Nesne

2: Oranların Tanıtımı - Matematik


2: Oranların Tanıtımı - Matematik

Örnek Matematik Ünite 6.2, Ders 1: Oranlar ve Oran Dilinin Tanıtımı

Oranlar ve iki nicelik arasındaki ilişkiyi kelimelerle nasıl tanımlayacağınız hakkında daha fazla bilgi edinin. Soruları denedikten sonra cevapları ve açıklamaları metin veya video olarak görüntülemek için butonlara tıklayın.

Oranlar ve Oran Dili Tanıtımı

Aynı anda iki miktarı tanımlayalım.

1.1 - Ne Tür ve Kaç Adet?


  1. Bu seti renge (ve desene) göre sıralarsanız, kaç grubunuz olur?
  2. Bu seti alana göre sıralarsanız, kaç grubunuz olur?
  3. Bu rakamları sıralamanın üçüncü bir yolunu düşünün. Hangi kategorileri kullanırdınız? Kaç grubunuz olurdu?
  1. 4 grup olacaktır: beyaz (düz), yeşil (çapraz çizgiler), sarı (şeritler) ve mavi (noktalar).
  2. 4 grup olacaktır: 2 kare, 3 kare, 4 kare ve 5 kare.
  3. Bu rakamları sıralamanın olası bir üçüncü yolu şekle göre olacaktır. 7 farklı şekil vardır (belirli bir şeklin farklı dönüşleri 1 şekil olarak sayılır).

1.2 - Öğretmen Koleksiyonu

(1) Öğretmeninizin koleksiyonunu iki veya üç kategoriye ayırmanın bir yolunu düşünün. Kategorilerinizi tablonun en üst satırına, miktarları ise ikinci satıra kaydedin.

Kategori adı
kategori miktarı

(2) Koleksiyondaki oranları tanımlayan en az iki cümle yazın. Unutmayın, bir oranı cümle olarak yazmanın birçok yolu vardır:

  • Oranı bir kategori ile başka bir kategori ________ ila ________.
  • Oranı bir kategori ile başka bir kategori dır-dir ________ : ________.
  • _______ vardır bir kategori her _______ için başka bir kategori.

(3) İfadelerinizden birini açıkça gösteren öğelerinizin görsel bir gösterimini yapın. Gösterinizi sınıfla paylaşmaya hazır olun.

A oran bir iki veya daha fazla miktar arasındaki ilişki. Bunu, kategoriler arasındaki nesne miktarlarını karşılaştırmak için kullanabiliriz.

Kategori adı küçük orta büyük
kategori miktarı 6 6 3

(2) oranı küçük ile büyük klipler 6:3'tür.
6 tane var orta boy klipler her 3 için büyük klipler

(2) Az önce renklendirdiğiniz dikdörtgenin alanı 24 birim karedir.
Alanı 24 birim kare olmayan, ancak 2:1 oranında iki renkle gölgelenebilen farklı bir şekil çizin. Yeni şeklinizi iki renk kullanarak gölgelendirin.

(1)

Her 8 mavi kare için 16 kırmızı kare vardır ve bu her 1 mavi kare için 2 kırmızı kareye eşittir.

(2)

Her 4 mavi kare için 8 kırmızı kare vardır ve bu her 1 mavi kare için 2 kırmızı kareye eşittir.

1. Ders Özeti

Koleksiyonu tanımlamanın bazı doğru yolları şunlardır:

Her 1 daire için 2 kare vardır.
Her 2 kare için 1 daire vardır.

Sözlük Terimleri

oran: oran, iki veya daha fazla nicelik arasındaki ilişkidir.

Alıştırma Problemleri

(1) Bir meyve sepetinde 9 muz, 4 elma ve 3 erik vardır.

  1. Muzların elmalara oranı ________ : ________.
  2. Eriklerin elmalara oranı ________ ila ________.
  3. Her ________ elma için ________ erik vardır.
  4. Her 3 muz için bir ________ vardır.
  1. Muzların elmalara oranı 9: 4'tür.
  2. Eriklerin elmalara oranı 3'e 4'tür.
  3. Her 4 elma için 3 erik vardır.
  4. Her 3 muz için bir erik vardır.

Gözlerin bacaklara oranı 4:8'dir.

Her 1 göz için 2 bacak vardır.

(4) Her miktar için uygun bir ölçü birimi seçin: cm, cm 2 veya cm3.

  1. bir dikdörtgenin alanı
  2. prizmanın hacmi
  3. bir karenin kenarı
  4. karenin alanı
  5. bir küpün hacmi
  1. bir dikdörtgenin alanı: cm 2 (2 boyutlu)
  2. prizmanın hacmi: cm 3 (3 boyutlu)
  3. karenin bir kenarı: cm (1 boyutlu)
  4. karenin alanı: cm 2
  5. bir küpün hacmi: cm3

(5) Her prizmanın hacmini ve yüzey alanını bulun.

C. Prizmaların hacimlerini ve ardından yüzey alanlarını karşılaştırın. Hacmi daha büyük olan prizmanın yüzey alanı da daha büyük mü?

a. Hacim = 3 3 cm3 = 27 cm3
Yüzey alanı = 6(3 2 ) = 54 cm 2

B. Hacim = 5 × 5 × 1 = 25 cm3
Yüzey alanı = 2(5 × 5) + 4(5) = 70 cm 2

C. Hayır. Prizma A daha büyük bir hacme sahiptir, ancak Prizma B daha büyük bir yüzey alanına sahiptir.

A, C ve D üçgen prizmalardır.

Prizmaların, dikdörtgen yüzlerle birbirine bağlanan iki uyumlu tabandan oluşan çokyüzlüler olduğunu ve prizmaların isimlerini tabanlarının şeklinden aldığını hatırlayın. B beşgen bir prizmadır. E dikdörtgen bir piramittir.

Open Up Resources matematik müfredatı Open Up Resources web sitesinden ücretsiz olarak indirilebilir ve Illustrative Mathematics'ten de edinilebilir.

Çeşitli matematik konularını uygulamak için aşağıdaki ücretsiz Mathway hesap makinesini ve problem çözücüyü deneyin. Verilen örnekleri deneyin veya kendi probleminizi yazın ve adım adım açıklamalarla cevabınızı kontrol edin.

Bu site veya sayfayla ilgili geri bildirimlerinizi, yorumlarınızı ve sorularınızı bekliyoruz. Lütfen geri bildiriminizi veya sorularınızı Geri Bildirim sayfamız aracılığıyla gönderin.


Oranların geliştirilmesi ve anlaşılması

Öğrencilere oranın iki nicelik arasındaki ilişkiyi ifade ettiğini açıklayarak başlayın. Oranlar, aynı tür şeylerin iki ölçüsünü karşılaştırır (burada sınıftan bir örnek kullanın: erkeklere kızlara, öğretmenden öğrencilere) Öğrencilere kendi başlarına birkaç tane bulmaları için zaman tanıyın. Ardından, öğrencilerin bu oranın ne anlama geldiğini açıklamasını sağlayın. Örnek olarak sınıftaki her 4 kıza 5 erkek var demelerini istiyorum. Öğrencilerin oranlarını ve anlamlarını bir ortakla paylaşmalarını sağlayın. Öğrenciler paylaşımda bulunurken, her ___ için ___ veya dışında gibi kelimeler kullanmalarını dinleyin. Öğrenciler dille çalışmak için zaman bulduktan sonra oran ilişkilerini tartışmaya başlayın. Öğrenmeyi daha da genişletmek için birkaç örnek ekledim. Her problem, öğrencilerden bunun ne anlama geldiği hakkında bir açıklama yapmalarını isteyecektir. Örneğin, bando sınıfındaki her öğrenciye 3 davul düşerse, bu, birçok öğrencinin bir davulu paylaşmak zorunda kalacağı ve çok fazla çalma süresi alamayacağı anlamına gelir.

Oranlar parçadan bütüne, parçadan parçaya veya bütünden parçaya olarak ifade edilebilir. Ek olarak, formatları yazma oranlarına getirin. (x:y, x/y, x'den y'ye) Bu oran ilişkisini geliştirmek öğrenciler için zor olabilir, çünkü niceliklerin sırası onları karıştırır. Miktarların yanlış yazıldığını öğrencilere göstermek farklı anlamlar taşıyacaktır. Ayrıca, öğrencilerin miktarları etiketlemeye başlaması yararlı olabilir.

Öğrenciler, farklı ilişkileri görmek için notlarını ve manipülatiflerini kullanacaklardır. Notlar onları bir senaryo ile başlatacaktır. Daha sonra oranı modellemeleri (unifix küpleri iyi çalışır) ve bunun parça-bütün mü, parça-parça mı yoksa bütün-parça ilişkisi mi olduğuna karar vermeleri ve ardından oranı farklı formatlarında yazmaları gerekecektir. (SMP 2)


CKMath Ünite 2: Oranların Tanıtımı

Odak: Oranlarla çalışmak, öğrencilerin sayılar ve işlemler hakkındaki ön bilgilerini genişletir. Bu ünite, aynı birimlere sahip nicelikleri içeren aritmetik problemleri anlama, temsil etme ve çözme yeteneklerinden yararlanır. Öğrenciler, oranın iki miktar arasında bir ilişki olduğunu öğrenirler, örneğin, "1 çay kaşığı içecek karışımına 2 bardak su." Öğrenciler, tarifler, boya renklerinin karışımları, sabit hız (zaman ölçümlerinin mesafe ölçümleriyle ilişkisi) ve tek biçimli fiyatlandırma (ürün miktarlarının fiyatla ilişkisi) gibi genellikle oranlarla temsil edilen bağlamları analiz eder.

Bu birim tanıtır ayrık diyagramlar ve çift ​​sayı çizgi diyagramları, öğrencilerin eşdeğer oran tablolarıyla çalışmalarından önce eşdeğer oranlar hakkında düşünmeyi desteklemek için kullandıkları temsiller. Bu ünite boyunca, matematiksel fikirlerini tartışırlar ve başkalarının fikirlerine yanıt verirler. Bir sonraki ünite olan 6. Sınıf Ünite 3: Birim Oranlar ve Yüzdeler'de, öğrenciler bu üniteden öğrendiklerini birim oran terimini ve eğer iki oran varsa bunu anlamak için genişleteceklerdir. bir: b ve c : d eşdeğer ise birim oranlar eşittir.

Ders Sayısı: 17

Ders Süresi: Yaklaşık 45 dakika. Lütfen her dersin bir öğretim bloğu için tasarlandığını ve öğretmen hızına ve öğrenci ihtiyaçlarına göre kısa bölümlere ayrılabileceğini unutmayın.

Ek Arama Terimleri:

diyagram • reçete • parti • karışım • kontrol (cevap) • eşdeğer • onay işareti • temsil • başına • birim fiyat • ne kadar • oran • metre/saniye • sabit hız • tablo • satır • sütun • hesaplama • parçalar • varsayalım • matematiksel uygulamalar


Dersin Tanıtımı

Bir sınıf anketi yapmak için beş ila 10 dakika ayırın. Sınıfınızla ilgili zaman ve yönetim sorunlarınıza bağlı olarak, soruları sorabilir ve bilgileri kendiniz kaydedebilir veya öğrencilerin anketi kendilerinin tasarlamasını sağlayabilirsiniz. Aşağıdakiler gibi bilgileri toplayın:

  • Sınıftaki kahverengi gözlülere göre mavi gözlü kişi sayısı
  • Kumaş bağlantı elemanına kıyasla ayakkabı bağı olan kişi sayısı
  • Uzun kollu ve kısa kollu kişi sayısı

İstasyonlar

Öğrenciler bu ders boyunca 3 İstasyon arasında dönüş yapacaklardır. Bilgisayarlarda bağımsız olarak ve benimle küçük gruplar halinde çalışacaklar. Küçük gruplar yaklaşık 8 öğrenciden oluşur. Bilgisayar/öğrenci sahibi olmak gerekli olacaktır. İstasyonları seviyorum çünkü daha az öğrenciyle çalışırken anlamayı değerlendirmek için her öğrenciyle oturmama izin veriyor.

Öğrenciler, oranların dilini geliştirmek için benimle birlikte çalışacaklar. Bu, önceki günlerin öğrenmesinin bir devamıdır. Amacım onlara oranlara daha fazla maruz kalmalarını sağlamak, böylece anlayış derinleşiyor. Onlara verdiğim her oran için, onu tek sabit küplerle (veya diğer manipülatiflerle) modellemeleri, ilişkisini tanımlamaları, ne anlama geldiğini açıklamaları ve öğrenmeyi genişletmek için başka bir şekilde açıklamalarını istiyorum (eşdeğer oranlar) ). Her öğrenci aynı anda aynı problem üzerinde çalışacak, böylece herhangi bir ilgi alanını kolayca değerlendirebilirim. Örneğin, 8 $'a 4 I melodi indirmesi satın alabiliyorsanız, onların oranı manipülatiflerle modellemelerini istiyorum, o zaman öğrenciler "Satın alabileceğim her 4 I melodi için 8 $ ödemem gerekiyor. başka bir şekilde modelleyip modelleyemeyeceklerini görmek için manipülatiflere tekrar bakmaları gerekir.Öğrenciler şunu görmelidirler "Her 1 I melodi indirilmesi için 2$ ödemek zorundalar. Bu tür öğrenme destekler matematiksel uygulamalar 2 ve 5. Onları tetikleyebilecek tek oran, Trident problemi gibi 5 dişçiden 4'ü. Bu problem basitleştirilemez, bu yüzden örüntüyü devam ettirerek eşdeğer bir oran yapmak zorunda kalacaklar.

Bağımsız istasyon: Teneffüste oyunlar: Öğrenciler açıklayıcı matematik.org'dan bir problem üzerinde çalışacaklar. Sorun, bir orana bakmalarını ve onu farklı senaryolar için değiştirmek üzere manipüle etmelerini sağlıyor. Sorunun orijinal versiyonunu ekliyorum. Öğrencilerin düşünme ve anlamalarını görseller ve açıklamalar kullanarak modellemeleri gerekecektir. Öğrenci öğreniminin kanıtı için bunu öğrencilerden toplayın.

Bilgisayarlar: Önceki günün öğreniminden aynı videoyu kullanacağım. Bu sefer öğrenciler videoyu izleyecek ve bağımsız çalışacaklar. Yönetim ipucu: Bilgisayar istasyonu sırasında, bilgisayar ekranının her zaman bana dönük olmasını isterim, böylece ne yaptıklarını izleyebilirim.


Oran nedir?

Matematikte oran, iki veya daha fazla niceliğin boyutunu birbirine göre karşılaştırmak için kullanılan bir araç olarak tanımlanır. Oranlar, nicelikleri yorumlamayı kolaylaştırarak ölçmemizi ve ifade etmemizi sağlar.

Oran, payın öncül olarak adlandırıldığı ve paydanın sonuç olarak adlandırıldığı bir tür kesirdir. Oranı belirtmek için iki nokta üst üste işareti (:) kullanırız. Örneğin 3: 4, 1: 3, 5:7, 1:1 vb. oranlara örnektir.

Şimdi oranların bazı özelliklerine bir göz atalım.

  • Oranlar yalnızca aynı birimin miktarlarını temsil eder.
  • Oranlar boyutsuzdur.
  • Cümledeki ilk öğe bir oranda önce gelir.
  • Eşdeğer oranlar, denk karşılık gelen kesirlere sahiptir.
  • a: b gibi bir oranda, a öncüldür ve b sonuçtur
  • Bir oranda öncül ve sonuç konumları değiştirilemez.
  • Oranlar, birden çok miktarı temsil etmek için kullanılabilir. Örneğin, a:b:c:d…

Birinci Adım: Oranları Tanıtın

Öğrencilere nesneleri karşılaştırmak için oranları kullanma kavramını gösterin. Öğrencilere tüm sınıf tartışması sırasında karşılaştırma yapmaları için odanın önündeki bir masada veya öğrencilerin sıralarında nesneler sağlayarak başlayın (örneğin, cetveller ve kurşun kalemler, silgiler ve işaretleyiciler vb.). Öğrencilerden her bir nesnenin sayısını saymalarını isteyin ve aşağıdaki biçimleri kullanarak nesnelerin miktarlarını karşılaştırmak için oranların nasıl yazılacağını gösterin:

Eğik çizgi kullanma (kesiri andıran): Cetveller/Kalemler veya Silgiler/İşaretçiler

İki nokta üst üste kullanma: Cetveller: Kalemler veya Silgiler: İşaretleyiciler

Oranlardaki öğeleri değiştirebilir veya öğrenciler birbirleriyle ilişkili nesnelerin sayısına göre oranlar yazarken kendinden emin görünene kadar gerektiğinde ek öğeler ekleyebilirsiniz.

İkinci Adım: Oran Turu (Öğeleri Sayma)

Öğrencilere sınıf olarak yardımcı olarak, sınıftaki ve sınıf dışındaki nesnelerin sayabilecekleri ve oranlarda kaydedebilecekleri bir liste oluşturun. Nesneler, ders kitapları gibi genel öğeleri veya romanlar, ders kitapları veya çalışma kitapları gibi belirli öğe kategorilerini içerebilir. Dışarıdaki öğeler arasında masalar ve sandalyeler, bayrak direkleri, oyun alanı ekipmanı veya kayalar ve ağaçlar gibi peyzaj öğeleri yer alabilir.

Öğrenciler mevcut öğelerin genel bir listesine sahip olduklarında, öğrencilerden saymak için listeden 20 öğe seçmelerini isteyin. Bu, öğeler arasında çeşitliliği teşvik edecek, böylece öğrenciler sayarken sınıfın farklı bölümlerinde daha az tıkanıklık olacak. Öğeleri doğru bir şekilde saymaları için öğrencilerden takımlar halinde çalışmalarını isteyebilir veya sıkıcı hale gelirse sayma işini bölebilirsiniz.

Öğrenciler öğeleri saydıktan sonra, oran oluşturmak için toplanan sayıları kullanmaya başlamak için belirlenmiş bir çalışma alanına döneceklerdir.

Üçüncü Adım: Toplanan Miktarlarla Oranlar Oluşturma ve Deneyimi Analiz Etme

Öğrenciler turlarında topladıkları sayıları kullanarak onları oranlar halinde düzenlemeye başlayacaklar. Orandaki sayıların neden daha yüksek veya daha düşük olabileceğini (masalar paylaşılabilir, sandalyeler paylaşılamaz) düşünebilmeleri için öğrencilerden nesneleri anlamlı çiftler halinde (yemek masaları ve sandalyeler gibi) gruplandırmalarını isteyin.

Öğrencilere, saydıkları 20 nesneden en az 10 oran seti oluşturmalarını söyleyin (öğrencilerin daha fazla pratiğe ihtiyacı varsa veya hızlı çalışıyor gibi görünüyorsa daha fazla). Oranlarını oluşturduktan sonra, öğrencilerden sayıların ve oranların olduğu kağıtların arkasını kullanarak aşağıdaki konulara kısaca yazarak deneyimlerini analiz etmelerini isteyin:

Nesnelerin (veya insanların) miktarlarının oranını bilmek ne zaman yardımcı olur?

Ders kitabı ve çalışma kitabı sayısı veya kullanılan veya daha az kullanılan malzeme sayısı gibi sınıfta buldukları oranlar için bazı açıklamalar nelerdir?

Sınıflarındaki mevcut öğretmen/öğrenci oranı nedir? Bu bilgiler öğrenciler ve veliler için neden faydalı olabilir?

Oranları hangi yolla yazmayı tercih ediyorlar: kesre benzemek mi yoksa iki nokta üst üste kullanmak mı? Niye ya?

Beşinci Adım (isteğe bağlı): Kısa Kapanış Tartışması

Öğrencileri deneyim bulma ve yazma oranları hakkında hızlı bir tartışmaya yönlendirmek ve yazma alıştırmasında tartıştıkları konulara birkaç yanıt vermelerini isteyebilirsiniz.


Oran Faaliyetleri

Oran, çocukların iki sayı, kişi, nesne veya aynı türden birim arasındaki ilişkiyi tam olarak anlamak için kavraması gereken önemli bir matematik kavramıdır. Oran kavramı, Oran yardımı olmadan bağımsız olarak anlaşılamaz. Çok basit bir deyişle, Oran, bir nesnenin her miktarı için başka bir nesnenin ne kadar olduğunu hesaplamaya yardımcı olur. Oran aktiviteleri Bu kavramı anlamanın ve günlük hayatımıza kolaylıkla dahil etmenin eğlenceli bir yoludur.

Basketbol Oranları

Çocuğunuz oranlar ve kesirler kavramını 'anlamayı' zor buluyorsa, anlamasına yardımcı olacak kolay bir oran etkinliği burada. Daha fazla gör

Oran Tarifleri

Çocuğunuza oranları öğretmek için yemek pişirmeyi kullanabileceğinizi biliyor muydunuz? İşte size nasıl yapılacağını gösteren eğlenceli bir oran etkinliği. Daha fazla gör

Pizza Oranları

Çocuklar bu nefis oran etkinliğine hiç karşı koyabilirler, pizzaları olduğunda nasıl yapabilirler! Daha fazla gör

Madeni Para Atma Oranları

Birçok öğrenci için oranlar matematiğin en zor kısmıdır. Sınıf için bu eğlenceli oran etkinliği ile onlara öğretin. Daha fazla gör

Eşdeğer Oranları bulabilir misiniz?

Öğrencileriniz oranları öğrenme düşüncesiyle inlemeye başlamadan önce, bu eğlenceli sınıf oranı etkinliğini deneyin. Daha fazla gör

İnsan Vücudu Oranları – 1

Basit "vücut matematiği"ni kullanarak oranlar hakkında bilgi edinmenize yardımcı olan bu eğlenceli oran etkinliğine göz atın. Daha fazlasını görün

İnsan Vücudu Oranları – 2

Basit "vücut matematiği"ni kullanarak oranlar hakkında bilgi edinmenize yardımcı olan bu eğlenceli oran etkinliğine göz atın. Daha fazlasını görün


İçindekiler

sayıların oranı A ve B şu şekilde ifade edilebilir: [6]

  • oranı A ile B
  • AB
  • A etmektir B (ardından "as C etmektir NS " aşağıya bakınız)
  • ile bir kesir A numaratör olarak ve B bölümü temsil eden payda olarak (yani, A bölü B veya A B >> ). Bu, basit veya ondalık kesir veya yüzde vb. olarak ifade edilebilir. [7]

Oran sembolü yerine genellikle iki nokta üst üste (:) kullanılır, [1] Unicode U+2236 (∶).

Sayılar A ve B bazen denir oran terimleri, ile birlikte A olmak öncül ve B olmak sonuç olarak. [8]

İki oranın eşitliğini ifade eden ifade AB ve CNS denir oran, [9] olarak yazılır AB = CNS veya ABCNS. Bu ikinci biçim, İngilizce dilinde konuşulduğunda veya yazıldığında, genellikle şu şekilde ifade edilir:

(A etmektir B) olarak (C etmektir NS).

A, B, C ve NS orantı terimleri denir. A ve NS onun denir aşırı uçlar, ve B ve C onun denir araç. Üç veya daha fazla oranın eşitliği, örneğin AB = CNS = EF, denir sürekli oran. [10]

Oranlar bazen üç veya daha fazla terimle kullanılır, örneğin on inç uzunluğundaki "ikiye dört"ün kenar uzunluklarının oranı bu nedenle

iyi bir beton karışımı (hacim birimlerinde) bazen şu şekilde ifade edilir:

Hacimce 4/1 kısım çimento-su (oldukça kuru) bir karışım için, çimentonun suya oranının 4∶1 olduğu söylenebilir. çimentonun dörtte biri (1/4) kadar su.

İkiden fazla terim içeren böyle bir oranın anlamı, sol taraftaki herhangi iki terimin oranının, sağ taraftaki karşılık gelen iki terimin oranına eşit olmasıdır.

"Oran" kelimesinin kökenini Eski Yunanca λόγος'a (logolar). İlk çevirmenler bunu Latince'ye şu şekilde çevirdiler: oran ("mantık" kelimesindeki gibi "sebep"). Daha modern bir yorum [ nazaran? ] Öklid'in anlamı daha çok hesaplamaya veya hesaplaşmaya benzer. [12] Ortaçağ yazarları orantı ("oran") oranı belirtmek için ve orantısal değerler ("orantılılık") oranların eşitliği için. [13]

Öklid, Elementler'de görünen sonuçları daha önceki kaynaklardan topladı. Pisagorcular, sayılara uygulanan bir oran ve oran teorisi geliştirdiler. [14] Pisagorcuların sayı anlayışı, yalnızca bugün rasyonel sayılar olarak adlandırılacak olanı içeriyordu ve bu, Pisagorcuların da keşfettiği gibi, kıyaslanamaz oranların (irrasyonel sayılara karşılık gelen) var olduğu geometrideki teorinin geçerliliği hakkında şüphe uyandırdı. Ölçülebilirliği varsaymayan bir oranlar teorisinin keşfi, muhtemelen Knidoslu Eudoxus'tan kaynaklanmaktadır. Elementler'in VII. Kitabında görünen oranlar teorisinin açıklaması, daha önceki ölçülebilir oranlar teorisini yansıtır. [15]

Oranlar, büyük ölçüde bölümler ve bunların olası değerleri ile tanımlandığından, çoklu teorilerin varlığı gereksiz yere karmaşık görünmektedir. Bununla birlikte, modern geometri ders kitaplarının oranlar ve bölümler için hala farklı terminoloji ve notasyon kullandığı gerçeğinden görülebileceği gibi, bu nispeten yeni bir gelişmedir. Bunun iki nedeni vardır: birincisi, daha önce bahsedilen irrasyonel sayıları gerçek sayılar olarak kabul etme konusundaki isteksizlik vardı ve ikincisi, halihazırda yerleşik oran terminolojisinin yerini alacak yaygın olarak kullanılan bir sembolizmin eksikliği, 16. yüzyıl. [16]

Öklid'in tanımları

Öklid'in Elementler Kitabı V, tümü oranlarla ilgili 18 tanım içerir. [17] Ayrıca Öklid, yaygın kullanımda olan fikirleri kullanır ve bunlara tanım eklememiştir. İlk iki tanım, bir Bölüm bir miktarın, onu "ölçülen" başka bir niceliktir ve bunun tersine, bir çoklu bir niceliğin ölçtüğü başka bir niceliktir. Modern terminolojide bu, bir niceliğin katının, niceliğin birden büyük bir tamsayı ile çarpımı olduğu anlamına gelir ve bir miktarın bir kısmı (kısım kısmı anlamında), birden büyük bir tamsayı ile çarpıldığında, miktar.

Öklid burada kullanıldığı şekliyle "ölçü" terimini tanımlamaz, ancak, eğer bir miktar bir ölçü birimi olarak alınırsa ve ikinci bir miktar bu birimlerin tamsayı olarak verilirse, o zaman ilk miktarın olduğu sonucuna varılabilir. miktar ikinci. Bu tanımlar, VII. kitapta 3 ve 5 numaralı tanımlar olarak neredeyse kelimesi kelimesine tekrarlanmıştır.

Tanım 3, bir oranın genel olarak ne olduğunu açıklar. Matematiksel anlamda kesin değildir ve bazıları bunu Öklid'in kendisinden ziyade Öklid'in editörlerine atfetmiştir. [18] Öklid, iki nicelik arasındaki bir oranı tanımlar aynı türden, dolayısıyla bu tanımla iki uzunluk veya iki alanın oranları tanımlanır, ancak bir uzunluk ve bir alanın oranı değil. Tanım 4, bunu daha katı hale getirir. Her birinin diğerini aşan bir katı olduğunda, iki niceliğin oranının var olduğunu belirtir. Modern gösterimde, miktarlar arasında bir oran vardır. P ve Q, tamsayılar varsa m ve n öyle ki mp>Q ve nq>P. Bu durum Arşimet özelliği olarak bilinir.

Tanım 6, aynı orana sahip niceliklerin orantılı veya orantılı olarak. Öklid Yunanca ἀναλόγον (analogon) kullanır, bu λόγος ile aynı köke sahiptir ve İngilizce "analog" kelimesiyle ilişkilidir.

Tanım 7, bir oranın diğerinden daha küçük veya daha büyük olmasının ne anlama geldiğini tanımlar ve tanım 5'te bulunan fikirlere dayanır. Modern gösterimde, verilen miktarların P, Q, r ve s, PQ>rs pozitif tam sayılar varsa m ve n Böylece np>mq ve nrHanım.

Tanım 3'te olduğu gibi, tanım 8, bazıları tarafından Öklid'in editörleri tarafından daha sonraki bir ekleme olarak kabul edilir. Üç terim tanımlar P, Q ve r orantılı olmak ne zaman PQQr. Bu 4 dönem uzatıldı P, Q, r ve s olarak PQQrrs, ve benzeri. Ardışık terimlerinin oranlarının eşit olma özelliği taşıyan dizilere geometrik diziler denir. Tanımlar 9 ve 10, şunu söyleyerek bunu uygular: P, Q ve r orantılı o zaman Pr bu çift ​​oran nın-nin PQ ve eğer P, Q, r ve s orantılı o zaman Ps bu üçlü oran nın-nin PQ.

Genel olarak, iki varlıklı bir oranın miktarlarının karşılaştırılması, orandan türetilen bir kesir olarak ifade edilebilir. Örneğin, 2∶3 oranında, ilk varlığın miktarı, boyutu, hacmi veya miktarı, ikinci varlığın 2 3 <3>>> kadardır.

2 portakal ve 3 elma varsa, portakalların elmalara oranı 2∶3 ve portakalların toplam meyve parçalarına oranı 2∶5'tir. Bu oranlar kesir biçiminde de ifade edilebilir: elma kadar 2/3 portakal vardır ve meyve parçalarının 2/5'i portakaldır. Portakal suyu konsantresi 1∶4 oranında su ile seyreltilecekse, bir kısım konsantre dört kısım su ile karıştırılarak toplam beş kısım portakal suyu konsantresi miktarı 1/4 oranında su ile karıştırılır. portakal suyu konsantresi miktarı toplam sıvının 1/5'idir. Hem oranlarda hem de kesirlerde neyin neyle karşılaştırıldığının açık olması önemlidir ve yeni başlayanlar bu nedenle sıklıkla hata yaparlar.

Kesirler, ikiden fazla varlığı olan oranlardan da çıkarılabilir, ancak ikiden fazla varlığı olan bir oran tamamen tek bir kesre dönüştürülemez, çünkü bir kesir yalnızca iki miktarı karşılaştırabilir. Oranın kapsadığı varlıkların herhangi ikisinin miktarlarını karşılaştırmak için ayrı bir kesir kullanılabilir: örneğin, 2∶3∶7 oranından ikinci varlığın miktarının 3 7 <7>>> üçüncü varlığınki.

Bir orana dahil olan tüm miktarları aynı sayı ile çarparsak oran geçerli kalır. Örneğin, 3∶2 oranı 12∶8 ile aynıdır. Terimleri en düşük ortak paydaya indirgemek veya yüzde yüz (yüzde) olarak ifade etmek olağandır.

Bir karışım A, B, C ve D maddelerini 5∶9∶4∶2 oranında içeriyorsa, her 9 kısım B için 5 kısım A, 4 kısım C ve 2 kısım D vardır. 5+9 olarak +4+2=20, toplam karışım 5/20 A (20 üzerinden 5 kısım), 9/20 B, 4/20 C ve 2/20 D içerir. toplamı ve 100 ile çarparsak, yüzdelere çevirdik: %25 A, %45 B, %20 C ve %10 D (oran 25∶45∶20∶10 olarak yazmaya eşdeğer).

İki veya daha fazla oran miktarı belirli bir durumda tüm miktarları kapsıyorsa, "bütün"ün parçaların toplamını içerdiği söylenir: örneğin, iki elma ve üç portakal içeren bir meyve sepeti ve başka hiçbir meyve yapılmaz. iki parça elma ve üç parça portakal. Bu durumda, 2 5 <5>>> veya bütünün %40'ı elmadır ve 3 5 <5>>> veya %60'ı tamamı portakaldır. Belirli bir miktarın "bütün" ile bu karşılaştırmasına orantı denir.

Oran sadece iki değerden oluşuyorsa, kesir olarak, özellikle de ondalık kesir olarak gösterilebilir. Örneğin, eski televizyonlarda 4∶3 en boy oranı, bu genişliğin yüksekliğin 4/3'ü olduğu anlamına gelir (bu aynı zamanda 1,33∶1 veya yalnızca 1,33 iki ondalık basamağa yuvarlanmış olarak da ifade edilebilir). Daha yeni geniş ekran TV'lerde 16∶9 en boy oranı veya 1,78'in iki ondalık basamağa yuvarlanması vardır. Popüler geniş ekran film formatlarından biri 2.35∶1 veya sadece 2.35'tir. Oranları ondalık kesirler olarak göstermek, karşılaştırmalarını kolaylaştırır. 1.33, 1.78 ve 2.35'i karşılaştırırken, hangi formatın daha geniş görüntü sunduğu açıktır. Bu tür bir karşılaştırma, yalnızca, genişliği her zaman yüksekliğe göre ifade etmek gibi, karşılaştırılan değerler tutarlı olduğunda işe yarar.

Oranlar (kesirler gibi) her bir niceliği tüm niceliklerin ortak çarpanlarına bölerek azaltılabilir. Kesirlere gelince, en basit biçim, orandaki sayıların mümkün olan en küçük tamsayılar olduğu kabul edilir.

Böylece, 40∶60 oranı, 2∶3 oranına anlamca eşdeğerdir, ikincisi, her iki niceliği de 20'ye bölerek birinciden elde edilir. Matematiksel olarak, 40∶60 = 2∶3 veya eşdeğer olarak 40∶60∷ yazarız. 2∶3. Sözlü karşılığı "40 eşittir 60, 2 ise 3'tür."

Her iki nicelik için tamsayıları olan ve daha fazla indirgenemeyen (tamsayılar kullanılarak) bir orana en basit formda veya en düşük terimlerde denir.

Bazen 1∶ şeklinde bir oran yazmakta fayda var.x veya x∶1, nerede x farklı oranların karşılaştırılmasını sağlamak için mutlaka bir tamsayı olmak zorunda değildir. Örneğin 4∶5 oranı 1∶1,25 (iki tarafı 4'e bölerek) şeklinde yazılabilir. Alternatif olarak, 0,8∶1 (iki tarafı 5'e bölerek) şeklinde de yazılabilir.

Bağlamın anlamı netleştirdiği durumlarda, bu formdaki bir oran bazen 1 ve oran sembolü (∶) olmadan yazılır, ancak matematiksel olarak bu onu bir faktör veya çarpan yapar.

Oranlar, ölçülemeyen nicelikler (bir kesrin değeri olarak oranı irrasyonel bir sayıya denk gelen nicelikler) arasında da kurulabilir. Keşfedilen en eski örnek, Pisagorcular tarafından bulunan, köşegen d'nin uzunluğunun, 2'nin karekökü olan bir karenin s kenarının uzunluğuna oranıdır, resmi olarak a : d = 1: 2 . >.> Başka bir örnek, bir dairenin çevresinin çapına oranıdır, buna π denir ve bu yalnızca cebirsel olarak irrasyonel bir sayı değil, aşkın bir irrasyoneldir.

Ayrıca, orantı ile tanımlanan iki (çoğunlukla) a ve b uzunluğunun altın oranı da iyi bilinir.

pozitif, irrasyonel çözümü olan x = a b = 1 + 5 2 . >=< frac <1+>><2>>.> Böylece en az biri a ve B altın oranda olmaları için irrasyonel olması gerekir. Matematikte altın oranın oluşumuna bir örnek, ardışık iki Fibonacci sayısının oranının sınır değeridir: tüm bu oranlar iki tamsayının oranları ve dolayısıyla rasyonel olsalar bile, bu rasyonel oranların dizisinin limiti irrasyonel altın oran.

Benzer şekilde, a ve b'nin gümüş oranı, orantı ile tanımlanır.

oranlar (kumarda olduğu gibi) oran olarak ifade edilir. Örneğin, "7'ye 3'e karşı" (7∶3) oranı, olayın gerçekleşmeyeceğine dair yedi ihtimal olduğu anlamına gelir, her üç ihtimalde bir olayın gerçekleşmemesi için yedi ihtimal vardır. Başarı olasılığı %30'dur. Her on denemede üç galibiyet ve yedi mağlubiyet olması bekleniyor.

Oranlar, ölçüm birimleri başlangıçta farklı olsa bile, miktarları aynı boyuttaki birimlerle ilişkilendirmeleri durumunda olduğu gibi birimsiz olabilir. Örneğin, 1 dakika ∶ 40 saniye oranı, ilk değer 60 saniyeye değiştirilerek azaltılabilir, böylece oran 60 saniye ∶ 40 saniye olur. Birimler aynı olduğunda atlanabilirler ve oran 3∶2'ye düşürülebilir.

Öte yandan oran olarak da bilinen boyutsuz oranlar vardır. [21] [22] Kimyada kütle konsantrasyon oranları genellikle ağırlık/hacim oranları olarak ifade edilir. Örneğin, ağırlık/hacim %3'lük bir konsantrasyon genellikle her 100 mL çözeltide 3 g madde anlamına gelir. Bu, ağırlık/ağırlık veya hacim/hacim kesirlerinde olduğu gibi boyutsuz bir orana dönüştürülemez.

Köşeleri olan bir üçgene göre noktaların yerleri A, B, ve C ve yanlar AB, M.Ö, ve CA genellikle genişletilmiş oran biçiminde ifade edilir üçgen koordinatlar.

Barycentric koordinatlarda, koordinatları olan bir nokta α, β, γ Üçgenin şekil ve boyutundaki ağırlıksız bir metal levhanın köşelere ağırlıklar konulduğunda, ağırlıkların oranı ile ağırlıkların tam olarak dengeleneceği noktadır. A ve B yapı αβ, ağırlıkların oranı B ve C yapı βyve dolayısıyla ağırlıkların oranı A ve C yapı αy.

Üç doğrusal koordinatlarda, koordinatları olan bir nokta x :y :z yanlara dik mesafeler var M.Ö (köşenin karşısında A) ve yan CA (köşenin karşısında B) oranında xy, yan mesafeler CA ve yan AB (karşısında C) oranında yzve bu nedenle kenarlara olan mesafeler M.Ö ve AB orantıda xz.

Tüm bilgiler oranlar cinsinden ifade edildiğinden (bireysel sayılar α, β, γ, x, y, ve z kendi başlarına bir anlamı yoktur), üçgenin boyutundan bağımsız olarak, barycentric veya trilinear koordinatları kullanan bir üçgen analizi geçerlidir.


Videoyu izle: ORAN ORANTI 1 - ŞENOL HOCA (Aralık 2021).