Nesne

4A.4: Polinomları Çarpanlara Ayırmak için Genel Strateji


Öğrenme hedefleri

Bu bölümün sonunda şunları yapabileceksiniz:

  • Bir polinomu tamamen çarpanlara ayırmak için uygun yöntemi tanır ve kullanır.

Bir Polinomu Tamamen Çarpanlara Almak İçin Uygun Yöntemi Tanıyın ve Kullanın

Artık bu kursta ihtiyaç duyacağınız tüm faktoring yöntemlerini öğrendiniz. Aşağıdaki çizelge, ele aldığımız tüm çarpanlara ayırma yöntemlerini özetlemekte ve polinomları çarpanlara ayırırken kullanmanız gereken bir stratejiyi özetlemektedir.

FAKTORİNG POLİNOMİALLERİNE İLİŞKİN GENEL STRATEJİ

POLİNOMİLERİ FAKTORİN ETMEK İÇİN GENEL BİR STRATEJİ KULLANIN.

  1. En büyük ortak faktör var mı?
    Fark et.
  2. Polinom bir binom mu, üç terimli mi yoksa üçten fazla terim mi var?
    Eğer bir binom ise:
    • Bu bir miktar mı?
      Karelerden mi? Karelerin toplamı çarpanlara ayırmaz.
      Küplerden mi? Küplerin toplamını kullanın.
    • Bu bir fark mı?
      Karelerden mi? Konjugatların ürünü olarak faktör.
      Küplerden mi? Küp desen farkını kullanın.
    Üç terimli ise:
    • (x^2+bx+c) biçiminde mi? FOIL'i geri al.
    • (ax^2+bx+c) biçiminde mi?
      Eğer a ve C karelerse, üç terimli kare modeline uyup uymadığını kontrol edin.
      Deneme yanılma veya “(ac)” yöntemini kullanın.
    Üçten fazla terimi varsa:
    • Gruplandırma yöntemini kullanın.
  3. Kontrol etmek.
    Tamamen faktörlü mü?
    Faktörler orijinal polinomda çarpılır mı?

Unutulmamalıdır ki, bir polinom, tek terimlilerden başka çarpanları varsa tamamen çarpanlarına ayrılır. astar vurmak!

Örnek (PageIndex{1})

Tamamen çarpanlara ayırın: (7x^3−21x^2−70x).

Çözüm

(egin{dizi} {ll} {7x^3−21x^2−70x} & ext{GCF var mı? Evet, }7x. & ext{GCF'yi çarpanlara ayırın.} &7x (x^2−3x−10) ext{Parantez içinde, bir iki terimli mi, üç terimli mi,} & ext{yoksa daha fazla terim var mı?} & ext{Baş katsayısı 1 olan üç terimli .} & ext{“Geri Al” FOIL.} &7x(xhspace{8mm})(xhspace{8mm}) &7x(x+2)(x−5) ext{Is Evet.} & ext{İki terim de çarpanlara ayrılamaz.} & ext{Cevabınızı kontrol edin.} & ext{Çarpın.} & & & hspace{15mm}7x(x+2)(x−5) & hspace{10mm}7x(x^2−5x+2x−10) & hspace{15mm}7x(x^2− 3x−10) & hspace{13mm}7x^3−21x^2−70xcheckmark & ​​end{dizi} )

Deneyin (PageIndex{1})

Tamamen çarpanlara ayırın: (8y^3+16y^2−24y).

Cevap

(8y(y−1)(y+3))

Deneyin (PageIndex{2})

Tamamen çarpanlara ayırın: (5y^3−15y^2−270y).

Cevap

(5y(y−9)(y+6))

Birkaç seçenek olduğu için, bir iki terimliyi çarpanlara ayırmanız istendiğinde dikkatli olun!

Örnek (PageIndex{2})

Tamamen çarpanlara ayırın: (24y^2−150)

Çözüm

(egin{array} {ll} &24y^2−150 ext{GCF var mı? Evet, }6. & ext{GCF'yi çarpanlara ayırın.} &6(4y^2−25) ext{Parantez içinde, bir iki terimli mi, üç terimli mi} & ext{veya üçten fazla terim mi var? Binom.} & ext{Toplam mı? Hayır.} & ext{Karelerin mi yoksa küplerin mi? Evet, kareler.} &6((2y)^2−(5)^2) ext{Eşleniklerin çarpımı olarak yazın.} &6(2y−5 )(2y+5) & & hspace{5mm} ext{İfade tamamen çarpanlara ayrılmış mı?} & hspace{5mm} ext{İki terim de çarpanlara ayrılamaz.} & ext{Kontrol edin:} & & & hspace{5mm} ext{Çarpın.} & & hspace{15mm}6(2y−5)(2y+5) & & hspace{18mm}6(4y^2−25) & hspace{18mm}24y^2−150checkmark end{dizi})

Deneyin (PageIndex{3})

Tamamen çarpanlara ayırın: (16x^3−36x).

Cevap

(4x(2x−3)(2x+3))

Deneyin (PageIndex{4})

Tamamen çarpanlara ayırın: (27y^2−48).

Cevap

(3(3y−4)(3y+4))

Sonraki örnek, birkaç yöntem kullanılarak çarpanlara ayrılabilir. Üç terimli kareler desenini tanımak işinizi kolaylaştıracaktır.

Örnek (PageIndex{3})

Tamamen çarpanlara ayırın: (4a^2−12ab+9b^2).

Çözüm

(egin{array} {ll} &4a^2−12ab+9b^2 ext{GCF var mı? No.} & ext{İki terim mi, üç terim mi yoksa başka terimler mi var? ?} & ext{}a eq 1. ext{ ile üç terimli Ancak ilk terim bir tam karedir.} ext{Son terim bir tam kare midir? Evet.} &(2a)^ 2−12ab+(3b)^2 ext{kalıba uyuyor mu, }a^2−2ab+b^2? ext{ Evet.} &(2a)^2 −12ab+ (3b)^2 &hspace{7mm} {,}^{searrow}{,}_{−2(2a)(3b)}{,}^{swarrow} ext{Kare olarak yazın .} &(2a−3b)^2 & & quad ext{İfade tamamen çarpanlara ayrılmış mı? Evet.} & quad ext{İkili terim çarpanlarına ayrılamaz.} & ext{Cevabınızı kontrol edin.} & & quad ext{Çarpın.} & hspace{30mm}(2a−3b)^2 hspace{20mm} (2a)^ 2−2·2a·3b+(3b)^2 hspace{24mm}4a^2−12ab+9b^2checkmark & ​​end{dizi} )

Deneyin (PageIndex{5})

Tamamen çarpanlara ayırın: (4x^2+20xy+25y^2).

Cevap

((2x+5y)^2)

Deneyin (PageIndex{6})

Tamamen çarpanlara ayırın: (9x^2−24xy+16y^2).

Cevap

((3x−4y)^2)

Unutmayın, kareler toplamı çarpanlara ayırmaz ama küplerin toplamı çarpanlara ayırır!

Örnek (PageIndex{4})

Tamamen (12x^3y^2+75xy^2) çarpanına ayırın.

Çözüm

(egin{array} {ll} &12x^3y^2+75xy^2 ext{GCF var mı? Evet, }3xy^2. & ext{GCF'yi çarpanlara ayırın.} &3xy^ 2(4x^2+25) ext{Parantez içinde, iki terimli mi, üç terimli mi, yoksa } & ext{üçten fazla terim var mı? Binom.} & & ext {Karelerin toplamı mı? Evet.} & ext{Karelerin toplamı asaldır.} & & quad ext{İfade tamamen çarpanlara ayrılmış mı? Evet.} & ext {Kontrol edin:} & & & quad ext{Çarpın.} & hspace{15mm}3xy^2(4x^2+25) & hspace{14mm}12x^3y ^2+75xy^2onay işareti end{dizi} )

Deneyin (PageIndex{7})

Tamamen çarpanlara ayırın: (50x^3y+72xy).

Cevap

(2xy(25x^2+36))

Deneyin (PageIndex{8})

Tamamen çarpanlara ayırın: (27xy^3+48xy).

Cevap

(3xy(9y^2+16))

Küplerin toplamını veya farkını kullanırken, işaretlere dikkat edin.

Örnek (PageIndex{5})

Tamamen çarpanlara ayırın: (24x^3+81y^3).

Çözüm

GCF var mı? Evet: 3.
Fark et.
Parantez içinde, iki terimli mi, üç terimli mi,
üçten fazla terim var mı? Binom.
Toplam mı, fark mı? toplam
Karelerden mi küplerden mi? Küplerin toplamı.
Küplerin toplamı desenini kullanarak yazın.
İfade tamamen faktörlü mü? Evet.
Çarparak kontrol edin.

Deneyin (PageIndex{9})

Tamamen çarpanlara ayırın: (250m^3+432n^3).

Cevap

(2(5m+6n)(25m^2−30dk+36n^2))

Deneyin (PageIndex{10})

Tamamen çarpanlara ayırın: (2p^3+54q^3).

Cevap

(2(p+3q)(p^2−3pq+9q^2))

Örnek (PageIndex{6})

Tamamen çarpanlara ayırın: (3x^5y−48xy).

Çözüm

(egin{array} {ll} &3x^5y−48xy ext{GCF var mı? Faktör çıkışı }3xy &3xy(x^4−16) egin{dizi} {l} ext{ Binom bir toplam mı yoksa bir fark mı? sağ) ext{Bunu eşleniklerin bir ürünü olarak çarpanlarına ayırın} &3xy(x^2−4)(x^2+4) ext{İlk iki terimli yine karelerin farkıdır.} &3xyleft( (x)^2−(2)^2sağ)(x^2+4) ext{Bunu eşleniklerin bir ürünü olarak çarpanlarına ayırın.} &3xy(x−2)(x+2)(x^2 +4) ext{İfade tamamen çarpanlara ayrıldı mı? Evet.} & ext{Cevabınızı kontrol edin.} & ext{Çarpın.} & 3xy(x−2)(x+2 )(x^2+4) & 3xy(x^2−4)(x^2+4) & 3xy(x^4−16) & 3x^5y−48xyonay işareti & end {dizi})

Deneyin (PageIndex{11})

Tamamen çarpanlara ayırın: (4a^5b−64ab).

Cevap

(4ab(a^2+4)(a−2)(a+2))

Deneyin (PageIndex{12})

Tamamen çarpanlara ayırın: (7xy^5−7xy).

Cevap

(7xy(y^2+1)(y−1)(y+1))

Örnek (PageIndex{7})

Tamamen çarpanlara ayırın: (4x^2+8bx−4ax−8ab).

Çözüm

(egin{dizi} {ll} &4x^2+8bx−4ax−8ab ext{GCF var mı? GCF'yi çarpanlarına ayırın, }4. &4(x^2+2bx−ax−2ab) ext{Dört terim vardır. Gruplamayı kullanın.} &4[x(x+2b)−a(x+2b)]4(x+2b)(x−a) ext{İfade tamamen çarpanlara ayrılmış mı? ? Evet.} & ext{Cevabınızı kontrol edin.} & ext{Çarpın.} & hspace{25mm}4(x+2b)(x−a) & hspace{20mm } 4(x^2−ax+2bx−2ab) & hspace{20mm}4x^2+8bx−4ax−8abcheckmark end{dizi})

Deneyin (PageIndex{13})

Tamamen çarpanlara ayırın: (6x^2−12xc+6bx−12bc).

Cevap

(6(x+b)(x−2c))

Deneyin (PageIndex{14})

Tamamen çarpanlara ayırın: (16x^2+24xy−4x−6y).

Cevap

(2(4x−1)(2x+3y))

İlk adımda GCF'nin tamamını çıkarmak işinizi her zaman kolaylaştıracaktır.

Örnek (PageIndex{8})

Tamamen çarpanlara ayırın: (40x^2y+44xy−24y).

Çözüm

(egin{dizi} {ll} &40x^2y+44xy−24y ext{GCF var mı? GCF'yi çarpanlara ayırın, }4y. &4y(10x^2+11x−6) ext{ Üç terimliyi }a eq 1 ile çarpanlara ayırın. &4y(10x^2+11x−6) &4y(5x−2)(2x+3) ext{İfade tamamen çarpanlara ayrılmış mı? Evet.} & ext{Cevabınızı kontrol edin.} & ext{Çarpın.} & hspace{25mm}4y(5x−2)(2x+3) & hspace{24mm}4y(10x^2+) 11x−6) & hspace{22mm}40x^2y+44xy−24ycheckmark end{dizi})

Deneyin (PageIndex{15})

Tamamen çarpanlara ayırın: (4p^2q−16pq+12q).

Cevap

(4q(p−3)(p−1))

Deneyin (PageIndex{16})

Tamamen çarpanlara ayırın: (6pq^2−9pq−6p).

Cevap

(3p(2q+1)(q−2))

Dört terimli bir polinomu çarpanlarına ayırdığımızda, çoğu zaman onu iki terimli iki gruba ayırdık. Bunu bir üç terimli ve ardından bir terime ayırabileceğimizi unutmayın.

Örnek (PageIndex{9})

Tamamen çarpanlara ayırın: (9x^2−12xy+4y^2−49).

Çözüm

(egin{array} {ll} &9x^2−12xy+4y^2−49 ext{GCF var mı? No.} & egin{dizi} {l} ext{Daha fazlası ile 3 terimden fazlaysa gruplandırmayı kullanın. Son 2 terim} ext{GCF yok. İlk 3 terimi gruplamayı deneyin.} end{dizi} &9x^2−12xy+4y^2−49 egin{dizi} {l} ext{Üç terimi }a eq 1 ile çarpanlarına ayırın. ext{ Ancak ilk terim a} ext{mükemmel karedir.} end{dizi} & ext{Son terimdir Evet.} &(3x)^2−12xy+(2y)^2−49 ext{Üç terim, }a^2−2ab+b^2 modeline uyuyor mu? ext { Evet.} &(3x)^2 −12xy+ (2y)^2−49 &hspace{7mm} {,}^{searrow}{,}_{−2(3x)(2y) )}{,}^{swarrow} ext{Üç terimi bir kare olarak yazın.} &(3x−2y)^2−49 egin{dizi} {ll} ext{Bu iki terimli mi toplam mı, fark mı? Kareler mi, yoksa} ext{küpler mi? Bunu karelerin farkı olarak yazın.} end{dizi} &(3x−2y)^2−72 ext{Eşleniklerin bir ürünü olarak yazın.} &((3x−2y)−7)(( 3x−2y)+7) &(3x−2y−7)(3x−2y+7) ext{İfade tamamen çarpanlara ayrılmış mı? Evet.} & ext{Cevabınızı kontrol edin.} & ext{Çarpın.} & hspace{23mm}(3x−2y−7)(3x−2y+7) & hspace {10mm}9x^2−6xy−21x−6xy+4y^2+14y+21x−14y−49 qquad & hspace{25mm}9x^2−12xy+4y^2−49checkmark & ​​end {dizi})

Deneyin (PageIndex{17})

Tamamen çarpanlara ayırın: (4x^2−12xy+9y^2−25).

Cevap

((2x−3y−5)(2x−3y+5))

Deneyin (PageIndex{18})

Tamamen çarpanlara ayırın: (16x^2−24xy+9y^2−64).

Cevap

((4x−3y−8)(4x−3y+8))

Anahtar kavramlar

  • Polinomları çarpanlara ayırmak için genel bir strateji nasıl kullanılır.
    1. En büyük ortak faktör var mı?
      Fark et.
    2. Polinom bir binom mu, üç terimli mi yoksa üçten fazla terim mi var?
      Eğer bir binom ise:
      Bu bir miktar mı?
      Karelerden mi? Karelerin toplamı çarpanlara ayırmaz.
      Küplerden mi? Küplerin toplamını kullanın.
      Bu bir fark mı?
      Karelerden mi? Konjugatların ürünü olarak faktör.
      Küplerden mi? Küp desen farkını kullanın.
      Üç terimli ise:
      (x^2+bx+c) biçiminde mi? FOIL'i geri al.
      (ax^2+bx+c) biçiminde mi?
      Eğer a ve C karelerse, üç terimli kare modeline uyup uymadığını kontrol edin.
      Deneme yanılma veya “(ac)” yöntemini kullanın.
      Üçten fazla terimi varsa:
      Gruplandırma yöntemini kullanın.
    3. Kontrol etmek.
      Tamamen faktörlü mü?
      Faktörler orijinal polinomda çarpılır mı?

Polinomları Çarpanlara Ayırmak için Genel Stratejinin Özetlenmesi

  • Faktoring Polinomları için Genel Strateji Aşağıdaki şekle bakın.

  • Polinomlar Nasıl Çarpanlandırılır
    1. En büyük ortak faktör var mı? Fark et.
    2. Polinom bir binom mu, üç terimli mi yoksa üçten fazla terim mi var?
      • Eğer bir binom ise:
      • Karelerden mi? Konjugatların ürünü olarak faktör.
      • Küplerden mi? Küp desen farkını kullanın.
      • 'a' ve 'c' karelerse, üç terimli kare modeline uyup uymadığını kontrol edin.
      • Deneme yanılma veya "ac" yöntemini kullanın.

      [İlişkiler ve Lisanslar]

      Bu değiştirilmiş makale, CC BY-NC-SA 4.0 lisansı altında lisanslanmıştır.

      Öğretici Dersler

      Bu, Faktoring ve Faktoring I öğreticisinden bir derstir ve ilerlemenizi takip edebilmeniz için oturum açmanız veya kaydolmanız önerilir.


      Polinom Denklemlerini Çarpanlara Ayırarak Çözme

      Bu bölümde, belirli polinom denklemlerini çözmek için kullanılabilecek bir tekniği gözden geçireceğiz. Sıfır çarpım özelliği ile başlıyoruz, ancak ve ancak faktörlerden en az birinin sıfır olması durumunda bir çarpım sıfıra eşittir. :

      a ⋅ b = 0 ancak ve ancak a = 0 veya b = 0 ise

      Sıfır çarpım özelliği, bir denklemi oluşturan herhangi bir sayıda faktör için geçerlidir. Başka bir deyişle, herhangi bir ürün sıfıra eşitse, değişken faktörlerden en az birinin sıfıra eşit olması gerekir. Bir ifade sıfıra eşitse ve doğrusal faktörlere bölünebilirse, o zaman her faktörü sıfıra eşitleyebilir ve her denklemi çözebiliriz.

      Örnek 4

      Çöz: 2 x ( x − 4 ) ( 5 x + 3 ) = 0 .

      Her değişken faktörünü sıfıra eşitleyin ve çözün.

      2 x = 0 veya x − 4 = 0 veya 5 x + 3 = 0 2 x 2 = 0 2 x = 4 5 x 5 = − 3 5 x = 0 x = − 3 5

      Bunların çözümler olup olmadığını kontrol etmek için, doğru bir ifade elde edip etmediğimizi görmek için orijinal denklemin yerine koyabiliriz. Her çözümün bir sıfır faktör ürettiğine dikkat edin. Bu okuyucuya bırakılmıştır.

      Cevap: Çözümler 0, 4 ve − 3 5'tir.

      Elbette çoğu denklem çarpanlara ayrılmış biçimde verilmeyecektir.

      Örnek 5

      Çöz: 4 x 3 − x 2 − 100 x + 25 = 0 .

      Sol tarafı tamamen çarpanlara ayırarak başlayın.

      4 x 3 - x 2 - 100 x + 25 = 0 Fa c to r b y g r o u p i n g . x 2 ( 4 x - 1 ) - 25 ( 4 x - 1 ) = 0 ( 4 x - 1 ) ( x 2 - 25 ) = 0 F a c to r a s a d i f f e r e n c e o f s q u a r e s . ( 4 x − 1 ) ( x + 5 ) ( x − 5 ) = 0

      Her faktörü sıfıra eşitleyin ve çözün.

      4 x − 1 = 0 veya x + 5 = 0 veya x − 5 = 0 4 x = 1 x = − 5 x = 5 x = 1 4

      Cevap: Çözümler 1 4 , -5 ve 5'tir.

      Sıfıra eşit bir denklemi çarpanlarına ayırdıktan sonra sıfır çarpım özelliğini kullanmak bu tekniğin anahtarıdır. Ancak denklem sıfıra eşit olarak verilemeyebilir ve bu nedenle çarpanlara ayırmadan önce bazı ön adımlar olabilir. Faktoring ile çözülmesi gereken adımlar Sıfıra eşit bir denklemi çarpanlara ayırarak çözme ve ardından her değişken faktörü sıfıra eşitleme süreci. aşağıdaki örnekte özetlenmiştir.

      Örnek 6

      Çöz: 15 x 2 + 3 x − 8 = 5 x − 7 .

      Aşama 1: Denklemi sıfıra eşit standart formda ifade edin. Bu örnekte, 5 x çıkarın ve her iki tarafa 7 ekleyin.

      15 x 2 + 3 x − 8 = 5 x − 7 15 x 2 − 2 x − 1 = 0

      Adım 2: İfadeyi çarpanlara ayırın.

      Aşama 3: Sıfır çarpım özelliğini uygulayın ve her değişken faktörünü sıfıra eşitleyin.

      4. Adım: Elde edilen lineer denklemleri çözün.

      3 x − 1 = 0 veya 5 x + 1 = 0 3 x = 1 5 x = − 1 x = 1 3 x = − 1 5

      Cevap: Çözümler 1 3 ve − 1 5'tir. Çek isteğe bağlıdır.

      Örnek 7

      Bu ikinci dereceden denklem çarpanlara ayrılmış gibi görünüyor, bu nedenle her bir faktörü 4'e eşitlemek cazip gelebilir. Ancak, bu yanlış sonuçlara yol açacaktır. Sıfır çarpım özelliğini uygulayabilmemiz için denklemi sıfıra eşit olarak yeniden yazmalıyız.

      ( 3 x + 2 ) ( x + 1 ) = 4 3 x 2 + 3 x + 2 x + 2 = 4 3 x 2 + 5 x + 2 = 4 3 x 2 + 5 x − 2 = 0

      Standart formda olduğunda, çarpanlara ayırabilir ve ardından her bir faktörü sıfıra eşitleyebiliriz.

      ( 3 x − 1 ) ( x + 2 ) = 0 3 x − 1 = 0 veya x + 2 = 0 3 x = 1 x = − 2 x = 1 3

      Cevap: Çözümler 1 3 ve -2'dir.


      İçindekiler

      f'nin k dereceli bir polinom olduğunu varsayalım. Q (rasyonel sayılar) ve r, f'nin karmaşık bir köküdür. Sonra, F(r) = 0 , ifade etmek için yeniden düzenlenebilir r k k'den küçük r kuvvetlerinin lineer bir kombinasyonu olarak. Bu denklem, herhangi bir gücü azaltmak için kullanılabilir. r üslü ek . örneğin, eğer F(x) = x 2 + 1 ve r hayali birim i , o zaman ben 2 + 1 = 0 veya ben 2 = -1 . Bu, karmaşık ürünü tanımlamamızı sağlar:

      ( a + b ben ) ( c + d ben ) = bir c + ( bir d + b c ) ben + ( b d ) ben 2 = ( bir c - b d ) + ( bir d + b c ) ben . =(ac-bd)+(ad+bc)i.>

      Genel olarak, bu doğrudan cebirsel sayı alanına yol açar. Q[r] tarafından verilen karmaşık sayılar kümesi olarak tanımlanabilir:

      Bu tür herhangi iki değerin çarpımı, çarpımı polinomlar olarak alarak ve ardından herhangi bir kuvveti azaltarak hesaplanabilir. r üslü ek yukarıda açıklandığı gibi, aynı biçimde bir değer verir. Bu alanın gerçekte k boyutlu olduğundan ve daha da küçük bir alana çökmediğinden emin olmak için f'nin rasyoneller üzerinde indirgenemez bir polinom olması yeterlidir. Benzer şekilde, bir tamsayı halkası tanımlanabilir ÖQ[r] alt kümesi olarak Q[r] tamsayı katsayılı monik polinomların kökleridir. Bazı durumlarda, bu tamsayı halkası, halkaya eşdeğerdir. Z[r] . Ancak, aşağıdakiler gibi birçok istisna vardır: Q[ √ d ] d 1 modulo 4'e eşit olduğunda. [2]

      iki polinom F(x) ve G(x) küçük dereceler NS ve e tamsayı katsayıları olan, rasyoneller üzerinden indirgenemez olan ve yorumlandığında mod olan seçilir. n, ortak bir tamsayı köküne sahip m. Bu polinomları seçmek için en uygun strateji bilinmemektedir, basit bir yöntem bir derece seçmektir. NS bir polinom için, açılımını düşünün n tabanda m (arasındaki rakamlara izin vererek -m ve m) bir dizi farklı için m düzenin n 1/NS , ve seç F(x) en küçük katsayılara sahip polinom olarak ve G(x) olarak xm.

      Sayı alanı halkalarını düşünün Z[r1] ve Z[r2], nerede r1 ve r2 polinomların kökleridir F ve G. O zamandan beri F derece NS tamsayı katsayıları ile, eğer a ve B tamsayılar, o zaman öyle olacak B NS ·F(a/B), dediğimiz r. Benzer şekilde, s = B e ·G(a/B) bir tamsayıdır. Amaç, tamsayı değerlerini bulmaktır. a ve B aynı anda yapan r ve s seçilen asal tabana göre düzgün. Eğer a ve B küçükler o zaman r ve s boyutu hakkında da küçük olacak mve aynı zamanda pürüzsüz olmaları için daha iyi bir şansımız var. Bu arama için mevcut en iyi bilinen yaklaşım, kabul edilebilir verimler elde etmek için kafes elemedir, büyük bir faktör tabanı kullanmak gerekir.

      Yeterli sayıda çifte sahip olmak, Gauss eleme yöntemini kullanarak, belirli r ve karşılık gelen s aynı anda kareler olmak. Biraz daha güçlü bir koşul gereklidir - sayı alanlarımızdaki karelerin normlarıdır, ancak bu koşul bu yöntemle de elde edilebilir. Her biri r bir normdur ar1B ve dolayısıyla ilgili faktörlerin ürünü ar1B içinde bir kare Z[r1], belirlenebilen bir "kare kök" ile (bilinen faktörlerin bir ürünü olarak Z[r1])—tipik olarak irrasyonel bir cebirsel sayı olarak temsil edilecektir. Benzer şekilde, faktörlerin ürünü ar2B içinde bir kare Z[r2], aynı zamanda hesaplanabilen bir "kare kök" ile. Gauss eliminasyonu kullanımının algoritmanın optimal çalışma süresini vermediğine dikkat edilmelidir. Bunun yerine Block Lanczos veya Block Wiedemann gibi seyrek matris çözme algoritmaları kullanılır.

      O zamandan beri m ikisinin köküdür F ve G mod n, halkalardan homomorfizmalar var Z[r1] ve Z[r2] halkaya Z/nZ (tamsayılar modulo n), hangi harita r1 ve r2 ile m, ve bu homomorfizmalar her bir "kare kökü" (tipik olarak rasyonel bir sayı olarak gösterilmez) tamsayı temsilcisine eşler. Şimdi faktörlerin ürünü amb mod n her homomorfizma için bir tane olmak üzere iki şekilde kare olarak elde edilebilir. Böylece iki sayı bulunabilir. x ve y, ile birlikte x 2 − y 2 ile bölünebilir n ve yine olasılıkla en az bir yarıda bir faktör elde ederiz. n en büyük ortak bölenini bularak n ve xy.

      Polinom seçimi, algoritmanın geri kalanını tamamlama süresini önemli ölçüde etkileyebilir. Yukarıda gösterilen m tabanında n'nin genişlemesine dayanan polinomları seçme yöntemi, birçok pratik durumda yetersizdir ve daha iyi yöntemlerin geliştirilmesine yol açar.

      Böyle bir yöntem Murphy ve Brent [3] tarafından önerildi, polinomlar için köklerin modulo küçük asallarının varlığına ve polinomun eleme alanını aldığı ortalama değere dayanan iki parçalı bir puan getirdiler.

      Bildirilen en iyi sonuçlar [4] Thorsten Kleinjung'un [5] yöntemiyle elde edilmiştir. G(x) = balta + B , ve 1 modulo 2 ile uyumlu küçük asal faktörlerden oluşan bir arama yapar NS ve 60'a bölünebilen f'nin önde gelen katsayıları.

      Bazı uygulamalar, belirli bir daha küçük sayı sınıfına odaklanır. Bunlar, Cunningham projesinde kullanılanlar gibi özel sayı alan elek teknikleri olarak bilinir. NFSNET adlı bir proje 2002'den [6] en az 2007'ye kadar sürdü. İnternette gönüllü dağıtılmış bilgi işlem kullandı. [7] Birleşik Krallık'tan Paul Leyland ve Teksas'tan Richard Wackerbarth dahil oldu. [8]

      2007 yılına kadar, altın standart uygulama, CWI tarafından Hollanda'da geliştirilen ve dağıtılan ve yalnızca nispeten kısıtlayıcı bir lisans altında mevcut olan bir yazılım paketiydi. [ kaynak belirtilmeli ] 2007'de Jason Papadopoulos, kamuya açık olan msieve'in bir parçası olarak son işlemenin daha hızlı bir uygulamasını geliştirdi. Her iki uygulama da, yeterince hızlı bir ara bağlantıya sahip bir kümedeki birkaç düğüm arasında dağıtılma özelliğine sahiptir.

      Polinom seçimi normalde Kleinjung tarafından yazılmış GPL yazılımı veya msieve tarafından gerçekleştirilir ve kafes eleme, Franke ve Kleinjung tarafından yazılmış GPL yazılımı tarafından yapılır, bunlar GGNFS'de dağıtılır.


      Polinomları Çarpanlara Ayırma Teknikleri

      Bu derslerde, polinomları çarpanlarına ayırmanın farklı temel tekniklerini öğreneceğiz.

      Bu, bir dizi ücretsiz Temel Cebir Dersinin bir parçasıdır. Burada ele alacağımız

      • en büyük ortak çarpanı dışlayarak bir polinom nasıl çarpanlarına ayrılır.
      • Bir polinomun gruplandırılarak çarpanlara ayrılması.
      • tam kareler farkı nasıl çarpanlarına ayrılır.
      • üç terimlileri çarpanlarına ayırma a = 1
      • üç terimlileri çarpanlarına ayırma a >1

      Aşağıdaki diyagram, Faktoring Tekniklerinin bazı örneklerini göstermektedir. Faktoring tekniklerinin daha fazla örneği ve çözümü için sayfayı aşağı kaydırın.


      En Büyük Ortak Faktörler

      Polinomlar ve karmaşık kesirler ile çalışırken, en büyük ortak faktörleri anlamak ve bulabilmek önemlidir. En büyük ortak faktörleri bulabilmek, gruplandırarak üç terimlileri çarpanlara ayırırken yardımcı olacaktır. Çarpanlara ayırırken, iki tamsayının en büyük ortak çarpanlarını veya iki karmaşık ifadenin en büyük ortak çarpanlarını bulabiliriz.

      En büyük ortak faktörü çarpanlarına ayırma.

      Gruplandırmaya Göre Faktör

      Tam Karelerin Farkı

      Polinomları çarpanlarına ayırmaya çalışırken önemli bir özel durum, tam karelerin farkını belirlemektir. Özel, kolayca çarpanlarına ayrılmış bir forma sahip oldukları için tam karelerin farkını tanımayı öğreniyoruz. İki terimlilerin çarpımını kolaylaştırmak için çarpanlara ayrılmış biçimi tanımak da önemlidir. Kusursuz karelerin farkını kolayca tanımak, tam karelerin farkı olmayan ikinci dereceden sayıları çarpanlarına ayırırken kullanışlıdır.

      İki Kare Farkını Çarpanlara Ayırma - Ör 1

      İki Kare Farkını Çarpanlara Ayırma - Ör 2

      İki Kare Farkını Çarpanlara Ayırma - Ör 3

      Üç terimlileri çarpanlara ayırma, a = 1

      Bir üç terimli veya ikinci dereceden bir ifade verildiğinde, onu çarpanlara ayırma ve basitleştirme amaçları için yararlı olabilir. Önde gelen katsayı (kare terimindeki katsayı) bir olduğunda üç terimlileri çarpanlara ayırmak en kolayıdır. Daha karmaşık bir durum, önde gelen katsayı bir olmadığında üç terimlileri çarpanlara ayırmaktır. Üç terimlileri çarpanlara ayırmak için katsayılarının çarpanlarını bulmayı içeren yöntemler kullanırız.

      Önde Gelen Katsayısı 1 Olan Bir Üç Terimli Faktoring - Temel Bilgiler

      Temel Üç terimlileri a = 1 ile çarpanlara ayırma

      &ldquoa&rdquo Bire Eşit Olmayan Üç Terimleri Faktoring

      Üç terimlileri çarpanlarına ayırmayı öğrenmenin son adımlarından biri, "bire eşit olmayan&ldquoa&rdquo ile üç terimlileri çarpanlarına ayırmaktır. Bu durumda, &ldquoa&rdquo öncü katsayı veya kare terimin katsayısıdır. &ldquoa&rdquo bire eşit olmayan üç terimleri çarpanlarına ayırırken, &ldquoa&rdquo bir olduğunda kullanılan yöntemleri kullanmaya ek olarak, çarpanlara ayrılmış iki terimlilerin terimlerini bulurken &ldquoa&rdquo çarpanlarını da hesaba katmalıyız.

      Bu video, gruplama yöntemini kullanarak önde gelen katsayı 1'e eşit olmadığında bir üç terimliyi nasıl çarpanlarına ayıracağınıza dair örnekler sağlar.

      Öncü Katsayı 1'e Eşit Değilse, Deneme Hata Yöntemi Kullanılarak Bir Üç Terim Nasıl Faktöre Alınır?

      Baştaki katsayı 1'e eşit olmadığında aşağıdan yukarıya yöntemini kullanarak bir üç terimliyi nasıl çarpanlarına ayıracağınıza ilişkin örnekler

      Çeşitli matematik konularını uygulamak için aşağıdaki ücretsiz Mathway hesap makinesini ve problem çözücüyü deneyin. Verilen örnekleri deneyin veya kendi probleminizi yazın ve adım adım açıklamalarla cevabınızı kontrol edin.

      Bu site veya sayfayla ilgili geri bildirimlerinizi, yorumlarınızı ve sorularınızı bekliyoruz. Lütfen geri bildiriminizi veya sorularınızı Geri Bildirim sayfamız aracılığıyla gönderin.


      Örnek 4

      faktör x 3 + 2x 2 - 4x - 8

      Polinomdaki gerçekler zaten sıralıdır, bu nedenle doğrudan gruplama adımına geçebiliriz.

      (x 3 + 2x 2 ) + (-4x - 8)

      Dörtlü ile - işaretini nasıl tuttuğuma ve iki grubu nasıl birbirine eklediğime dikkat edin. Şimdi, ikinci gruptaki her iki terim de negatif olduğundan, bunun üzerinden -4'ü çarpanlarına ayıracağım.

      x 2 (x + 2) - 4(x + 2)

      Şimdi çarpanlara ayırabilirim x + 2 almak için

      Şimdi, yakından bakarsanız x 2 - 4, "Üç terimleri Faktoring 1" dersindeki teknikleri kullanarak daha fazla çarpanlara ayrılabileceğini göreceksiniz.

      (x - 2)(x + 2)(x + 2)

      Cevabı gerçekten basitleştirmek istiyorsanız, son iki faktör bir araya getirilerek bize


      Üç terimleri Gruplandırarak Faktoring

      Bu derslerde, üç terimlileri gruplandırarak çarpanlarına ayırmayı öğreneceğiz.

      Üç terimlileri gruplayarak çarpanlarına ayırırken, önce orta terimi iki terime ayırırız. Daha sonra terim çiftlerini yeniden yazıyoruz ve ortak çarpanı çıkarıyoruz.

      Aşağıdaki diyagram, gruplandırarak bir üç terimliyi çarpanlara ayırmanın bir örneğini göstermektedir. Üç terimlileri gruplandırarak nasıl çarpanlarına ayıracağınıza ilişkin daha fazla örnek ve çözüm için sayfayı aşağı kaydırın.


      Örnek:
      Aşağıdaki üç terimliyi gruplama yöntemini kullanarak çarpanlarına ayırın.
      x 2 + 6x + 8

      Çözüm:
      Adım 1: Ürün ac'yi bulun:
      (1)(8) = 8

      Adım 2: Toplamları 6 olan iki 8 çarpanını bulun:
      4 ve 2

      Adım 3: 6x'i 2x ve 4x'in toplamı olarak yazın:
      x 2 + 2x + 4x + 8

      Adım 4: İki terim çiftini gruplayın:
      (x 2 + 2x) + (4x + 8)

      Adım 5: Her gruptan ortak çarpanları çıkarın:
      x(x + 2) + 4(x + 2)

      Adım 6: Parantez içindeki iki miktar artık aynı olduğundan. Bu, (x + 2) ortak bir faktörünü dışlayabileceğimiz anlamına gelir:
      (x + 4)(x + 2)

      Örnek:
      Aşağıdaki üç terimliyi gruplama yöntemini kullanarak çarpanlarına ayırın.
      5x 2 - 13x + 6

      Çözüm:
      Adım 1: Ürün ac'yi bulun:
      (5)(6) = 30

      Adım 2: Toplamı 13 olan 30'un iki faktörünü bulun:
      3 ve 10

      Adım 3: -13x'i -3x ve -10x'in toplamı olarak yazın:
      5x 2 - 3x - 10x + 6

      Adım 4: İki terim çiftini gruplayın:
      (5x 2 - 3x) - (10x + 6)

      Adım 5: Her gruptan ortak çarpanları çıkarın:
      x(5x - 3) - 2(5x - 3)

      Adım 6: Parantez içindeki iki miktar artık aynı olduğundan. Bu, (x - 2)'nin ortak bir faktörünü dışlayabileceğimiz anlamına gelir:
      (x - 2)(5x - 3)

      Üç terimlileri gruplandırarak nasıl çarpanlarına ayırabilirim?

      Örnek:
      Faktör 12x 2 + 34x + 10

      Gruplandırmaya Göre Faktör Üçlü
      Faktör: 6x 2 + 15x - 21

      Faktör Trinomial, GCF Ve Sonra Gruplama Yöntemi
      Faktör: -6x 2 + 60x - 28

      Üç terimlileri Faktoring: Gruplama Yöntemi
      Faktör: 8x 2 + 35x + 12

      GCF ve Gruplandırma Yöntemi kullanılarak Üç terimlileri nasıl çarpanlarına ayırabilirim?
      Faktör: 6x 2 - 3x - 45

      Çeşitli matematik konularını uygulamak için aşağıdaki ücretsiz Mathway hesap makinesini ve problem çözücüyü deneyin. Verilen örnekleri deneyin veya kendi probleminizi yazın ve adım adım açıklamalarla cevabınızı kontrol edin.

      Bu site veya sayfayla ilgili geri bildirimlerinizi, yorumlarınızı ve sorularınızı bekliyoruz. Lütfen geri bildiriminizi veya sorularınızı Geri Bildirim sayfamız aracılığıyla gönderin.


      İçindekiler

      Arka Plan Düzenleme

      Bir binomun karesini hesaplamak için temel cebirdeki formül:

      Herhangi bir tam karede, katsayısı x sayının iki katıdır P, ve sabit terim eşittir P 2 .

      Temel örnek Düzenle

      Aşağıdaki ikinci dereceden polinomu göz önünde bulundurun:

      28, 5'in karesi olmadığından, bu ikinci dereceden bir tam kare değildir:

      Ancak, orijinal ikinci dereceden bu karenin toplamı ve bir sabit olarak yazmak mümkündür:

      buna denir kareyi tamamlamak.

      Genel açıklama Düzenle

      aynı ilk iki terime sahip bir kare oluşturmak mümkündür:

      Bu kare, orijinal ikinci dereceden yalnızca sabit terimin değerinde farklıdır. Bu nedenle yazabiliriz

      Monik olmayan durum Düzenle

      Formun ikinci dereceden bir polinomu verildi

      katsayısını dışlamak mümkündür ave ardından elde edilen monik polinomun karesini tamamlayın.

      Bu, herhangi bir ikinci dereceden polinomun formda yazılmasına izin verir.

      Formül Düzenleme

      Skaler durum Düzenle

      Kareyi tamamlamanın sonucu bir formül olarak yazılabilir. Genel durum için: [1]

      Spesifik olarak, ne zaman a = 1:

      Matris vakası Düzenle

      Matris durumu çok benzer görünüyor:

      Analitik geometride, herhangi bir ikinci dereceden fonksiyonun grafiği, bir paraboldür. xy-uçak. Formun ikinci dereceden bir polinomu verildi

      sayılar H ve k parabolün tepe noktasının (veya sabit noktasının) Kartezyen koordinatları olarak yorumlanabilir. Yani, H bu x- simetri ekseninin koordinatı (yani simetri ekseninin denklemi vardır) x = h), ve k minimum değerdir (veya maksimum değer, eğer a < 0) ikinci dereceden fonksiyonun.

      Bunu görmenin bir yolu, fonksiyonun grafiğinin ƒ(x) = x 2, tepe noktası orijin (0, 0) olan bir paraboldür. Bu nedenle, fonksiyonun grafiği ƒ(xH) = (xH) 2 ile sağa kaydırılan bir parabol H kimin köşesi (H, 0) üstteki şekilde gösterildiği gibi. Buna karşılık, fonksiyonun grafiği ƒ(x) + k = x 2 + k tarafından yukarı kaydırılan bir parabol k tepe noktası (0, k), ortadaki şekilde gösterildiği gibi. Hem yatay hem de dikey vardiya verimlerini birleştirmek ƒ(xH) + k = (xH) 2 + k tarafından sağa kaydırılan bir parabol H ve yukarı doğru k kimin köşesi (H, k), alttaki şekilde gösterildiği gibi.

      Kareyi tamamlamak, herhangi bir ikinci dereceden denklemi çözmek için kullanılabilir. Örneğin:

      İlk adım kareyi tamamlamaktır:

      Sonra kare terimini çözeriz:

      Bu herhangi bir ikinci dereceden denkleme uygulanabilir. Ne zaman x 2, 1'den farklı bir katsayıya sahiptir, ilk adım denklemi bu katsayıya bölmektir: bir örnek için aşağıdaki monik olmayan duruma bakın.

      İrrasyonel ve karmaşık kökler

      Yalnızca köklerin rasyonel olması durumunda güvenilir olan denklemi çarpanlara ayırmayı içeren yöntemlerin aksine, kareyi tamamlamak, bu kökler irrasyonel veya karmaşık olsa bile ikinci dereceden bir denklemin köklerini bulacaktır. Örneğin, denklemi düşünün

      Kareyi tamamlamak verir

      Karmaşık köklü denklemler de aynı şekilde ele alınabilir. Örneğin:

      Monik olmayan vaka Düzenle

      Monik olmayan bir ikinci dereceden içeren bir denklem için, onları çözmenin ilk adımı, katsayısına bölmektir. x 2. Örneğin:

      Bu prosedürü ikinci dereceden bir denklemin genel formuna uygulamak, ikinci dereceden formüle yol açar.

      Entegrasyon Düzenleme

      Kareyi tamamlamak, formun herhangi bir integralini değerlendirmek için kullanılabilir.

      temel integralleri kullanarak

      Örneğin, integrali düşünün

      Paydadaki kareyi tamamlamak şunları verir:

      Bu artık ikame kullanılarak değerlendirilebilir sen = x + 3, hangi verim

      Karmaşık sayılar Düzenle

      nerede z ve B karmaşık sayılardır, z * ve B * karmaşık eşlenikleridir z ve B, sırasıyla ve C gerçek bir sayıdır. Kimliği kullanma |sen| 2 = uu * bunu şu şekilde yeniden yazabiliriz

      ki bu açıkça gerçek bir miktardır. Bunun nedeni ise

      Başka bir örnek olarak, ifade

      nerede a, B, C, x, ve y ile gerçek sayılardır a > 0 ve B > 0, bir karmaşık sayının mutlak değerinin karesi cinsinden ifade edilebilir. Tanımlamak

      Idempotent matrisi Düzenle

      bir matris m ne zaman idempotent m 2 = m. İdempotent matrisler, 0 ve 1'in idempotent özelliklerini genelleştirir. Denklemi adreslemek için kare yönteminin tamamlanması.

      bazı idempotent 2 × 2 matrislerin (a,B)-uçak:

      İçinde (a,B)-düzlem, bu, merkezi (1/2, 0) ve yarıçapı 1/2 olan bir dairenin denklemidir.

      Denklemin karesini tamamlamayı düşünün

      O zamandan beri x 2, bir kenar uzunluğu olan bir karenin alanını temsil eder x, ve sevgili kenarları olan bir dikdörtgenin alanını temsil eder B ve x, kareyi tamamlama süreci, dikdörtgenlerin görsel manipülasyonu olarak görülebilir.

      Birleştirmek için basit girişimler x 2 ve sevgili dikdörtgenler daha büyük bir kareye dönüştürülür, eksik bir köşeye neden olur. Dönem (B/2) Yukarıdaki denklemin her iki yanına eklenen 2 tam olarak eksik köşenin alanıdır, buradan "kareyi tamamlama" terminolojisi türetilir.

      Geleneksel olarak öğretildiği gibi, kareyi tamamlamak üçüncü terimi eklemekten ibarettir, v 2 ila

      bir kare elde etmek için. Orta terimi ekleyebileceğiniz durumlar da vardır, ya 2UV veya -2UV, ile

      Örnek: pozitif bir sayının toplamı ve karşılıklı

      pozitif bir sayının toplamının olduğunu gösteriyoruz x ve tersi her zaman 2'den büyük veya eşittir 2'ye eşit veya büyüktür. x 1, karenin kaybolmasına neden oluyor.

      Örnek: basit bir kuartik polinomu çarpanlara ayırma

      Polinomu çarpanlara ayırma problemini düşünün

      yani orta terim 2(x 2 )(18) = 36x 2. Böylece elde ederiz

      (son satır, yalnızca azalan terim dereceleri uzlaşımını takip etmek için eklenmiştir).


      Örnek 1: Bir Üç Terimli Faktoring

      Üç terimliyi çarpanlara ayırın: 3x 2 - 24x - 8.

      İlk adımımız problemi "kurmak", böylece bu üç terimi gruplandırarak çarpanlara ayırabiliriz. Gruplandırarak çarpanlara ayırmak için, üç terimliyi dört terimle yeniden yazmamız gerekecek. Bunun nasıl yapıldığına çok dikkat edin.

      İlk önce iki "Sihirli Sayı" tanımlamamız gerekiyor. Bu sayıları aşağıdaki yöntemi kullanarak bulacağız:

      İki "sihirli sayıyı" nasıl bulduğumuzu fark ettiniz mi ve bunlar bize dört terimli üç terimlileri yeniden yazmamıza yardımcı oldular. Umarım dört terimli yeni polinomun hala orijinal üç terimlilere eşdeğer olduğunu fark etmişsinizdir. Benzer terimleri birleştirdiğinizde, orijinal üç terimde bulunan aynı orta terimle sonuçlanırız.

      Dört terimli yeni bir kurulumunuz olduğunda, bu üç terimi çarpanlara ayırmaya devam etmek için gruplama yöntemini kullanabilirsiniz. Tahmin et ve kontrol et yönteminden çok daha kolay olduğunu düşünüyorum ve umarım siz de yaparsınız!

      Now we will take a look at one more example. In this example take note of the my very first step.


      Graphing Polynomial Functions

      To sketch any polynomial function, you can start by finding the real zeros of the function and end behavior of the function .

      Steps involved in graphing polynomial functions:

      1 . Predict the end behavior of the function.

      2. Find the real zeros of the function. Check whether it is possible to rewrite the function in factored form to find the zeros. Otherwise, use Descartes' rule of signs to identify the possible number of real zeros.

      3. Make a table of values to find several points.

      4. Plot the points and draw a smooth continuous curve to connect the points.

      5. Make sure that the graph follows the end behavior as found in the above step.

      Graph the polynomial function x 3 &minus 2 x 2 &minus 3 x .

      Predict the end behavior of the function.

      The degree of the polynomial function is odd and the leading coefficient is positive.

      The degree of the polynomial is 3 and there would be 3 zeros for the functions.

      The function can be factored as x ( x + 1 ) ( x &minus 3 ) . So, the zeros of the functions are x = &minus 1 , 0 and 3 .


      Videoyu izle: İkinci Dereceden İfadeleri Tam Kare Olarak Yazma Matematik. Cebir (Aralık 2021).