Nesne

6.3: Çarpma Polinomları - Matematik


Öğrenme hedefleri

Bu bölümün sonunda şunları yapabileceksiniz:

  • Bir polinomu bir monomial ile çarpma
  • Bir binom ile bir binom çarpımı
  • Üç terimliyi iki terimliyle çarpma

Not

Başlamadan önce, bu hazırlık testini yapın.

  1. Dağıt: 2(x+3).
    Bu sorunu gözden kaçırdıysanız, Alıştırma 1.10.31'i gözden geçirin.
  2. Benzer terimleri birleştirin: (x^{2}+9x+7x+63).
    Bu sorunu gözden kaçırdıysanız, Alıştırma 1.3.37'yi gözden geçirin.

Bir Polinomu Bir Monomial ile Çarpma

2(x−3) gibi ifadeleri basitleştirmek için Dağılım Özelliğini kullandık. 2x−6 elde etmek için parantez içindeki her iki terimi de x ve 3'ü 2 ile çarptınız. Bu bölümün yeni sözcük dağarcığıyla, x−3 binomunu tek terimli 2 ile çarptığınızı söyleyebilirsiniz.

çarpma iki terimli tarafından tek terimli sizin için yeni bir şey değil! İşte bir örnek:

Alıştırma (PageIndex{1})

Çarp: 4(x+3).

Cevap
Dağıt.
Basitleştirin.

Alıştırma (PageIndex{2})

Çarp: 5(x+7).

Cevap

5x+35

Alıştırma (PageIndex{3})

Çarp: 3(y+13).

Cevap

3y+39

Alıştırma (PageIndex{4})

Çarp: y(y−2).

Cevap
Dağıt.
Basitleştirin.

Alıştırma (PageIndex{5})

Çarp: x(x−7).

Cevap

(x^{2}-7 x)

Alıştırma (PageIndex{6})

Çarpma: d(d−11).

Cevap

(d^{2}-11d)

Alıştırma (PageIndex{7})

Çarpma:(7x(2 x+y))

Cevap
Dağıt.
Basitleştirin.

Alıştırma (PageIndex{8})

Çarpma: 5(x(x+4 y))

Cevap

(5 x^{2}+20 x y)

Alıştırma (PageIndex{9})

Çarpma: 2(p(6 p+r))

Cevap

(12 p^{2}+2 p r)

Alıştırma (PageIndex{10})

Çarpma: (-2 ysol(4 y^{2}+3 y-5sağ))

Cevap
Dağıt.
Basitleştirin.

Alıştırma (PageIndex{11})

Çarpma: (-3 ysol(5 y^{2}+8 y-7sağ))

Cevap

(-15 y^{3}-24 y^{2}+21 y)

Alıştırma (PageIndex{12})

Çarpma: 4(x^{2}sol(2 x^{2}-3 x+5sağ))

Cevap

(8 x^{4}-24 x^{3}+20 x^{2})

Alıştırma (PageIndex{13})

Çarpma: 2(x^{3}left(x^{2}-8 x+1sağ))

Cevap
Dağıt.
Basitleştirin.

Alıştırma (PageIndex{14})

Çarpma: 4(xsol(3 x^{2}-5 x+3sağ))

Cevap

(12 x^{3}-20 x^{2}+12 x)

Alıştırma (PageIndex{15})

Çarpma: (-6 a^{3}left(3 a^{2}-2 a+6sağ))

Cevap

(-18 a^{5}+12 a^{4}-36 a^{3})

Alıştırma (PageIndex{16})

Çarp:((x+3) p)

Cevap
Monomiyal ikinci faktördür.
Dağıt.
Basitleştirin.

Alıştırma (PageIndex{17})

Çarp:((x+8) p)

Cevap

(x p+8 p)

Alıştırma (PageIndex{18})

Çarp:((a+4) p)

Cevap

(bir p+4 p)

Binom ile Binom Çarpma

Sayıların çarpımını göstermenin farklı yolları olduğu gibi, bir sayıları çarpmak için kullanılabilecek birkaç yöntem vardır. iki terimli çarpı bir binom. Dağılım Özelliğini kullanarak başlayacağız.

Dağılım Özelliğini Kullanarak Binom ile Binom Çarpma

Bir binom ile çarptığımız (PageIndex{16}) Alıştırmasına bakın. tek terimli.

dağıttık P almak:
Ne var ki (x + 7) yerine P?
dağıt (x + 7).
Tekrar dağıtın.
Benzer terimleri birleştirin.

Benzer terimleri birleştirmeden önce dört teriminiz olduğuna dikkat edin. Birinci iki terimlinin iki terimini, ikinci iki terimlinin iki terimiyle -dört çarpmayla- çarptınız.

Alıştırma (PageIndex{19})

Çarpma:((y+5)(y+8))

Cevap
dağıt (y + 8).
Tekrar dağıt
Benzer terimleri birleştirin.

Alıştırma (PageIndex{20})

Çarpma:((x+8)(x+9))

Cevap

(x^{2}+17 x+72)

Alıştırma (PageIndex{21})

Çarpma:((5 x+9)(4 x+3))

Cevap

(20 x^{2}+51 x+27)

Alıştırma (PageIndex{22})

Çarpma:((2 y+5)(3 y+4))

Cevap
Dağıt (3y + 4).
Tekrar dağıt
Benzer terimleri birleştirin.

Alıştırma (PageIndex{23})

Çarpma:((3 b+5)(4 b+6))

Cevap

(12 b^{2}+38 b+30)

Alıştırma (PageIndex{24})

Çarpma:((a+10)(a+7))

Cevap

(a^{2}+17 a+70)

Alıştırma (PageIndex{25})

Çarpma:((4 y+3)(2 y-5))

Cevap
Dağıt.
Tekrar dağıtın.
Benzer terimleri birleştirin.

Alıştırma (PageIndex{26})

Çarp:((5 y+2)(6 y-3))

Cevap

(30 yıl^{2}-3 yıl-6)

Alıştırma (PageIndex{27})

Çarpma:((3 c+4)(5 c-2))

Cevap

(15 c^{2}+14 c-8)

Alıştırma (PageIndex{28})

Çarp:((x-2)(x-y))

Cevap
Dağıt.
Tekrar dağıtın.
Birleştirilecek benzer terimler yoktur.

Alıştırma (PageIndex{29})

Çarpma:((a+7)(a-b))

Cevap

(a^{2}-a b+7 a-7 b)

Alıştırma (PageIndex{30})

Çarpma:((x+5)(x-y))

Cevap

(x^{2}-x y+5 x-5 y)

FOIL Yöntemini Kullanarak Binom ile Binom Çarpma

Bir iki terimliyi bir iki terimliyle çarptığınızda dört terim elde ettiğinizi unutmayın. Bazen benzer terimleri birleştirip bir üç terimli, ancak bazen, Alıştırma (PageIndex{28}'deki gibi), birleştirilecek benzer terimler yoktur.

Son örneğe tekrar bakalım ve dört terimi nasıl elde ettiğimize özellikle dikkat edelim.

[egin{array}{c}{(x-2)(x-y)} {x^{2}-x y-2 x+2 y}end{dizi}]

İlk terim olan (x^{2}) nereden geldi?

“First, Outer, Inner, Last” kelimesini FOIL olarak kısaltıyoruz. Harfler 'Filk, Örahim, bennner, Las'. FOIL kelimesinin hatırlanması kolaydır ve dört ürünü de bulmamızı sağlar.

[egin{array}{c}{(x-2)(xy)} {x^{2}-x y-2 x+2 y} {F qquad Oqquad Iqquad L}end{dizi}]

(x+3)(x+7)'ye bakalım.

Dağılma ÖzelliğiFOLYO

Üçüncü satırdaki terimlerin FOIL modeline nasıl uyduğuna dikkat edin.

Şimdi iki iki terimliyi çarpmak için FOIL desenini kullandığımız bir örnek yapacağız.

Alıştırma (PageIndex{31}): FOIL Yöntemini Kullanarak Bir Binom ile Bir Binom Nasıl Çarpılır

FOIL yöntemini kullanarak çarpın: ((x+5)(x+9))

Cevap





Alıştırma (PageIndex{32})

FOIL yöntemini kullanarak çarpın: ((x+6)(x+8))

Cevap

(x^{2}+14 x+48)

Alıştırma (PageIndex{33})

FOIL yöntemini kullanarak çarpma: ((y+17)(y+3))

Cevap

(y^{2}+20 y+51)

FOIL yönteminin adımlarını aşağıda özetliyoruz. FOIL yöntemi, diğer polinomları değil, yalnızca binomları çarpmak için geçerlidir!

FOLYO YÖNTEMİNİ KULLANARAK İKİ İKİ BİNOMYAL

FOIL yöntemiyle çarptığınızda çizgileri çizmek beyninizin kalıba odaklanmasına yardımcı olacak ve uygulamayı kolaylaştıracaktır.

Alıştırma (PageIndex{34})

Çarp: (y−7)(y+4).

Cevap

Alıştırma (PageIndex{35})

Çarp: (x−7)(x+5).

Cevap

(x^{2}-2 x-35)

Alıştırma (PageIndex{36})

Çarp: (b−3)(b+6).

Cevap

(b^{2}+3 b-18)

Alıştırma (PageIndex{37})

Çarp: (4x+3)(2x−5).

Cevap

Alıştırma (PageIndex{38})

Çarp: (3x+7)(5x−2).

Cevap

(15 x^{2}+29 x-14)

Alıştırma (PageIndex{39})

Çarpma: (4y+5)(4y−10).

Cevap

(16 y^{2}-20 y-50)

Son dört örnekteki nihai ürünler, iki orta terimi birleştirebildiğimiz için üç terimliydi. Bu her zaman böyle değildir.

Alıştırma (PageIndex{41})

Çarp: (10c−d)(c−6).

Cevap

(10 c^{2}-60 c-c d+6 d)

Alıştırma (PageIndex{42})

Çarp: (7x−y)(2x−5).

Cevap

(14 x^{2}-35 x-2 x y+10 y)

Bir sonraki örnekteki üslere dikkat edin.

Alıştırma (PageIndex{44})

Çarpma: (left(x^{2}+6sağ)(x-8))

Cevap

(x^{3}-8 x^{2}+6 x-48)

Alıştırma (PageIndex{45})

Çarpma: (left(y^{2}+7sağ)(y-9))

Cevap

(y^{3}-9 y^{2}+7 y-63)

Alıştırma (PageIndex{47})

Çarpma:((2 a b+5)(4 a b-4))

Cevap

(8 a^{2} b^{2}+12 a b-20)

Alıştırma (PageIndex{48})

Çarpma:((2 x y+3)(4 x y-5))

Cevap

(8 x^{2} y^{2}+2 x y-15)

Dikey Yöntemi Kullanarak Binom ile Binom Çarpma

FOIL yöntemi genellikle iki iki terimliyi çarpmak için en hızlı yöntemdir, ancak sadece binomlar için çalışır. Herhangi iki polinomun çarpımını bulmak için Dağılım Özelliğini kullanabilirsiniz. Tüm polinomlar için geçerli olan bir diğer yöntem ise Dikey Yöntemdir. Tam sayıları çarpmak için kullandığınız yönteme çok benzer. Bu iki basamaklı sayıları çarpma örneğine dikkatlice bakın.

Şimdi aynı yöntemi iki iki terimliyi çarpmak için uygulayacağız.

Alıştırma (PageIndex{49})

Dikey Yöntemi kullanarak çarpma: ((3 y-1)(2 y-6))

Cevap

Hangi binomun üstte olduğu önemli değil.

(egin{array}{lll}{ ext { Çarp } 3 y-1 ext { ile }-6 ext { . }}&& { ext { Çarp } 3 y-1 ext { ile } 2 y ext { . }}& & &{qquadspace3 y-1} & & {dfrac{ spacespace imes 2 y-6}{quad-18 y +6}} & ext{kısmi ürün} & &

ParseError: EOF bekleniyor (detaylar için tıklayın)

Callstack:at (Kitaplık/Cebir/Kitap:_Elementary_Cebir_(OpenStax)/06:_Polynomials/6.03:_Multiply_Polynomials), /content/body/div[4]/div[3]/div[1]/dl/dd/p[ 2]/span, satır 1, sütun 3at wiki.page()at (Courses/Remixer_University/Kullanıcı Adı:_pseeburger/MTH_098_Elementary_Algebra/6:_Polynomials/6.3:_Multiply_Polynomials), /content/body/div[1]/pre, line 2 , sütun 14
& ext{kısmi ürün} & ext{Benzer terimleri ekleyin.} && ext{ürün} end{dizi})

Kısmi ürünlerin FOIL yöntemindeki terimlerle aynı olduğuna dikkat edin.

Alıştırma (PageIndex{50})

Dikey Yöntemi kullanarak çarpma: ((5 m-7)(3 m-6))

Cevap

(15 m^{2}-51 m+42)

Alıştırma (PageIndex{51})

Dikey Yöntemi kullanarak çarpma: ((6 b-5)(7 b-3))

Cevap

(42 b^{2}-53 b+15)

Şimdi iki terimlileri çarpmak için üç yöntem kullandık. Her yöntemi uyguladığınızdan emin olun ve hangisini tercih ettiğinize karar vermeye çalışın. Yöntemler, hatırlamanıza yardımcı olmak için burada hep birlikte listelenmiştir.

İKİ BİNOMİALİN ÇARPILMASI

Binomları çarpmak için şunu kullanın:

  • Dağılma Özelliği
  • FOLYO Yöntemi
  • Dikey Yöntem

Unutmayın, FOIL yalnızca iki iki terimliyi çarparken çalışır.

Bir Binom ile Trinomu Çarpma

Tek terimlileri tek terimlilerle, tek terimlileri polinomlarla ve iki terimlileri iki terimlilerle çarptık. Şimdi çarpmaya hazırız üç terimli tarafından iki terimli. Unutmayın, bu durumda FOIL çalışmayacaktır, ancak Dağılım Özelliğini veya Dikey Yöntemi kullanabiliriz. İlk önce Dağılma Özelliğini kullanan bir örneğe bakıyoruz.

Alıştırma (PageIndex{52})

Dağılım Özelliğini kullanarak çarpma: ((b+3)left(2 b^{2}-5 b+8 ight))

Cevap
Dağıt.
Çarpmak.
Benzer terimleri birleştirin.

Alıştırma (PageIndex{53})

Dağılım Özelliğini kullanarak çarpma: ((y-3)left(y^{2}-5 y+2 ight))

Cevap

(y^{3}-8 y^{2}+17 y-6)

Alıştırma (PageIndex{54})

Dağılım Özelliğini kullanarak çarpma: ((x+4)left(2 x^{2}-3 x+5 ight))

Cevap

(2 x^{3}+5 x^{2}-7 x+20)

Şimdi aynı çarpma işlemini Dikey Yöntemi kullanarak yapalım.

Alıştırma (PageIndex{55})

Dikey Yöntemi kullanarak çarpma: ((b+3)left(2 b^{2}-5 b+8 ight))

Cevap

Bu şekilde daha az kısmi ürün elde ettiğimiz için daha az terimli polinomu en alta koymak daha kolaydır.

çarpma (2B2 − 5B + 8) 3'e kadar.
çarpma (2B2 − 5B + 8) b ile.
Benzer terimler ekleyin.

Alıştırma (PageIndex{56})

Dikey Yöntemi kullanarak çarpma: ((y-3)left(y^{2}-5 y+2 ight))

Cevap

(y^{3}-8 y^{2}+17 y-6)

Alıştırma (PageIndex{57})

Dikey Yöntemi kullanarak çarpma: ((x+4)left(2 x^{2}-3 x+5 ight))

Cevap

(2 x^{3}+5 x^{2}-7 x+20)

Şimdi çarpmak için kullanabileceğiniz iki yöntem gördük. üç terimli bir binom tarafından. Her yöntemi uyguladıktan sonra, muhtemelen bir yolu diğerine tercih ettiğinizi göreceksiniz. Kolay başvuru için her iki yöntemi de burada listeledik.

BİR BİNOMİAL İLE ÜÇLEMELİ ÇARPMA

Bir üç terimliyi iki terimliyle çarpmak için şunu kullanın:

  • Dağılma Özelliği
  • Dikey Yöntem

Not

Çarpma polinomlarıyla ilgili ek talimat ve alıştırma için bu çevrimiçi kaynaklara erişin:

  • Üsleri Çarpma 1
  • Üsleri Çarpma 2
  • Üsleri Çarpma 3

Anahtar kavramlar

  • İki Binom'u Çarpmak İçin FOIL Yöntemi—İki iki terimliyi çarpmak için:
    1. çarpın Birinci terimler.
    2. çarpın Dış terimler.
    3. çarpın İç terimler.
    4. çarpın Geçen terimler.
  • İki Binom'u Çarpma—İki terimleri çarpmak için şunları kullanın:
    • Dağılım Özelliği (Örnek)
    • FOLYO Yöntemi (Örnek)
    • Dikey Yöntem (Örnek)
  • Bir Binom ile Trinomu Çarpma—Bir üç terimliyi iki terimliyle çarpmak için şunu kullanın:
    • Dağılım Özelliği (Örnek)
    • Dikey Yöntem (Örnek)

Polinomları çarpmak için nasıl yapılacağını bilmeniz gerekir.
1) dağıtım yasasını kullanmak için: ( quad a(b+c) = ab + ac quad ) veya ( quad (b+c) a = ba + ca quad ), bunlardan biri cebirin temel kuralları,

2) çoklu monomials,
3) ve bir plinomun benzer terimlerini ekleyin,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Örnek 1
Aşağıdaki tek terimli ve polinomları çarpın
a) ( 2 (6 x + 2) dörtlü ) b) ( dörtlü - 3 x (2 x^2 - x) dörtlü )
c) ( quad -dfrac<1> <2>x^2 ( 4 x^2 - 2x + 6 x y) )

Örnek 1'in Çözümü
a)
Verilen ( qquad 2 (6 x + 2) )

Sabitleri ve değişkenleri birlikte çarpın
( qquad qquad = 2(6)(x) + 2(2) )

basitleştirin
( qquad qquad = 12 x + 4 )

B)
Verilen ( qquad - 3 x (2 x^2 - x) )

Sabitleri ve değişkenleri birlikte çarpın
( qquad qquad = -3(2)(x x^2) -3(-1)(x x) )

basitleştirin
( qquad qquad = -6x^3 + 3x^2 )

C)
Verilen ( qquad -dfrac<1> <2>x^2 ( 4 x^2 - 2x + 6 x y) )

Sabitleri ve değişkenleri birlikte çarpın
( qquad qquad = -dfrac<1> <2>(4) (x^2 x^2) -dfrac<1> <2>(-2)(x^2 x) -dfrac< 1> <2>(6) (x^2 xy) )

basitleştirin
( qquad qquad = - 2x^4 + x^3 - 3x^3 y )


6.3: Çarpma Polinomları - Matematik

x cinsinden bir polinomun genel biçimi:

bir n x n + bir n-1 x n-1 + bir n-2 x n-2 + . . . + a 2 x 2 + a 1 x 1 + a 0 , burada

Bir terimin derecesi, terimdeki değişkenlerin üslerinin toplamıdır.

4x 3 y 5 terimi, 'den beri 8. dereceye sahiptir.

Bir polinomun derecesi, en yüksek dereceli terimin derecesidir.

Belirli bir değişken için azalan düzende bir polinom yazmak, soldaki en yüksek üslü (belirli değişkendeki) terimden, sağdaki en düşük üslü (belirli değişkendeki) terime inen polinomu yazmak demektir.

x'teki Polinom Örnekleri
İsim Örnek Derece Not
tek terimli 3x 2 2 Bir dönem (mono)
binom 1 İki terim (bi)
üç terimli 3 Üç terim (üç)
Polinom 4 Birçok terim (poli)

Polinomlar birden fazla değişkende olabilir.

x ve y'deki Polinom Örnekleri
İsim Örnek Derece Not
tek terimli 3x 2 yıl 3 5 Bir dönem (mono)
binom 2 İki terim (bi)
üç terimli 7 Üç terim (üç)
Polinom 5 Birçok terim (poli)

Örnek: ekle ve
parantezleri kaldır
benzer terimler ekle

1) Parantezleri kaldırın ("-" ile dağıtın). 2) Benzer terimleri birleştirin.

Örnek: çıkarma
parantezleri kaldır
benzer terimler ekle

  • FOIL, yalnızca iki terimlileri çarparken çalışır; dağıtım özelliği, herhangi bir polinomu birlikte çarparken çalışır.

Örnek: (2x + 3)(4x + 5)
(2x + 3)(4x + 5) =
= 2x(4x + 5) + dağılma özelliği
= (2x)(4x) + (2x)(5) + 3(4x) + 3(5) yeniden dağıtım özelliği
= 8x 2 + 10x + 12x + 15 basitleştirme
= 8x 2 + 22x + 15 benzer terimleri birleştir

Örnek: (2x - 3)(4x 2 - 5x + 6)
(2x - 3)(4x 2 - 5x + 6) =
= 2x(4x 2 - 5x + 6) - dağılma özelliği
= (2x)(4x 2 ) - (2x)(5x) + (2x)(6) - 3(4x 2 ) + 3(5x) - 3(6) yeniden dağıtım özelliği
= 8x 3 - 10x 2 + 12x - 12x 2 + 15x - 18 basitleştirme
= 8x 3 - 22x 2 + 27x - 18 benzer terimleri birleştir

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 (a + b)(a - b) = a 2 - b 2 Not: a ve b herhangi bir cebirsel ifade olabilir.


Trinomları ve Polinomları Çarpma

1)

Önce dağıtıyoruz ve Al

Sonra, 3'ü dağıtıyoruz ve

şimdi elimizde , ancak bitirmedik çünkü birlikte ekleyebileceğimiz bir dizi benzer terim var. 7x 2 elde etmek için 4x 2 ve 3x 2 ekleyin. Ayrıca 13x elde etmek için 1x ve 12x ekleyin. Son cevabın standart biçimde olduğundan emin olun:.

2)

Önce dağıtıyoruz ve Al

Ardından, dağıtıyoruzve Al

Daha sonra dağıtıyoruzve Al

şimdi elimizde , ancak benzer terimleri birleştirebildiğimiz için bitirmedik. Son cevabımızı almak için bunları birleştirin (standart biçimde): .

Gördüğünüz gibi, her polinomda kaç terim olduğu önemli değil. Siz dağıtıma devam edin. Zor değil ama işinizde çok dikkatli olmalısınız.

Uygulama: : Polinomları çarpın

1)

2)

3)

4)

5)


Cebir: Polinomları Çarpma

Toplama ve çıkarmanın aksine, polinomları çarpmak için benzer terimlere ihtiyacınız yoktur (polinomları bölmek için benzer terimlere de ihtiyacınız yoktur, ancak bunu bir sonraki bölümde tartışacağım). Aslında, polinomları çarpmak aslında oldukça kolaydır. Tek yapmanız gereken Karşılaşma İfadeleri'nde öğrendiğiniz üstel kuralları ve dağılma özelliğini uygulamaktır.

Monomiyallerin Ürünleri

İki tek terimliyi birlikte çarpmak için yapmanız gerekenler:

  1. Katsayılarını çarpın. Sonuç, cevabın katsayısıdır.
  2. Her iki terimde de görünen tüm değişkenleri listeleyin. Bunlar, tercihen alfabetik sırayla, 1. adımda elde ettiğiniz katsayıya uymalıdır.
  3. Yetkileri ekleyin. Eşleşen değişkenlerin üslerinin toplamlarını belirleyin ve bunları yanıtta karşılık gelen değişkenin üzerine yazın.
Bunu nasıl yaptın?

3. Adım, Karşılaşma İfadelerinden gelen üstel kural nedeniyle, eşleşen değişkenlerin güçlerini eklemenizi söyler. x a x B = x bir + b . (Tabanları eşleşen üstel ifadelerin çarpımı, taban kuvvetlerinin toplamına yükseltilmiş tabana eşittir.)

Adımlar ilk başta garip görünse bile endişelenmeyin. Tek terimlileri çarpmak, çok çabuk anlayacağınız bir beceridir.

Örnek 3: Ürünleri hesaplayın.

  • (a) (-3x 2 y 3 z 5 )(7xz 3 )
  • Çözüm: Önce katsayıları çarpın: -3 7 = -21 sonra problemde görünen tüm değişkenleri alfabetik sıraya göre listeleyin. (İkinci tek terimlinin bir y. Problemin herhangi bir yerinde bir değişken göründüğü sürece, onu az önce bulduğunuz katsayının yanında listelemelisiniz.)
  • -21xyz
  • Listelediğiniz her değişken için üsleri toplayın. İlk terim var x 2 kuvvetine ve ikinci terim var x 1 kuvvetine, yani cevap x 2 + 1 = 3 kuvvetine. Benzer şekilde, z Cevabın kuvveti 8 olmalıdır, çünkü birinci tek terimlide z üzeri 5, ikincide z üzeri 3 kuvveti vardır. Yalnızca bir y terimi olduğundan, gücünü son cevaba kopyalarsınız, eklenecek bir şey yoktur.
  • -21x 3 y 3 z 8
  • (b) 3w 2 x(2wxy - x 2 y 2 )
  • Çözüm: Her iki terimi de 3 ile çarparak dağılma özelliğini uygulayınw 2 x.
  • 3w 2 x(2wxy) + 3w 2 x(-x 2 y 2 )
  • Her ürünü ayrı ayrı bulun.
  • 6w 3 x 2 y - 3w 2 x 3 y 2
Sorunların var

Problem 3: Ürünü hesaplayın.

3x 2 y (5x 3 + 4x 2 y - 2y 5 )

Binomlar, Üç Terimler ve Ötesi

Kritik nokta

Bazı cebir öğretmenleri, iki iki terimliyi çarpmak için bir teknik olan FOIL yöntemine odaklanır. Her harf, iki terimlilerde ilk, dış, iç ve son terimler olmak üzere bir çift terimi temsil eder.

FOIL'i hiç duymadıysanız, sorun değil, çünkü bu yalnızca iki iki terimliyi çarpmanın özel durumu için işe yarar, oysa benim çoklu dağıtım tekniğim tüm polinom ürünleri için işe yarar. Ayrıca, benim yöntemimi kullanırsanız, istemeden de olsa, aslında yine de FOIL yaparsınız.

Kelley'nin Uyarıları

Çarptıktan sonra, her zaman sonucu basitleştirip basitleştiremeyeceğinize bakın. Dünyadaki hemen hemen her cebir öğretmeni basitleştirilmiş cevaplar talep eder ve buna uymazsanız, cevapları yanlış işaretlemek, puan almak veya (aşırı durumlarda) çok sinirlenmek gibi şeyler yaptıkları bilinmektedir. Sibernetik organizma, sınıflarına kaydolmadan önce sizi öldürmek için zamanda geriye gitti.

Polinom çarpımlarını hesaplamak bir tür serbestleştirmedir. Dediğim gibi, iki terimin çarpılması için ortak hiçbir şeye sahip olması gerekmez. (Tanıştığım çiftlere dayanarak, aynı şeyin insanlar için de geçerli olduğunu düşünüyorum, ama konuyu dağıtıyorum.) Ancak şu ana kadar polinom ifadelerinden yalnızca biri tek terimliyse çarpabilirsiniz. Örnek 3(a)'da iki tek teriminiz vardı ve Örnek 3(b) ve Problem 3'te bir tek terim dağıtıyordunuz. Birden fazla terimle polinomları çarpmanın, dağılım özelliğinin biraz değiştirilmiş bir versiyonuyla gerçekleştirilebileceği ortaya çıktı.

Sorunların var

Problem 4: Ürünü bulun ve sadeleştirin. (2x + y)(x - 3y)

Dağılma özelliği sayesinde zaten biliyorsunuz ki ifade a(B + C) olarak yeniden yazılabilir ab + AC sadece çarp a parantez içindeki her şey tarafından. Benzer bir şekilde, ifadenin çarpımını hesaplayabilirsiniz (a + B)(C + NS), bu durumda binomları çarpıyor olsanız bile. Sadece dağıtmak yerine a, birkaç dakika önce yaptığınız gibi, ilk iki terimlideki her terimi, birer birer ikinci iki terimliye dağıtacaksınız.

Başka bir deyişle, ikinci iki terimlideki her şeyi şununla çarpacaksınız: a ve sonra tekrar yapın, bu sefer her şeyi ile çarparak B.

Yani hala dağıtıyorsunuz, sadece iki kez yapıyorsunuz, hepsi bu. Ya bir üç terimliyi bir üç terimli ile çarpıyor olsaydınız? Aynı prosedürü izleyin, birinci polinomdaki her terimi birer birer ikinciye dağıtın.

  • (a + B + C)(NS + e + F) = reklam + ae + af + bd + olmak + sevgili + CD + ce + bkz.

Merak ediyorsanız, polinomlardaki terim sayılarının eşleşmesi gerekmez. Örnek 4'te göreceğiniz gibi, bir binom ile bir üç terimliyi aynı kolaylıkla çarpabilirsiniz.

Örnek 4: Ürünü bulun ve sadeleştirin.

Çözüm: Sol polinomun her terimi, x ve 2y, birer birer ikinci polinom aracılığıyla dağıtılmalıdır.

  • (x)(x 2 ) + (x)(2xy) + (x)(-y 2 ) + (-2y)(x 2 ) + (-2y)(2xy) + (-2y)(-y 2 )

Tüm terimleri parantez içine alırsanız, hemen işaretler için endişelenmenize gerek yoktur. Bazı terimlerin olumlu, bazılarının olumsuz olması önemli değil, hepsini parantez içinde yazın ve tüm ürünleri bir araya toplayın.

Şimdi tek yapmanız gereken tek terimli çiftleri birlikte çarpmak.

Sorunun yönergeleri size basitleştirmenizi söylüyor, bu da şimdi birleştirilebilecek benzer terimler aramanız gerektiği anlamına geliyor. Yakından bakarsanız, terimlerin 2 olduğunu göreceksiniz.x 2 y ve 2x 2 y aynı değişkene sahipler, böylece 0 elde etmek için birleştirilebilirler (birbirlerinin zıttıdırlar, bu yüzden birbirlerini iptal ederler). Ek olarak, terimleri birleştirebilirsiniz -xy 2 ve -4xy 2 elde etmek için -5xy 2 .

W. Michael Kelley tarafından yazılan The Complete Idiot's Guide to Algebra 2004'ten alınmıştır. Herhangi bir biçimde kısmen veya tamamen çoğaltma hakkı da dahil olmak üzere tüm hakları saklıdır. Düzenleme ile kullanılır Alfa Kitapları, Penguin Group (ABD) Inc.'in bir üyesi


Sembolab Blogu

Polinomları çarpmak zor olabilir çünkü her terime dikkat etmeniz gerekir, ayrıca bunun çok dağınık olabileceğinden bahsetmiyorum bile. Her bir polinomda kaç terim olduğuna bağlı olarak, polinomları çarpmanın birkaç yolu vardır. Bu yazıda, iki terimli polinomların nasıl çarpılacağına ve iki veya daha fazla terimli polinomların nasıl çarpılacağına odaklanacağız.

İki terimli polinomları çarpma

İki terimli polinomları çarparken FOIL yöntemini kullanırsınız. FOIL yöntemi yalnızca iki terimli polinomu çarpmak için çalışır. FOIL, ilk, dış, iç, son anlamına gelir. Bu, terimleri nasıl dağıtacağınızı ve çoğaltacağınızı bilmenizi sağlar. Nasıl çalıştığını görelim.

Bu polinomları çarpmak oldukça basittir çünkü eğer bu kimlikleri ezberlerseniz, o zaman sadece değerleri girer ve bir cevabınız olur.

Çok terimli polinomları çarpma

Bu polinomları çarpmak için FOIL yöntemini kullanamazsınız. Bunun yerine, bir polinomdaki her terimi diğerindeki her terimle çarpmanız gerekir. Bunu, bir polinomun her terimini diğer polinomla çarparak yapabilirsiniz. Bu zor olabilir çünkü bir terimi kaçırmak kolaydır. Bunun örneklerini yaptığımızda bunların nasıl çözüleceğini anlamak daha kolay hale gelecektir.

Polinomları çarparken, üslü değişkenlerle üslü değişkenleri çarpmakla karşılaşabilirsiniz. Bu durumda, bu üs kuralını kullanırız:

Bu kural için taban veya değişken aynı olmalıdır. Değişkenleri üslerle çarparken üsleri toplarsınız.


Polinomların nasıl çarpılacağını anlamak için bazı örnekler görelim.
İlk örnek (buraya tıklayın):


Polinomları Çarpma Hakkında SSS

Üç Polinomu Nasıl Çarparsınız?

Üç polinomun çarpımı, aşağıdaki iki adımı içeren iki aşamalı bir işlemdir:

  • katsayıların çarpımı
  • Gerektiğinde ve gerektiğinde Üs Kuralları kullanılarak değişkenlerin çarpımı.

Üç polinomun çarpımını anlamak için bir örnek alalım.
Örnek: Çarp (3m+2), 4n 2 ve 7p.

  • Yukarıda verilen üç polinom (3m+2)× 4n 2 × 7p şeklinde yazılmıştır.
  • Polinom çarpmasının dağılma özelliğini kullanarak, ((3m× 4n 2 )+(2× 4n 2 ))× 7p = (12mn 2 + 8n 2 )7p = 84mn 2 p + 56n 2 p elde ederiz.

Böylece yukarıdaki çarpma (3m+2)× 4n 2 × 7p = 84mn 2 p + 56n 2 p olarak gösterilebilir.

Kutu Yöntemini Kullanarak Polinomları Nasıl Çarpabiliriz?

Kutu yöntemi kullanılarak iki veya daha fazla polinom çarpılabilir. Şartlar bir kutunun üzerine yazılır ve bunlara karşılık gelen ürünler kutunun içine yazılır.
Örnek: (3x 2 +2x+4)(4x+5)

Kutunun dikey tarafına 3x 2 +2x+4, yatay tarafına 4x+5 veya tam tersi yazılacaktır. Daha sonra önce 3x 2 ile 4x, ardından 3x 2 ile 5 çarpacağız ve kutunun ilgili bölümüne ürünleri yazacağız. İkinci olarak 2x ile 4x ve 2x ile 5'i çarpacağız ve ürünleri yazacağız. Kutunun son sütunu 4 ile 4x ve 4 ile 5 çarpılarak doldurulur. Son olarak, nihai cevabı almak için elde edilen altı terimin tümünü toplayacağız.
Bu nedenle, her iki polinomun çarpımının sonucu (12x 3 +23x 2 +26x+20) olur.

Grid Yöntemini Kullanarak Binomları Nasıl Çarparsınız?

Bir kutu yöntemiyle veya ızgara yöntemiyle polinomları çarpma adımları aşağıdaki gibidir:
Örnek: (x+6)(2x+3)

Kutunun dikey tarafında x+6, yatay tarafında 2x+3 veya tam tersi yazılacaktır. Her terimi ilgili terimlerle çarpın. Dolayısıyla elde ettiğimiz ürün (2x 2 +15x+18)'dir.

Polinomları Çarpmak İçin Kaç Yöntem Vardır?

Polinomları çarpmak için iki yöntem vardır:

FOIL Binomları Çarpmada Neyi Gösterir?

FOIL, binomları çarpmada İlk, Dış, İç Son anlamına gelir. Binomlar şu şekilde çarpılır:

  • Adım 1: Her iki terimlinin ilk terimini çarpın.
  • Adım 2: Şimdi her iki terimin dış terimini çarpın.
  • Adım 3: Bu yapıldıktan sonra, şimdi iki terimlilerin iç terimlerini çarpın.
  • Adım 4: Şimdi son terimler çarpılır.
  • Adım 5: Yukarıdaki dört adımın tümü yapıldıktan sonra, her adımda elde edilen ürünler eklenir, benzer terimler birleştirilir ve cevap basitleştirilir.

Polinomları Çarpmak İçin En İyi Yöntem Nedir?

Polinomları çarpmanın en iyi yöntemi, polinomları çarpmanın dağılma özelliğidir. Dağılma özelliğini kullanarak bir polinomu çarpma adımları şunlardır:

  • Adım 1: Her iki polinomu birlikte yazın.
  • Adım 2: İki parantezden bir parantez sabit tutun.
  • Adım 3: Şimdi diğer parantezdeki her bir terimi çarpın.

İki Trinomu Birlikte Nasıl Çarparsınız?

Kutu yönteminin yanı sıra dağılma özelliği kullanılarak iki üç terimli çarpılabilir. İki üç terimin çarpımını anlamak için bir örnek alalım.

Örnek: (5xy+2x+3) ile (x 2 +3xy+7) çarpın

  • Yukarıda verilen iki üç terim (5xy+2x+3)× (x 2 +3xy+7) şeklinde yazılır.
  • Polinom çarpmasının dağılma özelliğini kullanarak, (5xy+2x+3)× (x 2 +3xy+7) = 5x 3 y + 15x 2 y 2 + 2x 3 + 6x 2 y + 44xy+ 3x 2 + 14x + 21 elde ederiz.

Böylece yukarıdaki çarpma (5xy+2x+3)× (x 2 +3xy+7) = 5x 3 y + 15x 2 y 2 + 2x 3 + 6x 2 y + 44xy + 3x 2 + 14x + 21 olarak gösterilebilir. .


Sorular

<a href=”/intermediatealgebraberg/back-matter/answer-key-6-5/”>Yanıt Anahtarı 6.5


İlgili wikiHow'lar


POLİNOMİAL ÜRÜNLERİ

AMAÇLAR

  1. İki iki terimlinin çarpımını bulun.
  2. Herhangi iki polinomu çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

Önceki bölümde, A(2x + y) ürününün A(2x) + A(y)'ye genişlediğini öğrenmiştiniz.

Şimdi (3x + z) (2x + y) çarpımını düşünün.

(3x + z) parantez içinde olduğundan, onu tek bir faktör olarak ele alabilir ve (3x + z)(2x + y)'yi A(2x + y) ile aynı şekilde genişletebiliriz. Bu bize

Şimdi bu terimlerin her birini genişletirsek,

Son yanıtta bir parantezin her teriminin diğer parantezlerin her terimiyle çarpıldığına dikkat edin.

Bunun dağılma özelliğinin bir uygulaması olduğuna dikkat edin.

Bunun dağılma özelliğinin bir uygulaması olduğuna dikkat edin.

- 8x ve 15x benzer terimler olduğundan, 7x elde etmek için bunları birleştirebiliriz.

Bu örnekte, son cevabı basitleştirmek için iki terimi birleştirebildik.

Burada yine son cevabı basitleştirmek için bazı terimleri birleştirdik. Son cevaptaki terimlerin sırasının çözümün doğruluğunu etkilemediğini unutmayın.


Videoyu izle: Polinomlar 3. Toplama Çıkarma çarpma Bölme. 10. Sınıf (Aralık 2021).