Nesne

7.2: Gauss Jordan Eliminasyonuna Giriş


Aşağıdaki temel satır işlemleri

  1. Bir matrisin iki satırını değiştirin

  2. Bir satırın öğelerini sıfır olmayan bir sabitle çarpın

  3. Bir satırın elemanlarının bir katını diğerinin karşılık gelen elemanlarına ekleyin

Aşağıdaki ( A ) Matrisinde ( a_{2,1} ) öğesini düşünün.

[ Bir = sol[
egin{matris}
1 & 1 \
20 & 25
end{matris}
, ortavert ,
egin{matris}
30 \
690
end{matris}
sağ] umara ]

Soru

( a_{(2,1)} ) öğesini sıfır yapmak için kullanılabilecek basit bir satır işlemini tanımlayın?

Soru

Yukarıdaki satır işlemi verilen yeni matris nedir?

Bu hücrenin içeriğini değiştirin ve yukarıdaki soruya cevabınızı buraya yazın.

[ Bir = sol[
egin{matris}
1 & 1 \
0 & ??
end{matris}
, ortavert ,
egin{matris}
30 \
??
end{matris}
sağ] umara ]

Aşağıdaki işlev, Gauss-Jorden algoritmasının bir (m,m+1) artırılmış matrise temel uygulamasıdır:


M.7 Gauss-Ürdün Eliminasyonu

Gauss-Ürdün Eliminasyonu lineer denklem sistemlerini çözmek ve herhangi bir ters çevrilebilir matrisin tersini bulmak için kullanılabilen bir algoritmadır. Üçe dayanır temel satır işlemleri bir matris üzerinde kullanılabilir:

  1. Satırlardan ikisinin konumlarını değiştirin
  2. Satırlardan birini sıfır olmayan bir skaler ile çarpın.
  3. Bir satırın skaler katını başka bir satıra ekleyin veya çıkarın.

İlk temel satır işlemine bir örnek için 1. ve 3. satırın konumlarını değiştirin.

İkinci temel satır işlemine bir örnek için, ikinci satırı 3 ile çarpın.

Üçüncü temel satır işlemine bir örnek için, 1. satırın iki katı 2. satıra ekleyin.

Azaltılmış sıralı kademe formu

Gauss-Jordan Eliminasyonunun amacı, bir matrisi indirgenmiş satırlı basamak formuna dönüştürmek için üç temel satır işlemini kullanmaktır. Bir matris var azaltılmış sıralı basamak formu, Ayrıca şöyle bilinir satır kanonik formu, aşağıdaki koşullar yerine getirilirse:

  1. Yalnızca sıfır girişli tüm satırlar matrisin altındadır
  2. Bir satırdaki sıfırdan farklı ilk giriş olarak adlandırılan önde gelen giriş ya da eksen, sıfırdan farklı her satırın üstündeki satırın baştaki girişinin sağındadır.
  3. Sıfırdan farklı herhangi bir satırda pivot olarak da bilinen baştaki giriş 1'dir.
  4. Başında 1 içeren sütundaki diğer tüm girişler sıfırdır.

[A = aşlangıç 1 & 0 & 0 0 & 1 & 3 0 & 0 & 0 end, B = aşlangıç 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end, C = aşlangıç 0 & 7 & 3 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 end, D = aşlangıç 1 & 7 & 3 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end ]

matrisler A ve B indirgenmiş sıralı basamak biçimindedir, ancak matrisler C ve NS değiller. C ikinci ve üçüncü koşulları ihlal ettiği için azaltılmış sıralı basamak biçiminde değildir. NS dördüncü koşulu ihlal ettiği için indirgenmiş satırlı basamak biçiminde değildir. Ek olarak, matrisi azaltmak için elemanter satır işlemleri kullanılabilir. NS matris içine B.


Gauss elimine etme

Gauss eleme yöntemi, verilen matrisin kökleri/doğası hakkında önemli bilgilerin çıkarılmasına yardımcı olabilecek ve aynı zamanda artırılmış matrise uygulandığında doğrusal sistemin çözülebilirliğini belirlemeye yardımcı olabilecek en önemli ve her yerde bulunan algoritmalardan biridir. Bu nedenle, en kullanışlı sayısal algoritmalardan biridir ve bilimsel hesaplamada temel bir rol oynar. Bu yöntem tarihsel olarak 179 CE'den beri Çinli matematikçiler tarafından kullanılmaktadır ve kullanılmaktadır. Isaac Newton da dahil olmak üzere birçok kişi Gauss eliminasyonuna katkıda bulunmuştur. Ancak, Amerikalı matematikçi George Forsythe (1917-1972) tarafından Alman matematikçi ve fizikçi Carl Friedrich Gauss'un (1777-1855) onuruna seçildi. Gauss algoritmasının tam geçmişi Joseph F. Grcar makalesinde bulunabilir. Açıklamamız için denklem sistemlerini yazmanın kısa bir yoluna ihtiyacımız var.

Gauss eleme algoritması fikrini anlamak için, iki boyutlu bir durumla başlayan bir dizi örneği ele alıyoruz.

Örnek: 2×2 denklem sistemini çözme



Çözümde iki çizgi buluşuyor. Yeni satır 10 da öyley = 10.

Değişkeni ortadan kaldırmak yerine x, peşinden gidebiliriz y. İlk denklemi 2 ile çarpar ve ikinci denkleme eklersek,

Değişkeni ortadan kaldırdıktan sonra iki satır y. Hangi değişkeni ortadan kaldırmalısınız, x veya y? Bir bilgisayar için önemli değil, ama insanlar için önemli çünkü daha çekici. Bu yüzden çoğunlukla eğitim amaçlı olarak, geleneği takip edeceğiz ve matrisleri üst üçgen forma indirgemek için değişkenleri soldan sağa kaldıracağız. Ancak, pratik hesaplamalar için kod yazarken, hangi değişkeni hangi sırayla ortadan kaldırdığınızın bir önemi olmadığını unutmayın --- bilgisayarın umurunda değil!

Verilen denklem sistemine karşılık gelen matris formunu kullandığımızda, anlama için önemli oldukları için karşılık gelen artırılmış matriste kırmızı renkli özel konumlarla işaretledik. Bu pozisyonlar genellikle olarak adlandırılır. pivotlar. ■

İki doğru bir noktada kesişiyor (3,1). Yeni sistem zaten üçgendir, bu nedenle doğrulardan biri bir eksene paraleldir. ■

Gauss eliminasyonunu anlamak için 2×2 denklem sistemlerinin ötesine geçmeniz gerekir. Bu nedenle, deseni görmek için yeterli olacak 3×3 denklem sistemi örneklerini sunuyoruz. İzlenecek dikdörtgen matrisli başka bir örnek.

Örnek: 3×3 denklem sistemi

Düzlem formundaki uçaklar. Artık kolayca çözebiliriz x, y, ve z elde etmek için geri ikame ile x = 1, y = -2 ve z = -1. 3x3 katsayılı bir denklem sistemi için, Gauss Eliminasyon sürecinin amacı, matrisin köşegenin altındaki sol alt köşesinde (en azından) sıfırdan oluşan bir üçgen oluşturmaktır. Bu forma ulaşmaya çalışırken, istediğiniz zaman satırların sırasını değiştirebileceğinizi unutmayın.

a1 = ContourPlot3D[x - 3 y + z == 6, , , , Eksen Etiketi -> , Mesh -> Yok, ContourStyle -> Yönerge[Kırmızı]]

f2[x_, y_] := (-2* x + y-1)/5
a2 = ParametrikPlot3D[, , , Eksen Etiketi -> , Mesh -> Yok, PlotStyle -> Yönerge[Yeşil]]

a1 = ContourPlot3D[x - 2 y -6 z == 1, , , , Eksen Etiketi -> , Mesh -> Yok, ContourStyle -> Yönerge[Turuncu]]

f2[x_, y_] := (x -4 y-2)/12
a2 = ParametrikPlot3D[, , , Eksen Etiketi -> , Mesh -> Yok, PlotStyle -> Yönerge[Yeşil]]

Çözüm yok. tutuyoruz x ilk denklemde bulun ve diğer denklemlerden çıkarın. Bunu yapmak için, denklem 2'ye -1 çarpı denklem 1'i ekleyin. Biraz alıştırmadan sonra, bu tür hesaplama genellikle zihinsel olarak yapılır. Ancak, yazılımı kullanmak uygundur:

a1 = ContourPlot3D[x - 2 y -6 z == 1, , , , Eksen Etiketi -> , Mesh -> Yok, ContourStyle -> Yönerge[Turuncu]]

f2[x_, y_] := (x -4 y-2)/12
a2 = ParametrikPlot3D[, , , Eksen Etiketi -> , Mesh -> Yok, PlotStyle -> Yönerge[Yeşil]]

Gauss eleme yöntemi, temel olarak, belirli bir matris üzerinde, matematiksel olarak onu basamak formuna basitleştirmek için gerçekleştirilen bir dizi işlemdir. Doğrusal bir sistemi çözmek için uygulandığında balta=B, iki adımdan oluşur: ileri eleme (ayrıca sık sık denir Gauss eleme prosedürü) matrisi üst üçgen forma indirgemek ve geri ikame. Bu nedenle, bu eleme prosedürünü kullanarak lineer bir cebirsel denklem sisteminin çözülmesi, ileri eleme ve geri ikame olarak da adlandırılabilir ve kısaltılır. ŞUBAT.

  1. Tüm sıfır olmayan satırlar, tüm sıfırların herhangi bir satırının üzerindedir.
  2. olarak adlandırılan her bir önde gelen giriş eksen, bir satırın üstündeki satırın baştaki girişinin sağındaki bir sütundadır.
  3. Baştaki girişin altındaki bir sütundaki tüm girişler sıfırdır.
  1. Mevcut herhangi bir sıfır satırı, matrisin sonuna kadar yerleştirilir.
  2. Matrisin ilk değeri (baştaki giriş veya pivot olarak adlandırılır) sıfır olmayan bir terimdir (bazı metinler bunun '1' olmasını tercih eder, ancak bu zorunlu değildir).

Herhangi bir sıfır olmayan matris olabilir satır azaltılmış (yani, temel satır işlemleriyle dönüştürülür), farklı satır işlemleri dizileri kullanılarak basamak biçiminde birden fazla matrise dönüştürülür. Bununla birlikte, önde gelen girdiler, belirli bir matristen elde edilen herhangi bir basamak biçiminde her zaman aynı konumlardadır.

Teorem: Doğrusal bir sistem, ancak ve ancak ilişkili artırılmış matrisin en sağdaki sütunu değil bir pivot sütun --- yani, yalnızca ve yalnızca kademeli formu, formun bir satırını içermiyorsa
[ 0 0 . 0 &ocir ] ile &ocir sıfırdan farklı.
Doğrusal bir sistem tutarlıysa, çözüm kümesi ya benzersiz bir çözüm (serbest değişkenler olmadan) ya da en az bir serbest değişken olduğunda sonsuz sayıda çözüm içerir.

  1. Bir denklemin bir katının diğerine eklenmesi.
    Sembolik: (denklem j) ( mapsto ) (denklem j) + k (denklem ben).
  2. Sıfırdan farklı bir sabit k ile bir denklemin çarpımı.
    Sembolik: (denklem j) ( mapsto ) k (denklem j).
  3. İki denklemin değişimi>
    Sembolik: (denklem j) ( Longleftrightarrow ) (denklem ben).

Satır kademesi ve Azaltılmış satır kademesi formlar, Gauss eleme yönteminin sonuç matrisleridir. Gauss eliminasyonunu herhangi bir matrise uygulayarak, verilen matris hakkında aşağıdaki bilgiler kolayca çıkarılabilir:

  • matrisin sıralaması
  • matrisin determinantı
  • tersi (yalnızca ters çevrilebilir kare matrisler)
  • çekirdek vektörü ("boş vektör" olarak da bilinir).

Terimin gerçek kullanımı artırılmış matris Amerikalı matematikçi Maxime Bôcher (1867-1918) tarafından kitabında geliştirildi. Yüksek Cebire Giriş, 1907'de yayınlandı. Bôcher, ilköğretim ders kitapları öğrenciler tarafından büyük beğeni toplayan seçkin bir matematik yorumcusuydu. Başarıları William F. Osgood (1919) tarafından belgelenmiştir.

Teorem: Homojen bir lineer sistem varsa n bilinmeyenler ve artırılmış matrisinin satır basamak formu r sıfır olmayan satırlar, ardından sistem n-r serbest değişkenler.

Teorem: ( <f B>= left[ <f A>, vert , <f b> ight] ) lineer denkleme karşılık gelen artırılmış matris olsun balta=Bve varsayalım B yeni artırılmış matrisin (bir temel satır işlemleri dizisi kullanılarak) satır eşdeğeridir ( <f C>= left[ <f U>, vert , <f c> ight] , ) lineer sisteme karşılık gelen kullanıcı=c. O zaman iki lineer sistem tam olarak aynı çözüm kümesine sahiptir.

Orta döngü ( j döngü) aşağı doğru uzanır ben-inci sütun, köşegenin altında (dolayısıyla j sadece ben+1 için n--- matrisin boyutu A). ilk önce hesaplıyoruz çarpan m, her sıra için. Bu, çarptığımız sabittir. ben-inci sırayı ortadan kaldırmak için aji öğe. unutmayın ki biz üzerine yazmak önceki değerler yenileriyle ve biz aslında yapan hesaplamaları yapmıyoruz aji sıfır. Ayrıca bu döngü, sağ taraftaki vektörün eleme adımını yansıtacak şekilde değiştirildiği yerdir.

En içteki döngü ( k döngü) arasında değişir j-inci satırdan sonra başlayan ben-th sütun, ortadan kaldırılmasını yansıtmak için her öğeyi uygun şekilde değiştirerek aji.

Son olarak, algoritmanın aslında üçgenin alt yarısındaki sıfırları yaratmadığının farkında olmalıyız. B Algoritmanın çalışması için bu sıfırlara ihtiyacımız olmadığından, bu bilgisayar zamanını boşa harcamış olur. Algoritma, bu noktadan sonra matrisin yalnızca üst üçgensel kısmını kullandığımız için çalışır, bu nedenle alt üçgen öğelere hiçbir zaman başvurulmasına gerek yoktur.

için geriye dönük çözüm algoritması A (sözde kod)

Bu algoritma, köşegeni geriye doğru eşleştirerek, her birini hesaplar. xben sırayla. Son olarak, hesaplama yapıyoruz


Satır Kademe Formu

Satır basamak formu, bir baştaki katsayının altındaki tüm girişlerin sıfır olduğu çapraz bir matristir. Bazı ders kitapları da baş katsayının bire eşit olması gerektiğini belirtir.

Aşağıdaki matris, ana köşegen boyunca her satırda önde gelen katsayılar ve bunların altındaki her şey sıfıra eşit olacak şekilde satır basamak biçimindedir.

Gauss eliminasyonunun amacı, verilen denklem setini aşağıdaki matris formatına getirmektir. Ana köşegen üzerinde verilen öncü katsayılar açıklayıcıdır ve her örnekte farklı olacaktır.

Satır Basamak Formu ile Gauss Eliminasyon Örneği

Lineer denklem sistemimizi matris formatında çözmek için Gauss eleme yöntemini aynı ilkelere göre uygulayabiliriz. 3ࡩ matris A ve bir vektör b ile bir örnek kullanalım


denklem sistemini grafikle çözer. Ardından sistemi tutarlı veya tutarsız, denklemleri bağımlı veya bağımsız olarak sınıflandırın. x+y=14 x-y=2 Denklem sisteminin çözümü nedir?

1. Belirtilen D=4e harfini bulun, e için Çözüm e= 2. G(x) = 6/(6-5x) Aşağıda doğru alanı seçin 3.

Aşağıdaki lineer denklem çiftini göz önünde bulundurun. 4x+6y=12 2x+3y=6 İki denklem arasındaki ilişki (varsa) nedir? Denklem sisteminin bir çözümü var mı, çözümü yok mu yoksa sonsuz sayıda çözümü var mı?


Lineer Cebir

8. Aşağıdaki sistem, A, B, C, D, E ve F'nin sıfırdan farklı reel sayılar olduğu (1,3) çözümünü içermektedir. Ax+By=C, Dx+Ey=F Aşağıdaki sistemlerden hangisinin çözümü (1,3) olmaz? A- Ax+By=C & (2A-D)x+(2B+E)y=C-2F B-

Ön hesap

Bir lineer denklem sistemini çözmek için Gauss eliminasyonunu kullanırken, sistemin çözümü olmadığını nasıl anlayabileceğinizi açıklayın. Cevabınızı açıklayan bir örnek verin.

Matematik: Lütfen cevaplarımı kontrol edin

1. Tek terimli 3x2y3'ün derecesi nedir? 2 3 5 6 2. 8b3c2 + 4b3c2'nin basitleştirilmiş şekli nedir? 12bc 12b3c2 12b6c4 12b9c4 3. (4j2 + 6) + (2j2 – 3)'ün basitleştirilmiş şekli nedir? (1 puan) (0) 6j2 – 3 (1) 6j2 + 3 (0)

Gauss Ürdün eleme

Bilinmeyenlerin değerlerini çözmek için Gauss - jordan eliminasyonunu kullanın. x + y-z = 20 2x + 3y -z = 15 3x -5y + 2z = 10

Ders 1: Polinomlar CE 2015 Cebir Hazırlığı (P

1. 6g + 8k – 9g + 2k bir . -3g + 10k . 17gk. 10k – 3 2. -4x + 6.2x + 5x . 7x3 . 6x2 + 9x . 6x2 – 9x . 6x2 + 9x 3. a2 + 5a – 3a2 . 5a + 2a2 . 5a – 2a2 .2a2 + 5a . 5a – 3q2 4. 3x2 + 8x + 7x . 3x2 + 15x . 18x3. 3x2 +1 3x2

Lineer sistemler

Yanlış olan ifade A'dır. İkinci dereceden ikinci dereceden bir denklem sistemi tam olarak bir çözüme sahip olabilir. B. Grafikler kesişmiyorsa, ikinci dereceden ikinci dereceden denklemler sisteminin çözümü yoktur. C.

Denklem sistemini eleme yöntemiyle çözün. Çözümü sıralı bir çift olarak ifade edin. -5x−2y=−12 3x+2y=8

Cebir

Denklem sisteminin tam çözümünü bulmak için Gauss eliminasyonunu kullanın veya hiçbirinin olmadığını belirtin. x+3y+6z=6 y-4z=0

Matematik ASP

Basitleştirin ve standart biçimde yazın. Ardından, polinomu derece ve terim sayısına göre sınıflandırın. (5x3 + 3x2  7x + 10)  (3x3  x2 + 4x  1) Standart formda sadeleştirin ve yazın. Ardından, polinomu dereceye göre sınıflandırın ve

Peş üniversite

2x1+2x2+2x3=0 -2x1+5x2+2x3=1 8x1+x2+4x3=1 gauss eliminasyon yöntemi plz sol herhangi biri


ÇÖZÜM: Lineer denklem sistemini Gauss-Jordan eliminasyon yöntemini kullanarak çözün. 2x + 2y + z = &#87227 x + z = &#87223 4y &#8722 3z = 13

Bu çözümü web sitenize koyabilirsiniz!
2,2,1,-7
1,0,1,-3
0,4,-3,13
1. satırı 2'ye böl
1,1,1/2,-7/2
1,0,1,-3
0,4,-3,13
(-1) *satır 1'i 2. satıra ekleyin
1,1,1/2,-7/2
0,-1,1/2,1/2
0,4,-3,13
(0) *satır 1'i satır 3'e ekleyin
1,1,1/2,-7/2
0,-1,1/2,1/2
0,4,-3,13
2. satırı -1'e böl
1,1,1/2,-7/2
0,1,1/-2,1/-2
0,4,-3,13
(-4) * satır 2'yi satır 3'e ekleyin
1,1,1/2,-7/2
0,1,1/-2,1/-2
0,0,-1,15
3. satırı -1'e böl
1,1,1/2,-7/2
0,1,1/-2,1/-2
0,0,1,-15
Şimdi son değişkenin değerine sahibiz.
Yolumuza devam edeceğiz ve diğer çözümleri bulacağız.
(1/2) *satır 3'ü 2. satıra ekleyin
1,1,1/2,-7/2
0,1,0,-8
0,0,1,-15
(-1/2) *satır 3'ü 1. satıra ekleyin
1,1,0,4
0,1,0,-8
0,0,1,-15
(-1) *satır 2'yi satır 1'e ekleyin
1,0,0,12
0,1,0,-8
0,0,1,-15


3 Cevap 3

Birçok mühendislik uygulamasında, $Ax = b$'ı çözdüğünüzde, $A in mathbb matrisi^Sağ taraftaki vektör $b$ değişmeye devam ederken $ değişmeden kalır.

Tipik bir örnek, farklı zorlama fonksiyonları için bir kısmi diferansiyel denklemi çözdüğünüz zamandır. Bu farklı zorlama işlevleri için ağ oluşturma genellikle aynı tutulur. $A$ matrisi yalnızca ağ parametrelerine bağlıdır ve bu nedenle farklı zorlama işlevleri için değişmeden kalır. Ancak, her zorlama fonksiyonu için sağ taraftaki vektör $b$ değişir.

Başka bir örnek, bilinmeyenlerin zamanla geliştiği zamana bağlı bir problemi çözdüğünüz zamandır. Yine bu durumda, eğer zaman adımı farklı zaman anlarında sabitse, o zaman yine $A$ matrisi değişmeden kalır ve sadece sağ taraftaki vektör $b$ her zaman adımında değişir.

$LU$ çarpanlarına ayırmayı (bu nedenle herhangi bir çarpanlara ayırma) kullanarak çözmenin arkasındaki ana fikir, çarpanlara ayırma aşamasını (genellikle hesaplama açısından pahalı olan) çarpanlardan ayırmaktır. gerçek çözme aşaması. Çarpanlara ayırma aşaması yalnızca $A$ matrisine ihtiyaç duyarken, gerçek çözme aşaması, doğrusal sistemi çözmek için $A$'ın çarpanlara ayrılmış formunu ve sağ tarafı kullanır. Bu nedenle, çarpanlara ayırmayı elde ettiğimizde, farklı sağ tarafları nispeten ılımlı bir hesaplama maliyetiyle çözmek için $A$'ın çarpanlara ayrılmış formunu kullanabiliriz.

$A$ matrisini $LU$'a çarpanlarına ayırmanın maliyeti $mathcal(N^3)$. Bu çarpanlara ayırmaya sahip olduğunuzda, çözmenin maliyeti, yani $LUx = b$'ı çözmenin maliyeti sadece $mathcal'dir.(N^2)$, çünkü üçgen bir sistemi çözmenin maliyeti $mathcal olarak ölçeklenir(N^2)$.

($LUx = b$'ı çözmek için önce $Ly = b$'ı ve sonra $Ux = y$'ı çözeceğinizi unutmayın. $Ly = b$ ve $Ux=y$'ı çözmenin maliyeti $mathcal(N^2).$)

Dolayısıyla, eğer '$r'niz varsa

7.2: Gauss Jordan Eliminasyonuna Giriş

Yeni Uluslararası Sürüm
Söylediklerim üzerinde düşünün, çünkü Rab size tüm bunlar hakkında bilgi verecektir.

Yeni Yaşam Çevirisi
Ne dediğimi bir düşün. Rab bütün bunları anlamanıza yardım edecektir.

İngilizce Standart Sürüm
Söylediklerimi iyi düşün, çünkü Rab sana her konuda anlayış verecektir.

Berean Çalışma İncil
Söylediklerimi iyi düşün, çünkü Rab sana her şey hakkında bilgi verecektir.

Berean Edebi İncil
Söylediğim şeyleri düşünün, çünkü Rab size her konuda anlayış verecektir.

Kral James İncil
Söylediklerimi iyi düşün ve Rab sana her konuda anlayış versin.

Yeni King James Versiyonu
Söylediklerimi iyi düşün ve Rab sana her konuda anlayış versin.

Yeni Amerikan Standart İncil
Söylediklerimi iyi düşün, çünkü Rab sana her konuda anlayış verecektir.

NASB 1995
Söylediklerimi iyi düşün, çünkü Rab sana her konuda anlayış verecektir.

NASB 1977
Söylediklerimi iyi düşün, çünkü Rab sana her konuda anlayış verecektir.

Amplifiye İncil
Söylediğim şeyleri bir düşünün [uygulandıklarını kavrayın], çünkü Rab size anlayış verecektir. ve her şeyde anlayış.

Hıristiyan Standart İncil
Söylediklerimi iyi düşün, çünkü Rab sana her konuda anlayış verecektir.

Holman Hıristiyan Standart İncil
Söylediklerimi iyi düşün, çünkü Rab sana her konuda anlayış verecektir.

Amerikan Standart Versiyonu
Söylediklerimi iyi düşün, çünkü Rab sana her konuda anlayış verecektir.

Sade İngilizce Aramice İncil
Ne dediğimi bir düşün. Rabbimiz sana her konuda akıl versin.

Çağdaş İngilizce Versiyon
Size söylediklerimi aklınızda tutarsanız, Rab tam olarak anlamanıza yardımcı olacaktır.

Douay-Rheims İncil
Ne dediğimi anlayın: çünkü Rab sana her konuda anlayış verecektir.

İngilizce Gözden Geçirilmiş Versiyon
Söylediklerimi iyi düşün, çünkü Rab sana her konuda anlayış verecektir.

İyi Haber Çevirisi
Söylediklerimi bir düşün, çünkü Rab her şeyi anlamanı sağlayacak.

ALLAH'IN SÖZÜ® Çeviri
Ne dediğimi anla. Rab bütün bunları anlamanıza yardım edecektir.

Uluslararası Standart Sürüm
Ne dediğimi bir düşün. Rab bütün bunları anlamanıza yardım edecektir.

Değişmez Standart Sürüm
Söylediklerimi iyi düşün, çünkü RAB sana her şeyde anlayış verir.

NET İncil
Söylediklerimi bir düşünün, Rab size tüm bunları anlamanızı sağlayacaktır.

Yeni Kalp İngilizce İncil
Söylediklerimi iyi düşün, çünkü Rab sana her konuda anlayış verecektir.

Weymouth Yeni Ahit
Söylediklerimi iyi not edin: Rab size her konuda ayırt etme gücü verecektir.

Dünya İngilizcesi İncil
Söylediklerimi iyi düşün ve Rab sana her konuda anlayış versin.

Young'ın Edebi Tercümesi
Söylediklerimi iyi düşün, çünkü Rab sana her şeyde anlayış versin.

2 Timoteos 2:6
Çalışkan çiftçi, ekinleri ilk alan kişi olmalıdır.

2 Timoteos 2:8
Ölümden dirilmiş, Davut'un soyundan gelen İsa Mesih'i, müjdemin bildirdiği gibi hatırlayın.

Söylediklerimi iyi düşün ve Rab sana her konuda anlayış versin.

Tesniye 4:39 Bu nedenle bugünü bilin ve düşünün o senin yüreğinde, ki RAB o dır-dir Yukarıda gökte ve aşağıda yeryüzünde Tanrı: var başka yok.

Tesniye 32:29 Ah onlar akıllı olsaydı, o bunu anladılar, o sonlarını düşüneceklerdi!

Mezmur 64:9 Ve bütün insanlar korkacak ve Allah'ın işini ilan edecekler, çünkü onlar onun işini hikmetle düşünecekler.

Yaratılış 41:38,39 Ve Firavun kullarına dedi: Bulabilir miyiz? öyle biri bunun gibi dır-dir, içinde Tanrı'nın Ruhu olan bir adam dır-dir? …

Çıkış 36:1,2 O zaman Bezaleel'i ve Aholiab'ı ve RAB'bin her türlü işi RAB'bin buyruklarına göre işlemesini bilmek için bilgelik ve anlayış verdiği her bilge yürekli adamı yaptı.

Sayılar 27:16,17 Bütün bedenlerin ruhlarının Tanrısı RAB, cemaatin üzerine bir adam atasın, …

Ayet 7. - Çünkü Rab verecek ve Rab verecek, A.V. Ne dediğimi bir düşün. Elçinin dersleri benzetmeler veya benzetmelerle verilmişti. Bu nedenle, Timoteos'tan bunları iyi not etmesini rica eder, aksi takdirde kendisine yapılan uygulama ondan kaçmaz ve ayrıca gerekli bilgeliği ve anlayışı Tanrı'dan araması gerektiğini önerir. İşte Rabbimiz, Matta 13'te kaydedilen benzetmelerin sonunda, müritlerine ver. 51, "Bütün bunları anladınız mı?" ve başka bir yerde, "İşitecek kulağı olan, işitsin." Ruh'un özel armağanlarından birini ( σύνεσιν ) anlamak (İşaya 11:2, LXX. bkz. Koloseliler 1:9 Koloseliler 2:2).

Dikkate almak
νόει (noei)
Fiil - Şimdiki Zorunlu Etkin - 2. Tekil Şahıs
Strong's 3539: Nous'tan zihni çalıştırmaya, yani kavramaya, kulak vermeye.

ne
ὃ (ho)
Kişisel / Akraba Zamiri - Suçlama Nötr Tekil
Strong's 3739: Kim, hangi, ne, o.

söylüyorum,
λέγω (bacakō)
Fiil - Şimdiki Gösterge Aktif - 1. Tekil Şahıs
Strong's 3004: (a) Diyorum, konuşuyorum demek, bahsediyorum, söyle, (b) Seslendiriyorum, özellikle geçiyorum., (c) Anlatıyorum, emrediyorum.

için
γάρ (gar)
Bağlaç
Strong's 1063: For. Düzgün bir şekilde birincil parçacık, bir neden atayarak.

NS
ὁ (ho)
Makale - Yalın Eril Tekil
Strong's 3588: Kesin makale. Dişil o ve tüm çekimlerinde nötr olan kesin makale dahil.

Kral
Κύριος (Kyrios)
İsim - Yalın Eril Tekil
Strong's 2962: Lord, efendim, efendim Lord. Otoritede en yüksek kuros'tan, yani ima yoluyla kontrol eden, Usta.

verecek
δώσει (dōsei)
Fiil - Gelecek Gösterge Aktif - 3. Tekil Şahıs
Strong's 1325: Sunmak, vermek, koymak, yer. Vermek için birincil fiilin uzun bir şekli.

sen
σοι (soi)
Kişi / İyelik Zamiri - 2. Tekil Kişi
Strong's 4771: Sen. Sen tekil ikinci tekil şahıs zamiri.

içgörü
σύνεσιν (sinesin)
İsim - Suçlayıcı Dişil Tekil
Strong's 4907: Suniemi'den zihinsel bir araya getirme, yani Zeka veya akıl.

içine
ἐν (tr)
Edat
Strong's 1722: İçinde, açık, arasında. Pozisyonu ve araçsallığı belirten birincil bir edat, yani 'içinde', üzerinde, üzerinde, tarafından vb. bir dinlenme ilişkisi.

her şey.
πᾶσιν (pasin)
Sıfat - Dative Neuter Çoğul
Strong's 3956: Hepsi, tamamı, her türlüsü. Görünüşe göre tüm çekim biçimlerini içeren birincil bir kelime hepsi, herhangi biri, her biri, bütün.


52 DOĞRUSAL DENKLEMLERİ ÇÖZMEK İÇİN MATRİS YÖNTEMİNİN UYGULAMASI

Lineer denklemler, matris ters çevirme yöntemi, Cramer Kuralı ve Gauss – Jordan Eliminasyon yöntemleri gibi matris yöntemleri kullanılarak çözülebilir. Bununla birlikte, bu yöntemlere bakmadan önce, lineer denklemlerin matris notasyonunda nasıl sunulacağı konusunda bilgi sahibi olunmalıdır.

Lineer Denklemlerin Matris Notasyonunda Sunulması

Aşağıdaki n tane bilinmeyenli lineer denklemi göz önünde bulundurun:

Yukarıdaki lineer denklem sistemi, A X = B için matriste sunulabilir.

Cramer Kuralı

Daha önce açıklandığı gibi, determinantlar tekil olmayan bir matrisin tersini bulmakta faydalıdır. Şimdi, matris katsayısı (A) tekil olmayan (veya ters çevrilebilir) doğrusal sistemlerin çözümünde kullanımını görelim.

Örneğin, matris biçiminde doğrusal bir sistem düşünün,

A matris katsayısı nerede

B homojen olmayan terimdir ve

X, bilinmeyen sütun matrisi

Buna Cramer kuralı denir.

D, D1 ve D2 değerleri aşağıdaki gibi de elde edilebilir:

Örnek 9.13

Lineer sistemi Cramer kuralını kullanarak çözün,

Yukarıdaki sistemi matris formunda yazmak A X = B

Cramer Kuralı: (Üç bilinmeyen veya 3×3 matris)

denklem sistemi olsun

İlk sütunu B ile değiştirerek elde edildi

Örnek 9.14

3x + y – 2z = 25 2x – 4y + 5z = – 29

Matris Ters Çevirme Yöntemi

Denklem sistemlerini çözmek için matris ters çevirme yöntemi kullanılabilir. Aşağıdaki örnek, bu yöntemi kullanarak bir denklem sisteminin nasıl çözülebileceğini göstermektedir. Örnek 9.15

x + y + z = 6 x – y + z = 2'yi çöz

2x – y + 3z = 9, Matrix inversiyon yöntemi kullanılarak.

Verilen denklem sistemi şu şekilde ifade edilebilir:

Gauss – Ürdün Eleme Yöntemi

Gauss-Jordan Eliminasyon yöntemini kullanarak lineer denklemleri çözme prosedürü aşağıdaki gibidir:

    1. Denklem sistemini artırılmış matris olarak yazın.
    2. Tamamı sıfır olmayan en soldaki sütunu belirleyin.
    3. En soldaki sütundaki en üst öğe sıfır ise, o sütuna sıfır olmayan bir öğe getirmek için üst satırı değiştirin.
    4. Bu sıfır olmayan öğe 'a' ise, o satırda baştaki 1'i elde etmek için üst satırı 1/a ile çarpın.
    5. Diğer tüm satırların bu sütunda 0 olması için bu satırın katlarını diğer satırlara ekleyin.
    6. Üst sırayı kapatın (yoksayarak) ve bunun altındaki sıraları dikkate alarak ikinci adıma dönün (5. adıma kadar).

    Bu işleme, matris Birim matrisine indirgenene kadar devam edin.

    Aşağıdaki örnek, Gauss – Jordan Eliminasyon Yöntemini kullanarak denklem sistemini çözme prosedürünü göstermektedir.

    Örnek 9.16

    Aşağıdaki denklem sistemini çözerek x, y ve z değerlerini bulun.

    Adım 1: Denklem sistemini artırılmış bir matris olarak yazın

    Adım 2: Sol üst öğenin sıfır olmaması için birinci ve üçüncü satırı değiştirin.

    Adım 3: İlk sütunun ikinci elemanında 0 elde etmek için ikinci satıra -2 kez ilk satırı ekleyin.

    Adım 4: 2. satırda önde gelen 1'i elde etmek için ikinci satırı 2'ye bölün

    Adım 5: Birinciye ikinci satırı ekleyin ve ikinci sütunda 0'ları almak için ikinci satırı üçüncüye -2 kez ekleyin

    Adım 6: Baştaki 1'i elde etmek için 3. satırı 2'ye bölün

    Adım 7: Üçüncü sütunda 0'lar elde etmek için 3. satırın -1 / 2'sini 1. satıra ekleyin ve 5/2 kez 3. satırı 2. satırına ekleyin

    Şimdi, yukarıdaki matris bir birim matristir.

    Şimdi bu değerlerin başlangıç ​​denklemlerini karşılayıp karşılamadığını kontrol edelim.

    2y – 3z = 2(7/4) – 3(1/2) = (7/2) – (3/2) = 4/2 = 2 2x + z =

    2(5/4) + (1/2) = (5/2) + (1/2) = 6/2 = 3 x – y + 3z = (5/4)

    Gauss – Jordan eliminasyon yöntemi kullanılarak hesaplanan x, y, z değerleri örnekteki denklemleri karşılamaktadır.

    Böylece, bir yönetici bir denklem sistemini çözmek için Cramer kuralını, matris ters çevirme yöntemini veya Gauss – Jordan eleme yöntemini kullanabilir.


    Videoyu izle: Lineer Cebir: Gauss Jordan Yok Etme Metodu (Aralık 2021).