Nesne

16.5: Fonksiyonların Dönüşümü - Matematik


Öğrenme hedefleri

  • Dikey ve yatay kaydırmaları kullanarak grafik fonksiyonları.
  • x ekseni ve y ekseni hakkındaki yansımaları kullanan grafik fonksiyonları.
  • Bir fonksiyonun çift, tek veya hiçbiri olup olmadığını grafiğinden belirleyin.
  • Sıkıştırmaları ve esnetmeleri kullanarak grafik işlevleri.
  • Dönüşümleri birleştirin.

Düz bir aynanın kendimizin ve arkamızda ne varsa doğru bir görüntüsünü görmemizi sağladığını hepimiz biliyoruz. Aynayı eğdiğimizde gördüğümüz görüntüler yatay veya dikey olarak kayabilir. Peki esnek bir aynayı büktüğümüzde ne olur? Bir karnaval eğlence evi aynası gibi, bize kendimizin çarpık, yatay veya dikey olarak gerilmiş veya sıkıştırılmış bir görüntüsünü sunar. Benzer şekilde, matematiksel işlevleri gerçek dünyadaki nesneleri veya süreçleri tanımlamaya daha iyi uyarlamak için çarpıtabilir veya dönüştürebiliriz. Bu bölümde, çeşitli dönüşüm türlerine bir göz atacağız.

Genellikle bir problem verildiğinde, matematik kullanarak senaryoyu kelimeler, tablolar, grafikler ve denklemler şeklinde modellemeye çalışırız. Kullanabileceğimiz bir yöntem, belirli bir senaryo için yeni modeller oluşturmak üzere araç kiti işlevlerinin temel grafiklerini uyarlamaktır. Çözmeye çalıştığımız problemler için uygun modeller oluşturmak için işlevleri değiştirmenin sistematik yolları vardır.

Dikey Kaymaları Tanımlama

Basit bir tür dönüşüm, bir fonksiyonun tüm grafiğini yukarı, aşağı, sağa veya sola kaydırmayı içerir. En basit kaydırma, grafiği yukarı veya aşağı hareket ettiren dikey bir kaydırmadır, çünkü bu dönüşüm, fonksiyona pozitif veya negatif bir sabit eklemeyi içerir. Başka bir deyişle, girişten bağımsız olarak fonksiyonun çıkış değerine aynı sabiti ekliyoruz. Bir (g(x)=f(x)+k) işlevi için, (f(x)) işlevi dikey olarak (k) birimleriyle kaydırılır. Örnek için Şekil (PageIndex{2})'e bakın.

Dikey kayma kavramını görselleştirmenize yardımcı olması için, (y=f(x)) olduğunu düşünün. Bu nedenle, (f(x)+k), (y+k) ile eşdeğerdir. (y)'nin her birimi (y+k ile değiştirilir), dolayısıyla (y)-değeri (k) değerine bağlı olarak artar veya azalır. Sonuç, yukarı veya aşağı kaymadır.

Tanım: Dikey Kaydırma

Bir (f(x) işlevi verildiğinde), yeni bir işlev (g(x)=f(x)+k), burada (k) bir sabittir, dikey kayma (f(x)) fonksiyonunun Tüm çıkış değerleri (k) birimleriyle değişir. (k) pozitifse, grafik yukarı kayar. (k) negatifse, grafik aşağı kayar.

Örnek (PageIndex{1}): Bir Fonksiyona Sabit Ekleme

Yeşil bir binada sıcaklığı düzenlemek için, çatıya yakın hava akımı menfezleri gün boyunca açılıp kapanır. Şekil (PageIndex{3}), gece yarısından sonraki saatler cinsinden gün boyunca (V) (feet kare olarak) açık havalandırmaların alanını gösterir, (t). Yaz aylarında, tesis yöneticisi gündüz ve gece boyunca açık havalandırma miktarını 20 fit kare artırarak sıcaklığı daha iyi düzenlemeye karar verir. Bu yeni fonksiyonun bir grafiğini çizin.

Çözüm

Orijinal fonksiyonun çıktı değerlerinin her birine 20 ekleyerek bu yeni fonksiyonun bir grafiğini çizebiliriz. Bu, Şekil (PageIndex{4})'de gösterildiği gibi grafiği dikey olarak yukarı kaydırma etkisine sahip olacaktır.

Şekil (PageIndex{4}), her giriş değeri için çıkış değerinin 20 arttığına dikkat edin, bu nedenle yeni işlevi (S(t) olarak çağırırsak), yazabiliriz

[S(t)=V(t)+20]

Bu gösterim bize, herhangi bir (t),(S(t)) değeri için, (V) fonksiyonunun aynı girdide değerlendirilmesi ve ardından sonuca 20 eklenmesiyle bulunabileceğini söyler. Bu, (S)'yi (V) fonksiyonunun bir dönüşümü olarak tanımlar, bu durumda dikey bir 20 birim yukarı kaydırma. Dikey kaydırma ile giriş değerlerinin aynı kaldığına ve yalnızca çıkış değerlerinin değiştiğine dikkat edin. Bkz. Tablo (PageIndex{1}).

Tablo (PageIndex{1})

(T)

0810171924

(V(t))

0022022000

(NS))

20202402402020

Nasıl...

Tablo işlevi verildiğinde, dikey bir kaymayı temsil etmek için yeni bir satır oluşturun.

  1. Çıktı satırını veya sütununu tanımlayın.
  2. belirle büyüklük vardiyadan.
  3. Her çıktı hücresindeki değere kaydırma ekleyin. Yukarı için pozitif bir değer veya aşağı için negatif bir değer ekleyin.

Örnek (PageIndex{2}): Bir Tablo İşlevini Dikey Olarak Kaydırma

Bir (f(x)) işlevi Tablo (PageIndex{2}) içinde verilmiştir. (g(x)=f(x)−3) işlevi için bir tablo oluşturun.

Tablo (PageIndex{2})

(x)

2468

(f(x))

13711

Çözüm

(g(x)=f(x)−3) formülü bize (g)'nin çıkış değerlerini (f) çıkış değerlerinden 3 çıkararak bulabileceğimizi söyler. Örneğin:

[egin{align*} f(x)&=1 & ext{Verilen} [4pt] g(x)&=f(x)-3 & ext{Verilen Dönüşüm} [4pt] g(2) & =f(2)−3 &=1-3 &=-2end{align*}]

Her bir (f(x)) değerinden 3 çıkararak, (g(x)) için Tablo (PageIndex{3})'de gösterildiği gibi bir değerler tablosu tamamlayabiliriz.

Tablo (PageIndex{3})

(x)

2468

(f(x))

13711

(g(x))

-2048

analiz

Önceki dikey kaydırmada olduğu gibi, giriş değerlerinin aynı kaldığına ve yalnızca çıkış değerlerinin değiştiğine dikkat edin.

Alıştırma (PageIndex{1})

(h(t)=−4.9t^2+30t) işlevi, yerden yukarı doğru fırlatılan bir topun (t) saniye sonra (metre olarak) (h) yüksekliğini verir. Topun bunun yerine 10 metrelik bir binanın tepesinden atıldığını varsayalım. Bu yeni yükseklik fonksiyonunu (b(t)) ile (h(t)) arasında ilişkilendirin ve ardından (b(t)) için bir formül bulun.

Cevap

(b(t)=h(t)+10=−4.9t^2+30t+10)

Yatay Kaymaları Tanımlama

Az önce dikey kaymanın, fonksiyonun çıktısında veya dışında bir değişiklik olduğunu gördük. Şimdi fonksiyonun iç kısmındaki girdi değişikliklerinin grafiğini ve anlamını nasıl değiştirdiğine bakacağız. Girişe bir kayma, fonksiyonun grafiğinin, a olarak bilinen şekilde sola veya sağa hareket etmesine neden olur. yatay kaydırma, Şekil (PageIndex{4})'de gösterilmiştir.

Örneğin, (f(x)=x^2), o zaman (g(x)=(x−2)^2) yeni bir fonksiyondur. Fonksiyonun karesi alınmadan önce her giriş 2 azaltılır. Sonuç, grafiğin 2 birim sağa kaydırılmasıdır, çünkü (f'de verilenle aynı çıktı değerini elde etmek için önceki girişi 2 birim artırmamız gerekir).

Tanım: Yatay Kaydırma

Bir (f) işlevi verildiğinde, yeni bir işlev (g(x)=f(x−h)), burada (h) bir sabittir, yatay kaydırma (f) fonksiyonunun değeri. (h) pozitifse, grafik sağa kayar. (h) negatifse, grafik sola kayar.

Örnek (PageIndex{4}): Bir Girdiye Sabit Ekleme

Şekil (PageIndex{2}'teki bina hava akışı örneğimize dönersek, sonbaharda tesis yöneticisinin orijinal havalandırma planının çok geç başladığına karar verdiğini ve tüm havalandırma programını 2 saat önce başlatmak istediğini varsayalım. Yeni fonksiyonun bir grafiğini çizin.

Çözüm

(V(t))'yi orijinal program ve (F(t))'yi revize edilmiş program olarak ayarlayabiliriz.

[V(t)= ext{ orijinal havalandırma planı} onumber]

[F(t)= ext{ 2 saat önce başlıyor} onumber]

Yeni grafikte, her seferinde hava akışı, 2 saat sonraki orijinal (V) işleviyle aynıdır. Örneğin, orijinal (V) işlevinde, hava akışı sabah 8'de değişmeye başlarken, (F) işlevi için hava akışı sabah 6'da değişmeye başlar Karşılaştırılabilir işlev değerleri (V(8)'dir. )=F(6)). Bkz. Şekil (PageIndex{5}). Ayrıca, orijinal planda havalandırma deliklerinin ilk olarak sabah 10:00'da (220 ext{ft}^2)'ye açıldığına, yeni planda ise havalandırmaların saat 8'de (220 ext{ft}^2)'ye ulaştığına dikkat edin. öyle, (V(10)=F(8)).

Her iki durumda da, (F(t)) 2 saat daha erken başladığı için (h=−2) olduğunu görüyoruz. Bu, (F(t)=V(t−(−2))=V(t+2)) olduğunda aynı çıkış değerlerine ulaşıldığı anlamına gelir.

analiz

(V(t+2))'nin grafiği sola kaydırma etkisine sahip olduğuna dikkat edin.

Yatay değişiklikler veya "iç değişiklikler", aralık yerine bir işlevin (giriş) alanını etkiler ve çoğu zaman mantığa aykırı görünür. Yeni (F(t)) işlevi, (V(t) ile aynı çıktıları kullanır), ancak bu çıktıları, (V(t)'den 2 saat önceki girdilerle eşleştirir). Başka bir deyişle, (F:F(t)=V(t+2)) için karşılık gelen çıktıyı bulmak için (V) girişine 2 saat eklemeliyiz.

Nasıl...

Tablo işlevi verildiğinde, yatay bir kaymayı temsil edecek yeni bir satır oluşturun.

  1. Giriş satırını veya sütununu tanımlayın.
  2. Değişimin büyüklüğünü belirleyin.
  3. Her giriş hücresindeki değere kaydırma ekleyin.

Örnek (PageIndex{5}): Bir Tablo İşlevini Yatay Olarak Kaydırma

Tablo (PageIndex{4})'de bir (f(x)) işlevi verilmiştir. (g(x)=f(x−3)) işlevi için bir tablo oluşturun.

Tablo (PageIndex{4})

(x)

2468

(f(x))

13711

Çözüm

(g(x)=f(x−3)) formülü bize, girdi değeri 3'ten küçük olduğunda (g) çıktı değerlerinin (f) çıktı değeriyle aynı olduğunu söyler. orijinal değer. Örneğin, (f(2)=1) olduğunu biliyoruz. (g) fonksiyonundan aynı çıktıyı almak için, 3 daha büyük bir girdi değerine ihtiyacımız olacak. (g(x)) için 3 daha büyük bir değer giriyoruz çünkü fonksiyon (f) fonksiyonunu değerlendirmeden önce 3 alır.

[egin{align*} g(5)&=f(5-3) &=f(2) &=1 end{align*}]

Tablo (PageIndex{5}) oluşturmak için diğer değerlerle devam ediyoruz.

Tablo (PageIndex{5})

(x)

57911

(x-3)

2468

(f(x))

13711

(g(x))

13711

Sonuç olarak, (g(x)) işlevi 3 kadar sağa kaydırılmıştır. (g(x)) için çıktı değerlerinin, (f(x) için çıktı değerleriyle aynı kaldığına dikkat edin. ), ancak karşılık gelen giriş değerleri (x), 3 ile sağa kaydırıldı. Spesifik olarak, 2 5'e, 4 7'ye, 6'yı 9'a ve 8'i 11'e kaydırdı.

analiz

Şekil (PageIndex{6}) her iki işlevi de temsil eder. Her noktada yatay kaymayı görebiliriz.

Örnek (PageIndex{6}): Bir Araç Takımı İşlevinin Yatay Kaymasını Tanımlama

Şekil (PageIndex{7}), araç takımı işlevinin (f(x)=x^2) bir dönüşümünü temsil eder. Bu yeni işlevi (g(x)) ile (f(x)) arasında ilişkilendirin ve ardından (g(x)) için bir formül bulun.

Çözüm

Grafiğin şekil olarak (f(x)=x^2) işleviyle aynı olduğuna, ancak (x)-değerlerinin 2 birim sağa kaydırıldığına dikkat edin. Köşe eskiden ((0,0)'daydı), ama şimdi tepe noktası ((2,0)'da. Grafik, 2 birim sağa kaydırılan temel ikinci dereceden fonksiyondur, yani

[g(x)=f(x−2) umara]

(y=0) çıktı değerini elde etmek için (x=2) değerini nasıl girmemiz gerektiğine dikkat edin; 2 birim sağa kayma nedeniyle (x)-değerleri 2 birim daha büyük olmalıdır. Daha sonra (f(x)) fonksiyonunun tanımını kullanarak (g(x)) için bir formül yazmak için (f(x−2)) değerini değerlendirerek kullanabiliriz.

[egin{align*} f(x)&=x^2 g(x)&=f(x-2) g(x)&=f(x-2)=(x-2 )^2 end{hiza*}]

analiz

Kaymanın (+2) veya (−2) olup olmadığını belirlemek için grafikte tek bir referans noktası düşünün. Bir ikinci dereceden için, tepe noktasına bakmak uygundur. Orijinal fonksiyonda, (f(0)=0). Kaydırılmış fonksiyonumuzda, (g(2)=0). (f) fonksiyonundan 0 çıktı değerini elde etmek için, (g(2)=f(x−2)=f(0)='ı sağlamak için bir artı işaretinin mi yoksa bir eksi işaretinin mi işe yarayacağına karar vermemiz gerekir. 0). Bunun çalışması için giriş değerlerimizden 2 birim çıkarmamız gerekecek.

Örnek (PageIndex{7}): Yatay ve Dikey Kaydırmaları Yorumlama

(G(m)) işlevi, (m) mil sürmek için gereken galon gaz miktarını verir. (G(m)+10) ve (G(m+10)) yorumlayın

Çözüm

(G(m)+10) çıktıya 10 galon eklenmesi olarak yorumlanabilir. Bu, (m) mil sürmek için gereken gaz artı 10 galon daha gazdır. Grafik dikey bir kaymayı gösterir.

(G(m+10)) girdiye mil eklenmesi olarak yorumlanabilir. Yani bu, (m) milden 10 mil daha fazla sürmek için gereken galon gaz sayısıdır. Grafik yatay bir kaymayı gösterir.

Alıştırma (PageIndex{7})

(f(x)=sqrt{x} işlevi verildiğinde, orijinal işlevi (f(x)) ve (g(x)=f(x+2)) dönüşümünün grafiğini çizin. aynı eksenler. Bu yatay mı yoksa dikey bir kayma mı? Grafik hangi yöne ve kaç birim kaydırılır?

Cevap

(f(x)) ve (g(x)) grafikleri aşağıda gösterilmiştir. Dönüşüm yatay bir kaymadır. Fonksiyon 2 birim sola kaydırılır.

Dikey ve Yatay Geçişleri Birleştirme

Artık iki dönüşümümüz olduğuna göre, bunları birleştirebiliriz. Dikey kaydırmalar, çıkış ((y-)) eksen değerlerini etkileyen ve işlevi yukarı veya aşağı kaydıran dış değişikliklerdir. Yatay kaydırmalar, giriş ((x-)) eksen değerlerini etkileyen ve işlevi sola veya sağa kaydıran değişikliklerin içindedir. İki tür kaydırmayı birleştirmek, bir fonksiyonun grafiğinin yukarı veya aşağı ve sağa veya sola kaymasına neden olur.

Nasıl...

Bir fonksiyon ve hem dikey hem de yatay bir kayma verildiğinde, grafiği çizin.

  1. Formülden dikey ve yatay kaymaları belirleyin.
  2. Dikey kayma, çıktıya eklenen bir sabitten kaynaklanır. Grafiği pozitif bir sabit için yukarı, negatif bir sabit için aşağı hareket ettirin.
  3. Yatay kayma, girdiye eklenen bir sabitten kaynaklanır. Grafiği pozitif sabit için sola, negatif sabit için sağa hareket ettirin.
  4. Grafiğe her iki sırada da vardiyaları uygulayın.

Örnek (PageIndex{8}): Birleşik Dikey ve Yatay Kaydırmaların Grafiklendirilmesi

(f(x)=|x| verildiğinde, (h(x)=f(x+1)−3) grafiğini çizin.

Çözüm

(f) işlevi, araç setimizin mutlak değer işlevidir. Bu grafiğin, noktası orijinde olan bir V şeklinde olduğunu biliyoruz. (h)'nin grafiği (f)'yi iki şekilde dönüştürmüştür: (f(x+1)) fonksiyonun iç kısmındaki bir değişikliktir, 1 sola yatay kaydırma verir ve çıkarma (f(x+1)−3)'de 3'lük bir değişiklik, fonksiyonun dışına doğru 3'lük bir aşağı kayma sağlayan bir değişikliktir. Grafiğin dönüşümü Şekil (PageIndex{9}'de gösterilmiştir. ).

(f(x)=|x|) grafiğinin bir noktasını takip edelim.

  • ((0,0)) noktası önce 1 birim sola kaydırılarak dönüştürülür:((0,0) ightarrow(−1,0))
  • ((−1,0)) noktası 3 birim aşağı kaydırılarak dönüştürülür:((−1,0) ightarrow(−1,−3))

Şekil (PageIndex{10}), (h) grafiğini gösterir.

Alıştırma (PageIndex{8})

Verilen (f(x)=|x|), (h(x)=f(x−2)+4) grafiğini çizin.

Cevap

Örnek (PageIndex{9}): Birleşik Dikey ve Yatay Kaydırmaları Tanımlama

Araç takımı karekök fonksiyonunun bir dönüşümü olan Şekil (PageIndex{12})'de gösterilen grafik için bir formül yazın.

Çözüm

Araç takımı fonksiyonunun grafiği orijinden başlar, dolayısıyla bu grafik 1 sağa ve yukarı 2 kaydırılmıştır. Fonksiyon notasyonunda bunu şöyle yazabiliriz.

[h(x)=f(x−1)+2 osayı]

Karekök fonksiyonu için formülü kullanarak yazabiliriz.

[h(x)=sqrt{x−1}+2 onumber]

analiz

Bu dönüşümün işlevin etki alanını ve aralığını değiştirdiğini unutmayın. Bu yeni grafiğin etki alanı (left[1,infty ight)) ve aralığı (left[2,infty ight)) vardır.

Alıştırma (PageIndex{9})

Araç takımı karşılıklı fonksiyonunun (f(x)=frac{1}{x}) fonksiyonunun grafiğini bir birim sağa ve bir birim yukarı kaydıran bir dönüşümü için bir formül yazın.

Cevap

[g(x)=dfrac{1}{x-1}+1 onumber ]

Eksenlerle İlgili Yansımaları Kullanan Grafik Fonksiyonları

Bir fonksiyona uygulanabilecek başka bir dönüşüm, x veya y ekseni üzerindeki bir yansımadır. A dikey yansıma bir grafiği x ekseni boyunca dikey olarak yansıtırken, bir yatay yansıma y ekseni boyunca yatay olarak bir grafiği yansıtır. Yansımalar Şekil (PageIndex{13})'de gösterilmiştir..

.

Dikey yansımanın, x ekseni etrafındaki tabanın veya orijinal grafiğin ayna görüntüsü olan yeni bir grafik ürettiğine dikkat edin. Yatay yansıma, tabanın ayna görüntüsü olan veya y ekseni etrafındaki orijinal grafiğin yeni bir grafiğini üretir.

Tanımlar: Yansımalar

Bir (f(x) işlevi verildiğinde), yeni bir işlev (g(x)=−f(x)) bir dikey yansıma (f(x)) fonksiyonunun, bazen x ekseni hakkında (veya üzerinden veya üzerinden) bir yansıma olarak adlandırılır.

Bir (f(x) işlevi verildiğinde), yeni bir işlev (g(x)=f(−x)) bir yatay yansıma (f(x)), bazen y ekseni hakkında bir yansıma olarak adlandırılır.

Nasıl...

Verilen bir fonksiyon, grafiği hem dikey hem de yatay olarak yansıtın.

  1. Dikey yansıma için tüm çıktıları –1 ile çarpın. Yeni grafik, orijinal grafiğin x ekseni hakkındaki bir yansımasıdır.
  2. Yatay bir yansıma için tüm girişleri –1 ile çarpın. Yeni grafik, orijinal grafiğin y ekseni hakkındaki bir yansımasıdır.

Örnek (PageIndex{10}): Grafiği Yatay ve Dikey Olarak Yansıtma

(s(t)=sqrt{t}) (a) dikey ve (b) yatay olarak grafiğini yansıtın.

Çözüm

a. Grafiği dikey olarak yansıtmak, her bir çıktı değerinin, Şekil (PageIndex{14})'de gösterildiği gibi yatay t ekseni üzerinde yansıtılacağı anlamına gelir.

Her çıktı değeri orijinal çıktı değerinin tersi olduğu için yazabiliriz.

[V(t)=−s(t) ext{ veya } V(t)=−sqrt{t} onumber]

Bunun çıkış (s(t)) değerlerini etkileyen bir dış değişiklik veya dikey kayma olduğuna dikkat edin, bu nedenle negatif işaret fonksiyonun dışına aittir.

B. Yatay olarak yansıtma, Şekil (PageIndex{15}'de gösterildiği gibi her bir giriş değerinin dikey eksen üzerinden yansıtılacağı anlamına gelir).

Her giriş değeri orijinal giriş değerinin tersi olduğu için yazabiliriz.

[H(t)=s(−t) ext{ veya } H(t)=sqrt{−t} onumber]

Bunun giriş değerlerini etkileyen bir iç değişiklik veya yatay bir değişiklik olduğuna dikkat edin, bu nedenle negatif işaret fonksiyonun içindedir.

Bu dönüşümlerin, işlevlerin etki alanını ve aralığını etkileyebileceğini unutmayın. Orijinal karekök işlevinin etki alanı (sol[0,inftysağ)) ve aralığı (sol[0,inftysağ) olmasına rağmen, dikey yansıma (V(t)'yi verir. ) işlevi (left(−infty,0 ight]) aralığını ve yatay yansıma (H(t)) işlevini (left(−infty, 0 ight] alanını verir) ).

Alıştırma (PageIndex{5})

(f(x)=|x−1|) (a) dikey ve (b) yatay olarak grafiğini yansıtın.

Cevap

a.

B.

Örnek (PageIndex{11}): Bir Tablo İşlevini Yatay ve Dikey Olarak Yansıtma

Bir (f(x)) işlevi Tablo (PageIndex{6}) olarak verilir. Aşağıdaki fonksiyonlar için bir tablo oluşturunuz.

a. (g(x)=−f(x))
B. (h(x)=f(−x))

Tablo (PageIndex{6})

(x)

2468

(f(x))

13711

a. (g(x)) için, fonksiyonun dışındaki negatif işaret dikey bir yansımayı gösterir, bu nedenle x değerleri aynı kalır ve her çıkış değeri orijinal çıkış değerinin tersi olur. Bkz. Tablo (PageIndex{7}).

Tablo (PageIndex{7})

(x)

2468

(g(x))

-1-3-7-11

B. (h(x)) için, fonksiyonun içindeki negatif işaret yatay bir yansımayı gösterir, bu nedenle her giriş değeri orijinal giriş değerinin tersi olacak ve (h(x)) değerleri aynı kalır (f(x)) değerleri. Bkz. Tablo (PageIndex{8}).

Tablo (PageIndex{8})

(x)

-2-4-6-8

(h(x))

13711

Alıştırma (PageIndex{6})

Bir (f(x)) işlevi Tablo (PageIndex{9}) olarak verilir. (h(x)=f(−x))

Tablo (PageIndex{9})

(x)

-2024

(f(x))

5101520
Cevap

a. (g(x)=−f(x))

Tablo (PageIndex{10})

(x)

-2024

(g(x))

-5-10-15-20

B. (h(x)=f(−x))

Tablo (PageIndex{11})

(x)

-202-4

(h(x))

1510520

Örnek (PageIndex{12}): Bir Öğrenme Modeli Denklemini Uygulama

Yaygın bir öğrenme modeli, (k(t)=−2^{−t}+1'e benzer bir denkleme sahiptir; burada (k), (t) sonrasında elde edilebilecek ustalık yüzdesidir) alıştırma seansları. Bu, Şekil (PageIndex{18})'de gösterilen (f(t)=2^t) fonksiyonunun bir dönüşümüdür. (k(t)) grafiğini çizin.

Çözüm

Bu denklem, üç dönüşümü tek bir denklemde birleştirir.

  • Yatay bir yansıma: (f(−t)=2^{−t})
  • Dikey yansıma: (−f(−t)=−2^{−t})
  • Dikey kaydırma: (−f(−t)+1=−2^{−t}+1)

Bu dönüşümleri birer birer orijinal fonksiyona uygulayarak bir grafik çizebiliriz. Üç dönüşümün her birinde iki noktayı takip edelim. ((0, 1)) ve ((1, 2)) noktalarını seçeceğiz.

  • İlk önce yatay bir yansıma uygularız: ((0, 1) ; (–1, 2)).
  • Ardından, dikey bir yansıma uygularız: ((0, −1) ; (-1, –2)).
  • Son olarak, dikey bir kaydırma uygularız: ((0, 0) ; (-1, -1)).

Bu, ((0,1)) ve ((1,2)) orijinal noktalarının bizden sonra ((0,0)) ve ((-1,-1)) olacağı anlamına gelir. dönüşümleri uygulayın.

Şekil (PageIndex{19}), ilk grafik yatay bir yansımadan kaynaklanır. İkincisi, dikey bir yansımadan kaynaklanır. Üçüncüsü, 1 birim yukarı dikey kaymadan kaynaklanır.

analiz

Öğrenme için bir model olarak, bu işlev, karşılık gelen (left[0,1sağ) aralığıyla birlikte bir (tgeq0) etki alanıyla sınırlı olacaktır.

Alıştırma (PageIndex{7})

Araç takımı işlevi (f(x)=x^2), grafiği (g(x)=−f(x)) ve (h(x)=f(−x)) verildiğinde. Bu işlevler için herhangi bir şaşırtıcı davranışı not edin.

Cevap

Dikkat: (g(x)=f(−x)), (f(x)) ile aynı görünür.

Çift ve Tek Fonksiyonları Belirleme

Yansımaların orijinal grafikle sonuçlanması için bazı işlevler simetri sergiler. Örneğin, (f(x)=x^2) veya (f(x)=|x|) araç takımı işlevlerini yatay olarak yansıtmak orijinal grafikle sonuçlanacaktır. Bu tür grafiklerin y eksenine göre simetrik olduğunu söylüyoruz. Grafikleri y eksenine göre simetrik olan fonksiyonlara denir. eşit işlevler.

(f(x)=x^3) veya (f(x)=frac{1}{x}) grafikleri her iki eksene de yansıtılsaydı, sonuç gösterildiği gibi orijinal grafik olurdu Şekil (PageIndex{21}).

Bu grafiklerin orijine göre simetrik olduğunu söylüyoruz. Grafiği orijine göre simetrik olan bir fonksiyona denir. Tek işlev.

Not: Bir fonksiyon simetri göstermiyorsa ne çift ne de tek olabilir. Örneğin, (f(x)=2^x) ne çift ne de tektir. Ayrıca, hem çift hem de tek olan tek fonksiyon, (f(x)=0) sabit fonksiyonudur.

Tanımlar: Çift ve Tek Fonksiyonlar

Bir fonksiyona denir eşit işlev her giriş için ise (x)

(f(x)=f(−x))

Bir çift fonksiyonun grafiği y eksenine göre simetriktir.

Bir fonksiyona denir Tek işlev her giriş için ise (x)

(f(x)=−f(−x))

Tek bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir.

Nasıl...

Bir fonksiyonun formülü verildiğinde, fonksiyonun çift mi, tek mi yoksa hiçbiri mi olduğunu belirleyin.

  1. Fonksiyonun (f(x)=f(−x)) değerini karşılayıp karşılamadığını belirleyin. Olursa, eşittir.
  2. Fonksiyonun (f(x)=−f(−x)) değerini karşılayıp karşılamadığını belirleyin. Eğer öyleyse, garip.
  3. Fonksiyon her iki kuralı da karşılamıyorsa, ne çift ne de tektir.

Örnek (PageIndex{13}): Bir Fonksiyonun Çift, Tek veya Hiçbiri Olup Olmadığını Belirleme

(f(x)=x^3+2x) işlevi çift mi, tek mi yoksa hiçbiri mi?

Çözüm

Bir grafiğe bakmadan, yansımalar için formüller bularak ve bizi orijinal işleve döndürüp döndürmediklerini belirleyerek işlevin çift mi yoksa tek mi olduğunu belirleyebiliriz. Eşit işlevler kuralıyla başlayalım.

[f(−x)=(−x)^3+2(−x)=−x^3−2x osayı]

Bu bizi orijinal fonksiyona döndürmez, yani bu fonksiyon çift değildir. Artık tek fonksiyonlar için kuralı test edebiliriz.

[−f(−x)=−(−x^3−2x)=x^3+2x osayı]

(−f(−x)=f(x)) olduğundan, bu bir tek fonksiyondur.

analiz

Şekil (PageIndex{22})'deki (f) grafiğini düşünün. Grafiğin orijine göre simetrik olduğuna dikkat edin. Grafikteki her ((x,y)) noktası için, karşılık gelen ((−x,−y)) noktası da grafiktedir. Örneğin, ((1, 3)) (f)'nin grafiğindedir ve buna karşılık gelen ((−1,−3)) noktası da grafiktedir.

Alıştırma (PageIndex{8})

(f(s)=s^4+3s^2+7) işlevi çift mi, tek mi yoksa hiçbiri mi?

Cevap

hatta

Uzatma ve Sıkıştırma Kullanan Grafik İşlevleri

Bir fonksiyonun girişlerine veya çıkışlarına bir sabit eklemek, grafiğin eksenlere göre konumunu değiştirdi, ancak grafiğin şeklini etkilemedi. Şimdi girdileri veya çıktıları bir miktarla çarpmanın etkilerini araştırıyoruz.

Bir fonksiyonun içini (giriş değerleri) dönüştürebiliriz veya bir fonksiyonun dışını (çıkış değerleri) dönüştürebiliriz. Her değişikliğin grafiksel olarak görülebilen belirli bir etkisi vardır.

Dikey Uzatmalar ve Sıkıştırmalar

Bir fonksiyonu pozitif bir sabitle çarptığımızda, grafiği orijinal fonksiyonun grafiğine göre dikey olarak uzatılmış veya sıkıştırılmış bir fonksiyon elde ederiz. Sabit 1'den büyükse, dikey streç; sabit 0 ile 1 arasındaysa, dikey sıkıştırma. Şekil (PageIndex{23}), sabit faktörler 2 ve 0,5 ile çarpılan bir fonksiyonu ve sonuçta ortaya çıkan dikey esneme ve sıkıştırmayı gösterir.

Tanımlar: Dikey Uzatmalar ve Sıkıştırmalar

Bir (f(x) işlevi verildiğinde), yeni bir işlev (g(x)=af(x)), burada (a) bir sabittir, dikey streç veya dikey sıkıştırma (f(x)) fonksiyonunun

  • (a>1) ise grafik uzar.
  • (0
  • (a<0) ise, dikey bir yansıma ile dikey bir esneme veya sıkıştırma kombinasyonu olacaktır.

Nasıl...

Bir fonksiyon verildiğinde, dikey esneme grafiğini çizin.

  1. (a) değerini tanımlayın.
  2. Tüm aralık değerlerini (a) ile çarpın
  3. (a>1) ise, grafik (a) faktörü kadar gerilir.
  4. (0
  5. (a<0) ise, grafik ya gerilir ya da sıkıştırılır ve ayrıca x ekseni etrafında yansıtılır.

Örnek 1.5.14: Dikey Uzatmanın Grafiklendirilmesi

(P(t)) fonksiyonu meyve sineklerinin popülasyonunu modeller. Grafik, Şekil (PageIndex{24})'de gösterilmektedir.

Bir bilim adamı bu popülasyonu, büyümesi aynı modeli izleyen ancak iki katı olan başka bir popülasyonla, (Q) karşılaştırıyor. Bu popülasyonun bir grafiğini çizin.

Çözüm

Popülasyon her zaman iki kat daha büyük olduğundan, yeni popülasyonun çıkış değerleri her zaman orijinal fonksiyonun çıkış değerlerinin iki katıdır. Grafiksel olarak bu, Şekil (PageIndex{25})'de gösterilmektedir.

((0, 1)), ((3, 3)), ((6, 2)) ve ((7, 0)) olmak üzere dört referans noktası seçersek, hepsini çarpacağız. çıktıların 2'si.

Aşağıda, yeni grafiğin yeni noktalarının nerede bulunacağı gösterilmektedir.

[(0, 1)sağ ok(0, 2)]

[(3, 3)sağ ok(3, 6)]

[(6, 2)sağ ok(6, 4)]

[(7, 0)sağ ok(7, 0)]

Sembolik olarak, ilişki şu şekilde yazılır:

[Q(t)=2P(t) osayı]

Bu, herhangi bir (t) girişi için, (Q) fonksiyonunun değerinin, (P) fonksiyonunun değerinin iki katı olduğu anlamına gelir. Grafik üzerindeki etkinin, her noktanın yatay eksene olan mesafesini ikiye katladığı, grafiğin dikey bir esnemesi olduğuna dikkat edin. Girdi değerleri (t), çıktı değerleri eskisinden iki kat daha büyükken aynı kalır.

Nasıl...

Bir tablo işlevi verildiğinde ve dönüşümün dikey bir esnetme veya sıkıştırma olduğunu varsayarak, dikey sıkıştırma için bir tablo oluşturun.

  1. (a) değerini belirleyin.
  2. Tüm çıktı değerlerini (a) ile çarpın.

Örnek (PageIndex{15}): Bir Tablo Fonksiyonunun Dikey Sıkıştırmasını Bulma

Bir (f) işlevi Tablo (PageIndex{12}) olarak verilir. (g(x)=frac{1}{2}f(x)) işlevi için bir tablo oluşturun.

Tablo (PageIndex{12})

(x)

2468

(f(x))

13711

Çözüm

(g(x)=frac{1}{2}f(x)) formülü bize, (g)'nin çıktı değerlerinin, aynı girdiler. Örneğin, (f(4)=3) olduğunu biliyoruz. Sonra

[g(4)=frac{1}{2}f(4)=frac{1}{2}(3)=frac{3}{2} onumber]

Tablo (PageIndex{13}) üretmek için diğer değerler için de aynısını yapıyoruz.

Tablo (PageIndex{13})

(x)

2468

(g(x))

(dfrac{1}{2})(dfrac{3}{2})(dfrac{7}{2})(dfrac{11}{2})

analiz

Sonuç, (g(x)) işlevinin (frac{1}{2}) tarafından dikey olarak sıkıştırılmış olmasıdır. Her çıktı değeri ikiye bölünür, böylece grafik orijinal yüksekliğin yarısı olur.

Alıştırma (PageIndex{9})

Bir (f) işlevi Tablo (PageIndex{14}) olarak verilir. (g(x)=frac{3}{4}f(x)) işlevi için bir tablo oluşturun.

Tablo (PageIndex{14})

(x)

2468

(f(x))

1216200
Cevap
Tablo (PageIndex{15})

(x)

2468

(g(x))

912150

Örnek (PageIndex{16}): Dikey Uzatmayı Tanıma

Şekil (PageIndex{26})'deki grafik, araç takımı işlevinin (f(x)=x^3) bir dönüşümüdür. Bu yeni işlevi (g(x)) ile (f(x)) arasında ilişkilendirin ve ardından (g(x)) için bir formül bulun.

Dikey bir esneme veya kayma belirlemeye çalışırken, grafikte nispeten net bir nokta aramak yardımcı olur. Bu grafikte, (g(2)=2) görünüyor. Aynı girişte temel kübik fonksiyon ile, (f(2)=2^3=8). Buna dayanarak, (g) çıktılarının (frac{1}{4}) (f) fonksiyonunun çıktıları olduğu anlaşılıyor çünkü (g(2)=frac{1 }{4}f(2)). Bundan oldukça güvenli bir şekilde (g(x)=frac{1}{4}f(x)) sonucunu çıkarabiliriz.

(f) fonksiyonunun tanımını kullanarak (g) için bir formül yazabiliriz.

[g(x)=frac{1}{4} f(x)=frac{1}{4}x^3.]

Alıştırma (PageIndex{1})

Kimlik araç takımı işlevini 3 faktörü kadar uzattığımızda elde ettiğimiz işlevin formülünü yazın ve ardından 2 birim aşağı kaydırın.

Cevap

(g(x)=3x-2)

Yatay Esnemeler ve Sıkıştırmalar

Şimdi bir fonksiyonun içindeki değişiklikleri ele alıyoruz. Bir fonksiyonun girdisini pozitif bir sabitle çarptığımızda, grafiği orijinal fonksiyonun grafiğine göre yatay olarak gerilmiş veya sıkıştırılmış bir fonksiyon elde ederiz. Sabit 0 ile 1 arasındaysa, yatay streç; sabit 1'den büyükse, yatay sıkıştırma fonksiyonun.

Bir (y=f(x)) işlevi verildiğinde, (y=f(bx)) biçimi yatay bir esneme veya sıkıştırma ile sonuçlanır. (y=x^2) fonksiyonunu düşünün. Şekil (PageIndex{27})'yi inceleyin. (y=(0.5x)^2)'nin grafiği, (y=x^2) fonksiyonunun grafiğinin 2 çarpanıyla yatay bir uzantısıdır. (y=(2x)'in grafiği ^2), (y=x^2) fonksiyonunun grafiğinin 2 faktörü ile yatay olarak sıkıştırılmasıdır.

Tanımlar: Yatay Uzatmalar ve Sıkıştırmalar

Bir (f(x) işlevi verildiğinde), yeni bir işlev (g(x)=f(bx)), burada (b) bir sabittir, yatay streç veya yatay sıkıştırma (f(x)) fonksiyonunun

  • (b>1) ise, grafik (frac{1}{b}) tarafından sıkıştırılacaktır.
  • (0
  • (b<0) ise, yatay bir yansıma ile yatay bir esneme veya sıkıştırma kombinasyonu olacaktır.

Nasıl...

Bir fonksiyonun tanımı verildiğinde, yatay bir sıkıştırma veya esnetme çizin.

  1. Fonksiyonu temsil eden bir formül yazın.
  2. Sıkıştırma için (g(x)=f(bx)) burada (b>1) veya bir uzatma için (0

Örnek (PageIndex{17}): Bir Yatay Sıkıştırmanın Grafiklendirilmesi

Bir bilim adamının, bir meyve sineği popülasyonunu, ömrü boyunca orijinal popülasyondan iki kat daha hızlı ilerleyen bir popülasyonla karşılaştırdığını varsayalım. Başka bir deyişle, bu yeni popülasyon, (R), orijinal popülasyonun 2 saatte yaptığı kadar 1 saatte ilerleyecek ve 2 saatte orijinal popülasyonun 4 saatte yaptığı kadar ilerleyecektir. Bu popülasyonun bir grafiğini çizin.

Çözüm

Sembolik olarak yazabiliriz

(egin{align} R(1)&=P(2), R(2)&=P(4), & ext{ve genel olarak,} R(t)&=P( 2t).end{hiza})

Orijinal popülasyon ile sıkıştırılmış popülasyonun grafik karşılaştırması için Şekil (PageIndex{28})'e bakın.

analiz

Grafik üzerindeki etkinin, tüm girdi değerlerinin dikey eksenden orijinal mesafelerinin yarısı olduğu yatay bir sıkıştırma olduğuna dikkat edin.

Örnek (PageIndex{18}): Tablo İşlevi için Yatay Uzatma Bulma

Bir (f(x)) işlevi Tablo (PageIndex{16}) olarak verilir. (g(x)=f(frac{1}{2}x)) işlevi için bir tablo oluşturun.

Tablo (PageIndex{16})

(x)

2468

(f(x))

13711

(g(x)=f(frac{1}{2}x)) formülü bize (g) için çıktı değerlerinin (f) fonksiyonunun çıktı değerleriyle aynı olduğunu söyler. boyutun yarısı kadar bir girişte. (g(2)) belirlemek için yeterli bilgiye sahip olmadığımıza dikkat edin çünkü (g(2)=f(frac{1}{2}⋅2)=f(1)) ve tablomuzda (f(1)) için bir değer yok. Değerlendirebileceğimiz (f) girdilerini almak için (g) girdi değerlerimizin iki katı olması gerekir. Örneğin, (g(4)) belirleyebiliriz.

[g(4)=f(dfrac{1}{2}⋅4)=f(2)=1]

Tablo (PageIndex{17}) üretmek için diğer değerler için de aynısını yapıyoruz.

Tablo (PageIndex{17})

(x)

481216

(g(x))

13711

Şekil (PageIndex{29}), bu noktaların her ikisinin de grafiklerini gösterir.

analiz

Her giriş değeri iki katına çıkarıldığından, sonuç, (g(x)) fonksiyonunun yatay olarak 2 faktörü kadar uzatılmış olmasıdır.

Örnek (PageIndex{19}): Bir Grafikte Yatay Sıkıştırmayı Tanıma

Şekil (PageIndex{30})'de (g(x)) işlevini (f(x)) ile ilişkilendirin.

Çözüm

(g(x)) grafiği, yatay olarak sıkıştırılmış (f(x)) grafiğine benziyor. (f(x)) (6,4) ile ve (g(x)) (2,4) ile bittiği için, x değerlerinin (frac{ ile sıkıştırıldığını görebiliriz. 1}{3}), çünkü (6(frac{1}{3})=2). Ayrıca (g(2)=f(6)) ve (g(1)=f(3)) olduğunu da fark edebiliriz. Either way, we can describe this relationship as (g(x)=f(3x)). This is a horizontal compression by (frac{1}{3}).

analiz

Notice that the coefficient needed for a horizontal stretch or compression is the reciprocal of the stretch or compression. So to stretch the graph horizontally by a scale factor of 4, we need a coefficient of (frac{1}{4}) in our function: (f(frac{1}{4}x)). This means that the input values must be four times larger to produce the same result, requiring the input to be larger, causing the horizontal stretching.

Alıştırma (PageIndex{11})

Write a formula for the toolkit square root function horizontally stretched by a factor of 3.

Cevap

(g(x)=f(frac{1}{3}x)), so using the square root function we get (g(x)=sqrt{frac{1}{3}x})

Performing a Sequence of Transformations

When combining transformations, it is very important to consider the order of the transformations. For example, vertically shifting by 3 and then vertically stretching by 2 does not create the same graph as vertically stretching by 2 and then vertically shifting by 3, because when we shift first, both the original function and the shift get stretched, while only the original function gets stretched when we stretch first.

When we see an expression such as (2f(x)+3), which transformation should we start with? The answer here follows nicely from the order of operations. Given the output value of (f(x)), we first multiply by 2, causing the vertical stretch, and then add 3, causing the vertical shift. In other words, multiplication before addition.

Horizontal transformations are a little trickier to think about. When we write (g(x)=f(2x+3)), for example, we have to think about how the inputs to the function (g) relate to the inputs to the function (f). Suppose we know (f(7)=12). What input to (g) would produce that output? In other words, what value of (x) will allow (g(x)=f(2x+3)=12?) We would need (2x+3=7). To solve for (x), we would first subtract 3, resulting in a horizontal shift, and then divide by 2, causing a horizontal compression.

This format ends up being very difficult to work with, because it is usually much easier to horizontally stretch a graph before shifting. We can work around this by factoring inside the function.

[f(bx+p)=f(b(x+frac{p}{b})) onumber]

Let’s work through an example.

[f(x)=(2x+4)^2 onumber]

We can factor out a 2.

[f(x)=(2(x+2))^2 onumber]

Now we can more clearly observe a horizontal shift to the left 2 units and a horizontal compression. Factoring in this way allows us to horizontally stretch first and then shift horizontally.

Combining Transformations

  • When combining vertical transformations written in the form (af(x)+k), first vertically stretch by (a) and then vertically shift by (k).
  • When combining horizontal transformations written in the form (f(bx+h)), first horizontally shift by (h) and then horizontally stretch by (frac{1}{b}).
  • When combining horizontal transformations written in the form (f(b(x+h))), first horizontally stretch by (frac{1}{b}) and then horizontally shift by (h).
  • Horizontal and vertical transformations are independent. It does not matter whether horizontal or vertical transformations are performed first.

Example (PageIndex{20}): Finding a Triple Transformation of a Tabular Function

Given Table (PageIndex{18}) for the function (f(x)), create a table of values for the function (g(x)=2f(3x)+1).

Table (PageIndex{18})

(x)

6121824

(f(x))

10141517

Çözüm

There are three steps to this transformation, and we will work from the inside out. Starting with the horizontal transformations, (f(3x)) is a horizontal compression by (frac{1}{3}), which means we multiply each (x)-value by (frac{1}{3}).See Table (PageIndex{19}).

Table (PageIndex{19})

(x)

2468

(f(3x))

10141517

Looking now to the vertical transformations, we start with the vertical stretch, which will multiply the output values by 2. We apply this to the previous transformation. See Table (PageIndex{20}).

Table (PageIndex{20})

(x)

2468

(2f(3x))

20283034

Finally, we can apply the vertical shift, which will add 1 to all the output values. See Table (PageIndex{21}).

Table (PageIndex{21})

(x)

2468

(g(x)=2f(3x)+1+1)

21293135

Example (PageIndex{21}): Finding a Triple Transformation of a Graph

Use the graph of (f(x)) in Figure (PageIndex{31}) to sketch a graph of (k(x)=fBig(frac{1}{2}x+1Big)−3).

To simplify, let’s start by factoring out the inside of the function.

[fBig(dfrac{1}{2}x+1Big)−3=fBig(dfrac{1}{2}(x+2)Big)−3]

By factoring the inside, we can first horizontally stretch by 2, as indicated by the (frac{1}{2}) on the inside of the function. Remember that twice the size of 0 is still 0, so the point ((0,2)) remains at ((0,2)) while the point ((2,0)) will stretch to ((4,0)). See Figure (PageIndex{32}).

Next, we horizontally shift left by 2 units, as indicated by (x+2). See Figure (PageIndex{33}).

Last, we vertically shift down by 3 to complete our sketch, as indicated by the −3 on the outside of the function. See Figure (PageIndex{34}).

Key Equations

  • Vertical shift (g(x)=f(x)+k) (up for (k>0))
  • Horizontal shift (g(x)=f(x−h))(right) for (h>0)
  • Vertical reflection (g(x)=−f(x))
  • Horizontal reflection (g(x)=f(−x))
  • Vertical stretch (g(x)=af(x)) (a>0 )
  • Vertical compression (g(x)=af(x)) (0
  • Horizontal stretch (g(x)=f(bx)(0
  • Horizontal compression (g(x)=f(bx)) (b>1)

Anahtar kavramlar

  • A function can be shifted vertically by adding a constant to the output.
  • A function can be shifted horizontally by adding a constant to the input.
  • Relating the shift to the context of a problem makes it possible to compare and interpret vertical and horizontal shifts.
  • Vertical and horizontal shifts are often combined.
  • A vertical reflection reflects a graph about the x-axis. A graph can be reflected vertically by multiplying the output by –1.
  • A horizontal reflection reflects a graph about the y-axis. A graph can be reflected horizontally by multiplying the input by –1.
  • A graph can be reflected both vertically and horizontally. The order in which the reflections are applied does not affect the final graph.
  • A function presented in tabular form can also be reflected by multiplying the values in the input and output rows or columns accordingly.
  • A function presented as an equation can be reflected by applying transformations one at a time.
  • Even functions are symmetric about the y-axis, whereas odd functions are symmetric about the origin.
  • Even functions satisfy the condition (f(x)=f(−x)).
  • Odd functions satisfy the condition (f(x)=−f(−x)).
  • A function can be odd, even, or neither.
  • A function can be compressed or stretched vertically by multiplying the output by a constant.
  • A function can be compressed or stretched horizontally by multiplying the input by a constant.
  • The order in which different transformations are applied does affect the final function. Both vertical and horizontal transformations must be applied in the order given. However, a vertical transformation may be combined with a horizontal transformation in any order.

Glossary

even function

a function whose graph is unchanged by horizontal reflection, (f(x)=f(−x)), and is symmetric about the y-axis

horizontal compression
a transformation that compresses a function’s graph horizontally, by multiplying the input by a constant b>1

horizontal reflection
a transformation that reflects a function’s graph across the y-axis by multiplying the input by −1

horizontal shift
a transformation that shifts a function’s graph left or right by adding a positive or negative constant to the input

horizontal stretch
a transformation that stretches a function’s graph horizontally by multiplying the input by a constant 0

odd function
a function whose graph is unchanged by combined horizontal and vertical reflection, (f(x)=−f(−x)), and is symmetric about the origin

vertical compression
a function transformation that compresses the function’s graph vertically by multiplying the output by a constant 0

vertical reflection
a transformation that reflects a function’s graph across the x-axis by multiplying the output by −1

dikey kayma
a transformation that shifts a function’s graph up or down by adding a positive or negative constant to the output

dikey streç
a transformation that stretches a function’s graph vertically by multiplying the output by a constant a>1


Videoyu izle: ประเภทของฟงกชน (Aralık 2021).