Nesne

5.4E:Alıştırmalar - Matematik


Alıştırma (PageIndex{1})

1) Verilen (vec{r(t)}=(3t^2−2)hat{mathbf i}+(2t−sin(t))hat{mathbf j}), hızı bulun Bu eğri boyunca hareket eden bir parçacığın

2) Verilen (vec{r(t)}=(3t^2−2)hat{mathbf i}+(2t−sin(t))hat{mathbf j}), ivmeyi bulun önceki alıştırmada eğri boyunca hareket eden bir parçacığın vektörü.

Cevap

1) (vec{v(t)}=(6t)hat{mathbf i}+(2−cos(t))hat{mathbf j})

Alıştırma (PageIndex{2})

Aşağıdaki konum fonksiyonları verildiğinde, hız, ivme ve hızı ( parametresi cinsinden bulunuz.T.)

1) (vec{r(t)}=⟨3cost, 3sint, t^2⟩)

2) (vec{r(t)}=e^{−t} hat{mathbf i}+t^2hat{mathbf j}+tan(t) hat{mathbf k} )

3) (vec{r(t)}=2cost hat{mathbf j}+3sint hat{mathbf k}.) Grafik burada gösterilmektedir:

4) (vec{r(t)}=⟨t^2−1,t⟩)

5) ( vec{r(t)}=⟨e^t,e^{−t}⟩)

6) (vec{r(t)}=⟨sint,t,cost⟩.) Grafik burada gösterilmektedir:

Cevap

1) (vec{v(t)}=⟨−3sint,3cost,2t⟩),(a(t)=⟨−3cost,−3sint,2⟩), hız (= sqrt{ 9+4t^2})

3)(vec{v(t)}=−2sinthat{mathbf j}+3costk, a(t)=−2costhat{mathbf j}−3sinthat{mathbf k}) , hız (= sqrt{4sin^2(t)+9cos^2(t))

5) (vec{v(t)}=e^that{mathbf i}−e^{−t}hat{mathbf j}, a(t)=e^that{ mathbf i}+e^{−t}hat{mathbf j}), hız (= sqrt{ e^{2t}+e^{−2t}})

Alıştırma (PageIndex{3})

1) Bir nesnenin konum fonksiyonu (vec{r(t)}=⟨t^2,5t,t^2−16t⟩ ile verilir.) Hız hangi andaki minimumdur?

2) (vec{r(t)}=rcosh(ωt)hat{mathbf i}+rsinh(ωt)hat{mathbf j} olsun.) Hız ve ivme vektörlerini bulun. Ayrıca, ivmenin (vec{r(t)}.) ile orantılı olduğunu gösterin.

3) Yuvarlanan bir dairenin çevresi üzerindeki bir noktanın hareketini düşünün. Daire yuvarlandıkça, (vec{r(t)}=(ωt−sin(ωt))hat{mathbf i}+(1−cos(ωt))hat{mathbf j sikloidini oluşturur. },) burada (ω) dairenin açısal hızı ve (b) dairenin yarıçapıdır.

Parçacığın herhangi bir andaki hızı, ivmesi ve hızı için denklemleri bulun.

Cevap

1) (t=4)

3) (vec{v(t)}=(ω−ωcos(ωt))hat{mathbf i}+(ωsin(ωt))hat{mathbf j}, a(t)=(ω ^2sin(ωt))i+(ω^2cos(ωt))hat{mathbf j},)

hız=(sqrt{ω^2−2ω^2cos(ωt)+ω^2cos^2(ωt)+ω^2sin^2(ωt)}= sqrt{2ω^2(1−cos(ωt) }).

Alıştırma (PageIndex{4})

Yelken planördeki bir kişi, konum vektörü (vec{r(t)}=(3cost)hat{mathbf i}+(3sint)hat olan bir yolda hızla yükselen havanın bir sonucu olarak yukarı doğru spiral çiziyor. {mathbf j}+t^2hat{mathbf k}.) Yol, sarmal olmasa da sarmalınkine benzer. Grafik burada gösterilir:

Bulmak

a) hız ve ivme vektörleri

b) herhangi bir zamanda planörün hızı

c) eğer varsa, planörün ivmesinin hızına ortogonal olduğu zamanlar

Cevap

b) hız= (sqrt{9+4t^2})

Alıştırma (PageIndex{5})

(vec{r(t)}=⟨e^{−5t} sin t,e^{−5t} cost,4e^{−5t}⟩ ) hareket eden bir parçacığın konum vektörü olduğuna göre, bulun aşağıdaki miktarlar:

a) Parçacığın hızı

b) Parçacığın hızı

c) Parçacığın ivmesi

Cevap

a) (vec{v(t)}=⟨e^{−5t}(cost−5sint),−e^{−5t}(sint+5cost),−20e^{−5t}⟩)

c) (vec{ a(t)}=⟨e^{−5t}(−sint−5cost)−5e^{−5t}(cost−5sint), −e^{−5t}(cost−5sint )+5e^{−5t} (sint+5cost),100e^{−5t}⟩)

Alıştırma (PageIndex{6})

Otomobil ( 55 ) mil hızla giderken, yarıçapı (1) ft olan bir otomobil lastiğinin çevresi üzerindeki bir noktanın maksimum hızını bulun.

Alıştırma (PageIndex{7})

Bir mermi, yatayla 60°'lik bir açıyla 500 m/sn'lik bir başlangıç ​​hızıyla zemin seviyesinden havaya atılıyor. Grafik burada gösterilir:

a) Mermi maksimum yüksekliğe ne zaman ulaşır?

b) Merminin yaklaşık maksimum yüksekliği nedir?

c) Merminin maksimum menziline ne zaman ulaşılır?

d) Maksimum aralık nedir?

e) Merminin toplam uçuş süresi ne kadardır?

Cevap

a) (44.185) sn, c) (t=88.37) sn, e) 88.37 sn

Alıştırma (PageIndex{8})

1) Bir mermi yerden 1.5 m yükseklikte 100 m/sn başlangıç ​​hızıyla ve yataydan 30° açıyla ateşleniyor. Aşağıdaki soruları yanıtlamak için bu bilgileri kullanın:

a) Merminin maksimum yüksekliğini belirleyin.

b) Merminin menzilini belirleyin.

2) 100 ft yüksekliğindeki bir binanın üst kenarından yatay yönde bir golf topu vuruluyor. Topun 450 ft uzağa inmesi için ne kadar hızlı fırlatılması gerekir?

3) Yer seviyesinden yatayla 8° açı yapacak şekilde bir mermi atılıyor. Mermi 50 m menzile sahip olacaktır. Bu aralığı elde etmek için gereken minimum hızı bulun.

4) Düz bir çizgide sabit hızla hareket eden bir cismin ivmesinin sıfır olduğunu kanıtlayın.

Cevap

1b) Menzil yaklaşık 886,29 m'dir.

3) 42,16 m/sn

Alıştırma (PageIndex{9})

1) Bir nesnenin ivmesi (vec{a(t)}=that{mathbf j}+that{mathbf k} ile verilir.) (t=1'deki hız ) sn (vec{ v(1)}=5hat{mathbf j}) ve nesnenin (t=1) sn'deki konumu (vec{r(1)'dir) }=0hat{mathbf i}+0hat{mathbf j}+0hat{mathbf k}) Herhangi bir zamanda nesnenin konumunu bulun.

2) (vec{a(t)}=−32hat{mathbf j}, vec{v(0)}=6003 hat verildiğinde (vec{r(t)})'yi bulun {mathbf i} +600hat{mathbf j}, ) ve (vec{ r(0)}=0.)

Cevap

1) (vec{r(t)}=0hat{mathbf i}+(frac{1}{6}t^3+4.5t−frac{14}{3})hat{ mathbf j}+(frac{1}{6}t^{3}−frac{1}{2}t-frac{1}{3})hat{mathbf k})

Alıştırma (PageIndex{10})

1) (vec{r(t)}=acos(ωt)hat{mathbf i}+bsin(ωt)hat{mathbf j} ) için ('deki ivmenin teğetsel ve normal bileşenlerini bulun t=0.)

2) Verilen (vec{r(t)}=t^2hat{mathbf i}+2that{mathbf j}) ve (t=1'deki ivmenin teğetsel ve normal bileşenlerini bulun .)

Cevap

1) (0, aω^2)

Alıştırma (PageIndex{11})

Aşağıdaki problemlerin her biri için ivmenin teğetsel ve normal bileşenlerini bulun.

1) (vec{r(t)}=⟨e^tcost,e^tsint,e^t⟩.) Grafik burada gösterilmektedir:

2) (vec{r(t)}=⟨cos(2t),sin(2t),1⟩)

3) (vec{r(t)}= ⟨2t,t^2,t^3⟩)

4) (vec{r(t)}= t^2hat{mathbf i}+t^2 hat{mathbf j}+t^3hat{mathbf k})

5) (vec{r(t)}= 3cos(2πt) hat{mathbf i}+3sin(2πt)hat{mathbf j})

Cevap

1) (3e^t, 2e^t)

3) (2t, 4+2t^2)

5) (0,23π)

Alıştırma (PageIndex{12})

1) Verilen (vec{a(t)}=hat{mathbf i}+e^that{mathbf) (vec{r(t)}) konum vektörü değerli fonksiyonunu bulun j}, vec{v(0)}=2hat{mathbf j} ve vec{r(0)}=2i.)

2) Bir parçacık üzerindeki kuvvet (vec{f(t)}=(cost)hat{mathbf i}+(sint)hat{mathbf j} tarafından verilir.) Parçacık şurada bulunur: nokta ((c,0)) at (t=0.) Parçacığın başlangıç ​​hızı (vec{v(0)}=v_0j) ile verilir. kitle m. (Hatırlayın, (F=m⋅a.))

3) 2700 lb ağırlığındaki bir otomobil 56 ft/sn hızla giderken düz bir yolda dönüş yapıyor. Dönüş yarıçapı 70 ft ise, arabanın kaymasını önlemek için gerekli sürtünme kuvveti nedir?

4) Kepler yasalarını kullanarak, bir cismin kütleden kaynaklanan merkezi bir kuvvetin çekiminden kurtulabilmesi için (θ=0) olduğunda gereken minimum hız (v_0=2GMr) olduğu gösterilebilir. m. Sonda Dünya yüzeyinden 300 km yükseklikte ise, bir uzay kapsülünün Dünya'nın yerçekimsel çekiminden kaçması için (θ=0) olduğunda minimum hızı bulmak için bu sonucu kullanın.

5) Cüce gezegen Plüton'un (a=39.5 A.U.) verildiğinde Güneş etrafında bir yörünge yapması için geçen süreyi yıl cinsinden bulun.

6) Üç boyutlu bir nesne için konum fonksiyonunun (vec{r(t)}=tcos(t) hat{mathbf i} +tsin(t) hat{mathbf denklemiyle verildiğini varsayalım. j}+3that{mathbf k}.)

a) Parçacığın dairesel bir koni üzerinde hareket ettiğini gösteriniz.

b) (t=1,5.) olduğunda hız ve ivme vektörleri arasındaki açıyı bulun.

c) (t=1,5.) olduğunda ivmenin teğetsel ve normal bileşenlerini bulun

Cevap

2)(vec{r(t)}=(−1mcost+c+1m)hat{mathbf i}+(−sintm+(v_0+1m)t)hat{mathbf j})

4)(10.94 km/sn)

6) (0,43 m/sn^2, 2,46 m/sn^2)


- 3 - - 5 değeri.

Parantez açmak ve yapılacak birden fazla işlem varsa değerleri girmek için ( tuşuna basın.

Gerçekleştirilecek birden fazla işlem varsa, değer girdikten sonra parantez kapatmak için ) tuşuna basın.

Bir sayının karesini hesaplamak için x 2'ye basın.

Üs fonksiyonunu hesaplamak için ^ tuşuna basın.

Bundan sonra basılan sayının kuvvetine yükseltilmiş 10 değerini hesaplamak için EXP'ye basın.

Karekökü hesaplamak için basın.

Çarpma için × tuşuna basın.

Bir sayının önüne eksi işareti koymak için ( − ) tuşuna basın.

Çıktıyı görüntülemek için ENTER'a basın.

Hesaplama sırası aşağıdaki sırada olmalıdır:

• Çarpma ve bölme, soldan sağa

• Toplama ve Çıkarma, soldan sağa

Hesaplama:

Hesap makinesinde bu hesaplamada kullanılan iki düğme vardır, çıkarma düğmesi − ve eksi düğmesi ( − ).

Aşağıdaki sırayla düğmelere basarak hesap makinesini kullanarak verilerin değerini hesaplayın:

Bu nedenle, hesap makinesinin ekranında 2 okunur.

Böylece, − 3 − − 5'in değeri 2'dir.

Bunun gibi daha eksiksiz çözümler görmek ister misiniz?

Konu uzmanları tarafından yazılmış milyonlarca ders kitabı sorununun adım adım çözümlerine erişmek için şimdi abone olun!


Fiziksel Kimya için Matematik

Fiziksel Kimya için Matematik genel olarak fizikokimya derslerine kaydolurken matematik becerilerini geliştirmek isteyen kimyagerler ve öğrenciler için ideal bir tamamlayıcı metindir. Bu kitap, yalnızca bir matematik metni olmanın aksine, matematiğin fiziksel kimya bağlamında kullanımını özellikle vurgulamaktadır.

Bu 4e, her bölümde, tartışma veya örnekten hemen sonra bir teknikte uygulama sağlayan ve kendi kendine çalışmayı teşvik eden yeni alıştırmalar içerir. İlk bölümler, daha gelişmiş materyallere kademeli bir ilerleme ile bir dizi matematiksel konu etrafında inşa edilmiştir. Son bir bölüm, deneysel verilerin analizinde ihtiyaç duyulan matematiksel konuları tartışır.

Fiziksel Kimya için Matematik genel olarak fizikokimya derslerine kaydolurken matematik becerilerini geliştirmek isteyen kimyagerler ve öğrenciler için ideal bir tamamlayıcı metindir. Bu kitap, yalnızca bir matematik metni olmanın aksine, matematiğin fiziksel kimya bağlamında kullanımını özellikle vurgulamaktadır.

Bu 4e, her bölümde, tartışma veya örnekten hemen sonra bir teknikte uygulama sağlayan ve kendi kendine çalışmayı teşvik eden yeni alıştırmalar içerir. İlk bölümler, daha gelişmiş materyallere kademeli bir ilerleme ile bir dizi matematiksel konu etrafında inşa edilmiştir. Son bir bölüm, deneysel verilerin analizinde ihtiyaç duyulan matematiksel konuları tartışır.


Diğer Alıştırmaların Cevapları

Bunlar, bu Çevrimiçi Kaynak Merkezinde bulunabilecek diğer alıştırmaların cevaplarıdır.

Belgeleri tek tek görüntüleyebilir ve indirebilirsiniz veya tüm belgeleri ZIP dosyası olarak indirebilirsiniz.

  • Bölüm 1 (PDF, Boyut: 122KB)
    • Aritmetik
    • Cebir
    • Doğrusal denklemler
    • ikinci dereceden denklemler
    • Bazı diğer denklemler ve teknikler
    • Türevler ve farklılaşma
    • Türevler iş başında
    • Fonksiyonların ve türevlerin ekonomik uygulamaları
    • esneklik
    • Bileşik büyüme ve mevcut iskonto edilmiş değer
    • Üstel fonksiyon ve logaritmalar
    • Sürekli büyüme ve doğal üstel fonksiyonlar
    • Üstel ve logaritmik fonksiyonların türevleri ve uygulamaları
    • İki veya daha fazla bağımsız değişkenin işlevleri
    • Maksimum ve minimum değerler, toplam fark ve uygulamalar
    • Sınırlı maksimum ve minimum değerler
    • Ölçeğe döner ve homojen fonksiyonlar kısmi esneklikler büyüme muhasebesi logaritmik ölçekler
    • Entegrasyon
    • Matris cebiri
    • Fark ve diferansiyel denklemler
    • Uzantılar ve gelecekteki yönergeler

    Kitap hakkında

    Yüksek Öğrenim web sitesinden daha fazla bilgi edinin, örnek bir bölüm okuyun veya öğretim görevlisiyseniz bir inceleme kopyası sipariş edin.


    Yazar hakkında

    J. DAVİD LOGAN, PHNS, Lincoln, Nebraska Üniversitesi'nde Willa Cather Matematik Profesörüdür. Aynı zamanda yazarıdır Bir Doğrusal Olmayan Kısmi Diferansiyel Denklemlere Giriş, İkinci Baskı ve Biyolojide Matematiksel Yöntemler, ikisi de Wiley tarafından yayınlandı. Dr. Logan, Arizona Üniversitesi, Kansas Eyalet Üniversitesi ve Rensselaer Politeknik Enstitüsü'ndeki fakültelerde görev yaptı ve Los Alamos Bilimsel Laboratuvarı, Lawrence Livermore Ulusal Laboratuvarı ve Havacılık ve Uzay Araştırma Laboratuvarı'na üye oldu.


    Mühendisler için Matematik, 4. Baskı

    MyMathLab Global'e erişimi olan kitabı mı arıyorsunuz? Bu ürün tek başına kitaptır ve MyMathLab Global'e erişimle birlikte GELMEZ. Satın almak Mühendisler için Matematik, 4e tarafından kroft MyMathLab Global erişim kartı 4e ile (ISBN 9781292077765) MyLab'a da erişmeniz gerekiyorsa ve bu mükemmel kaynaktan tasarruf edin.

    Temel matematiksel kavramları anlamak ve bunları başarılı bir şekilde problem çözmek için uygulamak, tüm mühendislik öğrencilerinin kazanması gereken hayati becerilerdir. Mühendisler için Matematik bu becerileri öğretir, geliştirir ve besler. Pratik, resmi olmayan ve erişilebilir, temellerle başlar ve daha da ileri konular için giriş materyali ile birlikte birinci yıl mühendislik matematiği kursu için tüm gereksinimleri kapsayacak daha karmaşık kavramları tanıtırken bu bilgiyi kademeli olarak geliştirir.

    Ekstra desteğe mi ihtiyacınız var?
    Bu ürün tek başına kitaptır ve MyMathLab Global'e erişimle birlikte GELMEZ.

    Bu başlık, öğrenciler tarafından kendi kendilerine çalışma için kullanılabilecek veya bir eğitmenin kursuna tam olarak entegre edilebilecek çevrimiçi bir ev ödevi ve eğitim sistemi olan MyMathLab Global tarafından desteklenebilir.


    MATH246 Egzersiz Ortamı (beta)

    5 gramlık bir kütle bir yaya dikey olarak asıldığında, dinlenme halinde yayı 2,45 cm uzar. (Yerçekimi ivmesi (g = 980 cm/sn^2) 'dir.) (t =0)'da kütle, 2 cm/sn'lik bir başlangıç ​​hızıyla denge konumundan hareket eder. Sönüm etkisinin ihmal edilebilir olduğunu kabul edeceğimiz nispeten küçük (t) değerleri için bu başlangıç ​​değer problemine bir çözüm bulun. Çözümünüzü (Acos(omega_0t -delta)) olarak yazın; burada (w_0) doğal frekans ve (delta) faz kaymasıdır.

    Egzersiz 2

    4 gramlık bir kütle bir yaya dikey olarak asıldığında, durgun halde yayı 9,8 cm uzar. (Yerçekimi ivmesi (g = 980 cm/sn^2) 'dir.) (t = 0)'da kütle denge konumundan 2 cm gerilir ve başlangıç ​​hızı olmadan serbest bırakılır. Sönüm etkisinin ihmal edilebilir olduğunu kabul edeceğimiz nispeten küçük (t) değerleri için bu başlangıç ​​değer problemine bir çözüm bulun. Çözümünüzü (Acos(omega_0t -delta)) olarak yazın; burada (w_0) doğal frekanstır ve (delta) faz kaymasıdır.

    Egzersiz 3

    8 librelik bir ağırlığın bir yayı 6 inç esnettiğini varsayalım. Standart birimler için yerçekimi sabitinin (32 ft/s^2) olduğunu hatırlayın (pound'un kütle değil bir kuvvet (ağırlık) birimi olduğunu da hatırlayın). Sönüm etkisinin ihmal edilebilir olduğunu ve kütleye etki eden herhangi bir dış kuvvetin olmadığını varsayarsak, kütlenin denge konumuna göre konumunu temsil eden bir ifade bulun. an 2 ft/s'lik bir başlangıç ​​hızıyla serbest bırakılır.

    Egzersiz 4

    4 librelik bir ağırlığın bir yayı 2 fit esnettiğini varsayalım. Standart birimler için yerçekimi sabitinin (32 ft/s^2) olduğunu hatırlayın (pound'un kütle değil bir kuvvet (ağırlık) birimi olduğunu hatırlayın) Kütlenin konumunu, kütlesine göre temsil eden bir ifade bulun. denge konumu, sönümlemenin etkisinin ihmal edilebilir olduğunu ve kütleye etki eden hiçbir dış kuvvetin olmadığını varsayarsak, burada kütle başlangıçta denge konumunun ötesinde bir ek (1/sqrt<3>) ft gerilir ve ile serbest bırakılır. 4 ft/s'lik bir başlangıç ​​hızı.

    Aşağıdaki denklemlerin her birinin yay üzerindeki bir kütlenin hareketini modellediğini varsayalım. Yayın kritik olarak sönümlü, aşırı sönümlü veya yetersiz sönümlü olup olmadığını belirleyin.

    Egzersiz 5

    Egzersiz 6

    Egzersiz 7

    Egzersiz 8

    Alıştırma 9

    Egzersiz 10

    Aşağıdaki sorunları çözün

    Egzersiz 11

    4 librelik bir ağırlığın bir yayı 3 inç esnettiğini varsayalım. Standart birimler için yerçekimi sabitinin (32 ft/s^2) olduğunu hatırlayın (pound'un kütle değil bir kuvvet (ağırlık) birimi olduğunu da hatırlayın). Kütle (2 ft/sn) hareket ederken, içinde hareket ettiği ortamın 6 librelik bir kuvvet verdiğini de varsayalım. Bu sistem aşırı sönümlü mü, kritik sönümlü mü veya yetersiz sönümlü mü? Uygun hesaplamalarla gerekçelendirin. (Çözüm aramanıza gerek yok Lütfen sadece sistemi sınıflandırın).

    Egzersiz 12

    4 librelik bir ağırlığın bir yayı 3 inç esnettiğini varsayalım. Standart birimler için yerçekimi sabitinin (32 ft/s^2) olduğunu hatırlayın (pound'un kütle değil bir kuvvet (ağırlık) birimi olduğunu da hatırlayın). Kütle (2 ft/sn) hareket ederken, içinde hareket ettiği ortamın 6 librelik bir kuvvet verdiğini de varsayalım. Yay başlangıçta denge konumundan 2 inç hareket ettirilir ve başlangıç ​​hızı olmadan serbest bırakılırsa, yayın konumunu ölçen bir (u(t)) fonksiyonu bulun.

    Egzersiz 13

    8 librelik bir ağırlığın bir yayı 6 inç esnettiğini varsayalım. Standart birimler için yerçekimi sabitinin (32 ft/s^2) olduğunu hatırlayın (pound'un kütle değil bir kuvvet (ağırlık) birimi olduğunu da hatırlayın). Kütle hareket ederken (2 ft/sn) içinde kütlenin hareket ettiği ortamın 8 librelik bir kuvvet verdiği sönümlemenin etkisini de göz önünde bulundurduğumuzu varsayalım. Bu sistem aşırı sönümlü mü, kritik sönümlü mü yoksa yetersiz sönümlü mü? Uygun hesaplamalarla gerekçelendirin. (Çözüm aramanıza gerek yok Lütfen sadece sistemi sınıflandırın).

    Egzersiz 14

    8 librelik bir ağırlığın bir yayı 6 inç esnettiğini varsayalım. Standart birimler için yerçekimi sabitinin (32 ft/s^2) olduğunu hatırlayın (pound'un kütle değil bir kuvvet (ağırlık) birimi olduğunu da hatırlayın). Kütle hareket ettiğinde (2 ft/sn) kütlenin hareket ettiği ortamın 8 librelik bir kuvvet verdiği sönümlemenin etkisini de göz önünde bulundurduğumuzu varsayalım. Yay denge konumundan 2 ft/sn'lik bir başlangıç ​​hızıyla hareket ederse, yayın konumunu ölçen bir (u(t)) fonksiyonu bulun.

    Egzersiz 15

    4 kg'lık bir kütlenin bir yayı 19,6 cm gerdiğini ve kütle 5 cm/s hızla hareket ederken, içinde hareket ettiği ortamın 3 N'luk bir viskoz kuvvet uyguladığını varsayalım. Bu sistem aşırı sönümlü mü, kritik sönümlü mü? yoksa sönük mü? Uygun hesaplamalarla gerekçelendirin. (Çözüm aramanıza gerek yok Lütfen sadece sistemi sınıflandırın).

    Alıştırma 16

    4 kg'lık bir kütlenin bir yayı 19,6 cm gerdiğini ve kütle 5 cm/s hızla hareket ederken, içinde hareket ettiği ortamın 3 N'luk bir viskoz kuvvet uyguladığını varsayalım. kütleye etki eden dış kuvvetler yoksa, denge konumuna göre kütle, ve 5 cm/s'lik bir başlangıç ​​hızı ile denge konumundan serbest bırakılır.

    Egzersiz 17

    2 kg'lık bir kütlenin bir yayı 4.9 metre uzattığını varsayalım. Ayrıca sönümlemenin etkisini ve kütle 1 m/s hareket ederken kütlenin hareket ettiği ortamın 4 N'luk bir kuvvet uyguladığını da göz önünde bulundurduğumuzu varsayalım. Bu sistem aşırı sönümlü mü, kritik sönümlü mü yoksa düşük sönümlü mü? Uygun hesaplamalarla gerekçelendirin. (Çözüm aramanıza gerek yok Lütfen sadece sistemi sınıflandırın).

    Egzersiz 18

    2 kg'lık bir kütlenin bir yayı 4.9 metre uzattığını varsayalım. Kütle 1 m/s hareket ettiğinde kütlenin hareket ettiği ortamın 4 N'luk bir kuvvet uyguladığını ve sönümlemenin etkisini de göz önünde bulundurduğumuzu varsayalım. Bu kütlenin denge konumundan 50 cm gerildiğini ve 1 m/s'lik ilk hız (geri itilerek, bu sistem için başlangıç ​​hızının aslında -1m/s olduğunu kastediyoruz). Kütle serbest bırakıldıktan sonraki (t) saniye boyunca kütlenin konumunu modelleyen bir fonksiyon bulun.

    Egzersiz 19

    2 sümüklü bir kütlenin bir yayı 1/2 ft gerdiğini varsayalım. Ayrıca, kütle 0,5 ft/sn hızla hareket ederken, içinde hareket ettiği ortamın 16 librelik bir viskoz kuvvet uyguladığını varsayalım.

    (a) Bu sistem az, kritik derecede sönümlü veya aşırı sönümlü mü?

    (b) Bazı başlangıç ​​koşulları verildiğinde, (u(t)) kütleye hiçbir dış kuvvet etki etmediğinde, kütlenin denge konumuna göre konumunu tanımlasın ve (U(t)) tanımlasın. (2cos(t)) ft-lbs'lik bir dış kuvvet uygulandığında kütlenin konumu. (u(t)) ve (U(t))'nin sınırlayıcı davranışını karşılaştırın. ( (u(t)) veya (U(t)) bulmanız gerekmez, ancak her birine ne olduğunu (t o infty) olarak söylemelisiniz).

    Egzersiz 20

    4 gramlık bir kütle bir yaya dikey olarak asıldığında, durgun halde yayı 39,2 cm esnetir. (Yerçekimi ivmesi (g = 980 cm/sn^2) 'dir.) Sönüm etkisinin ihmal edilebilir olduğunu ve kütleye, kütlenin olduğu yerde (44cos(6t)) dynes kuvvetinin sürekli olarak etki ettiğini varsayın. başlangıçta denge konumunda durmaktadır. Başlangıç ​​değeri problemini çözün. Ayrıca cevabınızı (A şeklinde yazmak için (cos(x pm y) = cos(x)cos(y) mp sin(x)sin(y)) formüllerini kullanın. sin(frac<2>)sin(frac<2>)) ve (0 < t< 6pi) için cevabınızı çizin.

    Egzersiz 21

    5 gramlık bir kütle bir yaya dikey olarak asıldığında, dinlenme halinde yayı 2,45 cm uzar. (Yerçekimi ivmesi (g = 980 cm/sn^2) 'dir.) Sönüm etkisinin ihmal edilebilir olduğunu ve kütlenin, kütlenin dynes olduğu yerde (256cos(12t)) kuvveti tarafından sürekli olarak etkilendiğini varsayın. başlangıçta denge konumunda durmaktadır. Başlangıç ​​değeri problemini çözün. Ayrıca, cevabınızı (A şeklinde yazmak için (cos(A pm B) = cos(A)cos(B) mp sin(A)sin(B)) formüllerini kullanın. sin(frac<2>)sin(frac<2>)) ve (0 < t< pi/2) için cevabınızı çizin.

    Egzersiz 22

    10 kg'lık bir kütlenin bir yayı 19,6 cm gerdiğini ve kütle 4 cm/s hızla hareket ederken, içinde hareket ettiği ortamın 4 N'luk bir viskoz kuvvet uyguladığını varsayalım.

    (a) Kütleye etki eden dış kuvvetler yoksa ve yayı başlangıçta denge konumundan 1 cm öteye uzatıyorsa ve başlangıç ​​hızı olmadan serbest bırakılıyorsa, kütlenin denge konumuna göre konumunu temsil eden bir ifade bulun. .

    (b) Bunun yerine, başlangıçta kütlenin denge konumunda hareketsiz olduğu bir (10 cos(t/2)) N'lik bir dış kuvvet verdiğimizi varsayalım. Kütlenin denge konumuna göre konumunu temsil eden bir ifade bulun.

    (c) (a) bölümündeki sonucunuzun davranışını, (b) bölümündeki sonucunuzla (t ightarrow infty) olarak karşılaştırın.

    Egzersiz 23

    4 gramlık bir kütle bir yaya dikey olarak asıldığında, durgun halde yayı 39,2 cm esnetir. (Yerçekimi ivmesi (g = 980 cm/sn^2) 'dir.) Sönüm etkisinin ihmal edilebilir olduğunu ve kütleye, kütlenin olduğu yerde (40cos(5t)) dynes kuvvetinin sürekli olarak etki ettiğini varsayın. başlangıçta denge konumunda durmaktadır. Başlangıç ​​değeri problemini çözün. Çözümü (t o infty) olarak tartışın

    Egzersiz 24

    Bir yay üzerindeki bir kütlenin dikey yer değiştirmesi (w(x) = 4e^ <-x>cos(14x) - 3e^<-x>sin(14x)) ile verilir, burada pozitif yer değiştirme yukarı yönde.

    (w(x))'yi genlik fazı biçiminde, yani (w(x) = Ae^<-x>cos(omega x - delta)) biçiminde ifade edin, burada (A>0 ) ve (delta in [0, 2pi)) . Salınım fazını (ters trig fonksiyonu olarak ifade edebilirsiniz) ve salınımın yarı periyodunu tanımlayın.

    Egzersiz 25

    Bir damgalama makinesi, pistona bağlı bir kalıp aracılığıyla metal levhalara çekiçleme kuvvetleri uygular. Sabit bir hızda dönen bir volan boyunca yukarı ve aşağı hareketi tanımlar. Metal levhanın üzerinde bulunduğu tabanın kütlesi (4000 kg)'dır. Tabana etki eden kuvvet (F(t) = 4000 sin(10t)) işleviyle tanımlanır, burada (t) süreyi saniye cinsinden ölçer. Taban, eşdeğer yay sabiti (4 imes 10^5 frac olan elastik bir temel tarafından desteklenir..) Dinlenme pozisyonunda tabanın başlangıçta (0.1 m) aşağı bastırıldığını bilerek, aşağıdakileri yazın ve cevaplayın:

    a) tabanın anlık konumunu tanımlayan diferansiyel denklem (örneğin (x(t)) )

    b) Yük rezonanslı bir titreşim veriyor mu? Rezonansın oluşup oluşmadığını nasıl belirleyebilirsiniz?

    c) a)'da hesapladığınız diferansiyel denklemi çözen tabanın anlık konumu (örneğin (x(t)) )

    Egzersiz 26

    Aşağıdaki denklemlerden biri, rezonansa giren bir kütle-yay sistemini tanımlar. Denklemi tanımlayın ve genel çözümünü bulun.

    Egzersiz 27

    Aşağıdaki diferansiyel denklem (2u'' + 3u' + alpha u = 0) tarafından açıklanan kütle-yay sistemini göz önünde bulundurun. Sistem hangi (alpha) değerleri için düşük, fazla veya kritik olarak sönümlü salınımı tanımlar?

    Egzersiz 28

    Aşağıdaki denklemde tanımlanan sistem hangi (eta) değerleri için rezonansa girer?

    Egzersiz 29

    Aşağıdaki diferansiyel ile tanımlanan kütle-yay sistemini düşünün.

    denklemi (4v'' + gamma v' + 36v = 0) . Sistem hangi (gamma) değerleri için düşük, fazla veya kritik olarak sönümlü salınımı tanımlar?

    Egzersiz 30

    Titreşimli bir sistem aşağıdaki diferansiyel denklemi sağlar:

    [z'' + alpha z' + z = 0.] Sönümlü hareketin yarı periyodu aşağıdaki değerden (%50\%) daha büyük olan (alpha)'nın değeri nedir? Sönümsüz karşılık gelen hareketin periyodu?

    Egzersiz 31

    Sönümsüz bir yay kütle sisteminin hareketi, aşağıdaki başlangıç ​​değer problemini sağlar:

    v'(0) = 2.] Bu başlangıç ​​değer probleminin çözümü nedir? (v(x)) ve (v'(x)) birbirleriyle nasıl karşılaştırılır?

    Egzersiz 32

    Yay kütle sisteminin konumu, başlangıç ​​değer problemi ile tanımlanır:

    z&39(0) = gamma.] Ortaya çıkan hareketin periyodu (pi) ve aynı hareketin genliği (3) ise, (eta) değerlerini belirleyin ve (gamma) koşulları sağlanacak şekilde.


    Özellikleri

    • Temel lineer cebir kavramlarına giriş metin boyunca çok değişkenli konuların daha genel terimlerle tanıtılmasını sağlar ve tek ve çok değişkenli hesaptaki kavramlar arasındaki bağlantıyı aydınlatır.
    • 600'den fazla diyagram ve şekil analitik çalışmayı geometriye bağlayın ve görselleştirmeye yardımcı olun.
    • Uygun düzeyde matematiksel titizlik teknik türevlerin çoğunu bölümlerin sonunda toplar. Referans için birçok kanıt mevcuttur, ancak ana fikirlerin akışını bozmayacak şekilde konumlandırılmıştır.
    • çok sayıda tam olarak çalışılmış örnekler öğrencileri motive etmek ve ana fikir ve teknikleri açıklamak için baştan sona entegre edilmiştir.
    • 1.400'den fazla egzersiz öğrencilerin ihtiyaçlarını karşılamak için özenle hazırlanmıştır: temel bilgilerle pratikten uygulamalara, orta seviye alıştırmalara ve daha zorlu kavramsal sorulara kadar. Ayrıca, bu teknolojiyi kursa dahil eden eğitmenler için isteğe bağlı CAS alıştırmaları da dahildir.
    • Bölüm sonu alıştırmaları öğrencilerin bölümdeki birden çok bölümden materyalleri sentezlemelerine yardımcı olmak için özenle hazırlanmıştır.
      • Doğru/yanlış alıştırmalar her bölümün sonunda görünür (toplam yaklaşık 230).

      Bu Sürümde Yeni

      • 210 ek egzersiz tüm seviyelerde öğrenciler için pratik ve eğitmenler için artırılmış ödev esnekliği sağlar.
      • Yeni, isteğe bağlı bölümler:
        • Bölüm 2.7 sistemlerine yaklaşım çözümleri için Newton yöntemiyle ilgili malzemeyi toplar. n denklemler n bilinmeyenler Bu yeni bölüm isteğe bağlıdır.
        • Bölüm 5.7 çoklu integrallere yaklaşmak için sayısal yöntemleri kapsar
        • Bölüm 2.2 limit özelliklerinin yeni kanıtlarını içerir
        • Bölüm 2.5 genel çok değişkenli zincir kuralının yeni kanıtlarını içerir.
        • Bölüm 4.1 Taylor teoreminin hem tek değişkenli hem de çok değişkenli versiyonlarının yeni kanıtlarını içerir.

        İçindekiler

        Sayı Teorisi Ortaya Çıktı: Bir Masterclass, kongrüanslar, güç kalıntıları, ikinci dereceden kalıntılar, asal sayılar ve Diophantine denklemlerine yeni bir bakış açısı sunar ve kriptografi, çarpanlara ayırma ve asallık testi gibi sıcak konuları sunar. Öğrenciler ayrıca Pascal üçgeni mod p'nin yapısı, polinomlar için Fermat'ın Son Teoremi ve geleneksel sorulardaki modern bükümler gibi güzel aydınlatıcı sorularla tanışırlar.

        Bu Masterclass sürümü, Sayı Teorisi Açığa Çıktı: Giriş'te bulunmayan birçok ek bölüm ve ek içerir. Bir sınıfı kendi ilgi alanlarına göre uyarlamak isteyen eğitmenler için idealdir ve iyi hazırlanmış öğrencilere kendilerine meydan okumaları ve temel sayı teorisi kavramlarının ötesine geçmeleri için daha fazla fırsat verir ve matematikteki birçok güncel temaya bir sıçrama tahtası görevi görür. Bir Masterclass'taki ek konular arasında, bir dairenin daireler halinde döşenmesi içindeki dairelerin eğriliği, asal sayılar arasındaki boşluklar hakkındaki en son keşifler, asalların sihirli kareleri, uyumlu eliptik eğriler için Mordell Teoreminin yeni bir kanıtı ve cebir ile bağlantılar, analiz, kriptografi ve dinamikler.

        Bu kitap Sayı Teorisi Açığa Çıktı: Seri'nin bir parçasıdır. Tam içindekiler tablolarını, örnek sorunları, ipuçlarını ve ekleri ve ayrıca gelecek ilgili ciltlerle ilgili güncellemeleri burada bulabilirsiniz.

        Andrew Granville, Montreal Üniversitesi'nde Sayı Teorisi alanında Kanada Araştırma Başkanı ve University College London'da matematik profesörüdür. 2008 Chauvenet Ödülü ve 2019 Halmos-Ford Ödülü de dahil olmak üzere matematikte anlatım için birçok uluslararası yazı ödülü kazandı ve şaşırtıcı olayları araştıran güzel resimli bir çizgi roman cinayet gizemi olan Prime Suspects'in (Princeton University Press, 2019) yazarıdır. tam sayıların ve permütasyonların anatomileri arasındaki bağlantılar.


        Notlarınızı geliştirmek için şimdi pratik yapın

        Bunu yapabilirsin! Hedeflerinize ulaşmak için daha akıllıca çalışmanıza yardımcı olalım. Siyavula Uygulaması, çevrimiçi soru sorduğunuzda size kendi hızınızda rehberlik eder.

        İki ( ext<+3>) ( ext ücreti)) ve (- ext<5>) ( ext) uzaklığı ( ext<40>) ( ext). İki yük arasındaki elektrostatik kuvvet nedir?

        ( ext<+6>) ( ext yükleri taşıyan iki iletken metal küre) ve (- ext<10>) ( ext) uzaklığı ( ext<20>) ( ext).

        Küreler arasındaki elektrostatik kuvvet nedir?

        İki küreye dokunulur ve ardından ( ext<60>) ( ext mesafesiyle ayrılır.). Kürelerdeki yeni yükler nelerdir?

        Küreler iletkendir ve bu nedenle temas ettiklerinde yük iki küreye eşit olarak yayılır. Yani her küredeki yeni yük:

        Bu mesafede küreler arasındaki yeni elektrostatik kuvvet nedir?

        ( ext<+3>) ( ext'in iki yüklü küresi arasındaki elektrostatik kuvvet) ve ( ext<+4>) ( ext) sırasıyla ( ext<0,4>) ( ext'tir). Küreler arasındaki mesafe nedir?

        Elektrik alan desen çizgilerini aşağıdakiler arasına çizin:

        iki eşit pozitif nokta yükü.

        iki eşit negatif nokta yükü.

        Yalıtılmış ayaklar üzerindeki iki küçük özdeş metal küre, sırasıyla (-q) ve (+3q) yüklerini taşır. Kürelerin merkezleri bir d mesafesi ile ayrıldığında, biri diğerine F büyüklüğünde bir elektrostatik kuvvet uygular.

        Küreler şimdi birbirine değecek şekilde yapılır ve daha sonra aynı d mesafesine geri getirilir. Şimdi bir kürenin diğerine uyguladığı elektrostatik kuvvetin büyüklüğü ne olacak?

        Üç nokta büyüklüğündeki yük ( ext<+1>) ( ext), ( ext<+1>) ( ext) ve (- ext<1>) ( ext) sırasıyla gösterildiği gibi bir eşkenar üçgenin üç köşesine yerleştirilir.

        (- ext<1>) ( ext'e etki eden bileşke kuvvetin yönünü en iyi hangi vektör temsil eder?) diğer iki yükün uyguladığı kuvvetlerin bir sonucu olarak yük?

        Coulomb yasasının bir ifadesini yazın.

        İki nokta yük arasındaki elektrostatik kuvvetin büyüklüğü, yüklerin büyüklüklerinin çarpımı ile doğru orantılı ve aralarındaki uzaklığın karesi ile ters orantılıdır.

        ( ext<+2>) ( ext) bir nokta yükü tarafından uygulanan kuvvetin büyüklüğünü hesaplayın) (- ext<3>) ( ext'in başka bir nokta yükü üzerinde) ( ext<60>) ( ext mesafesiyle ayrılır).

        ( ext<+2>) ( ext'in iki nokta yükü arasındaki elektrik alanını çizin) ve (- ext<3>) ( ext), sırasıyla ( ext<60>) ( ext) birbirinden ayrı.

        Bir nokta yükten (x) uzaklıkta elektrik alan şiddeti E'dir. Noktasal yükten (2x) uzaklıkta elektrik alan şiddetinin büyüklüğü nedir?


        Videoyu izle: Binali Yıldırım ile Trigonometri - Acil Yayınları (Aralık 2021).