Nesne

7.6: Taylor Teoremi Tekrar Ziyaret Edildi


Aşağıdaki, kalan terimin alternatif bir formuyla Taylor Teoreminin bir versiyonudur.

Teorem (PageIndex{1})

(Taylor Teoremi)

(f in C^{(n+1)}(a, b), alpha in(a, b),) ve varsayalım

[P_{n}(x)=sum_{k=0}^{n} frac{f^{(k)}(alpha)}{k !}(x-alpha)^{k} .]

Ardından, herhangi bir (x in(a, b) için),

[f(x)=P_{n}(x)+int_{alpha}^{x} frac{f^{(n+1)}(t)}{n !}(xt)^{ n} d t.]

Kanıt

Kalkülüsün Temel Teoremi ile,

[int_{alpha}^{x} f^{prime}(t) d t=f(x)-f(alpha),]

ki bu ima eder

[f(x)=f(alpha)+int_{alpha}^{x} f^{prime}(t) d t.]

Dolayısıyla, teorem (n=0 .) için geçerlidir. Diyelim ki sonuç (n=k-1,) için geçerli, yani,

[f(x)=P_{k-1}(x)+int_{alpha}^{x} frac{f^{(k)}(t)}{(k-1) !}( xt)^{k-1} d t.]

İzin vermek

[F(t)=f^{(k)}(t),]

[g(t)=frac{(x-t)^{k-1}}{(k-1) !},]

ve

[G(t)=-frac{(x-t)^{k}}{k !}.]

Sonra

[egin{hizalanmış} int_{alpha}^{x} frac{f^{(k)}(t)}{(k-1) !}(xt)^{k-1} dt & =int_{alpha}^{x} F(t) g(t) dt &=F(x) G(x)-F(alpha) G(alpha)-int_{alpha} ^{x} F^{prime}(t) G(t) dt &=frac{f^{(k)}(alpha)(x-alpha)^{k}}{k ! }+int_{alpha}^{x} frac{f^{(k+1)}(t)}{k !}(xt)^{k} dt, end{hizalı}]

Buradan

[f(x)=P_{k}(x)+int_{alpha}^{x} frac{f^{(k+1)}(t)}{k !}(xt)^{ k} dt,]

ve böylece teorem (n=k) için geçerlidir. (quad) Q.E.D.

Alıştırma (PageIndex{1})

(Geri kalanın Cauchy formu)

Az önce belirtildiği gibi Taylor Teoreminin koşulları altında, şunu gösterin:

[int_{alpha}^{x} frac{f^{(n+1)}(t)}{n !}(xt)^{n} dt=frac{f^{(n+ 1)}(gamma)}{n !}(x-gamma)^{n}(x-alpha)]

bazı (gamma) için (alpha) ve (x .) arasında

Alıştırma (PageIndex{2})

(Geri kalanın Lagrange formu)

Az önce belirtildiği gibi Taylor Teoreminin koşulları altında, şunu gösterin:

[int_{alpha}^{x} frac{f^{(n+1)}(t)}{n !}(xt)^{n} dt=frac{f^{(n+ 1)}(gamma)}{(n+1) !}(x-alpha)^{n+1}]

bazıları için (gamma) için (alpha) ve (x .) arasında biraz daha kısıtlayıcı varsayımlar altında olmasına rağmen, bunun Teorem (6.6 .1,)'deki kalanının formu olduğuna dikkat edin.


7.6: Castigliano Teoremi

  • Katkıda bulunan Tomasz Wierzbicki
  • Massachusetts Teknoloji Enstitüsü'nde Profesör (Makine Mühendisliği)
  • MIT OpenCourseWare'den alınmıştır

Bu teorem, statik olarak belirlenmiş yapılar ve konsantre kuvvetlere veya momentlere maruz kalan sistemler için geçerlidir. Eğilme momentlerinin dağılımı, küresel dengeden, (U = U(P)) kuvvetlerinin fonksiyonu olarak benzersiz bir şekilde belirlenebilir. Toplam potansiyel enerji

Belirli bir sapma genliği (w_o) için, yükün büyüklüğü, toplam potansiyel enerjiyi durağan hale getirecek şekilde kendini ayarlar. Matematiksel olarak

[delta [prod (P)] = delta [U(P) &eksi P w_o] = frac delta P &eksi w_o delta P = sol[ frac &eksi w_o sağ] delta P = 0]

Kuvvet yönünde kuvvetin altındaki yer değiştirmenin kuvvete göre depolanan elastik enerjinin türevine eşit olduğunu kanıtladık.

(prod)'un durağan özelliğini yorumlamak için, ucunda (P) kuvveti olan bir konsol kiriş düşünün. Eğilme momenti dağılımı (M(x) = P(l &minus x)). Toplam potansiyel enerjinin kuvvet formülasyonunu seçelim, Denklem (??). Toplam potansiyel enerji

Bu fonksiyonun çizimi Şekil ((PageIndex<1>))'de gösterilmektedir.

Şekil (PageIndex<1>): Belirli bir merkezi sapma için toplam potansiyel enerjinin (P) kuvvetiyle parabolik değişimi.

Parabolün (P_1 = 0) ve (P_2 = frac<6EIw_o> olmak üzere iki kökü vardır.). Durağan nokta şurada

sorunun kesin çözümü budur.

Örnek olarak, iki basit yapısal sistemi düşünün. İki kirişten oluşan ilk sistem Şekilde ((PageIndex<2>)) gösterilmiştir.

Bu problem daha önce yer değiştirmeler ve eğim sürekliliği kullanılarak çözüldü. Çok basit bir çözüm izler. Eğilme momenti dağılımları

[ ext < Işın (A) > M(x) = &minusP x 0 < x < l ext < Işın (B) > M(x) = frac<1> <2>P x 0 < x < l ext < Işın (C) > M(x) = &minus frac<1> <2>P x 0 < x < l ]

Şekil (PageIndex<2>): Statik olarak belirlenmiş sistem ve eğilme momenti dağılımı.

Eğilme gerinim enerjisi,

[U(P) = int_<0>^ frac<1> <2EI>left[ P^2 + left(frac

<2>sağ)^2 + sol(frac

<2>sağ)^2 sağ] x^2 dx = frac<3> <2>P^2 frac <3>= frac<1> <2>P^2 l^3 ]

Denklem (7.5.13)'teki üç kirişin bağıl katkılarından, yatay konsolun dikey kirişe kıyasla uç sehimine iki kat katkıda bulunduğu görülmektedir.

Şekil (PageIndex<3>): bir dirsek oluşturan iki kaynaklı kiriş.

İkinci sistem bir dirsekten oluşur. Şekilden ((PageIndex<3>)), eğilme momenti dağılımı şu şekildedir:

Sistemin elastik eğilme enerjisi,

Kuvvet yönündeki toplam sapma,


Taylor'ın Genişletmesi Yeniden Ziyaret Edildi: Geriye Kalanlar İçin Genel Bir Formül

Tanınmış Schölomilch, Lebesgue, Cauchy ve Euler klasik türlerini özel durumlar olarak dahil etmemize izin veren Cauchy'nin genelleştirilmiş ortalama değer teoreminin genelleştirilmesi yoluyla Taylor'un kalan formülüne yeni bir yaklaşım getiriyoruz.

1. Giriş

Taylor polinomu, matematiksel analizdeki herhangi bir temel derste merkezi bir araçtır. Günümüzde önemi, örneğin asimptotik analiz veya tatmin edici sayısal veya integral eşitsizlikler elde etmek gibi uygulamalarına odaklanmaktadır (bkz., örn., [1–5]). Bu sonuçların özü, kalanın açık formülü üzerindeki manipülasyonlardan gelir, yani fonksiyon yerine Taylor'ın polinom açılımını dikkate alırken yapılan hata tahmini.

Bu yazıda, klasik olanları genelleştiren kalanlar için, yani Schölomilch, Lebesgue, Cauchy ve Euler'in kalanları için yeni bir açık formül sunuyoruz.

Rastgele bir polinomun açık ifadesinden esinlenilmiştir

B. Taylor (1712) yazardı

nerede gerçek bir parametredir ve katsayılar -derecenin türevleriyle verilir

Bu nedenle, üç yüzyıl önce, buluşsal bir şekilde, şu ifadeyi tanıttı:

keyfi bir işlev için. Daha sonra, ancak aynı yüzyılda A. L. Cauchy, A. L. Cauchy adını verdi. analitik seri açılımlarını temsil eden bir tür fonksiyona. (Cauchy'nin serilerin yakınsaklığı kavramını tanıtmaya çalıştığı iyi bilinmektedir.)

Açık bir problem, kalan formülünü açık bir biçimde hesaplamaktır (sadece öyle bir polinomun var olduğunu bilmek değil).

yani, fonksiyonun bir noktanın komşuluğundakinden daha büyük bir mertebe teması vardır). Ayrıca, bu açık ifadenin, yakın yerine göz önüne aldığımızda hata için bir üst sınır sağladığı da iyi bilinmektedir.

Taylor'dan sonra Euler, Lagrange, Cauchy veya Scholömilch gibi yazarlar fonksiyonları tatmin edici olarak değerlendirdiler.

nerede analitik bir biçimde temsil etmenin mümkün olmadığı durumlarda hatayı ölçer (örneğin, türevleri - sıraya kadar olduğunda, ancak daha fazlası olmadığında). ise, yukarıdaki ifadeye McLaurin serisi denir.

Bu yazıda, kalanlar için yeni ve daha genel bir açık form elde etmek için Taylor polinomları ile ilgileniyoruz.

Bölüm 3.1'de, sürekli türevli fonksiyonlar için Cauchy'nin genel ortalama değer teoremi (CGMVT) üzerinde küçük değişikliklerle

, özel durumlar olarak geri kalanı için karşılık gelen klasik ifadelerin her biri için çok genel bir ifade elde ederiz (Bölüm 3.2).

2. Gösterim ve Ön Bilgiler

Makale boyunca, reel sayılar kümesini ve

pozitif tamsayılar kümesi, bitiş noktaları olan kapalı ve sınırlı bir aralıktır ve ,

üzerinde tanımlanan -mertebenin sürekli türevi olan tüm gerçek fonksiyonların sınıfını ve uç durumlar: üzerinde tanımlanan tüm sürekli fonksiyonların sınıfı ve

Verilen ve için, ile gösteririz

fonksiyonu merkezli Taylor'ın -mertebe polinomu için. Basitlik adına, buna . Bir fonksiyon olduğu söylenir analitik eğer varsa

3. Kalan için Genel Bir Formül

3.1. Genel Taylor Teoremi

CGMVT'den daha genel bir sonucun uygulanmasından oluşan bir kalanı olan Taylor polinomunu elde etmek için klasik teknik yaygın olarak bilinmektedir.

Önerme 3.1 (-CGVT). İzin vermek

öyle ve var ve açık aralıkta süreklidir. O zaman, var

Bu gösterimle CGMVT'nin karşılık gelen -CGMVT olduğuna dikkat edin. Şimdi, yukarıdaki önermenin hipotezinde küçük bir değişiklik, daha genel bir ifadeye izin verir.

-GMVCT). İzin ver ve. Eğer öyleyse, öyle bir şey var ki

Kanıt. Yardımcı fonksiyonları düşünüyoruz

'deki işlevler için CGMVT'yi karşılarlar. Ayrıca, aşağıdaki kimliklere sahibiz:

Bu nedenle, sonuç hemen takip eder.

Teorem 3.3 (Taylor'ın). İzin ver ve

hepsi için). var olduğunu varsayalım. O zaman öyle bir şey var ki

aşağıdaki koşulları sağlayan:

Şimdi - -CGMVT'yi kullanarak .

3.2. Özel Durumlar

Bu alt bölümde, kalan formülün her bir özel duruma nasıl indirgenebileceğini gösteriyoruz. İlk olarak, fonksiyonu sabit bir reel değerle tanımlarsak, yani, geri kalan için Schölomilch'in versiyonu aşağıdaki gibidir (bakınız [6]):

(Bu formül genellikle doğrudan -CGMVT'den elde edilir, çünkü , , ve ).

içinde olduğunda, bu formül Lagrange kalan türünü verir (bkz. [6–9]):

new kullanarak, yaparsak, kalan için Cauchy formülü görünür (bkz. [10]):

Şimdi 'ye dönüyoruz ve ve koyarak Euler'in integral ifadesini elde ediyoruz (bkz. [11]):

Elbette, içinde yaptığımızda, genel bir McLaurin tipi serimiz var:

Referanslar

  1. M. Akkouchi, “Taylor'ın kalanını içeren H. Gauchman'ın bazı integral eşitsizliklerinin iyileştirmeleri,” Açıklamalar Matem'sxe1ticas, cilt 11, hayır. 2, s. 115–120, 2003. Görüntüleme: Google Akademik | Zentralblatt MATH
  2. H. Gauchman, “Taylor'ın kalanını içeren bazı integral eşitsizlikler. BEN," Saf ve Uygulamalı Matematikte Eşitsizlikler Dergisi, cilt 4, hayır. 1, Makale Kimliği 1, 5 sayfa, 2003. Görüntüle: Google Akademik
  3. H. Gauchman, “Taylor'ın kalanını içeren bazı integral eşitsizlikler. II” Saf ve Uygulamalı Matematikte Eşitsizlikler Dergisi, cilt 3, hayır. 2, Makale No 26, 9 sayfa, 2002. Görüntüleme: Google Akademik | Zentralblatt MATH
  4. Z. Liu, “Taylor'un integralinin kalanını içeren eşitsizlikler üzerine not” Saf ve Uygulamalı Matematikte Eşitsizlikler Dergisi, cilt 6, hayır. 3, Makale Kimliği 72, 6 sayfa, 2005. Görüntüleme: Google Akademik | Zentralblatt MATH
  5. M. Neher, “Taylor katsayısı ve Taylor kalan serileri için iyileştirilmiş doğrulanmış sınırlar” Hesaplamalı ve Uygulamalı Matematik Dergisi, cilt 152, s. 393–404, 2003. Görüntüleme: Google Akademik
  6. J. Rey Pastor, P. Pi Calleja ve C. A. Trejo, An'sxe1lisis Matem'sxe1tico, Tomo I. Kapelusz, Buenos Aires, Arjantin, 1952.
  7. T.M. Apostol, Matematiksel analiz, Addison-Wesley, Reading, Mass, ABD, 1974.
  8. K. Kuratowski, Introducción al Cálculo, Limusa-Wiley, Mexico City, M'xe9xico, 1970.
  9. W. Rudin, Matematiksel Analiz İlkeleri, McGraw-Hill Book Co., New York, NY, ABD, 1964.
  10. J.M. Ortega, Introducción al An'xe1lisis Matem'in, Labor Universitaria, Barselona, ​​İspanya, 1993.
  11. J. Dixmier, Cours de Mathematiques du Primer Cycle, Gauthiers-Villars, Paris, Fransa, 1967.

Telif hakkı

Telif hakkı 2012 Jos'xe9 Juan Rodr'sxedguez Cano ve Enrique de Amo. Bu, Creative Commons Atıf Lisansı altında dağıtılan ve orijinal esere uygun şekilde atıfta bulunulması koşuluyla herhangi bir ortamda sınırsız kullanım, dağıtım ve çoğaltmaya izin veren açık erişimli bir makaledir.


Hoş geldin!

Bu, OCW'deki 2.400'den fazla kurstan biridir. Solda bağlantısı verilen sayfalarda bu kurs için materyalleri keşfedin.

MIT OpenCourseWare MIT müfredatının tamamını kapsayan, binlerce MIT kursundan alınan materyalin ücretsiz ve açık bir yayınıdır.

Kayıt veya kayıt yok. OCW materyallerini kendi hızınızda özgürce tarayın ve kullanın. Kayıt yok ve başlangıç ​​veya bitiş tarihi yok.

Bilgi senin ödülün. Kendi yaşam boyu öğrenmenize rehberlik etmek veya başkalarına öğretmek için OCW'yi kullanın. OCW'yi kullanmak için kredi veya sertifika sunmuyoruz.

Paylaşım için yapıldı. Dosyaları daha sonra indirin. Arkadaşlarınıza ve meslektaşlarınıza gönderin. Değiştirin, remiksleyin ve yeniden kullanın (kaynak olarak OCW'yi belirtmeyi unutmayın.)


7.6: Taylor Teoremi Tekrar Ziyaret Edildi

5. (displaystyle fleft( x ight) = frac<7><< için Taylor Serisini bulun>>) yaklaşık (x = - 3).

Tüm Adımları Göster Tüm Adımları Gizle

Tamam, fonksiyonun birkaç türevini alarak bu probleme başlamamız gerekecek.

[aşlamak & & fsol( x sağ) & = frac<7><<>> = 7>\ & & f'sol( x sağ) & = - 7sol( 4 sağ)>\ & & f''sol( x sağ) & = 7sol( 4 sağ)sol( 5 sağ)>\ & & >sol( x sağ) & = - 7sol( 4 sağ)sol( 5 sağ)sol( 6 sağ)>\ & & >sol( x sağ) & = 7sol( 4 sağ)sol( 5 sağ)sol( 6 sağ)sol( 7 sağ)>son]

Taylor Serisindeki genel terimin formülünü alabileceğimizden emin olmak için, bu problemlerin çoğu için genel olarak en azından (n = 4)'e gitmemiz gerekeceğini unutmayın.

Ayrıca, türev alırken bazı şeyleri ÇIKARMAYIN! Bunu yapmak, genel formülü bulma zamanı geldiğinde hayatınızı çok daha zorlaştıracaktır. Bu durumda yaptığımız tek “basitleştirme”, türevleri yaptıktan sonra üslerden gelen eksi işaretlerini çarpmaktı. Bu, bu tür sorunlarla ilgili oldukça yaygın bir şeydir.

Şimdi Taylor Serisindeki genel terim için bir formül elde edip edemeyeceğimizi görmenin zamanı geldi.

Umarım yukarıdaki türevlerdeki deseni görebilirsiniz. Genel terim şu şekilde verilir:

Bu formülü elde etmek biraz daha zor olabilir. Türevlerde neredeyse bir faktöriyelimiz vardı ama her birinde faktöriyelin ortaya çıkması için gerekli olan (left( 2 ight)left( 3 ight)) kısmı eksikti. Eksik olan tek şey bu olduğundan ve türevlerin her birinde eksik olduğundan, her türevi (frac<><>) (yani bir tane yazmanın gerçekten süslü bir yolu…). Daha sonra faktöriyeli tamamlamak için bunun payını kullanabiliriz ve payda yalnız bırakılmıştır.

Ayrıca, belirtildiği gibi bu formül (n = 0)'a kadar çalışır. Ne kadar geriye çalışacağını belirlemek için bu formülü kontrol ettiğinizden emin olmanız önemlidir. Bazen, (n)'lerin ilk çifti için işe yaramayacak formüller alacağız ve Taylor Serisini yazmaya başlamadan önce bunu bilmemiz gerekiyor.

Şimdi, herhangi bir (x) için genel terimi gerçekten istemediğimizi hatırlayın. Genel terimi (x = - 3) olarak istiyoruz. Bu,

Burada küçük bir sadeleştirme yaptık, böylece terimde mevcut olan tüm değişken işaretleri ortadan kaldırabildik.

Tamam, bu noktada bu problem için Taylor Serisini resmi olarak yazabiliriz.

Son cevapta yapabileceğimiz yerleri basitleştirmeyi/iptal etmeyi unutmayın. Bu durumda, faktöriyellerle biraz sadeleştirme yapabiliriz.


Taylor teoreminin genellemeleri

Daha yüksek dereceli türevlenebilirlik

Bir işlev F: r nr türevlenebilir ar n ancak ve ancak doğrusal bir işlevsellik varsa L : r nr ve bir fonksiyon H : r nr öyle ki

Eğer durum buysa, o zaman L = df(a) (benzersiz tanımlanmış) diferansiyeli F noktada a. Ayrıca, o zaman kısmi türevleri F var olmak a ve diferansiyeli F NS a tarafından verilir

|alfa| = alpha_1+cdots+alpha_n, quad alpha!=alpha_1!cdotsalpha_n!, quad oldsymbol^alpha=x_1^cdots x_n^

için αn n ve xr n . eğer tüm k-. dereceden kısmi türevleri F : r nr sürekli ar n , sonra Clairaut teoremi ile karışık türevlerin sırası şu anda değiştirilebilir: a, yani gösterim

daha yüksek mertebeden kısmi türevler için bu durumda haklı çıkar. Aynı şey, eğer tüm (k − 1)-. dereceden kısmi türevleri F bazı mahallelerde var a ve türevlenebilir a. [10] Sonra diyoruz ki F dır-dir k noktada türevlenebilir zamanlar a .

Çok değişkenli fonksiyonlar için Taylor teoremi

eğer fonksiyon F : r nr dır-dir kKapalı topta +1 kez sürekli türevlenebilir B, o zaman (k+1-inci dereceden kısmi türevleri F bu mahallede. Yani,

Bu durumda, süreklilik nedeniyle (kKompakt kümede +1-inci dereceden kısmi türevler B, tek tip tahminler hemen elde edilir

left|R_eta(oldsymbol)sağ| leq frac<1> <eta!>max_ <|alpha|=|eta|>max_<oldsymbolin B> |D^alpha f(oldsymbol)|, qquad oldsymbol içinde B.

İki boyutta örnek

Örneğin, bir fonksiyonun üçüncü dereceden Taylor polinomu F: r 2r olduğunu, belirten xa = v,


Skaler eğrilik akışı S n -pertürbasyon teoremi yeniden gözden geçirildi

Geometri bulma problemi için S n , için n≥3, önceden belirlenmiş bir skaler eğrilik ile, Chang ve Yang'dan kaynaklanan, pertürbasyon teoremi olarak adlandırılan iyi bilinen bir sonuç vardır (Duke Math. J. 64, 27-69, 1991). Onların temel varsayımı, adayın F için öngörülen skaler eğrilik, sup normunda standart metriğin skaler eğriliğine yeterince yakındır. Destek normundaki bu farkın ne kadar büyük olabileceğini bilmek önemlidir. Burada, skaler eğrilik akışını kullanarak skaler eğrilik problemini reçete etmeyi düşünüyoruz.

Basitlik için, verilen eğrilik adayının F (| abla f|_<>>^ <2>+ (Delta_<>> f)^ <2>değil <=>0) . İçin δ n=2 2/n ne zaman n=3,4 ve δ n=2 2/(n-2) için n≥5, eğer (> f/min_<>> f>< delta_) , Daha sonra F derece sayma koşulunun geçerli olması koşuluyla, bazı konformal metriklerin skaler eğriliği olarak gerçekleştirilebilir. F. Bu, sup normunda mümkün olan en iyi farkın n(n−1)(δ n−1)/(δ n+1).


Ayrıca bakınız

  1. ↑ (2013). "Doğrusal ve ikinci dereceden yaklaşım" Erişim tarihi: 6 Aralık 2018
  2. ↑ Taylor, Brook (1715). Methodus Incrementorum Directa ve Inversa [ Doğrudan ve Ters Arttırma Yöntemleri ] (Latince). Londra. P. 21󈞃 (Prop. VII, Tes. 3, Kor. 2).
  3. İngilizce'ye Struik, D.J.'de (1969) çevrilmiştir. Matematikte Bir Kaynak Kitap 1200�. Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press. s.   329�.
  4. ↑Kline 1972 , s.   442, 464 .
  5. ↑ Genocchi, Angelo Peano, Giuseppe (1884), Calcolo diferenziale ve principii di calcolo integrale, (N. 67, pp.   XVII–XIX): Fratelli Bocca ed. CS1 bakımı: konum (bağlantı)
  6. ↑Spivak, Michael (1994), kalkülüs (3. baskı), Houston, TX: Publish or Perish, s.   383, ISBN   978-0-914098-89-8
  7. ↑"Taylor formülü", Matematik Ansiklopedisi, EMS Press, 2001 [1994]
  8. ↑ hipotezi F (k) üzerinde sürekli olması kapalı arasındaki aralık a ve x dır-dir olumsuzluk gereksiz. Rağmen F yapı k   +   arasındaki açık aralıkta 1 kat türevlenebilir a ve x bunu ima ediyor mu F (k) üzerinde süreklidir açık arasındaki aralık a ve x, yapar olumsuzluk Ima etmek F (k) üzerinde süreklidir kapalı arasındaki aralık a ve x, yani bu anlamına gelmez F (k) noktasında süreklidir. uç noktalar o aralığın. Örneğin, işlevi düşününF : [0,1]r sin ⁡ ( 1 / x ) üzerinde ( 0 , 1 ] ve f ( 0 ) = 0 .Bu sürekli değil 0, ancak ( 0 , 1 ) üzerinde süreklidir. Ayrıca, bu fonksiyonun bir ters türevi olduğu gösterilebilir. Bu nedenle, bu terstürev ( 0 , 1 ) , türevi (fonksiyon) üzerinde türevlenebilir. F) üzerinde süreklidir açık interval ( 0 , 1 ) , ancak türeviF dır-dir olumsuzluküzerinde sürekli kapalı aralık [ 0 , 1 ] . Yani bu durumda teorem geçerli olmaz.
  9. ↑Kline 1998, 䅐.3 Apostol 1967, ڍ.7.
  10. ↑Apostol 1967, ڍ.7.
  11. ↑Apostol 1967, ڍ.5.
  12. ↑Apostol 1967 , ڍ.6
  13. ↑Rudin 1987 , 䅆.26
  14. ↑ Bu, bir fonksiyonun kısmi türevleri F bir mahallede var a ve sürekli a, o zaman fonksiyon şu noktada türevlenebilir a. Bakınız, örneğin, Apostol 1974, Teorem 12.11.
  15. ↑ Königsberger Analizi 2, s. 64 ff.
  16. ↑https://sites.math.washington.edu/

MATH 3363 - Kısmi Diferansiyel Denklemlere Giriş

Önkoşullar: Math 2433 ve Math 3321 veya Math 3331.

Ders Tanımı: Kısmi diferansiyel denklemler ve sınır değer problemleri, Fourier serileri, ısı denklemi, sürekli sistemlerin titreşimleri, potansiyel denklemi, spektral yöntemler.

Metin: Fourier Serileri ve Sınır Değer Problemleri ile Uygulamalı Kısmi Diferansiyel Denklemler, 5. Baskı, Richard Haberman, Pearson Prentice Hall Pub. ISBN'si:�

Ders içeriği:

Giriş: Aşağıdaki ders programı 13 materyal bloğundan oluşmaktadır. Her blok iki adet 75 dakikalık veya üç adet 50 dakikalık ders dönemini temsil eder. Bu, sınıf içi testler için iki (75 dakika) veya üç (50 dakika) ders süresi bırakır.

1.1-1.4:   Isı Denklemi standart sınır koşullarının türetilmesi
2.3.4:   -y″ = λy, 4 temel sınır koşuluna tabi

2.3.1 - 2.3.3, 2.3.5-2.3.7:   Her iki ucu sıfır sıcaklıkta olan bir çubukta ısı denklemi.
2.4.1:   Her iki ucu yalıtılmış grafiklere sahip bir çubukta ısı denklemi

Örnekler + grafikler:   Homojen sınır verileri
Örnekler + grafikler:   Homojen olmayan sınır verileri

2.4.2. 3.1, 3.2:   dairesel halka (𔄝” BC kümesi) ve Fourier serisi
3.3.1, 3.3.2:   Çift & tek uzantıları 2.3.6 & 2.4.1 yeniden ziyaret edildi

Grafikler:  Yakınsama teoremi ve Gibbs fenomeni

4.2, 4.3:  Dalga denkleminin standart sınır koşullarının türetilmesi.
4.4:  Sabit uçlu dize, d'Alembert'in çözümü.

Örnekler + grafikler:  Normal modlara özgü başlangıç ​​verileri
7.3:  Sabit sınıra sahip dikdörtgen zar

Örnekler + grafikler:  Düğüm eğrilerine özgü başlangıç ​​verileri
7.7.5, 7.7.6:  Euler denklemi Bessel denklemi grafikleri

7.7.7 genişletilmiş:  Bessel işlevleri: sıfırlar ve diklik
7.7.1-7.7.4:  Dairesel membran: değişkenlerin ayrılması ve amp ölçekleme

7.7.8:  Dairesel zar: Özfonksiyonlar ve amp Başlangıç ​​değer problemleri
7.7.9 + grafikler:  Dairesel olarak simetrik başlangıç ​​verileri.

2.5.1:  Laplace denklemi bir dikdörtgen içinde
2.5.2: Dairesel bir disk üzerinde  Laplace denklemi.

2.5.4 genişletilmiş:  Ortalama değer özelliği, Maksimum ilkesi, Poisson formülü.
3.6, 10.3.1:  Fourier yakınsaklık teoremi karmaşık biçimde.

10.3.2, 10.3.3:  Fourier dönüşümü Gauss grafikleri
10.6.3:   Yarım düzlemde Laplace denklemi.

10.4.3, 10.6.3:  Evrişim teoremi. Yarım uçak tekrar ziyaret edildi.
10.4.2, 10.4.3:  Dönüşüm ısı çekirdeğinin temel özellikleri.

CSD Konaklamaları:

Akademik Düzenlemeler/Yardımcı Yardımlar: Houston Üniversitesi Sistemi, engelli öğrenciler için makul akademik düzenlemelerin/yardımcı yardımların sağlanmasına ilişkin 1973 Rehabilitasyon Yasasının 504. Bölümüne ve 1990 Engelli Amerikalılar Yasasına uygundur. Bölüm 504 ve ADA yönergelerine uygun olarak, Houston Üniversitesi, talep eden ve talep eden öğrencilere makul akademik ayarlamalar/yardımcı yardımlar sağlamaya çalışmaktadır. Akademik düzenlemelere/yardımcı yardıma ihtiyaç duyan bir engeliniz olduğunu düşünüyorsanız, lütfen   http://www.uh.edu/csd/ adresindeki   Engelli Öğrenciler Merkezi (CSD)   web sitesini ziyaret edin.   daha fazla bilgi için.

Konaklama Formları: Akademik düzenlemeler/yardımcı yardımlar arayan öğrenciler, zamanında (genellikle dönem başında), eğitmenlerine güncel bir Öğrenci Konaklama Formu (SAF) sağlamalıdır (basılı kopya veya   çevrimiçi   versiyonu, uygun) onaylanmış bir konaklama uygulanmadan önce CSD ofisinden.

Bu politikanın detayları ve öğrencinin ilgili sorumlulukları, [ADIM 4: Öğrenci Gönderimi (5.4.1 ve 5.4) altındaki   Öğrenci Akademik Düzenlemeleri/Yardımcı Yardımlar Politikası (01.D.09)   belgesinde özetlenmiştir. .2), Sayfa 6]. Daha fazla bilgi için lütfen   Engelli Öğrenciler Merkezi Öğrenci Kaynakları   sayfasını ziyaret edin.

Ek olarak, eğer bir öğrenci (CSD onaylı) bir sınav yeri talep ediyorsa, o zaman öğrenci, sınavların CSD ofisinde uygulanması için düzenleme yapmak için ayrıca bir Bireyselleştirilmiş Sınav Kolaylıkları (RITA) Talebi kağıt formunu dolduracaktır. CSD, öğrencinin öğretim elemanı ile mesai saatleri içinde görüşmesini ve/veya gizliliği sağlamak için RITA formunu doldurmak için randevu almasını önerir.

*Not: RITA formları, orijinal test tarihinden en az 48 saat önce doldurulmalıdır. Testlerinizin zamanında planlandığından emin olmak için lütfen   danışmanınıza   önceden danışın. Sınavınız için kararlaştırılan süreyi aşarsanız, alınan fazladan süre ile orantılı olarak cezalandırılacağınızı lütfen unutmayın.

Danışmanlık ve Psikolojik Hizmetler (CAPS), stresi yönetmekte, üniversiteye uyum sağlamakta veya üzgün ve umutsuz hissetmekte zorluk çeken öğrencilere yardımcı olabilir. Rutin randevularınız için mesai saatleri içinde ve sonrasında veya sizin veya tanıdığınız birinin krizde olması durumunda 713-743-5454 numaralı telefonu arayarak   (CAPS) 'a ulaşabilirsiniz. Kampüs çevresinde uygun yer ve saatlerde bir danışma hizmeti olan   "Let's Talk"   programı için herhangi bir randevu gerekmemektedir.


5. Yargı toplama

Sosyal seçim teorisinin daha yeni bir dalı, yargı toplama teorisidir. Bir bireyden kolektif bir düzeye toplamak isteyebileceğimiz tek nesnenin birden fazla alternatif üzerindeki oyların, siparişlerin veya refah işlevlerinin olmadığını gözlemleyerek motive edilebilir. Yasama organları, meslektaşlar mahkemeleri, bilirkişi heyetleri ve diğer komiteler gibi birçok karar alma organı, daha karmaşık &lsquoaggreganda&rsquo ile karşı karşıyadır. Özellikle, çoklu, mantıksal olarak bağlantılı önermeler üzerindeki bireysel yargı kümelerini toplu yargı kümeleri halinde toplamaları gerekebilir.

Bir mahkeme, geçerli bir sözleşmenin mevcut olup olmadığına ve bir ihlal olup olmadığına dayanarak davalının sözleşmenin ihlalinden sorumlu olup olmadığına karar vermek zorunda kalabilir. Bir uzman paneli, atmosferik sera gazı konsantrasyonlarının 2050 yılına kadar belirli bir eşiği aşıp aşmayacağını, daha büyük sera gazı konsantrasyonlarından sıcaklık artışlarına kadar bir nedensel zincir olup olmadığını ve sıcaklığın artıp artmayacağını yargılamak zorunda kalabilir. Yasa koyucular, belirli bir amacın sosyal olarak arzu edilir olup olmadığına, önerilen bir politikanın bu amaca ulaşmak için en iyi araç olup olmadığına ve bu politikayı takip edip etmemeye karar vermek zorunda kalabilirler.

Bu problemler, standart tercih-birleştirme modellerinde resmileştirilemez, çünkü toplamlar sıralamalar değil, çoklu önermelere ilişkin yargı kümeleridir. Yargı kümelenmesi teorisi, bu kümelenmeleri önerme mantığında (veya başka bir uygun mantıkta) temsil eder. Alan, başladığımız hukuk bilimindeki &lsquodoktriner paradoks&rsquodan esinlenmiştir.

5.1 &lsquodoktriner paradoks&rsquo ve &lsquodiscursive ikilem&rsquo

Kornhauser ve Sager (1986) aşağıdaki problemi tanımlamıştır. (Yapısal olarak benzer bir sorun Vacca 1921 tarafından ve Elster 2013'ün işaret ettiği gibi Poisson 1837 tarafından keşfedilmiştir.) Üç yargıçlı bir mahkeme aşağıdaki önermeler hakkında hüküm vermelidir:

  • P: Davalı, sözleşme gereği eylem yapmamakla yükümlüydü x.
  • Q: Sanık eylem yaptı x.
  • r: Davalı, sözleşmeye aykırılıktan sorumludur.

Hukuk doktrine göre, bina P ve Q için müştereken gerekli ve yeterlidir. çözüm r. Her bir hakimin Tablo 5'te gösterilen görüşlere sahip olduğunu varsayalım.

Tablo 5: &lsquodoktrinel paradoksa&rsquo bir örnek
P (yükümlülük) Q (eylem) r (yükümlülük)
yargıç 1 NS NS NS
yargıç 2 Yanlış NS Yanlış
yargıç 3 NS Yanlış Yanlış
Çoğunluk NS NS Yanlış

Her bir yargıç ilgili yasal doktrine saygı duysa da, Piçin çoğunluk Qve yine de çoğunluk karşı r&mdashin yasal doktrin ihlali. Mahkeme bir ikilemle karşı karşıya: herhangi biri tesislerinde çoğunluk kararlarıyla gidin (P ve Q) ve mantıksal çıkarımla bir &lsquoliable&rsquo karara varmak ( sorun bazında veya öncül temelli yaklaşım) veya sonuca ilişkin çoğunluk kararıyla devam edin (r) ve tesisteki çoğunluk kararlarını göz ardı ederek bir "sorumlu değil" kararına varmak ( vaka bazında veya sonuca dayalı yaklaşım). Kornhauser ve Sager'in &lsquodoktrinal paradoksu&rsquo, bu iki yaklaşımın zıt sonuçlara yol açabileceği gerçeğinde yatmaktadır.

Bu örnekten bir ders daha alabiliriz. Hukuk doktrini ile ilgili olarak, çoğunluk kararları mantıksal olarak tutarsızdır. Resmi olarak ifade edilen, çoğunluk tarafından kabul edilen önermeler kümesi, <P, Q, r değil>, kısıtlamaya göre tutarsız r ancak ve ancak (P ve Q). Bu gözlem, yargının bir araya getirilmesiyle ilgili daha yeni, biçimsel-mantık temelli literatürün başlangıç ​​noktasıydı (bir modelle başlayarak ve List ve Pettit 2002'de imkansızlık sonucu).

Tutarsız çoğunluk kararlarının olasılığı, yasal bir doktrinin veya diğer açık yan kısıtlamaların varlığına bağlı değildir (bu fenomeni "söylemsel ikilem" olarak adlandıran Pettit 2001'in işaret ettiği gibi). Örneğin, bir uzman panelinin üç önerme (ve bunların olumsuzlamaları) hakkında yargıda bulunması gerektiğini varsayalım:

  • P: Atmosferik CO2 2050 yılına kadar 600 ppm'yi aşacak.
  • Eğerp sonra q: Atmosferik CO ise2 2050 yılına kadar bu seviyeyi aşarsa, 2010 yılına kadar 3,5 derecenin üzerinde bir sıcaklık artışı olacaktır.
  • Q: 2010 yılına kadar 3,5 derecenin üzerinde bir sıcaklık artışı olacaktır.

Bireysel yargılar Tablo 6'da gösterildiği gibi ise, çoğunluk yargıları tutarsızdır: bireysel olarak tutarlı yargılara rağmen, çoğunluk tarafından kabul edilen önermeler kümesi, <P, p ise q, olumsuzluk Q>, mantıksal olarak tutarsızdır.

Tablo 6: Çoğunluk tutarsızlığı
P Eğer p sonra q Q
Uzman 1 NS NS NS
2. uzman Yanlış NS Yanlış
Uzman 3 NS Yanlış Yanlış
Çoğunluk NS NS Yanlış

5.2 Tutarsız çoğunluk kararlarının koşulları

Tablo 5 ve 6'daki yargı kalıpları yapısal olarak Condorcet paradoksuna yol açan tercih kalıplarına eşdeğerdir;x tercih edilir y&rsquo, &lsquoy tercih edilir z&rsquo, vb., Tablo 7'de gösterildiği gibi (List ve Pettit 2004, bu satırlar boyunca tercihlerin daha önceki bir yorumu Guilbaud [1952] 1966'da bulunabilir). Burada, çoğunluk tarafından kabul edilen önermeler kümesi, geçişlilik kısıtlamasına göre tutarsızdır.

Tablo 7: Önermesel olarak yeniden yorumlanmış Condorcet paradoksu
&lsquox tercih edilir y&rsquo &lsquoy tercih edilir z&rsquo &lsquox tercih edilir z&rsquo
Bireysel 1
(tercih eder x ile y ile z)
NS NS NS
Bireysel 2
(tercih eder y ile z ile x)
Yanlış NS Yanlış
Bireysel 3
(tercih eder z ile x ile y)
NS Yanlış Yanlış
Çoğunluk
(tercih eder x ile y ile z ile x, bir &lsquocycle&rsquo)
NS NS Yanlış

Genel bir kombinatoryal sonuç, tüm bu fenomenleri kapsar. Bir dizi önerme çağırın minimal tutarsız mantıksal olarak tutarsız bir küme ise, ancak tüm uygun alt kümeleri tutarlıysa.

önerme (Dietrich ve List 2007a Nehring ve Puppe 2007): Önermelere dayalı çoğunluk oylaması, ancak ve ancak üzerinde yargıya varılacak önermeler (ve onların olumsuzlamaları) üç veya daha fazla önermeden oluşan minimum tutarsız bir alt kümeye sahipse tutarsız toplu yargılar üretebilir.

Tablo 6, 5 ve 7'deki örneklerde, ilgili minimal tutarsız boyut kümeleri (en az) üçtür: <P, p ise q, değil>, minimum tutarsız olan basitleştirici <P, Q, r değil>, yan kısıtlamaya göre en az tutarsız olan r ancak ve ancak (p ve q) ve <&lsquox tercih edilir y&rsquo, &lsquoy tercih edilir z&rsquo, &lsquoz tercih edilir x&rsquo>, tercih edilebilirlik üzerindeki geçişlilik kısıtlamasına göre minimum düzeyde tutarsızdır.

5.3 Genel bir model ve basit bir imkansızlık sonucu

Temel yargı toplama modeli aşağıdaki gibi tanımlanabilir (List ve Pettit 2002). İzin vermek n = <1, 2, &hellip, n> bir grup birey olun (n &ge 2). Üzerinde yargılarda bulunulacak önermeler, önerme mantığından (ya da yüklem, kip ya da koşullu mantık gibi daha zengin başka bir mantıktan) cümlelerle temsil edilir. tanımlıyoruz Gündem, x, sonlu bir önermeler kümesi olarak, tek olumsuzlama altında kapalı. [11] Örneğin, x olabilir <P, &olumsuzlukP, P&rarrQ, &olumsuzluk(P&rarrQ), Q, &olumsuzlukQ>, uzman paneli örneğinde olduğu gibi.

Her birey ben &içinde n sahip yargı seti Jben, bir alt küme olarak tanımlanır Jben &alt x and interpreted as the set of propositions that individual ben kabul eder. A judgment set is consistent if it is a logically consistent set of propositions [12] and tamamlamak (relative to x) if it contains a member of every proposition-negation pair P, ¬P &isin x.

A combination of judgment sets across the individuals, <J1, J2, &hellip, Jn>, is called a profil. A judgment aggregation rule, F, is a function that assigns to each profile <J1, J2, &hellip, Jn> (in some domain of admissible profiles) a collective judgment set J = F(J1, J2, &hellip, Jn) &sube x, interpreted as the set of propositions accepted by the group as a whole. As before, when F is clear from the context, we write J for the collective judgment set corresponding to <J1, J2, &hellip, Jn>. Again, for generality, we build no rationality requirement on J (such as consistency or completeness) into the definition of a judgment aggregation rule.

The simplest example of a judgment aggregation rule is propositionwise majority voting. Here, for any profile <J1, J2, &hellip, Jn>, J = <P &isin x : |<ben &isin n : P &isin Jben>| > n/2>. As we have seen, this may produce inconsistent collective judgments.

Consider the following conditions on an aggregation rule:

The first three conditions are analogous to universal domain, ordering, and anonymity in preference aggregation. The last is the counterpart of independence of irrelevant alternatives, though stronger: it requires that (i) the collective judgment on any proposition P &isin x (of which a binary ranking proposition such as &lsquox is preferable to y&rsquo is a special case) depend only on individual propositions on P (NS bağımsızlık part), and (ii) the pattern of dependence between individual and collective judgments be the same across all propositions in x (NS tarafsızlık part). Formally, bağımsızlık is the special case with quantification restricted to P = Q. Propositionwise majority voting satisfies all these conditions, except the consistency part of collective rationality.

teorem (List and Pettit 2002): If <P, Q, P&andQ> &sube x (nerede P ve Q are mutually independent propositions and &lsquo&and&rsquo can also be replaced by &lsquo&or&rsquo or &lsquo&rarr&rsquo), there exists no judgment aggregation rule satisfying universal domain, collective rationality, anonymity, and systematicity.

Like other impossibility theorems, this result is best interpreted as describing the trade-offs between different conditions on an aggregation rule. The result has been generalized and strengthened in various ways, beginning with Pauly and van Hees's (2006) proof that the impossibility persists if anonymity is weakened to non-dictatorship (for other generalizations, see Dietrich 2006 and Mongin 2008).

5.4 More general impossibility and possibility theorems

As we have seen, in preference aggregation, the &lsquoboundary&rsquo between possibility and impossibility results is easy to draw: when there are only two decision alternatives, all of the desiderata on a preference aggregation rule reviewed above can be satisfied (and majority rule does the job) when there are three or more alternatives, there are impossibility results. In judgment aggregation, by contrast, the picture is more complicated. What matters is not the number of propositions in x but the nature of the logical interconnections between them.

Impossibility results in judgment aggregation have the following generic form: for a given class of agendas, the aggregation rules satisfying a particular set of conditions (usually, a domain condition, a rationality condition, and some responsiveness conditions) are non-existent or degenerate (e.g., dictatorial). Different kinds of agendas trigger different instances of this scheme, with stronger or weaker conditions imposed on the aggregation rule depending on the properties of those agendas (for a more detailed review, see List 2012). The significance of combinatorial properties of the agenda was first discovered by Nehring and Puppe (2002) in a mathematically related but interpretationally distinct framework (strategy-proof social choice over so-called property spaces). Three kinds of agenda stand out:

A non-simple agenda: x has a minimally inconsistent subset of three or more propositions.

A pair-negatable agenda: x has a minimally inconsistent subset Y that can be rendered consistent by negating a pair of propositions in it. (Equivalently, x is not isomorphic to a set of propositions whose only connectives are ¬ and &harr see Dokow and Holzman 2010a.)

A path-connected agenda (veya totally blocked, in Nehring and Puppe 2002): For any P, Q &isin x, there is a sequence P1, P2, &hellip, Pk &isin x ile birlikte P1 = P ve Pk = Q öyle ki P1 conditionally entails P2, P2 conditionally entails P3, &hellip, and Pk&minus1 conditionally entails Pk. (Buraya, Pben conditionally entails PJ Eğer Pben &cup Y entails PJ bazı Y &sube x consistent with each of Pben and ¬PJ.)

Some agendas have two or more of these properties. The agendas in our &lsquodoctrinal paradox&rsquo and &lsquodiscursive dilemma&rsquo examples are both non-simple and pair-negatable. NS preference agenda, x = <&lsquox is preferable to y&rsquo, &lsquoy is preferable to x&rsquo, &lsquox is preferable to z&rsquo, &lsquoz is preferable to x&rsquo, &hellip>, is non-simple, pair-negatable, and path-connected (assuming preferability is transitive and complete). The following result holds:

teorem (Dietrich and List 2007b Dokow and Holzman 2010a building on Nehring and Puppe 2002): If x is non-simple, pair-negatable, and path-connected, there exists no judgment aggregation rule satisfying universal domain, collective rationality, independence, unanimity preservation (requiring that, for any unanimous profile <J, J, &hellip, J>, F(J, J, &hellip, J) = J), and non-dictatorship. [13]

Applied to the preference agenda, this result yields Arrow's theorem (for strict preference orderings) as a corollary (predecessors of this result can be found in List and Pettit 2004 and Nehring 2003). [14] Thus Arrovian preference aggregation can be reinterpreted as a special case of judgment aggregation.

The literature contains several variants of this theorem. One variant drops the agenda property of path-connectedness and strengthens independence to systematicity. A second variant drops the agenda property of pair-negatability and imposes a monotonicity condition on the aggregation rule (requiring that additional support never hurt an accepted proposition) (Nehring and Puppe 2010 the latter result was first proved in the above-mentioned mathematically related framework by Nehring and Puppe 2002). A final variant drops both path-connectedness and pair-negatability while imposing both systematicity and monotonicity (a.g.e.).

In each case, the agenda properties are not only sufficient but also (if n &ge 3) necessary for the result (Nehring and Puppe 2002, 2010 Dokow and Holzman 2010a). Note also that path-connectedness implies non-simplicity. Therefore, non-simplicity need not be listed among the theorem's conditions, though it is needed in the variants dropping path-connectedness.

5.5 Non-dictatorial judgment aggregation rules

5.5.1 Relaxing universal domain

As in preference aggregation, one way to avoid the present impossibility results is to relax universal domain. If the domain of admissible profiles of individual judgment sets is restricted to those satisfying specific &lsquocohesion&rsquo conditions, propositionwise majority voting produces consistent collective judgments.

The simplest cohesion condition is unidimensional alignment (List 2003c). A profile <J1, J2, &hellip, Jn> is unidimensionally aligned if the individuals in n can be ordered from left to right (e.g., on some cognitive or ideological dimension) such that, for every proposition P &isin x, the individuals accepting P (i.e., those with P &isin Jben) are either all to the left, or all to the right, of those rejecting P (i.e., those with P ¬in Jben), as illustrated in Table 8. For any such profile, the majority judgments are consistent: the judgment set of the median individual relative to the left-right ordering will prevail (where n is odd). This judgment set will inherit its consistency from the median individual, assuming individual judgments are consistent. By implication, on unidimensionally aligned domains, propositionwise majority voting will satisfy the rest of the conditions on judgment aggregation rules reviewed above.

Table 8: Unidimensional alignment
Individual 1 Individual 2 Individual 3 Individual 4 Individual 5
P NS NS False False False
Q NS NS NS NS False
r False False False NS NS
P &and Q &and r False False False False False

In analogy with the case of single-peakedness in preference aggregation, several less restrictive conditions already suffice for consistent majority judgments. One such condition (introduced in Dietrich and List 2010a, where a survey is provided) generalizes Sen's triple-wise value-restriction. A profile <J1, J2, &hellip, Jn> is value-restricted if every minimally inconsistent subset Y &sube x has a pair of elements P, Q such that no individual ben &isin n has <P, Q> &sube Jben. Value-restriction prevents any minimally inconsistent subset of x from becoming majority-accepted, and hence ensures consistent majority judgments. Applied to the preference agenda, value-restriction reduces to Sen's equally named condition.

5.5.2 Relaxing collective rationality

While the requirement that collective judgments be consistent is widely accepted, the requirement that collective judgments be complete (in x) is more contentious. In support of completeness, one might say that a given proposition would not be included in x unless it is supposed to be collectively adjudicated. Against completeness, one might say that there are circumstances in which the level of disagreement on a particular proposition (or set of propositions) is so great that forming a collective view on it is undesirable or counterproductive. Several papers offer possibility or impossibility results on completeness relaxations (e.g., List and Pettit 2002 Gärdenfors 2006 Dietrich and List 2007a, 2008 Dokow and Holzman 2010b).

Judgment aggregation rules violating collective completeness while satisfying (all or most of) the other conditions introduced above include: unanimity rule, where, for any profile <J1, J2, &hellip, Jn>, J = <P &isin x : P &isin Jben hepsi için ben &isin n> supermajority rules, where, for any profile <J1, J2, &hellip, Jn>, J = <P &isin x : |<ben &isin n : P &isin Jben>| > qn> for a suitable acceptance quota Q &isin (0.5,1) and conclusion-based rules, where a subset Y &sube x of logically independent propositions (and their negations) is designated as a set of conclusions and J = <P &isin Y : |<ben &isin n : P &isin Jben>| > n/2>. In the multi-member court example of Table 5, the set of conclusions is simply Y = <r, ¬r>.

Given consistent individual judgment sets, unanimity rule guarantees consistent collective judgment sets, because the intersection of several consistent sets of propositions is always consistent. Supermajority rules guarantee consistent collective judgment sets too, provided the quota Q is chosen to be at least (k&minus1)/k, nerede k is the size of the largest minimally inconsistent subset of x. The reason is combinatorial: any k distinct supermajorities of the relevant size will always have at least one individual in common. So, for any minimally inconsistent set of propositions (which is at most of size k) to be majority-accepted, at least one individual would have to accept all the propositions in the set, contradicting this individual's consistency (Dietrich and List 2007a List and Pettit 2002). Conclusion-based rules, finally, produce consistent collective judgment sets by construction, but always leave non-conclusions undecided.

Gärdenfors (2006) and more generally Dietrich and List (2008) and Dokow and Holzman (2010b) have shown that if&mdashwhile relaxing completeness&mdashwe require collective judgment sets to be deductively closed (i.e., for any P &isin x entailed by J, it must be that P &isin J), we face an impossibility result again. For the same agendas that lead to the impossibility result reviewed in Section 5.4, there exists no judgment aggregation rule satisfying universal domain, collective consistency and deductive closure, independence, unanimity preservation, and non-oligarchy. An aggregation rule is called oligarchic if there is an antecedently fixed subset m &sube n (the &lsquooligarchs&rsquo) such that, for any profile <J1, J2, &hellip, Jn>, J = <P &isin x : P &isin Jben hepsi için ben &isin m>. Unanimity rule and dictatorships are special cases with m = n ve m = <ben> for some ben &isin n, sırasıyla.

The downside of oligarchic aggregation rules is that they either lapse into dictatorship or lead to stalemate, with the slightest disagreements between oligarchs resulting in indecision (since every oligarch has veto power on every proposition).

5.5.3 Relaxing systematicity/independence

A variety of judgment aggregation rules become possible when we relax systematicity/independence. Recall that systematicity combines an independence and a neutrality requirement. Relaxing only neutrality does not get us very far, since for many agendas there are impossibility results with independence alone, as illustrated in Section 5.4.

One much-discussed class of aggregation rules violating independence is given by the premise-based rules. Here, a subset Y &sube x of logically independent propositions (and their negations) is designated as a set of premises, as in the court example. For any profile <J1, J2, &hellip, Jn>, J = <P &isin x : JY entails P> where JY are the majority-accepted propositions among the premises, formally <P &isin Y : |<ben &isin n : P &isin Jben>| > n/2>. Informally, majority votes are taken on the premises, and the collective judgments on all other propositions are determined by logical implication. If the premises constitute a logical basis for the entire agenda, a premise-based rule guarantees consistent and (absent ties) complete collective judgment sets. (The present definition follows List and Pettit 2002 for generalizations, see Dietrich and Mongin 2010. The procedural and epistemic properties of premise-based rules are discussed in Pettit 2001 Chapman 2002 Bovens and Rabinowicz 2006 Dietrich 2006 List 2006.)

A generalization is given by the sequential priority rules (List 2004b Dietrich and List 2007a). Here, for each profile <J1, J2, &hellip, Jn>, the propositions in x are collectively adjudicated in a fixed order of priority, for instance, a temporal or epistemic one. The collective judgment on each proposition P &isin x is made as follows. If the majority judgment on P is consistent with collective judgments on prior propositions, this majority judgment prevails otherwise the collective judgment on P is determined by the implications of prior judgments. By construction, this guarantees consistent and (absent ties) complete collective judgments. Ancak öyle path-dependent: the order in which propositions are considered may affect the outcome, specifically when the underlying majority judgments are inconsistent. For example, when this aggregation rule is applied to the profiles in Tables 5, 6, and 7 (but not 8), the collective judgments depend on the order in which the propositions are considered. Thus sequential priority rules are vulnerable to agenda manipulation. Similar phenomena occur in sequential pairwise majority voting in preference aggregation (e.g., Riker 1982).

Another prominent class of aggregation rules violating independence is given by the distance-based rules (Pigozzi 2006, building on Konieczny and Pino Pérez 2002 see also Miller and Osherson 2009). A distance-based rule is defined in terms of some distance metric between judgment sets, for example the Hamming distance, where, for any two judgment sets J, J&prime &sube x, NS(J, J&prime) = |<P &isin x : not [P &isin J &hArr P &isin J&prime]>|. Each profile <J1, J2, &hellip, Jn> is mapped to a consistent and complete judgment set J that minimizes the sum-total distance from each of the Jbens. Distance-based rules can be interpreted as capturing the idea of identifying compromise judgments. Unlike premise-based or sequential priority rules, they do not require a distinction between premises and conclusions or any other order of priority among the propositions.

As in preference aggregation, the cost of relaxing independence is the loss of strategy-proofness. The conjunction of independence and monotonicity is necessary and sufficient for the non-manipulability of a judgment aggregation rule by strategic voting (Dietrich and List 2007c for related results, see Nehring and Puppe 2002). Thus we cannot generally achieve strategy-proofness without relaxing either universal domain, or collective rationality, or unanimity preservation, or non-dictatorship. In practice, we must therefore look for ways of rendering opportunities for strategic manipulation less of a threat.


Videoyu izle: TƏCİLİ! Bura 7 minlik qoşun yeridildi: ERMƏNİLƏR İTKİLƏRİNİ AÇIQLADI (Aralık 2021).