Nesne

Iraksaklık Teoremi - Matematik


Öğrenme hedefleri

  • Diverjans teoreminin anlamını açıklayınız.
  • Bir vektör alanının akısını hesaplamak için diverjans teoremini kullanın.
  • Diverjans teoremini bir elektrostatik alana uygulayın.

Analizin Temel Teoreminin, bir alanın yönlendirilmiş bir sınırı etrafındaki integrali, o varlığın yönlendirilmiş alandaki bir “türevi” ile ilişkilendiren daha yüksek boyutlarda birkaç versiyonunu inceledik. Bu bölümde, inceleyeceğimiz bu türün son teoremi olan diverjans teoremini belirtiyoruz. Diverjans teoreminin fizikte birçok kullanımı vardır; özellikle, diverjans teoremi, ısı akışını ve kütlenin korunumunu modelleyen denklemleri türetmek için kısmi diferansiyel denklemler alanında kullanılır. Teoremi, akı integrallerini hesaplamak ve elektrostatik alanlara uygulamak için kullanırız.

Teoremlere Genel Bakış

Diverjans teoremini incelemeden önce, tartıştığımız Temel Analiz Teoreminin versiyonlarına genel bir bakışla başlamak faydalı olacaktır:

  1. Kalkülüsün Temel Teoremi: [int_a^bf' (x) , dx = f(b) - f(a).] Bu teorem, (f') türevinin ( doğru parçası üzerindeki integrali ile ilgilidir. [a,b]) (x)-ekseni boyunca sınırda (f) bir fark olarak değerlendirilir.
  2. Doğru İntegralleri için Temel Teorem: [int_C vecs abla f cdot dvecs r = f(P_1) - f(P_0),] burada (P_0), (C'nin başlangıç ​​noktasıdır ) ve (P_1), (C)'nin uç noktasıdır. Doğru İntegralleri için Temel Teorem, (C) yolunun yalnızca (x)-ekseni üzerindeki bir doğru parçası değil, bir düzlemde veya uzayda bir yol olmasına izin verir. Gradyanı bir türev olarak düşünürsek, o zaman bu teorem ( abla f) türevinin (C) yolu üzerindeki integralini (C) sınırında değerlendirilen (f) farkıyla ilişkilendirir. ).
  3. Green teoremi, dolaşım biçimi: [iint_D (Q_x - P_y),dA = int_C vecs F cdot dvecs r.]'den beri (Q_x - P_y = ext{curl } vecs F cdot mathbf{hat k}) ve curl bir tür türevdir, Green teoremi curl (vecs F) türevinin (D) düzlemsel bölge üzerindeki integralini (vecs F'nin integrali ile ilişkilendirir) ) (D) sınırının üzerinde.
  4. Green teoremi, akı formu: [iint_D (P_x + Q_y),dA = int_C vecs F cdot vecs N , dS]'den beri (P_x + Q_y = ext{div }vecs F ) ve diverjans bir tür türevdir, Green teoreminin akı formu, div (vecs F) türevinin (D) düzlemsel bölge üzerindeki integralini, (vecs F) üzerindeki bir integralle ilişkilendirir. (D) sınırı.
  5. Stokes teoremi: [iint_S curl , vecs F cdot dvecs S = int_C vecs F cdot dvecs r.] Curl'ü bir tür türev olarak düşünürsek, o zaman Stokes' teorem, (S) yüzeyi (mutlaka düzlemsel olması gerekmez) üzerindeki curl (vecs F) türevinin integralini, (S) sınırı üzerindeki bir (vecs F) integraliyle ilişkilendirir.

Diverjans Teoreminin Belirtilmesi

Diverjans teoremi, bu diğer teoremlerin genel modelini takip eder. Diverjansı bir tür türev olarak düşünürsek, diverjans teoremi, div (vecs F) türevinin bir katı üzerindeki üçlü integralini, katının sınırı üzerindeki (vecs F) akı integraliyle ilişkilendirir. . Daha spesifik olarak, diverjans teoremi, (vecs F) vektör alanının kapalı bir yüzey (S) üzerindeki bir akı integrali ile (vecs F)'nin tarafından çevrelenen katı üzerindeki diverjansının üçlü integrali ile ilgilidir. (S).

Iraksaklık Teoremi

(S), uzayda katı (E)'yi çevreleyen parçalı, düzgün kapalı bir yüzey olsun. (S)'nin dışa dönük olduğunu varsayalım ve (vecs F)'nin (E) içeren açık bir bölgede sürekli kısmi türevleri olan bir vektör alanı olsun (Şekil (PageIndex{1})) . Sonra

[iiint_E ext{div }vecs F , dV = iint_S vecs F cdot dvecs S. label{divteorem}]

Green teoreminin akı formunun şunu söylediğini hatırlayın:

[ iint_D ext{div }vecs F , dA = int_C vecs F cdot vecs N , dS.]

Bu nedenle, diverjans teoremi, Green teoreminin bir üst boyuttaki versiyonudur.

Diverjans teoreminin ispatı bu metnin kapsamı dışındadır. Bununla birlikte, teoremin neden doğru olduğuna dair genel bir fikir veren, ancak teoremi tam olarak kanıtlamayan gayri resmi bir kanıta bakıyoruz. Bu açıklama, Stokes teoreminin neden doğru olduğuna dair verilen resmi olmayan açıklamayı takip eder.

Kanıt

(B), kenarları (E) içindeki koordinat düzlemlerine paralel olan küçük bir kutu olsun (Şekil (PageIndex{2a})). (B)'nin merkezi ((x,y,z)) koordinatlarına sahip olsun ve kenar uzunluklarının (Delta x, , Delta y) ve (Delta z) olduğunu varsayalım. . (Şekil (PageIndex{1b})). Kutunun üstündeki normal vektör (mathbf{hat k}) ve kutunun altındaki normal vektör (-mathbf{hat k})'dir. (vecs F = langle P, Q, R angle) ile (mathbf{hat k})'nin nokta çarpımı (R) ve nokta çarpımı (-mathbf{ ile) hat k}) (-R). Kutunun üst kısmının (ve kutunun alt kısmının) alanı (Delta S) (Delta x Delta y).

Kutunun tepesinden çıkan akı (R left(x,, y,, z + frac{Delta z}{2} ight) ,Delta x , ile yaklaşık olarak hesaplanabilir. Delta y) (Şekil (PageIndex{2c})) ve kutunun altından çıkan akı (- R left(x,, y,, z - frac{Delta z) }{2}sağ) ,Delta x ,Delta y). Bu değerler arasındaki farkı (Delta R) olarak belirtirsek, dikey yöndeki net akı (Delta R, Delta x ,Delta y) ile yaklaşık olarak hesaplanabilir. Yine de,

[Delta R ,Delta x ,Delta y = sol(frac{Delta R}{Delta z}sağ) ,Delta x ,Delta y Delta z yaklaşık sol(frac{partial R}{partial z}sağ) ,Delta V. umber]

Bu nedenle, dikey yöndeki net akı (left(frac{partial R}{partial z} ight)Delta V) ile yaklaşık olarak hesaplanabilir. Benzer şekilde, (x)-yönündeki net akı, (left(frac{partial P}{partial x} ight),Delta V) ve içindeki net akı yaklaşık olarak hesaplanabilir. (y)-yönüne (left(frac{partial Q}{partial y} ight),Delta V) ile yaklaşılabilir. Her üç yöndeki akıları eklemek, kutudan çıkan toplam akıya yaklaşık bir değer verir:

[ ext{Toplam akı }yaklaşık left(frac{partial P}{partial x} + frac{partial Q}{partial y} + frac{partial R}{partial z } ight) Delta V = ext{div }vecs F ,Delta V. onumber]

Bu yaklaşım, kutunun hacmi sıfıra küçülürken, toplam akının değerine keyfi olarak yaklaşır.

(E)'ye yaklaşan tüm küçük kutular üzerindeki ( ext{div }vecs F ,Delta V) toplamı yaklaşık olarak (iiint_E ext{div }vecs F ,dV)'dir. . Öte yandan, (E)'ye yaklaşan tüm küçük kutular üzerindeki ( ext{div }vecs F ,Delta V) toplamı, tüm bu kutular üzerindeki akıların toplamıdır. Stokes teoreminin gayri resmi ispatında olduğu gibi, bu akıları tüm kutuların üzerine eklemek, birçok terimin iptaliyle sonuçlanır. Bir yaklaştırma kutusu başka bir yaklaştırma kutusuyla bir yüz paylaşıyorsa, o zaman bir yüz üzerindeki akı, bitişik kutunun paylaşılan yüzü üzerindeki akının negatifidir. Bu iki integral birbirini götürür. Tüm akıları toplarken, hayatta kalan tek akı integralleri, (E) sınırına yaklaşan yüzler üzerindeki integrallerdir. Yaklaşım kutularının hacimleri sıfıra küçülürken, bu yaklaşım, (S) üzerindeki akıya keyfi olarak yakın hale gelir.

(Kutu)

Örnek (PageIndex{1}): Iraksaklık Teoreminin Doğrulanması

(vecs F = langle x - y, , x + z, , z - y angle) vektör alanı ve koni (x^2'den oluşan (S) yüzeyi için diverjans teoremini doğrulayın + y^2 = z^2, , 0 leq z leq 1) ve koninin dairesel tepesi (aşağıdaki şekle bakın). Bu yüzeyin pozitif yönelimli olduğunu varsayın.

Çözüm

(E), (S) ile çevrelenen katı koni olsun. Bu örnek için teoremi doğrulamak için şunu gösteriyoruz:

[iiint_E ext{div } vecs F ,dV = iint_S vecs F cdot dvecs S umber]

Her bir integrali ayrı ayrı hesaplayarak.

Üçlü integrali hesaplamak için, ( ext{div } vecs F = P_x + Q_y + R_z = 2) olduğuna dikkat edin ve bu nedenle üçlü integral

[ egin{align*} iiiint_E ext{div } vecs F , dV &= 2 iint_E dV [4pt] &= 2 , (hacim , of , E). end{hiza*}]

Bir dik dairesel koninin hacmi (pi r^2 frac{h}{3}) ile verilir. Bu durumda, (h = r = 1). Öyleyse,

[iiint_E ext{div } vecs F ,dV = 2 , (hacim , of , E) = frac{2pi}{3}. onumber]

Akı integralini hesaplamak için, önce (S)'nin parçalı düzgün olduğuna dikkat edin; (S) düz yüzeylerin birleşimi olarak yazılabilir. Bu nedenle, akı integralini iki parçaya ayırırız: koninin dairesel tepesi boyunca bir akı integrali ve koninin geri kalan kısmı boyunca bir akı integrali. Dairesel tepeyi (S_1) ve üstteki kısmı (S_2) olarak adlandırın. Koninin dairesel tepesindeki akıyı hesaplayarak başlıyoruz. (S_1) parametrelendirmesine sahip olduğuna dikkat edin

[vecs r(u,v) = langle u , cos v, , u , sin v, , 1 angle, , 0 leq u leq 1, , 0 leq v leq 2pi. onumber]

O halde, teğet vektörler (vecs t_u = langle cos v, , sin v, , 0 angle ) ve (vecs t_v = langle -u , sin v, , u , cos v, 0 angle ). Bu nedenle, (S_1) üzerindeki akı

[ egin{align*} iint_{S_1} vecs F cdot dvecs S &= int_0^1 int_0^{2pi} vecs F (vecs r ( u,v)) cdot (vecs t_u imes vecs t_v) , dA [4pt] &= int_0^1 int_0^{2pi} langle u , cos v - u , sin v, , u , cos v + 1, , 1 - u , sin v angle cdot langle 0,0,u angle , dv, du [4pt] &= int_0^1 int_0^{2pi} u - u^2 sin v , dv du [4pt] &= pi. end{hiza*}]

Şimdi akıyı (S_2) üzerinden hesaplıyoruz. Bu yüzeyin bir parametreleştirilmesi

[vecs r(u,v) = langle u , cos v, , u , sin v, , u angle, , 0 leq u leq 1, , 0 leq v leq 2pi. onumber]

Teğet vektörler (vecs t_u = langle cos v, , sin v, , 1 angle ) ve (vecs t_v = langle -u , sin v, , u , cos v, 0 angle ), yani çapraz çarpım

[vecs t_u imes vecs t_v = langle - u , cos v, , -u , sin v, , u angle. onumber]

(x) ve (y) bileşenlerindeki negatif işaretlerin koninin negatif (veya içe doğru) yönelimini indüklediğine dikkat edin. Yüzey pozitif yönelimli olduğundan, akıda (vecs t_v imes vecs t_u = langle u , cos v, , u , sin v, , -u angle) vektörünü kullanırız integral. (S_2) boyunca akı o zaman

[ egin{align*} iint_{S_2} vecs F cdot dvecs S &= int_0^1 int_0^{2pi} vecs F ( vecs r ( u,v)) cdot (vecs t_u imes vecs t_v) , dA [4pt] &= int_0^1 int_0^{2pi} langle u , cos v - u , sin v, , u , cos v + u, , u , - usin v angle cdot langle u , cos v, , u , sin v, , -u angle, dv,du [4pt] &= int_0^1 int_0^{2pi} u^2 cos^2 v ​​+ 2u^2 sin v - u^2 ,dv,du [4pt] &= -frac{pi}{3} end{align*}]

(S) boyunca toplam akı

[iint_{S} vecs F cdot dvecs S = iint_{S_1}vecs F cdot dvecs S + iint_{S_2} vecs F cdot dvecs S = frac{ 2pi}{3} = iint_E ext{div } vecs F ,dV, onumber]

ve bu örnek için diverjans teoremini doğruladık.

Alıştırma (PageIndex{1})

Tarafından verilen (vecs F (x,y,z) = langle x + y + z, , y, , 2x - y angle) vektör alanı ve (S) için diverjans teoremini doğrulayın silindir (x^2 + y^2 = 1, , 0 leq z leq 3) artı silindirin dairesel üstü ve altı. (S)'nin pozitif yönlü olduğunu varsayın.

İpucu

Diverjans teoremi ile hem akı integralini hem de üçlü integrali hesaplayın ve eşit olduklarını doğrulayın.

Cevap

Her iki integral de (6pi)'ye eşittir.

(vecs F) sürekli alanının (P) noktasındaki diverjansının, (P) noktasındaki alanın “dışarı çıkışının” bir ölçüsü olduğunu hatırlayın. Eğer (vecs F) bir sıvının hız alanını temsil ediyorsa, o zaman diverjans, dışarı akan sıvının birim hacmindeki hızdan, içeri akan birim hacimdeki hızdan daha az olarak düşünülebilir. Diverjans teoremi bu yorumu doğrular. Bunu görmek için, (P) bir nokta olsun ve (B_{ au}) (P) merkezli küçük yarıçaplı (r) bir top olsun (Şekil (PageIndex{3) })). (S_{ au}), (B_{ au}) sınır küresi olsun. Yarıçap küçük ve (vecs F) sürekli olduğundan, diğer tüm noktalar için ( ext{div }vecs F(Q) yaklaşık ext{div }vecs F(P)) ( Q) topun içinde. Bu nedenle, (S_{ au}) üzerindeki akı, diverjans teoremi kullanılarak yaklaşık olarak hesaplanabilir:

Alıştırma (PageIndex{2})

[iint_S vecs F cdot dvecs S, onumber] akı integralini hesaplamak için diverjans teoremini kullanın; burada (S), (0 leq x leq 2 tarafından verilen kutunun sınırıdır, , 0 leq y leq 4, , 0 leq z leq 1) ve (vecs F = langle x^2 + yz, , y - z, , 2x + 2y + 2z aralık ) (aşağıdaki şekle bakın).

İpucu

Karşılık gelen üçlü integrali hesaplayın.

Cevap

40

Örnek (PageIndex{3}): Iraksaklık Teoremini Uygulama

(vecs v = leftlangle - frac{y}{z}, , frac{x}{z}, , 0 ight angle) bir sıvının hız alanı olsun. (C) (1 leq x leq 4, , 2 leq y leq 5, , 1 leq z leq 4) tarafından verilen katı küp olsun ve (S) olsun ) bu küpün sınırı olsun (aşağıdaki şekle bakın). (S) boyunca sıvının akış hızını bulun.

Çözüm

Akışkanın (S) boyunca akış hızı (iint_S vecs v cdot dvecs S). Bu akı integralini hesaplamadan önce integralin değerinin ne olması gerektiğini tartışalım. Şekil (PageIndex{4}'e dayanarak), bu küpü sıvının içine yerleştirirsek (küp orijini kapsamadığı sürece), küpün içine giren sıvının hızının aşağıdakiyle aynı olduğunu görüyoruz. küpten çıkan sıvının hızı. Alan, doğası gereği rotasyoneldir ve belirli bir daire için, üzerinde bir merkezi olan (xy)-düzlemine paraleldir. z-ekseni, bu daire boyunca vektörlerin hepsi aynı büyüklüktedir. Böylece küpün içine giren ve çıkan akış hızının aynı olduğunu görebiliriz. Küp içine akış, küpten dışarı akışla birlikte iptal olur ve bu nedenle, küp boyunca sıvının akış hızı sıfır olmalıdır.

Bu sezgiyi doğrulamak için akı integralini hesaplamamız gerekiyor. Akı integralini doğrudan hesaplamak, akı integralini küpün her yüzü için bir tane olmak üzere altı ayrı akı integraline ayırmayı gerektirir. Ayrıca teğet vektörleri bulmamız, çapraz çarpımlarını hesaplamamız gerekiyor. Ancak, diverjans teoreminin kullanılması bu hesaplamanın çok daha hızlı yapılmasını sağlar:

[ egin{align*} iint_S vecs v cdot dvecs S &= iiint_C ext{div }vecs v , dV [4pt]
&= iiint_C 0 , dV = 0.end{hiza*}]

Bu nedenle akı beklendiği gibi sıfırdır.

Alıştırma (PageIndex{3})

Bir sıvının hız alanı (vecs v = leftlangle frac{x}{z}, , frac{y}{z}, , 0 ight angle) olsun. (S) boyunca sıvının akış hızını bulun.

İpucu

Diverjans teoremini kullanın ve bir üçlü integral hesaplayın

Cevap

(9 , ln (16))

Örnek, diverjans teoreminin dikkate değer bir sonucunu göstermektedir. (S) parçalı, düzgün kapalı bir yüzey olsun ve (vecs F) (S) tarafından çevrelenen yüzeyi içeren açık bir bölge üzerinde tanımlanmış bir vektör alanı olsun. (vecs F) (F = langle f (y,z), , g(x,z), , h(x,y) angle şeklindeyse, o zaman diverjansı (vecs F) sıfırdır. Diverjans teoremine göre, (vecs F)'nin (S) üzerindeki akışı da sıfırdır. Bu, belirli akı integrallerinin hesaplanmasını inanılmaz derecede kolaylaştırır. Örneğin, (S)'nin bir küp olduğu (iint_S vecs F cdot dvecs S) akı integralini hesaplamak istediğimizi varsayalım ve

[vecs F = langle sin (y) , e^{yz}, , x^2z^2, , cos (xy) , e^{sin x} angle.]

Daha önce incelediğimiz teknikleri kullanarak akı integralini doğrudan hesaplamak imkansız değilse bile zor olurdu. En azından, akı integralini küpün her yüzü için bir tane olmak üzere altı integrale ayırmamız gerekir. Ancak, bu alanın diverjansı sıfır olduğundan, diverjans teoremi, akı integralinin sıfır olduğunu hemen gösterir.

Şimdi diverjans teoremini, daha önce tartıştığımız diverjansın fiziksel yorumunu doğrulamak için kullanabiliriz. (vecs F) sürekli üç boyutlu bir vektör alanıysa ve (P) (vecs F) alanında bir noktaysa, o zaman (vecs F)'nin diverjansı olduğunu hatırlayın. at (P), (vecs F)'nin (P)'deki "dışarı çıkışının" bir ölçüsüdür. (vecs F) bir akışkanın hız alanını temsil ediyorsa, o zaman (vecs F)'nin (P) noktasındaki diverjansı, (P) noktasından çıkan net akış hızının bir ölçüsüdür ( (P)'den çıkan sıvı akışı, daha az sıvının (P)'ye olan akışı). Diverjans teoreminin bu yorumu nasıl haklı çıkardığını görmek için (B_{ au}) çok küçük yarıçaplı bir top olsun. r merkezi (P) ile ve (B_{ au}) öğesinin (vecs F) alanında olduğunu varsayalım. Ayrıca, (B_{ au}) öğesinin pozitif, dışa dönük bir yönelime sahip olduğunu varsayalım. (B_{ au}) yarıçapı küçük ve (vecs F) sürekli olduğundan, (vecs F)'nin diverjansı (B_{ au}) üzerinde yaklaşık olarak sabittir. Yani, ifv (P') (B_{ au}) içindeki herhangi bir noktaysa, o zaman ( ext{div } vecs F(P) yaklaşık ext{div } vecs F(P) ')). (S_{ au}), (B_{ au}) sınır küresini göstersin. Diverjans teoremini kullanarak (S_{ au}) boyunca akıyı aşağıdaki gibi tahmin edebiliriz:

[egin{align*} iint_{S_{ au}} vecs F cdot dvecs S &= iiint_{B_{ au}} ext{div }vecs F , dV [4pt]
&yaklaşık iiint_{B_{ au}} ext{div } vecs F (P) , dV [4pt]
&= ext{div } vecs F (P) , V(B_{ au}). end{hiza*}]

(r) yarıçapını bir sınır aracılığıyla sıfıra küçülttüğümüzde, ( ext{div }vecs F (P) , V(B_{ au})) miktarı akıya keyfi olarak yaklaşır. Öyleyse,

[ ext{div }vecs F(P) = lim_{ au ightarrow 0} frac{1}{V(B_{ au})} iint_{S_{ au}} vecs F cdot dvecs S]

ve (P)'deki sapmayı, (P)'de birim hacim başına dışa doğru olan akı net oranını ölçmek olarak düşünebiliriz. “Çıkışlılık” birim hacim başına net dışa doğru akı oranı için gayri resmi bir terim olduğundan, daha önce tartıştığımız ıraksaklığın fiziksel yorumunu gerekçelendirdik ve bu doğrulamayı vermek için ıraksaklık teoremini kullandık.

Elektrostatik Alanlara Uygulama

Diverjans teoreminin fizik ve mühendislikte birçok uygulaması vardır. Birçok fiziksel kanunu hem integral formda hem de diferansiyel formda yazmamıza izin verir (Stokes teoreminin Faraday yasasının integral ve diferansiyel formu arasında tercüme yapmamıza izin verdiği şekilde). Akışkanlar dinamiği, elektromanyetizma ve kuantum mekaniği gibi çalışma alanlarında kütle, momentum veya enerjinin korunumunu tanımlayan denklemler vardır ve diverjans teoremi bu denklemleri hem integral hem de diferansiyel formlarda vermemizi sağlar.

Diverjans teoreminin en yaygın uygulamalarından biri, elektrostatik alanlar. Bu konuda önemli bir sonuç Gauss yasası. Bu yasa, eğer (S), (vecs E) elektrostatik alanında kapalı bir yüzey ise, o zaman (vecs E)'nin (S) üzerindeki akısının ( ile çevrelenen toplam yük olduğunu belirtir. S) (bir elektrik sabitine bölünür). Şimdi, elektrostatik alanın orijinde sabit bir nokta yükü tarafından üretildiği bu yasanın özel durumunu doğrulamak için diverjans teoremini kullanıyoruz.

((x,y,z)) uzayda bir noktaysa, noktanın orijine olan uzaklığı (r = sqrt{x^2 + y^2 + z^2}). (vecs F_{ au}) radyal vektör alanını göstersin (vecs F_{ au} = dfrac{1}{ au^2} leftlangle dfrac{x}{ au} , , dfrac{y}{ au}, , dfrac{z}{ au} ight angle ).Uzayda belirli bir konumdaki vektör, birim radyal vektörün yönünü ( leftlangle dfrac{x}{ au}, , dfrac{y}{ au}, , dfrac{z}{ au} ight angle ) ve miktara göre ölçeklenir ( 1/ au^2). Bu nedenle, belirli bir noktadaki vektörün büyüklüğü, vektörün orijine olan uzaklığının karesiyle ters orantılıdır. Diyelim ki, başlangıç ​​noktasında bir boşlukta var olan sabit bir (q) Coulomb yükümüz var. Yük, tarafından verilen elektrostatik alan (vecs E) üretir.

[vecs E = dfrac{q}{4pi epsilon_0}vecs F_{ au},]

burada (epsilon_0 = 8.854 imes 10^{-12}) farad (F)/m bir elektrik sabitidir. ((epsilon_0) sabiti, vakumda bir elektrik alanı oluştururken karşılaşılan direncin bir ölçüsüdür.) (vecs E)'nin [link]'te açıklanan yerçekimi alanına benzer bir radyal vektör alanı olduğuna dikkat edin. . Aradaki fark, bu alan dışarıyı gösterirken, yerçekimi alanı içeriyi gösterir. Çünkü

[vecs E = dfrac{q}{4pi epsilon_0}vecs F_{ au} = dfrac{q}{4pi epsilon_0}left(dfrac{1}{ au^ 2} leftlangle dfrac{x}{ au}, , dfrac{y}{ au}, , dfrac{z}{ au}sağ anglesağ),]

Elektrostatik alanların bir ters kare yasasına uyduğunu söylüyoruz. Yani, belirli bir noktadaki elektrostatik kuvvet, yükün kaynağına olan uzaklığın karesiyle ters orantılıdır (bu durumda orijindedir). Bu vektör alanı verildiğinde, eğer yük (S) dışındaysa (S) kapalı yüzeyi boyunca akının sıfır olduğunu ve yük içindeyse akının (q/epsilon_0) olduğunu gösteriyoruz. (S). Başka bir deyişle, akış boyunca S yüzey içindeki yükün (epsilon_0) sabitine bölümüdür. Bu Gauss yasasının özel bir durumudur ve burada bu özel durumu doğrulamak için diverjans teoremini kullanıyoruz.

(S) üzerindeki akının yüzey içindeki yükün (epsilon_0 sabitine bölümü olduğunu) göstermek için iki ara adıma ihtiyacımız var. İlk önce (vecs F_{ au})'nin diverjansının sıfır olduğunu ve sonra (vecs F_{ au})'nın herhangi bir pürüzsüz yüzey boyunca (S) akısının ya sıfır veya (4pi). Daha sonra Gauss yasasının bu özel durumunu gerekçelendirebiliriz.

Örnek (PageIndex{4}): (F_{ au})'nin Diverjansı Sıfırdır

(vecs F_{ au}) öğesinin tanımlandığı yerde (orijin dışında) (vecs F_{ au}) diverjansının sıfır olduğunu doğrulayın.

Çözüm

( au = sqrt{x^2 + y^2 + z^2} olduğundan), bölüm kuralı bize

[ egin{align*} dfrac{partial}{partial x} left( dfrac{x}{ au^3} sağ) &= dfrac{partial}{partial x} sol( dfrac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} sağ) [4pt]
&= dfrac{(x^2+y^2+z^2)^{3/2} - xsol[dfrac{3}{2} (x^2+y^2+z^2) ^{1/2}2xsağ]}{(x^2+y^2+z^2)^3} [4pt]
&= dfrac{ au^3 -3x^2 au}{ au^6} = dfrac{ au^2 - 3x^2}{ au^5}. end{hiza*}]

Benzer şekilde,

[dfrac{partial}{partial y} left( dfrac{y}{ au^3} sağ) = dfrac{ au^2 - 3y^2}{ au^5} ve , dfrac{partial}{partial z} left( dfrac{z}{ au^3} sağ) = dfrac{ au^2 - 3z^2}{ au^5 }. umara yok ]

Öyleyse,

[ egin{align*} ext{div } vecs F_{ au} &= dfrac{ au^2 - 3x^2}{ au^5} + dfrac{ au^2 - 3y ^2}{ au^5} + dfrac{ au^2 - 3z^2}{ au^5} [4pt]
&= dfrac{3 au^2 - 3(x^2+y^2+z^2)}{ au^5} [4pt]
&= dfrac{3 au^2 - 3 au^2}{ au^5} = 0. end{align*}]

(vecs F_{ au})'nin diverjansı sıfır olduğundan ve (vecs E) (vecs F_{ au}) bir sabit tarafından ölçeklendiğinden, elektrostatik alanın diverjansı (vecs E) da sıfırdır (başlangıç ​​noktası hariç).

Pürüzsüz Bir Yüzeyde Akış

(S) bağlı, parçalı düzgün kapalı bir yüzey olsun ve (vecs F_{ au} = dfrac{1}{ au^2} leftlangle dfrac{x}{ au} olsun , , dfrac{y}{ au}, , dfrac{z}{ au}sağ angle). Sonra,

[iint_S vecs F_{ au} cdot dvecs S = egin{durumlar}0, & ext{eğer }S ext{ orijini kapsamıyorsa} 4pi, & ext {eğer }S ext{ kaynağı kapsıyorsa.} end{durumlar}]

Başka bir deyişle, bu teorem, (vecs F_{ au})'nın herhangi bir parçalı düzgün kapalı yüzey (S) üzerindeki akışının yalnızca orijinin (S) içinde olup olmadığına bağlı olduğunu söyler.

Kanıt

Bu ispatın mantığı [bağ] mantığını takip eder, sadece Green teoremi yerine diverjans teoremini kullanırız.

İlk olarak, (S)'nin orijini kapsamadığını varsayalım. Bu durumda, (S) tarafından çevrelenen katı (vecs F_{ au}) alanındadır ve (vecs F_{ au})'nın diverjansı sıfır olduğundan, biz diverjans teoremini hemen uygulayabilir ve [iint_S vecs F cdot dvecs S ]'nin sıfır olduğunu bulabilir.

Şimdi (S)'nin orijini kapsadığını varsayalım. Alan orijinde tanımlanmadığından, akıyı hesaplamak için yalnızca diverjans teoremini kullanamayız. (S_a) yarıçaplı bir küre olsun a (S)'nin içi orijinde ortalanır. Küre üzerindeki dışa doğru normal vektör alanı, küresel koordinatlarda,

[vecs t_{phi} imes vecs t_{ heta} = langle a^2 cos heta , sin^2 phi, , a^2 sin heta , sin ^2 phi, , a^2 sin phi , cos phi angle]

(bkz. [bağlantı]). Bu nedenle, kürenin yüzeyinde, nokta çarpımı (vecs F_{ au} cdot vecs N) (küresel koordinatlarda)

[ egin{align*} vecs F_{ au} cdot vecs N &= left langle dfrac{sin phi , cos heta}{a^2}, , dfrac {sin phi , sin heta}{a^2}, , dfrac{cos phi}{a^2} ight angle cdot langle a^2 cos heta , sin^2 phi, a^2 sin heta , sin^2 phi, , a^2 sin phi , cos phi angle [4pt]
&= sin phi ( langle sin phi , cos heta, , sin phi , sin heta, , cos phi angle cdot langle sin phi , cos heta, sin phi , sin heta, , cos phi angle ) [4pt]
&= sin phi. end{hiza*}]

(vecs F_{ au})'nin (S_a) boyunca akışı

[iint_{S_a} vecs F_{ au} cdot vecs N dS = int_0^{2pi} int_0^{pi} sin phi , dphi , d heta = 4pi.]

Şimdi, (S) üzerindeki akı ile ilgilendiğimizi, mutlaka (S_a) üzerindeki akı ile ilgilendiğimizi unutmayın. (S) boyunca akıyı hesaplamak için, (E), (S_a) ve (S) yüzeyleri arasındaki katı olsun. O halde, (E)'nin sınırı (S_a) ve (S)'den oluşur. Bu sınırı (S - S_a) ile gösterip, (S)'nin dışa dönük olduğunu, ancak şimdi (S_a)'nın içe dönük olduğunu belirtin. Diverjans teoremini (E) katısına uygulamak istiyoruz. Belirtildiği gibi, diverjans teoreminin (E) gibi bir katıyı işleyemeyeceğine dikkat edin, çünkü (E)'nin bir deliği vardır. Bununla birlikte, Green teoreminin delikli bölgeleri işlemek için genişletilebilmesi gibi, diverjans teoremi de delikli katıları işlemek için genişletilebilir. Bu, diverjans teoremini aşağıdaki şekilde kullanmamızı sağlar. Diverjans teoremi ile,

[ egin{align*} iint_{S-S_a} vecs F_{ au} cdot dvecs S &= iint_S vecs F_{ au} cdot dvecs S - iint_{S_a } vecs F_{ au} cdot dvecs S [4pt]
&= iiint_E ext{div } vecs F_{ au} , dV [4pt]
&= iiint_E 0 , dV = 0. end{hiza*}]

Öyleyse,

[iint_S vecs F_{ au} cdot dvecs S = iint_{S_a} vecs F_{ au} cdot dvecs S = 4pi, onumber]

ve istediğimiz sonucu aldık.

(Kutu)

Şimdi, bir nokta yükünün elektrostatik alanı (vecs E = dfrac{q}{4pi epsilon_0} vecs F_{ au} ) bağlamında pürüzsüz bir yüzey boyunca akıyı hesaplamaya dönüyoruz. Menşei. (S) orijini kapsayan parçalı düzgün kapalı bir yüzey olsun. Sonra

[ egin{align*} iint_S vecs E cdot dvecs S &= iint_S dfrac{q}{4pi epsilon_0} vecs F_{ au} cdot dvecs S [4pt]
&= dfrac{q}{4pi epsilon_0} iint_S vecs F_{ au} cdot dvecs S [4pt]
&= dfrac{q}{epsilon_0}. end{hiza*}]

(S) orijini kapsamıyorsa, o zaman

[iint_S vecs E cdot dvecs S = dfrac{q}{4pi epsilon_0} iint_S vecs F_{ au} cdot dvecs S = 0. umber]

Bu nedenle, doğrulamak için yola çıktığımız iddiayı haklı çıkardık: yük (S) dışındaysa kapalı yüzey (S) üzerindeki akı sıfırdır ve akı (q/epsilon_0) eğer yük (S) içindeyse.

Bu analiz, yalnızca orijinde tek bir nokta yükü varsa işe yarar. Bu durumda Gauss yasası, (vecs E)'nin (S) üzerindeki akışının (S) ile çevrelenen toplam yük olduğunu söyler. Gauss yasası, yalnızca orijinde tek bir nokta yükü değil, uzayda birden fazla yüklü katıyı ele alacak şekilde genişletilebilir. Mantık önceki analize benzer, ancak bu metnin kapsamı dışındadır. Tam genellikte, Gauss yasası, eğer (S) parçalı düzgün kapalı bir yüzey ise ve (Q) (S) içindeki toplam yük miktarıysa, o zaman (vecs E'nin akısı olduğunu belirtir. ) karşısında (S) (Q/epsilon_0).

Örnek (PageIndex{5}): Gauss yasasını kullanma

Diyelim ki uzayda tümü 0,002 Coulomb (C) yüklü dört sabit nokta yükümüz var. Yükler ((0,0,1), , (1,1,4), (-1,0,0)) ve ((-2,-2,2)) konumlarında bulunur. . (vecs E) bu nokta yükler tarafından üretilen elektrostatik alanı göstersin. (S) yarıçapı (2) dışa dönük ve orijinde merkezlenmiş bir küre ise, o zaman bulun

[iint_S vecs E cdot dvecs S. umber]

Çözüm

Gauss yasasına göre, (vecs E)'nin (S) üzerindeki akışı, (S) içindeki toplam yükün elektrik sabitine bölümüdür. (S) yarıçapına (2) sahip olduğundan, yüklerden yalnızca ikisinin (S'nin içinde olduğuna dikkat edin: (0,1,1)) noktasındaki yük ve (() noktasındaki yük -1,0,0)). Bu nedenle, (S) tarafından kapsanan toplam yük (0,004)'dir ve Gauss yasasına göre,

[iint_S vecs E cdot dvecs S = dfrac{0,004}{8.854 imes 10^{-12}} yaklaşık 4.418 imes 10^9 , V - m. umara yok]

Alıştırma (PageIndex{4})

Orijinde merkezlenmiş, dışa doğru yönlendirilmiş yarıçapı 4 olan bir küre olan (S) yüzeyi için önceki örneği çalışın.

İpucu

Gauss yasasını kullanın.

Cevap

(yaklaşık 6.777 x 10^9)

diverjans teoremi
zor bir akı integralini daha kolay bir üçlü integrale dönüştürmek için kullanılan bir teorem ve bunun tersi
Gauss yasası
Eğer S boşlukta parçalı, pürüzsüz kapalı bir yüzeydir ve (Q) (S) içindeki toplam durağan yüktür, o zaman (S) boyunca elektrostatik alanın (vecs E) akısı (Q/epsilon_0)
Ters kare kanunu
Belirli bir noktadaki elektrostatik kuvvet, yükün kaynağına olan uzaklığın karesiyle ters orantılıdır.


Videoyu izle: Analiz 1 Tümevarım Prensibi Ve Örnek Sorular Calculus 1 Induction Divisibility (Aralık 2021).