Nesne

13.E: Vektör Değerli Fonksiyonlar (Alıştırmalar)


13.1: Vektör Değerli Fonksiyonlar ve Uzay Eğrileri

Vektör değerli işlev (mathrm{r(t)=3 için (mathrm{x=f(t)}) ve (mathrm{y=g(t)}) bileşenlerini verin sec t mathbf{i}+2 an t mathbf{j}}).

(mathrm{f(t)=3 sec t,g(t)=2 an t})

(mathrm{r(t)=3 sec t mathbf{i}+2 an t mathbf{j}} verildiğinde), aşağıdaki değerleri bulun (mümkünse).

  1. (mathrm{r(frac{pi}{4})})
  2. (mathrm{r(pi)})
  3. (mathrm{r(frac{pi}{2})})

Vektör değerli fonksiyonun (mathrm{r(t)=3 sec t mathbf{i}+2 an t mathbf{j}}) eğrisini çizin ve eğrinin yönünü verin. Grafiğe kılavuz olarak asimptotları çizin.

Değerlendir (mathrm{lim limits_{t o 0}⟨e^t mathbf{i}+frac{sin t}{t} mathbf{j}+e^{−t} mathbf {k}⟩})

Vektör değerli fonksiyon (mathrm{r(t)=⟨cos t,sin t⟩}) verildiğinde aşağıdaki değerleri bulun:

  1. (mathrm{lim limits_{t o frac{pi}{4}} r(t)})
  2. (mathrm{r(frac{pi}{3})})
  3. (mathrm{r(t)}) (mathrm{t=frac{pi}{3}}) konumunda sürekli midir?
  4. Grafik (mathrm{r(t)}).

a. (mathrm{⟨frac{sqrt{2}}{2},frac{sqrt{2}}{2}})⟩, b. ⟨(mathrm{frac{1}{2},frac{sqrt{3}}{2}})⟩, c. evet limit olarak T yaklaşımları (mathrm{frac{pi}{3}}) eşittir (mathrm{r(frac{pi}{3})}), d.

Vektör değerli fonksiyon (mathrm{r(t)=⟨t,t^2+1⟩}) verildiğinde, aşağıdaki değerleri bulun:

  1. (mathrm{lim limits_{t o -3} r(t)})
  2. (mathrm{r(−3)})
  3. (mathrm{r(t)}) (mathrm{x=−3}) noktasında sürekli midir?
  4. (mathrm{r(t+2)−r(t)})

(mathrm{r(t)=e^t mathbf{i}+sin t mathbf{j}+ln t mathbf{k}}) olsun. Aşağıdaki değerleri bulun:

  1. (mathrm{r(frac{pi}{4})})
  2. (mathrm{lim limits_{t o frac{pi}{4} } r(t)})
  3. (mathrm{r(t)}) (mathrm{t=t=frac{pi}{4}}) noktasında sürekli midir?

a. ⟨(mathrm{e^{frac{pi}{4}},frac{sqrt{2}}{2},ln (frac{pi}{4})})⟩ ; B. ⟨(mathrm{e^{frac{pi}{4}},frac{sqrt{2}}{2},ln (frac{pi}{4})})⟩ ; C. Evet

Belirtilen değerde aşağıdaki vektör değerli fonksiyonların limitini bulun: T.

(mathrm{lim limits_{t o 4}⟨sqrt{t−3},frac{sqrt{t}−2}{t−4}, an(frac{pi} {T})⟩})

(mathrm{lim limits_{t o frac{pi}{2}} r(t)}) for (mathrm{r(t)=e^t mathbf{i}+ sin t mathbf{j}+ln t mathbf{k}})

(mathrm{⟨e^{frac{pi}{2}},1,ln(frac{pi}{2})⟩})

(mathrm{lim limits_{t o infty}⟨e^{−2t},frac{2t+3}{3t−1},arctan(2t)⟩})

(mathrm{lim limits_{t o e^2}⟨t ln (t),frac{ln t}{t^2},sqrt{ln(t^2)⟩ }})

(mathrm{2e^2 mathbf{i}+frac{2}{e^4}mathbf{j}+2mathbf{k}})

(mathrm{lim limits_{t o frac{pi}{6}}⟨cos 2t,sin 2t,1⟩})

(mathrm{lim limits_{t o infty} r(t)}) for (mathrm{r(t)=2e^{−t} mathbf{ i}+e^{− t} mathbf{j}+ln(t−1) mathbf{k}})

(mathrm{ln(t−1)}) limiti şu şekilde olduğu için limit mevcut değil. T yaklaşımlar sonsuz yoktur.

Vektör değerli fonksiyon (mathrm{r(t)=(1+t)mathbf{i}+(2+5t)mathbf{j}+(−1+6t)mathbf) tarafından tanımlanan eğriyi tanımlayın {k}}).

Vektör değerli fonksiyonların tanım kümesini bulun.

Etki Alanı: (mathrm{r(t)=⟨t^2, an t,ln t⟩})

(mathrm{t>0,t≠(2k+1)frac{pi}{2}}), burada k bir tam sayıdır

Etki Alanı: (mathrm{r(t)=⟨t^2,sqrt{t−3},frac{3}{2t+1}⟩})

Etki Alanı: (mathrm{r(t)=⟨csc(t),frac{1}{sqrt{t−3}}, ln(t−2)⟩})

(mathrm{t>3,t≠npi}), nerede n bir tamsayıdır

(mathrm{r(t)=⟨cos t,t,sin t⟩}) olsun ve bunu aşağıdaki soruları yanıtlamak için kullanalım.

hangi değerler için T (mathrm{r(t)}) sürekli midir?

(mathrm{r(t)}) grafiğini çizin.

(mathrm{r(t)=2e^{-t} mathbf{i}+e^{−t}mathbf{j}+ln(t−1)mathbf{k} alanını bulun }).

hangi değerler için T (mathrm{r(t)=2e_S^{-t} mathbf{i}+e^{−t}mathbf{j}+ln(t−1)mathbf{k}}) sürekli?

Herşey T öyle ki (mathrm{t∈(1,infty)})

parametreyi ortadan kaldır T, denklemi Kartezyen koordinatlarda yazın, sonra vektör değerli fonksiyonların grafiklerini çizin. (İpucu: (mathrm{x=2t}) ve (mathrm{y=t^2}) için ilk denklemi çözelim x açısından T ve bu sonucu ikinci denklemde yerine koyun.)

(mathrm{r(t)=2tmathbf{i}+t^2 mathbf{j}})

(mathrm{r(t)=t^3 mathbf{i}+2t mathbf{j}})

(mathrm{y=2sqrt[3]{x}}), küp kök fonksiyonunun bir varyasyonu

(mathrm{r(t)=2(sinh t)mathbf{i}+2(cosh t) mathbf{j},t>0})

(mathrm{r(t)=3(maliyet)i+3(sint)j})

(mathrm{x^2+y^2=9}), (mathrm{(0,0)}) merkezli ve yarıçapı 3 olan bir daire ve saat yönünün tersi yönde

(mathrm{r(t)=⟨3 sin t,3 cos t⟩})

Aşağıdaki vektör değerli işlevlerin her birini çizmek için bir grafik yardımcı programı kullanın:

[T] (mathrm{r(t)=2 cos t^2 mathbf{i}+(2−sqrt{t})mathbf{j}})

[T] (mathrm{r(t)=⟨e^{cos (3t)},e^{−sin(t)}⟩})

[T] (mathrm{r(t)=⟨2−sin (2t),3+2 cos t⟩})

Verilen eğriyi belirtilen yönde izleyen vektör değerli bir fonksiyon bulun.

(mathrm{4x^2+9y^2=36}); saat yönünde ve saat yönünün tersine

(mathrm{r(t)=⟨t,t^2⟩}); soldan sağa

Soldan sağa, (mathrm{y=x^2}), burada t artar

hat üzerinden P ve Q nerede P (mathrm{(1,4,−2)}) ve Q (mathrm{(3,9,6)})

Vektör değerli fonksiyon (mathrm{r(t)=(50e^{−t}cos t)mathbf{i}+(50e^{−t}sin t)mathbf) tarafından açıklanan eğriyi göz önünde bulundurun {j}+(5−5e^{−t})mathbf{k}}).

(mathrm{r(0)})'a karşılık gelen yolun başlangıç ​​noktası nedir?

(mathrm{(50,0,0)})

(mathrm{lim limits_{t o infty}r(t)} ) nedir?

[T] Eğriyi çizmek için teknolojiyi kullanın.

parametreyi ortadan kaldır T (mathrm{z=5−frac{r}{10}}) olduğunu göstermek için burada (mathrm{r=x^2+y^2}).

[T] (mathrm{r(t)=cos t mathbf{i}+sin tmathbf{j}+0.3 sin (2t)mathbf{k}}) olsun. Eğrinin grafiğini çıkarmak için teknolojiyi kullanın ( hız treni eğrisi) (mathrm{[0,2pi)}) aralığında. Zirveleri ve vadileri belirlemek için en az iki görünüm seçin.

[T] Zirveden dik bir düşüş ve “vadi”den dik eğimli bir roller coaster denklemi oluşturmak için önceki problemin sonucunu kullanın. Ardından, denklemin grafiğini çıkarmak için teknolojiyi kullanın.

İkiden fazla dönüş noktası (tepeler ve vadiler) olan bir hız treninin yolunun denklemini oluşturmak için önceki iki problemin sonuçlarını kullanın.

Bir olasılık (mathrm{r(t)=cos t mathbf{i}+sin tmathbf{j}+sin (4t)mathbf{k}}). katsayısını artırarak T üçüncü bileşende ise dönüm noktalarının sayısı artacaktır.

  1. (mathrm{r(t)=(4+cos(18t))cos(t)mathbf{i}+(4+cos (18t)sin(t))mathbf{j} eğrisinin grafiğini çizin Eğrinin genel şeklini görmek için seçtiğiniz iki görüş açısını kullanarak +0.3 sin(18t)mathbf{k}}).
  2. Eğri "slinky" ye benziyor mu?
  3. Slinky'nin bobin sayısını artırmak için denklemde ne gibi değişiklikler yapılmalıdır?

13.2: Vektör Değerli Fonksiyonların Hesabı

Vektör değerli fonksiyonların türevlerini hesaplayın.

(mathrm{r(t)=t^3 mathbf{i}+3t^2 mathbf{j}+frac{t^3}{6}mathbf{k}})

(mathrm{⟨3t^2,6t,frac{1}{2}t^2⟩})

(mathrm{r(t)=sin(t) mathbf{i}+cos(t) mathbf{j}+e^t mathbf{k}})

(mathrm{r(t)=e^{−t} mathbf{i}+sin(3t) mathbf{j}+10 sqrt{t} mathbf{k}}). Grafiğin bir taslağı burada gösterilmektedir. Grafiğin değişen periyodik doğasına dikkat edin.

(mathrm{⟨−e^{−t},3cos (3t),5t⟩})

(mathrm{r(t)=e^t mathbf{i}+2e^t mathbf{j}+mathbf{k}})

(mathrm{r(t)=mathbf{i}+mathbf{j}+mathbf{k}})

(mathrm{⟨0,0,0⟩})

(mathrm{r(t)=te^t mathbf{i}+t ln(t) mathbf{j}+sin(3t)mathbf{k}})

(mathrm{r(t)=frac{1}{t+1} mathbf{i}+arctan(t) mathbf{j}+ln t^3 mathbf{k}})

(mathrm{⟨frac{−1}{(t+1)^2},frac{1}{1+t^2},frac{3}{t}⟩})

(mathrm{r(t)= an(2t) mathbf{i}+sec(2t) mathbf{j}+sin ^2 (t) mathbf{k}})

(mathrm{r(t)=3 mathbf{i}+4 sin (3t) mathbf{j}+ t cos(t) mathbf{k}})

(mathrm{⟨0,12 cos(3t), cos t−t sin t⟩})

(mathrm{r(t)=t^2 mathbf{i}+te^{−2t} mathbf{j}−5e^{−4t} mathbf{k}})

Aşağıdaki problemler için belirtilen değerde bir teğet vektörü bulunuz. T.

(mathrm{r(t)=t mathbf{i}+sin(2t) mathbf{j}+cos(3t) mathbf{k}}); (mathrm{t=frac{π}{3}})

(mathrm{frac{1}{sqrt{2}}⟨1,−1,0⟩})

(mathrm{r(t)=3t^3 mathbf{i}+2t^2 mathbf{j}+frac{1}{t} mathbf{k};t=1})

(mathrm{r(t)=3e^t mathbf{i}+2e^{−3t} mathbf{j}+4e^{2t} mathbf{k}; t= ln(2)} )

(mathrm{frac{1}{sqrt{1060.5625}}⟨6,−34,32⟩})

(mathrm{r(t)=cos(2t) mathbf{i}+2 sin t mathbf{j}+t^2 mathbf{k};t=frac{π}{2} })

Aşağıdaki parametreli eğriler için birim teğet vektörünü bulun.

(mathrm{r(t)=6 mathbf{i}+cos(3t) mathbf{j}+3sin(4t) mathbf{k}, 0≤t<2π})

(mathrm{frac{1}{sqrt{9sin ^2 (3t)+144cos ^2 (4t)}}⟨0,−3sin(3t),12cos(4t)⟩} )

(mathrm{r(t)=cos t mathbf{i}+sin t mathbf{j}+sin t mathbf{k}, 0≤t<2π}). Bu eğrinin iki görünümü burada sunulmaktadır:

(mathrm{r(t)=3 cos(4t) mathbf{i}+3 sin(4t) mathbf{j}+5t mathbf{k},1≤t≤2})

(mathrm{T(t)=−frac{12}{13} sin(4t) mathbf{i}+ frac{12}{13}cos (4t) mathbf{j}+ frac{5}{13} mathbf{k}})

(mathrm{r(t)=t mathbf{i}+3t mathbf{j}+t^2 mathbf{k}})

(mathrm{r(t)=t mathbf{i}+t^2 mathbf{j}−t^4 mathbf{k}}) ve (mathrm{s(t)=) olsun sin(t) mathbf{i}+e^t mathbf{j}+ cos(t) mathbf{k}}) İşte fonksiyonun grafiği:

Aşağıdakileri bulun.

(mathrm{frac{d}{dt}[r(t^2)]})

(mathrm{⟨2t,4t^3,−8t^7⟩})

(mathrm{frac{d}{dt}[t^2⋅s(t)]})

(mathrm{frac{d}{dt}[r(t)⋅s(t)]})

(mathrm{sin(t)+2te^t−4t^3 cos(t)+tcos(t)+t^2e^t+t^4sin(t)})

(mathrm{r(t)=3t mathbf{i}+6ln(t) mathbf{j}+5e^{−3t}mathbf{k}'nın birinci, ikinci ve üçüncü türevlerini hesaplayın. }).

; r(t)=−3t^5 mathbf{i}+5t mathbf{j}+2t^2 mathbf için (mathrm{r'(t)⋅r''(t) ; öğesini bulun) {k}.})

(mathrm{900t^7+16t})

Bir parçacığın ivme fonksiyonu, başlangıç ​​hızı ve başlangıç ​​konumu,

(mathrm{a(t)=−5 cos t mathbf{i}−5sin t mathbf{j},v(0)=9 mathbf{i}+2 mathbf{j}, ve ; r(0)=5 mathbf{i}.}) (mathrm{v(t) ; ve ; r(t)}) bulun.

Bir parçacığın konum vektörü (mathrm{r(t)=5 sec(2t) mathrm{i}−4tan(t) mathrm{j}+7t^2 mathrm{k}}) şeklindedir. .

  1. Konum fonksiyonunun grafiğini çizin ve fonksiyonun asimptotik davranışını gösteren grafiğin bir görünümünü görüntüleyin.
  2. hızı olarak bulun T yaklaşır ancak (mathrm{frac{π}{4}})'ye eşit değildir (varsa).
  1. Tanımsız veya sonsuz

(mathrm{r(t)=(frac{2t−1}{2t+1}) mathbf{i}+ln(1−4t^) konum fonksiyonuyla bir parçacığın hızını ve hızını bulun 2) mathbf{j}}). Bir parçacığın hızı, hızın büyüklüğüdür ve (mathrm{‖r′(t)‖}) ile temsil edilir.

Bir parçacık dairesel bir yarıçap yolunda hareket eder B (mathrm{r(t)=b cos(omega t) mathbf{i}+bsin(omega) mathbf{j},}) işlevine göre burada (mathrm{ omega}) açısal hızdır, (mathrm{frac{d heta}{dt}}).

Hız fonksiyonunu bulun ve (mathrm{v(t)}) öğesinin her zaman (mathrm{r(t)})'ye dik olduğunu gösterin.

(mathrm{r'(t)=−b omega sin( omega t) mathbf{i}+b omega cos(omega t)mathbf{j}}). Dikliği göstermek için, (mathrm{r'(t)⋅r(t)=0}) olduğuna dikkat edin.

Parçacığın hızının açısal hız ile orantılı olduğunu gösteriniz.

Verilen (mathrm{u(t)=t^2 mathbf{i}− (mathrm{frac{d}{dt}[u(t) imes u′(t)]}) değerini değerlendirin 2t mathbf{j}+mathbf{k}}).

(mathrm{0 mathbf{i} +2 mathbf{j}+4t mathbf{j}})

(mathrm{r'(t)=cos(2t) mathbf{i}−2sin t mathbf{j}+frac{1}{1+t^2} mathbf'nin ters türevini bulun {k}}) başlangıç ​​(mathrm{r(0)=3 mathbf{i}−2 mathbf{j}+mathbf{k}}) sağlayan {k}}).

(mathrm{int_0^3‖ti+t^2j‖dt}) değerlendirin.

(mathrm{frac{1}{3}(10^{frac{3}{2}}−1)})

Bir nesne, (mathrm{P(1,2,0)}) noktasında durgun halden başlar ve(mathrm{ a(t)=mathbf{j}+2 mathbf{k ivmesiyle hareket eder. },}) burada (mathrm{‖a(t)‖}) saniyede fit olarak ölçülür. (mathrm{t=2}) saniye sonra nesnenin konumunu bulun.

Vektör değerli bir fonksiyonla temsil edilen bir eğri boyunca hareket eden bir parçacığın hızı sabitse, hız fonksiyonunun her zaman ivme fonksiyonuna dik olduğunu gösterin.

(egin{align} mathrm{‖v(t)‖ ;} & mathrm{= k} mathrm{v(t)·v(t) ; } & mathrm{= k} mathrm{ddt(v(t)·v(t)) ; } & mathrm{=frac{d}{dt}k=0} mathrm{v(t)·v′( t)+v′(t)·v(t) ;} & mathrm{= 0} mathrm{2v(t)·v′(t) ;} & mathrm{= 0} mathrm{v(t)·v′(t) ;} & mathrm{= 0}end{hiza})

Son ifade, hız ve ivmenin dik veya ortogonal olduğunu ima eder.

Verilen (mathrm{r(t)=t mathbf{i}+3t mathbf{j}+t^2 mathbf{k}}) ve (mathrm{u(t)=4t mathbf) {i}+t^2 mathbf{j}+t^3 mathbf{k}}), bulun (mathrm{frac{d}{dt}(r(t) imes u(t)) )}).

Verilen (mathrm{r(t)=⟨t+ cos t,t− sin t⟩}), herhangi bir andaki hızı ve hızı bulun.

(mathrm{v(t)=⟨1− sin t,1−cos t⟩, hız=−v(t)‖=sqrt{4−2( sin t+cos t)}} )

(mathrm{r(t)=⟨e^t,e^{−t},0⟩}) fonksiyonu için hız vektörünü bulun.

(mathrm{t=0}) (mathrm{r(t)=⟨e^t,e^{−t},0⟩}) eğrisine teğet olan doğrunun denklemini bulun.

(mathrm{x−1=t,y−1=−t,z−0=0})

Vektör değerli fonksiyon (mathrm{r(t)=⟨6t,6t−t^2⟩}) tarafından temsil edilen eğriyi tanımlayın ve çizin.

(mathrm{r(t)=⟨6t,6t−t^2⟩}) eğrisi üzerindeki en yüksek noktayı bulun ve bu noktadaki fonksiyonun değerini verin.

(mathrm{r(t)=⟨18,9⟩}) (mathrm{t=3}) konumunda

Bir parçacığın konum vektörü (mathrm{r(t)=t mathbf{i}+t^2 mathbf{j}+t^3 mathbf{k}}'dır).Grafik burada gösterilmektedir. :

Herhangi bir zamanda hız vektörünü bulun.

Parçacığın (mathrm{t=2}) saniyedeki hızını bulun.

(mathrm{sqrt{593}})

(mathrm{t=2}) saniyedeki ivmeyi bulun.

Bir parçacık, (mathrm{r(t)= cos(t) mathbf{i}+sin(t) mathbf{j}+t mathbf{k} denklemiyle bir sarmalın yolu boyunca hareket eder. }). Burada sunulan grafiğe bakın:

Aşağıdakileri bulun:

Parçacığın herhangi bir zamanda hızı

(mathrm{v(t)=⟨−sin t,cos t,1⟩})

Parçacığın herhangi bir zamanda hızı

Parçacığın herhangi bir zamanda hızlanması

(mathrm{a(t)=−cos t mathbf{i}− sin t mathbf{j}+0 mathbf{j}})

Sarmal için birim teğet vektörünü bulun.

Bir parçacık bir elipsin yolu boyunca (mathrm{r(t)=cos t mathbf{i}+2 sin t mathbf{j}+0 mathbf{k}}}) denklemiyle hareket eder . Aşağıdakileri bulun:

Parçacığın hızı

(mathrm{v(t)=⟨−sin t,2 cos t,0⟩})

Parçacığın (mathrm{t=frac{π}{4}}) noktasındaki hızı

Parçacığın (mathrm{t=frac{π}{4}}) noktasındaki ivmesi

(mathrm{a(t)=⟨−frac{sqrt{2}}{2},−sqrt{2},0⟩})

Vektör değerli fonksiyon (mathrm{r(t)=⟨ an t,sec t,0⟩}) verildiğinde (grafik burada gösterilmiştir), aşağıdakini bulun:

Hız

Hız

(mathrm{‖v(t)‖=sqrt{sec ^4 t+sec ^2 t an ^2 t}=sqrt{sec ^2 t(sec ^2 t+ an ^2) T)}})

Hızlanma

(mathrm{r(t)=⟨t+cos t,t−sin t⟩}) mathrm{t∈[0,2π)}) eğrisi boyunca hareket eden bir parçacığın minimum hızını bulun.

2

Verilen (mathrm{r(t)=t mathbf{i}+2sin t mathbf{j}+2 cos t mathbf{k}}) ve (mathrm{u(t) =frac{1}{t} mathbf{i}+2 sin t mathbf{j}+2 cos t mathbf{k}}), aşağıdakini bulun:

(mathrm{r(t) imes u(t)})

(mathrm{frac{d}{dt}(r(t) imes u(t))})

(mathrm{⟨0,2 sin t(t− frac{1}{t})−2 cos t(1+ frac{1}{t^2}),2 sin t(1 + frac{1}{t^2})+2 cos t(t−frac{2}{t})⟩})

Şimdi, iki vektörün çapraz çarpımının türevi için çarpım kuralını kullanın ve bu sonucun önceki problemin cevabı ile aynı olduğunu gösterin.

Birim teğet vektörünü bulun T(t) aşağıdaki vektör değerli fonksiyonlar için.

(mathrm{r(t)=⟨t,frac{1}{t}⟩}). Grafik burada gösterilir:

(mathrm{T(t)=⟨frac{t^2}{sqrt{t^4+1}},frac{-1}{sqrt{t^4+1}⟩}} )

(mathrm{r(t)=⟨t cos t,t günah t⟩})

(mathrm{r(t)=⟨t+1,2t+1,2t+2⟩})

(mathrm{T(t)=frac{1}{3} ⟨1,2,2⟩})

Aşağıdaki integralleri değerlendirin:

(mathrm{int (e^t mathbf{i}+sin t mathbf{j}+ frac{1}{2t−1} mathbf{k})dt})

(mathrm{int_0^1 r(t)dt}), burada (mathrm{r(t)=⟨sqrt[3]{t},frac{1}{t+1}, e^{−t}⟩})

(mathrm{frac{3}{4}mathbf{i}+ln(2) mathbf{j}+(1−frac{1}{e}) mathbf{j}})

13.3: Yay Uzunluğu ve Eğrilik

Egzersizler

Verilen aralıktaki eğrinin yay uzunluğunu bulun.

(mathrm{r(t)=t^2 mathbf{i}+14t mathbf{j},0≤t≤7}). Grafiğin bu kısmı burada gösterilmektedir:

(mathrm{r(t)=t^2 mathbf{i}+(2t^2+1)mathbf{j},1≤t≤3})

(mathrm{8sqrt{5}})

(mathrm{r(t)=⟨2 sin t,5t,2 cos t⟩,0≤t≤π}). Grafiğin bu kısmı burada gösterilmektedir:

(mathrm{r(t)=⟨t^2+1,4t^3+3⟩,−1≤t≤0})

(mathrm{frac{1}{54}(37^{3/2}−1)})

(mathrm{r(t)=⟨e^{−t cos t},e^{−t sin t}⟩}) (mathrm{[0,frac{π}) aralığında {2}]}). Grafiğin belirtilen aralıktaki kısmı:

(mathrm{r(t)= frac{1}{2} cos t mathbf{i}+frac{1}{2} sin t tarafından verilen sarmalın bir tur uzunluğunu bulun mathbf{j}+sqrt{frac{3}{4}}t mathbf{k}.})

Uzunluk (mathrm{=2π})

(mathrm{r(t)=−t mathbf{i}+4t mathbf{j}+3t mathbf{k}}) vektör değerli fonksiyonunun yay uzunluğunu (mathrm{ üzerinde bulun) [0,1]}).

Bir parçacık, hareket denklemi (mathrm{r(t)=3 cos t mathbf{i}+3 sin t mathbf{j} +0 mathbf{k}}) ile bir daire içinde hareket eder . Parçacığın daire etrafında aldığı mesafeyi bulun.

(mathrm{6π})

(mathrm{r(t)= cos t mathbf{i}+2 sin t mathbf{j}+0mathbf{k} denklemiyle elipsin çevresini bulmak için bir integral kurun. })

(mathrm{r(t)=⟨sqrt{2}t,e^t,e^{−t}⟩}) eğrisinin uzunluğunu (mathrm{0≤t≤) aralığında bulun 1}). Grafik burada gösterilir:

(mathrm{e−frac{1}{e}})

(mathrm{t∈[−10,10]}) için (mathrm{r(t)=⟨2 sin t,5t,2 cos t⟩}) eğrisinin uzunluğunu bulun.

Bir parçacığın konum işlevi (mathrm{r(t)=a cos( ωt) mathbf{i}+b sin (ωt) mathbf{j}}) şeklindedir. (mathrm{t=0.}) noktasında birim teğet vektörü ve birim normal vektörü bulun

(mathrm{T(0)= ​​mathbf{j}, N(0)=−mathbf{i}})

(mathrm{r(t)=a cos (ωt) mathbf{i} +b sin (ωt) mathbf{j}}) verildiğinde, (mathrm{B(0) çift normal vektörünü bulun )}).

Verilen (mathrm{r(t)=⟨2e^t,e^t cos t,e^t sin t⟩}), tanjant vektörünü belirleyin (mathrm{T(t)}) .

(mathrm{T(t)=⟨2e^t,e^t cos t−e^t sin t,e^t cos t+e^t sin t⟩})

Verilen (mathrm{r(t)=⟨2e^t,e^t cos t,e^t sin t⟩}), birim tanjant vektörünü belirleyin (mathrm{T(t)} ) (mathrm{t=0}) olarak değerlendirilir.

Verilen (mathrm{r(t)=⟨2e^t,e^t cos t,e^t sin t⟩}), birim normal vektörünü bulun (mathrm{N(t)} ) (mathrm{t=0}), (mathrm{N(0)}) olarak değerlendirilir.

(mathrm{N(0)=⟨frac{sqrt{2}}{2},0,frac{sqrt{2}}{2}⟩})

Verilen (mathrm{r(t)=⟨2e^t,e^t cos t,e^t sin t⟩}), (mathrm{t=0}'da değerlendirilen birim normal vektörü bulun ).

Verilen (mathrm{r(t)=t mathbf{i}+t^2 mathbf{j}+tmathbf{k}}), birim tanjant vektörünü (mathrm{T(t) bulun )}). Grafik burada gösterilir:

(mathrm{T(t)=frac{1}{sqrt{4t^2+2}}<1,2t,1>})

Düzlem eğrisi için (mathrm{t=0})'da birim teğet vektörü (mathrm{T(t)}) ve birim normal vektörü (mathrm{N(t)}) bulun (mathrm{r(t)=⟨t^3−4t,5t^2−2⟩}). Grafik burada gösterilir:

(mathrm{r(t)=3t mathbf{i}+5t^2 mathbf{j}+2tmathbf{k} için (mathrm{T(t)}) birim tanjant vektörünü bulun })

(mathrm{T(t)=frac{1}{sqrt{100t^2+13}}(3mathbf{i}+10tmathbf{j}+2mathbf{k})} )

(mathrm{t=π/3}) tarafından belirlenen noktada (mathrm{r(t)=⟨6 cos t,6 sin t⟩}) eğrisinin ana normal vektörünü bulun .

(mathrm{r(t)=(t^3−4t) mathbf{i}+(5t^2−2)mathbf{j eğrisi için (mathrm{T(t)}) bulun }}).

(mathrm{T(t)=frac{1}{sqrt{9t^4+76t^2+16}}([3t^2−4]mathbf{i}+10tmathbf{j} )})

(mathrm{r(t)=(t^3−4t)mathbf{i}+(5t^2−2)mathbf{j eğrisi için (mathrm{N(t)}) bulun }}).

(mathrm{r(t)=⟨2sint,5t,2cost⟩}) için (mathrm{N(t)}) birim normal vektörünü bulun.

(mathrm{N(t)=⟨−sint,0,−cost⟩})

(mathrm{r(t)=⟨2 sin t,5t,2 cos t⟩}) için (mathrm{T(t)}) birim tanjant vektörünü bulun.

(mathrm{r(t)=⟨3−3t,4t⟩}) ile verilen doğru parçası için yay uzunluğu fonksiyonunu (mathrm{s(t)}) bulun. Yazmak r parametresi olarak s.

Yay uzunluğu işlevi: (mathrm{s(t)=5t}); r parametresi olarak s: (mathrm{r(s)=(3−frac{3s}{5})mathbf{i}+frac{4s}{5}mathbf{j}})

Yay uzunluğu parametresini kullanarak (mathrm{r(t)= cos t mathbf{i}+ sin t mathbf{j}+t mathbf{k}}) sarmalını parametrelendirin s, (mathrm{t=0}) konumundan.

Yay uzunluğu parametresini kullanarak eğriyi parametrelendirin s, (mathrm{r(t)=e^t sin t mathbf{i} + e^t cos t mathbf{j için (mathrm{t=0}) noktasında }})

(mathrm{(s)=(1+frac{s}{sqrt{2}}) sin ( ln (1+ frac{s}{sqrt{2}})) mathbf{ i} +(1+ frac{s}{sqrt{2}}) cos [ ln (1+frac{s}{sqrt{2}})]mathbf{j}})

(mathrm{r(t)=5 cos t mathbf{i}+4 sin t mathbf{j}}) eğrisinin (mathrm{t=π/3}'daki eğriliğini bulun ). (Not: Grafik bir elipstir.)

Bul x- (mathrm{y=1/x}) eğrisinin eğriliğinin bir maksimum değer olduğu koordinat.

Eğriliğin maksimum değeri (mathrm{x=sqrt[4]{5}}) konumunda gerçekleşir.

(mathrm{r(t)=5 cos t mathbf{i}+5 sin t mathbf{j}}) eğrisinin eğriliğini bulun. Eğrilik parametreye bağlı mı? T?

(mathrm{x=2}) noktasında (mathrm{y=x−frac{1}{4}x^2}) eğrisinin (κ) eğriliğini bulun.

(mathrm{frac{1}{2}})

(mathrm{x=1}) noktasında (mathrm{y=frac{1}{3}x^3}) eğrisinin (κ) eğriliğini bulun.

(mathrm{r(t)=t mathbf{i}+6t^2 mathbf{j}+4t mathbf{k}}) eğrisinin κκ eğriliğini bulun. Grafik burada gösterilir:

(mathrm{κ≈frac{49.477}{(17+144t^2)^{3/2}}})

(mathrm{r(t)=⟨2 sin t,5t,2 cos t⟩}) eğrisini bulun.

(mathrm{r(t)=sqrt{2}t mathbf{i}+e^t mathbf{j}+e^{−t} mathbf{k}}) eğrisini bulun nokta (mathrm{P(0,1,1)}).

(mathrm{frac{1}{2sqrt{2}}})

(mathrm{y=e^x}) eğrisi hangi noktada maksimum eğriliğe sahiptir?

(mathrm{y=e^x}) eğrisi için (mathrm{x→∞}) olarak eğriliğe ne olur?

Eğrilik sıfıra yaklaşıyor.

(mathrm{y=ln x}) eğrisinde maksimum eğrilik noktasını bulun.

(mathrm{r(t)=⟨2 sin (3t),t,2 cos (3t)⟩}) eğrisinin normal düzleminin denklemlerini ve salınım düzlemini bulun (mathrm) {(0,π,−2)}).

(mathrm{y=6x+π}) ve (mathrm{x+6=6π})

(mathrm{4y^2+9x^2=36}) elipsinin (mathrm{(2,0)}) ve (mathrm{(0) noktalarında salınımlı çemberlerinin denklemlerini bulun ,3)}).

(mathrm{r(t)=cos (2t) mathbf{i}+ sin (2t) eğrisinde (mathrm{t=π/4}) noktasındaki salınım düzleminin denklemini bulun ) mathbf{j}+t}).

(mathrm{x+2z=frac{π}{2}})

(mathrm{6y=x^3}) eğrisinin yarıçapını (mathrm{(2,frac{4}{3}).}) noktasında bulun

(mathrm{r(t)=⟨a cosh( t),b sinh (t)⟩}) hiperbolünün her (mathrm{(x,y)}) noktasındaki eğriliği bulun .

(mathrm{frac{a^4b^4}{(b^4x^2+a^4y^2)^{3/2}}})

(mathrm{r(t)=r sin (t) mathbf{i}+r cos (t) mathbf{j}+t mathbf{k}}) dairesel sarmalın eğriliğini hesaplayın .

(mathrm{y= ln (x+1)}) eğrisinin (mathrm{(2,ln 3)}) noktasındaki eğrilik yarıçapını bulun.

(mathrm{frac{10sqrt{10}}{3}})

(mathrm{(1,1)}) noktasında (mathrm{xy=1}) hiperbolünün eğrilik yarıçapını bulun.

Bir parçacık (mathrm{r(t)=t mathbf{i}+t^2 mathbf{j}}) ile tanımlanan C düzlem eğrisi boyunca hareket eder. Aşağıdaki sorunları çözün.

(mathrm{[0,2]}) aralığında eğrinin uzunluğunu bulun.

(mathrm{frac{38}{3}})

(mathrm{t=0,1,2}) noktasındaki düzlem eğrisinin eğriliğini bulun.

Eğriliği şu şekilde tanımlayın T (mathrm{t=0})'dan (mathrm{t=2})'ye yükselir.

Eğrilik bu aralıkta azalmaktadır.

Büyük bir bardağın yüzeyi, (mathrm{y=0.25x^{1.6}}) fonksiyonunun grafiğinin (mathrm{x=0})'den (mathrm{x'e döndürülmesiyle oluşturulur. =5}) hakkında y-eksen (santimetre cinsinden ölçülür).

[T] Yüzeyin grafiğini çıkarmak için teknolojiyi kullanın.

Üreten eğrinin eğriliğini (κ) fonksiyonu olarak bulun. x.

(mathrm{κ=frac{6}{x^{2/5}(25+4x^{6/5})}})

[T] Eğrilik fonksiyonunun grafiğini çizmek için teknolojiyi kullanın.

13.4: Uzayda Hareket

aN=a⋅N=‖v×a‖‖v‖=‖a‖2−aT−−−−−−−−√aN=a·N=‖v×a‖‖v‖=‖a‖2 -aT2

r(t)=(3t2−2)i+(2t−sin(t))j,r(t)=(3t2−2)i+(2t−sin(t))j verildiğinde, hareket eden bir parçacığın hızını bulun bu eğri boyunca.

v(t)=(6t)i+(2−cos(t))jv(t)=(6t)i+(2−cos(t))j

r(t)=(3t2−2)i+(2t−sin(t))j,r(t)=(3t2−2)i+(2t−sin(t))j verildiğinde, bir parçacığın ivme vektörünü bulun önceki alıştırmada eğri boyunca hareket etmek.

Aşağıdaki konum fonksiyonları verildiğinde, parametre cinsinden hız, ivme ve hızı bulun. T.

r(t)=⟨3cost,3sint,t2⟩r(t)=⟨3cost,3sint,t2⟩

v(t)=⟨−3sint,3cost,2t⟩,v(t)=⟨−3sint,3cost,2t⟩, a(t)=⟨−3cost,−3sint,2⟩,a(t)=⟨− 3cost,−3sint,2⟩, hız=9+4t2−−−−−√speed=9+4t2

r(t)=e−ti+t2j+tantkr(t)=e−ti+t2j+tantk

r(t)=2costj+3sintk.r(t)=2costj+3sintk. Grafik burada gösterilir:

v(t)=−2sintj+3costk,v(t)=−2sintj+3costk, a(t)=−2costj−3sintk,a(t)=−2costj−3sintk, hız=4sin2(t)+9cos2(t )−−−−−−−−−−−−−√hız=4sin2(t)+9cos2(t)

Verilen konum fonksiyonu ile bir parçacığın hızını, ivmesini ve hızını bulun.

r(t)=⟨t2−1,t⟩r(t)=⟨t2−1,t⟩

r(t)=⟨et,e−t⟩r(t)=⟨et,e−t⟩

v(t)=eti−e−tj,v(t)=eti−e−tj, a(t)=eti+e−tj,a(t)=eti+e−tj, ∥v(t)∥ e2t+e−2t−−−−−−−−√‖v(t)‖e2t+e−2t

r(t)=⟨sint,t,cost⟩.r(t)=⟨sint,t,cost⟩. Grafik burada gösterilir:

Bir nesnenin konum fonksiyonu r(t)=⟨t2,5t,t2−16t⟩.r(t)=⟨t2,5t,t2−16t⟩ ile verilir. Hız ne zaman minimumdur?

t=4t=4

r(t)=rcosh(ωt)i+rsinh(ωt)j.r(t)=rcosh(ωt)i+rsinh(ωt)j olsun. Hız ve ivme vektörlerini bulun ve ivmenin r(t).r(t) ile orantılı olduğunu gösterin.

Yuvarlanan bir dairenin çevresi üzerindeki bir noktanın hareketini düşünün. Daire yuvarlandıkça, sikloid r(t)=(ωt−sin(ωt))i+(1−cos(ωt))j,r(t)=(ωt−sin(ωt))i+(1− sikloidini üretir. cos(ωt))j, burada ωω dairenin açısal hızı ve b dairenin yarıçapıdır:

Parçacığın herhangi bir andaki hızı, ivmesi ve hızı için denklemleri bulun.

v(t)=(ω−ωcos(ωt))i+(ωsin(ωt))j,v(t)=(ω−ωcos(ωt))i+(ωsin(ωt))j,

a(t)=(ω2sin(ωt))i+(ω2cos(ωt))j,a(t)=(ω2sin(ωt))i+(ω2cos(ωt))j,

hız=ω2−2ω2cos(ωt)+ω2cos2(ωt)+ω2sin2(ωt)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −√=2ω2(1−cos(ωt))−−−−−−−−−−−−√hız=ω2−2ω2cos(ωt)+ω2cos2(ωt)+ω2sin2(ωt)=2ω2(1−cos (ωt))

Yelkenli planördeki bir kişi, konum vektörü r(t)=(3cost)i+(3sint)j+t2k.r(t)=(3cost)i+(3sint) olan bir yolda hızla yükselen havanın bir sonucu olarak yukarı doğru spiral çiziyor. )j+t2k. Yol, bir sarmal olmamasına rağmen, bir sarmalınkine benzer. Grafik burada gösterilir:

Aşağıdaki miktarları bulun:

Hız ve ivme vektörleri

Planörün herhangi bir zamanda hızı

∥v(t)∥=9+4t2−−−−−−√‖v(t)‖=9+4t2

Varsa, planörün ivmesinin hızına dik olduğu zamanlar

r(t)=⟨e−5tsint,e−5tcost,4e−5t⟩r(t)=⟨e−5tsint,e−5tcost,4e−5t⟩ hareket eden bir parçacığın konum vektörü olduğuna göre, aşağıdakini bulun miktarları:

Parçacığın hızı

v(t)=⟨e−5t(cost−5sint),−e−5t(sint+5cost),−20e−5t⟩v(t)=⟨e−5t(cost−5sint),−e−5t( sint+5cost),−20e−5t⟩

parçacığın hızı

Parçacık ivmesi

a(t)=⟨e−5t(−sint−5cost)−5e−5t(cost−5sint),a(t)=⟨e−5t(−sint−5cost)−5e−5t(cost−5sint), −e−5t(cost−5sint)+5e−5t(sint+5st),100e−5t⟩−e−5t(cost−5sint)+5e−5t(sint+5cost),100e−5t⟩

Otomobil 55 mil hızla giderken, yarıçapı 1 ft olan bir otomobil lastiğinin çevresindeki bir noktanın maksimum hızını bulun.

Bir mermi, yatayla 60°'lik bir açıyla 500 m/sn'lik bir başlangıç ​​hızıyla zemin seviyesinden havaya atılıyor. Grafik burada gösterilir:

Mermi maksimum yüksekliğe ne zaman ulaşır?

44.185 saniye

Merminin yaklaşık maksimum yüksekliği nedir?

Merminin maksimum menzili ne zaman elde edilir?

t=88.37t=88.37 sn

Maksimum aralık nedir?

Merminin toplam uçuş süresi nedir?

88.37 saniye

Bir mermi yerden 1.5 m yükseklikte 100 m/sn başlangıç ​​hızıyla ve yataydan 30° açıyla ateşleniyor. Aşağıdaki soruları yanıtlamak için bu bilgileri kullanın:

Merminin maksimum yüksekliğini belirleyin.

Merminin menzilini belirleyin.

Menzil yaklaşık 886,29 m'dir.

100 ft yüksekliğindeki bir binanın üst kenarından yatay yönde bir golf topu vuruluyor. Topun 450 ft uzağa inmesi için ne kadar hızlı fırlatılması gerekir?

Bir mermi yatayla 8° açı yapacak şekilde zemin seviyesinden ateşleniyor. Mermi 50 m menzile sahip olacaktır. Bu aralığı elde etmek için gereken minimum hızı bulun.

v=42.16v=42.16 m/sn

Düz bir çizgide sabit hızla hareket eden bir cismin ivmesinin sıfır olduğunu kanıtlayın.

Bir nesnenin ivmesi a(t)=tj+tk.a(t)=tj+tk ile verilir. t=1t=1 sn'deki hız v(1)=5jv(1)=5j'dir ve cismin t=1t=1sn'deki konumu r(1)=0i+0j+0k.r(1)='dir. 0i+0j+0k. Herhangi bir zamanda nesnenin konumunu bulun.

r(t)=0i+(16t3+4.5t-143)j+(t36−12t+13)kr(t)=0i+(16t3+4.5t-143)j+(t36−12t+13)k

a(t)=−32j,a(t)=−32j, v(0)=6003√i+600j,v(0)=6003i+600j ve r( olduğuna göre r(t)r(t)'yi bulun 0)=0.r(0)=0.

r(t)=acos(ωt)i+bsin(ωt)jr(t)=acos(ωt)i+bsin(ωt)j için t=0.t=0'da ivmenin teğetsel ve normal bileşenlerini bulun.

aT=0,aT=0, aN=aω2aN=aω2

r(t)=t2i+2tjr(t)=t2i+2tj ve t=1,t=1 verildiğinde, ivmenin teğetsel ve normal bileşenlerini bulun.

Aşağıdaki problemlerin her biri için ivmenin teğetsel ve normal bileşenlerini bulun.

r(t)=⟨etcost,etsint,et⟩.r(t)=⟨etcost,etsint,et⟩. Grafik burada gösterilir:

aT=3√et,aT=3et, aN=2√etaN=2et

r(t)=⟨cos(2t),sin(2t),1⟩r(t)=⟨cos(2t),sin(2t),1⟩

r(t)=⟨2t,t2,t33⟩r(t)=⟨2t,t2,t33⟩

aT=2t,aT=2t, aN=4+2t2aN=4+2t2

r(t)=⟨23(1+t)3/2,23(1−t)3/2,2√t⟩r(t)=⟨23(1+t)3/2,23(1− t)3/2,2t⟩

r(t)=⟨6t,3t2,2t3⟩r(t)=⟨6t,3t2,2t3⟩

aT6t+12t31+t4+t2√,aT6t+12t31+t4+t2, aN=61+4t2+t41+t2+t4−−−−−−√aN=61+4t2+t41+t2+t4

r(t)=t2i+t2j+t3kr(t)=t2i+t2j+t3k

r(t)=3cos(2πt)i+3sin(2πt)jr(t)=3cos(2πt)i+3sin(2πt)j

aT=0,aT=0, aN=23√πaN=23π

a(t)=i+etj,a(t)=i+etj, v(0)=2j,v(0)=2j olduğu göz önüne alındığında, konum vektörü değerli r(t),r(t) fonksiyonunu bulun ve r(0)=2i.r(0)=2i.

Bir parçacık üzerindeki kuvvet f(t)=(cost)i+(sint)j.f(t)=(cost)i+(sint)j ile verilir. Parçacık (c,0)(c,0) noktasında t=0.t=0'da bulunur. Parçacığın başlangıç ​​hızı v(0)=v0j.v(0)=v0j ile verilir. Kütle parçacığının yolunu bulun m. (Hatırlayın, F=m⋅a.)F=m·a.)

r(t)=(−1mcost+c+1m)i+(−sintm+(v0+1m)t)jr(t)=(−1mcost+c+1m)i+(−sintm+(v0+1m)t)j

2700 lb ağırlığındaki bir otomobil, 56 ft/sn hızla giderken düz bir yolda dönüş yapıyor. Dönüş yarıçapı 70 ft ise, arabanın kaymasını önlemek için gerekli sürtünme kuvveti nedir?

Kepler yasalarını kullanarak, v0=2GMr0−−−−√v0=2GMr0'ın θ=0θ=0 olduğunda bir nesnenin kütleden kaynaklanan merkezi bir kuvvetin çekiminden kurtulabilmesi için gereken minimum hız olduğu gösterilebilir. m. Use this result to find the minimum speed when θ=0θ=0 for a space capsule to escape from the gravitational pull of Earth if the probe is at an altitude of 300 km above Earth’s surface.

10.94 km/sec

Find the time in years it takes the dwarf planet Pluto to make one orbit about the Sun given that a=39.5a=39.5 A.U.

Suppose that the position function for an object in three dimensions is given by the equation r(t)=tcos(t)i+tsin(t)j+3tk.r(t)=tcos(t)i+tsin(t)j+3tk.

Show that the particle moves on a circular cone.

Find the angle between the velocity and acceleration vectors when t=1.5.t=1.5.

Find the tangential and normal components of acceleration when t=1.5.t=1.5.

aT=0.43m/sec2,aT=0.43m/sec2,

aN=2.46m/sec2aN=2.46m/sec2

Chapter Review Exercises

True or False? Justify your answer with a proof or a counterexample.

A parametric equation that passes through points P and Q can be given by r(t)=⟨t2,3t+1,t−2⟩,r(t)=⟨t2,3t+1,t−2⟩, where P(1,4,−1)P(1,4,−1) and Q(16,11,2).Q(16,11,2).

ddt[u(t)×u(t)]=2u′(t)×u(t)ddt[u(t)×u(t)]=2u′(t)×u(t)

False, ddt[u(t)×u(t)]=0ddt[u(t)×u(t)]=0

The curvature of a circle of radius rr is constant everywhere. Furthermore, the curvature is equal to 1/r.1/r.

The speed of a particle with a position function r(t)r(t) is (r′(t))/(|r′(t)|).(r′(t))/(|r′(t)|).

False, it is |r′(t)||r′(t)|

Find the domains of the vector-valued functions.

r(t)=⟨sin(t),ln(t),t√⟩r(t)=⟨sin(t),ln(t),t⟩

r(t)=⟨et,14−t√,sec(t)⟩r(t)=⟨et,14−t,sec(t)⟩

t<4,t<4, t≠nπ2t≠nπ2

Sketch the curves for the following vector equations. Use a calculator if needed.

[T] r(t)=⟨t2,t3⟩r(t)=⟨t2,t3⟩

[T] r(t)=⟨sin(20t)e−t,cos(20t)e−t,e−t⟩r(t)=⟨sin(20t)e−t,cos(20t)e−t,e−t⟩

Find a vector function that describes the following curves.

Intersection of the cylinder x2+y2=4x2+y2=4 with the plane x+z=6x+z=6

Intersection of the cone z=x2+y2−−−−−−√z=x2+y2 and plane z=y−4z=y−4

r(t)=⟨t,2−t28,−2−t28⟩r(t)=⟨t,2−t28,−2−t28⟩

Find the derivatives of u(t),u(t), u′(t),u′(t), u′(t)×u(t),u′(t)×u(t), u(t)×u′(t),u(t)×u′(t), and u(t)⋅u′(t).u(t)·u′(t). Find the unit tangent vector.

u(t)=⟨et,e−t⟩u(t)=⟨et,e−t⟩

u(t)=⟨t2,2t+6,4t5−12⟩u(t)=⟨t2,2t+6,4t5−12⟩

u′(t)=⟨2t,2,20t4⟩,u′(t)=⟨2t,2,20t4⟩, u′′(t)=⟨2,0,80t3⟩,u″(t)=⟨2,0,80t3⟩, ddt[u′(t)×u(t)]=⟨−480t3−160t4,24+75t2,12+4t⟩,ddt[u′(t)×u(t)]=⟨−480t3−160t4,24+75t2,12+4t⟩, ddt[u(t)×u′(t)]=⟨480t3+160t4,−24−75t2,−12−4t⟩,ddt[u(t)×u′(t)]=⟨480t3+160t4,−24−75t2,−12−4t⟩, ddt[u(t)⋅u′(t)]=720t8−9600t3+6t2+4,ddt[u(t)·u′(t)]=720t8−9600t3+6t2+4, unit tangent vector: T(t)=2t400t8+4t2+4√i+2400t8+4t2+4√j+20t4400t8+4t2+4√kT(t)=2t400t8+4t2+4i+2400t8+4t2+4j+20t4400t8+4t2+4k

Evaluate the following integrals.

∫(tan(t)sec(t)i−te3tj)dt∫(tan(t)sec(t)i−te3tj)dt

∫14u(t)dt,∫14u(t)dt, with u(t)=⟨ln(t)t,1t√,sin(tπ4)⟩u(t)=⟨ln(t)t,1t,sin(tπ4)⟩

ln(4)22i+2j+2(2+2√)πkln(4)22i+2j+2(2+2)πk

Find the length for the following curves.

r(t)=⟨3(t),4cos(t),4sin(t)⟩r(t)=⟨3(t),4cos(t),4sin(t)⟩ for 1≤t≤41≤t≤4

r(t)=2i+tj+3t2kr(t)=2i+tj+3t2k for 0≤t≤10≤t≤1

37√2+112sinh−1(6)372+112sinh−1(6)

Reparameterize the following functions with respect to their arc length measured from t=0t=0 in direction of increasing t.t.

r(t)=2ti+(4t−5)j+(1−3t)kr(t)=2ti+(4t−5)j+(1−3t)k

r(t)=cos(2t)i+8tj−sin(2t)kr(t)=cos(2t)i+8tj−sin(2t)k

r(t(s))=cos(2s65√)i+8s65√j−sin(2s65√)kr(t(s))=cos(2s65)i+8s65j−sin(2s65)k

Find the curvature for the following vector functions.

r(t)=(2sint)i−4tj+(2cost)kr(t)=(2sint)i−4tj+(2cost)k

r(t)=2√eti+2√e−tj+2tkr(t)=2eti+2e−tj+2tk

e2t(e2t+1)2e2t(e2t+1)2

Find the unit tangent vector, the unit normal vector, and the binormal vector for r(t)=2costi+3tj+2sintk.r(t)=2costi+3tj+2sintk.

Find the tangential and normal acceleration components with the position vector r(t)=⟨cost,sint,et⟩.r(t)=⟨cost,sint,et⟩.

aT=e2t1+e2t√,aT=e2t1+e2t, aN=2e2t+4e2tsintcost+1√1+e2t√aN=2e2t+4e2tsintcost+11+e2t

A Ferris wheel car is moving at a constant speed vv and has a constant radius r.r. Find the tangential and normal acceleration of the Ferris wheel car.

The position of a particle is given by r(t)=⟨t2,ln(t),sin(πt)⟩,r(t)=⟨t2,ln(t),sin(πt)⟩, where tt is measured in seconds and rr is measured in meters. Find the velocity, acceleration, and speed functions. What are the position, velocity, speed, and acceleration of the particle at 1 sec?

v(t)=⟨2t,1t,cos(πt)⟩v(t)=⟨2t,1t,cos(πt)⟩ m/sec, a(t)=⟨2,−1t2,−sin(πt)⟩m/sec2,a(t)=⟨2,−1t2,−sin(πt)⟩m/sec2, speed=4t2+1t2+cos2(πt)−−−−−−−−−−−−−−−√speed=4t2+1t2+cos2(πt) m/sec; at t=1,t=1, r(1)=⟨1,0,0⟩r(1)=⟨1,0,0⟩ m, v(1)=⟨2,−1,1⟩v(1)=⟨2,−1,1⟩ m/sec, a(1)=⟨2,−1,0⟩a(1)=⟨2,−1,0⟩ m/sec2, and speed=6√speed=6 m/sec

The following problems consider launching a cannonball out of a cannon. The cannonball is shot out of the cannon with an angle θθ and initial velocity v0.v0. The only force acting on the cannonball is gravity, so we begin with a constant acceleration a(t)=−gj.a(t)=−gj.

Find the velocity vector function v(t).v(t).

Find the position vector r(t)r(t) and the parametric representation for the position.

r(t)=v0t−g2t2j,r(t)=v0t−g2t2j, r(t)=⟨v0(cosθ)t,v0(sinθ)t,−g2t2⟩r(t)=⟨v0(cosθ)t,v0(sinθ)t,−g2t2⟩

At what angle do you need to fire the cannonball for the horizontal distance to be greatest? What is the total distance it would travel?


Videoyu izle: Calculus-II: Vektör Değerli Fonksiyon Nedir? Vector Valued Functions (Aralık 2021).