Nesne

2.2.E: Doğal Sayılar ve Tümevarım Problemleri (Alıştırmalar) - Matematik


Alıştırma (PageIndex{1})

Örnekler ((mathrm{a}),(mathrm{b}),) ve ((mathrm{d}))'deki eksik ayrıntıları tamamlayın.

Alıştırma (PageIndex{2})

Teorem 2'yi ayrıntılı olarak kanıtlayın.

Alıştırma (PageIndex{3})

Sıralı bir alanda (x_{k}(a) (sum_{k=1}^{n} x_{k}(b) tüm (x_{k}, y_{k}) sıfırdan büyükse, o zaman
[
prod_{k=1}^{n} x_{k}]

Alıştırma (PageIndex{4})

Tümevarımla kanıtlayın
(i) (1^{n}=1);
(ii) (a0).
Bu nedenle şunu çıkar
(iii) (0 leq a^{n}<1) if (0 leq a<1);
(iv) (a^{n}0 ;) çelişkiyle ispat.

Alıştırma (PageIndex{5})

Bernoulli eşitsizliklerini ispatlayın: Sıralı bir alanın herhangi bir (varepsilon) elemanı için,
(i) (((1+varepsilon)^{n} geq 1+n varepsilon) if (varepsilon>-1);
(ii) ((1-varepsilon)^{n} geq 1-n varepsilon) if (varepsilon<1 ; n=1,2,3, ldots)

Alıştırma (PageIndex{6})

Herhangi bir alan öğesi için (a, b) ve doğal sayılar (m, n,) için şunu kanıtlayın:
[
egin{array}{ll}{ ext { (i) } a^{m} a^{n}=a^{m+n} ;} & { ext { (ii) }left(a^) {m}sağ)^{n}=a^{mn}} { ext { (iii) }(ab)^{n}=a^{n} b^{n} ;} & { metin { (iv) }(m+n) a=m a+na} { ext { (v) } n(ma)=(nm) cdot a ;} & { ext { (vi) } n(a+b)=n a+nb}end{dizi}
]
[İpucu: İki doğal sayı içeren problemler için, (m)'yi düzeltin ve (n ] üzerinde tümevarım kullanın).

Alıştırma (PageIndex{7})

Bunu herhangi bir alanda kanıtlayın,
[
a^{n+1}-b^{n+1}=(ab) sum_{k=0}^{n} a^{k} b^{nk}, quad n=1,2,3 , ldotlar
]
Dolayısıyla (r eq 1) için
[
sum_{k=0}^{n} bir r^{k}=a frac{1-r^{n+1}}{1-r}
]
(bir geometrik dizinin (n) terimlerinin toplamı).

Alıştırma (PageIndex{8})

(n>0) için tanımlayın
[
left(egin{array}{l}{n} {k}end{array} ight)=left{egin{array}{ll}{frac{n !}{k ! (nk) !},} & {0 leq k leq n} {0,} & { ext { aksi halde }}end{dizi}sağ.
]
Pascal yasasını doğrulayın,
[
left(egin{array}{l}{n+1} {k+1}end{array} ight)=left(egin{array}{l}{n} {k }end{array} ight)+left(egin{array}{c}{n} {k+1}end{array} ight).
]
Sonra (n) üzerinde tümevarımla kanıtlayın ki
(i) ((forall k | 0 leq k leq n)left(egin{array}{l}{n} {k}end{dizi} ight) in N ; ) ve
(ii) herhangi bir alan öğesi için (a) ve (b),
[
(a+b)^{n}=sum_{k=0}^{n}left(egin{array}{l}{n} {k}end{dizi}sağ) a^ {k} b^{nk}, quad n in N ext { (binom teoremi). }
]
(ii)'nin tüm (a) ve (b ?) için tutması için (0^{0}) hangi değeri almalıdır?

Alıştırma (PageIndex{9})

Sıralı bir (F) alanında (x_{1}, ldots, x_{n}) herhangi bir sonlu dizisinin en büyük ve en küçük terime sahip olduğunu ((x_{1} olması gerekmez) tümevarımla gösterin. ) veya (x_{n} ) .) Herhangi bir sıralı alanda (N)'nin tümünün sonsuz bir küme olduğu sonucuna varın.

Alıştırma (PageIndex{10})

(E^{1}) ile kanıtlayın
(i) (sum_{k=1}^{n} k=frac{1}{2} n(n+1));
(ii) (sum_{k=1}^{n} k^{2}=frac{1}{6} n(n+1)(2 n+1));
(iii) (sum_{k=1}^{n} k^{3}=frac{1}{4} n^{2}(n+1)^{2});
(iv) (sum_{k=1}^{n} k^{4}=frac{1}{30} n(n+1)(2 n+1)left(3 n^{2 }+3 n-1sağ)).


Videoyu izle: Glutes och Hamstrings. OPizzicato. Vlog209 (Aralık 2021).