Nesne

5.3: L'Hôpital Kuralı - Matematik


Şimdi belirsiz limitleri çözmek için yararlı bir kuralı kanıtlayacağız. Aşağıda, (G_{ eg p}), (E^{1},) içinde silinmiş bir küre (G_{ eg p}(delta)) veya yaklaşık bir (pm infty) ifade edilir. ((a,+infty)) veya ((-infty, a).) biçimindeki ) tek taraflı limitler için (G_{ eg p}) yerine uygun " yarım."

Teorem (PageIndex{1}) (L'Hôpital kuralı)

(f, g : E^{1} ightarrow E^{*}) (G_{ eg p}), orada (g^{prime} eq 0) ile türevlenebilir olsun . (|f(x)|) ve (|g(x)|) her ikisi de (+infty,^{1}) veya her ikisi de (0,) olarak (x) eğilimindeyse ightarrow p) ve eğer

[lim _{x ightarrow p} frac{f^{prime}(x)}{g^{prime}(x)}=r ext { } E^{*}'de var, ]

ve hatta

[lim _{x ightarrow p} frac{f(x)}{g(x)}=r;]

benzer şekilde (x ightarrow p^{+}) veya (x ightarrow p^{-}) için.

Kanıt

Sol ve sağ limitleri dikkate almak yeterlidir. Her ikisi bir araya geldiğinde iki taraflı limit elde edilir.

İlk önce (-infty leq p<+infty), olsun

[lim _{x ightarrow p^{+}}|f(x)|=lim _{x ightarrow p^{+}}|g(x)|=+infty ext { ve } lim _{x ightarrow p^{+}} frac{f^{prime}(x)}{g^{prime}(x)}=r ext { (sonlu)}.]

Sonra (varepsilon>0,) verildiğinde (a>pleft(a in G_{ eg p} ight))'ı şu şekilde düzeltebiliriz:

[left|frac{f^{prime}(x)}{g^{prime}(x)}-r ight|

Şimdi Cauchy'nin ortalama yasasını (§2, Teorem 2) her bir ([x, a],) (p

[g^{prime}(q)[f(x)-f(a)]=f^{prime}(q)[g(x)-g(a)].]

Teorem 1, §2'de (g^{prime} eq 0) (varsayımla), (g(x) eq g(a) eq g(a)) olarak, yani bölebiliriz elde etmek üzere

[frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=frac{f^{prime}(q)}{g^{prime}(q) }, quad ext { nerede } p

Bu kombine (1) ile verim

[left|frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}-rsağ|

veya, ayar

[F(x)=frac{1-f(a) / f(x)}{1-g(a) / g(x)},]

sahibiz

[left|frac{f(x)}{g(x)} cdot F(x)-r ight|

(|f(x)|) ve (|g(x)| ightarrow+infty) (varsayıma göre), (F(x) ightarrow 1) olarak (x ightarrow) var p^{+}). Bu nedenle, sağ limitler için kurallara göre, (b in(p, a)) vardır, öyle ki tüm (x in(p, b) için), her ikisi de (|F(x)-1|< varepsilon) ve (F(x)>frac{1}{2}). (Neden?) Böyle (x) için, formül (2) de tutar. Ayrıca,

[frac{1}{|F(x)|}<2 ext { ve }|r-r F(x)|=|r||1-F(x)|<|r| varepsilon.]

Bunu birleştirmek ile (2), (x in(p, b)) için var

[egin{hizalı}sol|frac{f(x)}{g(x)}-rsağ| &=frac{1}{|F(x)|}left|frac{f(x)}{g(x)} F(x)-r F(x)sağ| &<2left|frac{f(x)}{g(x)} cdot F(x)-r+r-r F(x)sağ| &<2 varepsilon(1+|r|). end{hizalanmış}]

Böylece, (varepsilon>0,) verildiğinde (b>p)'yi şöyle bulduk:

[left|frac{f(x)}{g(x)}-r ight|<2 varepsilon(1+|r|), quad x in(p, b).]

(varepsilon) keyfi olduğundan, iddia edildiği gibi (lim _{x ightarrow p^{+}} frac{f(x)}{g(x)}=r,) var.

(lim _{x ightarrow p^{+}} f(x)=lim _{x ightarrow p^{+}} g(x)=0) durumu daha basittir. Daha önce olduğu gibi, elde ederiz

[left|frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}-rsağ|

Burada (" a^{prime prime}) yerine herhangi bir (y in(p, a).) koyabiliriz (y)'yi sabit tutarak, (x ightarrow p^'ye izin verin {+}) Sonra (f(x) ightarrow 0) ve (g(x) ightarrow 0,) yani

[sol|frac{f(y)}{g(y)}-rsağ| leq varepsilon ext { için herhangi bir } y in(p, a).]

(varepsilon) keyfi olduğundan, bu (lim _{y ightarrow p^{+}} frac{f(y)}{g(y)}=r) anlamına gelir. (x ightarrow p^{+}) sonlu bir (r.) için sabitlenir

(r=pm infty) ve (x ightarrow p^{-}) durumları benzerdir ve onları okuyucuya bırakıyoruz. (dörtlü kare)

Not 1. (lim frac{f(x)}{g(x)}) (lim frac{f^{prime}(x)}{g^{prime}(x) olsa bile var olabilir )}) değil. Örneğin, al

[f(x)=x+sin x ext { ve } g(x)=x.]

Sonra

[lim _{x ightarrow+infty} frac{f(x)}{g(x)}=lim _{x ightarrow+infty}left(1+frac{sin x}{) x}sağ)=1 quad( ext { neden? }),]

ancak

[frac{f^{prime}(x)}{g^{prime}(x)}=1+cos x]

(x ightarrow+infty) gibi herhangi bir sınıra eğilimli değildir.

Not 2. Gerekli varsayımlar karşılanmazsa, örneğin, (g^{prime}) her (G_{ eg p};) içinde sıfır değerine sahipse, kural başarısız olur, aşağıdaki Problem 4'e bakın.

L'Hôpital kuralını, aşağıdaki gibi bazı bilinen limit formülleriyle birleştirmek genellikle yararlıdır.

[lim _{z ightarrow 0}(1+z)^{1 / z}=e ext { veya } lim _{x ightarrow 0} frac{x}{sin x}=1 ext { (bkz. §1, Problem 8).}]

Örnekler

(a) (lim _{x ightarrow+infty} frac{ln x}{x}=lim _{x ightarrow+infty} frac{(ln x)^{prime}} {1}=lim _{x ightarrow+infty} frac{1}{x}=0.)

(b) (lim _{x ightarrow 0} frac{ln (1+x)}{x}=lim _{x ightarrow 0} frac{1 /(1+x)}{ 1}=1.)

(c) (lim _{x ightarrow 0} frac{x-sin x}{x^{3}}=lim _{x ightarrow 0} frac{1-cos x}{ 3 x^{2}}=lim _{x ightarrow 0} frac{sin x}{6 x}=frac{1}{6} lim _{x ightarrow 0} frac{ günah x}{x}=frac{1}{6}.)

(Burada L'Hôpital'in kuralını tekrar tekrar uygulamak zorunda kaldık.)

(d) düşünün

[lim _{x ightarrow 0^{+}} frac{e^{-1 / x}}{x}.]

Türev alarak ((n) kez bile), bir

[lim _{x ightarrow 0^{+}} frac{e^{-1 / x}}{n ! x^{n+1}}, quad n=1,2,3, ldots ext { (her zaman belirsiz!).}]

Böylece kural sonuç vermez. Ancak bu durumda basit bir cihaz yardımcı olur (aşağıdaki Problem 5'e bakın).

(e) (lim _{n ightarrow infty} n^{1 / n}) (frac{0}{0}) veya (frac{infty} biçimine sahip değil) {infty},) bu nedenle kural doğrudan uygulanmaz. Bunun yerine hesaplıyoruz

[lim _{n ightarrow infty} ln n^{1 / n}=lim _{n ightarrow infty} frac{ln n}{n}=0 ext { (Örnek ( a))}.]

Buradan

[n^{1 / n}=exp left(ln n^{1 / n}sağ) ightarrow exp (0)=e^{0}=1]

üstel fonksiyonların sürekliliği ile. O zaman cevap 1'dir.


L'hopital kuralı

L'Hopital kuralı, zor limitleri değerlendirmek için kullanılabilecek bir teoremdir. Limitin değerlendirmesini basitleştirebilecek bu limitlerin türevlerini almayı içerir.

Teorem, a (muhtemelen a dışında) içeren bir açık aralıkta f ve g türevlenebilir ve g'(x) ≠ 0 ise aşağıdakilerden birinin geçerli olduğunu belirtir:

sağ taraftaki limitin var olduğu veya olduğu göz önüne alındığında. Durum 1 için sınır, 0/0 türünde bir ara form olarak adlandırılır. Benzer şekilde, 2. durumda, &infin/&infin formunun belirsizi olarak adlandırılır.

L'Hopital kuralı bazen diğer formların belirsiz limitleri ile kullanılabilse de, genellikle belirtilen formların limitleri için kullanışlıdır: 0/0 veya &infin/&infin . Bu belirsiz limit türlerinin her ikisi de, pay ve payda arasında, "kazananın" daha fazla hesaplama yapılmadan belirsiz olduğu bir "kavga"yı temsil eder. Burada ve makalenin geri kalanında kullanıldığı şekliyle "kazanma", işlevin hangi bölümünün baskın olduğunu, yani hangisinin sınırına daha hızlı ulaştığını ifade eder.

0/0 biçimindeki limitler için, eğer pay kazanırsa, limit 0 olacaktır. Bunun yerine payda kazanırsa, sınır olacaktır. Beraberlik durumunda, limit sonlu bir sayı olacaktır.

Ters mantık, &infin/&infin formunun limitleri için de geçerlidir. Yani, &infin/&infin türündeki limitler için, eğer pay kazanırsa, limit &infin olacaktır. Payda kazanırsa, limit 0 olacaktır. Bir bağ varsa, limit 0/0 durumunda olduğu gibi sonlu bir sayı olacaktır.

x &infin 'e yaklaştıkça, hem x hem de lnx sonsuza yaklaşır, bu nedenle bu &infin/&infin türünün belirsiz bir limitidir. L'Hopital kuralını uygularsak şunu elde ederiz:

ki bu sonsuzluğa meyleder, dolayısıyla limit .

x = -4 eklersek, 0/0 elde ederiz, dolayısıyla L'Hopital kuralını uyguladığımızda şunu elde ederiz:

Not: L'Hopital kuralını kullanmak yerine, hem üst hem de alt tarafı payın eşleniği olan ile çarpabilirdik. Bunu yaptıktan sonra şunu elde ederiz:

-4'teki limiti x = -4 eklenerek değerlendirilebilir. Genel olarak, L'Hopital kuralına başvurmadan önce konjugat kullanmak gibi bir limiti değerlendirmenin daha kolay bir yolunu aramaya çalışmalıyız.

0∙&infin nasıl işlenir

Ne zaman ve , 0∙&infin tipinin belirsiz bir formu olarak adlandırılır. Sırasıyla f veya g kazanırsa limit 0 veya &infin olabilir veya eşitlik durumunda sonlu bir sayı olabilir. 0∙&infin belirsiz formunu, fg olarak yeniden yazarak 0/0 veya &infin/&infin formuna çevirebiliriz.

sırasıyla L'Hopital kuralını kullanabilmemiz için. Hangisinin hesaplanması daha kolay olduğuna bağlı olarak 0/0 ve &infin/&infin arasında seçim yaparız.

x için x'i taktığımızda ve elde ederiz, bu nedenle bu 0∙&infin formunun belirsiz bir çarpımıdır. yeniden yazıyoruz

0/0 biçimindedir. L'Hopital kuralına göre:

Not: Yeniden yazabilirdik

bu &infin/&infin biçimindedir, ancak bunu L'Hopital kuralıyla çözmek daha karmaşık olacaktır.

Alternatif olarak, bunu not edip yeniden yazabilirdik.

Şimdi, L'Hopital'in kuralı verimlerini uygulamak:

daha önce sahip olduğumuz şey buydu.

L'Hopital'in kuralını birden çok kez uygulamak

Bazen, L'Hopital kuralını 0/0 veya &infin/&infin şeklindeki belirsiz limitlere uygulamak, başka bir 0/0 veya &infin/&infin limitiyle sonuçlanır ve limiti belirlemek için L'Hopital'in kuralını birkaç kez kullanmamız gerekir.

Ancak bu hala &infin/&infin formunun bir limitidir ve limiti hesaplayabilmek için L'Hopital kuralını 1000 kez uygulamamız gerekir. L'Hopital kuralının her uygulamasından sonra, payda sabit olana kadar elde edilen limit yine &infin/&infin olacaktır. Sonunda şunu elde ederiz:

Not: n pozitif bir tam sayıysa, n sembolü! " n faktöriyel" olarak adlandırılan, şu şekilde tanımlanır:

nerede 0! 1 olarak tanımlanır.

1000 olmasına rağmen! hayal edilemeyecek kadar büyük, e x sonsuza kadar büyüyor, bu yüzden limit hala +&infin.

1 &infin , 0 0 , &infin 0 nasıl işlenir

Ne zaman ve , limit, tip 1 &infin'in belirsiz bir formu olarak adlandırılır.

Kalan iki durum için f(x) ve g(x)'i 0 veya infinity ile değiştirin.

1 &infin case : f kazanırsa veya limitine daha hızlı yaklaşırsa, sonuç 1 olur. g kazanırsa, sonuç &infin olur. Bir bağ varsa, sonuç sonlu bir sayıdır.

0 0 durum : f kazanırsa sonuç 0 olur. g kazanırsa, sonuç 1'dir. Bir bağ varsa, sonuç sonlu bir sayıdır.

&infin 0 durum : f kazanırsa sonuç &infin olur. g kazanırsa, sonuç 1'dir. Bir bağ varsa, sonuç sonlu bir sayıdır.

1 &infin , 0 0 , &infin 0 gibi üsleri içeren bu belirsiz formlar için, L'Hopital kuralını kullanabilmemiz için limiti 0 0 veya &infin &infin formuna çevirmek için doğal log fonksiyonunu kullanmamız gerekir (bkz. ln işlevini nasıl kullandığımıza dair bir örnek için Örtük Farklılaştırmadaki hile).

x büyüdükçe, limit &infin 0 biçimindedir, bu yüzden şimdilik limiti çağırıyoruz ve şunu elde etmek için her iki tarafın ln'sini alıyoruz:

ln sürekli bir fonksiyon olduğundan, ln ve lim sembollerinin sırasını değiştirerek şunu elde edebiliriz:

İlk örneğin tam tersi olduğundan, L = 1 .

ve dolayısıyla bu limit &infin tipindedir ve bu limitin ln'sini almamız gerekir:

olduğundan, terimi bırakabiliriz:

Şimdi, bu 0/0 biçimindedir, dolayısıyla L'Hopital'in kuralını uygularız:

Bu, orijinal limitin ln'si olduğundan, orijinal limit e 0 = 1 olmalıdır.

&infin-&infin nasıl işlenir

Formun limitleri ile çalışırken limiti forma çevirmek için üstel fonksiyonu kullanabiliriz. Bir bakıma bu, tip 1 &infin , &infin 0 ve 0 0 belirsiz formlarını değerlendirmek için ln işlevini kullanmanın ters tekniğidir. Eğer f ve g kesirlerse, bunları en küçük ortak paydayı kullanarak tek bir bölümde birleştirebiliriz.

Hem tan(x) hem de sec(x) bu limitte sonsuza yaklaşır, böylece L'Hopital kuralını kullanabiliriz. Ama önce, yukarıdakileri şu şekilde yeniden yazabiliriz:

Bu şimdi 0/0 biçimindedir, böylece L'Hopital'in kuralını kullanabiliriz:

Her ikisi de sonsuza yaklaşır, bu yüzden şimdilik limiti L olarak adlandırabilir ve her iki tarafın üstelini alabiliriz. Üstel, ln gibi sürekli bir fonksiyon olduğundan, üstel ve limit işlemlerinin sırasını değiştirebiliriz:

Daha fazla değerlendirmek bize şunları verir:

Her ikisi de +&infin'e yaklaştığından bu noktada L'Hopital'in kuralını kullanabiliriz, bu nedenle limit &infin/&infin türündedir, ancak matematik dağınık olacaktır.

Bunun yerine x'i şu şekilde yeniden yazabiliriz:

ve ikameyi y = yapın, böylece:

Bu, Örnek 4'te değerlendirdiğimiz limitin aynısıdır, yani

Bu, orijinal sınırın üstel olduğu için tam olarak bitmedi veya:

bu yüzden şu sonuca varmak için her iki tarafın ln'sini alıyoruz:

L'Hopital kuralı ne zaman kullanılmamalıdır?

L'Hopital kuralı yanlış uygulandığında size yanlış cevap verebilir.

Bu sınır, aşağıdakileri elde etmek için x = 0'ı takarak basitçe değerlendirilebilir:

Ancak, x = 0 değerini girmeden L'Hopital kuralını gelişigüzel uygularsak, şunu elde ederiz:

Unutmayın, L'Hopital kuralı yalnızca orijinal limit 0/0 veya &infin/&infin türündeyse geçerlidir. Orijinal limit 2 olduğundan, L'Hopital kuralı geçerli değildir. Bu nedenle, L'Hopital kuralını kullanmadan önce limiti değerlendirmenin daha kolay bir yolu olmadığından emin olmak için x'in yaklaşmakta olduğu değeri her zaman limite takmalıyız.

Ayrıca, L'Hopital kuralı her zaman çalışmaz çünkü bazı durumlarda, L'Hopital kuralını tekrar tekrar uygulamak, kuralın kaç kez uygulandığına bakılmaksızın belirsiz formlarla sonuçlanacaktır.

Hem ve yaklaşım , böylece L'Hopital'in kuralını uygulayabiliriz:

Ancak, bu hala &infin/&infin olduğundan L'Hopital kuralını tekrar uygularız:

Ancak bu bizi başladığımız yere geri getiriyor, bu yüzden limiti değerlendirmek için başka bir yöntem kullanmamız gerekiyor. x + 1 her zaman pozitif olduğundan ve x'in +&infin öğesine yaklaştığına dikkat edin. Ayrıca kareyi tamamlamak bize şunu söylüyor. Öyleyse,

Bunu beklemiş olabiliriz çünkü x yaklaşırken &infin , olarak tahmin edilebilir. Bu eşittir, yani limitin olması gerektiğini tahmin edebiliriz.

L'Hopital kuralı neden işe yarar?

L'Hopital kuralının ifadesini hatırlayın:

f ve g türevlenebilir ve g'(x) ≠ 0 ise, a (muhtemelen a 'da hariç) içeren bir açık aralıkta ve aşağıdakilerden biri geçerliyse:

sağ taraftaki limitin var olduğu veya olduğu göz önüne alındığında.

0/0 durumunun nedenini anlamak için x = a noktasındaki türevin tanımını hatırlayın:

f' ve g' 'nin a'da sürekli olduğunu varsayarsak, x = a yakınındaki sınırları x = a'daki değerlerine eşittir:

Bu iki denklemi bölerek ve limitlerin özelliklerinden bunu hatırlayarak:

En sağdaki x - a terimini iptal ederek şunu elde edebileceğimize dikkat edin:

0/0 tipi olduğunu varsaydığımız için şunu da söyleyebiliriz.

Bunu formüle eklersek şunu elde ederiz:

&infin/&infin türünde olduğunda, durumu aşağıdaki gibi yeniden yazarak 0/0 türünde bir duruma dönüştürebiliriz:

and 'dan beri bunu biliyoruz ve , şimdi L'Hopital kuralının işe yaradığını kanıtladığımız bir 0/0 tipi durumdur. Bu nedenle, L'Hopital kuralını aşağıdakileri elde etmek için uygulayabiliriz:

Bunları önceki formüle ekleyerek:

Sağ tarafı sadeleştirerek şunları elde edebiliriz:

Şimdi bunu elde etmek için önceki denkleme geri koyuyoruz:

Orijinal yeniden yazmamızı hatırlayarak şunu biliyoruz:

Yukarıdaki denklemin sol ve sağ tarafından bir terimi iptal ederek şunu elde edebileceğimize dikkat edin:

Şimdi, her iki tarafı ile çarparsak, &infin/&infin durumu için L'Hopital kuralını elde ederiz:


L'Hôpital kuralı nedir?

L’Hopital’s kuralı, türevleri kullanarak limitleri değerlendirme yaklaşımımızı basitleştirmemize yardımcı olur. Rasyonel bir fonksiyon verildiğinde, $dfrac$, ve bizde $lim_ var dfrac = dfrac<0><0>$ veya $lim_ dfrac = dfrac$, yine de aşağıda gösterildiği gibi L'Hôpital kuralını kullanarak limitini değerlendirebiliriz.

Bu, L'Hôpital kuralına göre belirsiz formda bir fonksiyon verildiğinde, limitini şu şekilde belirleyebileceğimiz anlamına gelir:

  • Pay ve paydanın türevlerini almak.
  • Bunun yerine bu yeni rasyonel ifadeyi kullanın, ardından bu limitin ifadesini $x ightarrow a$ yerine alın.
  • İşlev hala $dfrac<0><0>$ ve $dfrac$ sınırını döndürürse, L'Hôpital kuralını yeniden uygulayın.

L’Hopital’s Kuralı

Ancak hem pay hem de payda $ eğilimi gösterirse ne olur? Sınırın ne olduğu belli değil. Aslında, $f(x)$ ve $g(x)$ fonksiyonlarının ne olduğuna bağlı olarak, limit herhangi bir şey olabilir!

Örnek

Bu limitler örnek belirsiz formlar $frac<0><0>$ türünde. L’Hôpital’s Kuralı, bu tür limitlerin değerlendirilmesi için bir yöntem sağlar. $displaystylelim_ belirteceğiz, lim_, lim_, lim_, > lim_$ jenerik olarak $lim$ ile aşağıdaki gibi.

$displaystylefrac$ için L’Hôpital’s Kuralı

$lim f(x)=lim g(x)=0$ olduğunu varsayalım. Sonra

  1. $displaystyle lim, frac ise=L$, ardından $displaystyle lim, frac=lim frak=L$.
  2. $displaystyle lim, frac ise$, limitte infty$ veya $-infty$ eğilimindedir, o zaman $displaystylefrac da öyle$.

$displaystyle lim_ düşünün, frak$, burada $x(a)=y(a)=0$. $t$ zamanında, $(x(t), y(t))$ ve $(0,0)$ arasındaki kesen doğrunun eğimi [frac=frak.] $t o a^+$, $x(t) o 0$ ve $y(t) o 0$ olarak ve kesen doğrunun $(0,0'daki teğet doğruya yaklaşmasını bekliyoruz) )$ daha iyi ve daha iyi. $t o a^+$ olarak sınırda, [> = lim_, frak.] Ancak $(0,0)$ noktasındaki teğet doğrunun eğimini şu şekilde hesaplayabiliriz:

[> = sol.fracsağ|_=frak>>=lim_ frak.] Böylece, [lim_frak=lim_frak.] Bu, L'8217Hôpital's Kuralının resmi olmayan bir geometrik yorumudur ve kesinlikle bir kanıtı değildir. Ancak, bize kuralın resmi ifadesi hakkında fikir verir.

Ortalama Değer Teoreminin bir uzantısını kullanacağız:

Genişletilmiş (Cauchy) Ortalama Değer Teoremi

$f$ ve $g$ $(a,b)$ üzerinde türevlenebilir ve $[a,b]$ üzerinde sürekli olsun. $(a,b)$ içinde $g'(x) eq 0$ olduğunu varsayalım. O zaman $(a,b)$ içinde en az bir $c$ noktası vardır, öyle ki [frac=frak.] Bu teoremin ispatı oldukça basittir ve çoğu matematik metninde bulunabilir.

Şimdi $x o c^+$ limitindeki $frac<0><0>$ durumu için L’Hôpital’s Kuralının kanıtını çizeceğiz, burada $c$ sonludur. $x o c^-$ durumu benzer şekilde kanıtlanabilir ve bu iki durum birlikte iki taraflı bir limit için L’Hôpital’s Kuralını kanıtlamak için kullanılabilir. Bu kanıt Salas ve Hille'den alınmıştır. Hesap: Bir Değişken.

$f$ ve $g$ $(c,b)$ aralığında tanımlansın, burada $f(x) o 0$ ve $g(x) o 0$ $x o c^+$ olarak ama $displaystyle frac$ sonlu bir limit $L$ eğilimindedir. O zaman $f’$ ve $g’$ $(c, c+g]$ ve $g’ eq 0$ kümesinde $(c, c+h]$ üzerinde bulunur. Ayrıca, $f$ ve $g$, $[c,c+h]$ üzerinde süreklidir, burada $f(c)=0$ ve $g(c)=0$'ı tanımlarız.

Örnek
  • $görüntüleme stililim_, frac=lim_, frac(sin x)>(x)>=lim_, frac<1>=1.$
  • $görüntüleme stililim_, frac<2ln x>=lim_, frac(2ln x)>(x-1)>=lim_, frak<

Pay ve paydanın her ikisi de $infty$ veya $-infty$ eğilimindeyse, L’Hôpital’s Kuralı yine de geçerlidir.

$displaystylefrac$ için L’Hôpital’s Kuralı

$lim f(x)$ ve $lim g(x)$'ın ikisinin de sonsuz olduğunu varsayalım. Sonra

  1. $displaystyle lim, frac ise=L$, ardından $displaystyle lim, frac=lim frak=L$.
  2. $displaystyle lim, frac ise$, limitte infty$ veya $-infty$ eğilimindedir, o zaman $displaystylefrac da öyle$.

L’Hôpital’s Kuralının bu formunun ispatı daha gelişmiş analiz gerektirir.

Burada, $displaystylefrac$ türünün belirsiz biçimlerine ilişkin bazı örnekler verilmiştir.

Örnek

Bazen aynı problemde L’Hôpital’s Kuralını birkaç kez kullanmak gerekir:

Örnek

Bazen, L’Hôpital’s Kuralını uygulamak için bir limit yeniden yazılabilir:

Örnek

L’Hôpital’s Kuralını uygulamak için başka hileler kullanabiliriz. Sonraki örnekte, ^0$ türünün belirsiz bir biçimini değerlendirmek için L’Hôpital’s Kuralını kullanıyoruz:

Örnek

$displaystyle lim_ değerini değerlendirmek için, x^x$, önce $displaystyle lim_ değerini değerlendireceğiz, ln (x^x)$. [lim_, ln (x^x)=lim_, xln (x)=0,quad >.] O zamandan beri $displaystylelim_, ln (x^x) o 0$ olarak $x o 0^+$ ve $ln (u)=0$ ancak ve ancak $u=1$, [x^x o 1 ise dörtmetinquad x o 0^+.] Böylece, [lim_, x^x=1.]

L’Hôpital’s Kuralının yalnızca belirsiz formlar için geçerli olduğuna dikkat edin. Bu öğreticinin ilk örneğindeki limit için, L’Hôpital’s Kuralı uygulanmaz ve 6 olarak yanlış bir sonuç verir. L’Hôpital’s Kuralı güçlüdür ve $ türündeki belirsiz formları değerlendirmek için kullanımı oldukça kolaydır. frac<0><0>$ ve $frac$.

Anahtar kavramlar

$lim f(x) = lim g(x) = 0$ olduğunu varsayalım. Sonra

  1. $displaystylelim frac ise= L,$ sonra $displaystylelim frac= displaystylelim frac= L$.
  2. $displaystylelim frac ise$ limitte infty$ veya $-infty$ eğilimindedir, o zaman $frac da öyle$.

$frac$ için L’Hôpital’s Kuralı
$lim f(x)$ ve $lim g(x)$'ın ikisinin de sonsuz olduğunu varsayalım. Sonra


L'x27Hôpital's kuralına göre limitler Hesaplayıcı

Örnek

Çözülmüş Problemler

Zor Problemler

L'hôpital kuralına göre çözülmüş limit örneği

$ değerini limite girin

$1$ ve $-1$ değerlerini çıkarın

$lim_ sınırını doğrudan değerlendirirsekleft(frac<1-cosleft(xsağ)> ight)$ $x$, $ eğiliminde olduğundan, bize belirsiz bir form verdiğini görebiliriz

Bu limiti hem payın hem de paydanın türevini ayrı ayrı hesaplamaktan oluşan L'Hôpital kuralını uygulayarak çözebiliriz.

Payın türevini bulun

İki fonksiyonun toplamının türevi, her fonksiyonun türevlerinin toplamıdır.

Sabit fonksiyonun ($1$) türevi sıfıra eşittir

Bir sabit ($-1$) ile çarpılan bir fonksiyonun türevi, sabit çarpı fonksiyonun türevine eşittir

Bir fonksiyonun kosinüsünün türevi eksi fonksiyonun sinüsü çarpı fonksiyonun türevine eşittir, başka bir deyişle, eğer $f(x) = cos(x)$ ise $f&x27(x) = -sin(x)cdot D_x(x)$

Paydanın türevini bulun

Türev almanın güç kuralı, $n$ bir gerçek sayıysa ve $f(x) = x^n$ ise, o zaman $f&x27(x) = nx^ olduğunu belirtir.$


İçindekiler

17. ve 18. yüzyıllarda kalkülüsün gelişiminde örtük olmasına rağmen, modern bir fonksiyonun limiti fikri, 1817'de sürekli fonksiyonları tanımlamak için epsilon-delta tekniğinin temellerini ortaya koyan Bolzano'ya kadar uzanır. Ancak hayatı boyunca eserleri bilinmiyordu. [1]

1821 kitabında Kurs d'analiz, Cauchy değişken nicelikleri, sonsuz küçükleri ve limitleri tartıştı ve y = f ( x ) 'in sürekliliğini tanımladı, x zorunlu olarak sonsuz küçük bir değişiklik üretir y(Grabiner 1983) ise sadece sözel bir tanım verdiğini iddia etmektedir. [2] Weierstrass ilk olarak epsilon-delta limit tanımını bugün genellikle yazıldığı şekliyle tanıttı. Notaları da tanıttı lim ve limxx0. [3]

Oku limit sembolünün altına yerleştirmenin modern gösterimi, kitabında tanıtılan Hardy'den kaynaklanmaktadır. Saf Matematik Kursu 1908'de. [4]

Grafiği ile temsil edilen bir manzara üzerinde yürüyen bir insan hayal edin. y = F(x). Yatay konumları, değeri ile ölçülür. x, bir arazi haritası veya küresel bir konumlandırma sistemi tarafından verilen pozisyona çok benzer. Rakımları koordinat tarafından verilir y. tarafından verilen yatay konuma doğru yürürler. x = P. Yaklaştıkça irtifalarının yaklaştığını fark ederler. L. yüksekliği sorulursa x = P, o zaman cevap verirlerdi L.

O halde irtifaları yaklaşıyor demek ne anlama geliyor? L? Bu, irtifalarının yaklaştıkça yakınlaştığı anlamına gelir. L-doğrulukta olası küçük bir hata dışında. Örneğin, yolcumuz için belirli bir doğruluk hedefi belirlediğimizi varsayalım: L. Gerçekten de, on dikey metre mesafeye girebileceklerini bildirdiler. Lelli yatay metre içinde olduklarında not ettikleri için P, onların yüksekliği Her zaman on metre veya daha az L.

Doğruluk hedefi daha sonra değiştirilir: bir dikey metreye ulaşabilirler mi? Evet. Yedi yatay metre içinde herhangi bir yerdeyseler P, yükseklikleri her zaman hedeften bir metre içinde kalacak L. Özetle, yolcunun irtifasının yaklaştığını söylemek L yatay konumları yaklaştıkça P, her hedef doğruluk hedefi için, ne kadar küçük olursa olsun, bir miktar komşuluk olduğunu söylemektir. P kimin yüksekliği bu doğruluk hedefini yerine getirir.

İlk gayri resmi açıklama şimdi açıklanabilir:

Bir fonksiyonun limiti F(x) olarak x yaklaşımlar P bir sayıdır L aşağıdaki özelliğe sahip: herhangi bir hedef mesafe verildiğinde L, mesafe var P değerlerinin içinde bulunduğu F(x) hedef mesafede kalır.

Aslında, bu açık ifade, bir topolojik uzayda değerlerle bir fonksiyonun limitinin resmi tanımına oldukça yakındır.

Daha spesifik olarak, söylemek gerekirse

bunu söylemek ƒ(x) yakın yapılabilir L yapılarak istenilen şekilde x yeterince yakın, ancak eşit değil P.

(ε, δ)-tanımları olarak bilinen aşağıdaki tanımlar, çeşitli bağlamlarda bir fonksiyonun limiti için genel kabul görmüş tanımlardır.

Sanmak F : rr gerçek çizgi üzerinde tanımlanır ve p, Lr . Biri bunu söylerdi sınırı F, olarak x yaklaşımlar P, dır-dir L ve yazılı

aşağıdaki özellik geçerliyse:

  • her gerçek için ε > 0 , gerçek var δ > 0 öyle ki tüm gerçek x için 0 < | xP | < δ ima eder | F(x) − L | < ε . [6]

Gerçek çizginin alt kümelerinde tanımlanan fonksiyonlar için daha genel bir tanım geçerlidir. İzin vermek (a, B) içinde açık bir aralık olsun r, ve P bir nokta (a, B). İzin vermek F (a, B)—muhtemelen dışında P kendisi. O zaman sınırın olduğu söylenir. F olarak x yaklaşımlar P dır-dir L, eğer her gerçek için ε > 0 , gerçek var δ > 0 öyle ki 0 < | xP | < δ ve x ∈ (a, B) şunu ima eder | F(x) − L | < ε .

Burada, limitin değerinin aşağıdakilere bağlı olmadığına dikkat edin. F tanımlanmakta P, ne de değerde F(P)—tanımlanmışsa.

Harfler ε ve δ "hata" ve "mesafe" olarak anlaşılabilir. Aslında Cauchy, ε bazı çalışmalarında "hata"nın kısaltması olarak [2], ancak süreklilik tanımında her ikisinden de ziyade sonsuz küçük bir α kullanmıştır. ε veya δ (bkz. Cours d'Analiz). Bu terimlerle, hata (ε) Limitteki değerin ölçümünde mesafe azaltılarak istenildiği kadar küçük yapılabilir (δ) sınır noktasına kadar. Aşağıda tartışıldığı gibi, bu tanım daha genel bir bağlamda işlevler için de geçerlidir. Bu fikir δ ve ε mesafeleri temsil etmek, bu genellemeleri önermeye yardımcı olur.

Varlık ve tek taraflı limitler Düzenle

Alternatif olarak, x yaklaşabilir P yukarıdan (sağdan) veya aşağıdan (soldan), bu durumda limitler şu şekilde yazılabilir:

sırasıyla. Bu limitler p'de mevcutsa ve orada eşitse, buna şu şekilde atıfta bulunulabilir: NS sınırı F(x) NS P. [7] Eğer tek taraflı limitler mevcutsa P, ancak eşit değildir, o zaman sınır yoktur P (yani, sınır P bulunmuyor). Herhangi bir tek taraflı limit mevcut değilse P, daha sonra limit P ayrıca mevcut değildir.

Resmi bir tanım aşağıdaki gibidir. sınırı F(x) olarak x yaklaşımlar P yukarıdan L eğer, her biri için ε > 0, bir δ > 0 öyle ki |F(x) − L| < ε ne zaman 0 < xP < δ. sınırı F(x) olarak x yaklaşımlar P aşağıdan L eğer, her biri için ε > 0, bir δ > 0 öyle ki |F(x) − L| < ε ne zaman 0 < Px < δ.

Limit yoksa, salınım F NS P sıfır değildir.

Daha genel alt kümeler Düzenle

Açık aralıkların dışında, keyfi alt kümelerdeki fonksiyonlar için limitler tanımlanabilir. r, aşağıdaki gibi (Bartle & Sherbert 2000) hasat hatası: hedef yok: CITEREFBartleSherbert2000 (yardım): izin ver F bir altkümede tanımlanmış gerçek değerli bir fonksiyon olsun S gerçek çizgiden. İzin vermek P sınır noktası olmak S-yani, P bazı eleman dizisinin sınırıdır S p'den farklıdır. sınırı F, olarak x yaklaşımlar P içindeki değerlerden S, dır-dir L, eğer her biri için ε > 0 , var bir δ > 0 0 < | xP | < δ ve xS ima eder | F(x) − L | < ε .

Bu sınır genellikle şu şekilde yazılır:

şu koşul F üzerinde tanımlanmak S bu mu S etki alanının bir alt kümesi olmak F. Bu genelleme, gerçek değerli fonksiyonların (örn. S formun ( − ∞ , a ) ) ve sağ elini kullanan limitlerin (örn. S formun açık bir aralığı olmak ( a , ∞ ) ). Aynı zamanda, tek taraflı limitler kavramını (yarı) kapalı aralıkların dahil edilen uç noktalarına kadar genişletir, dolayısıyla karekök fonksiyonu F(x)= √ x x yukarıdan 0'a yaklaştıkça 0 sınırına sahip olabilir.

Silinen ve silinmeyen sınırlar

Burada verilen limit tanımı, nasıl (veya olup olmadığına) bağlı değildir. F şurada tanımlanır P. Bartle (1967) bunu şu şekilde ifade eder: silinen sınır, çünkü değerini hariç tutar F NS P. karşılık gelen silinmeyen sınır değerine bağlıdır F NS P, Eğer P etki alanında F:

  • Bir sayı L silinmeyen sınırıdır F olarak x yaklaşımlar P eğer, her biri için ε > 0, var bir δ > 0 öyle ki | xP | < δ ve xDm(F) ima eder | F(x) − L | < ε.

Tanım, komşuluk dışında aynıdır | xP | < δ şimdi noktayı içeriyor P, silinen mahallenin aksine 0 < | xP | < δ. Bu, silinmemiş bir limitin tanımını daha az genel hale getirir. Silinmemiş limitlerle çalışmanın avantajlarından biri, fonksiyonlar üzerinde herhangi bir kısıtlama olmaksızın (silinmemiş limitlerinin varlığı dışında) kompozisyonların limitleri hakkında teoremi ifade etmeye izin vermeleridir (Hubbard (2015)).

Bartle (1967), "limit" ile bazı yazarların bu silinmemiş limiti kastetmesine rağmen, silinen limitlerin en popüler olduğunu belirtmektedir. Örneğin, Apostol (1974), Courant (1924), Hardy (1921), Rudin (1964), Whittaker & Watson (1902) harvtxt hatası: hedef yok: CITEREFWhittakerWatson1902 (yardım) tümü, silinen sınır anlamına gelen "limit" alır.


L'Hôpital Kuralı Nedir?

diğerleri arasında. Yukarıdakiler, tüm olası belirsiz formların kapsamlı bir listesi değildir. Ne yazık ki, bu diğer belirsiz formların çoğu kolayca değerlendirilemez. En azından, doğru araçlar olmadan.

Artık türev fikrini geliştirdiğimize göre, bunları daha zor belirsiz limitlerden bazılarını değerlendirmek için bir araç olarak kullanabiliriz. Bu, olarak bilinen teknik kullanılarak gerçekleştirilir. L'Hôpital Kuralı.

L'Hôpital Kuralı (Temel Fikir)

L'Hôpital Kuralı bize türevlerin ve limitlerin aşağıdaki şekilde ilişkili olduğunu söyler:

$displaystyle limlimits_ ise frak = frac 0 0, sol(mbox frac infty infty ight)$ , o zaman $f$ ve $g$ türevini aşağıdaki gibi kullanabiliriz:

L'Hôpital Kuralı hakkında anlaşılması gereken birkaç şey var.

  • Denklemin sağ tarafı ise OLUMSUZLUK $frac'ın türevi$ , yani bölüm kuralı kullanılarak bulunamadı. Bunun yerine, L'Hôpital Kuralı, pay ve paydayı şu şekilde ele alır: ayrı işlevler.
  • Bazen limit değeri bulmak için L'Hôpital Kuralı'nın birden fazla uygulanması gerekir.
  • Bu kural OLUMSUZLUK sihirli bir mermi. Kuralın kullanılabilir bir çözüm üretemediği bazı durumlar vardır. Yani limit belirsiz kalır.

L'Hôpital Kuralının geçerli olduğunun kanıtı, (önceki derste tartıştığımız) Cauchy'nin Ortalama Değer Teoreminin Uzantısının kullanılmasını gerektirir ve bu dersin sonunda yer alır.

Kanıt, Ortalama Değer Teoreminin diğer önemli fikirleri kanıtlamak için nasıl kullanılabileceğinin güzel bir örneğidir, ancak (dürüst olmak gerekirse) L'Hôpital Kuralının kanıtını okumaz veya anlamazsanız, yeteneğinizi engellemez. ile kullanmak limitlerini değerlendirmektir. Böylece gerekirse atlayabilirsiniz (bu dır-dir gerçi gerçekten güzel bir kanıt. Okumaya değer!).

L'Hôpital Kuralının Temel Uygulamaları

Örnek 1

Bu özel limiti zaten öğrendiğimizi unutmayın. Daha önceki bir derste gösterdik ki

Bu örneğin amacı, L'Hôpital kuralının bize aynı cevabı verdiğini göstermektir (ki bu, kuralın işe yaradığına inanmamıza yardımcı olur, çünkü henüz kanıtlamadık).

Limitin, L'Hôpital Kuralı $left(frac 0 0 ight.$ veya $left.frac infty infty ight)$ için doğru forma sahip olduğunu gösterin.

$ displaystylelim_frac x = frac 0 = frac 0 0 $

Use L'Hôpital's Rule, where $f(x) = sin x$ and $g(x) = x$ .

For reference, here is a graph of the function near $x = 0$ . Note that the function is undefined NS $x = 0$ .

Örnek 2

Let's try one more that we could evaluate directly using techniques from an earlier lesson. This particular limit will require two applications of the rule.

Verify the limit has the correct form for L'Hôpital's rule.

Use L'Hôpital's Rule, where $f(x) = 3x^2 - 5x + 7$ and $g(x) = 4x^2 + 9x - 1$ .

Apply L'Hôpital's Rule a second time.

For reference, here is a graph of the function.

Örnek 3

Note that this particular example is olumsuzluk one of the forms from an earlier lesson. So, without L'Hôpital's Rule, we would be hard pressed to evaluate it.

Evaluate the limit in its current form (to make sure L'Hôpital's Rule applies).

Since we have a $frac 0 0$ form, we can use L'Hôpital's rule to try and evaluate it.

For reference, here is the graph of the function, with the limit value indicated. Note that the function is undefined NS $x=1$ .

Not A Magic Bullet

It is important to note that L'Hôpital's rule is one tool in our toolbox, but it doesn't help with every limit. In the next lesson we'll look at some examples of limits where applying L'Hôpital's rule isn't appropriate, and we'll discuss what we can do to successfully evaluate such limits.

Proof of L'Hôpital's Rule

As always, before working through the proof, we need to first state the theorem formally.

Formal Statement

Suppose $limlimits_frac$ has the form $frac 0 0$ or $frac infty infty$ . Also, suppose $f$ and $g$ are continuous in some open interval containing $x=a$ (except possibly at $x=a$ itself) and neither $g(x)$ nor $g'(x)$ are equal to zero in that same interval (again, except possibly at $x=a$ itself).
Sonra

provided the right-hand limit exists or is $pminfty$ .

Proof:

This proof focuses on the case where $limlimits_ frac = frac 0 0$ . The case where the limit is $fracinfty infty$ is approached similarly.

Since $limlimits_ f(x) = 0$ , we know that either $f(a) = 0$ or $f$ has a removable discontinuity at $x = a$ . In the case where we have the removable discontinuity, we can redefine $f$ so that $f(a) = 0$ without affecting the value of the limit, so let's do that.

Likewise, the same situation applies to $g(x)$ at $x = a$ , so make the same redefinition if needed. This means we now have $lue$ and $ ed$ , so we can write .

Since $f$ and $g$ are differentiable in the neighborhood of $x=a$ , we can apply Cauchy's extension of the MVT. This means there is a $cin(a,x)$ such that

Dividing both sides by $g'(c)$ gives us

If we examine the limit as $x o a^+$ , we see that $c o a^+$ as well (since $c geq a$ ). This means we can say

As similar argument with $x o a^-$ allows us to say

Finally, the last phrase in the formal statement of L'Hôpital's Rule says that the equation is valid provided the limit on the right exists. In order for this statement to be valid, we know the one-sided limits have to be the same. In that case


5.3: L'Hôpital's Rule - Mathematics

mQ5 pQDo_"W>Un=O1aXo,[email protected]%6X'Ak-=ZuJ)B5_17EGN_N2#G2=AYeOoKDK."#"_2 P^)bUXWg h#%NpFcMp]m$- [email protected] +i?I2U-csr_=+eeJ8'mmlYs31C5KPke!W#>.UsCU ia][email protected]#`gccQ)OHbZK8&=2_67dTU1?!%^.Q`P4m&"/25XHMZ5+kIb $b2a36&6=hBZmuli4:6kFuiMY=0g3p.`tA[BVg.L2hF#W.,Uip,EJt0GHOGK9rF .Ki&/[email protected]$>O9)[email protected]&[hdMk`[email protected]'1Pe8Aa/)^?M*%_I*Th]oP%aKk4Y ^f>3XB&KET!W7X0:96=ii0J"^epBTMe:c+AHXq?Q&mb+Yh2*r'[email protected] -i-9.KZ=!:`7s&BmbBV27_!HmR+j)J?qBh9%!j+eou$QR0PZmJHWd!LiJ_T72`Va^ /[email protected]?2e$C&pBHXDg6e8^WI:[email protected]/CMTfTZi)24Uf#mXNQ'bcDSM

> endstream endobj 28 0 obj > /ExtGState > >> endobj 30 0 obj > stream 8XugN)% :o94L!h/?!`@C,@WAmPIA'%](/&.+U(^t!:b38! MOb]P^DGEE&94^]TH[g^4\_^-/FpZe`,7T/!O/lF^"qBfBkC=elm6T=61XqB(5l9

> endstream endobj 31 0 obj > /ExtGState > >> endobj 32 0 obj > endobj 33 0 obj > endobj 7 0 obj > endobj 8 0 obj > endobj 34 0 obj > endobj 35 0 obj > stream 8V^jCJ5FD'V CoVGU=&c]9T,Y-PPib578WHhcrM#A cL0][email protected]^[email protected]:SI)STAb"E[`IBS/V,' L#^ [email protected]?"'B3Wrm>O``bt`a6E]MY8S-jLGn^oI[8Yk"[email protected] *i2M-"lYjc'SWJPRUUB6-j0,hFd#uqDkgG V9J39]^%jJscK1hutNa+u$ju !dFt[jAfkC>eE8Gb+I#QrTpb!W @"EXJr9uHTg.3 ]):[email protected],imV WTduRC'"(p2% d$.ufHOR?b)FOAnPHiO](WK#a6d0M/NQ%dr?+BRTNNk-Qa%XnSi=:p>(pbGsVuu?: PU#r4"G?DsRU.s9d9D&5+9%o+*R^3-b*)g37PNTa-i,75"+c0U!FcLjrMhH(Dn=a M/mh/"@'/8gM*!aB]r!/O?`8kL(TV%]b9%[email protected]/$L$P6)-`0dUhcQ/.rI`8PZXm H^g,/V>KM/9=BSoCnI?Mrt8fRR 5.OW'^.badG:hU^H/O`a,T$r-r?5`=Te^'eqtbpYqSAVOo428Q4L :.'3n7(PEFg(I5RQqZ`5n]^tlp[^F)(ND5ua`MZgG`kmgS4_qWT0DlOTW^:gmGT^ =iNmTM]&U.c>%OcJX'^u/QjXXKNk-?cc%[email protected]#i_u1%!12,n/H

> endstream endobj 4 0 obj > endobj 5 0 obj > endobj 6 0 obj > endobj 41 0 obj > endobj 13 0 obj > endobj 14 0 obj > endobj 15 0 obj > endobj 16 0 obj > endobj 40 0 obj > endobj 42 0 obj > endobj 1 0 obj > endobj 10 0 obj > endobj 17 0 obj > endobj 20 0 obj > endobj 23 0 obj > endobj 26 0 obj > endobj 29 0 obj > endobj 9 0 obj > endobj 43 0 obj > endobj 44 0 obj > endobj xref 0 45 0000000000 65535 f 0000037895 00000 n 0000000016 00000 n 0000002559 00000 n 0000031982 00000 n 0000032086 00000 n 0000032186 00000 n 0000028902 00000 n 0000029002 00000 n 0000038473 00000 n 0000037975 00000 n 0000002684 00000 n 0000007795 00000 n 0000033028 00000 n 0000034082 00000 n 0000035139 00000 n 0000035252 00000 n 0000038058 00000 n 0000007958 00000 n 0000011933 00000 n 0000038141 00000 n 0000012062 00000 n 0000016478 00000 n 0000038224 00000 n 0000016619 00000 n 0000021956 00000 n 0000038307 00000 n 0000022083 00000 n 0000025932 00000 n 0000038390 00000 n 0000026059 00000 n 0000028562 00000 n 0000028679 00000 n 0000028802 00000 n 0000029100 00000 n 0000029366 00000 n 0000030585 00000 n 0000030783 00000 n 0000031258 00000 n 0000031488 00000 n 0000035364 00000 n 0000032285 00000 n 0000036571 00000 n 0000038596 00000 n 0000038646 00000 n trailer ] >> startxref 38755 %%EOF


L’Hôpital’s Rule

L’Hôpital’s Rule, which was named after French Mathematician, Guillaume Francois Antoine de L’Hôpital, is a very important rule when trying to find the limit of a function when it plugging in the values makes it indeterminate. This is not the situation when the the right hand limit and the left hand limit are not equal because then the limit does not exist. This is when the right hand limit and the left hand limit approach the same value, but when we plug in the value we are approaching then we get either ∞/∞, -∞/∞, or 0/0.

We get an indeterminate value. All three of those situations don’t have a real value, but the limit does exist because the limit is the value that the function is approaching, and not necessarily the value the function equals.

Here are the three situations when you can use L’Hôpital’s Rule to find the derivative of the function:

When you get one of these three situation, then you can use L’Hôpital’s Rule to determine what the limit is. It states that in this situation the limit of the two functions equals the limit of the derivative of the numerator divided by the derivative of the denominator, or to say it symbolically.

There are times when just taking the first derivative is not enough to find the answer. Meaning that even after taking the derivative of the function when you take the limit of the function then you still get an indeterminate answer, 0/0, ∞/∞, -∞/∞. In that case you can take the derivative of the derivative function and try again. That’s the beauty of L’Hôpital’s Rule, it allows us to keep taking the derivative of the function until we get a determinate answer.


5.3: L'Hôpital's Rule - Mathematics

The following problems involve the use of l'Hopital's Rule. It is used to circumvent the common indeterminate forms $ frac< "0" > < 0 >$ and $ frac<"infty" > < infty >$ when computing limits. There are numerous forms of l"Hopital's Rule, whose verifications require advanced techniques in calculus, but which can be found in many calculus books. This link will show you the plausibility of l'Hopital's Rule. Following are two of the forms of l'Hopital's Rule.

THEOREM 1 (l'Hopital's Rule for zero over zero): Suppose that $ displaystyle < lim_f(x) =0 > $, $ displaystyle < lim_g(x) =0 > $, and that functions $f$ and $g$ are differentiable on an open interval $I$ containing $a$. Assume also that $ g'(x) e 0$ in $I$ if $x e a$. Then $ displaystyle < lim_frac > = displaystyle < lim_frac > $ so long as the limit is finite, infty$, or $-infty$. Similar results hold for $ x ightarrow infty $ and $ x ightarrow - infty $.

THEOREM 2 (l'Hopital's Rule for infinity over infinity): Assume that functions $f$ and $g$ are differentiable for all $x$ larger than some fixed number. If $ displaystyle < lim_f(x) = infty > $ and $ displaystyle < lim_g(x) = infty > $, then $ displaystyle < lim_frac > = displaystyle < lim_frac > $ so long as the limit is finite, infty$, or $-infty$. Similar results hold for $ x ightarrow infty $ and $ x ightarrow - infty $.

In both forms of l'Hopital's Rule it should be noted that you are required to differentiate (separately) the numerator and denominator of the ratio if either of the indeterminate forms $ frac< "0" > < 0 >$ or $ frac<"infty" > < infty >$ arises in the computation of a limit. Do not confuse l'Hopital's Rule with the Quotient Rule for derivatives. Here is a simple illustration of Theorem 1.

EXAMPLE 1: $ displaystyle < lim_frac = frac<" 2-2" > < (2)^2-4 >= frac< "0" > < 0 >> $ (Now apply Theorem 1. Differentiate top and bottom separately.) $ = displaystyle < lim_frac<1-0> <2x-0>> $ $ = displaystyle < lim_frac<1> <2x>> $ $ = frac<1> <2(2)>$ $ = frac<1> <4>$ Here is a simple illustration of Theorem 1.

Indeterminate forms besides $ frac< "0" > < 0 >$ and $ frac<"infty" > < infty >$ include $ "0 cdot infty $, $ "infty - infty" $, $ "1^" $, $ "0^<0>" $, and $ "infty^<0>" $. These forms also arise in the computation of limits and can often be algebraically transformed into the form $ frac< "0" > < 0 >$ or $ frac<"infty" > < infty >$, so that l'Hopital's Rule can be applied. Following are two examples of such transformations. The second example uses the fact that $ y=e^x $ and $ y=ln x $ are inverse functions, so that $ z= e^ $ for all $ z>0 $ and $ ln z^m=m ln z$ for all $ z>0 $ and any $ m$.

EXAMPLE 3: $ displaystyle< lim_> sqrt cdot ln x > = " 0 cdot -infty"$ (Circumvent this indeterminate form by "flipping" $ sqrt $.) $ = displaystyle< lim_> frac<1/sqrt> > = frac< "- infty" > < infty >$ (Now use Theorem 2 for l'Hopital's Rule.) $ = displaystyle< lim_> frac<1/x><-1/2x^<3/2>> > $ $ = displaystyle< lim_> -2 sqrt > $ $ = -2 sqrt <0>$ $ = -2 (0) $ $ = 0 $

EXAMPLE 4: $ displaystyle< lim_> x^x > = " 0^0" $ (Use the fact that $ z=e^ $.) $ = displaystyle< lim_> e^< ln <>> > > $ (Use the fact that $ ln z^m=m ln z$ .) $ = displaystyle< lim_> e^ < x ln x >> $ (This next step uses the fact that $y=e^ $ is a continuous function.) $ = displaystyle< e^> < x ln x >> > $ $ = displaystyle < e^< "0 cdot (-infty)">> $ (Circumvent this indeterminate form by "flipping" $ x $.) $ = displaystyle< e^> < frac< ln x > <1/x>> > > $ (Now apply Theorem 2 for l'Hopita's Rule.) $ = displaystyle< e^> < frac< 1/x > <-1/x^2>> > > $ $ = displaystyle< e^> < (-x) >> > $ $ = e^0 $ $ = 1 $

In the list of limit problems which follows, most problems are average and a few are somewhat challenging. In some cases there may be methods other than l'Hopital's Rule that could be used to compute the given limit. Nonetheless, l'Hopital's Rule will be used whenever applicable in this problem set.

Click HERE to see a detailed solution to problem 1.

Click HERE to see a detailed solution to problem 2.

Click HERE to see a detailed solution to problem 3.

Click HERE to see a detailed solution to problem 4.

Click HERE to see a detailed solution to problem 5.

Click HERE to see a detailed solution to problem 6.

Click HERE to see a detailed solution to problem 7.

Click HERE to see a detailed solution to problem 8.

Click HERE to see a detailed solution to problem 9.

Click HERE to see a detailed solution to problem 10.

Click HERE to see a detailed solution to problem 11.

Click HERE to see a detailed solution to problem 12.

Click HERE to see a detailed solution to problem 13.

Click HERE to see a detailed solution to problem 14.

Click HERE to see a detailed solution to problem 15.

Click HERE to see a detailed solution to problem 16.

Click HERE to see a detailed solution to problem 17.

. . L'HOPITAL ALERT . The following problems require algebraic manipulation BEFORE l'Hopital's Rule can be applied.

Click HERE to see a detailed solution to problem 18.

Click HERE to see a detailed solution to problem 19.

Click HERE to see a detailed solution to problem 20.

Click HERE to see a detailed solution to problem 21.

Click HERE to see a detailed solution to problem 22.

Click HERE to see a detailed solution to problem 23.

Click HERE to see a detailed solution to problem 24.

Click HERE to see a detailed solution to problem 25.

Click HERE to see a detailed solution to problem 26.

Click HERE to see a detailed solution to problem 27.

Click HERE to see a detailed solution to problem 28.

Click HERE to return to the original list of various types of calculus problems.

Your comments and suggestions are welcome. Please e-mail any correspondence to Duane Kouba by clicking on the following address :

A heartfelt "Thank you" goes to The MathJax Consortium for making the construction of this webpage fun and easy.


ロピタルの定理

本定理はスイスの数学者、ヨハン・ベルヌーイによって発見されたものであるとされている [1] (ロピタルの定理論争を参照)。本定理の名称としては、欧州で最初の微分学書である Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (西暦1696年, 直訳: 曲線の理解のための無限小の解析) を出版し [2] 、その中で本定理を広く世に知らしめた17世紀のフランスの数学者、ギヨーム・ド・ロピタルの名を冠してロピタルの定理と呼ばれることが通例である。ベルヌーイとロピタルとの間には契約があってロピタルは命名権のためにいくらかの対価を与えたということである。ロピタルの死後にベルヌーイが自分こそが定理の発見者であると暴露した [3] 。

ロピタルの定理の一般形は多くの場合に適用される。CL が拡大実数(すなわち実数、正の無限大、負の無限大) であり、次の条件、

が存在するという条件は十分条件にすぎない。不定形の微分ではしばしば極限値が存在せず、極限値が存在しない場合はロピタルの定理は適用できない。例えば、F(x) = x + sin(x) と G(x) = x に対しては、

  • 以下に示す式はsinc関数と 0/0形の不定形を含む例である。
  • 次の式は0/0を含む、さらに巧妙な例である。ロビタルの定理を一回適用してもまだ不定形である。この場合は本定理を三回適用することにより、極限を求めることができる。
  • この例は∞/∞形の不定形を持つ。 n が正の整数であるとき、
  • これは レイズドコサインフィルタ (en) のインパルス応答と0/0形の不定形を持つ例である。
  • 次の定理を証明するためにロピタルの定理を使用することができる。もし f ″ x で連続ならば、
  • ロビタルの定理はしばしば巧妙な方法において引き合いに出される。ここで f ( x ) + f ′ ( x ) が x → ∞ で収束すると、

0/0、∞/∞ 以外、すなわち " 1 ∞ ", " 0 0 ", " ∞ 0 ", " 0·∞ ", " ∞ − ∞ " などの不定形に対してもロピタルの定理を適用できる可能性がある。例えば、 "∞ − ∞" を含む極限を求めるためには二つの関数の差を分数に変換することにより、

を得る。ここにロピタルの定理が (1) から (2) そして (3) から (4) への変形に用いられた。

指数関数を含む不定形では、対数を用いて指数部から降ろすとロピタルの定理を適用できる可能性がある。次の式は 0 0 形の不定形を含む例である。

となるが、 cos 関数が連続であるので極限操作を cos 関数の内側に移動することが有効である。この極限を計算するための他の方法は変数の置換である。y = 1/x とする。|x|が無限大に近づくにつれて y は 0 に近づく。従って、

である。最後の極限はロピタルの定理を用いて計算することもできるが、それを用いなくても 0 における sin 関数の微分の定義と同様の手法でも可能である。

|x| ≥ 1 に対して、最後の行の第2項の極限のかっこの中の展開は有界であるので極限は 0 である。

であることの証明であるとき、もしその極限をロピタルの定理を使用して計算すれば、この論法は結論を仮定として用いることとなり (論点先取)、たとえ結論が正しくとも非合理的な証明である。


Videoyu izle: กฎโลปตาล4 (Aralık 2021).