siyah}{) )})

12'nin çarpanlarıyla birlikte 38x'lik bir orta terim üreten 20'nin çarpanlarını arıyoruz

(egin{array}{lll} {Faktörler:of:20}&{Olası}&{faktörleştirme}{color{Cerulean}{1cdot 20}}&{(2x+1)( 6x+20)}&{color{Cerulean}{middle:termRightarrow 46x}}{color{Cerulean}{1cdot 20}}&{(2x+20)(6x+1)} &{color{Cerulean}{middle:termRightarrow 122x}}{color{Cerulean}{2cdot 10}}&{(2x+2)(6x+10)}&{color{ Cerulean}{middle:termRightarrow 32x}}{color{Cerulean}{2cdot 10}}&{(2x+10)(6x+2)}&{color{Cerulean}{middle :termRightarrow 64x}}{color{Cerulean}{4cdot 5}}&{(2x+4)(6x+5)}&{color{Cerulean}{middle:termRightarrow 34x }}{color{Cerulean}{4cdot 5}}&{color{OliveGreen}{(2x+5)(6x+4)}}&{color{OliveGreen}{orta:term Rightarrow 38x}quadcolor{Cerulean}{checkmark}} end{dizi})

Burada son kombinasyon bir orta terim olan (38x) üretir.

Cevap:

((2x+5)(6x+4))

Örnek (PageIndex{3})

faktör:

(10x^{2}−23x+6).

Çözüm

İlk olarak, ilk ve son terimlerin faktörlerini düşünün.

(egin{array}{ccc}{10=1cdot 10}&{quad}&{6=1cdot 6}{=2cdot 5}&{quad}&{=2 cdot 3} end{dizi})

Toplamları orta terimin katsayısı olan (−23)'e eşit olan çarpanların ürünlerini arıyoruz. Faktoring bu noktada iki boş parantez seti ile başlar:

(10x^{2}-23x+6=(dörtlü )(dörtlü ))

Son terim pozitif ve orta terim negatif olduğundan, son terimin her iki faktörünün de negatif olması gerektiğini biliyoruz. Burada (10x^{2}=2x⋅5x) çarpanlarıyla olası tüm kombinasyonları listeliyoruz.

(10x^{2}-23x+6=(2xquadcolor{Cerulean}{?}color{black}{)(5x}quadcolor{Cerulean}{?}color{siyah}{) )})

(egin{array}{ll}{(2x-1)(5x-6)}&{color{Cerulean}{middle:termRightarrow -17x}}{(2x-6)(5x -1)}&{color{Cerulean}{middle:termRightarrow -32x}}{(2x-2)(5x-3)}&{color{Cerulean}{middle:termRightarrow -16x}}{(2x-3)(5x-2)}&{color{Cerulean}{middle:termRightarrow -19x}} end{dizi})

(−23x) orta terimini üreten bir kombinasyon yoktur. Daha sonra (10x^{2}=10x⋅x) çarpanlarına geçiyoruz ve tüm olası kombinasyonları listeliyoruz:

(10x^{2}-23x+6=(10xquadcolor{Cerulean}{?}color{black}{)(x}quadcolor{Cerulean}{?}color{siyah}{? )})

(egin{array}{ll}{(10x-1)(x-6)}&{color{Cerulean}{middle:termRightarrow -61x}}{(10x-6)(x -1)}&{color{Cerulean}{middle:termRightarrow -162x}}{(10x-2)(x-3)}&{color{Cerulean}{middle:termRightarrow -32x}}{color{OliveGreen}{(10x-3)(x-2)}}&{color{OliveGreen}{middle:termRightarrow -23x}quadcolor{Cerulean}{ checkmark}} end{dizi})

Ve yazabiliriz

Cevap:

((10x-3)(x-2)). Tam kontrol okuyucuya bırakılmıştır.

İlk ve son terimlerin tüm çarpanlarını ve bunların ürünlerini göz önünde bulundurursak, üç terimlileri çarpanlara ayırmada yer alan tahminlerin çoğunu azaltabiliriz.

Örnek (PageIndex{4})

faktör:

(5x^{2}+38x-16).

Çözüm:

(5) ve (16) çarpanlarıyla başlıyoruz.

(egin{array}{cc}{}&{16=1cdot 16}{5=1cdot 5}&{=2cdot 8}{}&{=4cdot 4 } end{dizi})

Baş katsayı asal olduğundan, aşağıdakilerle başlayabiliriz:

(5x^{2}+38x-16=(xquadcolor{Cerulean}{?}color{black}{)(5x}quadcolor{Cerulean}{?}color{siyah}{?} )})

Muhtemelen 38'e ekleyebilecek 5 ve 16'nın çarpanlarının ürünlerini arıyoruz.

(egin{array}{lll}{Faktörler:of:16}&{Olası}&{ürünler}{color{Cerulean}{1cdot 16}}&{1cdotcolor{ Cerulean}{1}:color{black}{and: 5}cdotcolor{Cerulean}{16}}&{color{Cerulean}{productsRightarrow:1:and:80} }{color{Cerulean}{1cdot 16}}&{1cdot color{Cerulean}{16}:color{black}{and:5}cdotcolor{Cerulean}{ 1}}&{color{Cerulean}{productsRightarrow:16:and:5}}{color{Cerulean}{2cdot 8}}&{1cdotcolor{Cerulean} {2}:color{black}{and:5}cdotcolor{Cerulean}{8}}&{color{OliveGreen}{productsRightarrow:2:ve:40}quad color{Cerulean}{checkmark}}{color{Cerulean}{2cdot 8}}&{1cdotcolor{Cerulean}{8}:color{siyah}{ve:5 }cdotcolor{Cerulean}{2}}&{color{Cerulean}{productsRightarrow:8:and:10}}{color{Cerulean}{4cdot 4}}& {1cdotcolor{Cerulean}{4}:color{black}{and:5}cdotcolor{Cerulean}{4}}&{color{Cerulean}{productsRightarrow:4 :ve:20}} end{dizi})

Son terim negatif olduğundan, zıt işaretli faktörleri aramalıyız. Burada, zıt işaretleri varsa, 2 ve 40 çarpımlarının toplamının 38'e ulaştığını görebiliriz:

(1cdot (color{Cerulean}{-2}color{black}{)+5cdot}color{Cerulean}{8}color{siyah}{=-2+40=38} )

Bu nedenle, (−2) ve (8)'yi (16'nın çarpanları olarak kullanın, iç ve dış çarpımların (−2x) ve (40x) olduğundan emin olun):

Cevap:

((x+8)(5x-2)). Tam kontrol okuyucuya bırakılmıştır.

Bir çok alıştırmadan sonra, bir önceki örnekte anlatılan işlem zihinsel olarak gerçekleştirilebilir.

Alıştırma (PageIndex{1})

faktör:

(12x^{2}-31x-30)

Cevap

((3x-10)(4x+3))

Birden çok değişkenli üç terimli verildiğinde, süreç benzerdir.

Örnek (PageIndex{5})

faktör:

(9x^{2}+30xy+25y^{2}).

Çözüm:

İç ve dış çarpımların toplamı orta terime eşit olacak şekilde ilk ve son terimlerin çarpanlarını arayın.

(egin{array}{cc}{9x^{2}=1xcdot 9x}&{25y^{2}=1ycdot 25y}{=3xcdot 3x}&{=5ycdot 5y} end{dizi})

Orta terimi elde etmek için aşağıdaki çarpımları ekleyin: (3x⋅5y+3x⋅5y=30xy).

(egin{hizalanmış} 9x^{2}+30xy+25y^{2}&=(3xquad )(3xquad ) &=(3x+5y)(3x+5y) &= (3x+5y)^{2} end{hizalanmış})

Bu örnekte, bir tam kare trinomumuz var. Kontrol etmek.

(egin{hizalı} (3x+5y)^{2}&= 9x^{2}+2cdot 3xcdot 5y+25y^{2} &=9x^{2}+30xy+25y ^{2}quadcolor{Cerulean}{checkmark} end{hizalı})

Cevap:

((3x+5y)^{2})

Alıştırma (PageIndex{2})

faktör:

(16x^{2}−24xy+9y^{2}).

Cevap

((4x-3y)^{2})

Ortak Faktörler ile Trinomials Faktoring

Varsa, GCF'yi ilk önce çarpanlara ayırmak iyi bir uygulamadır. Bunu yapmak, daha küçük katsayılara sahip üç terimli bir faktör üretir. Gördüğümüz gibi, daha küçük katsayılı üç terimlileri çarpanlarına ayırmak için çok daha az çaba gerekir. Bu genellikle gözden kaçan adım, erken tespit edilmeye değer.

Örnek (PageIndex{6})

faktör:

(12x^{2}-27x+6).

Çözüm:

GCF'yi çarpanlara ayırarak başlayın.

(12x^{2}-27x+6=3(4x^{2}-9x+2))

3'ü çarpanlara ayırdıktan sonra, elde edilen üç terimin katsayıları daha küçüktür ve daha az faktöre sahiptir.

(egin{array}{cc}{4=color{OliveGreen}{1cdot 4}}&{2=color{OliveGreen}{1cdot 2}}{=2cdot 2} &{}end{dizi})

Biraz düşündükten sonra, orta terimin katsayısını veren kombinasyonun (4(−2)+1(−1)=−8−1=−9) olduğunu görebiliriz.

(egin{aligned}3(4x^{2}-9x+2)&=3(4xquadcolor{Cerulean}{?}color{black}{)(x}quadcolor{Cerulean }{?}color{siyah}{)} &=3(4x-1)(x-2) end{hizalı})

Kontrol etmek.

(egin{aligned} 3(4x-1)(x-2)&=3(4x^{2}-8x-x+2) &=3(4x^{2}-9x+2) &=12x^{2}-27x+6quadcolor{Cerulean}{checkmark} end{hizalı})

(3) çarpanı, orijinal ifadenin çarpanlara ayrılmış biçiminin bir parçasıdır; cevaba eklediğinizden emin olun.

Cevap:

(3(4x-1)(x-2))

Baş katsayının pozitif olduğu üç terimlilerle tutarlı bir şekilde çalışmak iyi bir uygulamadır.

Örnek (PageIndex{7})

faktör:

(−x^{2}+2x+15).

Çözüm

Bu örnekte, önde gelen katsayı (−1)'dir. Faktoring işlemine başlamadan önce, (−1) çarpanını ayırın:

(-x^{2}+2x+15=-1(x^{2}-2x-15))

Bu noktada, son cevabınızda bir faktör olarak (−1) yazmayı unutmadan, kalan üç terimi her zamanki gibi çarpanlarına ayırın. (3 + (−5) = −2 olduğundan, (3) ve (5)'yi (15) çarpanları olarak kullanın.

(egin{aligned} -x^{2}+2x=15&=-1(x^{2}-2x-15) &=-1(xquad )(xquad ) & =-(x+3)(x-5) end{hizalanmış})

Cevap:

(-1(x+3)(x-5)). Kontrol okuyucuya bırakılmıştır.

Örnek (PageIndex{8})

faktör:

(-60a^{2}-5a+30)

Çözüm

Tüm terimlerin GCF'si (5)'dir. Ancak, bu durumda (−5)'yi çarpanlara ayırın çünkü bu, öncü katsayının pozitif olduğu bir üç terimli çarpan üretir.

(-60a^{2}-5a+30=-5(12a^{2}+a-6))

(12) ve (6) çarpanlarına odaklanarak orta katsayıyı, (1) elde edin.

(egin{array}{cc}{12=1cdot 12}&{6=1cdot 6}{=2cdot 6}&{=color{OliveGreen}{2cdot 3} }{=color{OliveGreen}{3cdot 4}}&{} end{dizi})

Çok düşündükten sonra, (3⋅3−4⋅2=9−8=1) olduğunu bulduk. Kalan üç terimliyi çarpanlarına ayırın.

(egin{aligned} -60a^{2}-5a+30&=-5(12a^{2}+a-6) &=-5(4aquad )(3aquad )& =-5(4a+3)(3a-2) end{hizalanmış})

Cevap:

(-5(4a+3)(3a-2)). Kontrol okuyucuya bırakılmıştır.

Alıştırma (PageIndex{3})

faktör:

(24+2x−x^{2}).

Cevap

(−1(x−6)(x+4))

AC Yöntemini Kullanarak Faktoring

Bu bölümde, daha önce açıklanan AC yöntemini kullanarak (ax^{2}+bx+c) biçimindeki üç terimlileri çarpanlarına ayırıyoruz.

Örnek (PageIndex{9})

AC yöntemini kullanan faktör:

(18x^{2}−21x+5).

Çözüm:

Burada (a = 18, b = −21) ve (c = 5).

(egin{aligned}ac&=18(5) &=90 end{hizalı})

Faktör (90) ve toplamı (−21) olan faktörleri arayın.

(egin{aligned} 90&=1(90) &=2(45) &=3(30) &=5(18) &=color{OliveGreen}{6(15) )}quadcolor{Cerulean}{checkmark} &=9(10) end{hizalı})

Bu durumda, (−6) ve (−15) faktörlerinin toplamı, orta katsayıya, (−21) eşittir. Bu nedenle, (−21x=−6x−15x) ve yazabiliriz

(18x^{2}color{OliveGreen}{-21x}color{siyah}{+5=18x^{2}}color{OliveGreen}{-6x-15x}color{siyah}{+5 })

Eşdeğer ifadeyi gruplandırarak çarpanlara ayırın.

(egin{aligned} 18x^{2}-21x+5&=18x^{2}-6x-15x+5 &=6x(3x-1)-5(3x-1) &=( 3x-1)(6x-5) end{hizalanmış})

Cevap:

((3x-1)(6x-5))

Örnek (PageIndex{10})

AC yöntemini kullanan çarpan: (9x^{2}−61x−14).

Çözüm:

Burada (a = 9, b = −61) ve (c = −14).

(-126)'yı aşağıdaki gibi çarpanlarına ayırırız:

(egin{aligned} -126&=1(-126) &=color{OliveGreen}{2(-63)}quadcolor{Cerulean}{checkmark} &=3(-42 )&=6(-21)&=7(-18)&=9(-14) end{hizalı})

(2) ve (−63) çarpanlarının toplamı, orta katsayıya, (−61) eşittir. (−61x) öğesini (2x−63x ile değiştirin):

(egin{aligned} 9x^{2}-61x-14&=9x^{2}+2x-63x-14quadcolor{Cerulean}{Rearrange:the:terms.} &=9x ^{2}-63x+2x-14quadcolor{Cerulean}{Faktör:by:grouping.}&=9x(x-7)+2(x-7) &=(x -7)(9x+2) end{hizalı})

Cevap:

((x-7)(9x+2)). Kontrol okuyucuya bırakılmıştır.

Önemli Çıkarımlar

  • (ax^{2}+bx+c) biçimindeki bir üç terimli iki iki terimin çarpımını çarpanlarına ayırıyorsa, orta terimin katsayısı, birinci ve son terimlerin belirli çarpanlarının toplamı olacaktır.
  • Üç terimlinin en büyük ortak çarpanı varsa, o zaman onu iki terimlilerin çarpımı olarak ayırmaya çalışmadan önce GCF'yi çarpanlarına ayırmak en iyi uygulamadır.
  • Bir üç terimlinin önde gelen katsayısı negatifse, o zaman üç terimliyi çarpanlara ayırmaya çalışmadan önce bu negatif çarpanı dışlamak en iyi uygulamadır.
  • (ax^{2}+bx+c) formunun üç terimlilerini çarpanlara ayırmak çok fazla pratik ve sabır gerektirir. Çok fazla egzersiz yaparak yetkin olmak için zaman ayırmak son derece önemlidir.

Alıştırma (PageIndex{4}) Üç terimlileri Faktoring

faktör.

  1. (3x^{2}−14x−5)
  2. (5x^{2}+7x+2 )
  3. (2x^{2}+5x−3 )
  4. (2x^{2}+13x−7 )
  5. (2x^{2}+9x−5 )
  6. (7x^{2}+20x−3 )
  7. (7x^{2}−46x−21 )
  8. (3x^{2}+x−2 )
  9. (5x^{2}+34x−7 )
  10. (5x^{2}−28x−12 )
  11. (9x^{2}−12x+4 )
  12. (4x^{2}−20x+25 )
  13. (49x^{2}+14x+1 )
  14. (25x^{2}−10x+1 )
  15. (2x^{2}+7x+16 )
  16. (6x^{2}−19x−10 )
  17. (27x^{2}+66x−16 )
  18. (12x^{2}−88x−15 )
  19. (12y^{2}−8y+1 )
  20. (16y^{2}−66y−27 )
  21. (9x^{2}−12xy+4y^{2} )
  22. (25x^{2}+40x+16 )
  23. (15x^{2}−26xy+8y^{2} )
  24. (12a^{2}−4ab−5b^{2} )
  25. (4x^{2}y^{2}+16xy−9 )
  26. (20x^{2}y^{2}+4xy−7 )
  27. Bir dikdörtgenin alanı (A(x)=3x^{2}−10x+3) işleviyle verilir, burada (x) metre cinsinden ölçülür. Bu işlevi çarpanlara ayrılmış biçimde yeniden yazın.
  28. Bir dikdörtgenin alanı (A(x)=10x^{2}−59x−6) işleviyle verilir, burada (x) metre cinsinden ölçülür. Bu işlevi çarpanlara ayrılmış biçimde yeniden yazın.
Cevap

1. ((x−5)(3x+1) )

3. ((x+3)(2x−1) )

5. ((x+5)(2x−1) )

7. ((x−7)(7x+3) )

9. ((x+7)(5x−1) )

11. ((3x−2)^{2})

13. ((7x+1)^{2} )

15. Başbakan

17. ((3x+8)(9x−2))

19. ((6y−1)(2y−1) )

21. ((3x−2y)^{2})

23. ((3x−4y)(5x−2y) )

25. ((2xy−1)(2xy+9) )

27. (A(x)=(3x−1)(x−3))

Alıştırma (PageIndex{5}) Ortak Çarpanlarla Üçlü Terimleri Çarpanlara Ayırma

faktör.

  1. (6x^{2}−20x−16 )
  2. (45x^{2}+27x−18 )
  3. (20x^{2}−20x+5 )
  4. (3x^{2}+39x−90 )
  5. (16x^{2}+26x−10 )
  6. (54x^{2}−15x+6 )
  7. (45x^{2}−45x−20 )
  8. (90x^{2}+300x+250 )
  9. (40x^{2}−36xy+8y^{2} )
  10. (24a^{2}b^{2}+18ab−81 )
  11. (6x^{2}y^{2}+46xy+28 )
  12. (2x^{5}+44x^{4}+144x^{3})
  13. (5x^{3}−65x^{2}+60x)
  14. (15a^{4}b^{2}−25a^{3}b−10a^{2})
  15. (6a^{4}b+2a^{3}b^{2}−4a^{2}b^{3})
  16. (20a^{3}b^{2}−60a^{2}b^{3}+45ab^{4})
Cevap

1. (2(x−4)(3x+2) )

3. (5(2x−1)^{2})

5. (2(8x^{2}+13x−5) )

7. (5(3x−4)(3x+1) )

9. (4(5x−2y)(2x−y) )

11. (2(xy+7)(3xy+2) )

13. (5x(x−12)(x−1) )

15. (2a^{2}b(3a−2b)(a+b))

Alıştırma (PageIndex{6}) Ortak Çarpanlarla Üç Terimleri Çarpan Alma

(−1)'yi çarpanlara ayır ve sonra daha fazla çarpanlara ayır.

  1. (−x^{2}−4x+21 )
  2. (−x^{2}+x+12 )
  3. (−x^{2}+15x−56 )
  4. (−x^{2}+x+72 )
  5. (−y^{2}+10y−25 )
  6. (−y^{2}−16y−64 )
  7. (36−9a−a^{2} )
  8. (72−6a−a^{2})
  9. (32+4x−x^{2})
  10. (200+10x−x^{2})
Cevap

1. (−1(x−3)(x+7) )

3. (−1(x−7)(x−8) )

5. (−1(y−5)^{2})

7. (−1(a−3)(a+12) )

9. (−1(x−8)(x+4))

Alıştırma (PageIndex{7}) Ortak Çarpanlarla Üç Terimleri Çarpanlara Ayırma

Önce negatif bir ortak faktörü çarpanlarına ayırın ve ardından mümkünse daha fazla çarpanlarına ayırın.

  1. (−8x^{2}+6x+9 )
  2. (−4x^{2}+28x−49 )
  3. (−18x^{2}−6x+4 )
  4. (2+4x−30x^{2} )
  5. (15+39x−18x^{2} )
  6. (90+45x−10x^{2} )
  7. (−2x^{2}+26x+28 )
  8. (−18x^{3}−51x^{2}+9x )
  9. (−3x^{2}y^{2}+18xy^{2}−24y^{2} )
  10. (−16a^{4}+16a^{3}b−4a^{2}b^{2} )
  11. Bir kuleden fırlatılan bir merminin fit cinsinden yüksekliği (h(t)=−16t^{2}+64t+80) işlevi tarafından verilir, burada (t) fırlatıldıktan sonraki saniye sayısını temsil eder. Verilen işlevi çarpanlara ayrılmış biçimde yeniden yazın.
  12. Bir kuleden fırlatılan bir merminin fit cinsinden yüksekliği (h(t)=−16t^{2}+64t+192) işlevi tarafından verilir, burada (t) fırlatıldıktan sonraki saniye sayısını temsil eder. Verilen işlevi çarpanlara ayrılmış biçimde yeniden yazın.
Cevap

1. (−(2x−3)(4x+3) )

3. (−2(3x−1)(3x+2) )

5. (−3(2x−5)(3x+1) )

7. (−2(x−14)(x+1) )

9. (−3y^{2}(x−4)(x−2) )

11. (h(t)=−16(t+1)(t−5) )

AC Yöntemini Kullanarak (PageIndex{8}) Faktoring Alıştırma

AC yöntemini kullanan faktör.

  1. (2x^{2}+5x−7 )
  2. (3x^{2}+7x−10 )
  3. (4x^{2}−25x+6 )
  4. (16x^{2}−38x−5 )
  5. (6x^{2}+23x−18 )
  6. (8x^{2}+10x−25 )
  7. (4x^{2}+28x+40 )
  8. (−6x^{2}−3x+30 )
  9. (12x^{2}−56xy+60y^{2})
  10. (20x^{2}+80xy+35y^{2})
Cevap

1. ((x−1)(2x+7) )

3. ((x−6)(4x−1) )

5. ((2x+9)(3x−2) )

7. (4(x+2)(x+5) )

9. (4(x−3y)(3x−5y))

Alıştırma (PageIndex{9}) Tartışma Panosu Konuları

  1. Çarpanları (ax^{2}+bx+c) biçiminde kendi üç terimlinizi oluşturun. Çözümle birlikte tartışma panosunda paylaşın.
  2. (ax^{2}+bx+c) biçimindeki bir üç terimliyi çarpanlara ayırmak için kendi adım listenizi yazın ve bunu tartışma panosunda paylaşın.
  3. (ax^{2}+bx+c) biçiminde çarpanlara ayırmayan bir üçlü terim oluşturun ve çarpanlara ayırmama nedeni ile birlikte paylaşın.
Cevap

1. Cevaplar değişebilir

3. Cevaplar değişebilir


Üç terimlileri çarpanlara ayırma - Polinomları çarpanlara ayırma

Üç terimler, içinde üç terim bulunan cebirsel ifadelerdir. İkinci dereceden üçlü terimler x 2 şeklindedir x 2 + bx + c ve a, b ve c'nin tümü bir sayıyı temsil eder.

Üç terimlileri çarpanlarına ayırmak için, yukarıdaki ikinci dereceden formdan çarpılarak "c"ye eşit olacak ve aynı zamanda "b"ye eşit olacak iki sayı bulmaya çalışmanız gerekir. Bunlar, ilk "a"nın 1'e eşit olduğu daha kolay soruların adımlarıdır. Daha zor problemler için "a" bir olmayan bir sayı olacaktır. Önce "a" ve "c"yi çarpmanız ve ardından "a*c" çarpımının aynı zamanda "b"ye eşit olan çarpanlarını bulmanız gerekir.

Bunu, üç terimlilerin nasıl çarpanlara ayrılacağını göstermek için örnek sorularla keşfedeceğiz.

Bu örnekte, üç terimliyi çarpanlara ayırmak için "çapraz çarp, sonra kontrol et" yöntemini kullanacağız. Bu, üç terimlileri çarpanlarına ayırmanın yollarından biridir.

Çapraz çarpma kullanın ve üç terimliyi çarpanlara ayırın b^2 terimini çarpanlarına ayırın ve ilk kutuya koyun

Son terimi -20 çarpanlarına ayırın. Bize 20 verebilecek birkaç kombinasyon (1x20, 2x10, 4x5) var, peki hangisi? Bu kombinasyonları birinci terimin çarpanlarıyla çarpacağız. Hangi kombinasyonun orta terimle eşleşen bir yanıt üreteceğini görün (bu soruda orta terim &ndashb'dir).

Orta terimle eşleşen kombinasyon

Bu kombinasyonlardan 4x-5 (-1'e eşittir) eşleşen orta terim -b'yi üretebilir.

4,-5'in orta terimle eşleştiğini bulun b^2-b-20 başarıyla çarpanlarına ayrıldı

"Çapraz çarp, sonra kontrol et" yöntemi, baştaki katsayının 1 olmadığı daha sert üç terimlilerde de kullanılabilir. Bu soruda, önde gelen katsayı 2'dir (baştaki terimden 2 x 2 2 2x2).

İlk terimi 2x^2 çarpanlarına ayırın ve ilk kutuya koyun

Son terim olan +12'yi çarpanlarına ayırmak için birkaç kombinasyon vardır (1x12, 2x6, 3x4). Bu kombinasyonları bir kez daha birinci terimin çarpanlarıyla çarpacağız. Hangi kombinasyonun eşleşen bir orta terim üreteceğini görün (bu soruda orta terim +25x'tir)

25x ile eşleşen kombinasyonu bulun

Bu kombinasyonlardan 1x12, eşleşen orta terim +25x'i üretebilir. Bunun nedeni (2x x 12) + (x x 1) = 24x + x = 25x

12 ve 1'in 25x'in orta terimiyle eşleştiğini bulun 2x^2+25x+12 başarıyla çarpanlara ayrıldı

Faktoring Polinomları: ax²+bx+c

Bu paket, öğrencilerin daha gelişmiş ikinci dereceden denklemleri nasıl çarpanlarına ayıracaklarını anlamalarına yardımcı olur. Öğrenciler, ikinci dereceden bir denklemin (bir parabol olarak grafik çizen) iki çözümünü (kökler veya x-kesişimleri olarak da adlandırılır) bulmak için çarpanlara ayırmayı kullanacaklardır. Faktoring, ikinci dereceden denklemi elde etmek için birlikte çarpılabilen iki terim bulma işlemidir - ikinci dereceden denklemler için bu terimler iki binom olacaktır.

Birçok öğrenci, binomları çarpmak için FOIL sürecini kullanmaya aşinadır. İkinci dereceden denklemleri çarpanlara ayırmak, esasen, bir çift iki terimliyi bir polinom haline getirmek için FOIL kullanmanın tersidir. Örneğin:

Sorun size verilirse:$(x-2)(x+4)$

$x^2+4x-2x-8$,

$x^2 ​​+2x-8$ olarak basitleştirilebilir

Öte yandan, size $x^2 +2x-8$ ifadesi verilseydi ve çarpanlara ayırmanız istenseydi

(veya size $x^2 +2x-8$=0 verildiyse ve çözmeniz istendiyse),

$x imes x = x^2$ ve $-2 imes 4 = -8$ süre $-2+4=2$,

Her sayfa, öğrenciler paket üzerinde çalışırken daha da zorlaşan daha kolay problemlerle başlar. Daha basit problemler standart biçimdedir. Daha gelişmiş problemler, öğrencilerin problemi hesaba katmadan önce benzer terimleri basitleştirmelerini ve birleştirmelerini gerektirir.

36 problemin hepsini yaptıktan sonra, öğrenciler bu problemleri yaparken daha rahat olmalı ve nasıl çözülecekleri konusunda net bir anlayışa sahip olmalıdır.


Öğretmenler Mangahigh hakkında ne diyor?

Dünyanın her yerinde hem öğretmenler hem de öğrenciler tarafından seviliriz. İşte kanıt!

Mangahigh, öğrencilerimizi en yüksek puanlar ve altın madalyalar için birbirleriyle yarışan “matematik bağımlılarına” dönüştürüyor. Ve sınavlar hem bilginin doğru hatırlanmasını hem de derin kavramsal anlayışı ödüllendirdiği için, eğlenerek geçirdikleri her saat onları daha iyi matematikçiler yapar. Beş yıldız.

Tom Ding

Ark Akademisi, Wembley, Londra

Mangahigh'ı 5 yılı aşkın bir süredir sınıfımda kullanıyorum. Beni geri getiren şey, sunulan matematik oyunları ve çok çeşitli kavramlar. Ama en iyi yanı, çocukların onu oynamayı SEVDİĞİ gerçeğidir. Öğrencilerim, onlara Öğretmen Görevleri vermem için bana yalvarıyorlar! Daha fazla matematik çalışması için yalvarıyor musunuz? ben buna razıyım!!

Renee Hernandez

Yeşil İlköğretim Okulu, Allen, Teksas

Daha önce günün son saatlerinde asla odaklanamamış bir DEHB öğrencisi, madalya alana kadar durmaz! Kesinlikle olağanüstü! Annesi çok sevindi ve matematik personeli odasının geri kalanı şaşkına döndü!


Örnek

Örnek 1

Aşağıdaki üç terimli çarpanlar için x 2 + 3x + 2 aşağıdaki gibi ilerliyoruz:

İki sayı bulmalısınız, böylece topladığınızda sonuç 3, çarptığınızda sonuç 2 olur.

Bir inceleme yaptıktan sonra, aranan sayıların 2 ve 1 olduğu sonucuna varılabilir. Bu nedenle, x 2 + 3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

Örnek 2

Üç terimli çarpan x 2 -5x + 6 için toplamı -5 ve çarpımı 6 olan iki sayı ararız. Bu iki koşulu karşılayan sayılar -3 ve -2'dir. Bu nedenle, verilen üç terimin çarpanlara ayrılması x 2 -5x + 6 = (x-3) (x-2


Öğretmenler Mangahigh hakkında ne diyor?

Dünyanın her yerinde hem öğretmenler hem de öğrenciler tarafından seviliyoruz. İşte kanıt!

Mangahigh, öğrencilerimizi en yüksek puanlar ve altın madalyalar için birbirleriyle yarışan “matematik bağımlılarına” dönüştürüyor. Ve sınavlar hem bilginin doğru hatırlanmasını hem de derin kavramsal anlayışı ödüllendirdiği için, eğlenerek geçirdikleri her saat onları daha iyi matematikçiler yapar. Beş yıldız.

Tom Ding

Ark Akademisi, Wembley, Londra

Mangahigh'ı 5 yılı aşkın bir süredir sınıfımda kullanıyorum. Beni geri getiren şey, sunulan matematik oyunları ve çok çeşitli kavramlar. Ama en iyi yanı, çocukların onu oynamayı SEVDİĞİ gerçeğidir. Öğrencilerim onlara Öğretmen Görevleri vermem için bana yalvarıyorlar! Daha fazla matematik çalışması için yalvarıyor musunuz? ben buna razıyım!!

Renee Hernandez

Yeşil İlköğretim Okulu, Allen, Teksas

Daha önce günün son saatlerinde asla odaklanamamış bir DEHB öğrencisi, madalya alana kadar durmaz! Kesinlikle olağanüstü! Annesi çok sevindi ve matematik personeli odasının geri kalanı ağzı açık kaldı!


Bir trinom, genellikle üç terimden oluşan ikinci dereceden bir polinomdur (veya 2. dereceden bir polinomdur):
$a< x >^ < 2 >+ bx ​​+ c,$

nerede (a eq 0). Çoğu durumda, bir üç terimli çarpanlara ayrılabilir veya iki iki terimlinin bir ürünü olarak temsil edilebilir:
$a< x >^ < 2 >+ bx ​​+ c = (px + q)(rx + s).$

Polinomların çarpanlarına ayırma işlemi, birçok cebirsel ifadenin basitleştirilmesi için esastır ve daha yüksek dereceli denklemlerin çözümünde faydalı bir araçtır. Bu işlem, tamsayı katsayısına sahip polinomlar durumunda yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu nedenle çevrimiçi hesap makinemiz yalnızca tamsayı katsayılı üç terimlilerle ilgilenir.

Faktoring üç terimli hesaplayıcımızda kullanılan algoritma, üç terimin şu şekilde temsil edildiğini varsayar:
$a< x >^ < 2 >+ bx ​​+ c = a< x >^ < 2 >+ mx +nx + c,$

burada (m) ve (n) tam sayıları aşağıdaki koşulları sağlar: (m + n = b), (mn = ac.)

(m) ve (n) bulunduğunda, son olarak üç terimliyi çarpanlara ayırmak için gruplandırmayı ve dağılma özelliğini kullanırız.

İlgili hesap makineleri

Kare Hesap Makinesini Tamamlama veya Mükemmel Kare Hesap Makinesi gibi diğer cebir hesaplayıcılarımıza göz atın.


İkinci Dereceden Denklemleri Çarpanlara Ayırarak Çözme

Oluşturmak için faktoringi kullanın eşdeğer formlar nın-nin polinomlar.

Cebirsel ifadeleri değerlendirin ve basitleştirin, örneğin: polinomların ürünleri/bölümleri, logaritmik ifadeler ve karmaşık kesirler ve doğrusal, ikinci dereceden, üstel ve logaritmik denklemleri ve eşitsizlikleri çözün ve çizin ve denklem ve eşitsizliklerin sistemlerini çözün ve çizin.

Gerçek Sayılar ve İfadeler ile İşlemler

Doğrusal Olmayan Denklemler

Kareler ve üç terimlilerin farkı dahil olmak üzere çarpan cebirsel ifadeler (tüm tek terimli faktörlerin çarpanlarına ayrıldıktan sonra a'nın 1'e eşit olduğu ax 2 +bx+c formuyla sınırlı üç terimler).

  • İşlev aileleri, temsiller arasında tanınabilen özellikler ve davranışlar sergiler. Fonksiyonlar, matematiksel ve gerçek dünya durumlarında yeni fonksiyonlar yaratmak için dönüştürülebilir, birleştirilebilir ve birleştirilebilir.
  • Matematiksel işlevler, bir kümenin (etki alanı) her bir üyesini başka bir kümenin (aralık) benzersiz bir üyesine atayan ilişkilerdir ve ilişki, temsiller arasında tanınabilir.
  • Sayılar, ölçüler, ifadeler, denklemler ve eşitsizlikler, matematiksel durumları ve yapıları birçok eşdeğer biçimde temsil edebilir.
  • Kalıplar, genişletilebilen, tanımlanabilen ve genelleştirilebilen ilişkiler sergiler.
  • İlişkiler ve fonksiyonlar, kelimeler, tablolar, grafikler ve denklemler kullanılarak temsil edilebilen ve analiz edilebilen matematiksel ilişkilerdir.
  • Her zaman doğru olan bazı matematiksel ilişkiler vardır ve bu ilişkiler aritmetik ve cebir kuralları olarak kullanılır ve eşdeğer ifade biçimleri yazmak ve denklemleri ve eşitsizlikleri çözmek için yararlıdır.
  • Cebirsel özellikler, süreçler ve temsiller
  • Bir ve iki değişkenli (tek değişkenli ve iki değişkenli) verilerin analizi
  • Üstel fonksiyonlar ve denklemler
  • Fonksiyonlar ve çoklu gösterimler
  • Doğrusal ilişkiler: Bir ve iki değişkende denklem ve eşitsizlikler
  • Lineer denklemler ve eşitsizlikler sistemi
  • Polinom fonksiyonlar ve denklemler
  • İkinci dereceden fonksiyonlar ve denklemler
  • Cebirsel özellikleri ve süreçleri ikinci dereceden, üstel ve polinom ifadelere ve denklemlere ve matrislere genişletin ve bunları gerçek dünya problemlerini çözmek için uygulayın.
  • Tablolar, grafikler, denklemler ve bağlamsal durumlar dahil olmak üzere bir polinom fonksiyonunu birden çok yolla temsil edin ve temsiller arasında bağlantı kurun, ilişkili polinom denkleminin çözümünü her temsille ilişkilendirin.
  • Tablolar, grafikler, denklemler ve bağlamsal durumlar dahil olmak üzere ikinci dereceden bir işlevi çeşitli şekillerde temsil edin ve temsiller arasında bağlantı kurun, ilgili ikinci dereceden denklemin çözümünü her bir temsille ilişkilendirin.
  • Cebirsel özellikleri ve süreçleri matematiksel durumlarda kullanın ve bunları gerçek dünya problemlerini çözmek için uygulayın.

Hedefler

Öğrenciler, ikinci dereceden fonksiyonları çözmek için bir yöntem olarak çarpanlara ayırmayı kullanacaklardır. Öğrenciler:

çeşitli formların faktör trinomları:

ax² + bx + c = 0, nerede bir, b, ve C en büyük ortak faktöre sahip (GCF)

(ax + b)(cx + d) = 0 biçimindeki denklemleri çözmek için Sıfır Ürün Özelliğini uygulayın

formun faktörlenebilir ikinci dereceden denklemlerine çözümler elde edin

Temel Sorular

Cebirsel özelliklerin ve süreçlerin aritmetik özelliklerin ve süreçlerin uzantıları olduğunu nasıl gösterebiliriz ve problemleri çözmek için cebirsel özellikleri ve süreçleri nasıl kullanabiliriz?

Kelime bilgisi

Binom: İki terimli bir polinom. [IS.1 - Hazırlık]

üç terimli: Üç terimli bir polinom.

En Büyük Ortak Faktör: İki veya daha fazla sayının ortak en büyük çarpanı.

faktör: Başka bir sayıya eşit olarak bölünen bir tam sayı.

Bir Fonksiyonun Sıfırı: İşlevin sıfır olduğu bağımsız değişkenin değeri. Ayrıca x-bir denklemin kesişimi ve kökü.

Süre

90&ndash120 dakika [IS.2 - Tüm Öğrenciler]

Ön Koşul Becerileri

Malzemeler

öğrenci beyaz tahtaları (veya kağıt) ve işaretleyiciler ve silgiler

İnternet erişimi olan bilgisayarlar

istenirse problemlerin/derslerin çıktıları

İlgili Ünite ve Ders Planları

İlgili Malzemeler ve Kaynaklar

Aşağıdaki ticari web sitelerinin olası dahil edilmesi, ücretsiz olmayan ve bu ders planı için gerekli olmayan ürünlerinin zımni onaylanması değildir.

öğrenci beyaz tahtaları (veya kağıt) ve işaretleyiciler ve silgiler

İnternet erişimi olan bilgisayarlar

istenirse problemlerin/derslerin çıktıları

Biçimlendirici değerlendirme

Sınıf dersleri, tartışmalar ve etkinlikler sırasındaki gözlemler, öğrencilerin yarattığı belirli ürünlere, özellikle de üç terimin iki iki terimli faktörüne odaklanmalıdır. Require students to multiply the two binomial factors using FOIL and compare the resulting trinomial to the original prompt.

Lesson 2 Student Document (M-A1-1-2_Lesson 2 Student Document.doc) requires students to use the zero property of multiplication and evaluates their level of understanding of the logical necessity of a zero product, if one of the factors is equal to zero.

Suggested Instructional Supports

This lesson helps students to develop skills in solving quadratic equations by factoring and provides them with useful techniques for factoring and for understanding the rationale that supports finding solutions. The lesson includes recognizing and using trinomials in various forms.

The Zero Product Property is an elementary concept that is familiar to students. In applying it to binomial factors, they can use the property as a tool in a way that has not previously been represented. Students are able to recognize that the property applies not only to monomials, but also to binomials, and is applicable for all real numbers.

The think-pair-share activity presents students with representations of all three types of trinomial factoring. By attempting solutions individually, students gain an immediate sense of how well they understand the techniques. In sharing their solution methods and results with partners, they can expand their understanding by seeing different solutions and correcting their own and their partners&rsquo errors.

The Solve by Factoring Worksheet requires students to classify as well as factor the trinomials presented. The classification tasks engage students in reviewing their understanding of the individual characteristics of the three types of trinomials. This activity encourages them to use the specific traits of the trinomial to find the unique binomial factors.

Students who find the factoring of trinomials a challenging operation will get some satisfaction in the application of the Zero Product Property. The property is easy to understand and use, and makes the steps to solving quadratic equations by identifying and deconstructing binomials more accessible. Students with the knowledge and skills to factor trinomials of higher difficulty will also appreciate this basic technique.

This lesson is organized so that students can build upon prior knowledge of factoring and solving linear equations to solve quadratic equations. Students should be introduced, through teacher instruction, to the concepts and procedures for solving quadratics by factoring. During this time students should be given time to individually practice these processes and for discussion with classmates. Students should receive immediate feedback on their work during the activities so they are on track to be successful with homework assignments. The student document can also be used to help students stay organized during classroom instruction.

IS.1 - Preparation
Consider word walls and different strategies to ensure that the vocabulary is constantly used during the lesson.
IS.2 - All Students
Consider pre-teaching the concepts critical to this lesson, including the use of hands-on materials. Throughout the lesson, based on the results of formative assessment, consider the pacing of the lesson to be flexible based on the needs of the students. Also consider reteaching and/or review both during and after the lesson as necessary.
IS.3 - Struggling Learners
Consider pre-teaching the Zero-product property and factoring. Strugglling students may need more direct instruction with learning the concepts critical to this lesson. Throughout the lesson, based on the results of formative assessment, consider the pacing of the lesson to be flexible based on the needs of the students. Also consider reteaching and/or review both during and after the lesson as necessary.
IS.4 - All Students
Consider modeling and doing think alouds to help students understand the problem solving process.

Instructional Procedures

After this lesson, students will know how to solve quadratic equations using factoring. Students are learning how to solve quadratic equations because there are many real-world situations that can be modeled by quadratic equations. Students should have prior knowledge of factoring trinomials. Students will understand that there are two solutions to a quadratic equation and why this is different from solving linear equations. They will also find that in dealing with real-life scenarios not all solutions make sense. They should be able to recognize the solution(s) that fit. Students will be able to check their work by substituting their solutions into the equation.

&ldquoYesterday we looked at quadratic equations and many types of situations that can be modeled using them. One of the things we discussed was the zeros of quadratic equations, which are the solutions. On the graphs we looked at, we noted that the zeros were located where the graph crossed the x-axis. Let&rsquos take a moment to recall one of these examples.&rdquo Display the following for students:

&ldquoNow solving this equation is rather simple when you can find the zeros right in the graph, but what if you do not have a graph or the zeros are not easy to calculate from the graph? Today, we are going to discuss an algebraic approach that can be used to solve problems like this, as well as story problems that can be modeled using quadratic equations.&rdquo

The following notes, models, and examples should be shown to students to explain the lesson. Visual and auditory learners will be able to see and/or hear the process that is involved in solving quadratics by factoring.

Zero-Product Property

Herhangi a ve B, Eğer ab = 0, then either a = 0, B = 0, or a ve B equal 0.

Solving Equations by Factoring [IS.3 - Struggling Learners]

Aşama 1: Make the equation equal to _ 0 _.

Adım 2: ___ faktör ___ the trinomial.

Aşama 3: Apply the ___ Zero Product Property __ (set each factor equal to __ 0 _ then ____ çözmek ___).

Students should have an understanding of factoring trinomials from previous instruction. Depending on the skill level of your students, you may have to vary how much review of factoring trinomials you provide.

Type 3: Equations of the form ax² + bx + c = 0 with a GCF

Students should be instructed to factor out a GCF before beginning the rest of the solving process as in type 1 and 2.

Note: At first, many of these equations look as if they are type 2 equations yet, after factoring a GCF, the problem may reveal a type 1 equation. If the GCF is not factored out of the equation before beginning the factoring process, the solutions will be the same but the factored forms will be different. (This is demonstrated below.)

Without factoring out the GCF in problem 1: (3x + 6)(x &ndash 5) = 0, factored, but not completely, since 3 can be factored out of 3x + 6. But solving 3x + 6 = 0 gives a solution of &minus2, the same as in Example 1. This relationship is important because when students are asked to factor something completely, the answer of (3x + 6)(x &ndash 5) would not be correct since it is not completely factored. A similar situation can be shown with Example 2.

Think-pair-share (interpersonal and verbal intelligences): Place a problem on the board and have students individually work out the problem on paper. After 3 to 5 minutes, have students pair up to discuss their answers. Direct students to discuss any errors and help each other decide on a correct answer. Then have a class discussion on the correct answer and anything students noticed during their discussions such as common errors, arithmetic mistakes, procedural mistakes, etc. You may have a student display the process for the class on the board.

Sample problems for students:

Activity 2: Real-Life Scenarios [IS.4 - All Students]

Problem 1: The length of a rectangle is 3 more inches than its width. Find the dimensions of the rectangle with an area of 108 square inches.

1. This problem uses a type 1 scenario and also uses the concepts of area of a rectangle and the distributive property.

2. It is important to explain at this point that in applied situations not all solutions make sense. Have a discussion with students about which answer works and why. (&minus12 is a solution but does not make sense because a length cannot be negative, thus making 9 the only possible solution to the width).

Çözüm: width = 9 in., length = 12 in.

Problem 2: The length and width of an 8-inch by 12-inch photograph are reduced by the same amount to make a new photograph with an area that is 1/3 of the original. By how many inches will the dimensions of the photograph have to be reduced?

1. This problem uses a type 1 scenario, the concept of area of a rectangle, and using FOIL (First Outside Inside Last when multiplying two binomials).

2. For situation 2 there are two possible solutions that are both positive (16 and 4), but discuss with students which one makes sense in the given situation. Since the possible solutions represent the value that is deducted from each side of the photograph, the only answer that would work is 4. An answer of 16 is not reasonable because it is not possible to cut 16 inches off a photograph that only has 12 inches on one side and 8 on the other.

Solution: Reduce the dimensions of the photograph by 4 inches.

Give students the following problems to work on independently for about 10 to 15 minutes. Have students label the type of each problem before beginning to work on it. After independent work time, have students pair up to compare and discuss answers. As students are finishing, have some students write the work for each problem on the board and then discuss the problems as a class. Hand out the Solving Quadratics by Factoring Worksheet (M-A1-1-2_Solving Quadratics by Factoring Worksheet.doc), as desired, for students to work on. (This resource is good as a day 2 follow-up lesson.)

Routine: Use the Lesson 2 Student Document (M-A1-1-2_Lesson 2 Student Document.doc) to give students a structured format for taking notes. Provide this resource to students, as needed, to allow them to keep more organized and structured notes.

Have students reflect on factoring trinomials and whether they remember the process (intrapersonal). This should be done prior to going through the examples of solving quadratics by factoring. Display two problems (one at a time) and have students work through the factoring process on a white board (or piece of paper). Have students hold up their work when finished and make corrections and adjust teaching where needed to meet the needs of your students.

Alternate Method: For Activity 1, you can do the activity once after presenting all three situations or one situation at a time (after each of the methods), having students change partners for each situation. This approach might allow students more reflection and discussion on each of the methods, if time permits.

Visual Learners: For Activity 2, use the Problem Solving Graphic Organizer (M-A1-1-2_Problem Solving Graphic Organizer.docx and M-A1-1-2_Problem Solving Graphic Organizer Blank.docx) to help students organize their word- problem solving techniques more efficiently. This can help many students, especially those who need their work to be more visual and organized. There are two resources: one with sequential steps and ideas already filled in, and another that has a blank flow chart. Use whichever document fits the needs of your students.

Assign to students an Internet word-problem activity (see the Related Resources section). This activity will help build students&rsquo understanding and ability to read and evaluate important information from a word problem. This is a great way to give students more practice with word problems.


How do you factor a 2 BX C?

Trinomials içinde form x 2 + sevgili + c can olmak factored by finding two integers, r and s, whose sum is b and whose product is C. If the remaining üç terimli is still of the biçim ax 2 + sevgili + C, find two integers, r and s, whose sum is b and whose product is ac.

  1. Move all terms to one side of the equation, usually the left, using addition or subtraction.
  2. Factor the equation completely.
  3. Set each factor equal to zero, and solve.
  4. List each solution from Step 3 as a solution to the original equation.

In this way, how do you solve an equation with 2 variables?

NS çözmek systems of algebraic denklemler containing two variables, start by moving the değişkenler to different sides of the denklem. Then, divide both sides of the denklem tarafından bir arasında değişkenler ile çözmek bunun için değişken. Next, take that number and plug it into the formula to solve for the other değişken.

Matematikte, bir katsayı is a multiplicative factor in some term of a polynomial, a series, or any expression it is usually a number, but may be any expression. For example, if y is considered as a parameter in the above expression, the katsayı of x is &minus3y, and the constant katsayı is 1.5 + y.


Trinomials

Let us consider the product (x+a)(x+b) and use the distributive property to show how each term of the resulting trinomial is formed. This can help us develop a factoring technique for trinomials.

Notice that the coefficient of the middle term is the sum of a ve B and the last term is the product of a ve B.

Example: Factor x²+2x-63

We need to find a pair of integers whose sum is 2 and whose product is -63.

x²+2x-63 = (x+___)(x+___)

The only possible pair of integers is 7 and 9. to get a product of -63 and a sum of 2, the larger number must be positive and the smaller number must be negative.

x²+2x-63 = (x+9)(x+(-7)) = (x+9)(x-7)

Factoring of the form ax²+bx+c

Let us consider factoring trinomials where the coefficient of the squared term is not one. First, let us use an informal trial and error technique that works quite well for some types of trinomials.

Example: Factor 12x²-x-6

First, observe that 12x² can be written as x·12x, 3x·4x, or 2x·6x. Then, since the middle term and the last term of the trinomial is negative, the binomials can be of the form

(3x+2)(4x-3) best suits the expression.

Perfect Square Trinomials

Perfect square trinomials are trinomials that resulted from squaring a binomial. They are easily recognized bby the nature of their terms. For example, 9y²+24y+16 is a perfect square trinomial because the first term is a perfect square, the last term is a perfect square, the middle term is twice the product of the numbers being squared in the first and last terms.

The following trinomials can be factored as indicated.

a²+2ab+b²=(a+b)² a²-2ab+b²=(a-b)²

Example: Factor x²+14x+49

x²+14x+49=(x+7)(x+7)=(x+7)²

Authors:
Danielle Arriz Tio
Hans Nehru Alfante
John Rey Cueva
IV-St. Helena


Videoyu izle: Çarpanlara Ayırma Konu Anlatımı 3 - İkinci Dereceden Denklemlerin Çarpanlara Ayrılması (Aralık 2021).