Nesne

10.3: Uygulamalar ve Dik Üçgenleri Çözme - Matematik


Erken gelişimi boyunca, trigonometri genellikle dolaylı bir ölçüm aracı olarak kullanılmıştır, örn. açıların ve bilinen küçük mesafelerin ölçümlerini kullanarak büyük mesafeleri veya uzunlukları belirleme. Günümüzde trigonometri, fizik, astronomi, mühendislik, navigasyon, ölçme ve çeşitli matematik alanlarında ve diğer disiplinlerde yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu bölümde trigonometrinin uygulanabileceği bazı yolları göreceğiz. Bu örnekler için hesap makineniz derece modunda olmalıdır.

Örnek 1.11

Bir kişi bir bayrak direğinden (150) ft uzakta durur ve bir yükseklik açısı yatay görüş hattından bayrak direğinin tepesine kadar (32^circ) kadar. Kişinin gözlerinin yerden 6 ft dikey uzaklıkta olduğunu varsayın. Bayrak direğinin yüksekliği nedir?

Çözüm:

Sağdaki resim durumu anlatıyor. Bayrak direğinin yüksekliğinin (h + 6) ft olduğunu görüyoruz, burada

[frac{h}{150} ~=~ an;32^circ quadRightarrowquad h ~=~ 150; an;32^circ
~=~ 150;(0.6249) ~=~ 94 ~.]

( an;32^circ = 0.6249,) olduğunu nereden biliyorduk? Hesap makinesi kullanarak. Ve bize verilen sayıların hiçbirinde ondalık basamak olmadığından, (h)'nin cevabını en yakın tam sayıya yuvarladık. Böylece, bayrak direğinin yüksekliği (,h + 6 = 94 + 6 = oxed{100 ~ ext{ft}}) olur.

Örnek 1.12

Bir dağın tabanından (400) ft uzakta duran bir kişi, yerden dağın tepesine olan yükseklik açısını (25^circ ) olarak ölçer. Kişi daha sonra (500) ft düz geri yürür ve yükseklik açısını şimdi (20^circ ) olarak ölçer. Dağın yüksekliği ne kadar?


Çözüm:

Yerin düz olduğunu ve dağın tabanına göre eğimli olmadığını varsayacağız. (h) dağın yüksekliği olsun ve (x) sağdaki resimde olduğu gibi dağın tabanından doğrudan dağın tepesinin altındaki noktaya olan uzaklık olsun. Sonra görüyoruz ki

[ egin{hiza}
frac{h}{x + 400} ~=~ an;25^circ quad &Rightarrow quad h ~=~ (x + 400); an;25^circ
~,~metin{ve}
frac{h}{x + 400 + 500} ~=~ an;20^circ quad &Rightarrow quad h ~=~
(x + 900); an;20^circ ~,~ ext{so}
end{hiza}]

((x + 400); an;25^circ ~=~ (x + 900); an;20^circ ), çünkü ikisi de (h )'ye eşittir. (x) için bu denklemi kullanın:

[ x; an;25^circ ~-~ x; an;20^circ ~=~ 900; an;20^circ ~-~ 400; an ;25^daire
dörtSağ okdörtlü
x ~=~ frac{900; an;20^circ ~-~ 400; an;25^circ}{ an;25^circ ~-~ an;20 ^daire}
~=~ 1378~ ext{ft}]

Son olarak, dağın yüksekliğini bulmak için ilk formülde (h) yerine (x) yazın:

[h ~=~ (1378 + 400); an;25^circ ~=~ 1778;(0.4663) ~=~ oxed{829~ ext{ft}}]

Örnek 1.13

Yerden (4280) ft yükseklikteki bir keşif balonu bir depresyon açısı (24^circ) yatay görüş hattından yerdeki bir evin tabanına kadar. Yerin düz olduğunu varsayarsak, ev balondan ne kadar uzaktadır?

Çözüm:

(x) sağdaki resimde olduğu gibi keşif balonundan eve kadar olan mesafe olsun. Zemin ve keşif balonunun yatay görüş hattı paralel olduğundan, temel geometriden, evin tabanından keşif balonuna kadar olan yükseklik açısının ( heta)'nın keşif balonundan zeplin alçalma açısına eşit olduğunu biliyoruz. evin tabanı, yani ( heta = 24^circ ). Buradan,

[frac{4280}{x} ~=~ an;24^circ quadRightarrowquad x ~=~ frac{4280}{ an;24^circ}
~=~ oxed{9613 ~ ext{ft}}~.]

Örnek 1.14

Deniz seviyesinden (3) mil yükseklikte bir dağın tepesindeki bir gözlemci, okyanus ufkuna (2.23^circ)'lik bir eğim açısını ölçer. Dünyanın yarıçapını tahmin etmek için bunu kullanın.

Çözüm:

Dünyanın bir küre olduğunu varsayacağız. (r) dünyanın yarıçapı olsun. (A) noktası dağın tepesini temsil etsin ve (H)'nin Şekil 1.3.1'deki gibi (A 'dan görüş hattındaki okyanus ufku olsun) olsun. (O) dünyanın merkezi olsun ve (B) (A)'dan yatay görüş hattı üzerinde bir nokta olsun (yani (overline{OA}'ya dik olan doğru üzerinde) )). ( heta) açısı (angle,AOH ) olsun.

(A) deniz seviyesinden (3) mil yukarıda olduğundan, (OA = r + 3 ) elde ederiz. Ayrıca, (OH = r ). Şimdi v(overline{AB} perp overline{OA} ), elimizde (angle,OAB = 90^circ ), yani (angle,OAH = 90^ olduğunu görüyoruz. circ - 2.23^circ = 87.77^circ ). (A) ve (H) noktalarından geçen doğrunun, dünyanın yüzeyine teğet bir doğru olduğunu görüyoruz (yüzeyi, resim). Yani Bölüm 1.1'deki Alıştırma 14'e göre, (overline{AH} perp overline{OH}) ve dolayısıyla (angle,OHA = 90^circ ). ( riangle,OAH) üçgenindeki açıların toplamı (180^circ 'ye eşit olduğundan) ( heta = 180^circ - 90^circ - 87.77^circ = 2.23'e sahibiz ^çember ). Böylece,

[cos; heta ~=~ frac{OH}{OA} ~=~ frac{r}{r+3} quadRightarrowquad frac{r}{r+3} ~= ~
cos;2.23^circ ~,]

böylece (r) için çözerek elde ederiz

[aşlangıç{hiza}
r ~=~ (r ~+~ 3);cos;2.23^circ quad &Rightarrow quad
r ~-~ r;cos;2.23^circ ~=~ 3;cos;2.23^circ[4pt]
&Rightarrow quad r ~=~ frac{3;cos;2.23^circ}{1 ~-~ cos;2.23^circ}
&Rightarrow quad oxed{r ~=~ 3958.3 ~ ext{mil}} ~.
end{hiza}]

Not: Bu cevap, dünyanın gerçek (ortalama) yarıçapı olan (3956.6) mil'e çok yakındır.

Örnek 1.15

Trigonometrinin astronomiye bir başka uygulaması olarak, dünyadan güneşe olan mesafeyi bulacağız. (O) dünyanın merkezi olsun, (A) ekvatorda bir nokta olsun ve (B) aşağıdaki resimde olduğu gibi uzayda bir nesneyi (örneğin bir yıldız) temsil etsin. Sağ. Eğer dünya (angle,OAB = 90^circ ) açısına göre konumlandırılmışsa, o zaman açının (alpha = angle,OBA) olduğunu söyleriz. ekvator paralaksı nesnenin. Güneşin ekvator paralaksının yaklaşık olarak (alpha =0.00244^circ ) olduğu gözlemlenmiştir. Dünyanın merkezinden güneşe olan mesafeyi tahmin etmek için bunu kullanın.

Çözüm:

Güneşin konumu (B) olsun. (overline{OB} ) uzunluğunu bulmak istiyoruz. (OA = 3956.6) mil elde etmek için, Örnek 1.14'ün sonunda bahsedilen dünyanın gerçek yarıçapını kullanacağız. (angle,OAB = 90^circ ) olduğundan,

[frac{OA}{OB} ~=~ sin;alpha quadRightarrowquad OB ~=~ frac{OA}{sin;alpha} ~=~
frac{3956.6}{sin;0.00244^circ} ~=~ 92908394 ~,]

yani dünyanın merkezinden güneşe olan uzaklık yaklaşık (fbox{(93) milyon mil}~.)

Not: Dünyanın güneş etrafındaki yörüngesi bir elipstir, bu nedenle güneşe olan gerçek mesafe değişir.

Yukarıdaki örnekte çok küçük bir açı kullandık ((0.00244^circ)). Bir derece daha küçük birimlere ayrılabilir: a dakika bir derecenin altmışta biridir ve Saniye dakikanın altmışta biridir. Dakika sembolü (') ve saniye sembolü ('' ) şeklindedir. Örneğin, (4.5^circ = 4^circ;30' ). Ve (4.505^circ = 4^circ;30';18''):

[4^circ;30';18'' ~=~ 4 ~+~ frac{30}{60} ~+~ frac{18}{3600} ~ ext{derece} ~=~ 4.505^circ]

Örnek 1.15'te (alpha = 0.00244^circ yaklaşık 8.8'' ) kullandık, bunu yalnızca bazı açı ölçüm cihazlarının dakika ve saniye kullanması nedeniyle bahsettik.

Örnek 1.16

Yeryüzündeki bir gözlemci, sağdaki resimde olduğu gibi, güneşin görünen bir kenarından diğer (karşı) kenarına (32';4'')'lik bir açı ölçer. Güneşin yarıçapını tahmin etmek için bunu kullanın.


Çözüm:

(E) noktası dünya olsun ve (S) güneşin merkezi olsun. Gözlemcinin güneşin görünür kenarlarına bakış çizgileri, güneş yüzeyine (A) ve (B ) noktalarında teğet çizgilerdir. Böylece, (angle,EAS = angle,EBS = 90^circ ). Güneşin yarıçapı (AS )'ye eşittir. Açıkça (AS = BS ). Dolayısıyla (EB = EA) (neden?) olduğundan, ( riangle,EAS) ve ( riangle,EBS) üçgenleri benzerdir. Böylece, (angle,AES = angle,BES = frac{1}{2}; angle,AEB = frac{1}{2};(32';4'' ) = 16';2'' = (16/60) + (2/3600) = 0.26722^circ ).

Şimdi, (ES) yüzey dünyanın (gözlemcinin durduğu yer) güneşin merkezine. Örnek 1.15'te, nesneden olan mesafeyi bulduk. merkez Dünyadan güneşe (92.908.394) mil olacak. Bu örnekte güneşi bir nokta olarak ele aldığımız için, bu mesafeyi dünyanın merkezleri ile güneş arasındaki mesafe olarak ele almakta haklıyız. Yani (ES = 92908394 - ~ ext{dünyanın yarıçapı} = 92908394 - 3956.6 = 92904437.4) mil. Buradan,

[sin;(angle,AES) ~=~ frac{AS}{ES} quadRightarrowquad AS ~=~ ES ;sin;0.26722^circ
~=~ (92904437.4);sin;0.26722^circ ~=~ oxed{433.293 ~ ext{mil}} ~.]

Not: Bu cevap, güneşin gerçek (ortalama) yarıçapı olan (432.200) mil'e yakındır.

Gösterdiğimiz örneklerin çözümlerinin en az bir dik üçgen gerektirdiğini fark etmişsinizdir. Uygulamalı problemlerde hangi dik üçgenin kullanılacağı her zaman açık değildir, bu yüzden bu tür problemler zor olabilir. Çoğu zaman hiçbir dik üçgen hemen belli olmaz, bu yüzden bir tane oluşturmanız gerekir. Bunun için genel bir strateji yoktur, ancak dik üçgenin dik açı gerektirdiğini unutmayın, bu nedenle dik doğru parçaları oluşturabileceğiniz yerleri arayın. Problem bir daire içerdiğinde, teğet doğrunun daireye dikliğini, o noktayı dairenin merkezine birleştiren doğru ile bir noktada kullanarak dik açılar oluşturabilirsiniz. Örnek 1.14, 1.15 ve 1.16'da tam olarak bunu yaptık.

Örnek 1.17

Sağdaki takım tezgahı şeması simetrik bir V-blok, bir dairesel silindirin daha küçük bir dairesel silindirin üzerine oturduğu. Her silindir, V bloğunun her iki eğimli tarafına temas eder. Şemadaki bilgilere göre büyük silindirin çapını (d) bulun.

Çözüm:

Büyük silindirin çapı (d) yarıçapın iki katıdır (OB ), bu yüzden (OB ) bulmamız gerekiyor. Bunu yapmak için, ( riangle,OBC)'nin bir dik üçgen olduğunu göstereceğiz, sonra (angle,BOC ) açısını bulacağız ve sonra (BC )'yi bulacağız. Bu durumda (OB) uzunluğunu belirlemek kolay olacaktır.

Eğimli kenarlar her silindire teğet olduğundan, (angle,ODA = angle,PEC =90^circ ). Simetri ile, silindirlerin merkezlerinden geçen dikey çizgi her bir eğimli kenarla bir (37^daire) açı yaptığından, elimizde (angle,OAD = 37^circ ) olur. Dolayısıyla, ( riangle,ODA) bir dik üçgen olduğundan, (angle,DOA) (angle,OAD )'nin tümleyenidir. Yani (angle,DOA = 53^circ ).

Yatay çizgi parçası (overline{BC}) her silindire teğet olduğundan, (angle,OBC =angle,PBC = 90^circ ). Böylece, (üçgen,OBC) bir dik üçgendir. Ve (angle,ODA = 90^circ ) olduğundan, ( riangle,ODC)'nin bir dik üçgen olduğunu biliyoruz. Şimdi, (OB = OD) (her biri büyük silindirin yarıçapına eşit olduğundan), Pisagor Teoremine göre (BC = DC):

[BC^2 ~=~ OC^2 ~-~ OB^2 ~=~ OC^2 ~-~ OD^2 ~=~ DC^2 quadRightarrowquad BC ~=~ DC]

Böylece, (üçgen,OBC) ve (üçgen,ODC) eş üçgenler (( riangle,OBC cong riangle,ODC) ile gösteririz), çünkü karşılık gelen kenarları eşittir. Böylece, karşılık gelen açıları eşittir. Yani özellikle, (angle,BOC = angle,DOC ). (angle,DOB = angle,DOA = 53^circ ) olduğunu biliyoruz. Böylece,

[53^circ ~=~ angle,DOB ~=~ angle,BOC ~+~ angle,DOC = angle,BOC ~+~ angle,BOC ~=~
2;angle,BOC quadRightarrowquad angle,BOC ~=~ 26.5^circ ~.]

Aynı şekilde, (BP = EP) ve (angle,PBC = angle,PEC = 90^circ ), ( riangle,BPC) ve ( riangle,EPC ) eş dik üçgenlerdir. Böylece, (BC = EC ). Ancak (BC = DC ) ​​olduğunu biliyoruz ve diyagramdan (EC + DC = 1.38 ) olduğunu görüyoruz. Böylece (BC + BC = 1.38) ve böylece (BC = 0.69 ). Artık (OB) bulmamız gereken her şeye sahibiz:

[frac{BC}{OB} ~=~ an;angle,BOC quadRightarrowquad OB ~=~ frac{BC}{ an;angle,BOC} ~= ~
frac{0.69}{ an;26.5^circ} ~=~ 1.384]

Bu nedenle, büyük silindirin çapı (,d = 2 imes OB = 2,(1.384) = oxed{2.768})~'dir.

Örnek 1.18

A sürgülü krank mekanizması aşağıda Şekil 1.3.2'de gösterilmiştir. Piston aşağı doğru hareket ederken biyel kolu, gösterildiği gibi krankı saat yönünde döndürür.

(A) noktası, biyel kolunun merkezidir. kol düğmesi ve sadece dikey olarak hareket eder. (B) noktası cismin merkezidir. krank pimi ve doğrudan (A) altında olan ve hareket etmeyen (O ) noktasında ortalanmış (r) yarıçaplı bir daire etrafında hareket eder. Krank döndükçe, (overline{OA} ) çizgisiyle ( heta) açısı yapar. NS anlık dönüş merkezi belirli bir zamanda biyel kolunun noktası, (A) boyunca uzanan yatay çizginin (O) ve (B ) boyunca uzanan çizgiyi kestiği (C) noktasıdır. Şekil 1.3.2'den (angle,OAC = 90^circ ) olduğunu görüyoruz ve (a = AC ), (b = AB ) ve (c = BC )'ye izin veriyoruz . Alıştırmalarda, (0^circ < heta < 90^circ ) için şunu göstereceksiniz:

[c ~=~ frac{sqrt{b^2 ~-~ r^2 ;(sin, heta)^2}}{cos; heta} ~qquad ext{ve }qquad~
a ~=~ r;sin; heta ~+~ sqrt{b^2 ~-~ r^2 ;(sin, heta)^2}~ an; heta ~. ]

Bazı problemler için, aşağıdaki resimde olduğu gibi bir dik üçgenin hipotenüsü (r) ve dar açısı ( heta ) olduğunda, bitişik kenarın uzunluğu (r) olacağını hatırlamak yardımcı olabilir. ,cos; heta) ve karşı tarafın uzunluğu (r,sin; heta) olacaktır. Bu uzunlukları hipotenüsün yatay ve dikey "bileşenleri" olarak düşünebilirsiniz.

Yukarıdaki dik üçgende bize iki parça bilgi verildiğine dikkat edin: dar açılardan biri ve hipotenüsün uzunluğu. Bundan diğer iki kenarın uzunluklarını belirledik ve diğer dar açı, bilinen dar açının sadece tümleyenidir. Genel olarak, bir üçgenin altı parçası vardır: üç kenar ve üç açı. Bir üçgeni çözme Bilinen kısımlardan yola çıkarak bilinmeyen kısımları bulmaktır. Bir dik üçgen durumunda, bir kısım her zaman bilinir: açılardan biri (90^circ )'dir.

Örnek 1.19

Verilen bilgileri kullanarak Şekil 1.3.3'teki dik üçgeni çözün:

(a) (c = 10,, A = 22^◦)
Çözüm: Bilinmeyen kısımlar (a ), (b ) ve (B )'dir. Çözüm verimleri:

[aşlangıç{hiza}
a ~ &= ~ c;sin;A ~ &= ~ 10;sin;22^circ ~ &= ~ 3.75
b ~ &= ~ c;cos;A ~ &= ~ 10;cos;22^circ ~ &= ~ 9.27
B ~ &= ~ 90^circ ~-~ A ~ &= ~ 90^circ ~-~ 22^circ ~ &= ~ 68^circ
end{hiza}]

(B) (b = 8,, A = 40^◦)
Çözüm: Bilinmeyen kısımlar (a ), (c ) ve (B )'dir. Çözüm verimleri:

[aşlangıç{hiza}
frac{a}{b} ~ &= ~ an;A quad &Rightarrow quad a ~ &= ~ b; an;A ~ = ~
8; an;40^circ ~ = ~ 6.71[2mm]
frac{b}{c} ~ &= ~ cos;A quad &Rightarrow quad c ~ &= ~ frac{b}{cos;A} ~ = ~
frac{8}{cos;40^circ} ~ = ~ 10.44
end{hiza}]

(C) (a = 3,, b = 4)
Çözüm: Bilinmeyen kısımlar (c ), (A ) ve (B )'dir. Pisagor Teoremi ile,

[c ~=~ sqrt{a^2 ~+~ b^2} ~=~ sqrt{3^2 ~+~ 4^2} ~=~ sqrt{25} ~=~ 5 ~. ]

Şimdi, ( an;A = frac{a}{b} = frac{3}{4} = 0,75 ). Peki (A)'yı nasıl bulacağız? Hesap makinenizde (fbox{( an^{-1})}) etiketli bir anahtar olmalıdır, bu şu şekilde çalışır: ona bir sayı verin (x) ve size açıyı söyleyecektir. ( heta) öyle ki ( an; heta = x ). Bizim durumumuzda, (A) açısını ( an;A = 0.75 olacak şekilde istiyoruz):

[ ext{Girin: } 0.75 quad ext{Basın:}fbox{( an^{-1})} quad ext{Yanıt: } 36.86989765]

Bu bize yaklaşık olarak (A = 36.87^circ ) olduğunu söyler. Böylece (B = 90^circ - A = 90^circ - 36.87^circ = 53.13^circ ).

Not: (fbox{ (sin^{-1})}) ve (fbox{ (cos^{-1})}) tuşları sinüs ve kosinüs için benzer şekilde çalışır, sırasıyla. Bu anahtarlar, ters trigonometrik fonksiyonlarBölüm 5'te tartışacağımız.


Şimdi İndirin!

Herhangi bir kazma yapmadan bir PDF E-Kitap bulmanızı kolaylaştırdık. Ve e-kitaplarımıza çevrimiçi olarak erişerek veya bilgisayarınızda saklayarak, Pratik 10 3 Sağ Üçgenlerde Benzerlik Cevap Anahtarı ile uygun yanıtlara sahip olursunuz. Alıştırma 10 3 Dik Üçgenlerde Benzerlik Cevap Anahtarını bulmaya başlamak için, kapsamlı bir kılavuz koleksiyonunun listelendiği web sitemizi bulmakta haklısınız.
Kütüphanemiz, kelimenin tam anlamıyla yüz binlerce farklı ürünün temsil edildiği bunların en büyüğüdür.

Sonunda bu e-kitabı aldım, tüm bu Alıştırmalar için teşekkürler 10 3 Dik Üçgenlerde Benzerlik Cevap Anahtarını şimdi alabilirim!

Bunun işe yarayacağını düşünmemiştim, en iyi arkadaşım bana bu web sitesini gösterdi ve işe yarıyor! En çok aranan e-Kitabımı alıyorum

bu harika e-kitap ücretsiz mi?!

Arkadaşlarım o kadar kızgın ki, sahip olmadıkları tüm yüksek kaliteli e-kitaba nasıl sahip olduğumu bilmiyorlar!

Kaliteli e-kitaplar almak çok kolay )

o kadar çok fake site var ki bu işe yarayan ilk şey! Çok teşekkürler

wtffff bunu anlamıyorum!

Tıkla sonra indir düğmesini seçin ve e-kitabı indirmeye başlamak için bir teklifi tamamlayın. Bir anket varsa, yalnızca 5 dakika sürer, sizin için uygun olan herhangi bir anketi deneyin.


10.3: Uygulamalar ve Dik Üçgenleri Çözme - Matematik


5/5Serisi ve Dizi İncelemesi WS #1

5/9Diziler ve Seriler Üzerinde Test

4/28 Aritmetik Diziler ve Seriler Testi

5/2Sonsuz Geometrik Seri WS

4/24 Aritmetik Diziler ve Seri İncelemesi WS #2

4/25Aritmetik Diziler ve Seriler Testi için Çalışma

4/8 Trig Denklemlerini Hesap Makinesi ile Çözme WS #1

4/9 Trig Denklemlerini Hesap Makinesiyle Çözme WS #2

4/11 Trig Denklemlerini Hesap Makinesi ile Çözme Testi

4/1 Tetik Denklemlerini Çözme WS #2

Trig Denklemlerini Çözme Testi için 4/3Study
Trig Denklemlerini Çözme WS #4

4/4 Trig Denklemlerini Çözme Testi

3/20 Test için Çalışma
Test için not kartları getirmeyi unutmayın

3/14 Özel Açılar Testi
Sektör WS #2 Yay Uzunluğu ve Alanı

3/6 Trig Oranları Testi için Çalışma


Trig Oranları Üzerine 3/7 Quiz
Pazartesi Günü Özel Açılı Dizin Kartı
Radyan ve Derece WS

2/27 Sin, Cos ve Alan Yasası Testi

2/12 Sines Yasası WS #3evens
Sinüs Yasası Sınavı Çalışması

2/3Sağ Üçgen İncelemesi WS #1

2/4Sağ Üçgen İncelemesi WS #2

2/6 Dik Üçgenleri Çözme Testi

1/29Sağ Üçgen Uygulamaları WS #1

1/31Sağ Üçgen Uygulamaları WS (1/30'dan itibaren)çiftler

1/23Sağ Üçgenleri Çözme WS #4
Dik Üçgenleri Çözme Testi için Çalışma

1/24 Sağ Üçgenleri Çözme Testi

1/10 Final için İnceleme Paketi Üzerinde Çalışma

1/8Rasyonel Denklemler WS #7

12/20Rational Expressions Quiz #2

12/17Rasyonel İfadeler WS #5

12/13 Rasyonel Fonksiyonlar Testi

12/9 Temel Denklemler ve Bileşik Faiz Sınavı

12/5Base e ve Bileşik Faiz İncelemesi WS #1

11/25 Logaritma Testi için Çalışma

11/21Bitiş Günlük İncelemesi WS #2

11/14Solving Exp Denklemleri İnceleme WS
Günlüklerle Üstel Denklemleri Çözme Testi Çalışması
Çift Cevaplar: 2) .4409 4) -.04516) -.90918) -3.536210) -.711212) .6033

#9'da 11/5 Düzeltme. Cevap -7/40000Logarithms WS #6 olmalıdır
Günlüklerde Sınav Çalışması

10/28Üslü Denklemleri Çözme Testi

10/25Üslü Denklemleri Çözme WS #3 WS'yi düzeltebilmeniz için ekli yanıtlar
Sınav Çalışması

10/21Üslü Testler için Çalışma

10/10 Bir Fonksiyonun Tersleri Üzerine Test

10/9Bir Fonksiyonun Ters Konusunda Quiz Çalışması

10/4Grafik Fonksiyonları ve Tersleri WSGraphing Fonksiyonları ve Tersleri WS

10/3Bir Fonksiyonun Tersi WS #1

10/1Fonksiyon Testi için Çalışma

9/27 İşlemler ve Fonksiyonların Doğrusal Kombinasyonları Üzerine Test
İşlev İncelemesi WS #1İşlev İncelemesi WS #1

9/25evens'den 9/26Bitiş Çalışma Sayfası
İşlemler ve Fonksiyonların Lineer Kombinasyonları Üzerine Quiz Çalışması

9/25 İşlemler ve Doğrusal Kombinasyon WS #1odds

9/24Fonksiyonların Bileşimi WS #2

9/23Fonksiyonların Bileşimi WS #1

9/19 Polinomların Grafiklenmesi, Sentetik Bölünme ve Polinom Denklemlerini Çözme Testi

9/13Polinom Denklemlerini Çözme Sınavı

9/12Polinom Denklemleri WS çiftleri
Polinom Denklemlerini Çözme Sınavı Çalışması

9/11Polinom Denklemleri WS oranlarıPolinom Denklemlerini Çözme

9/10WS Polinom Denklemlerini Çözme#3, 4, 5, 7, 8

9/6 Polinom Fonksiyonların Grafikleri Üzerine Quiz

9/5WS Polinom Fonksiyonlarının Grafikleri
Polinomların Grafikleri Üzerine Quiz Çalışması

9/4Bitiş Sınıfı Notları Polinomların Grafikleri

8/30 Cebirsel Beceriler Testi

8/26 İkinci Dereceden Denklemleri Çözme WS

8/23Bitiş Dersi Notları İkinci Derece Denklemleri Çözme Çalışma Sayfası #2, 4, 16, 17, 18, 20


3.4 Geometri Uygulamalarını Çözün: Üçgenler, Dikdörtgenler ve Pisagor Teoremi

Dikdörtgenin uzunluğu genişliğinden üç eksiktir. İzin vermek w genişliği temsil eder. Dikdörtgenin uzunluğu için bir ifade yazın.
Bu sorunu kaçırdıysanız, Örnek 1.26'yı inceleyin.

Üçgenlerin Özelliklerini Kullanarak Uygulamaları Çözün

Bu bölümde bazı yaygın geometri formüllerini kullanacağız. Geometri uygulamalarını çözebilmemiz için problem çözme stratejimizi uyarlayacağız. Geometri formülü değişkenleri adlandıracak ve bize çözmemiz gereken denklemi verecektir. Ek olarak, bu uygulamaların tümü bir tür şekiller içereceğinden, çoğu insan bir şekil çizmeyi ve verilen bilgilerle etiketlemeyi yararlı bulmaktadır. Bunu geometri uygulamaları için problem çözme stratejisinin ilk adımına dahil edeceğiz.

Nasıl

Geometri Uygulamalarını Çözün.

  1. Aşama 1. Okumak sorun ve tüm kelimelerin ve fikirlerin anlaşıldığından emin olun. Şekli çizin ve verilen bilgilerle etiketleyin.
  2. Adım 2. Tanımlamak ne arıyoruz.
  3. Aşama 3. Etiket onu temsil edecek bir değişken seçerek ne arıyoruz.
  4. Adım 4. Çevirmek duruma uygun formülü veya modeli yazarak bir denkleme dönüştürün. Verilen bilgilerde değiştirin.
  5. Adım 5. Çözmek iyi cebir teknikleri kullanarak denklem.
  6. Adım 6. Kontrol etmek cevabı, 5. adımda çözülen denkleme geri koyarak ve problem bağlamında anlamlı olduğundan emin olarak.
  7. Adım 7. Cevap tam bir cümle ile soru.

Üçgenlerin özelliklerine bakarak geometri uygulamalarına başlayacağız. Üçgenlerle ilgili bazı temel gerçekleri gözden geçirelim. Üçgenlerin üç kenarı ve üç iç açısı vardır. Genellikle her bir taraf, karşı köşenin büyük harfiyle eşleşmesi için küçük harfle etiketlenir.

kelimenin çoğul hali köşe dır-dir köşeler. Tüm üçgenlerin üç köşesi vardır. Üçgenler köşelerine göre isimlendirilir: Şekil 3.4'teki üçgene △ A B C denir. △ A B C .

Bir üçgenin üç açısı özel bir şekilde ilişkilidir. Ölçülerinin toplamı 180° dir. 180 ° . m ∠ A m ∠ A'yı “A açısının ölçüsü” olarak okuduğumuza dikkat edin. Yani Şekil 3.4'teki △ A B C △ A B C'de,

Bir şeklin çevresi, sınırının uzunluğu olduğu için, △ A B C △ A B C'nin çevresi, üç kenarının uzunluklarının toplamıdır.

Bir üçgenin alanını bulmak için tabanını ve yüksekliğini bilmemiz gerekir. Yükseklik, tabanı karşı köşeye bağlayan ve tabanla 90° 90° açı yapan bir çizgidir. Tekrar △ A B C △ A B C çizeceğiz ve şimdi yüksekliği göstereceğiz, H. Şekil 3.5'e bakın.

Üçgen Özellikleri

Açı ölçüleri:

Örnek 3.34

Bir üçgenin iki açısının ölçüleri 55 ve 82 derecedir. Üçüncü açının ölçüsünü bulun.

Çözüm

Adım 1. Oku sorun. Şekli çizin ve verilen bilgilerle etiketleyin.
Adım 2. Tanımlayın ne arıyorsun. üçgende üçüncü açının ölçüsü
Adım 3. Ad. Onu temsil edecek bir değişken seçin. x = x = açının ölçüsü olsun.
Adım 4. Çevir.
Uygun formülü yazınız ve yerine yazınız. m ∠ A + m ∠ B + m ∠ C = 180 m ∠ A + m ∠ B + m ∠ C = 180
Adım 5. Çöz denklem. 55 + 82 + x = 180 137 + x = 180 x = 43 55 + 82 + x = 180 137 + x = 180 x = 43
Adım 6. Kontrol edin.

55 + 82 + 43 ≟ 180 180 = 180 ✓ 55 + 82 + 43 ≟ 180 180 = 180 ✓
Adım 7. Cevap soru. Üçüncü açının ölçüsü 43 derecedir.

Bir üçgenin iki açısının ölçüleri 31 ve 128 derecedir. Üçüncü açının ölçüsünü bulun.

Bir üçgenin iki açısının ölçüleri 49 ve 75 derecedir. Üçüncü açının ölçüsünü bulun.

Örnek 3.35

Üçgen bir bahçenin çevresi 24 fittir. İki kenarın uzunlukları dört fit ve dokuz fittir. Üçüncü taraf ne kadar uzun?

Çözüm

Adım 1. Oku sorun. Şekli çizin ve verilen bilgilerle etiketleyin.
Adım 2. Tanımlayın ne arıyorsun. bir üçgenin üçüncü kenarının uzunluğu
Adım 3. Ad. Onu temsil edecek bir değişken seçin. c = c = üçüncü kenar olsun.
Adım 4. Çevir.
Uygun formülü yazınız ve yerine yazınız.
Verilen bilgilerde değiştirin.
Adım 5. Çöz denklem.
Adım 6. Kontrol edin.

P = a + b + c 24 ≟ 4 + 9 + 11 24 = 24 ✓ P = a + b + c 24 ≟ 4 + 9 + 11 24 = 24 ✓
Adım 7. Cevap soru. Üçüncü kenar 11 fit uzunluğundadır.

Üçgen bir bahçenin çevresi 48 fittir. İki kenarın uzunlukları 18 fit ve 22 fittir. Üçüncü taraf ne kadar uzun?

Üçgen bir pencerenin iki kenarının uzunlukları yedi fit ve beş fittir. Çevresi 18 feet. Üçüncü taraf ne kadar uzun?

Örnek 3.36

Üçgen bir kilise penceresinin alanı 90 metrekaredir. Pencerenin tabanı 15 metredir. Pencerenin yüksekliği nedir?

Çözüm

Adım 1. Oku sorun. Şekli çizin ve verilen bilgilerle etiketleyin.
Alan = 90 m 2 = 90 m 2
Adım 2. Tanımlayın ne arıyorsun. bir üçgenin yüksekliği
Adım 3. Ad. Onu temsil edecek bir değişken seçin. h = h = yükseklik olsun.
Adım 4. Çevir.
Uygun formülü yazın.
Verilen bilgilerde değiştirin.
Adım 5. Çöz denklem.
Adım 6. Kontrol edin.

A = 1 2 b h 90 ≟ 1 2 ⋅ 15 ⋅ 12 90 = 90 ✓ A = 1 2 b h 90 ≟ 1 2 ⋅ 15 ⋅ 12 90 = 90 ✓
Adım 7. Cevap soru. Üçgenin yüksekliği 12 metredir.

Üçgen bir resmin alanı 126 inç karedir. Taban 18 inçtir. Yükseklik nedir?

Üçgen bir çadır kapısının alanı 15 fit karedir. Yükseklik beş metredir. Temel nedir?

Şimdiye kadar kullandığımız üçgen özellikleri tüm üçgenler için geçerlidir. Şimdi belirli bir üçgen tipine bakacağız - bir dik üçgen. Bir dik üçgen, genellikle köşede küçük bir kare ile işaretlediğimiz bir 90 ° 90 ° açıya sahiptir.

Sağ Üçgen

Örnek 3.37

Dik üçgenin bir açısı 28°'dir. 28 ° . Üçüncü açının ölçüsü kaç derecedir?

Çözüm

Adım 1. Oku sorun. Şekli çizin ve verilen bilgilerle etiketleyin.
Adım 2. Tanımlayın ne arıyorsun. bir açının ölçüsü
Adım 3. Ad. Onu temsil edecek bir değişken seçin. x = x = bir açının ölçüsü olsun.
Adım 4. Çevir. m ∠ A + m ∠ B + m ∠ C = 180 m ∠ A + m ∠ B + m ∠ C = 180
Uygun formülü yazınız ve yerine yazınız. x + 90 + 28 = 180 x + 90 + 28 = 180
Adım 5. Çöz denklem. x + 118 = 180 x = 62 x + 118 = 180 x = 62
Adım 6. Kontrol edin.

180 ≟ 90 + 28 + 62 180 = 180 ✓ 180 ≟ 90 + 28 + 62 180 = 180 ✓
Adım 7. Cevap soru. Üçüncü açının ölçüsü 62°'dir.

Şimdiye kadar gördüğümüz örneklerde, problemi okuduktan hemen sonra bir şekil çizip etiketleyebilirdik. Bir sonraki örnekte, bir açıyı diğerine göre tanımlamamız gerekecek. Aradığımız tüm açılar için ifadeler yazana kadar şekli çizmek için bekleyeceğiz.

Örnek 3.38

Bir dik üçgenin bir açısının ölçüsü en küçük açısının ölçüsünden 20 derece fazladır. Üç açının da ölçülerini bulunuz.

Çözüm

Adım 1. Oku sorun.
Adım 2. Tanımlayın ne arıyorsun. üç açının ölçüleri
Adım 3. Ad. Onu temsil edecek bir değişken seçin. a = 1 st a = 1 st açı olsun.
a + 20 = 2 nd a + 20 = 2. açı
90 = 3. 90 = 3. açı (dik açı)
Şekli çizin ve verilen bilgilerle etiketleyin
Adım 4. Çevir
Uygun formülü yazın.
Formülde değiştirin.
Adım 5. Çöz denklem.




55
90 üçüncü açı
Adım 6. Kontrol edin.

35 + 55 + 90 ≟ 180 180 = 180 ✓ 35 + 55 + 90 ≟ 180 180 = 180 ✓
Adım 7. Cevap soru. Üç açı 35 ° , 55 ° ve 90 ° ölçer.

Bir dik üçgenin bir açısının ölçüsü, en küçük açısının ölçüsünden 50° fazladır. Üç açının da ölçülerini bulunuz.

Bir dik üçgenin bir açısının ölçüsü, en küçük açısının ölçüsünden 30° fazladır. Üç açının da ölçülerini bulunuz.

Pisagor Teoremini kullanın

Bir üçgenin açılarının ölçülerinin birbiriyle nasıl ilişkili olduğunu öğrendik. Şimdi, kenarların uzunluklarının birbiriyle nasıl ilişkili olduğunu öğreneceğiz. Bir dik üçgenin üç kenarının uzunlukları arasındaki ilişkiyi tanımlayan önemli bir özelliğe Pisagor Teoremi denir. Bu teorem eski çağlardan beri dünya çapında kullanılmaktadır. 500 yıllarında yaşamış Yunan filozof ve matematikçi Pisagor'un adını almıştır.

Pisagor Teoremi, bir dik üçgenin üç kenarının uzunluklarının birbiriyle nasıl ilişkili olduğunu söyler. Herhangi bir dik üçgende, iki bacağın uzunluklarının karelerinin toplamının, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşit olduğunu belirtir. Sembollerde şöyle deriz: herhangi bir dik üçgende, a 2 + b 2 = c 2 , a 2 + b 2 = c 2 , burada a ve b a ve b bacakların uzunluklarıdır ve cc hipotenüsün uzunluğudur.

Her alıştırmada formülü yazmak ve yazarken yüksek sesle söylemek Pisagor Teoremini hatırlamanıza yardımcı olabilir.

Pisagor Teoremi

Herhangi bir dik üçgende, a 2 + b 2 = c 2 . a 2 + b 2 = c 2 .

nerede a ve B bacakların uzunlukları, C hipotenüsün uzunluğudur.

Pisagor Teoremini kullanan alıştırmaları çözmek için karekök bulmamız gerekecek. m m gösterimini ve tanımını kullandık:

Örneğin, 25 = 5 2 olduğu için 25 25'in 5 olduğunu bulduk. 25 = 5 2 .

Pisagor Teoremi karesi alınmış değişkenler içerdiğinden, bir dik üçgende bir kenarın uzunluğunu çözmek için karekök kullanmamız gerekecek.

Örnek 3.39

Aşağıda gösterilen hipotenüsün uzunluğunu bulmak için Pisagor Teoremini kullanın.

Çözüm

Adım 1. Oku sorun.
Adım 2. Tanımlayın ne arıyorsun. üçgenin hipotenüsünün uzunluğu
Adım 3. Ad. Onu temsil edecek bir değişken seçin.
Etiket tarafı C şekil üzerinde.
İzin vermek C = hipotenüsün uzunluğu.

Adım 4. Çevir.
Uygun formülü yazın. a 2 + b 2 = c 2 a 2 + b 2 = c 2
Vekil. 3 2 + 4 2 = c 2 3 2 + 4 2 = c 2
Adım 5. Çöz denklem. 9 + 16 = c 2 9 + 16 = c 2
Basitleştirin. 25 = c 2 25 = c 2
Karekök tanımını kullanın. 25 = c 25 = c
Basitleştirin. 5 = c 5 = c
Adım 6. Kontrol edin.

Adım 7. Cevap soru. Hipotenüsün uzunluğu 5'tir.

Aşağıda gösterilen üçgende hipotenüsün uzunluğunu bulmak için Pisagor Teoremini kullanın.

Aşağıda gösterilen üçgende hipotenüsün uzunluğunu bulmak için Pisagor Teoremini kullanın.

Örnek 3.40

Aşağıda gösterilen bacağın uzunluğunu bulmak için Pisagor Teoremini kullanın.

Çözüm

Adım 1. Oku sorun.
Adım 2. Tanımlayın ne arıyorsun. üçgenin bacak uzunluğu
Adım 3. Ad. Onu temsil edecek bir değişken seçin. İzin vermek B = üçgenin ayağı.
etiket tarafı B.
Adım 4. Çevir
Uygun formülü yazın. a 2 + b 2 = c 2 a 2 + b 2 = c 2
Vekil. 5 2 + b 2 = 13 2 5 2 + b 2 = 13 2
Adım 5. Çöz denklem. 25 + b 2 = 169 25 + b 2 = 169
Değişken terimini izole edin. b 2 = 144 b 2 = 144
Karekök tanımını kullanın. b 2 = 144 b 2 = 144
Basitleştirin. b = 12 b = 12
Adım 6. Kontrol edin.

Adım 7. Cevap soru. Bacağın uzunluğu 12'dir.

Aşağıda gösterilen üçgende bacağın uzunluğunu bulmak için Pisagor Teoremini kullanın.

Aşağıda gösterilen üçgende bacağın uzunluğunu bulmak için Pisagor Teoremini kullanın.

Örnek 3.41

Kelvin bir çardak inşa ediyor ve her köşeyi yukarıda gösterildiği gibi çapraz olarak 10 ″ 10 ″ bir tahta parçası yerleştirerek desteklemek istiyor.

Ahşabı, desteğin uçları köşeden aynı uzaklıkta olacak şekilde tutturursa, oluşan dik üçgenin bacaklarının uzunluğu nedir? Bir inçin en yakın onda birine yaklaşık.

Çözüm

Adım 1. Oku sorun.
Adım 2. Tanımlayın ne arıyoruz. braketin takılması gereken köşeden olan mesafe
Adım 3. Ad. Onu temsil edecek bir değişken seçin. x = x = köşeden uzaklık olsun.
Adım 4. Çevir
Uygun formülü yazınız ve yerine yazınız.
a 2 + b 2 = c 2 x 2 + x 2 = 10 2 a 2 + b 2 = c 2 x 2 + x 2 = 10 2
Adım 5. Çöz denklem.
Değişkeni izole edin.
Karekök tanımını kullanın.
Basitleştirin. En yakın ondalığa yaklaşık.
2 x 2 = 100 x 2 = 50 x = 50 x ≈ 7,1 2 x 2 = 100 x 2 = 50 x = 50 x ≈ 7,1
Adım 6. Kontrol edin.
a 2 + b 2 = c 2 ( 7.1 ) 2 + ( 7.1 ) 2 ≈ 10 2 Evet. a 2 + b 2 = c 2 ( 7.1 ) 2 + ( 7.1 ) 2 ≈ 10 2 Evet.
Adım 7. Cevap soru. Kelvin, her bir tahta parçasını köşeden yaklaşık 7,1" tutturmalıdır.

John, aşağıda gösterildiği gibi 13 metrelik bir merdivenin tabanını evinin duvarından beş fit uzağa koyuyor. Merdiven duvarın ne kadar yukarısına ulaşıyor?

Randy, aşağıda gösterildiği gibi, yelkenlisinin 15 fitlik direğinin tepesine 17 fitlik bir ışık dizisi takmak istiyor. Işık ipinin ucunu direğin tabanından ne kadar uzağa tutturmalıdır?

Dikdörtgen Özelliklerini Kullanarak Uygulamaları Çözün

Peki ya dikdörtgenin alanı? 2 fit uzunluğunda ve 3 fit genişliğinde dikdörtgen bir halı düşünün. Alanı 6 metrekaredir. Şekilde altı kare var.

Alan, uzunluk çarpı genişliktir.

Dikdörtgenin alan formülü A = L W'dir. A = LW .

Dikdörtgenlerin Özellikleri

Dikdörtgenlerin dört kenarı ve dört sağ (90°) (90°) açısı vardır.

Karşılıklı kenarların uzunlukları eşittir.

Dikdörtgenin çevresi, uzunluğunun ve genişliğinin iki katının toplamıdır.

Dikdörtgenin alanı, uzunluk ve genişliğin çarpımıdır.

Örnek 3.42

Dikdörtgenin uzunluğu 32 metre, genişliği ise 20 metredir. çevre nedir?

Çözüm

Adım 1. Oku sorun.
Draw the figure and label it with the given information.
Step 2. Identify what you are looking for. the perimeter of a rectangle
Adım 3. Ad. Choose a variable to represent it. İzin vermek P = the perimeter.
Step 4. Translate.
Write the appropriate formula.
Substitute.
Adım 5. Çöz denklem.
Adım 6. Kontrol edin.

P ≟ 104 20 + 32 + 20 + 32 ≟ 104 104 = 104 ✓ P ≟ 104 20 + 32 + 20 + 32 ≟ 104 104 = 104 ✓
Step 7. Answer soru. The perimeter of the rectangle is 104 meters.

The length of a rectangle is 120 yards and the width is 50 yards. What is the perimeter?

The length of a rectangle is 62 feet and the width is 48 feet. What is the perimeter?

Example 3.43

The area of a rectangular room is 168 square feet. The length is 14 feet. What is the width?

Çözüm

Step 1. Read the problem.
Draw the figure and label it with the given information.
Step 2. Identify what you are looking for. the width of a rectangular room
Adım 3. Ad. Choose a variable to represent it. İzin vermek W = the width.
Step 4. Translate.
Write the appropriate formula. A = L W A = L W
Substitute. 168 = 14 W 168 = 14 W
Adım 5. Çöz denklem. 168 14 = 14 W 14 168 14 = 14 W 14
12 = W 12 = W
Adım 6. Kontrol edin.


A = L W 168 ≟ 14 ⋅ 12 168 = 168 ✓ A = L W 168 ≟ 14 ⋅ 12 168 = 168 ✓
Step 7. Answer soru. The width of the room is 12 feet.

The area of a rectangle is 598 square feet. The length is 23 feet. What is the width?

The width of a rectangle is 21 meters. The area is 609 square meters. What is the length?

Example 3.44

Find the length of a rectangle with perimeter 50 inches and width 10 inches.

Çözüm

Step 1. Read the problem.
Draw the figure and label it with the given information.

Step 2. Identify what you are looking for. the length of the rectangle
Adım 3. Ad. Choose a variable to represent it. İzin vermek L = the length.
Step 4. Translate.
Write the appropriate formula.
Substitute.
Adım 5. Çöz denklem.





Adım 6. Kontrol edin.

P = 50 15 + 10 + 15 + 10 ≟ 50 50 = 50 ✓ P = 50 15 + 10 + 15 + 10 ≟ 50 50 = 50 ✓
Step 7. Answer soru. The length is 15 inches.

Find the length of a rectangle with: perimeter 80 and width 25.

Find the length of a rectangle with: perimeter 30 and width 6.

We have solved problems where either the length or width was given, along with the perimeter or area now we will learn how to solve problems in which the width is defined in terms of the length. We will wait to draw the figure until we write an expression for the width so that we can label one side with that expression.

Example 3.45

The width of a rectangle is two feet less than the length. The perimeter is 52 feet. Find the length and width.

Çözüm

Step 1. Read the problem.
Step 2. Identify what you are looking for. the length and width of a rectangle
Adım 3. Ad. Choose a variable to represent it.
Since the width is defined in terms of the length, we let L = length. The width is two feet less than the length, so we let L − 2 = width.

P = 52 P = 52 ft
Step 4. Translate.
Write the appropriate formula. The formula for the perimeter of a rectangle relates all the information. P = 2 L + 2 W P = 2 L + 2 W
Substitute in the given information. 52 = 2 L + 2 ( L − 2 ) 52 = 2 L + 2 ( L − 2 )
Adım 5. Çöz denklem. 52 = 2 L + 2 L − 4 52 = 2 L + 2 L − 4
Combine like terms. 52 = 4 L − 4 52 = 4 L − 4
Add 4 to each side. 56 = 4 L 56 = 4 L
Divide by 4. 56 4 = 4 L 4 56 4 = 4 L 4
14 = L 14 = L
The length is 14 feet.
Now we need to find the width. The width is L − 2 L − 2 .

The width is 12 feet.
Adım 6. Kontrol edin.
Since 14 + 12 + 14 + 12 = 52 14 + 12 + 14 + 12 = 52 , this works!

Step 7. Answer soru. The length is 14 feet and the width is 12 feet.

The width of a rectangle is seven meters less than the length. The perimeter is 58 meters. Find the length and width.

The length of a rectangle is eight feet more than the width. The perimeter is 60 feet. Find the length and width.

Example 3.46

The length of a rectangle is four centimeters more than twice the width. The perimeter is 32 centimeters. Find the length and width.

Çözüm

Step 1. Read the problem.
Step 2. Identify what you are looking for. the length and the width
Adım 3. Ad. Choose a variable to represent the width.
The length is four more than twice the width.


Step 4. Translate
Write the appropriate formula.
Substitute in the given information.
Adım 5. Çöz denklem.






12
The length is 12 cm.
Adım 6. Kontrol edin.


P = 2 L + 2 W 32 ≟ 2 ⋅ 12 + 2 ⋅ 4 32 = 32 ✓ P = 2 L + 2 W 32 ≟ 2 ⋅ 12 + 2 ⋅ 4 32 = 32 ✓
Step 7. Answer soru. The length is 12 cm and the width is 4 cm.

The length of a rectangle is eight more than twice the width. The perimeter is 64. Find the length and width.

The width of a rectangle is six less than twice the length. The perimeter is 18. Find the length and width.

Example 3.47

The perimeter of a rectangular swimming pool is 150 feet. The length is 15 feet more than the width. Find the length and width.


Similar Triangles Applications


Image Source: http://www.howitworksdaily.com

A powerful Zoom lens for a 35mm camera can be very expensive, because it actually contains a number of highly precise glass lenses, which need to be moved by a tiny motor into very exact positions as the camera auto focuses.

The Geometry and Mathematics of these lenses is very involved, and they cannot be simply mass produced and tested by computer robots.

Lots of effort required to manufacture these lenses results in their very high price tags.

Here is a diagram showing how the zoom lens internal arrangement changes as we zoom from 18mmm wide angle to 200mm fully zoomed in:


Image Source: http://www.canon.com


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

Shown above are some band photographs taken by Passy with a special low light camera.

Unfortunately this camera does not have a zoom lens, and so you need to be right up close to the stage to take good pictures.

A special low light aperture 1.4 zoom lens for taking band photographs has a price tag a bit out of Passy’s current reach.

The light rays passing through a camera lens involves some similar triangles mathematics.

We will do some of this mathematics in the “Bow Tie” examples later in this lesson.

Similar Triangles can also be used to measure the heights of very tall objects such as trees, buildings, and mobile phone towers.

Measuring heights of tall objects is also covered in this lesson.

It is very important that you have done our basic lesson on Similar Triangles before doing the lesson which follows on here.

If you need to go back and look at Basic Similar Triangles, then click the link below:


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

In the above setup for a camera lens, we have a “Bow Tie” shaped pair of Similar Triangles.

Note that when light passes through a camera lens the original image ends up upside down or “inverted”.

This is why cameras have a mirror inside them to put the image right way up so we can view it while taking the photo.

It is very important that this mirror is kept spotlessly clean when changing lenses on a 35mmm camera, and we must be careful never to touch it with our fingers.

The diagram below shows the triangles from our camera lens diagram, with some measured values labelled onto it.

We have used two of the the measurements to work out the “Scale Factor”.

Once we have the S.F. we can then easily work out our missing value.


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

We do not have to use the Scale Factor method to work out this question.

Instead, we can use the Ratios Cross Multiplying Method, as shown in “Example 1B” below.

It is up to you as to which method you want to use. Both methods give the same correct answer.

In this example we first locate our two pairs of matching sides on the given diagram below.

We then set them up as matching ratios, and use the ratios cross multiplying method to get our answer.


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

Here is another example where we are working with “Bow Tie” Similar Triangles.


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

In the above example we have used the Scale Factor Method.

This question can also be worked out using cross multiplied ratios, if you prefer to use that method instead.

Video About Bow Tie Questions

The following video shows how to do some example Bow Tie and Ladder Triangle questions.

Using Triangles to Find Height

Similar Triangles can also be used to work out the Heghts of tall objects such as trees, buildings, and towers which are too hard for us to climb and measure with a measuring tape.


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

Because the sun is shining from a very long way away, it shines down at the same angle on both objects (the person and the tree).

Shadows are formed for both of these objects, because the sun is shining on them at an angle.
Eg. The 2m tall lady makes a 12m long shadow, and the palm tree makes an 84m long shadow.

This results in a pair of similar triangles being formed.

By comparing the lengths of the two shadows, against the two heights, using similar triangles, we can work out the unknown height of the tree.

In the following two examples we show how these types of height questions are drawn as a triangle inside a triangle.

We then use the Scale Factor Method to get our answer for “Example 1A”.

After this, we do the same question using the Cross Multiplying Ratios Method in “Example 1B”.

Finding Height – Example 1A


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

Finding Height – Example 1B


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

Finding Height – Example 2

Here is another example of finding height from the shadows, but this time we have a Mobile Phone Tower, and a shorter person with a smaller shadow.


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

In the above example we have used the Scale Factor Method.

This question can also be worked out using cross multiplied ratios, if you prefer to use that method instead.

Videos About Finding Height

Three and a a half minute video about using shadows to find the height of a tree:

Ten minute video showing a guy actually finding the height of a wall using shadows:

Video showing some algebra x and y problems:

Finding Height Using a Mirror

We can also find the height of a tall object by using line of sight and a mirror, rather than measuring shadows.

This gives a “Bow Tie” type question that we need to solve.

The video at the following link shows an example fo how to do this.

Similar Triangles are very useful for indirectly determining the sizes of items which are difficult to measure by hand.

Typical examples include building heights, tree heights, and tower heights.

Similar Triangles can also be used to measure how wide a river or lake is.


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

Now the instructors could toss a coin to see who ties a rope to themselves, and then swims across the freezing cold water to work out how wide the river is.

However, the following method shown here is much easier, and nobody has to get wet!

It involves each person moving further along the river and measuring exactly how far they have moved from their starting points at A and B.

This is shown in the following diagram:


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

We can draw in the line of sight from the lady at “E” to the guy on the other side of the river at “C”, which then produces a pair of Similar Triangles.

We can solve these “bow tie” triangles and work out the width of the river as shown below.


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

(Note that some clipart images from the web were used for the above River Diagrams, and Passy’s World is not claiming any ownership of these cliparts, but only of the mathematical components contained in these examples.)

If you enjoyed this lesson, why not get a free subscription to our website.
You can then receive notifications of new pages directly to your email address.

Go to the subscribe area on the right hand sidebar, fill in your email address and then click the “Subscribe” button.

To find out exactly how free subscription works, click the following link:

If you would like to submit an idea for an article, or be a guest writer on our website, then please email us at the hotmail address shown in the right hand side bar of this page.

If you are a subscriber to Passy’s World of Mathematics, and would like to receive a free PowerPoint version of this lesson, that is 100% free to you as a Subscriber, then email us at the following address:

Please state in your email that you wish to obtain the free subscriber copy of the “Similar Triangle Applications” Powerpoint.

Feel free to link to any of our Lessons, share them on social networking sites, or use them on Learning Management Systems in Schools.

Each day Passy’s World provides hundreds of people with mathematics lessons free of charge.

Help us to maintain this free service and keep it growing.

Donate any amount from $2 upwards through PayPal by clicking the PayPal image below. Teşekkürler!

PayPal does accept Credit Cards, but you will have to supply an email address and password so that PayPal can create a PayPal account for you to process the transaction through. There will be no processing fee charged to you by this action, as PayPal deducts a fee from your donation before it reaches Passy’s World.


Right Triangle Calculator and Solver

Five easy to use calculators to solve right triangle problems depending on which information you are given. The figure shown below will be used for sides and angle notations.

Formulas Used in the Different Calculators

The Pythagorean theorem used in the above triangle gives

The trigonometric ratios used to find angles A and B are given by

sin(A) = a / h , A = arctan(a / h)

sin(B) = b / h , B = arctan(b / h)

The area and perimeter of the right triangle are given by

Calculator 1 - You know one side and the hypotenuse

How to use the calculators

Enter the side and the hypotenuse as positive real numbers and press "calculate".

Calculator 2 - You know the two sides of the right triangle

How to use the calculators

Enter the two sides as positive real numbers and press "calculate".

Calculator 3 - You know one side and the angle opposite to it

How to use the calculators

Enter the side and the opposite angle as positive real numbers and press "calculate".

Calculator 4 - You know the hypotenuse and one angle

How to use the calculators

Enter the hypotenuse and the angle as positive real numbers and press "calculate".

Calculator 5 - You know the perimeter and area of a right triangle

How to use the calculators
You might have to review area and perimeter of right triangles in order to understand the formulas used in this calculator.
Enter the perimeter and the area as positive real numbers and press "calculate".

More References and Links


Angles of Elevation and Depression

In surveying, the angle of elevation is the angle from the horizontal looking up to some object:

NS angle of depression is the angle from the horizontal looking down to some object:

Örnek 3

The angle of elevation of an aeroplane is `23°`. If the aeroplane's altitude is `2500 "m"`, how far away is it?

Let the distance be x. Then `sin 23^"o"=2500/x`

Örnek 4

You can walk across the Sydney Harbour Bridge and take a photo of the Opera House from about the same height as top of the highest sail.

This photo was taken from a point about `500 "m"` horizontally from the Opera House and we observe the waterline below the highest sail as having an angle of depression of `8°`. How high above sea level is the highest sail of the Opera House?


Free Math Printable Worksheets with Answer Keys and Activities

Feel free to download and enjoy these free worksheets on functions and relations. Each one has model problems worked out step by step, practice problems, as well as challenge questions at the sheets end. Plus each one comes with an answer key.

Arithmetic

Algebra I

  • Circle
  • Simplify Rational Exponents (Algebra 2)
  • Solve Equations with Rational Exponents (Algebra 2)
  • Solve Equations with variables in Exponents (Algebra 2)
  • Exponential Growth (no answer key on this one, sorry)
  • Compound Interest Worksheet #1 (No logs)
  • Compound Interest Worksheet (Logarithms required)
  • Factor Trinomials Worksheet
  • Factor by Grouping
  • Domain and Range (Algebra 1)
  • Functions vs Relations (Distinguish function from relation, state domain etc..) (Algebra 2)
  • Evaluating Functions (Algebra 2)
  • 1 to 1 Functions (Algebra 2)
  • Composition of Functions (Algebra 2)
  • Inverse Functions Worksheet (Algebra 2)
  • Operations with Functions (Algebra 2)
  • Functions Review Worksheet (Algebra 2)
  • İkinci dereceden denklemleri çarpanlara ayırarak çözün
  • Quadratic Formula Worksheets (3 different sheets)
  • Quadratic Formula Worksheet (Real solutions)
  • Quadratic Formula (Complex solutions)
  • Quadratic Formula (Both real and complex solutions)
  • Discriminant and Nature of the Roots
  • Solve Quadratic Equations by Completing the Square
  • Sum and Product of Roots
  • Radical Equations
  • Mixed Problems on Writing Equations of Lines
  • Slope Intercept Form Worksheet
  • Standard Form Worksheet
  • Write Equation of Line from the Slope and 1 Point
  • Write Equation of Line From Two Points
  • Equation of Line Parallel to Another Line and Through a Point
  • Equation of Line Perpendicular to Another Line and Through a Point
  • Perpendicular Bisector of Segment
  • Write Equation of Line Mixed Review
  • Solve Systems of Equations Graphically
  • Solve Systems of Equations by Elimination
  • Solve by Substitution
  • Solve Systems of Equations (Mixed Review)
  • Activity on Systems of Equations (Create an advertisement for your favorite method to Solve Systems of Equations)
  • Real World Connections (Compare cell phone plans)

Trigonomnetry

  • Law of Sines and Cosines Worksheets
    • Law of Sines and Cosines Worksheet (This sheet is a summative worksheet that focuses on deciding when to use the law of sines or cosines as well as on using both formulas to solve for a single triangle's side or angle)
      • Law of Sines
      • Ambiguous Case of the Law of Sines
      • Law of Cosines

      Geometry

      Meaning of Worksheet Icons

      This icon means that the activity is exploratory.
      worksheet involves group work .
      worksheet involves real world applications of concepts.
      worksheet includes a drill-like component.
      worksheet based on using the Geometer's Sketchpad.

      • A ngles
          • Activity-Explore by Measuring the Relationship of Vertical Angles
          • Vertical Angles Worksheet
          • Adding and Subtracting Integers
          • Graphic Organizer: Formulas & Theorems of A Circle
          • Chord of A Circle: theorems involving parallel chords, congruent chords & chords equidistant from the center of circle
          • Inscribed and Central Angles
          • Arcs and Angles Formed by Intersecting Chords
          • Tangent, Secant, Arcs and Angles of a Circle
          • Parallel Chords, Congruent Chords and the Center of a Circle
          • Relationship Between Tangent, Secant Side Lengths
          • Arcs and Angles Formed by the Intersection of a Tangent and a Chord
          • Mixed Review on Formulas of Geometry of the Circle (Large problems involving many Circle Formulas)
          • E llipse
            • Equation and Graph of Ellipse Worksheet
            • Focus of Ellipse (Find foci based on graph and equation) (Also includes NYS Math B Regents questions at end)
            • Exponents Worksheet (Focuses on two rules of exponents)
            • Exponential Growth (Exploratory activity as well as drill like questions)
            • Exponential Population Growth (Drill like questions, as well as student centered activity, NYS Math B Regents questions, and how to perform exponential regressions)
            • One Variable Equations and Proportions
            • Relation and Functions in Math Worksheet
            • 1 to 1 Functions Worksheet
            • Distance vs Time Graphs
            • Find the Slope of a Line Worksheet
            • Linear Equations - Real World Application Activity
            • Ordered Pair Notation
            • P arallelograms
              • Compare and Contrast Types of Parallelograms (Rectangles, Rhombus, Square in a table. Microsoft Word format. Worksheet Goes Hand in Hand with This Web Page)
              • Classify Quadrilateral as Parallelogram (A classic activity: have the students construct a Quadrilateral and its midpoints, then create an inscribed Quadrilateral. Then ask the students to measure the Angles, sides etc.. of inscribed shape and use the measurements to classify the shape (Parallelogram).
              • Interior Angles of Polygon Worksheet
              • Exterior Angles of a Polygon
              • Side Angle Side and Angle Side Angle Worksheet This worksheet includes model problems and an activity. Also, the answers to most of the proofs can be found in a free, online PowerPoint demonstration.
              • Side Side Side Worksheet and Activity
              • Angle Side Angle Worksheet and Activity
              • Relation and Functions in Math Worksheet
              • 1 to 1 Function
              • SOHCAHTOA Worksheet
              • SAS Formula to Find Area of Triangle
              • Properties of Triangles
              • Area of a Triangle Worksheet
              • Angle Angle Side Postulate (AAS)
              • Side Side Side Postulate Worksheet(SSS)
              • Angle Side Angle Postulate Worksheet (ASA)
              • Hypotenuse Leg Worksheet(Hypotenuse Leg)
              • Activity-Relationship of Angles in a Trapezoid
              • Compositions of Reflections. Reflections Over Intersecting Lines as Rotations

              All of these worksheets and activities are available for free so long as they are used solely for educational, noncommercial purposes and are not distributed outside of a specific teacher's classroom.


              DMCA Şikayeti

              Web Sitesi aracılığıyla sunulan içeriğin (Hizmet Koşullarımızda tanımlandığı gibi) bir veya daha fazla telif hakkınızı ihlal ettiğini düşünüyorsanız, lütfen aşağıda açıklanan bilgileri içeren yazılı bir bildirimde bulunarak ("İhlal Bildirimi") belirtilen kişilere bildirin. ajan aşağıda listelenmiştir. If Varsity Tutors takes action in response to an Infringement Notice, it will make a good faith attempt to contact the party that made such content available by means of the most recent email address, if any, provided by such party to Varsity Tutors.

              İhlal Bildiriminiz, içeriği kullanıma sunan tarafa veya ChillingEffects.org gibi üçüncü taraflara iletilebilir.

              Bir ürün veya faaliyetin telif haklarınızı ihlal ettiğini maddi olarak yanlış beyan ederseniz, zararlardan (masraflar ve avukatlık ücretleri dahil) sorumlu olacağınızı lütfen unutmayın. Bu nedenle, Web Sitesinde bulunan veya Web Sitesi tarafından bağlantı verilen içeriğin telif hakkınızı ihlal ettiğinden emin değilseniz, önce bir avukatla görüşmeyi düşünmelisiniz.

              Bir bildirimde bulunmak için lütfen şu adımları izleyin:

              Aşağıdakileri eklemelisiniz:

              Telif hakkı sahibinin veya onlar adına hareket etmeye yetkili bir kişinin fiziksel veya elektronik imzası İhlal edildiği iddia edilen telif hakkının kimliği Telif hakkınızı ihlal ettiğini iddia ettiğiniz içeriğin doğasının ve tam konumunun tanımı, yeterli Varsity Eğitmenlerinin bu içeriği bulmasına ve olumlu bir şekilde tanımlamasına izin vermek için ayrıntı örneğin, içeriği ve sorunun hangi bölümünün bir açıklamasını içeren belirli soruya (yalnızca sorunun adını değil) bir bağlantıya ihtiyacımız var - bir resim, bir bağlantı, metin vb. – şikayetiniz adınız, adresiniz, telefon numaranız ve e-posta adresiniz ile ilgilidir ve tarafınızdan yapılan bir beyan: (a) telif hakkınızı ihlal ettiğini iddia ettiğiniz içeriğin kullanımının iyi niyetle olduğuna inandığınıza dair (b) İhlal Bildiriminizde yer alan tüm bilgilerin doğru olduğuna ve (c) yalan yere yemin etme cezasına tabi olduğuna dair yasa veya telif hakkı sahibi veya bu tür bir sahibin temsilcisi tarafından yetkilendirilmemiş telif hakkı sahibi veya onlar adına hareket etmeye yetkili bir kişi.

              Şikayetinizi aşağıdaki adresten atanmış temsilcimize gönderin:

              Charles Cohn Üniversite Öğretmenleri LLC
              101 S. Hanley Yolu, Süit 300
              Louis, MO 63105


              Videoyu izle: Üçgenlerin Özelliklerini Gözden Geçirme Geometri. Üçgenler (Aralık 2021).