Nesne

16.8E: Bölüm 16.8 - Matematik için Alıştırmalar


1 - 9 arasındaki alıştırmalar için, verilen (vecs seçeneği için yüzey integralini (displaystyle int_S vecs F cdot vecs n , ds) değerlendirmek için bir bilgisayar cebirsel sistemi (CAS) ve diverjans teoremini kullanın. F) ve sınır yüzeyi (S.) Her kapalı yüzey için, (vecs N)'nin dışa doğru birim normal vektör olduğunu varsayın.

1. [T] (vecs F(x,y,z) = x,mathbf{hat i} + y,mathbf{hat j} + z,mathbf{hat k} ); (S) küpün yüzeyidir (0 leq x leq 1, , 0 leq y leq 1, , 0 < z leq 1).

2. [T] (vecs F(x,y,z) = (cos yz) ,mathbf{hat i} + e^{xz},mathbf{hat j} + 3z^ 2 ,mathbf{hat k}); (S), (z = sqrt{4 - x^2 - y^2}) ile birlikte (x^2 + y^2 leq 4) yarımküresinin ( xy)-düzlem.

Cevap
(displaystyle int_S vecs F cdot vecs n , ds = 75.3982)

3. [T] (vecs F(x,y,z) = (x^2 + y^2 - x^2),mathbf{hat i} + x^2 y,mathbf{ hat j} + 3z,mathbf{hat k}; ) (S) birim küpün beş yüzünün yüzeyidir (0 leq x leq 1, , 0 leq y leq 1, , 0 < z leq 1.)

4. [T] (vecs F(x,y,z) = x,mathbf{hat i} + y,mathbf{hat j} + z,mathbf{hat k} ; ) (S), (0 leq z leq 9) için paraboloid (z = x^2 + y^2) yüzeyidir.

Cevap
(displaystyle int_S vecs F cdot vecs n , ds = 127.2345)

5. [T] (vecs F(x,y,z) = x^2,mathbf{hat i} + y^2 ,mathbf{hat j} + z^2 , matematikbf{hat k}); (S) kürenin yüzeyidir (x^2 + y^2 + z^2 = 4).

6. [T] (vecs F(x,y,z) = x,mathbf{hat i} + y,mathbf{hat j} + (z^2 - 1), matematikbf{hat k}); (S), silindir ( x^2 + y^2 = 4) ve (z = 0) ve (z = 1) düzlemleriyle sınırlanan katının yüzeyidir.

Cevap
(displaystyle int_S vecs F cdot vecs n , ds = 37.699)

7. [T] (vecs F(x,y,z) = x^2,mathbf{hat i} + y^2 ,mathbf{hat j} + z^2 , matematikbf{hat k}); (S), küresel koordinatlarda üstte küre ( ho = 2) ve altta koni (varphi = dfrac{pi}{4}) ile sınırlanan yüzeydir. ((S)'yi bir "dondurma külahının" yüzeyi olarak düşünün)

8. [T] (vecs F(x,y,z) = x^3,mathbf{hat i} + y^3 ,mathbf{hat j} + 3a^2z , mathbf{hat k} , (sabit , a > 0)); (S), silindir (x^2 + y^2 = a^2) ve (z = 0) ve (z = 1) düzlemleriyle sınırlanan yüzeydir.

Cevap
(displaystyle int_S vecs F cdot vecs n , ds = dfrac{9pi a^4}{2})

9. [T] Yüzey integrali (displaystyle iint_S vecs F cdot dS), burada (S) paraboloid (z = x^2 + y^2) ve düzlem ile sınırlanan katıdır (z = 4) ve (vecs F(x,y,z) = (x + y^2z^2),mathbf{hat i} + (y + z^2x^2) ,mathbf{hat j} + (z + x^2y^2) ,mathbf{hat k})

10. Yüzey integralini (displaystyle iint_S vecs F cdot dS) hesaplamak için diverjans teoremini kullanın, burada (vecs F(x,y,z) = (e^{y^2} ,) mathbf{hat i} + (y + sin (z^2)),mathbf{hat j} + (z - 1),mathbf{hat k}) ve (S) üst yarımküre (x^2 + y^2 + z^2 = 1, , z geq 0), yukarı yönlüdür.

Cevap
(displaystyle iint_S vecs F cdot dS = dfrac{pi}{3})

11. Yüzey integralini (displaystyle iint_S vecs F cdot dS) hesaplamak için diverjans teoremini kullanın, burada (vecs F(x,y,z) = x^4,mathbf{hat i) } - x^3z^2,mathbf{hat j} + 4xy^2z,mathbf{hat k}) ve (S) silindir ile sınırlanan yüzeydir (x^2 + y ^2 = 1) ve (z = x + 2) ve (z = 0) düzlemleri.

12. (vecs F(x,y,z) = x^2z^3 ,mathbf{ olduğunda, yüzey integralini (displaystyle iint_S vecs F cdot dS) hesaplamak için diverjans teoremini kullanın. hat i} + 2xyz^3,mathbf{hat j} + xz^4 ,mathbf{hat k}) ve (S) köşeleri ((pm) olan kutunun yüzeyidir 1, , pm 2, , pm 3)).

Cevap
(displaystyle iint_S vecs F cdot dS = 0)

13. (vecs F(x,y,z) = z , an^{-1} olduğunda yüzey integralini (displaystyle iint_S vecs F cdot dS) hesaplamak için diverjans teoremini kullanın y^2),mathbf{hat i} + z^3 ln(x^2 + 1) ,mathbf{hat j} + z,mathbf{hat k}) ve (S) paraboloidin (x^2 + y^2 + z = 2) düzleminin (z = 1) üzerinde yer alan ve yukarı doğru yönlendirilmiş bir parçasıdır.

14. [T] Akı (displaystyle iint_S vecs F cdot dS) hesaplamak için bir CAS ve diverjans teoremi kullanın, burada (vecs F(x,y,z) = (x^3 + y) ^3),mathbf{hat i} + (y^3 + z^3),mathbf{hat j} + (z^3 + x^3),mathbf{hat k} ) ve (S) merkezi ((0, 0)) ve yarıçapı (2.) olan bir küredir

Cevap
(displaystyle iint_S vecs F cdot dS = 241.2743)

15. Akı integralinin değerini hesaplamak için diverjans teoremini kullanın (displaystyle iint_S vecs F cdot dS), burada (vecs F(x,y,z) = (y^3 + 3x) ,mathbf{hat i} + (xz + y),mathbf{hat j} + left(z + x^4 cos (x^2y)sağ),mathbf{hat k }) ve (S), (x^2 + y^2 = 1, , x geq 0, , y geq 0) ve (0 ile sınırlanan bölgenin alanıdır. leq z leq 1).

16. Akı integralini (displaystyle iint_S vecs F cdot dS) hesaplamak için diverjans teoremini kullanın, burada (vecs F(x,y,z) = y,mathbf{hat j} - z,mathbf{hat k}) ve (S) paraboloid (y = x^2 + z^2, , 0 leq y leq 1) ve diskin birleşiminden oluşur (x^2 + z^2 leq 1, , y = 1), dışa dönük. Sadece paraboloidden geçen akı nedir?

Cevap
(displaystyle iint_S vecs F cdot dS = -pi)

17. Akı integralini (displaystyle iint_S vecs F cdot dS) hesaplamak için diverjans teoremini kullanın, burada (vecs F(x,y,z) = x,mathbf{hat i} + y,mathbf{hat j} + z^4 ,mathbf{hat k}) ve (S) koninin bir parçasıdır (z = sqrt{x^2 + y^2 }) üst düzlemin altında (z = 1) aşağı doğru yönlendirilir.

18. (vecs F(x,y,z) = x^4,mathbf{hat i} için yüzey integralini (displaystyle iint_S vecs F cdot dS) hesaplamak için diverjans teoremini kullanın. - x^3z^2,mathbf{hat j} + 4xy^2 z,mathbf{hat k}), burada (S) silindir (x^2 + ile sınırlanan yüzeydir) y^2 = 1) ve (z = x + 2) ve (z = 0) düzlemleri.

Cevap
(displaystyle iint_S vecs F cdot dS = dfrac{2pi}{3})

19. (vecs F(x,y,z) = x^2,mathbf{hat i} + xy,mathbf{hat j} + (z + 1),mathbf{'yi düşünün hat k}). (E) paraboloid (z = 4 - x^2 - y^2) ve düzlem (z = 0) tarafından çevrelenen ve normal vektörleri (E.) dışını gösteren katı olsun. Akıyı hesaplayın (vecs F) (E) sınırı boyunca diverjans teoremini kullanarak.

20 - 23 alıştırmalarında, verilen yüzeyler boyunca alanlar için net dışa doğru akıyı hesaplamak için diverjans teoremi ile birlikte bir CAS kullanın (S.)

20. [T] (vecs F = langle x,, -2y, , 3z angle; ) (S) küredir ({(x,y,z) : x^2 + y^2 + z^2 = 6 }).

Cevap
(15sqrt{6}pi)

21. [T] (vecs F = langle x, , 2y, , z angle); (S), (x + y + z = 1) düzleminin oluşturduğu birinci oktandaki tetrahedronun sınırıdır.

22. [T] (vecs F = langle y - 2x, , x^3 - y, , y^2 - z angle); (S) küredir ({(x,y,z) ,:, x^2 + y^2 + z^2 = 4}.)

Cevap
(-dfrac{128}{3} pi)

23. [T] (vecs F = langle x,y,z angle); (S), (z geq 0) için paraboloidin (z = 4 - x^2 - y^2) yüzeyi artı (xy)-düzlemindeki tabanıdır.

24-26 numaralı alıştırmalarda, verilen bölgelerin (D.) sınırları boyunca vektör alanları için net dışa doğru akıyı hesaplamak için bir CAS ve diverjans teoremi kullanın.

24. [T] (vecs F = langle z - x, , x - y, , 2y - z angle); (D) orijinde merkezli 2 ve 4 yarıçaplı küreler arasındaki bölgedir.

Cevap
(-703.7168)

25. [T] (vecs F = dfrac{vecs r}{|vecs r|} = dfrac{langle x,y,z angle}{sqrt{x^2+y ^2+z^2}}); (D) orijinde merkezli 1 ve 2 yarıçaplı küreler arasındaki bölgedir.

26. [T] (vecs F = langle x^2, , -y^2, , z^2 angle); (D), (z = 4 - x - y) ve (z = 2 - x - y) düzlemleri arasındaki birinci oktanttaki bölgedir.

Cevap
(20)

27. (vecs F(x,y,z) = 2x,mathbf{hat i} - 3xy,mathbf{hat j} + xz^2,mathbf{hat k} olsun ). (displaystyle iint_S vecs F cdot dS) hesaplamak için diverjans teoremini kullanın; burada (S), ((0,00,0), , (1'de köşeleri olan küpün yüzeyidir) ,0,0), , (0,1,0), , (1,1,0), , (0,0,1), , (1,0,1), , (0 ,1,1)) ve ((1,1,1)), dışa dönük.

28. (vecs F(x,y,z) = (x^3 - 3y),mathbf{hat i} + (2yz + 1), alanının dışa doğru akışını bulmak için diverjans teoremini kullanın. mathbf{hat j} + xyz,mathbf{hat k}) (x = pm 1, , y = pm 1, ) ve (z = pm 1).

Cevap
(displaystyle iint_S vecs F cdot dS = 8)

29. (vecs F(x,y,z) = 2x,mathbf{hat i} - 3y,mathbf{hat j} + 5z,mathbf{hat k}) olsun ve (S), (xy'deki (x^2 + y^2 leq 9) ile birlikte (z = sqrt{9 - x^2 - y^2}) yarım küre olsun )-uçak. Diverjans teoremini kullanın.

30. (displaystyle iint_S vecs F cdot vecs n , dS) değerini değerlendirin, burada (vecs F(x,y,z) = x^2 ,mathbf{hat i} + xy,mathbf{hat j} + x^3y^3,mathbf{hat k}) ve (S) düzlemle sınırlanmış dörtyüzlü hariç tüm yüzlerden oluşan yüzeydir (x + y + z = 1) ve koordinat düzlemleri, dışa doğru birim normal vektörü (vecs N.)

Cevap
(displaystyle iint_S vecs F cdot vecs n , dS = dfrac{1}{8})

31. (vecs F = langle bz - cy, , cx - az, , ay - bx angle) alanının (R^3) içindeki herhangi bir pürüzsüz kapalı yüzey boyunca net dışa doğru akışını bulun. (a, , b,) ve (c) sabitlerdir.

32. (displaystyle iint_S ||vecs R||vecs R cdot vecs n , ds,) değerini değerlendirmek için diverjans teoremini kullanın, burada (vecs R(x,y,z) = x ,mathbf{hat i} + y,mathbf{hat j} + z,mathbf{hat k}) ve (S) küredir (x^2 + y^2 + z^2 = a^2), sabit (a > 0) ile.

Cevap
(displaystyle iint_S ||vecs R||vecs R cdot vecs n , ds = 4pi a^4)

33. (displaystyle iint_S vecs F cdot dS,)'yi değerlendirmek için diverjans teoremini kullanın, burada (vecs F(x,y,z) = y^2 z,mathbf{hat i} + y^3,mathbf{hat j} + xz,mathbf{hat k}) ve (S), (-1 leq x leq 1 ile tanımlanan küpün sınırıdır , , -1 leq y leq 1) ve (0 leq z leq 2).

34. (R), (x^2 + y^2 + z^2 leq 1) ile tanımlanan bölge olsun. (displaystyle iiint_R z^2 , dV.)'yi bulmak için diverjans teoremini kullanın.

Cevap
(displaystyle iint_R z^2 dV = dfrac{4pi}{15})

35. (E) (xy)-düzlemi ve paraboloid (z = 4 - x^2 - y^2) tarafından sınırlanan katı olsun, böylece (S) cismin yüzeyi olsun. dibini oluşturan (xy)-düzleminde disk ile birlikte paraboloid parça. Eğer (vecs F(x,y,z) = (xz , sin(yz) + x^3) ,mathbf{hat i} + cos (yz) ,mathbf{hat j} + (3zy^2 - e^{x^2+y^2}),mathbf{hat k}), diverjansı kullanarak (displaystyle iint_S vecs F cdot dS)'yi bulun teorem.

36. (E), orijinde çapraz olarak zıt köşeleri ve koordinat düzlemlerine paralel olan ((1, 1, 1),) ve yüzleri olan katı birim küp olsun. (S), (E,)'nin dışa dönük normal ile yönlendirilmiş yüzeyi olsun. Diverjans teoremini kullanarak (displaystyle iint_S vecs F cdot dS) bulmak için bir CAS kullanın if (vecs F(x,y,z) = 2xy,mathbf{hat i} + 3ye^ z,mathbf{hat j} + x sin z,mathbf{hat k}).

Cevap
(displaystyle iint_S vecs F cdot dS = 6.5759)

37. (vecs F(x,y,z) = x^3,mathbf{hat i} + y^3,mathbf{hat j} + akışını hesaplamak için diverjans teoremini kullanın. z^3,mathbf{hat k}) küreden (x^2 + y^2 + z^2 = 1).

38. (displaystyle iint_S vecs F cdot dS,)'yi bulun, burada (vecs F(x,y,z) = x,mathbf{hat i} + y,mathbf{ hat j} + z,mathbf{hat k}) ve (S), ([1,2] imes [1,2] imes [1, 2]) küpünden ([0,2] imes [0,2] imes [0,2]).

Cevap
(displaystyle iint_S vecs F cdot dS = 21)

39. Radyal vektör alanını düşünün (vecs F = dfrac{vecs r}{|vecs r|} = dfrac{langle x,y,z angle}{(x^2+y^) 2+z^2)^{1/2}}). (S) yarıçaplı bir kürenin yüzeyi olduğu yüzey integralini hesaplayın a orijin merkezlidir.

40. Parabolik silindir (S ,:, y = x^2), (0 leq x leq 2, , 0 leq z leq 3) üzerinden suyun akışını hesaplayın, eğer hız vektörü (vecs F(x,y,z) = 3z^2,mathbf{hat i} + 6,mathbf{hat j} + 6xz,mathbf{hat k'dir }).

Cevap
(displaystyle iint_S vecs F cdot dS = 72)

41. [T] (vecs F(x,y,z) = z,mathbf{hat i} + z,mathbf{hat j} + vektör alanının akışını bulmak için bir CAS kullanın sqrt{x^2 + y^2},mathbf{hat k}) hiperboloidin (x^2 + y^2 = z^2 + 1) düzlemler arasındaki (z =) kısmı boyunca 0) ve (z = dfrac{sqrt{3}}{3}), birim normal vektörü (z) ekseninden uzağa bakacak şekilde yönlendirilir.

42. (vecs F(x,y,z) = (e^y + x),mathbf{hat i} + (3 , cos (xz) vektör alanının akışını bulmak için bir CAS kullanın ) - y),mathbf{hat j} + z,mathbf{hat k}) (S,) yüzeyinden, burada (S) (z^2 = 4x ile verilir) ^2 + 4y^2) den (0 leq z leq 4), birim normal vektörü aşağıyı gösterecek şekilde yönlendirilir.

Cevap
(displaystyle iint_S vecs F cdot dS = -33.5103)

43. [T] (displaystyle iint_S vecs F cdot dS,)'yi hesaplamak için bir CAS kullanın, burada (vecs F(x,y,z) = x,mathbf{hat i} + y,mathbf{hat j} + 2z,mathbf{hat k}) ve (S) kürenin bir parçasıdır (x^2 + y^2 + z^2 = 2 ) ile (0 leq z leq 1).

44. (displaystyle iint_S vecs F cdot dS,)'yi değerlendirin, burada (vecs F(x,y,z) = bxy^2,mathbf{hat i} + bx^2y, mathbf{hat j} + (x^2 + y^2)z^2 ,mathbf{hat k}) ve (S) bölgeyi sınırlayan ve katı silindirden oluşan kapalı bir yüzeydir (x^2 + y^2 leq a^2) ve (0 leq z leq b).

Cevap
(displaystyle iint_S vecs F cdot dS = pi a^4 b^2)

45. [T] (vecs F(x,y,z) = (x^3 + y , sin z),mathbf{hat i} + (y) akışını hesaplamak için bir CAS kullanın ^3 + z , sin x),mathbf{hat j} + 3z,mathbf{hat k}) (S,) yüzeyi boyunca, burada (S) (z = sqrt{4 - x^2 - y^2}) ve (z = sqrt{1 - x^2 - y^2}) ve düzlem (z) ile sınırlanan katı = 0).

46. ​​(displaystyle iint_S vecs F cdot dS,)'yi değerlendirmek için diverjans teoremini kullanın, burada (vecs F(x,y,z) = xy,mathbf{hat i} - dfrac {1}{2}y^2,mathbf{hat j} + z,mathbf{hat k}) ve (S) üç parçadan oluşan yüzeydir: (z = 4 - 3x^2 - 3y^2, , 1 leq z leq 4) üstte; (x^2 + y^2 = 1, , 0 leq z leq 1) yanlarda; ve altta (z = 0) bulunur.

Cevap
(displaystyle iint_S vecs F cdot dS = dfrac{5}{2}pi)

47. [T] (displaystyle iint_S vecs F cdot dS,)'yi değerlendirmek için bir CAS ve diverjans teoremi kullanın, burada (vecs F(x,y,z) = (2x + y , cos z),mathbf{hat i} + (x^2 - y),mathbf{hat j} + y^2 z,mathbf{hat k}) ve (S ) küredir (x^2 + y^2 + z^2 = 4) dışa dönüktür.

48. (displaystyle iint_S vecs F cdot dS,)'yi değerlendirmek için diverjans teoremini kullanın; burada (vecs F(x,y,z) = x,mathbf{hat i} + y ,mathbf{hat j} + z,mathbf{hat k}) ve (S) paraboloid tarafından çevrelenen katının sınırıdır (y = x^2 + z^2 - 2 ), silindir (x^2 + z^2 = 1) ve düzlem (x + y = 2) ve (S) dışa doğru yönlendirilir.

Cevap
(displaystyle iint_S vecs F cdot dS = dfrac{21pi}{2})

Aşağıdaki alıştırmalar için, Fourier'in ısı transferi yasası bir noktadaki ısı akış vektörünün (vecs F) sıcaklığın negatif gradyanıyla orantılı olduğunu belirtir; yani, (vecs F = - k vecs abla T), bu da ısı enerjisinin sıcak bölgelerden soğuk bölgelere aktığı anlamına gelir. (k > 0) sabitine iletkenlik, metre başına saniye başına kelvin veya watt başına metre-kelvin başına metrik joule birimlerine sahip olan . (D) bölgesi için bir sıcaklık fonksiyonu verilmiştir. Sınır boyunca (displaystyle iint_S vecs F cdot vecs n , dS = -k iint_S vecs abla T cdot N , dS) net dışa doğru ısı akışını bulmak için diverjans teoremini kullanın ( S) of (D,) burada (k = 1).

49. (T(x,y,z) = 100 + x + 2y + z);

(D = {(x,y,z) : 0 leq x leq 1, , 0 leq y leq 1, , 0 leq z leq 1 })

50. (T(x,y,z) = 100 + e^{-z});

(D = {(x,y,z) : 0 leq x leq 1, , 0 leq y leq 1, , 0 leq z leq 1 })

Cevap
(- (1 - e^{-1}))

51. (T(x,y,z) = 100 e^{-x^2-y^2-z^2}); (D) orijinde merkezlenmiş (a) yarıçaplı küredir.

Katkıda Bulunanlar

Gilbert Strang (MIT) ve Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd), katkıda bulunan birçok yazarla birlikte. OpenStax'ın bu içeriği bir CC-BY-SA-NC 4.0 lisansı ile lisanslanmıştır. http://cnx.org adresinden ücretsiz olarak indirin.