Nesne

6.2: Model Denklemin Sınıflandırmaları


Doğrusal ve doğrusal olmayan sistemlerin yanı sıra Bölüm 4.2'de tartıştığımız özerk ve özerk olmayan sistemler arasındaki ayrımlar hala sürekli zaman modelleri için geçerlidir. Ancak birinci dereceden ve daha yüksek dereceli sistemler arasındaki ayrım aşağıdaki gibi biraz farklıdır.

Birinci dereceden sistem

Yalnızca durum değişkenlerinin ((dfrac{dx}{ dt})) birinci dereceden türevlerini içeren bir diferansiyel denklem.

Üst düzey sistem

Durum değişkenlerinin ((dfrac{d^{2}x} {dt^{2}}) , (dfrac{d^{3}x} {dt^) yüksek dereceli türevlerini içeren bir diferansiyel denklem {3}}) , vb.).

Neyse ki, sürekli zamanlı modeller için de aşağıdaki durum geçerlidir:

sürekli zamanlı modeller

Otonom olmayan, yüksek mertebeden diferansiyel denklemler, ilave durum değişkenleri dahil edilerek her zaman özerk, birinci mertebeden formlara dönüştürülebilir.

İşte bir örnek:

[dfrac{d^{2} heta}{dt^{2}} =-dfrac{g}{L}sin heta label{(6.3)}]

Bu denklem, fizik dersine giriş dersinde görmüş olabileceğiniz basit bir sarkacın sallanma hareketini tanımlar. (θ) sarkacın açısal konumudur, (g) yerçekimi ivmesidir ve (L) ağırlığı pivota bağlayan ipin uzunluğudur. Bu denklem açıkça doğrusal değildir ve ikinci derecedendir. Modelden doğrusal olmayanlığı çıkaramasak da, aşağıdaki ek değişkeni ekleyerek denklemi birinci dereceden bir forma dönüştürebiliriz:

[omega =dfrac{d heta}{dt}etiket{(6.4)}]

Bunu kullanarak, Denklemin sol tarafı. ef{(6.3)}, (dfrac{domega}{dt}) olarak yazılabilir ve bu nedenle denklem aşağıdaki birinci dereceden forma dönüştürülebilir:

[dfrac{d heta}{dt}=omegalabel{(6.5)}]

[dfrac{domega}{dt}=-dfrac{g}{L}sin hetalabel{(6.6)}]

Bu dönüştürme tekniği, en yüksek mertebe sonlu kaldığı sürece üçüncü mertebeden veya daha yüksek mertebeden denklemler için de çalışır. İşte başka bir örnek.

Örnek (PageIndex{1}): tahrikli sarkaç

Otonom olmayan denklemi düşünün:

[dfrac{d^{2} heta}{dt^{2}} = -dfrac{g}{L}sin heta+ksin(2pi{ft}+phi) etiket{6.7}]

Bu, bir cismin davranışının diferansiyel denklemidir. tahrikli sarkaç. Sağ taraftaki ikinci terim, örneğin zemine gömülü harici olarak kontrol edilen bir elektromıknatıs tarafından sarkaç tarafından uygulanan periyodik olarak değişen bir kuvveti temsil eder. Daha önce tartıştığımız gibi, bu denklem aşağıdaki birinci dereceden forma dönüştürülebilir:

[egin{align*} dfrac{d heta}{dt} &=omegalabel{(6.8)} [4pt]dfrac{domega}{dt} &=-dfrac{ g}{L} sin heta +k sin (2pi ft +phi)label{(6.9)} end{align*}]

Şimdi (sin) fonksiyonunun içindeki (t) öğesini ortadan kaldırmamız gerekiyor. Ayrık zamanlı durumlar için yaptığımız gibi, bir "saat" değişkeni, diyelim ki (τ) şu şekilde ekleyebiliriz:

[dfrac{d au}{dt} =1, au(0) =0etiket{(6.10)} ]

Bu tanım (τ(t) = t)'yi garanti eder. Bunu kullanarak, tam model aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:

[egin{align*} dfrac{d heta}{dt} &=omega label{(6.11)} [4pt] dfrac{domega}{dt} &=-dfrac{ g}{L}sin heta +ksin(2pi{f au} +phi) label{(6.12)} [4pt] dfrac{d au}{dt} &= 1, au(0) =0 label{(6.13)} end{align*}]

Bu artık sadece özerk, birinci mertebeden diferansiyel denklemlerden yapılmıştır.

Bu dönüştürme tekniği her zaman işe yarar ve bize otonom, birinci dereceden denklemlerin otonom olmayan, yüksek dereceli denklemlerin tüm dinamiklerini kapsayabileceğini garanti eder.

Alıştırma (PageIndex{1})

Aşağıdaki diferansiyel denklemi birinci mertebeden forma dönüştürün.

[dfrac{d^{2}}{dt^{2}}-xdfrac{dx}{dt} +x^{2}=0 label{(6.14)}]

Alıştırma (PageIndex{2})

Aşağıdaki diferansiyel denklemi özerk, birinci dereceden bir forma dönüştürün.

[dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} -acos{bt}=0 label{(6.15)}]

Bilginiz olsun, aşağıdaki gerçekler diferansiyel denklemlerin yanı sıra fark denklemleri için de geçerlidir:

Doğrusal dinamik sistemler yalnızca üstel büyüme/çürüme, periyodik salınım, durağan durumlar (değişiklik yok) veya bunların melezlerini (örneğin, üstel olarak büyüyen salınım) gösterebilir.a.

abazen zamanın polinomları (veya polinomların ve üstellerin ürünleri) tarafından temsil edilen davranışları da gösterebilirler. Bu, katsayı matrisleri köşegenleştirilemez.

Doğrusal denklemler her zaman analitik olarak çözülebilirken, doğrusal olmayan denklemlerin genel olarak analitik çözümleri yoktur.


6.2 Bohr Modeli

Ernest Rutherford ve meslektaşlarının yirminci yüzyılın başlarındaki çalışmalarının ardından, sürekli olarak çekirdek etrafında hareket eden daha hafif ve hatta daha küçük elektronlarla çevrili küçük yoğun çekirdeklerden oluşan atom resmi iyi kurulmuştu. Bu resme gezegen modeli deniyordu, çünkü atomu, elektronların güneşin etrafında dönen gezegenler gibi yörüngesinde dolandığı minyatür bir “güneş sistemi” olarak resmediyordu. En basit atom, etrafında tek bir elektronun hareket ettiği çekirdek olarak tek bir protondan oluşan hidrojendir. Elektronu protona çeken elektrostatik kuvvet sadece iki parçacık arasındaki mesafeye bağlıdır. Bununla birlikte, atomun bu klasik mekanik tanımı eksiktir, ancak eliptik bir yörüngede hareket eden bir elektron (yön değiştirerek) hızlanacak ve klasik elektromanyetizmaya göre sürekli olarak elektromanyetik radyasyon yaymalıdır. Yörünge enerjisindeki bu kayıp, elektronun yörüngesinin çekirdeğe sarmal oluşturana kadar sürekli olarak küçülmesiyle sonuçlanmalıdır, bu da atomların doğal olarak kararsız olduğu anlamına gelir.

1913'te Niels Bohr, klasik elektromanyetizmanın hidrojendeki yörüngedeki elektronun sürekli olarak ışık yayacağı öngörüsünü göz ardı ederek atomik paradoksu çözmeye çalıştı. Bunun yerine, atomun klasik mekanik tanımına Planck'ın kuantizasyon fikirlerini ve Einstein'ın ışığın enerjisi frekanslarıyla orantılı olan fotonlardan oluştuğunu bulmasını dahil etti. Bohr, çekirdeğin yörüngesinde dönen elektronun normalde herhangi bir radyasyon yaymayacağını (durağan durum hipotezi), ancak farklı bir yörüngeye hareket ederse bir foton yayacağını veya soğuracağını varsayıyordu. Emilen veya yayılan enerji, bu denkleme göre yörünge enerjilerindeki farklılıkları yansıtacaktır:

Bu denklemde, H Planck sabitidir ve Eben ve EF sırasıyla başlangıç ​​ve son yörünge enerjileridir. Frekanslar ve dalga boyları her zaman pozitif olduğundan, enerji farkının mutlak değeri kullanılır. Bohr, sürekli enerji değerlerine izin vermek yerine, bu elektron orbitallerinin enerjilerinin nicelleştirildiğini varsaydı:

Bu ifadede, k elektron kütlesi ve yükü gibi temel sabitleri ve Planck sabitini içeren bir sabittir. Yörünge enerjileri ifadesinin Δ denklemine eklenmesiE verir

En düşük birkaç enerji seviyesi Şekil 6.14'te gösterilmiştir. Fiziğin temel yasalarından biri, maddenin mümkün olan en düşük enerjiyle en kararlı olduğudur. Bu nedenle, bir hidrojen atomundaki elektron genellikle n = 1 yörünge, en düşük enerjiye sahip olduğu yörünge. Elektron bu en düşük enerjili yörüngedeyken, atomun temel elektronik durumunda (veya basitçe temel durumunda) olduğu söylenir. Atom bir dış kaynaktan enerji alıyorsa, elektronun daha yüksek bir yörüngeye hareket etmesi mümkündür. n atom şimdi daha yüksek bir enerjiyle uyarılmış bir elektronik durumda (ya da sadece uyarılmış bir durumda). Bir elektron uyarılmış bir durumdan (daha yüksek enerjili yörünge) daha az uyarılmış bir duruma veya temel duruma geçtiğinde, enerjideki fark bir foton olarak yayılır. Benzer şekilde, bir foton bir atom tarafından emilirse, fotonun enerjisi bir elektronu daha düşük enerjili bir yörüngeden daha heyecanlı bir yörüngeye taşır. Atomlardaki elektronların enerjisini, enerji hakkında daha önce öğrendiklerimizle ilişkilendirebiliriz. Enerjinin korunumu yasası, enerjiyi ne yaratabileceğimizi ne de yok edemeyeceğimizi söylüyor. Böylece, bir elektronu bir enerji seviyesinden diğerine uyarmak için belirli bir miktarda dış enerji gerekiyorsa, elektron ilk durumuna döndüğünde aynı miktarda enerji serbest kalacaktır (Şekil 6.15).

Bohr'un modeli yalnızca tek bir elektron içerdiğinden, hidrojenden yalnızca nükleer yükleri bakımından farklı olan He + , Li 2+ , Be 3+ vb. tek elektron iyonlarına ve dolayısıyla tek elektronlu atomlara da uygulanabilir. ve iyonlar topluca hidrojen benzeri atomlar olarak adlandırılır. Hidrojen benzeri atomlar için enerji ifadesi, hidrojen atomu enerjisinin bir genellemesidir. Z nükleer yüktür (hidrojen için +1, He için +2, Li için +3 vb.) ve k 2.179 × × 10 –18 J değerine sahiptir.

Hidrojen benzeri atomlar için dairesel yörüngelerin boyutları, aşağıdaki ifadeyle yarıçapları cinsinden verilir; burada a 0 a 0, Bohr yarıçapı olarak adlandırılan ve 5.292 × × 10 −11 m değerinde bir sabittir:

Denklem ayrıca bize elektronun enerjisi arttıkça ( n artar), elektron çekirdekten daha uzak mesafelerde bulunur. Bu, elektrostatik çekimin mesafeye ters bağımlılığı ile ima edilir, çünkü elektron çekirdekten uzaklaştıkça, onunla çekirdek arasındaki elektrostatik çekim azalır ve atomda daha az sıkı tutulur. olarak unutmayın n büyür ve yörüngeler büyür, enerjileri sıfıra yaklaşır ve böylece n ⟶ ∞ n ⟶ ∞ ve r ⟶ ∞ r ⟶ ∞ sınırları şunu ima eder: E = 0, elektronun çekirdekten tamamen ayrıldığı iyonlaşma sınırına karşılık gelir. Böylece, temel haldeki hidrojen için n = 1, iyonlaşma enerjisi şöyle olacaktır:

Şu anda çözülen son derece şaşırtıcı üç paradoksla (kara cisim ışıması, fotoelektrik etki ve hidrojen atomu) ve hepsi de Planck sabitini temel bir şekilde içerdiğinden, o zamanlar çoğu fizikçi için, klasik teorilerin çok iyi çalıştığı açık hale geldi. makroskopik dünya temelde kusurluydu ve atomların ve moleküllerin mikroskobik alanına genişletilemezdi. Ne yazık ki, Bohr'un Rydberg sabiti için teorik bir ifade türetmedeki olağanüstü başarısına rağmen, teorisini yalnızca iki elektronu olan bir sonraki en basit atom olan He'ye genişletemedi. Bohr'un modeli ciddi şekilde kusurluydu, çünkü hala klasik mekanik kesin yörüngeler kavramına dayanıyordu, daha sonra klasik mekaniğin yerini almak için uygun bir kuantum mekaniği modeli geliştirildiğinde mikroskobik alanda savunulamaz olduğu anlaşılan bir kavram.


Yukarıdaki varsayımları kullanarak Michaelis-Menten türevi:

ES oluşum oranı = k1[E][S] + k-2[E][P]

1 numaralı varsayım, k'yi görmezden gelebileceğimizi söylüyor-2 reaksiyon, bu nedenle:

ES oluşum oranı = k1[E][S]

Varsayım #5, [E] = [E] diyorToplam - [ES], bu nedenle:

ES oluşum oranı = k1([E]Toplam - [ES])[S]

ES arıza oranı, ayrışma ve ürüne dönüşümün bir kombinasyonudur:

ES arıza oranı = k-1[ES] + k2[ES]

ES arıza oranı = (k-1 + k2)[ES]

Varsayım #2, ES oluşum hızının bozulma hızına eşit olduğunu söylüyor:

Hız sabitleri cinsinden tanımlamak için yeniden düzenleyin:

Yeni bir sabit tanımlayın, Km = (k-1 + k2) / k1

[ES] terimini çözün (bir sonraki adımda açıklanacak nedenlerden dolayı):

Herhangi bir anda ölçülen gerçek reaksiyon hızı şu şekilde verilir:

Yukarıdaki denklemin her iki tarafını k ile çarpın2:

Mümkün olan maksimum hız (Vmax), tüm enzim molekülleri substrat [ES] = [E] ile bağlandığında meydana gelir.Toplam, Böylece:

Bunu önceki ifadeyle değiştirmek şunları verir:

Bu, deneysel kinetik verilerinizi modellemek için kullanılan matematiksel ifadedir.

Michaelis-Menten denklemi olarak bilinir.


LTA modeli, gizil sınıf değişkenlerinin sınıflarında veya durumlarında zaman içinde meydana gelen değişiklikleri incelemek için boylamsal bir karışım modelidir (Graham ve diğerleri, 1991 Collins ve Wugalter, 1992 Lanza, Flaherty ve Collins, 2003). Çoğu zaman, LCA, her zaman noktasında aynı sonuç ölçütlerini kullanarak gözlemlenmeyen gizli sınıfları, durumları veya durumları tanımlamak için kullanılır. LTA, LCA'nın ölçüm modeli rolünü oynadığı boylamsal verilere LCA'nın bir uzantısı olarak düşünülebilir. Gizli sınıflar farklı zaman noktalarında tanımlandıktan sonra, gizli sınıf üyeliğinin zaman içindeki geçişlerini analiz etmek için yapısal bir model kullanılır. Elbette, gizil sınıf sınıflandırması ve gizil sınıfların zaman içindeki geçişlerine ilişkin analiz, LTA'da eşzamanlı olarak yürütülür ve ilgi, zaman içinde sınıflar arasındaki geçişe odaklanır. Genellikle birinci mertebeden durağan geçiş varsayılır, böylece t anındaki sınıf durumları sadece ( t - 1) anındaki durumlardan etkilenir ve bu bağımlılık zaman içinde sabittir. (t − 1)'de k sınıfından t zamanında m sınıfına geçiş olasılığı, c'nin aşağıdaki çok terimli lojistik regresyonunda açıklanmıştır. T c üzerinde ( t - 1) (Reboussin ve diğerleri, 1998 Nylund, Asparouhov ve Muthén, 2007):

burada gizli sınıfa geçiş olasılığını temsil eder.

Elde etmek Yapısal Denklem Modelleme: Mplus Kullanan Uygulamalar şimdi O'Reilly çevrimiçi öğrenme ile.

O'Reilly üyeleri, canlı çevrimiçi eğitimin yanı sıra 200'den fazla yayıncının kitap, video ve dijital içeriğini deneyimler.


6.2 ARCH(1) Modeli

Göz önünde bulundurduğumuz temel model, geçmiş son pertürbasyonların karesi üzerinde bir gecikme mertebesine dayalı olarak zaman serilerinin koşullu varyansının bir parametreleştirilmesidir. Basitlik adına, zaman serisinin ortalamada bir yapısı olmadığını, koşullu olarak gauss olduğunu ve ayrıca koşullu varyansın zamana bağlı olduğunu varsayıyoruz.

Bu üç koşulu sağlayan bir sürece, birinci dereceden otoregresif koşullu değişen varyans denir.

Bu temel ARCH(1) süreci, kare pertürbasyonlar üzerinde doğrusal bir model olarak formüle edilebilir. Let , böylece kare hatası olarak yazılabilir

Çünkü, bilginin zamana göre nerede olduğu, yinelenen beklentiler yasasının sıfır ortalamaya sahip olduğunu ve seri olarak ilişkisiz olduğunu ortaya koymaktadır. Bu nedenle, Gauss olmayan bir beyaz gürültünün olduğu bir AR(1) temsiline sahiptir.

Bu ARCH süreci, diğer birçok doğrusal modelin (ARMA modelleri, regresyon modelleri, ) yenilik modeli olarak dahil edilebilir.

6.2.1 ARCH(1)'in Koşullu ve Koşulsuz Momentleri

ARCH(1) sürecinin koşulsuz momentlerinin türetilmesi, koşullu dağılımlarda yinelenen beklentiler yasasının kapsamlı kullanımıyla mümkündür. Ardından, aşağıdaki ifadeler karşılanır:

bu, varyans dizisi için doğrusal bir fark denklemidir. Sürecin sonlu bir başlangıç ​​varyansı ile geçmişte sonsuz bir şekilde başladığını varsayarsak, varyanslar dizisi sabite yakınsar.

Bu koşulsuz varyans olduğunda, ön bilgi sonsuz ufuktaki oynaklığı tahmin etmek için herhangi bir bilgi vermez.

Koşullu ve koşulsuz varyans arasındaki fark, karesi alınmış yeniliklerin ortalamalarından sapmasının basit bir işlevidir. ARCH(1) modelinde 0$ --> ile olsun. Daha sonra, gecikmeli hataların gerçekleşen değerlerine bağlı olan mevcut hatanın varyansı, işaretlerinden bağımsız olarak gecikmeli hataların büyüklüğünün artan bir fonksiyonudur. Bu nedenle, işaretlerden birinin büyük hatalarını, her iki işarette de büyük bir hata izleme eğilimindedir, benzer şekilde, herhangi bir işaretteki küçük hataları, her iki işarette de küçük bir hata takip etme eğilimindedir.

Bir ARCH(1) sürecinin koşulsuz yoğunluğunun doğası, daha yüksek dereceli momentlerle analiz edilebilir. Aslında,

Yinelenen beklentiler yasasını bir kez daha uygulayarak,

Sürecin hem varyansta hem de dördüncü anda durağan olduğunu varsayarsak, eğer ,

Basit cebir daha sonra basıklığın olduğunu ortaya çıkarır.

açıkça 3'ten büyüktür (normal dağılımın basıklık değeri). Ayrıca dördüncü an için ve dolayısıyla koşulsuz basıklığın sonlu olması gerekir.

Bu nedenle, koşulsuz dağılımı leptokurtiktir. Yani ARCH(1) sürecinin kuyrukları normal dağılımdan daha ağırdır. Bu özellik ARCH sürecini cazip kılmaktadır çünkü varlık getirilerinin dağılımları sıklıkla normal dağılımdan daha ağır kuyruklar göstermektedir.

Kuantlet XEGarch05, koşulsuz varyansı 1'e eşit olan bir ARCH(1) serisi oluşturur ve temel tanımlayıcı istatistikleri elde eder.

Karşılık gelen çıktıda koşulsuz standart hatanın birden fazla olmadığını görebiliriz. Bununla birlikte, standartlaştırılmış beyaz gürültü gauss modelinden beklediğimizden daha yüksek basıklık ve daha geniş bir aralık da gözlemleyebiliriz.

6.2.2 ARCH(1) Süreci için Tahmin

İşlem, toplam numune boyutunun bulunduğu denklemler (6.1)'de açıklanan bir ARCH(1) işlemi tarafından oluşturulur. (6.1) ile tanımlanan süreç, tüm gözlemlerin koşullu olarak normal dağılmış olmasına rağmen, gözlem vektörü birlikte normal değildir. Bu nedenle, bir ilk gözleme bağlı olarak, eklem yoğunluğu fonksiyonu şu şekilde yazılabilir:

Bu sonucu kullanarak ve sabit bir faktörü göz ardı ederek, bir örneklem büyüklüğü için log-olabilirlik fonksiyonu şudur:

için inci gözlemin koşullu log-olasılığı,

Maksimum olabilirlik tahmincisini elde etmek için birinci dereceden koşullar şunlardır:

Daha genel olarak, kısmi türevi şu şekildedir:

Şekil 6.5: ARCH(1) simüle edilmiş verilerin log-olasılık fonksiyonu. Dikey çizgi, gerçek parametre değerini gösterir

ML tahmin edicileri, olağan varsayımlar altında asimptotik olarak normaldir.

nereye yakınlaştırılmalıdır.

Hessian matrisinin elemanları şunlardır:

Bilgi matrisi, basitçe, tüm gözlemler üzerinden Hessian ortalamasının olumsuz beklentisidir, yani,

(6.3) dikkate alındığında, son terimlerin koşullu beklentileri 1'dir. Dolayısıyla, Hessian matrisinin ve dolayısıyla bilgi matrisinin koşulsuz beklentisini hesaplamak için, tüm koşullu beklentilerin ortalamasıyla ona yaklaşırız. Daha sonra, tutarlı bir şekilde tahmin edilir

Pratikte, maksimum olabilirlik tahmincisi sayısal yöntemlerle hesaplanır ve özellikle basitlikleri nedeniyle gradyan yöntemleri tercih edilir. Bunlar yinelemeli yöntemlerdir ve her adımda, eğim yönü boyunca bir adım ileriyi arayarak olasılığı artırırız. Bu nedenle, aşağıdaki yineleme şemasının oluşturulması arzu edilir:

adım uzunluğu genellikle tek boyutlu bir arama ile elde edilir, (detaylar için bkz. Bernt, Hall, Hall ve Hausman 1974)

Şekil: Parametre tahmincilerinin çekirdek yoğunluğu: için sol üst panelde , için sağ alt panelde ve sol alt panelde parametre tahmincilerinin dağılım grafiğine sahibiz

Şekil 6.6'da, asimptotik teorinin belirttiği gibi, her iki örnekleme dağılımının da aralarında küçük bir korelasyon ile iki değişkenli normal yoğunluğa yaklaştığını görebiliriz.

Bu örnekte, tahmin edilen parametrelerin teorik değerlerle uyumlu olduğunu ve çok yüksek bir t oranına sahip olduklarını görüyoruz. Listenin üçüncü bileşeninde olasılığa, dördüncü bileşende ise model için tahmini oynaklığa sahibiz. Örneğin, zaman serisini çizebilir ve şekil 6.7'de görebileceğiniz gibi, zaman serisinin ortalama değeri etrafındaki tahmini oynaklığın karekökünün iki katını temsil eden iki çizgi ekleyebiliriz,


6.2: Model Denklemin Sınıflandırmaları

Şimdi olasılıklar için modelleri ele alıyoruz ( pi_ ). Özellikle, bu olasılıkların bir vektöre bağlı olduğu modelleri düşünmek istiyoruz ( oldsymbol_i ) ( i )-th bireyi veya grubuyla ilişkili ortak değişkenler. Örneğimiz açısından kısır olma, başka bir yöntem kullanma veya hiç yöntem kullanmama olasılığının kadının yaşına göre nasıl modellendiğini modellemek istiyoruz.

6.2.1 Çok Terimli Logitler

Belki de çok terimli verilere en basit yaklaşım, yanıt kategorilerinden birini temel veya referans hücre olarak atamak, taban çizgisine göre diğer tüm kategoriler için log-oranları hesaplamak ve ardından log-oranları, tahmin edicilerin doğrusal bir fonksiyonu olmasına izin vermektir.

Tipik olarak biz seçeriz geçen kategorisini bir taban çizgisi olarak belirleyin ve ( i ) grubunun bir üyesinin, taban çizgisinin ( pi_ gibi) yerine ( j ) kategorisine girme olasılığını hesaplayın/pi_ ). Örneğimizde, hiçbir yöntem kullanmamak yerine sterilize edilme olasılıklarına ve hiçbir yöntem kullanmamak yerine başka bir yöntem kullanma olasılıklarına bakabiliriz. 45&ndash49 yaşındaki kadınlar için bu oranlar 91:183 (veya kabaca 1 ila 2) ve 10:183 (veya 1 ila 18) şeklindedir.

Şekil 6.2 Sterilizasyona Karşı Yöntem Yok ve Log-Odds of
Yaşa göre Diğer Yöntem ve Yöntem Yok

Şekil 6.2, yaş gruplarının orta noktalarına karşı çizilen sterilizasyon ve diğer yöntemin (referans kategorisi olarak hiçbir yöntem kullanılmadan) ampirik log-oranlarını göstermektedir. (Şimdilik düz çizgileri göz ardı edin.) Sterilizasyon log-olasılığının yaşla birlikte nasıl hızla arttığına ve 30&ndash34'te maksimuma ulaştığına ve ardından hafifçe düştüğüne dikkat edin. Diğer yöntemleri kullanma olasılıkları 25 yaşına kadar hafifçe yükselir ve ardından hızla düşer.

6.2.2 Logitlerin Modellenmesi

Çok terimli logit modelinde, her yanıtın log-oranlarının doğrusal bir modeli takip ettiğini varsayıyoruz.

burada ( alpha_j ) bir sabittir ve ( oldsymbol<eta>_j ) ( j= 1, 2, ldots, J-1 ) için bir regresyon katsayıları vektörüdür. Sabiti açıkça yazdığımıza dikkat edin, bu nedenle bundan böyle model matrisinin ( oldsymbol ) bir sütunu içermez.

Bu model, yanıtın olasılık dağılımının binom yerine çok terimli olması ve bir yerine ( J-1 ) denklemlerimiz olması dışında, bir lojistik regresyon modeline benzer. ( J-1 ) çok terimli logit denklemleri, ( 1, 2, ldots J-1 ) kategorilerinin her birini ( J ) ile karşılaştırırken, tek lojistik regresyon denklemi, başarılar ve başarısızlıklar arasındaki bir karşıtlıktır. ( J=2 ) ise, çok terimli logit modeli olağan lojistik regresyon modeline indirgenir.

( J ) yanıt kategorileriyle bir değişkeni tanımlamak için yalnızca ( J-1 ) denklemlerine ihtiyacımız olduğunu ve referans hücre olarak hangi kategoriyi seçtiğimizin gerçekten hiçbir fark yaratmadığını unutmayın, çünkü her zaman bir formülasyondan bir formüle dönüştürebiliriz. bir diğer. ( J=3 ) kategorileri ile ilgili örneğimizde, kategori 1'e karşı 3 ve 2'ye karşı 3'ü karşılaştırıyoruz. Kategori 1 ve 2 arasındaki eksik kontrast, diğer ikisi açısından kolayca elde edilebilir, çünkü ( log(pi_)./pi_) = log(pi_/pi_) - log(pi_/pi_) ).

Şekil 6.2'ye bakıldığında, logitlerin yaşın ikinci dereceden bir fonksiyonu olduğu görülecektir. Bu nedenle modeli eğlendireceğiz

[ ag<6.4>eta_ = alpha_j + eta_j a_i + gamma_j a_i^2,]

burada ( a_i ) sırasıyla sterilizasyon ve diğer yöntem için ( i )-th yaş grubunun orta noktası ve ( j=1,2 )'dir.

6.2.3 Olasılıkların Modellenmesi

Çok terimli logit modeli orijinal olasılıklar cinsinden de yazılabilir ( pi_ ) günlük oranları yerine. r<>q:mlogit'ten başlayarak ve ( eta_ = 0 ), yazabiliriz

( j=1, ldots, J ) için. Bu sonucu doğrulamak için Denklem 6.3'ü üsleyerek ( pi_ = pi_ exp> ) ve kuralın ( eta_=0 ) bu formülü tüm ( j ) için geçerli kılar. Sonraki toplama ( j ) üzerinde ve ( sum_jpi_ gerçeğini kullanın=1 ) elde etmek için ( pi_ = 1/sum_j exp> ). Son olarak, bu sonucu ( pi_ formülünde kullanın. ).

Denklem 6.5'in otomatik olarak her bir ( i ) için birer tane ekleyen olasılıklar vereceğine dikkat edin.

6.2.4 Maksimum Olabilirlik Tahmini

Bu modelin parametrelerinin maksimum olabilirlik ile tahmini, çok terimli olabilirliğin (6.2) olasılıklar ile maksimizasyonu ile ilerler ( pi_ ) Denklem 6.3'teki ( alpha_j ) ve ( oldsymbol<eta>_j ) parametrelerinin fonksiyonları olarak görülüyor. Bu genellikle sayısal prosedürler gerektirir ve Fisher puanlaması veya Newton-Raphson genellikle oldukça iyi çalışır. Çoğu istatistiksel paket, çok terimli bir logit prosedürü içerir.

Örneğimiz açısından, Denklem 6.4'ün ikinci dereceden çok terimli logit modelinin takılması, 8 d.f'de 20.5'lik bir sapmaya yol açar. İlişkili P değeri 0,009'dur, bu nedenle önemli bir uyum eksikliğimiz var.

İkinci dereceden yaş etkisinin, dört d.f üzerinde 500,6'lık bir ilişkili olabilirlik oranı ( chi^2 ) vardır. (( 521.1 - 20.5 = 500,6 ) ve ( 12 - 8 = 4 )) ve oldukça anlamlıdır. Yalnızca dört parametre kullanarak yaş ve yöntem seçimi (( 500,6/521.1=0.96 )) arasındaki ilişkinin %96'sını oluşturduğumuzu unutmayın.

Tablo 6.2. Çok Terimli Logit Modeli İçin Parametre Tahminleri
Kontraseptif Kullanım Verilerine Uygun

ParametreZıtlık
Ster. vs. YokDiğer - Yok
Devamlı-12.62-4.552
Doğrusal0.70970.2641
ikinci dereceden-0.009733-0.004758

Tablo 6.2, iki çok terimli logit denklemi için parametre tahminlerini göstermektedir. Bu değerleri 17.5'ten 47.5'e kadar her yaş için uygun logitleri hesaplamak için kullandım ve bunları Şekil 6.2'de ampirik logitlerle birlikte çizdim. Şekil, sterilizasyon olasılığını olduğundan fazla tahmin ettiğimiz 15-19 yaş grubu dışında, önemli olmasına rağmen, uyum eksikliğinin ciddi bir sorun olmadığını göstermektedir.

Bu koşullar altında, muhtemelen ikinci dereceden modele bağlı kalacağım çünkü çok az parametre kullanarak makul bir iş yapıyor. Ancak, ekstra mil gitmenizi ve kübik bir terim denemenizi rica ediyorum. Model uyum iyiliği testini geçmelidir. Takılan değerler makul mü?

6.2.5 Eşdeğer Log-Lineer Model*

Çok terimli logit modeller, eşdeğer bir log-lineer model ve Poisson olasılığı ile çalışan maksimum olabilirlik ile de uygun olabilir. (Bu bölüm yalnızca bu modeller arasındaki denklikle ilgilenen okuyucuların ilgisini çekecektir ve ilk okumada atlanabilir.)

Spesifik olarak, rastgele sayıları ele alıyoruz ( Y_ ) anlamına gelen Poisson rastgele değişkenleri olarak ( mu_ ) aşağıdaki log-lineer modeli karşılayan

[ ag<6.6>log mu_ = eta + heta_i + alpha^*_j + oldsymbol_i'oldsymbol<eta>^*_j,]

parametreler, tanımlanabilirlik için olağan kısıtlamaları karşılar. Bu modelin üç önemli özelliği vardır:

İlk olarak, model her bir çok terimli gözlem, yani her birey veya grup için ayrı bir ( heta_i ) parametresi içerir. Bu, çok terimli paydaların tam olarak yeniden üretilmesini sağlar ( n_ ). Bu paydaların çok terimli olabilirlikteki bilinen sabit miktarlar olduğuna, ancak Poisson olasılığına göre rastgele olarak kabul edildiğine dikkat edin. Onları doğru anladığımızdan emin olmak, koşullandırma konusunu tartışmalı hale getiriyor.

İkinci olarak, model her yanıt kategorisi için ayrı bir ( alpha^*_j ) parametresi içerir. Bu, sayıların yanıt kategorisine göre değişmesine izin vererek, tek tip olmayan marjlara izin verir.

Üçüncüsü, model etkileşim terimlerini kullanır ( oldsymbol_i'oldsymbol<eta>^*_j ) ortak değişkenlerin etkilerini temsil etmek için ( oldsymbol_i ) yanıtın log-oranları ( j ) üzerinde. Bir kez daha, lojistik bir modeldeki ana etkilerin eşdeğer log-lineer modelde etkileşimler haline geldiği bir &lsquostep-up&rsquo durumumuz var.

Gözlemin ( i ) son yanıt kategorisine ( J ) göre yanıt kategorisine ( j ) düşeceği log-oranları Denklem 6.6'dan şu şekilde hesaplanabilir:

Bu denklem, ( alpha_j=alpha^*_j-alpha^*_J ) ve ( oldsymbol<eta>_j=oldsymbol<eta>^*_j- ile çok terimli logit Denklem 6.3 ile aynıdır. oldsymbol<eta>^*_J ). Böylece, çok terimli logit modelindeki parametreler, karşılık gelen log-lineer modeldeki parametreler arasındaki farklar olarak elde edilebilir. ( heta_i ) öğesinin iptal edildiğine ve tanımlama için gereken kısıtlamaların, yani ( eta_=0 ), otomatik olarak karşılanır.

Örneğimiz açısından, orijinal ( 7 imes 3 ) tablosundaki sayıları 21 bağımsız Poisson gözlemi olarak ele alabilir ve yaşın ana etkisini (bir faktör olarak ele alınır) içeren log-lineer bir modele sığdırabiliriz. kontraseptif kullanımının ana etkisi (bir faktör olarak ele alınır) ve kontraseptif kullanımı (bir faktör) ile yaşın doğrusal ve ikinci dereceden bileşenleri arasındaki etkileşimler:

[ ag<6.8>log mu_ = eta + heta_i + alpha^*_j + eta^*_j a_i + gamma^*_j a_i^2]

Pratik açıdan bu, yaş gruplarını temsil eden altı yapay değişkenin, yöntem seçimi kategorilerini temsil eden iki yapay değişkenin ve orta nokta ( a_i ) tarafından yöntem seçimi kuklalarının çarpımı olarak elde edilen toplam dört etkileşim teriminin dahil edilmesini gerektirir. ve her yaş grubunun orta noktasının ( a_i^2 ) karesi. Detaylar alıştırma olarak bırakılmıştır. (Ama Stata notlarına bakın.)


Özet

Bohr, Planck'ın ve Einstein'ın niceleme fikirlerini, atom kararlılığı ve ayrık spektrum paradoksunu çözen bir hidrojen atomu modeline dahil etti. Hidrojen atomunun Bohr modeli, fotonların nicelenmesi ile atomlardan nicelenmiş emisyon arasındaki bağlantıyı açıklar. Bohr, hidrojen atomunu bir çekirdek etrafında dairesel bir yörüngede hareket eden bir elektron olarak tanımladı. Elektronun, ayrık enerjilerle karakterize edilen belirli yörüngelerle sınırlı olduğunu öne sürdü. Bu izin verilen yörüngeler arasındaki geçişler, fotonların emilmesine veya yayılmasına neden olur. Bir elektron daha yüksek enerjili bir yörüngeden daha kararlı bir yörüngeye geçtiğinde, bir foton şeklinde enerji yayılır. Bir elektronu kararlı bir yörüngeden daha heyecanlı bir yörüngeye taşımak için bir enerji fotonu soğurulmalıdır. Bohr modelini kullanarak, herhangi bir elektronlu sistemde bir elektronun enerjisini ve yörüngesinin yarıçapını hesaplayabiliriz.


Jet Tahrik

Jet tahriki, hava uçaklarının ve diğer cihazların sevk edildiği bir mekanizmadır. Esasen hava motora emilir ve ilave ısıtma (yakılan yakıt) ile hız artar. Yanmış gazların artmasıyla çıkış alanının daha da artması, itmeyi daha da arttırır. Bu tür cihazların analizi karmaşıktır ve birçok üniversitede bu konuya ayrılmış bütün bir sınıf vardır. Burada, durağan durumla ilgili çok sınırlı bir tartışma sunulmaktadır. Jet tahriki ile pervaneler arasındaki fark, sağlanan enerjiye bağlıdır. Pervaneler, itmeye dönüştürülen mekanik bir iş ile hareket ettirilir. Jet tahrikinde, termal enerji itmeye dönüştürülür. Bu nedenle, bu doğrudan dönüştürme, birçok durumda daha verimli olabilir ve öyledir. Ayrıca, sıkıştırılabilir akışla ilgili Bölüm'de gösterileceği gibi, geçmişte büyük bir engel olan ses hızının üzerinde bir hıza ulaşmayı sağlar. Çoğu jet için giriş alanı ve çıkış alanı farklıdır ve yakıtın kütlesi ihmal edilirse o zaman

Hareketli bir kontrol hacmi için kararlı durum hesaplamalarının nasıl yapıldığını gösteren akademik bir örnek. dikkat edin

Şekil 6.5'te gösterilen bir kızak oyuncağı sıvı jeti ile itilir. Oyuncak, (U_0) hızıyla kararlı durumdayken oyuncak üzerindeki sürtünme kuvvetini hesaplayın. Jetin yatay ve yansıtıcı jetin dikey olduğunu varsayın. NS

Şekil 6.5 Örneğin sabit bir durumda sıvı jeti tarafından itilen Oyuncak Kızak.

jet hızı eşittir. Sıvı (jet) ile oyuncak ve hava ile oyuncak arasındaki sürtünmeyi ihmal ediniz. Jet çıkışının mutlak hızını hesaplayın. Oyuncak ve yüzey (zemin) arasındaki sürtünmenin dikey kuvvete göre olduğunu varsayın. Dinamik sürtünme (mu_d).

Seçilen kontrol hacmi oyuncağa eklenir ve böylece kararlı durum elde edilir. Referans çerçevesi oyuncak hızıyla hareket ediyor, (pmb_0). Kararlı durum için geçerli kütle korunumu denklemi
aşlamak
A_ <1>U_ <1>= A_ <2>U_ <2>
son
(x) yönündeki momentum denklemi

Kontrol hacmine göreli hız,
aşlamak
pmb_ <1j>= left(U_j - U_0 ight),hat
end
The relative velocity out the control volume is
aşlamak
pmb_ <2j>= left(U_j - U_0 ight),hat
end
The absolute exit velocity is
aşlamak
pmb_ <2>= U_0 hat + left(U_j - U_0 ight),hat
end
For small volume, the gravity can be neglected also because this term is small compared to other terms, thus
aşlamak
int_ pmb , ho, dV sim 0
end
The same can be said for air friction as
aşlamak
int_ oldsymbol< au>,dA sim 0
end
The pressure is uniform around the control volume and thus the integral is
aşlamak
int_pmb

,dA = 0
end
The control volume was chosen so that the pressure calculation is minimized. The momentum flux is

[ label
int_<>> ho, U_x, U_i, dA = A, ho, >^2
] The substituting (29) into equation (??) yields

[ label
F_f = A, ho, >^2
] The friction can be obtained from the momentum equation in the (y) direction
aşlamak
m_ ,g + A, ho, >^2 = F_
end
According to the statement of question the friction force is
aşlamak
F_f = mu_d left( m_ ,g + A, ho, >^2 ight)
end
The momentum in the (x) direction becomes
aşlamak
mu_d left( m_ ,g + A, ho, >^2 ight) = A, ho, >^2 = A, ho,
left( U_j- U_0 ight)^2
end
The toy velocity is then
aşlamak
U_0 = U_j - sqrt < dfrac,g> < A, ho, left( 1 -mu_d ight) >>
end
Increase of the friction reduce the velocity. Additionally larger toy mass decrease the velocity.


6.3.2.1: The Darcy-Weisbach Equation for Single-Segment Oil Production Wells

The Darcy-Weisbach Equation is one of the most common equations for modeling single-phase liquid flow through pipes and tubing. The Darcy-Weisbach Equation is developed by ignoring the acceleration term in Equation 6.02 and replacing the derivative with a finite-difference approximation:

Where the angle, θ , is measured from the horizontal and is 90º ( π 2 r a d i a n s ) for true vertical wells and 0º ( 0 r a d i a n s ) for horizontal wells. Solving this equation for the velocity:

Substituting for the velocity term, v ( f t sec ) = q A = ( 4 ) 144 ( i n 2 f t 2 ) π D I D 2 ( i n 2 ) 5.615 ( f t 3 b b l ) q ( b b l d a y ) 24 ( h r d a y ) 60 ( min h r ) 60 ( sec min ) :

or, after evaluating the constants and rearranging:

Noting that the term Δ l s i n ( θ ) = Δ z (the change in elevation over the length of the tubing, Δ l ):

This is the theoretically derived Darcy-Weisbach Equation for flow through pipe/tubing in oilfield units. This equation relates the flow rate, q ( b b l s / d a y ) , to a given pressure drop Δ p = p 1 − p 2 ( psi ) . In practice, we include a dimensionless efficiency factor, E e f f , which is approximately equal to one ( E e f f ≅ 1.0 ) . This efficiency factor is used to tune the equation to actual field measurements.

This version of the Darcy-Weisbach Equation is the version most often used in industry software. In this equation:

  • 411.147 is an equation constant
  • 144 is a unit conversion constant, in 2 /ft 2
  • q is the flow rate through the tubing, bbl/day
  • E e f f is an efficiency (tuning) factor for the tubing section ( E e f f ≅ 1.0 ) , dimensionless
  • D I D is the Inner Diameter ( I D ) of the tubing, in
  • g c is the Universal Gravitational Constant, 32.174 lbm-ft/lbF-sec 2
  • g is the Local Acceleration due to gravity, ft/sec 2 . The local acceleration due to gravity varies from location to location but is approximately 32.174 ft/sec 2 . The ratio of g g c is approximately 1.0 lbF/lbm
  • f D W is the Darcy-Weisbach Friction Factor, dimensionless
  • ρ is the density of the fluid, lbm/ft 3
  • Δ l is the length of the section of tubing along its axis, ft
  • p 1 and p 2 are the pressures at two points in a section of tubing, psi
  • z 1 and z 2 are the elevations at two points in a section of tubing, psi

We can use this equation in two ways. The first way to use Equation 6.12, is to specify the flow rate and calculate the pressure drop along the section of the pipe/tubing. This calculation is called a Pressure Traverse calculation and is illustrated in Figure 6.08 for a vertical well. In this figure, two tubing diameters are considered, and multiple production rates are plotted for each tubing size. The pressure traverse calculation is used by production engineers to help select the appropriate tubing size for the anticipated well production rates during the completion design phase of the well.

Alternatively, if we know one pressure and the flow rate, then we can calculate the other pressure. This is normally done by specifying the Well Head Pressure, p w h , and calculating the flowing bottom-hole pressure, p w f , for multiple production rates. This is called Tubing Performance calculation and is illustrated in Figure 6.09 for a well head pressure of p w h = 100 psi and the same two tubing sizes plotted in Figure 6.08: D I D =1 .995 in in and D I D =2 .993 in .

Author: Gregory King, Professor of Practice, Petroleum and Natural Gas Engineering, The Pennsylvania State University.

This courseware module is part of Penn State's College of Earth and Mineral Sciences' OER Initiative.

The College of Earth and Mineral Sciences is committed to making its websites accessible to all users, and welcomes comments or suggestions on access improvements. Please send comments or suggestions on accessibility to the site editor. The site editor may also be contacted with questions or comments about this Open Educational Resource.

The College of Earth and Mineral Sciences is committed to making its websites accessible to all users, and welcomes comments or suggestions on access improvements. Please send comments or suggestions on accessibility to the site editor. The site editor may also be contacted with questions or comments about this course.


6.2 Photoelectric Effect

When a metal surface is exposed to a monochromatic electromagnetic wave of sufficiently short wavelength (or equivalently, above a threshold frequency), the incident radiation is absorbed and the exposed surface emits electrons. This phenomenon is known as the photoelectric effect . Electrons that are emitted in this process are called photoelectrons .

The experimental setup to study the photoelectric effect is shown schematically in Figure 6.8. The target material serves as the cathode, which becomes the emitter of photoelectrons when it is illuminated by monochromatic radiation. We call this electrode the photoelectrode . Photoelectrons are collected at the anode, which is kept at a higher potential with respect to the cathode. The potential difference between the electrodes can be increased or decreased, or its polarity can be reversed. The electrodes are enclosed in an evacuated glass tube so that photoelectrons do not lose their kinetic energy on collisions with air molecules in the space between electrodes.

When the target material is not exposed to radiation, no current is registered in this circuit because the circuit is broken (note, there is a gap between the electrodes). But when the target material is connected to the negative terminal of a battery and exposed to radiation, a current is registered in this circuit this current is called the photocurrent . Suppose that we now reverse the potential difference between the electrodes so that the target material now connects with the positive terminal of a battery, and then we slowly increase the voltage. The photocurrent gradually dies out and eventually stops flowing completely at some value of this reversed voltage. The potential difference at which the photocurrent stops flowing is called the stopping potential .

Characteristics of the Photoelectric Effect

The photoelectric effect has three important characteristics that cannot be explained by classical physics: (1) the absence of a lag time, (2) the independence of the kinetic energy of photoelectrons on the intensity of incident radiation, and (3) the presence of a cut-off frequency. Let’s examine each of these characteristics.

The absence of lag time

When radiation strikes the target material in the electrode, electrons are emitted almost instantaneously, even at very low intensities of incident radiation. This absence of lag time contradicts our understanding based on classical physics. Classical physics predicts that for low-energy radiation, it would take significant time before irradiated electrons could gain sufficient energy to leave the electrode surface however, such an energy buildup is not observed.

The intensity of incident radiation and the kinetic energy of photoelectrons

Typical experimental curves are shown in Figure 6.9, in which the photocurrent is plotted versus the applied potential difference between the electrodes. For the positive potential difference, the current steadily grows until it reaches a plateau. Furthering the potential increase beyond this point does not increase the photocurrent at all. A higher intensity of radiation produces a higher value of photocurrent. For the negative potential difference, as the absolute value of the potential difference increases, the value of the photocurrent decreases and becomes zero at the stopping potential. For any intensity of incident radiation, whether the intensity is high or low, the value of the stopping potential always stays at one value.

At this point we can see where the classical theory is at odds with the experimental results. In classical theory, the photoelectron absorbs electromagnetic energy in a continuous way this means that when the incident radiation has a high intensity, the kinetic energy in Equation 6.12 is expected to be high. Similarly, when the radiation has a low intensity, the kinetic energy is expected to be low. But the experiment shows that the maximum kinetic energy of photoelectrons is independent of the light intensity.

The presence of a cut-off frequency

For any metal surface, there is a minimum frequency of incident radiation below which photocurrent does not occur. The value of this cut-off frequency for the photoelectric effect is a physical property of the metal: Different materials have different values of cut-off frequency. Experimental data show a typical linear trend (see Figure 6.10). The kinetic energy of photoelectrons at the surface grows linearly with the increasing frequency of incident radiation. Measurements for all metal surfaces give linear plots with one slope. None of these observed phenomena is in accord with the classical understanding of nature. According to the classical description, the kinetic energy of photoelectrons should not depend on the frequency of incident radiation at all, and there should be no cut-off frequency. Instead, in the classical picture, electrons receive energy from the incident electromagnetic wave in a continuous way, and the amount of energy they receive depends only on the intensity of the incident light and nothing else. So in the classical understanding, as long as the light is shining, the photoelectric effect is expected to continue.

The Work Function

The photoelectric effect was explained in 1905 by A. Einstein . Einstein reasoned that if Planck’s hypothesis about energy quanta was correct for describing the energy exchange between electromagnetic radiation and cavity walls, it should also work to describe energy absorption from electromagnetic radiation by the surface of a photoelectrode. He postulated that an electromagnetic wave carries its energy in discrete packets. Einstein’s postulate goes beyond Planck’s hypothesis because it states that the light itself consists of energy quanta. In other words, it states that electromagnetic waves are quantized.

In Einstein’s approach, a beam of monochromatic light of frequency F is made of photons. A photon is a particle of light. Each photon moves at the speed of light and carries an energy quantum E f . E f . A photon’s energy depends only on its frequency F. Explicitly, the energy of a photon is

where K max K max is the kinetic energy, given by Equation 6.12, that an electron has at the very instant it gets detached from the surface. In this energy balance equation, ϕ ϕ is the energy needed to detach a photoelectron from the surface. This energy ϕ ϕ is called the work function of the metal. Each metal has its characteristic work function, as illustrated in Table 6.1. To obtain the kinetic energy of photoelectrons at the surface, we simply invert the energy balance equation and use Equation 6.13 to express the energy of the absorbed photon. This gives us the expression for the kinetic energy of photoelectrons, which explicitly depends on the frequency of incident radiation:

This equation has a simple mathematical form but its physics is profound. We can now elaborate on the physical meaning behind Equation 6.14.

In Einstein’s interpretation, interactions take place between individual electrons and individual photons. The absence of a lag time means that these one-on-one interactions occur instantaneously. This interaction time cannot be increased by lowering the light intensity. The light intensity corresponds to the number of photons arriving at the metal surface per unit time. Even at very low light intensities, the photoelectric effect still occurs because the interaction is between one electron and one photon. As long as there is at least one photon with enough energy to transfer it to a bound electron, a photoelectron will appear on the surface of the photoelectrode.


Videoyu izle: Doğrusal Regrezsyon Linear Regression Weka Eğitim Serisi 8 (Aralık 2021).