Nesne

11.5: İkinci Dereceden Denklemleri İkinci Dereceden Biçimde Çözün


Öğrenme hedefleri

Bu bölümün sonunda şunları yapabileceksiniz:

  • Denklemleri ikinci dereceden formda çözün

Başlamadan önce, bu hazırlık testini yapın.

  1. İkame ile çarpan: (y^{4}-y^{2}-20).
  2. İkame ile çarpan: ((y-4)^{2}+8(y-4)+15).
  3. basitleştirin
    1. (x^{frac{1}{2}} cdot x^{frac{1}{4}})
    2. (sol(x^{frac{1}{3}}sağ)^{2})
    3. (sol(x^{-1}sağ)^{2})

Denklemleri Kuadratik Formda Çözün

Bazen üç terimlileri çarpanlarına ayırdığımızda, üç terim (ax^{2}+bx+c) biçiminde görünmüyordu. Bu yüzden, onu (ax^{2}+bx+c) formuna uydurmamıza izin vererek ikame ile çarpanlarına ayırdık. İkame için (u) standardını kullandık.

(x^{4}-4 x^{2}-5) ifadesini çarpanlarına ayırmak için, orta terimin değişken kısmının (x^{2}) ve karesinin (x^ olduğunu fark ettik. {4}), ilk terimin değişken kısmıdır. ((left(x^{2} ight)^{2}=x^{4} biliyoruz.) Böylece (u=x^{2})'ye izin verdik ve çarpanlarına ayırdık.

(left(color{red}x^2 color{siyah} sağ)^{2}-4left( color{red}x^{2} color{siyah}sağ)-5 )
(u=x^{2}) ve yerine koyalım.
Üç terimliyi çarpanlarına ayırın.((u+1)(u-5))
(u) öğesini (x^{2}) ile değiştirin.(left( color{red}x^{2} color{siyah} + 1sağ)left( color{kırmızı}x^2 color{siyah}-5sağ))

Benzer şekilde, bazen bir denklem (ax^{2}+bx+c=0) biçiminde değil, ikinci dereceden bir denklem gibi görünür. Ardından, onu (ax^{2}+bx+c=0) formuna uydurmamıza izin verecek düşünceli bir ikame yapabiliriz. Forma sığdırabilirsek, ikinci dereceden denklemleri çözmek için tüm yöntemlerimizi kullanabiliriz.

İkinci dereceden denklem (ax^{2}+bx+c=0), orta terimin bir (x) değişkenine sahip olduğuna ve karesinin (x^{2}) olduğuna dikkat edin. birinci terimin değişken kısmı. Bir ikame bulmaya çalışırken bu ilişkiyi arayın.

Yine, denklemi ikinci dereceden forma sokacak bir ikame yapmak için (u) standardını kullanacağız. Eğer ikame bize (ax^{2}+bx+c=0 biçiminde bir denklem verirse), orijinal denklemin şu olduğunu söyleriz: ikinci dereceden biçim.

Sonraki örnek, ikinci dereceden formda bir denklemi çözme adımlarını gösterir.

Örnek (PageIndex{1}) İkinci Dereceden Denklemler Nasıl Çözülür

Çöz: (6 x^{4}-7 x^{2}+2=0)

Çözüm:

Aşama 1: Denklemi ikinci dereceden forma sokacak bir ikame belirleyin.(left(x^{2} ight)^{2}=x^{4} olduğundan), (u=x^{2}) izin verdik.
Adım 2: Denklemi, ikinci dereceden forma koymak için ikame ile yeniden yazın.

Değiştirmeye hazırlanmak için yeniden yazın.

(u=x^{2}) yerine koyun.

Aşama 3: (u) için ikinci dereceden denklemi çözün.

Faktoring yaparak çözebiliriz.

Sıfır Ürün Özelliğini kullanın.

(egin{hizalı}(2 u-1)(3 u-2) &=0 2 u-1=0, 3 u-2&=0 2 u =1,3 u&=2 u =frac{1}{2} u&=frac{2}{3} end{hizalı})
4. Adım: Değiştirmeyi kullanarak orijinal değişkeni sonuçlara geri koyun.(u) öğesini (x^{2}) ile değiştirin.(x^{2}=frac{1}{2} quad x^{2}=frac{2}{3})
Adım 5: Orijinal değişken için çözün.Kare Kök Özelliğini kullanarak (x) için çözün.

(egin{array}{ll}{x=pm sqrt{frac{1}{2}}} & {x=pm sqrt{frac{2}{3}}} { x=pm frac{sqrt{2}}{2}} & {x=pm frac{sqrt{6}}{3}}end{dizi})

Dört çözüm var.

(egin{array}{ll}{x=frac{sqrt{2}}{2}} & {x=frac{sqrt{6}}{3}} {x=- frac{sqrt{2}}{2}} & {x=-frac{sqrt{6}}{3}}end{dizi})

6. Adım: Çözümleri kontrol edin.Dört çözümü de kontrol edin. Burada bir çek göstereceğiz.

Diğer kontrolleri size bırakıyoruz!

Alıştırma (PageIndex{1})

Çöz: (x^{4}-6 x^{2}+8=0).

Cevap

(x=sqrt{2}, x=-sqrt{2}, x=2, x=-2)

Alıştırma (PageIndex{2})

Çöz: (x^{4}-11 x^{2}+28=0).

Cevap

(x=sqrt{7}, x=-sqrt{7}, x=2, x=-2)

İkinci dereceden bir denklemi çözme adımlarını özetliyoruz.

Denklemleri Kuadratik Formda Çözün

  1. Denklemi ikinci dereceden forma sokacak bir ikame belirleyin.
  2. İkinci dereceden forma koymak için ikame ile denklemi yeniden yazın.
  3. (u) için ikinci dereceden denklemi çözün.
  4. İkameyi kullanarak orijinal değişkeni sonuçlara geri koyun.
  5. Orijinal değişken için çözün.
  6. Çözümleri kontrol edin.

Sonraki örnekte, orta terimdeki ((x-2)) binomunun ilk terimdeki karesi alınır. (u=x-2)'ye izin verir ve yerine koyarsak, üçlü terimimiz (a x^{2}+b x+c) biçiminde olacaktır.

Alıştırma (PageIndex{3})

Çöz: ((x-5)^{2}+6(x-5)+8=0).

Cevap

(x=3, x=1)

Alıştırma (PageIndex{4})

Çöz: ((y-4)^{2}+8(y-4)+15=0).

Cevap

(y=-1, y=1)

Sonraki örnekte, ((sqrt{x})^{2}=x) olduğunu fark ettik. Ayrıca, bir denklemin her iki tarafının karesini aldığımızda yabancı kökler ekleyebileceğimizi unutmayın. Cevaplarınızı kontrol ettiğinizden emin olun!

Örnek (PageIndex{3})

Çözün: (x-3 sqrt{x}+2=0).

Çözüm:

Orta terimdeki (sqrt{x}), ilk terim ((sqrt{x})^{2}=x)'de karedir. (u=sqrt{x}) izin verir ve yerine koyarsak, trinomumuz (a x^{2}+b x+c=0) biçiminde olacaktır.

Yerine koymaya hazırlanmak için üç terimi yeniden yazın.
(u=sqrt{x}) ve yerine koyalım.
Faktoring yaparak çözün.
(u) öğesini (sqrt{x}) ile değiştirin.
(x) için her iki tarafın karesini alarak çözün.

Kontrol etmek:

Alıştırma (PageIndex{5})

Çöz: (x-7 sqrt{x}+12=0).

Cevap

(x=9, x=16)

Alıştırma (PageIndex{6})

Çöz: (x-6 sqrt{x}+8=0).

Cevap

(x=4, x=16)

Rasyonel üsler için ikameler, ikinci dereceden formdaki bir denklemi çözmemize de yardımcı olabilir. Bir sonraki örneğe başlarken üslerin özelliklerini düşünün.

Örnek (PageIndex{4})

Çözün: (x^{frac{2}{3}}-2 x^{frac{1}{3}}-24=0).

Çözüm:

Orta terimdeki (x^{frac{1}{3}}) birinci terimdeki karedir (left(x^{frac{1}{3}} ight)^{2 }=x^{frac{2}{3}}). (u=x^{frac{1}{3}}) izin verir ve yerine koyarsak, üçlü terimimiz (a x^{2}+b x+c=0) biçiminde olacaktır.

Yerine koymaya hazırlanmak için üç terimi yeniden yazın.
(u=x^{frac{1}{3}}) olsun
Faktoring yaparak çözün.

((u-6)(u+4)=0)

(u-6=0, dörtlü u+4=0)

(u=6, dört u=-4)

(u) öğesini (x^{frac{1}{3}}) ile değiştirin.

(x^{frac{1}{3}}=6, quad x^{frac{1}{3}}=-4)

Her iki tarafı da küp alarak (x)'i bulun.

(left(x^{frac{1}{3}}sağ)^{3}=(6)^{3}, quadleft(x^{frac{1}{3}} sağ)^{3}=(-4)^{3})

(x=216, dörtlü x=-64)

Kontrol etmek:

Alıştırma (PageIndex{7})

Çözün: (x^{frac{2}{3}}-5 x^{frac{1}{3}}-14=0).

Cevap

(x=-8, x=343)

Alıştırma (PageIndex{8})

Çözün: (x^{frac{1}{2}}+8 x^{frac{1}{4}}+15=0).

Cevap

(x=81, x=625)

Bir sonraki örnekte, üslerin özelliklerini olduğu kadar negatif üs tanımını da aklımızda tutmamız gerekiyor.

Örnek (PageIndex{5})

Çözün: (3 x^{-2}-7 x^{-1}+2=0).

Çözüm:

Orta terimdeki (x^{−1}) ilk terim (left(x^{-1} ight)^{2}=x^{-2})'nin karesidir. (u=x^{−1}) izin verir ve yerine koyarsak, üç terimimiz (a x^{2}+b x+c=0) biçiminde olacaktır.

Yerine koymaya hazırlanmak için üç terimi yeniden yazın.
(u=x^{-1}) ve yerine koyalım.
Faktoring yaparak çözün.((3 u-1)(u-2)=0)
(3 u-1=0, dörtlü u-2=0)
(u) öğesini (x^{-1}) ile değiştirin.
(x^{-1}=frac{1}{x})'den beri tersini alarak (x)'i bulun.

Kontrol etmek:

Alıştırma (PageIndex{9})

Çöz: (8 x^{-2}-10 x^{-1}+3=0).

Cevap

(x=frac{4}{3}, x=2)

Alıştırma (PageIndex{10})

Çöz: (6 x^{-2}-23 x^{-1}+20=0).

Cevap

(x=frac{2}{5}, x=frac{3}{4})

İkinci dereceden denklemleri çözerek ek talimat ve alıştırma için bu çevrimiçi kaynağa erişin.

  • Denklemleri Kuadratik Formda Çözme

Anahtar kavramlar

  • İkinci dereceden denklemler nasıl çözülür.
    1. Denklemi ikinci dereceden forma sokacak bir ikame belirleyin.
    2. İkinci dereceden forma koymak için ikame ile denklemi yeniden yazın.
    3. (u) için ikinci dereceden denklemi çözün.
    4. Değiştirmeyi kullanarak orijinal değişkeni sonuçlara geri koyun.
    5. Orijinal değişken için çözün.
    6. Çözümleri kontrol edin.

11.5 Doğrusal Olmayan Denklem Sistemlerinin Çözümü

İki değişkenli lineer denklem sistemlerini grafik, ikame ve eleme yoluyla nasıl çözeceğimizi öğrendik. İki denklemli ve iki değişkenli doğrusal olmayan denklem sistemlerine bakarken aynı yöntemleri kullanacağız. A doğrusal olmayan denklemler sistemi denklemlerden en az birinin doğrusal olmadığı bir sistemdir.

Örneğin, aşağıdaki sistemlerin her biri bir doğrusal olmayan denklem sistemidir.

Doğrusal Olmayan Denklemler Sistemi

A doğrusal olmayan denklemler sistemi denklemlerden en az birinin doğrusal olmadığı bir sistemdir.

Doğrusal denklem sistemlerinde olduğu gibi, doğrusal olmayan bir sistemin çözümü, her iki denklemi de doğru yapan sıralı bir çifttir. Doğrusal olmayan bir sistemde birden fazla çözüm olabilir. Bunu, doğrusal olmayan bir denklem sistemini grafik çizerek çözerken göreceğiz.

Lineer denklem sistemlerini çözdüğümüzde, sistemin çözümü iki doğrunun kesişme noktasıydı. Doğrusal olmayan denklem sistemlerinde, grafikler daireler, paraboller veya hiperboller olabilir ve birkaç kesişme noktası ve dolayısıyla birkaç çözüm olabilir. Grafikleri belirledikten sonra, grafiklerin kesişebileceği farklı yolları ve kaç tane çözüm olabileceğini gözünüzde canlandırın.

Doğrusal olmayan denklem sistemlerini grafikle çözmek için, doğrusal olmayan denklemler için biraz değiştirilmiş doğrusal denklem sistemleriyle temelde aynı adımları kullanırız. Adımlar referans için aşağıda listelenmiştir.


Çalışılan örnek 8: İkinci dereceden formülü kullanma

(x) için çözün ve cevabınızı en basit şekilde bırakın: (2x^2+3x=7)

İfadenin çarpanlara ayrılıp ayrılmadığını kontrol edin

İfade çarpanlara ayrılamaz, bu nedenle genel ikinci dereceden formül kullanılmalıdır.

Denklemi standart biçimde yazın (a^+bx+c=0)

Formülde değiştirilecek katsayıları belirleyin

[a = 2 qquad b = 3 qquad c = -7]

İkinci dereceden formülü uygulayın

Daima önce formülü yazın ve ardından (a), (b) ve (c) değerlerini değiştirin.

Son cevabı yaz


İkinci dereceden denklemler nasıl çözülür?

Artık lineer denklemlerin temellerini bildiğinize göre, size ikinci dereceden denklem kavramından geçelim.

İkinci dereceden bir denklem, ikinci dereceden bir değişkene sahip cebirsel bir denklemdir ve şu şekilde yazılabilir:

Balta 2 + Bx + C = 0

xbilinmeyen değişken,

A ve Bkatsayılardır,

Csabittir.


Daha fazla ikinci dereceden formül hesaplayıcısı Çözülmüş Örnekler

Sağlanan metin alanına matematik ifadenizi girin. Doğru gösterim ve sembol setini kullandığınızdan emin olun.

Bittiğinde, kök almak için hesapla düğmesine basın. Bu ikinci dereceden formül hesaplayıcı, ikinci dereceden formülü kullanarak ikinci dereceden bir denklemin köklerini bulmanıza yardımcı olur. Adım adım bir çözümle, EquationCalc.com'da cebir öğrenmek gerçekten çok kolay.

Kabul edilebilir Matematik sembolleri ve kullanımları Matematiksel ifadelerinizi yazmayı seçerseniz, burada kabul edilebilir matematik sembollerinin ve operatörlerinin bir listesi bulunmaktadır.


Karmaşık Sayılar ve İkinci Dereceden Denklemler 11. Sınıf MCQ Soruları Cevapları ile

Öğrencilerin farklı kavramları bilmeleri için 11. Sınıf Matematik Dersindeki Karmaşık Sayılar ve İkinci Dereceden Denklemler Çoktan Seçmeli Sorularını çözmeleri önerilir. Karmaşık Sayılar ve İkinci Dereceden Denklemler ile ilgili MCQ Sorularını cevaplarla birlikte uygulamak, kendinize olan güveninizi artıracak ve böylece sınavda iyi puan almanıza yardımcı olacaktır.

Aşağıya bakarak ayrıntılı çözümlerle sağlanan yanıtlarla Karmaşık Sayılar ve İkinci Dereceden Denklemler Sınıf 11 ile ilgili çok sayıda MCQ Sorusunu keşfedin.

Soru 1.
z olsun1 ve z2 z² + az + b = 0 denkleminin iki kökü olsun, z karmaşık olsun. Ayrıca orijinin, z olduğunu varsayalım.1 ve z2 eşkenar üçgen oluşturur. Sonra
(a) a² = b
(b) a² = 2b
(c) a² = 3b
(d) a² = 4b

Soru 2.
i i'nin değeri
(a) 0
(b) e -π
(c) 2e -π/2
(d) e -π/2

Cevap: (d) e -π/2
A = ben i olsun
⇒ A günlüğü = ben i günlüğü
⇒ log A = ben log(0 + i)
⇒ log A = ben [log 1 + i tan -1 ∞]
⇒ log A = ben [0 + ben π/2]
⇒ günlük A = -π/2
⇒ A = e -π/2

Soru 3.
√(-25) + 3√(-4) + 2√(-9)'un değeri
(a) 13 ben
(b) -13 ben
(c) 17 ben
(d) -17 ben

Soru 4.
Birliğin küp kökleri 1, ω ve ω² ise, (1 + ω / ω²)³ değeri
(a) 1
(b) -1
(c) ω
(d) ω²

Cevap: (b) -1
Verilen, birliğin küp kökleri 1, ω ve ω²'dir.
Yani, 1 + ω + ω² = 0
ve ω³ = 1
Şimdi, <(1 + ω)/ ω²>³ = <-ω²/ ω²>³ = <-1>³ = -1

Soru 5.
<(1 + i)/(1 – i)>ⁿ = 1 ise, n'nin en küçük değeri
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4

Soru 6.
[i 19 + (1/i) 25 ]² değeri
(a) -1
(b) -2
(c) -3
(d) -4

Cevap: (d) -4
Verilen, [i 19 + (1/i) 25 ]²
= [i 19 + 1/i 25 ]²
= [i 16 × ben³ + 1/(i 24 × ben)]²
= [1 × ben³ + 1/(1 × ben)]²
= [i³ + 1/i]²
= [i² × ben + 1/i]²
= [(-1) × ben + 1/i]²
= [-i + 1/i]²
= [-i + ben 4 /i]²
= [-i + i³]²
= [-i + i² × i]²
= [-i + (-1) × ben]²
= [-i – ben]²
= [-2i]²
= 4i²
= 4 × (-1)
= -4
Yani, [i 19 + (1/i) 25 ]² = -4

7. soru
Eğer z ve w iki karmaşık sayıysa, öyle ki |z| ≤ 1, |w| ≤ 1 ve |z + iw| = |z – iw| = 2, o zaman z eşittir
(a) 1 veya ben
(b) ben veya – i
(c) 1 veya – 1
(d) ben veya – 1

Cevap: (c) 1 veya – 1
Verilen |z + iw| = |z – iw| = 2
⇒ |z – (-iw)| = |z – (iw)| = 2
⇒ |z – (-iw)| = |z – (-iw)|
Yani z, -iw ve -iw'yi birleştiren doğrunun dik açıortayı üzerindedir.
-iw x eksenindeki ayna olduğundan, z'nin konumu x eksenidir.
z = x + iy ve y = 0 olsun
⇒ |z| < 1 ve x² + 0² < 0
⇒ -1 ≤ x ≤ 1
Yani z, 1 veya -1 değerini alabilir.

Soru 8.
<-√(-1)>4n+3 , n ∈ N değeri
(a) ben
(b) -i
(c) 1
(d) -1

Soru 9.
(3 + 2i × sin θ)/(1 – 2i × sin θ) gerçek olacak şekilde gerçek θ değerini bulun
(a)
(b) nπ
(c) nπ/2
(d) 2nπ

Cevap: (b) nπ
verilen,
(3 + 2i × günah θ)/(1 – 2i × günah θ) = <(3 + 2i × günah θ)×(1 – 2i × günah θ)>/(1 – 4i² × günah² θ)
(3 + 2i × günah θ)/(1 – 2i × günah θ) = <(3 – 4sin² θ) + 8i × günah θ>/(1 + 4sin² θ) ………' 8230. 1
Şimdi, sin θ = 0 ise denklem 1 gerçektir
⇒ günah θ = günah nπ
⇒ θ = nπ

Soru 10.
i = √(-1) ise 4 + 5(-1/2 + i√3/2) 334 + 3(-1/2 + i√3/2) 365 eşittir
(a) 1 – i√3
(b) -1 + i√3
(c) i√3
(d) -i√3

Cevap: (c) i√3
Verilen, 4 + 5(-1/2 + i√3/2) 334 + 3(-1/2 + i√3/2) 365
= 4 + 5w 334 + 3w 365
= 4 + 5w + 3w²
= 4 + 5(-1/2 + i√3/2) + 3(-1/2 – i√3/2)
= i√3

Soru 11.
√9 + √(-16) karmaşık sayısının reel kısmı
(a) 3
(b) -3
(c) 4
(d) -4

Cevap: (a) 3
Verilen, √9 + √(-16) = √9 + √(16) × √(-1)
= 3 + 4i
O halde karmaşık sayının reel kısmı 3'tür.

Soru 12.
5 + 4i modülü
(a) 41
(b) -41
(c) √41
(d) -√41

Cevap: (c) √41
Z = 5 + 4i olsun
Şimdi Z modülü şu şekilde hesaplanır:
|Z| = √(5² + 4²)
⇒ |Z| = √(25 + 16)
⇒ |Z| = √41
Yani 5 + 4i'nin modülü √41'dir.

Soru 13.
1 + i√3 modülü
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) Bunların hiçbiri

Cevap: (b) 2
Z = 1 + i√3 olsun
Şimdi Z modülü şu şekilde hesaplanır:
|Z| = √<1² + (√3)²>
⇒ |Z| = √(1 + 3)
⇒ |Z| = √4
⇒ |Z| = 2
Yani 1 + i√3'ün modülü 2'dir.

Soru 14.
<-√(-1)>4n+3 , n ∈ N değeri
(a) ben
(b) -i
(c) 1
(d) -1

Soru 15.
ω birliğin küp kökü (ω ≠ 1) ise, n'nin pozitif bir tam sayı olduğu en küçük değeri (1 + ω²)ⁿ = (1 + ω 4 )ⁿ
(a) 2
(b) 3
(c) 5
(d) 6

Cevap: (b) 3
Verilen ω, birliğin hayali bir küp köküdür.
Yani 1 + ω + ω² = 0 ve ω³ = 1
Şimdi, (1 + ω²)ⁿ = (1 + ω 4 )ⁿ
⇒ (-1)ⁿ ×(ω)ⁿ = (1 + ω × ω³)ⁿ
⇒ (-1)ⁿ × (ω)ⁿ = (1 + ω)ⁿ
⇒ (-1)ⁿ × (ω)ⁿ = (-ω²)ⁿ
⇒ (-1)ⁿ × (ω)ⁿ = (-1)ⁿ × ω²ⁿ
⇒ ωⁿ = ω²ⁿ
ω³ = 1 olduğundan, n'nin en küçük değeri 3'tür.

Soru 16.
ben 9 + ben 10 + ben 11 + ben 12'nin değeri
(a) ben
(b) 2i
(c) 0
(d) 1

Cevap: (c) 0
Verilen, ben 9 + ben 10 + ben 11 + ben 12
= i9 (1 + i + i2 + i3)
= i9 (1 + ben – 1 – ben )
= i9 × 0
= 0

Soru 17.
a = cos α + i sin α ve b = cos β + i sin β ise, 1/2(ab + 1/ ab) değeri
(a) günah (α + β)
(b) cos (α + β)
(c) günah (α – β)
(d) cos (α – β)

Cevap: (b) cos (α + β)
Verilen a = cos α + i sin α ve b = cos β + i sin β
Şimdi, 1/a = 1/(cos α + i sin α)
⇒ 1/a = <1 × (cos α – i sin α)/<(cos α + i sin α) × (cos α + i sin α)>
⇒ 1/a = (cos α – i sin α)/(cos² α + i sin² α)
⇒ 1/a = (çünkü α – i günah α)
Yine, 1/b = 1/(cos β + i sin β)
⇒ 1/b = <1 × (cos β – i sin β)/<(cos β + i sin β) × (cos β + i sin β)>
⇒ 1/b = (cos β – i sin β)/(cos² β + i sin² β)
⇒ 1/b = (çünkü β – i günah β)
Şimdi, ab = (cos α + i sin α) × (cos β + i sin β)
⇒ ab = cos α × cos β + ben cos α × günah β + ben günah α × cos β – günah α × günah β
Yine, 1/ab = (cos α – i sin α) × (cos β – i sin β)
⇒ 1/ab = cos α × cos β – ben cos α × günah β – ben günah α × cos β – günah α × günah β
Şimdi, ab + 1/ab = cos α × cos β + i cos α × sin β + i sin α × cos β – sin α × sin β + cos α × cos β – i cos α × sin β – ben günah α × cos β – günah α × günah β
⇒ ab + 1/ab = 2(cos α × cos β – sin α × sin β)
⇒ 1/2(ab + 1/ ab) = 2(cos α × cos β – sin α × sin β)/2
⇒ 1/2(ab + 1/ ab) = cos α × cos β – sin α × sin β
⇒ 1/2(ab + 1/ ab) = cos(α + β)

Soru 18.
-1 + i'nin kutupsal formu
(a) √2(cos π/2 + i × günah π/2)
(b) √2(cos π/4 + i × günah π/4)
(c) √2(cos 3π/2 + i × günah 3π/2)
(d) √2(cos 3π/4 + i × günah 3π/4)

Cevap: (d) √2(cos 3π/4 + i × sin 3π/4)
Bir karmaşık sayının kutupsal biçimi = r(cos θ + i × sin θ)
Verilen, karmaşık sayı = -1 + i
x + iy = -1 + i olsun
Şimdi, x = -1, y = 1
Şimdi, r = √ <(-1)² + 1²>= √(1 + 1) = √2
ve tan θ = y/x
⇒ tan θ = 1/(-1)
⇒ bronz θ = -1
⇒ θ = 3π/4
Şimdi, kutupsal form √2'dir(cos 3π/4 + i × sin 3π/4)

Soru 19.
Tüm karmaşık sayılar için z1, z2 tatmin edici |z1| = 12 ve |z2 – 3 – 4i| = 5, |z'nin minimum değeri1 – z2| dır-dir
(a) 0
(b) 2
(c) 7
(d) 17

Cevap: (b) 2
Verilen Tüm karmaşık sayılar için z1, z2 tatmin edici |z1| = 12 ve |z2 – 3 – 4i| = 5
Şimdi, mod(z1) = 12, 0 merkezli ve 12 yarıçaplı bir daireyi temsil eder
mod(z2 – 3 – 4i) = 5, (3, 4) merkezli ve yarıçapı 5 olan bir daireyi temsil eder
Bu daire orijinden geçer. Çapsal olarak zıt ucun mesafesi 10'dur
Böylece, minimum değer (z1 – z2) = 2

Soru 20.
(1 – i)² değeri
(a) ben
(b) -i
(c) 2i
(d) -2i

Cevap: (d) -2i
Verilen (1 – i)² = 1 + i² – 2i
= 1 + (-1) – 2i
= 1 – 1 – 2i
= -2i

11. Sınıf Matematik Bölüm 5 Karmaşık Sayılar ve İkinci Dereceden Denklemler için NCERT MCQ Soruları ve Cevapları Pdf ücretsiz indirme ile ilgili paylaşılan bilgilerin mümkün olduğunca yararlı olduğuna inanıyoruz. CBSE 11. Sınıf Matematik Karmaşık Sayılar ve İkinci Dereceden Denklemler MCQ'ları Cevaplı Çoktan Seçmeli Sorular ile ilgili başka sorularınız varsa, yorum bölümünden bize ulaşmaktan çekinmeyin, olası çözümle size rehberlik edeceğiz.


Çalışılan örnek 2: İkinci dereceden diziler

Sonraki iki terimi yazın ve (n^< ext için bir denklem belirleyin)>) dizinin terimi ( ext<5>) ( ext<12>) ( ext<23>) ( ext<38>) (ldots)

Terimler arasındaki ilk farkları bulun

Terimler arasındaki ikinci farkları bulun

Dolayısıyla, ( ext<4>) ortak bir ikinci farkı vardır. Dolayısıyla bunun, (T_n = an^2 + bn + c) biçiminde ikinci dereceden bir dizi olduğu sonucuna varabiliriz.

Sıralamaya devam edersek, sonraki ilk farklar şöyle olacaktır:

Dizideki sonraki iki terimi bulma

Sonraki iki terim şöyle olacaktır:

Dizinin genel terimini belirleyin

(T_n = an^2 + bn + c) için (a), (b) ve (c) değerlerini bulmak için ilk ( ext<3>)'ye bakarız sırayla terimler:

aşlamak n=1: T_1 &= a + b + c n=2: T_2 &= 4a + 2b + c n=3: T_3 &= 9a + 3b + c end

(a), (b) ve (c) değerlerini belirlemek için bir dizi eşzamanlı denklem çözeriz.

(T_1 = 5), (T_2 = 12) ve (T_3 = 23) olduğunu biliyoruz.

aşlamak a + b + c &= 5 4a + 2b + c &= 12 9a + 3b + c &= 23 endaşlamak T_2 - T_1 &= 4a + 2b + c - (a + b + c) 12 - 5 &= 4a + 2b + c - a - b - c 7 &= 3a + b qquad ldots (1 ) sonaşlamak T_3 - T_2 &= 9a + 3b + c - (4a + 2b + c) 23 - 12 &= 9a + 3b + c - 4a - 2b - c 11 &= 5a + b qquad ldots (2 ) sonaşlamak (2)-(1) &= 5a + b - (3a + b) 11 - 7 &= 5a + b - 3a - b 4 &= 2a u nedenle a &= 2 endaşlamak Metin (1): quad 3(2) + b &= 7 u nedenle b &= 1 ext quad a + b + c &= 5 2 + 1 + c &= 5 u nedenle c &= 1 end

Dizinin genel terimini yazın


İkinci Dereceden Bir Denklemin Köklerinin Doğası

İkinci dereceden bir denklemin köklerinin doğası, ikinci dereceden denklemin diskriminantı olarak bilinen tarafından belirlenir.

  • Dava 1: D pozitif ise, kökler gerçektir ve eşit değildir.
  • 2. Durum: D bir tam kare ise ve a,b,c'nin tümü rasyonel sayılarsa, o zaman iki kök gerçek, rasyonel ve eşit değildir.
  • Durum 3: D pozitifse, ancak tam kare değilse, gerçek ve irrasyoneldir. Bu durumda kökler gerçek, irrasyonel ve eşitsizdir.
  • Durum 4: D=0 ise, iki kök gerçek ve eşittir.
  • Durum 5: D negatif ise, kökler hayali veya karmaşıktır. [Bu bölümdeki Örnek 3'e bakın]

Örnek 10: Denklemin, ancak ve ancak, ise eşit köklere sahip olacağını kanıtlayın.

hangisi formda, nerede

Verilen denklemin eşit köklere sahip olması için,


Için veriler İkinci Dereceden Denklemi Çözme

  • Bunu yapmak için ikinci dereceden denklemimizi yazacağız. y = a + bx + cx^2 ve ayrıca " değişkeninin kökünü tanımlayın x ” bu ikinci dereceden formülü yazarak x0 = [-b ± SQRT(b^2 - 4ac]/2a

Şekil 2: İkinci dereceden formül

  • Şimdi “X”in kökleri olan “x1” ve “x2” için bir tablo hazırlayacağız ve “X” denklemindeki değişkenlere “a, b ve c” değerlerini atayacağız.

Şekil 3: Kök tablosu

Şekil 4a: Denklemin pozitif kökü için formül

Şekil 4b: Denklemin pozitif kökü için cevap

  • Şimdi aynı işlemi “ x2 " tarafından kopyalama, yapıştırma ve değiştirme“+” bir " “formülde eksi işareti B12 hücresi olarak =(-B8-SQRT(B8^2-4*B7*B9))/(2*B7)

Şekil 5a: Denklemin negatif kökü için formül

Şekil 5b: Çözülmüş ikinci dereceden denklem


Videoyu izle: แยกตวประกอบ พหนามกำลงสองสมบรณ พโต (Aralık 2021).