Nesne

14.3: Laplace ile Bağlantı - Matematik


İddia

( ext{Re}(z) > 1) ve ( ext{Re} (s) >0 için, (mathcal{L} (t^{z -1}; s) = dfrac{Gama (z)}{s^z}).

Kanıt

Tanım olarak (mathcal{L} (t^{z -1}; s) = int_{0}^{infty} t^{z - 1} e^{-st} dt). ( ext{Re} (z) > 1) ise, integralin ( ext{Re} (s) > 0) için mutlak yakınsadığı açıktır.

(s > 0)'ın gerçek olduğunu varsayarak başlayalım. ( au = st) değişkeninin değişimini kullanın. Laplace integrali olur

[int_{0}^{infty} t^{z - 1} e^{-st} dt = int_{0}^{infty} (dfrac{ au}{s})^ {z- 1} e^{- au} dfrac{d au}{s} = dfrac{1}{s^z} int_{0}^{infty} au ^{z - 1 } e^{- au} = dfrac{Gamma (z)}{s^z} d au.]

Bu, (s) için (mathcal{L} (t^{z -1}; s) = dfrac{Gamma (z)}{s^z}))'nin reel ve pozitif olduğunu gösterir. Bu denklemin her iki tarafı da ( ext{Re} (s) > 0 üzerinde analitik olduğundan), Teorem 14.2.1'in uzantısı bunların aynı olduğunu garanti eder.

sonucu

(Gamma (z) = matematik{L} (t^{z - 1}; 1)). (Elbette bu, Denklem 14.3.1'deki (Gamma (z)) tanımından da açıkça anlaşılmaktadır.


Videoyu izle: 13 ODT nin önemli bir sonucu ve örneği- Türevin Uygulamaları- Calculus 1 (Aralık 2021).