Nesne

7.5: Özet - Matematik


Çalışmak ve sınavlara girmek her zaman üniversitenin büyük bir parçası olacaktır, bu yüzden şimdi bunları iyi yapmayı öğrenmek sadece daha başarılı olmanıza yardımcı olabilir. Uzmanlar, en iyi nasıl çalışacağımızı, hafızalarımızı etkin bir şekilde nasıl kullanacağımızı ve sınavlara nasıl hazırlanacağımızı belirlerken kullanacağımız pek çok araç, teknik ve fikir sağlar. Bu yönergeleri ciddiye alarak ve ilerlemenizi izleyerek kendinize yardımcı olabilirsiniz. Bazı sınıflarda bir strateji sizin için daha iyi çalışıyorsa ve diğeri farklı bir kurs için daha uygunsa, çalışmaya başladığınızda bunu aklınızda bulundurun. Kullanabileceğiniz tüm kaynakları kullanın ve üniversitede başarıya giden yolda iyi olacaksınız.


Everyday Mathematics, University of Chicago School Mathematics Project tarafından geliştirilen ve McGraw-Hill Education tarafından yayınlanan kapsamlı bir Pre-K - 6. sınıf matematik programıdır. ABD'de her yıl yaklaşık 220.000 derslik Gündelik Matematik kullanıyor.

Günlük Matematik Kısa bilgiler

hakkında faydalı gerçekleri öğrenin. Günlük Matematik müfredat, gelişimi, kullanım istatistikleri ve daha fazlası.

Neden Çalışıyor?

Nasıl olduğunu keşfedin Günlük MatematikAraştırmaya dayalı ve sahada test edilmiş yaklaşım, çocukların yaşam boyu matematiksel güç üreten anlayış ve becerilerini geliştirmede etkilidir.

Günlük Matematik Tarih ve Gelişim

hakkında daha fazla bilgi edinin Günlük Matematik müfredat geldi. Burada zaman çizelgesini görüntüleyebilirsiniz Günlük Matematik geliştirme, temeli haline gelen araştırma hakkında bilgi edinin. Günlük Matematikve ekibin geçmişleri hakkında bilgi edinin. Günlük Matematik yaratıcılar ve yazarlar.

Yayıncı Hakkında

Günlük Matematik McGraw-Hill Education tarafından yayınlanmaktadır. Şirket, desteklemek için eksiksiz bir geliştirme, pazarlama, satış ve müşteri hizmetleri personeli istihdam etmektedir. Günlük Matematik.

Araştırma Temeli, Geliştirme ve Sonuçlar

Müfredatın araştırma temelini ve uygulanmasını açıklayan makalelere ve bibliyografyalara ve ayrıca Günlük Matematik başarı Öyküleri.

Anlamak Günlük Matematik

Bu bölüm, öğretmenlerin, velilerin ve idarecilerin eğitim hakkında sahip olabileceği birçok soruyu yanıtlamaktadır. Günlük Matematik felsefe, hedefler ve müfredat. Örneğin, nasıl Günlük Matematik İlköğretim matematik eğitiminde oyunların veya hesap makinelerinin rolünü görüyor musunuz?

Nasıl Sipariş Verilir

sipariş vermek istiyorum Günlük Matematik malzemeler? Ya iletişim kurun Günlük Matematik yayıncı, McGraw-Hill Education veya bölgenizdeki bir satış temsilcisini bulmak, malzeme sipariş etmek veya basılı bir katalog istemek için sipariş sayfamızı görüntüleyin.

Temas etmek

sorular? Yorumlar? Bilmek isteriz! Bize [email protected] adresinden e-posta ile ulaşın.


Bir rasyonel sayı, (frac olarak yazılabilen herhangi bir sayıdır.) burada (a) ve (b) tam sayılardır ve (b e 0).

Aşağıdakiler rasyonel sayılardır:

Hem payı hem de paydası tam sayı olan kesirler

Sonlandıran ondalık sayılar

Tekrar eden ondalık sayılar (tekrar)

İrrasyonel sayılar, pay ve payda tamsayı olarak kesir olarak yazılamayan sayılardır.

(n^< ext ise>) bir sayının kökü bir rasyonel sayıya sadeleştirilemez, buna surd denir.

(a) ve (b) pozitif tam sayılarsa ve (a<b), o zaman (sqrt[n]<sqrt[n]).

Binom, iki terimli bir ifadedir.

İki özdeş iki terimin çarpımı, iki terimlinin karesi olarak bilinir.

(left(ax+b ight)left(ax-b ight)) ile çarptığımızda iki karenin farkını elde ederiz.

Faktoring, parantezleri genişletmenin zıt işlemidir.

Bir binom ve bir üç terimlinin çarpımı:

Ortak çarpanı çıkarmak temel çarpanlara ayırma yöntemidir.

Polinomları çarpanlara ayırmak için genellikle gruplandırmayı kullanmamız gerekir.

İkinci dereceden bir ifadeyi çarpanlara ayırmak için, ikinci dereceden vermek üzere çarpılmış iki iki terimliyi buluruz.

İki küpün toplamı şu şekilde çarpanlara ayrılabilir: [^<3>+^<3>=sol(x+ysağ)sol(^<2>-xy+^<2>sağ)]

İki küpün farkı şu şekilde çarpanlara ayrılabilir: [^<3>-^<3>=sol(x-ysağ)sol(^<2>+xy+^<2>sağ)]

İfadeleri çarpanlara ayırmayı öğrendiğimiz yöntemleri dahil ederek kesirleri basitleştirebiliriz.

Kesirlerde yalnızca faktörler iptal edilebilir, asla terimler değil.

Kesirleri toplamak veya çıkarmak için tüm kesirlerin paydaları aynı olmalıdır.


Çok Değişkenli İstatistik

(M sim W_p(oldsymbol,n)) ise, bunu kanıtlayın (>mathbf M= n oldsymbol) .

(mathbf x_1, ldots, mathbf x_n) i.i.d ise. (N_p(<oldsymbol>, oldsymbol)) örnek ortalaması (ar) ve örnek kovaryans matrisi (mathbf S) ile şunu gösterin: (operatör ismi>(ar, mathbf x_i - ar) = oldsymbol 0) . Dolayısıyla, (ar) ve (mathbf S)'nin bağımsız olduğunu çıkarın.

İpucu: Eğer (mathbf x) rasgele vektörü (mathbf y) rasgele vektöründen bağımsızsa, o zaman (mathbf x) de herhangi bir (f(mathbf y)) işlevinden bağımsızdır.

  1. (<oldsymbol>= (182,182)^ op) için bir hipotez testi yapın.
  2. (<oldsymbol>) için güven bölgesinin dairesel olduğunu gösterin. Merkezini ve yarıçapını bulun.
  3. Hipotez testini tekrarlayın ve [oldsymbol= egin olduğunu varsayarsak güven bölgesini çizin. 100 & 50 50 & 100 end.]

(mathbf x_1, ldots, mathbf x_<20>) bir (N_3(<oldsymbol>,oldsymbol)) popülasyonundan rastgele bir vektör örneği olsun. (<oldsymbol>) ve (oldsymbol) bilinmiyor. Örnek ortalama ve örnek kovaryans matrisi [ar = egin ile verilir 0.358 -1.056 -1.795 end qquad mathbf S= egin 0.522 & 0.556 & -2.285 0.556 & 3.258 & -0.765 -2.285 & -0.765 & 14.093 end.]

  1. (H_0: <oldsymbol>= (0,-1,-1)^T) hipotezinin anlamlılık testini gerçekleştirmek için Hotelling'in (T^2) dağılımını kullanın. (mathbf S= mathbf Voldsymbol Lambdamathbf V^T) burada (oldsymbol Lambda= ext olduğuna dikkat edin(14.531, 3.253,0.090)) ve [mathbf V= egin -0.163 & -0.121 & -0.979 -0.075 & -0.988 & 0.135 0.984 & -0.095 & -0.152 end.]
  2. (<oldsymbol>= (mu_1,mu_2,mu_3)^ op) olsun. Aşağıdaki hipotezlerin ayrı (tek değişkenli) (t) -testlerini gerçekleştirin: (mu_1 = 0) (mu_2 = -1) (mu_3 = -1) . Bireysel testlerin sonuçlarını, (a)'daki Hotelling'in (T^2) dağılımına dayalı birleşik testle karşılaştırın. Kısaca yorum yapın.

36 pire böceğinin her biri üzerinde iki ölçüm toplandı. Böceklerden 18'i Chaetocnema concinna adlı bir türden ve diğer 18'i Chaetocnema heikertingeri adlı başka bir türdendi. İlk değişken, ilk iki tarsinin ("feet") birinci eklemlerinin genişliklerinin (mikrometre cinsinden) toplamından oluşuyordu ve ikinci değişken, ikinci eklemlerin karşılık gelen toplamından oluşuyordu. İki türün popülasyon ortalamalarının farklı olup olmadığını bilmek ilginçtir.

Örnek ortalamalar (ar_1 = (181.50,129.17)^ op) ve (ar_2 = (205.06.120.44)^ op) ve örneklemdir kovaryans matrisleri [mathbf S_1 = egin 120,58 ve 56,25 56,25 ve 44,63 end qquad mathbf S_2 = egin 203.94 & amp 73.42 73.42 & amp 47.14 end.] Uygun bir hipotez testi yapın. Sonucunuzu kelimelerle belirtin. Testi oluştururken hangi varsayımlarda bulundunuz? Bu varsayımlardan herhangi biri bu verilerle şüpheli görünüyor mu?


7.5: Özet - Matematik

Bloom filtresi, üyelik sorgularını desteklemek için bir dizi n öğeyi (anahtar olarak da adlandırılır) temsil eden bir yöntemdir. 1970 yılında Burton Bloom [6] tarafından icat edildi ve web bağlamında Marais ve Bharat [37] tarafından bir CommonKnowledge sunucusunda depolanan ilişkili yorumların hangi sayfalarla ilişkilendirildiğini belirlemek için bir mekanizma olarak kullanılması önerildi.

Fikir (Şekil 3'te gösterilmiştir), başlangıçta tümü 0'a ayarlanmış m bitlik bir vektör v tahsis etmek ve ardından her biri range olan k bağımsız karma işlevi seçmektir. Her eleman için, h 1(a), h 2(a), konumlarındaki bitler. v'deki h k ( a ) 1'e ayarlanır. (Belirli bir bit birden çok kez 1'e ayarlanabilir.) b için bir sorgu verildiğinde, h 1 ( b ), h 2 ( b ), konumlarındaki bitleri kontrol ederiz. hk(b). Bunlardan herhangi biri 0 ise, o zaman kesinlikle b, A kümesinde değildir. Aksi takdirde, yanılıyor olmamızın belirli bir olasılığı olmasına rağmen, b'nin kümede olduğunu varsayıyoruz. Buna “yanlış pozitif” veya tarihsel nedenlerle “yanlış düşüş” denir. k ve m parametreleri, yanlış pozitif (ve dolayısıyla yanlış isabet) olasılığı kabul edilebilir olacak şekilde seçilmelidir. .

Bloom filtrelerinin göze çarpan özelliği, m ile yanlış pozitif olasılığı arasında açık bir değiş tokuş olmasıdır. m boyutundaki bir tabloya n anahtar yerleştirdikten sonra, belirli bir bitin hala 0 olma olasılığının tam olarak olduğunu gözlemleyin.

Dolayısıyla bu durumda yanlış pozitif olma olasılığı

Sağ taraf için simge durumuna küçültülür, bu durumda olur

Aslında k bir tam sayı olmalıdır ve pratikte hesaplama yükünü azaltmak için optimalden daha düşük bir değer seçebiliriz. Bazı örnek değerler şunlardır:

Tablo 3, ancak Tablo 5, m/n ve k'nin yaygın kombinasyonları için yanlış pozitif retioları listeler.

  Tablo 3: Çeşitli m / n ve k kombinasyonları altında yanlış pozitif oran.
m / n k k=1 k =2 k =3 k =4 k =5 k =6 k =7 k =8
2 1.39 0.393 0.400
3 2.08 0.283 0.237 0.253
4 2.77 0.221 0.155 0.147 0.160
5 3.46 0.181 0.109 0.092 0.092 0.101
6 4.16 0.154 0.0804 0.0609 0.0561 0.0578 0.0638
7 4.85 0.133 0.0618 0.0423 0.0359 0.0347 0.0364
8 5.55 0.118 0.0489 0.0306 0.024 0.0217 0.0216 0.0229
9 6.24 0.105 0.0397 0.0228 0.0166 0.0141 0.0133 0.0135 0.0145
10 6.93 0.0952 0.0329 0.0174 0.0118 0.00943 0.00844 0.00819 0.00846
11 7.62 0.0869 0.0276 0.0136 0.00864 0.0065 0.00552 0.00513 0.00509
12 8.32 0.08 0.0236 0.0108 0.00646 0.00459 0.00371 0.00329 0.00314
13 9.01 0.074 0.0203 0.00875 0.00492 0.00332 0.00255 0.00217 0.00199
14 9.7 0.0689 0.0177 0.00718 0.00381 0.00244 0.00179 0.00146 0.00129
15 10.4 0.0645 0.0156 0.00596 0.003 0.00183 0.00128 0.001 0.000852
16 11.1 0.0606 0.0138 0.005 0.00239 0.00139 0.000935 0.000702 0.000574
17 11.8 0.0571 0.0123 0.00423 0.00193 0.00107 0.000692 0.000499 0.000394
18 12.5 0.054 0.0111 0.00362 0.00158 0.000839 0.000519 0.00036 0.000275
19 13.2 0.0513 0.00998 0.00312 0.0013 0.000663 0.000394 0.000264 0.000194
20 13.9 0.0488 0.00906 0.0027 0.00108 0.00053 0.000303 0.000196 0.00014
21 14.6 0.0465 0.00825 0.00236 0.000905 0.000427 0.000236 0.000147 0.000101
22 15.2 0.0444 0.00755 0.00207 0.000764 0.000347 0.000185 0.000112 7.46e-05
23 15.9 0.0425 0.00694 0.00183 0.000649 0.000285 0.000147 8.56e-05 5.55e-05
24 16.6 0.0408 0.00639 0.00162 0.000555 0.000235 0.000117 6.63e-05 4.17e-05
25 17.3 0.0392 0.00591 0.00145 0.000478 0.000196 9.44e-05 5.18e-05 3.16e-05
26 18 0.0377 0.00548 0.00129 0.000413 0.000164 7.66e-05 4.08e-05 2.42e-05
27 18.7 0.0364 0.0051 0.00116 0.000359 0.000138 6.26e-05 3.24e-05 1.87e-05
28 19.4 0.0351 0.00475 0.00105 0.000314 0.000117 5.15e-05 2.59e-05 1.46e-05
29 20.1 0.0339 0.00444 0.000949 0.000276 9.96e-05 4.26e-05 2.09e-05 1.14e-05
30 20.8 0.0328 0.00416 0.000862 0.000243 8.53e-05 3.55e-05 1.69e-05 9.01e-06
31 21.5 0.0317 0.0039 0.000785 0.000215 7.33e-05 2.97e-05 1.38e-05 7.16e-06
32 22.2 0.0308 0.00367 0.000717 0.000191 6.33e-05 2.5e-05 1.13e-05 5.73e-06
  Tablo 4: Çeşitli m/n ve k kombinasyonları altında yanlış pozitif oran.
m / n k k =9 k = 10 k =11 k =12 k =13 k =14 k =15 k =16
11 7.62 0.00531
12 8.32 0.00317 0.00334
13 9.01 0.00194 0.00198 0.0021
14 9.7 0.00121 0.0012 0.00124
15 10.4 0.000775 0.000744 0.000747 0.000778
16 11.1 0.000505 0.00047 0.000459 0.000466 0.000488
17 11.8 0.000335 0.000302 0.000287 0.000284 0.000291
18 12.5 0.000226 0.000198 0.000183 0.000176 0.000176 0.000182
19 13.2 0.000155 0.000132 0.000118 0.000111 0.000109 0.00011 0.000114
20 13.9 0.000108 8.89e-05 7.77e-05 7.12e-05 6.79e-05 6.71e-05 6.84e-05
21 14.6 7.59e-05 6.09e-05 5.18e-05 4.63e-05 4.31e-05 4.17e-05 4.16e-05 4.27e-05
22 15.2 5.42e-05 4.23e-05 3.5e-05 3.05e-05 2.78e-05 2.63e-05 2.57e-05 2.59e-05
23 15.9 3.92e-05 2.97e-05 2.4e-05 2.04e-05 1.81e-05 1.68e-05 1.61e-05 1.59e-05
24 16.6 2.86e-05 2.11e-05 1.66e-05 1.38e-05 1.2e-05 1.08e-05 1.02e-05 9.87e-06
25 17.3 2.11e-05 1.52e-05 1.16e-05 9.42e-06 8.01e-06 7.1e-06 6.54e-06 6.22e-06
26 18 1.57e-05 1.1e-05 8.23e-06 6.52e-06 5.42e-06 4.7e-06 4.24e-06 3.96e-06
27 18.7 1.18e-05 8.07e-06 5.89e-06 4.56e-06 3.7e-06 3.15e-06 2.79e-06 2.55e-06
28 19.4 8.96e-06 5.97e-06 4.25e-06 3.22e-06 2.56e-06 2.13e-06 1.85e-06 1.66e-06
29 20.1 6.85e-06 4.45e-06 3.1e-06 2.29e-06 1.79e-06 1.46e-06 1.24e-06 1.09e-06
30 20.8 5.28e-06 3.35e-06 2.28e-06 1.65e-06 1.26e-06 1.01e-06 8.39e-06 7.26e-06
31 21.5 4.1e-06 2.54e-06 1.69e-06 1.2e-06 8.93e-07 7e-07 5.73e-07 4.87e-07
32 22.2 3.2e-06 1.94e-06 1.26e-06 8.74e-07 6.4e-07 4.92e-07 3.95e-07 3.3e-07
  Tablo 5: Çeşitli m/n ve k kombinasyonları altında yanlış pozitif oran.
m / n k k =17 k =18 k = 19 k =20 k =21 k =22 k =23 k =24
22 15.2 2.67e-05
23 15.9 1.61e-05
24 16.6 9.84e-06 1e-05
25 17.3 6.08e-06 6.11e-06 6.27e-06
26 18 3.81e-06 3.76e-06 3.8e-06 3.92e-06
27 18.7 2.41e-06 2.34e-06 2.33e-06 2.37e-06
28 19.4 1.54e-06 1.47e-06 1.44e-06 1.44e-06 1.48e-06
29 20.1 9.96e-07 9.35e-07 9.01e-07 8.89e-07 8.96e-07 9.21e-07
30 20.8 6.5e-07 6e-07 5.69e-07 5.54e-07 5.5e-07 5.58e-07
31 21.5 4.29e-07 3.89e-07 3.63e-07 3.48e-07 3.41e-07 3.41e-07 3.48e-07
32 22.2 2.85e-07 2.55e-07 2.34e-07 2.21e-07 2.13e-07 2.1e-07 2.12e-07 2.17e-07

Şekil 4'teki grafik, her giriş için ayrılan bit sayısının, yani oranın bir fonksiyonu olarak yanlış pozitif olasılığını gösterir. Yukarıdaki eğri 4 hash fonksiyonu için geçerlidir. Aşağıdaki eğri, optimum özet fonksiyonu sayısı içindir. Ölçek logaritmiktir, dolayısıyla gözlemlenen düz çizgi üstel bir azalmaya karşılık gelir. Açıktır ki, Bloom filtreleri, bazı yanlış pozitiflerin küçük bir riskine karşın, anahtar başına çok az depolama gerektirir. Örneğin, giriş sayısından 10 kat daha büyük bir bit dizisi için, yanlış pozitif olasılığı 4 özet işlevi için %1,2 ve optimum 5 özet işlevi durumu için %0,9'dur. Yanlış pozitiflerin olasılığı, daha fazla bellek tahsis edilerek kolayca azaltılabilir.

   Şekil 4: Yanlış pozitif olasılığı (log ölçeği). En üstteki eğri 4 hash fonksiyonu içindir. Alt eğri, optimum (tümleşik) sayıda özet fonksiyonu içindir.

Bizim bağlamımızda her proxy, kendi önbelleğe alınmış belgelerini temsil etmek için yerel bir Bloom filtresine sahip olduğundan, A kümesindeki değişiklikler desteklenmelidir. Bu, bit dizisindeki her bir konum için, bitin 1'e ayarlanma sayısının (yani, karma işlevlerinden herhangi biri altında hash edilen öğelerin sayısı) tutulmasıyla yapılır. Tüm sayılar başlangıçta 0'dır. Bir a anahtarı (bizim durumumuzda, bir belgenin URL'si) eklendiğinde veya silindiğinde, c ( h 1 ( a )), c ( h 2 ( a )), . c ( h k ( a )) buna göre artırılır veya azaltılır. Bir sayı 0'dan 1'e değiştiğinde, karşılık gelen bit açılır. Bir sayım 1'den 0'a değiştiğinde, karşılık gelen bit kapatılır. Bu nedenle yerel Bloom filtresi her zaman geçerli dizini doğru şekilde yansıtır.

Sayılar için de bellek ayırmamız gerektiğinden, bunların ne kadar büyük olabileceğini bilmek önemlidir. m boyutlu bir bit dizisine k karma işlevli n anahtar eklendikten sonra asimptotik beklenen maksimum sayı (bkz. [22, s. 72])

ve herhangi bir sayının daha büyük veya eşit olma olasılığı i

Daha önce de belirtildiği gibi, k (gerçekler üzerinden) için optimum değer, özet fonksiyonlarının sayısının daha fazla sınırlayabileceğimizden daha az olduğunu varsaymaktadır.

Dolayısıyla i =16 alarak şunu elde ederiz

Başka bir deyişle, sayım başına 4 bit'e izin verirsek, tabloya ilk ekleme sırasında m'nin pratik değerleri için taşma olasılığı çok küçüktür.

Pratikte, hash fonksiyonlarının gerçekten rastgele olmadığını ve eklemeler ve silmeler yapmaya devam ettiğimizi hesaba katmalıyız. Bununla birlikte, sayım başına 4 bit fazlasıyla yeterli olacaktır. Ayrıca, sayı 15'i aşarsa, birçok silme işleminden sonra 15'te kalmasına izin verebiliriz, bu, Bloom filtresinin yanlış bir negatife izin verdiği bir duruma yol açabilir (sayım, olmaması gerektiğinde 0 olur), ancak olasılığın böyle bir olay zinciri o kadar düşüktür ki, bu arada proxy sunucusunun yeniden başlatılması ve tüm yapının yeniden yapılandırılması çok daha olasıdır.


Dışarısı 42^circ ise ve sıcaklık 7^circ artarsa, son sıcaklığı bulmak için ilk sıcaklığı ve sıcaklıktaki değişimi toplayabiliriz.

Sıcaklık 7^circ azalırsa, son sıcaklığı bulmak için 42-7'yi çıkarabilir veya değişikliği ext-7^circ olarak düşünebiliriz. Yine, son sıcaklığı bulmak için ekleyebiliriz.

Genel olarak, sıcaklıktaki bir değişikliği, artarsa ​​pozitif bir sayı ve azalırsa negatif bir sayı ile temsil edebiliriz. Daha sonra ilk sıcaklığı ve değişimi ekleyerek son sıcaklığı bulabiliriz. 3^circ ise ve sıcaklık 7^circ azalırsa, son sıcaklığı bulmak için toplayabiliriz.

İşaretli sayıları sayı doğrusunda oklarla gösterebiliriz. Pozitif sayıları 0'dan başlayan ve sağa bakan oklarla temsil edebiliriz. Örneğin bu ok +10'u temsil ediyor çünkü 10 birim uzunluğunda ve sağı gösteriyor.

Negatif sayıları 0'dan başlayıp sola bakan oklarla gösterebiliriz. Örneğin bu ok -4'ü temsil ediyor çünkü 4 birim uzunluğunda ve solu gösteriyor.

Toplama işlemini temsil etmek için, "uçtan kuyruğa" okları koyduk. Yani bu diyagram 3+5'i temsil eder:

Bu da 3 + ( ext-5)'i temsil eder:


5.3 Yerine Ekleyebiliriz

Her diyagramı şu ifadelerden biriyle eşleştirin:

Bu tabloların her birini tamamlayın. Ne farkettin?

Daha fazlası için hazır mısınız?

kullanarak yeni bir sayı sistemi yapmak mümkündür. sadece 0, 1, 2 ve 3. sayıları toplama ve çıkarma sembollerini bu sistemde şöyle yazacağız: 2 oplus 1 = 3 ve 2ominus 1 = 1 . Tablo bazı tutarları göstermektedir.

  1. Bu sistemde 1 oplus 2 = 3 ve 2 oplus 3 = 1 . Bunu tabloda nasıl görebilirsin?
  2. Sizce 3 oplus 1 ne olmalı?
  3. Peki ya 3oplus 3 ?
  4. Sizce 3ominus 1 ne olmalı?
  5. 2ominus 3'e ne dersiniz?
  6. Bu sayı sistemi için herhangi bir kullanım düşünebiliyor musunuz?

5 Sayı Özet Hesaplayıcı / Çeyrekler Arası Aralık Hesaplayıcı

5 rakamlı özet hesaplayıcı, bir kümedeki min, Q1, medyan, Q3 ve maksimum değerleri bulmanın adım adım yolunu gösterecektir. Q1 ve Q3'ü bulduktan sonra çeyrekler arası aralığı da bulacaktır.

5 sayı özetini bulduktan sonra, başka bir yardımcı kaynak Yüzde Formül Hesaplayıcı ve Yüzdelik Sıra Hesaplayıcıdır. İstatistikleri kolaylaştırıyoruz… BUNU ALDINIZ!

5 Sayı Özeti / Çeyrekler Arası Aralık Hesaplayıcı

Cevap:

Veri değerlerinin 5 rakamlı özeti:

Dk.: 117
1. çeyrek: 153,5
Medyan: 173
3. çeyrek: 220.5
Maks: 277
Çeyrekler arası aralık: 67

Çözüm:

Bir veri setinin 5 rakamlı özetini bulmak için en küçük veri değerini (minimum), 25. yüzdeyi (Ç1 - ilk çeyrek), ortancayı (25. yüzde birliği, Q2, ikinci çeyrek), 75. yüzdeyi bulmanız gerekir. (Ç3 - üçüncü çeyrek) ve en büyük veri değeri (maksimum).

Bu veri setinde 20 veri değeri olduğunu unutmayın. Bunları artan düzende sıralamak yararlıdır.

$ 117, 125, 143, 144, 153, 154, 156, 157, 166, 172, 174, 175, 219, 220, 220, 221, 228, 237, 267, 277 $

Veriler sıralandığında, minimum veri değerinin şu şekilde olduğunu görmek kolaydır. 117 ve maksimum veri değeri 277.

Bir veri kümesinin medyanı, sıralanmış bir veri kümesinde ortadaki sayı tanımlanarak bulunur. Veri kümesinde tek sayıda veri değeri varsa, medyan tek bir sayıdır. Veri kümesinde çift sayıda veri değeri varsa, medyan ortadaki iki sayının ortalamasıdır.

Bu veri setinde çift sayıda veri olduğu için ortada iki sayı vardır. 20 veri değeri ile ortadaki sayılar 10 ve 11 konumlarındaki veri değerleridir. Bunlar 172 ve 174'tür. Medyan, bu sayıların ortalamasıdır. $ <2>> $ var. medyan 173 dolar

İlk çeyreği veya yüzde 25'lik dilimi bulmak için, veri kümesindeki 1 konumundan 10. konuma kadar olan tüm sayıları listeleyin. Bunlar, veri kümesindeki medyanın konumundan daha küçük olan konumlardır.

$ 117, 125, 143, 144, 153, 154, 156, 157, 166, 172, $

Şimdi, bu daha küçük veri setinin medyanını buluyoruz. bu ilk çeyrek, Q1. Bu veri setinde çift sayıda veri olduğu için ortada iki sayı vardır. 10 veri değeri ile ortadaki sayılar 5 ve 6 konumlarındaki veri değerleridir. Bunlar 153 ve 154'tür. Medyan bu sayıların ortalamasıdır. Elimizde $ <2>> $ var. Bu nedenle, Q1, 25. yüzdelik dilim, 153,5 $.

Üçüncü çeyreği veya yüzde 75'lik dilimi bulmak için, 11 konumundan 20 konumuna kadar veri kümesindeki tüm sayıları listeleyin. Bunlar, veri kümesindeki medyanın konumundan daha büyük olan konumlardır.

$ 174, 175, 219, 220, 220, 221, 228, 237, 267, 277, $

Şimdi, bu daha küçük veri setinin medyanını buluyoruz. bu üçüncü çeyrek, Q3. Bu veri setinde çift sayıda veri olduğu için ortada iki sayı vardır. 10 veri değeri ile ortadaki sayılar 5 ve 6 konumlarındaki veri değerleridir. Bunlar 220 ve 221'dir. Medyan bu sayıların ortalamasıdır. Elimizde $ <2>> $ var Bu nedenle, 75. yüzdelik dilim olan 3. Çeyrek, 220,5 dolar.

Çeyrekler arası aralığı bulmak için, Q3, 220.5'ten Q1, 153.5'i çıkarın. 220,5 - 153,5 $ = 67 $


İçindekiler

Mimarlar Michael Ostwald ve Kim Williams, mimarlık ve matematik arasındaki ilişkileri göz önünde bulundurarak, yaygın olarak anlaşılan alanların yalnızca zayıf bir şekilde bağlantılı görünebileceğini belirtiyorlar, çünkü mimarlık pratikte bina yapma meselesiyle ilgilenen bir meslektir, matematik ise saftır. sayı ve diğer soyut nesnelerin incelenmesi. Ancak, ikisinin güçlü bir şekilde bağlantılı olduğunu ve antik çağlardan beri var olduklarını iddia ediyorlar. Antik Roma'da Vitruvius, mimarı, duvar ustaları ve marangozlar gibi diğer tüm gerekli alanlarda yetenekli zanaatkarları denetlemesini sağlamak için başta geometri olmak üzere bir dizi başka disiplini yeterince bilen bir adam olarak tanımladı. Aynı şey, mezunların birçok ustaya rehberlik etmiş usta inşaatçılar tarafından yapılan zarif salonlarda temel gramer, mantık ve retorik (trivium) müfredatının yanı sıra aritmetik, geometri ve estetiği öğrendiği Orta Çağ'da da uygulandı. Mesleğinin zirvesinde olan bir ustaya mimar veya mühendis unvanı verilirdi. Rönesans'ta aritmetik, geometri, müzik ve astronomi dörtgeni, Leon Battista Alberti gibi Rönesans adamından beklenen ekstra bir ders programı haline geldi. Benzer şekilde İngiltere'de de bugün mimar olarak tanınan Sir Christopher Wren, önceleri ünlü bir astronomdu. [3]

Alman sosyolog Theodor Adorno'nun yaklaşımına göre 1500'den beri matematik ve mimarinin etkileşimini daha da gözden geçiren Williams ve Ostwald, mimarlar arasında üç eğilim tanımlar: devrimci, tamamen yeni fikirlerin tanıtılması gerici, değişikliğin uygulanmaması veya canlanmacı, aslında geriye gidiyor. Mimarların dirilişçi zamanlarda ilham almak için matematiğe bakmaktan kaçındıklarını savunuyorlar. Bu, 19. yüzyıl İngiltere'sindeki Gotik Uyanış gibi dirilişçi dönemlerde mimarlığın matematikle neden çok az bağlantısı olduğunu açıklar. Aynı şekilde, yaklaşık 1520 ila 1580 arasındaki İtalyan Maniyerizmi veya 17. yüzyıl Barok ve Palladyen hareketleri gibi gerici zamanlarda matematiğe neredeyse hiç başvurulmadığını belirtiyorlar. Buna karşılık, Fütürizm ve Konstrüktivizm gibi 20. yüzyılın başlarındaki devrimci hareketler, eski fikirleri aktif olarak reddetti, matematiği kucakladı ve Modernist mimariye yol açtı. 20. yüzyılın sonlarına doğru, fraktal geometri de mimarlar tarafından, binalar için ilginç ve çekici kaplamalar sağlamak amacıyla, periyodik olmayan fayans döşeme gibi hızla benimsendi. [4]

Mimarlar, bina mühendisliğinde matematiğin gerekli kullanımını bir kenara bırakarak, matematiği çeşitli nedenlerle kullanırlar. [5] İlk olarak, bir binanın uzamsal biçimini tanımladığı için geometriyi kullanırlar. [6] İkinci olarak, güzel veya uyumlu kabul edilen formları tasarlamak için matematiği kullanırlar. [7] Dini sayı felsefeleriyle Pisagorcular zamanından beri, [8] antik Yunan, antik Roma, İslam dünyası ve İtalyan Rönesansı'ndaki mimarlar, yapılı çevrenin oranlarını - binalar ve tasarlanan çevreleri - göre seçmişlerdir. matematiksel olduğu kadar estetik ve bazen de dini ilkelere. [9] [10] [11] [12] Üçüncü olarak, binaları süslemek için mozaikler gibi matematiksel nesneleri kullanabilirler. [13] [14] Dördüncüsü, yüksek binaların tabanında dönen hava akımlarını en aza indirmek gibi çevresel hedefleri karşılamak için bilgisayar modellemesi biçiminde matematiği kullanabilirler. [1]

Antik Roma Düzenle

Vitruvius Düzenle

Etkili antik Roma mimarı Vitruvius, tapınak gibi bir binanın tasarımının iki niteliğe, orantı ve orantıya bağlı olduğunu savundu. simetri. Oran, bir binanın her bir parçasının diğer tüm parçalarla uyumlu bir şekilde ilişkili olmasını sağlar. simetri Vitruvius'un kullanımında ayna simetrisinden çok İngilizce modülerlik terimine daha yakın bir anlama gelir, çünkü yine (modüler) parçaların tüm binaya montajı ile ilgilidir. Fano'daki Bazilikası'nda, yapıyı (Vitruvius) modüllere oranlamak için küçük tam sayıların oranlarını, özellikle üçgen sayıları (1, 3, 6, 10, . ) kullanır. [a] Bu nedenle Bazilika'nın genişliğine göre uzunluğu 1:2, etrafındaki koridor genişliği kadar yüksek, 1:1 sütunlar beş fit kalınlığında ve elli fit yüksekliğinde, 1:10. [9]

Vitruvius, mimaride olması gereken üç özelliği şöyle sıralamıştır: Mimari, C. 15 M.Ö.: sağlamlık, kullanışlılık (veya Henry Wotton'un 16. yüzyıl İngilizcesinde "Emtia") ve zevk. Bunlar, matematiğin mimaride nasıl kullanıldığını sınıflandırmak için kategoriler olarak kullanılabilir. Sağlamlık, bir binanın ayakta kalmasını sağlamak için matematiğin kullanımını, dolayısıyla tasarımda kullanılan matematiksel araçları ve inşaatı desteklemek, örneğin stabiliteyi sağlamak ve performansı modellemek için kullanılmasını kapsar. Yararlılık kısmen matematiğin etkili bir şekilde uygulanmasından, bir tasarımdaki uzamsal ve diğer ilişkiler hakkında muhakeme ve analiz etmekten kaynaklanır. Zevk, estetik, duyusal ve düşünsel nitelikleri içinde barındırdığı yapıda matematiksel ilişkilerin vücut bulması sonucunda ortaya çıkan yapının bir niteliğidir. [16]

Panteon Düzenle

Roma'daki Pantheon, klasik Roma yapısını, orantısını ve dekorasyonunu gösteren sağlam bir şekilde hayatta kaldı. Ana yapı bir kubbedir, tepesi ışık alması için dairesel bir oculus olarak açık bırakılmıştır ve önünde üçgen alınlıklı kısa bir revak bulunmaktadır. Okülüsün yüksekliği ve iç dairenin çapı aynıdır, 43.3 metre (142 ft), bu nedenle tüm iç kısım tam olarak bir küpün içine sığar ve iç kısım aynı çapta bir küre barındırabilir. [17] Bu boyutlar, antik Roma ölçü birimleriyle ifade edildiğinde daha anlamlıdır: Kubbe 150 Roma fiti genişliğindedir [b] ) oculus 30 Roma fit çapında, kapı aralığı 40 Roma fit yüksekliğindedir. [18] Pantheon, dünyanın en büyük donatısız beton kubbesi olmaya devam ediyor. [19]

Rönesans Düzenle

Mimari üzerine ilk Rönesans tezi, Leon Battista Alberti'nin 1450'siydi. De re aedificatorium (Yapı Sanatı Üzerine) 1485'te mimarlık üzerine ilk basılı kitap oldu. Kısmen Vitruvius'un eserlerine dayanıyordu. Mimari ve Nicomachus aracılığıyla Pisagor aritmetiği. Alberti bir küple başlar ve ondan oranlar çıkarır. Böylece bir yüzün köşegeni 1: √ 2 oranını verirken, küpü çevreleyen kürenin çapı 1: √ 3'ü verir. [20] [21] Alberti, Filippo Brunelleschi'nin, uygun bir mesafeden bakıldığında güzel orantılı görünecek binaların tasarımını sağlamak için geliştirdiği doğrusal perspektif keşfini de belgeledi. [12]

Bir sonraki önemli metin Sebastiano Serlio'nun Regole generali d'architettura (General Rules of Architecture) ilk cilt 1537'de Venedik'te çıktı ve 1545 cilt (1 ve 2. kitaplar) geometri ve perspektifi kapsıyordu. Serlio'nun perspektif oluşturma yöntemlerinden ikisi yanlıştı, ancak bu, çalışmalarının yaygın olarak kullanılmasını engellemedi. [23]

1570 yılında Andrea Palladio, etkili Ben quattro libri dell'architettura (Mimarlığın Dört Kitabı) Venedik'te. Geniş çapta basılan bu kitap, İngiliz diplomat Henry Wotton gibi savunucuların yardımıyla, İtalyan Rönesansı fikirlerinin Avrupa'ya yayılmasından büyük ölçüde sorumluydu. Mimarinin Unsurları. [24] Villadaki her odanın oranları 3:4 ve 4:5 gibi basit matematiksel oranlar üzerinden hesaplanmış ve evin içindeki farklı odalar bu oranlarla ilişkilendirilmiştir. Daha önceki mimarlar bu formülleri tek bir simetrik cepheyi dengelemek için kullanmışlardı, ancak Palladio'nun tasarımları genellikle kare olan villanın tamamıyla ilgiliydi. [25] Palladio, bir dizi orantıya izin verdi. quattro libri, belirterek: [26] [27]

En güzel ve orantılı ve daha iyi sonuç veren yedi oda tipi vardır: Nadir veya kare olsalar veya uzunlukları genişliğin karesinin köşegenine veya bir kareye ve üçte birine eşit olsa da dairesel yapılabilirler. veya bir buçuk kare veya bir kare ve üçte iki veya iki kare. [C]

1615'te Vincenzo Scamozzi geç Rönesans tezini yayınladı. L'idea dell'architettura evrensel (Evrensel Mimari Fikri). [28] Şehirlerin ve binaların tasarımını Vitruvius ve Pisagorcuların fikirleriyle ve Palladio'nun daha yeni fikirleriyle ilişkilendirmeye çalıştı. [29]

On dokuzuncu yüzyıl

Hiperboloid yapılar 19. yüzyılın sonlarına doğru Vladimir Shukhov tarafından direkler, deniz fenerleri ve soğutma kuleleri için kullanılmaya başlandı. Çarpıcı şekilleri, yapısal malzemeleri ekonomik olarak kullanarak hem estetik açıdan ilginç hem de güçlüdür. Shukhov'un ilk hiperboloid kulesi 1896'da Nizhny Novgorod'da sergilendi. [30] [31] [32]

Yirminci yüzyıl

Yirminci yüzyılın başlarındaki hareket Rus Konstrüktivizminin [d] öncülüğünü yaptığı modern mimari, [33] doğrusal Öklid (Kartezyen olarak da adlandırılır) geometrisini kullandı. De Stijl hareketinde yatay ve dikeyin evrenseli oluşturduğu görülüyordu. Mimari form, Gerrit Rietveld'in 1924 Rietveld Schröder Evi'nde olduğu gibi, birbirini geçen veya kesişen çatı düzlemleri, duvar düzlemleri ve balkonlar kullanarak bu iki yönlü eğilimi bir araya getirmekten ibarettir. [34]

Modernist mimarlar, düzlemlerin yanı sıra eğrileri de kullanmakta özgürdü. Charles Holden'ın 1933 Arnos istasyonunda, düz beton çatılı, tuğladan dairesel bir bilet gişesi vardır. [35] 1938'de Bauhaus ressamı László Moholy-Nagy, Raoul Heinrich Francé'nin yedi biyoteknik unsurunu benimsemiştir: kristal, küre, koni, düzlem, (kübik) şerit, (silindirik) çubuk ve spiral. doğadan ilham alan mimarinin sözde temel yapı taşları olarak. [36] [37]

Le Corbusier, bir insanın varsayılan boyuna dayanan, mimaride Modulor'un antropometrik bir orantı ölçeği önerdi. [38] Le Corbusier'in 1955 Chapelle Notre-Dame du Haut'u, matematiksel formüllerde tanımlanamayan serbest biçimli eğriler kullanır. [e] Şekillerin, bir geminin pruvası veya dua eden eller gibi doğal formları çağrıştırdığı söylenir. [41] Tasarım yalnızca en geniş ölçektedir: daha küçük ölçeklerde ayrıntı hiyerarşisi yoktur ve bu nedenle Sydney Opera Binası, Denver Uluslararası Havaalanı gibi diğer ünlü yirminci yüzyıl binaları için geçerli olan hiçbir fraktal boyut yoktur. Guggenheim Müzesi, Bilbao. [39]

2010 Dünya Mimarlık Araştırması'na yanıt veren önde gelen 90 mimarın görüşüne göre çağdaş mimari, son derece çeşitlidir, en iyisinin Frank Gehry'nin Bilbao Guggenheim Müzesi olduğu yargısına varıldı. [42]

Denver Uluslararası Havalimanı'nın 1995 yılında tamamlanan terminal binası, çelik kablolarla minimal bir yüzey (yani ortalama eğriliği sıfır) olarak desteklenen bir kumaş çatıya sahiptir. Colorado'nun karla kaplı dağlarını ve Kızılderililerin teepee çadırlarını çağrıştırıyor. [43] [44]

Mimar Richard Buckminster Fuller, jeodezik kubbeler olarak bilinen güçlü ince kabuklu yapılar tasarlamasıyla ünlüdür. Montréal Biosphère kubbesi 61 metre (200 ft) yüksekliğindedir ve çapı 76 metredir (249 ft). [45]

Sydney Opera House, standart bileşenler kullanılarak inşa edilmelerini sağlamak için gemi yelkenlerini andıran yükselen beyaz tonozlardan oluşan dramatik bir çatıya sahiptir, tonozların tümü aynı yarıçapa sahip küresel kabukların üçgen bölümlerinden oluşur. Bunlar her yönde gerekli düzgün eğriliğe sahiptir. [46]

Yirminci yüzyıl sonu hareketi Dekonstrüktivizm, Nikos Salingaros'un Bir Mimarlık Teorisi Frank Gehry'nin Disney Konser Salonu ve Guggenheim Müzesi, Bilbao'da olduğu gibi, paralel olmayan duvarlar, üst üste bindirilmiş ızgaralar ve karmaşık 2 boyutlu yüzeyler kullanarak yüksek karmaşıklıkta rastgele formlar [47] [48] çağırır. [49] [50] Yirminci yüzyıla kadar mimarlık öğrencileri matematikte bir temele sahip olmak zorundaydılar. Salingaros, önce "aşırı basitleştirilmiş, politik güdümlü" Modernizmin ve ardından "anti-bilimsel" Dekonstrüktivizmin mimariyi matematikten etkili bir şekilde ayırdığını savunuyor. Matematiksel olmayan mimarinin "yaygın estetiği" insanları "yapılı çevrede matematiksel bilgiyi reddetmeye" eğittiğinden, bu "matematiksel değerlerin tersine çevrilmesinin" zararlı olduğuna inanıyor ve bunun toplum üzerinde olumsuz etkileri olduğunu savunuyor. [39]

Antik Mısır Düzenle

Eski Mısır piramitleri matematiksel orantılarla inşa edilmiş mezarlardır ancak bunların hangileri olduğu ve Pisagor teoreminin kullanılıp kullanılmadığı tartışılmaktadır. Eğim yüksekliğinin Büyük Giza Piramidi'nin taban uzunluğunun yarısına oranı, altın orandan %1'den azdır. [51] Tasarım yöntemi bu olsaydı, Kepler üçgeninin (yüz açısı 51°49'), [51] [52] kullanılması anlamına gelirdi ancak birçok bilim tarihçisine göre altın oran o zamana kadar bilinmiyordu. Pisagorculara ait. [53] The Great Pyramid may also have been based on a triangle with base to hypotenuse ratio 1:4/π (face angle 51°50'). [54]

The proportions of some pyramids may have also been based on the 3:4:5 triangle (face angle 53°8'), known from the Rhind Mathematical Papyrus (c. 1650–1550 BC) this was first conjectured by historian Moritz Cantor in 1882. [55] It is known that right angles were laid out accurately in ancient Egypt using knotted cords for measurement, [55] that Plutarch recorded in Isis and Osiris (c. 100 AD) that the Egyptians admired the 3:4:5 triangle, [55] and that a scroll from before 1700 BC demonstrated basic square formulas. [56] [f] Historian Roger L. Cooke observes that "It is hard to imagine anyone being interested in such conditions without knowing the Pythagorean theorem," but also notes that no Egyptian text before 300 BC actually mentions the use of the theorem to find the length of a triangle's sides, and that there are simpler ways to construct a right angle. Cooke concludes that Cantor's conjecture remains uncertain he guesses that the ancient Egyptians probably knew the Pythagorean theorem, but "there is no evidence that they used it to construct right angles." [55]

Ancient India Edit

Vaastu Shastra, the ancient Indian canons of architecture and town planning, employs symmetrical drawings called mandalas. Complex calculations are used to arrive at the dimensions of a building and its components. The designs are intended to integrate architecture with nature, the relative functions of various parts of the structure, and ancient beliefs utilizing geometric patterns (yantra), symmetry and directional alignments. [57] [58] However, early builders may have come upon mathematical proportions by accident. The mathematician Georges Ifrah notes that simple "tricks" with string and stakes can be used to lay out geometric shapes, such as ellipses and right angles. [12] [59]

The mathematics of fractals has been used to show that the reason why existing buildings have universal appeal and are visually satisfying is because they provide the viewer with a sense of scale at different viewing distances. For example, in the tall gopuram gatehouses of Hindu temples such as the Virupaksha Temple at Hampi built in the seventh century, and others such as the Kandariya Mahadev Temple at Khajuraho, the parts and the whole have the same character, with fractal dimension in the range 1.7 to 1.8. The cluster of smaller towers (shikhara, lit. 'mountain') about the tallest, central, tower which represents the holy Mount Kailash, abode of Lord Shiva, depicts the endless repetition of universes in Hindu cosmology. [2] [60] The religious studies scholar William J. Jackson observed of the pattern of towers grouped among smaller towers, themselves grouped among still smaller towers, that:

The ideal form gracefully artificed suggests the infinite rising levels of existence and consciousness, expanding sizes rising toward transcendence above, and at the same time housing the sacred deep within. [60] [61]

The Meenakshi Amman Temple is a large complex with multiple shrines, with the streets of Madurai laid out concentrically around it according to the shastras. The four gateways are tall towers (gopurams) with fractal-like repetitive structure as at Hampi. The enclosures around each shrine are rectangular and surrounded by high stone walls. [62]

Ancient Greece Edit

Pythagoras (c. 569 – c. 475 B.C.) and his followers, the Pythagoreans, held that "all things are numbers". They observed the harmonies produced by notes with specific small-integer ratios of frequency, and argued that buildings too should be designed with such ratios. The Greek word symmetria originally denoted the harmony of architectural shapes in precise ratios from a building's smallest details right up to its entire design. [12]

The Parthenon is 69.5 metres (228 ft) long, 30.9 metres (101 ft) wide and 13.7 metres (45 ft) high to the cornice. This gives a ratio of width to length of 4:9, and the same for height to width. Putting these together gives height:width:length of 16:36:81, or to the delight [63] of the Pythagoreans 4 2 :6 2 :9 2 . This sets the module as 0.858 m. A 4:9 rectangle can be constructed as three contiguous rectangles with sides in the ratio 3:4. Each half-rectangle is then a convenient 3:4:5 right triangle, enabling the angles and sides to be checked with a suitably knotted rope. The inner area (naos) similarly has 4:9 proportions (21.44 metres (70.3 ft) wide by 48.3 m long) the ratio between the diameter of the outer columns, 1.905 metres (6.25 ft), and the spacing of their centres, 4.293 metres (14.08 ft), is also 4:9. [12]

The Parthenon is considered by authors such as John Julius Norwich "the most perfect Doric temple ever built". [64] Its elaborate architectural refinements include "a subtle correspondence between the curvature of the stylobate, the taper of the naos walls and the entasis of the columns". [64] Entasis refers to the subtle diminution in diameter of the columns as they rise. The stylobate is the platform on which the columns stand. As in other classical Greek temples, [65] the platform has a slight parabolic upward curvature to shed rainwater and reinforce the building against earthquakes. The columns might therefore be supposed to lean outwards, but they actually lean slightly inwards so that if they carried on, they would meet about a kilometre and a half above the centre of the building since they are all the same height, the curvature of the outer stylobate edge is transmitted to the architrave and roof above: "all follow the rule of being built to delicate curves". [66]

The golden ratio was known in 300 B.C., when Euclid described the method of geometric construction. [67] It has been argued that the golden ratio was used in the design of the Parthenon and other ancient Greek buildings, as well as sculptures, paintings, and vases. [68] More recent authors such as Nikos Salingaros, however, doubt all these claims. [69] Experiments by the computer scientist George Markowsky failed to find any preference for the golden rectangle. [70]

Islamic architecture Edit

The historian of Islamic art Antonio Fernandez-Puertas suggests that the Alhambra, like the Great Mosque of Cordoba, [71] was designed using the Hispano-Muslim foot or codo of about 0.62 metres (2.0 ft). In the palace's Court of the Lions, the proportions follow a series of surds. A rectangle with sides 1 and √ 2 has (by Pythagoras's theorem) a diagonal of √ 3 , which describes the right triangle made by the sides of the court the series continues with √ 4 (giving a 1:2 ratio), √ 5 and so on. The decorative patterns are similarly proportioned, √ 2 generating squares inside circles and eight-pointed stars, √ 3 generating six-pointed stars. There is no evidence to support earlier claims that the golden ratio was used in the Alhambra. [10] [72] The Court of the Lions is bracketed by the Hall of Two Sisters and the Hall of the Abencerrajes a regular hexagon can be drawn from the centres of these two halls and the four inside corners of the Court of the Lions. [73]

The Selimiye Mosque in Edirne, Turkey, was built by Mimar Sinan to provide a space where the mihrab could be see from anywhere inside the building. The very large central space is accordingly arranged as an octagon, formed by eight enormous pillars, and capped by a circular dome of 31.25 metres (102.5 ft) diameter and 43 metres (141 ft) high. The octagon is formed into a square with four semidomes, and externally by four exceptionally tall minarets, 83 metres (272 ft) tall. The building's plan is thus a circle, inside an octagon, inside a square. [74]

Mughal architecture Edit

Mughal architecture, as seen in the abandoned imperial city of Fatehpur Sikri and the Taj Mahal complex, has a distinctive mathematical order and a strong aesthetic based on symmetry and harmony. [11] [75]

The Taj Mahal exemplifies Mughal architecture, both representing paradise [76] and displaying the Mughal Emperor Shah Jahan's power through its scale, symmetry and costly decoration. The white marble mausoleum, decorated with pietra dura, the great gate (Darwaza-i rauza), other buildings, the gardens and paths together form a unified hierarchical design. The buildings include a mosque in red sandstone on the west, and an almost identical building, the Jawab or 'answer' on the east to maintain the bilateral symmetry of the complex. The formal charbagh ('fourfold garden') is in four parts, symbolising the four rivers of paradise, and offering views and reflections of the mausoleum. These are divided in turn into 16 parterres. [77]

The Taj Mahal complex was laid out on a grid, subdivided into smaller grids. The historians of architecture Koch and Barraud agree with the traditional accounts that give the width of the complex as 374 Mughal yards or gaz, [g] the main area being three 374-gaz squares. These were divided in areas like the bazaar and caravanserai into 17-gaz modules the garden and terraces are in modules of 23 gaz, and are 368 gaz wide (16 x 23). The mausoleum, mosque and guest house are laid out on a grid of 7 gaz. Koch and Barraud observe that if an octagon, used repeatedly in the complex, is given sides of 7 units, then it has a width of 17 units, [h] which may help to explain the choice of ratios in the complex. [78]

Christian architecture Edit

The Christian patriarchal basilica of Haghia Sophia in Byzantium (now Istanbul), first constructed in 537 (and twice rebuilt), was for a thousand years [i] the largest cathedral ever built. It inspired many later buildings including Sultan Ahmed and other mosques in the city. The Byzantine architecture includes a nave crowned by a circular dome and two half-domes, all of the same diameter (31 metres (102 ft)), with a further five smaller half-domes forming an apse and four rounded corners of a vast rectangular interior. [79] This was interpreted by mediaeval architects as representing the mundane below (the square base) and the divine heavens above (the soaring spherical dome). [80] The emperor Justinian used two geometers, Isidore of Miletus and Anthemius of Tralles as architects Isidore compiled the works of Archimedes on solid geometry, and was influenced by him. [12] [81]

The importance of water baptism in Christianity was reflected in the scale of baptistry architecture. The oldest, the Lateran Baptistry in Rome, built in 440, [82] set a trend for octagonal baptistries the baptismal font inside these buildings was often octagonal, though Italy's largest baptistry, at Pisa, built between 1152 and 1363, is circular, with an octagonal font. It is 54.86 metres (180.0 ft) high, with a diameter of 34.13 metres (112.0 ft) (a ratio of 8:5). [83] Saint Ambrose wrote that fonts and baptistries were octagonal "because on the eighth day, [j] by rising, Christ loosens the bondage of death and receives the dead from their graves." [84] [85] Saint Augustine similarly described the eighth day as "everlasting . hallowed by the resurrection of Christ". [85] [86] The octagonal Baptistry of Saint John, Florence, built between 1059 and 1128, is one of the oldest buildings in that city, and one of the last in the direct tradition of classical antiquity it was extremely influential in the subsequent Florentine Renaissance, as major architects including Francesco Talenti, Alberti and Brunelleschi used it as the model of classical architecture. [87]

The number five is used "exuberantly" [88] in the 1721 Pilgrimage Church of St John of Nepomuk at Zelená hora, near Žďár nad Sázavou in the Czech republic, designed by Jan Blažej Santini Aichel. The nave is circular, surrounded by five pairs of columns and five oval domes alternating with ogival apses. The church further has five gates, five chapels, five altars and five stars a legend claims that when Saint John of Nepomuk was martyred, five stars appeared over his head. [88] [89] The fivefold architecture may also symbolise the five wounds of Christ and the five letters of "Tacui" (Latin: "I kept silence" [about secrets of the confessional]). [90]

Antoni Gaudí used a wide variety of geometric structures, some being minimal surfaces, in the Sagrada Família, Barcelona, started in 1882 (and not completed as of 2015). These include hyperbolic paraboloids and hyperboloids of revolution, [91] tessellations, catenary arches, catenoids, helicoids, and ruled surfaces. This varied mix of geometries is creatively combined in different ways around the church. For example, in the Passion Façade of Sagrada Família, Gaudí assembled stone "branches" in the form of hyperbolic paraboloids, which overlap at their tops (directrices) without, therefore, meeting at a point. In contrast, in the colonnade there are hyperbolic paraboloidal surfaces that smoothly join other structures to form unbounded surfaces. Further, Gaudí exploits natural patterns, themselves mathematical, with columns derived from the shapes of trees, and lintels made from unmodified basalt naturally cracked (by cooling from molten rock) into hexagonal columns. [92] [93] [94]

The 1971 Cathedral of Saint Mary of the Assumption, San Francisco has a saddle roof composed of eight segments of hyperbolic paraboloids, arranged so that the bottom horizontal cross section of the roof is a square and the top cross section is a Christian cross. The building is a square 77.7 metres (255 ft) on a side, and 57.9 metres (190 ft) high. [95] The 1970 Cathedral of Brasília by Oscar Niemeyer makes a different use of a hyperboloid structure it is constructed from 16 identical concrete beams, each weighing 90 tonnes, [k] arranged in a circle to form a hyperboloid of revolution, the white beams creating a shape like hands praying to heaven. Only the dome is visible from outside: most of the building is below ground. [96] [97] [98] [99]

Several medieval churches in Scandinavia are circular, including four on the Danish island of Bornholm. One of the oldest of these, Østerlars Church from c. 1160, has a circular nave around a massive circular stone column, pierced with arches and decorated with a fresco. The circular structure has three storeys and was apparently fortified, the top storey having served for defence. [100] [101]

The vaulting of the nave of Haghia Sophia, Istanbul (annotations), 562

The octagonal Baptistry of Saint John, Florence, completed in 1128

Islamic architectural decoration Edit

Islamic buildings are often decorated with geometric patterns which typically make use of several mathematical tessellations, formed of ceramic tiles (girih, zellige) that may themselves be plain or decorated with stripes. [12] Symmetries such as stars with six, eight, or multiples of eight points are used in Islamic patterns. Some of these are based on the 'Khatem Sulemani' or Solomon's seal motif, which is an eight-pointed star made of two squares, one rotated 45 degrees from the other on the same centre. [102] Islamic patterns exploit many of the 17 possible wallpaper groups as early as 1944, Edith Müller showed that the Alhambra made use of 11 wallpaper groups in its decorations, while in 1986 Branko Grünbaum claimed to have found 13 wallpaper groups in the Alhambra, asserting controversially that the remaining four groups are not found anywhere in Islamic ornament. [102]

The complex geometry and tilings of the muqarnas vaulting in the Sheikh Lotfollah Mosque, Isfahan, 1603–1619

Louvre Abu Dhabi under construction in 2015, its dome built up of layers of stars made of octagons, triangles, and squares

Modern architectural decoration Edit

Towards the end of the 20th century, novel mathematical constructs such as fractal geometry and aperiodic tiling were seized upon by architects to provide interesting and attractive coverings for buildings. [4] In 1913, the Modernist architect Adolf Loos had declared that "Ornament is a crime", [103] influencing architectural thinking for the rest of the 20th century. In the 21st century, architects are again starting to explore the use of ornament. 21st century ornamentation is extremely diverse. Henning Larsen's 2011 Harpa Concert and Conference Centre, Reykjavik has what looks like a crystal wall of rock made of large blocks of glass. [103] Foreign Office Architects' 2010 Ravensbourne College, London is tessellated decoratively with 28,000 anodised aluminium tiles in red, white and brown, interlinking circular windows of differing sizes. The tessellation uses three types of tile, an equilateral triangle and two irregular pentagons. [104] [105] [l] Kazumi Kudo's Kanazawa Umimirai Library creates a decorative grid made of small circular blocks of glass set into plain concrete walls. [103]

Europe Edit

The architecture of fortifications evolved from medieval fortresses, which had high masonry walls, to low, symmetrical star forts able to resist artillery bombardment between the mid-fifteenth and nineteenth centuries. The geometry of the star shapes was dictated by the need to avoid dead zones where attacking infantry could shelter from defensive fire the sides of the projecting points were angled to permit such fire to sweep the ground, and to provide crossfire (from both sides) beyond each projecting point. Well-known architects who designed such defences include Michelangelo, Baldassare Peruzzi, Vincenzo Scamozzi and Sébastien Le Prestre de Vauban. [106] [107]

The architectural historian Siegfried Giedion argued that the star-shaped fortification had a formative influence on the patterning of the Renaissance ideal city: "The Renaissance was hypnotized by one city type which for a century and a half—from Filarete to Scamozzi—was impressed upon all utopian schemes: this is the star-shaped city." [108]

Coevorden fortification plan. 17th century

China Edit

In Chinese architecture, the tulou of Fujian province are circular, communal defensive structures with mainly blank walls and a single iron-plated wooden door, some dating back to the sixteenth century. The walls are topped with roofs that slope gently both outwards and inwards, forming a ring. The centre of the circle is an open cobbled courtyard, often with a well, surrounded by timbered galleries up to five stories high. [109]

Architects may also select the form of a building to meet environmental goals. [88] For example, Foster and Partners' 30 St Mary Axe, London, known as "The Gherkin" for its cucumber-like shape, is a solid of revolution designed using parametric modelling. Its geometry was chosen not purely for aesthetic reasons, but to minimise whirling air currents at its base. Despite the building's apparently curved surface, all the panels of glass forming its skin are flat, except for the lens at the top. Most of the panels are quadrilaterals, as they can be cut from rectangular glass with less wastage than triangular panels. [1]

The traditional yakhchal (ice pit) of Persia functioned as an evaporative cooler. Above ground, the structure had a domed shape, but had a subterranean storage space for ice and sometimes food as well. The subterranean space and the thick heat-resistant construction insulated the storage space year round. The internal space was often further cooled with windcatchers. The ice was available in the summer to make the frozen dessert faloodeh. [110]


Videoyu izle: NASR ESPORTS NSR vs 5 Ronin 5R Maç Özeti. 2021 Yaz Mevsimi 7. Hafta (Aralık 2021).