Nesne

3.7: Tam Denklemler - Matematik


Bu bölümde birinci mertebeden diferansiyel denklemleri formda yazmak uygundur.

[label{eq:3.8.1} M(x,y),dx+N(x,y),dy=0.]

Bu denklem şu şekilde yorumlanabilir:

[label{eq:3.8.2} M(x,y)+N(x,y),{dyover dx}=0,]

burada (x) bağımsız değişken ve (y) bağımlı değişkendir veya

[label{eq:3.8.3} M(x,y),{dxdy üzerinde}+N(x,y)=0,]

burada (y) bağımsız değişken ve (x) bağımlı değişkendir. ef{eq:3.8.2} Denkleminin ve ef{eq:3.8.3} Denkleminin çözümlerinin genellikle örtük biçimde bırakılması gerekeceğinden, (F(x,y)=c) diyeceğiz. (F(x,y)=c)'yi sağlayan her türevlenebilir (y=y(x)) fonksiyonu ef Denkleminin bir çözümüyse, ef{eq:3.8.1} Denkleminin örtük bir çözümüdür. {eq:3.8.2} ve (F(x,y)=c)'yi sağlayan her türevlenebilir (x=x(y)) işlevi ef{eq:3.8.3} Denkleminin bir çözümüdür

İşte bazı örnekler:

Denklem ef{eq:3.8.1}Denklem ef{eq:3.8.2}Denklem ef{eq:3.8.3}
(3x^2y^2,dx+2x^3y,dy =0)(3x^2y^2+2x^3y, {dydx üzerinde} =0)(3x^2y^2, {dxdy üzerinde}+2x^3y=0)
((x^2+y^2),dx +2xy,dy=0)((x^2+y^2)+2xy, {dydx üzerinden}=0)((x^2+y^2), {dxdy üzerinde} +2xy=0)
(3ysin x,dx-2xycos x,dy =0)(3ysin x-2xycos x, {dyover dx} =0)(3ysin x, {dxdy üzerinde}-2xycos x =0)

Tablo (PageIndex{1}): Üç Formda Tam Diferansiyel Denklem Örnekleri

Ayrılabilir bir denklemin Denklem ef{eq:3.8.1} şeklinde yazılabileceğine dikkat edin.

[M(x),dx+N(y),dy=0. umara yok]

ef{eq:3.8.1} Denklemini (M) ve (N) üzerinde uygun varsayımlar altında çözmek için bir yöntem geliştireceğiz. Bu yöntem, değişkenleri ayırma yönteminin bir uzantısıdır. Bunu belirtmeden önce bir örnek ele alıyoruz.

Örnek (PageIndex{1})

Göstermektedir

[etiket{eq:3.8.4} x^4y^3+x^2y^5+2xy=c ]

örtük bir çözümdür

[label{eq:3.8.5} (4x^3y^3+2xy^5+2y),dx+(3x^4y^2+5x^2y^4+2x),dy=0. ]

Çözüm

(y)'yi (x)'in bir fonksiyonu olarak görmek ve ef{eq:3.8.4} Denklemini (x) verimlerine göre örtük olarak türevlendirmek

[(4x^3y^3+2xy^5+2y)+(3x^4y^2+5x^2y^4+2x),{dyover dx}=0. umara yok]

Benzer şekilde, (x)'i (y)'nin bir fonksiyonu olarak ele almak ve ef{eq:3.8.4} Denklemini (y) verimlerine göre örtük olarak türevlendirmek

[(4x^3y^3+2xy^5+2y){dxover dy}+(3x^4y^2+5x^2y^4+2x)=0. umara yok]

Bu nedenle Denklem ef{eq:3.8.4} Denklem ef{eq:3.8.5}'in iki olası yorumundan herhangi birinde örtük bir çözümüdür.

Örnek (PageIndex{1})'in anlamsız olduğunu düşünebilirsiniz, çünkü verilen bir örtük çözüme sahip bir diferansiyel denklem oluşturmak özellikle ilginç değildir. Ancak, Örnek (PageIndex{1}'de olduğu gibi, örtük türev kullanarak ispatlayacağımız bir sonraki önemli teoremi gösterir.

Teorem (PageIndex{1})

(F=F(x,y)) sürekli kısmi türevlere sahipse (F_x) ve (F_y), o zaman

[label{eq:3.8.6} F(x,y)=c ]

(sabit olarak (c) ile) diferansiyel denklemin örtük bir çözümüdür

[label{eq:3.8.7} F_x(x,y),dx+F_y(x,y),dy=0.]

Kanıt

(y)'yi (x)'in bir fonksiyonu olarak görmek ve ef{eq:3.8.6} Denklemini (x) verimlerine göre örtük olarak türevlendirmek

[F_x(x,y)+F_y(x,y),{dyover dx}=0. umara yok]

Öte yandan, (x)'i (y)'nin bir fonksiyonu olarak ele almak ve ef{eq:3.8.6} Denklemini (y) verimlerine göre örtük olarak türevlendirmek

[F_x(x,y),{dxdy üzerinden}+F_y(x,y)=0. umara yok]

Bu nedenle, Denklem ef{eq:3.8.6} Denklem ef{eq:3.8.7}'nin iki olası yorumundan herhangi birinde örtük bir çözümüdür.

denklemi diyeceğiz

[label{eq:3.8.8} M(x,y),dx+N(x,y),dy=0]

dır-dir bire bir aynı açık bir dikdörtgende (R) eğer bir (F=F(x,y)) fonksiyonu varsa (F_x) ve (F_y) süreklidir ve

[label{eq:3.8.9} F_x(x,y)=M(x,y) quad ext{ve} quad F_y(x,y)=N(x,y)]

(R) içindeki tüm ((x,y)) için. “Tam”ın bu kullanımı, deyimin yer aldığı hesaptaki kullanımıyla ilgilidir.

[F_x(x,y),dx+F_y(x,y),dy onumber ]

(Denklem ef{eq:3.8.9} Denklemini ef{eq:3.8.8} Denkleminin sol tarafına koyarak elde edilir) tam diferansiyel (F).

Örnek (PageIndex{1}), eğer tam ise ef{eq:3.8.8} Denklemini çözmenin kolay olduğunu gösterir. ve ef{eq:3.8.9} Denklemini sağlayan bir (F) fonksiyonu biliyoruz. Önemli sorular şunlardır:

  • Soru 1. Bir Denklem ef{eq:3.8.8} verildiğinde, bunun tam olup olmadığını nasıl belirleyebiliriz?
  • Soru 2. Eğer ef{eq:3.8.8} Denklemi tam ise, ef{eq:3.8.9} Denklemini sağlayan bir (F) fonksiyonunu nasıl buluruz?

1. Soru'nun cevabını bulmak için, bir açık dikdörtgen (R) üzerinde Denklemi ef{eq:3.8.9} sağlayan bir (F) fonksiyonu olduğunu ve buna ek olarak (F)'nin sürekli karışık kısmi türevler (F_{xy}) ve (F_{yx}). O zaman kalkulustan bir teorem, [label{eq:3.8.10} F_{xy}=F_{yx} olduğunu ima eder.] (F_x=M) ve (F_y=N), birincinin türevini alarak bu denklemlerden (y)'ye göre ve ikincisi (x)'ye göre verim

[label{eq:3.8.11} F_{xy}=M_y quad ext{and} quad F_{yx}=N_x.]

Denklem ef{eq:3.8.10} ve Denklem ef{eq:3.8.11}'den, kesinlik için gerekli bir koşulun (M_y=N_x) olduğu sonucuna varıyoruz. Bu, ispatsız olarak belirttiğimiz bir sonraki teoremi motive eder.

Teorem (PageIndex{2}): Kesinlik Koşulu

Diyelim ki (M) ve (N) sürekli ve açık bir dikdörtgen (R.) üzerinde sürekli kısmi türevleri (M_y) ve (N_x) var.

[M(x,y),dx+N(x,y),dy=0 onumber ]

(R) üzerinde kesindir, ancak ve ancak

[label{eq:3.8.12} M_y(x,y)=N_x(x,y)]

(R.) içindeki tüm ((x,y)) için.

Kesinlik koşulunu hatırlamanıza yardımcı olması için, (dx) ve (dy) katsayılarının Denklem ef{eq:3.8.12}'de "karşıt" değişkenlere göre farklılaştığını gözlemleyin; yani, (dx) katsayısı (y'ye göre türevlenirken, (dy) katsayısı (x)'ye göre türevlenir.

Örnek (PageIndex{2})

Denklemin olduğunu göster

[3x^2y,dx+4x^3,dy=0 onumber ]

herhangi bir açık dikdörtgende kesin değildir.

Çözüm

Buraya

[M(x,y)=3x^2y quad ext{and} quad N(x,y)=4x^3 onumber]

böyle

[M_y(x,y)=3x^2 quad ext{and} N_x(x,y)=12 x^2. umara yok]

Bu nedenle (M_y=N_x) (x=0) satırında, ancak herhangi bir açık dikdörtgende değil, dolayısıyla (F_x(x,y)=M(x, y)) ve (F_y(x,y)=N(x,y)) herhangi bir açık dikdörtgendeki tüm ((x,y)) için.

Sonraki örnek, (F_x=M) ve (F_y=N) if (M,dx+N,dy=0) koşulunu sağlayan bir (F) fonksiyonunu bulmak için iki olası yöntemi göstermektedir. ) kesindir.

Örnek (PageIndex{3})

Çözmek

[label{eq:3.8.13} (4x^3y^3+3x^2),dx+(3x^4y^2+6y^2),dy=0.]

Çözüm (Yöntem 1)

Burada [M(x,y)=4x^3y^3+3x^2,quad N(x,y)=3x^4y^2+6y^2, onumber ] ve [M_y(x, y)=N_x(x,y)=12 x^3y^2 onumber ] tüm ((x,y)) için. Bu nedenle Teorem (PageIndex{2}) öyle bir (F) fonksiyonu olduğunu ima eder:

[label{eq:3.8.14} F_x(x,y)=M(x,y)=4x^3y^3+3x^2]

ve

[label{eq:3.8.15} F_y(x,y)=N(x,y)=3x^4y^2+6y^2]

tümü için ((x,y)). (F)'yi bulmak için, ef{eq:3.8.14} Denklemini (x)'e göre entegre ederek şunu elde ederiz:

[label{eq:3.8.16} F(x,y)=x^4y^3+x^3+phi(y),]

burada (phi (y)) integrasyonun “sabiti”dir. (Burada (phi), integralin değişkeni olan (x)'den bağımsız olduğu için "sabit"tir.) Eğer (phi), (y)'nin herhangi bir türevlenebilir fonksiyonu ise, o zaman ( F) Denklemi ef{eq:3.8.14} karşılar. (phi)'yi (F)'nin ef{eq:3.8.15} denklemini de sağlayacak şekilde belirlemek için, (phi)'nin türevlenebilir olduğunu ve (F)'yi ('ye göre türevlendirdiğini varsayın. y). Bu verim

[F_y(x,y)=3x^4y^2+phi'(y). umara yok]

Bunu Denklem ef{eq:3.8.15} ile karşılaştırmak şunu gösterir:

[phi'(y)=6y^2. umara yok]

Bunu (y)'ye göre integral alıyoruz ve integral sabitini sıfır alıyoruz çünkü sadece bulmakla ilgileniyoruz. biraz (F) Denklem ef{eq:3.8.14} ve Denklem ef{eq:3.8.15}'i karşılayan. Bu verim

[phi (y)=2y^3. umara yok]

Bunu Denklem ef{eq:3.8.16} verimleriyle değiştirmek

[label{eq:3.8.17} F(x,y)=x^4y^3+x^3+2y^3.]

Şimdi Teorem (PageIndex{1}), [x^4y^3+x^3+2y^3=c onumber ] ifadesinin Denklem ef{eq:3.8.13}'nin örtük bir çözümü olduğunu ima eder. Bunu (y) için çözmek, açık çözümü verir

[y=sol(c-x^3over2+x^4sağ)^{1/3}. umara yok]

Çözüm (Yöntem 2)

İlk olarak ef{eq:3.8.14} Denklemini (x'e göre entegre etmek yerine), (y) ile ilgili Denklemi ef{eq:3.8.15} ile entegre ederek başlayabiliriz.

[label{eq:3.8.18} F(x,y)=x^4y^3+2y^3+psi (x),]

burada (psi), (x)'nin keyfi bir işlevidir. (psi) belirlemek için, (psi)'nin türevlenebilir olduğunu varsayıyoruz ve (F)'yi (x)'e göre farklılaştırıyoruz, bu da

[F_x(x,y)=4x^3y^3+psi'(x). umara yok]

Bunu Denklem ef{eq:3.8.14} ile karşılaştırmak şunu gösterir:

[psi'(x)=3x^2. umara yok]

Bunu entegre etmek ve tekrar entegrasyon sabitini sıfır verim olarak almak

[psi(x)=x^3. umara yok]

Bunu ef{eq:3.8.18} Denkleminde değiştirmek, Denklemi ef{eq:3.8.17} verir.

Şekil (PageIndex{1}), bir yön alanını ve Denklem ef{eq:3.8.13}'nin bazı integral eğrilerini gösterir.

İşte bu örneğin 1. Yönteminde kullanılan prosedürün bir özeti. Yöntem 2'de kullanılan prosedürü özetlemelisiniz.

NASIL: Tam Bir Denklemi Çözme Prosedürü (Yöntem 1)

  • Aşama 1. [label{eq:3.8.19} M(x,y),dx+N(x,y),dy=0] denkleminin (M_y=N_x) kesinlik koşulunu sağladığını kontrol edin. Değilse, bu prosedürle daha ileri gitmeyin.
  • Adım 2. [label{eq:3.8.20} elde etmek için [{partial F(x,y)overpartial x}=M(x,y) onumber ]'yi (x)'e göre entegre edin F(x,y)=G(x,y)+phi(y),] burada (G), (x)'e göre (M)'nin bir antitürevidir ve ( phi), (y)'nin bilinmeyen bir fonksiyonudur.
  • Aşama 3. [{partial F(x,y)overpartial y}={partial G(x,y)over'ı elde etmek için ef{eq:3.8.20} Denklemini (y)'ye göre türevlendirin partial y}+phi'(y). umara yok]
  • Adım 4. Bu denklemin sağ tarafını (N) ile eşitleyin ve (phi'); böylece, [{partial G(x,y)overpartial y}+phi'(y)=N(x,y), quad ext{so} quad phi'(y)= N(x,y)-{kısmi G(x,y)overkısmi y}. umara yok]
  • Adım 5. (phi')'yi (y'ye göre), integral sabitini sıfır olarak alın ve sonucu ef{eq:3.8.20} Denkleminde yerine koyarak (F(x,y) elde edin. )).
  • Adım 6. ef{eq:3.8.19} Denkleminin örtük bir çözümünü elde etmek için (F(x,y)=c) ayarlayın. Mümkünse, (y)'yi (x)'in bir fonksiyonu olarak açıkça çözün.

Yukarıdaki prosedürde Adım 6'yı atlamak yaygın bir hatadır. Ancak, F'nin kendisi ef{eq:3.8.19} Denkleminin bir çözümü olmadığı için bu adımı dahil etmek önemlidir. Birçok denklem, Örnek (PageIndex{3}) içinde kullanılan iki yöntemden biri ile kolaylıkla çözülebilir. Ancak bazen bir yaklaşımda gereken entegrasyon diğerinden daha zordur. Bu gibi durumlarda, daha kolay entegrasyon gerektiren yaklaşımı seçiyoruz.

Örnek (PageIndex{4})

Denklemi çözün

[label{eq:3.8.21} left( ye ^ { xy } an x + e ^ { xy } sec ^ { 2 } x sağ) dx + xe ^ { xy } an x , gün = 0]

Çözüm

( an x) ve (sn x) tanımlı herhangi bir açık dikdörtgende (M_y = N_x) olup olmadığını kontrol etmeyi size bırakıyoruz. Burada öyle bir F fonksiyonu bulmalıyız ki

[label{eq:3.8.22} F_x(x, y) = ye^{xy} an x + e^{xy} sec^2 x]

ve

[label{eq:3.8.23} F_y(x, y) = xe^{xy} an x. ]

ef{eq:3.8.22} Denklemini (x) açısından entegre etmek zordur, ancak ef{eq:3.8.23} Denklemini (y) açısından entegre etmek kolaydır. Bu verim

[label{eq:3.8.24} F(x, y) = e^{xy} an x + psi(x). ]

Bunu (x) verimlerine göre ayırt etmek

[F_x(x, y) = y e^{xy} an x + e^{xy} sec^2 x + psi'(x). umara yok]

Bunu ef{eq:3.8.22} Denklemi ile karşılaştırmak, (psi'(x) = 0) olduğunu gösterir. Dolayısıyla, (psi), Denklem ef{eq:3.8.24}'de sıfır olarak alabileceğimiz bir sabittir ve

[e^{xy} an x = c, onumber]

Denklem ef{eq:3.8.21}'nin örtük bir çözümüdür.

Prosedürümüzü kesin olmayan bir diferansiyel denkleme uygulamaya çalışmak 4. adımda başarısızlığa yol açacaktır, çünkü fonksiyon

[N - frac { kısmi G } { kısmi y } umara]

eğer (M_y eq N_x) ise (x)'den bağımsız olmayacaktır ve bu nedenle tek başına (y) fonksiyonunun türevi olamaz. Örnek (PageIndex{5}) bunu göstermektedir.

Örnek (PageIndex{5})

denklemi doğrulayın

[label{eq:3.8.25} 3x^2y^2,dx+6x^3y,dy=0]

kesin değildir ve tam denklemleri çözme prosedürünün Denklem ef{eq:3.8.25}'e uygulandığında başarısız olduğunu gösterin.

Çözüm

Burada [M_y(x,y)=6x^2y quad ext{and} quad N_x(x,y)=18x^2y, onumber ]

bu nedenle Denklem ef{eq:3.8.25} kesin değildir. Yine de, öyle bir (F) fonksiyonu bulmaya çalışalım:

[label{eq:3.8.26} F_x(x,y)=3x^2y^2]

ve

[label{eq:3.8.27} F_y(x,y)=6x^3y.]

ef{eq:3.8.26} Denklemini (x) verimlerine göre entegre etme

[F(x,y)=x^3y^2+phi(y), umara]

ve bunu (y) verimlerine göre ayırt etmek

[F_y(x,y)=2x^3y+phi'(y). umara yok]

Bu denklemin Denklem ef{eq:3.8.27} ile tutarlı olması için,

[6x^3y=2x^3y+phi'(y), umara]

veya

[phi'(y)=4x^3y. umara yok]

Bu bir çelişkidir, çünkü (phi') (x)'den bağımsız olmalıdır. Bu nedenle süreç


Tam ve Kesin Olmayan Denklemler

(3) x değişkenine göre birinci denklemi veya y değişkenine göre ikinci denklemi entegre edin. Entegre edilecek denklemin seçimi, hesaplamaların ne kadar kolay olduğuna bağlı olacaktır. İlk denklemin seçildiğini varsayalım, sonra şunu elde ederiz:

Fonksiyon orada olmalı, çünkü entegrasyonumuzda y değişkeninin sabit olduğunu varsaydık. (4) Türevini bulmak için sistemin ikinci denklemini kullanın. Gerçekten, biz var

Bunun yalnızca y'nin bir fonksiyonu olduğuna dikkat edin. Bu nedenle, değişkeni veren ifadede x yok olmalıdır. Aksi takdirde bir şeyler ters gitti! (5) İntegral yaparak (6) F ( x , y ) fonksiyonunu yazın (7) Bütün çözümler kapalı denklemle verilmiştir

(8) Size bir IVP verildiyse, C sabitini bulmak için başlangıç ​​koşulunu girin.

Denklem kesin değilse ne yaparız diye sorabilirsiniz. Bu durumda, verilen diferansiyel denklemi kesin yapan bir integral alma faktörü bulmaya çalışılabilir.


Basit bağlantılı ve açık bir alt küme verildi NS nın-nin r 2 ve iki işlev ben ve J üzerinde sürekli olanlar NS, formun bir örtük birinci mertebeden adi diferansiyel denklemi

ben ( x , y ) d x + J ( x , y ) d y = 0 ,

denir tam diferansiyel denklem sürekli türevlenebilir bir fonksiyon varsa F, aradı potansiyel fonksiyon, [1] [2] böylece

Tam bir denklem aşağıdaki biçimde de sunulabilir:

ben ( x , y ) + J ( x , y ) y ′ ( x ) = 0

aynı kısıtlamalar nerede ben ve J diferansiyel denklemin tam olması için geçerlidir.

"Tam diferansiyel denklem" terminolojisi, bir fonksiyonun tam diferansiyelini ifade eder. Bir fonksiyon için F ( x 0 , x 1 , . . . , x n − 1 , x n ) ,x_<1>.x_,x_)> , x 0'a göre tam veya toplam türev > ile verilir

Örnek Düzenleme

diferansiyel denklem için potansiyel bir fonksiyondur

Fiziksel uygulamalarda fonksiyonlar ben ve J genellikle sadece sürekli değil, hatta sürekli türevlenebilirdir. Schwarz Teoremi daha sonra bize potansiyel bir fonksiyonun varlığı için gerekli bir kriter sağlar. Basit bağlantılı kümelerde tanımlanan diferansiyel denklemler için kriter yeterlidir ve aşağıdaki teoremi elde ederiz:

Formun bir diferansiyel denklemi verildiğinde (örneğin, F x ve y yönünde eğimi sıfırdır. F(x,y)):

ben ( x , y ) d x + J ( x , y ) d y = 0 ,

ile birlikte ben ve J Basit bağlantılı ve açık bir alt kümede sürekli türevlenebilir NS nın-nin r 2 o zaman potansiyel bir fonksiyon F ancak ve ancak varsa vardır

Bazı basit bağlantılı ve açık alt kümelerde tanımlanmış bir tam diferansiyel denklem verildi NS nın-nin r 2 potansiyel işlevli F, türevlenebilir bir fonksiyon F ile birlikte (x, F(x)) içinde NS ancak ve ancak gerçek sayı varsa bir çözümdür C Böylece

yerel olarak potansiyel bir fonksiyon bulabiliriz

için y, nerede C gerçek bir sayıysa, tüm çözümleri oluşturabiliriz.

Tam diferansiyel denklemler kavramı, ikinci dereceden denklemlere genişletilebilir. [3] Birinci dereceden tam denklemle başlamayı düşünün:


Denklemlere Giriş

Bir denklem ile iki cebirsel ifadenin eşit olduğunu belirten matematiksel bir cümleyi kastediyoruz. Örneğin, a (b + c) =ab + ac, ab = ba ve x 2 -1 = (x-1)(x+1) tüm kullandığımız denklemlerdir. Değişkeni, belirli bir tartışma sırasında belirli bir kümeden sayılarla değiştirilebilecek bir harf olarak tanımladığımızı hatırlıyoruz. Bu belirtilen sayı kümesine bazen değiştirme kümesi denir. Bu bölümde, aksi belirtilmedikçe ikame kümesinin, denklemdeki tüm ifadelerin tanımlandığı tüm gerçek sayıların kümesi olduğu değişkenleri içeren denklemleri ele alacağız.

Değişken belirli bir sayı ile değiştirildikten sonra bir denklem doğruysa, sayıya denklemin çözümü denir ve onu sağladığı söylenir. Açıkçası, her çözüm değiştirme kümesinin bir üyesidir. Gerçek sayı 3, 2*3-1=3+2 olduğundan 2x-1 = x+2 denkleminin bir çözümüdür. 1 ise (x-1)(x+2) = 0 denkleminin bir çözümüdür. Bir denklemin tüm çözümlerinin kümesine denklemin çözüm kümesi denir.

Yukarıdaki ilk denklemde <3>çözüm kümesi, ikinci örnekte <-2,1>çözüm kümesidir. Bu sayıların her birinin kendi denkleminin bir çözümü olduğunu ikame yoluyla doğrulayabiliriz ve daha sonra bunların tek çözüm olduğunu göreceğiz.

Koşullu denklem, yerine koyma kümesindeki bazı sayılar tarafından sağlanan ve diğerleri tarafından karşılanmayan bir denklemdir. Bir özdeşlik, ikame kümesindeki tüm sayılar tarafından sağlanan bir denklemdir.

örnek 1 2x-1 = x+2 denklemini düşünün

Buradaki değiştirme kümesi, tüm gerçek sayıların kümesidir. Denklem koşulludur, çünkü örneğin 1, çözüm kümesinin değil, ikame kümesinin bir üyesidir.

Örnek 2 (x-1)(x+1) =x 2 -1 denklemini düşünün

Değiştirme kümesi, tüm gerçek sayıların kümesidir. Gerçek sayılar yasalarımıza göre, eğer a herhangi bir gerçek sayıysa, o zaman (a-1)(a+1) = a 2 -1

Bu nedenle, ikame kümesinin her üyesi aynı zamanda çözüm kümesinin bir üyesidir. Sonuç olarak bu denklem bir özdeşliktir.

Örnek 3 Dikkate almak

1/x ve (1- x)/x x = 0 için tanımlanmadığından, bu denklemin ikame kümesi 0 hariç reel sayılar kümesidir.

böylece orijinal denklem bir özdeşlik olur.

Örnek 4 Dikkate almak

Değiştirme kümesi, tüm negatif olmayan gerçek sayıların kümesidir, çünkü x negatifse gerçek bir sayı değildir. Denklem koşulludur, çünkü örneğin 4, çözüm kümesinin değil, ikame kümesinin bir üyesidir.


3.7: Tam Denklemler - Matematik

Bölüm 4 – Basit Denklemler

S.1. 20 yıl sonra Manoj şimdiki yaşının 5 katı olacak. Şimdiki yaşını bulun.

S.2. Bir sayının yarısına 45 eklenirse sonuç sayının üç katı olur. Numarayı bulun.

S.3. Bir ailede buğday tüketimi pirincin 4 katıdır. İki tahılın toplam tüketimi 80 kg'dır. Ailede tüketilen pirinç ve buğday miktarlarını bulunuz.

S.4. Anamika bir sayı düşündü. 2 ile çarpmış, ürüne 5 eklemiş ve sonuçta 17 elde etmiştir. Düşündüğü sayı neydi?

S.5. İki sayıdan biri diğerinin iki katıdır. Sayıların toplamı 12'dir. Sayıları bulun.

S.6. Bir sayı 6'ya bölündüğünde bölüm 6'yı verir. Sayı nedir?

S.7. Dikdörtgenin çevresi 40m'dir. Dikdörtgenin uzunluğu, genişliğinin 5 katından 4 m azdır. Dikdörtgenin uzunluğunu bulun.

S.8. 2'nin ardışık iki katının toplamı 18'dir. Sayıları bulun.

S.9. İki tamamlayıcı açı 20° farklılık gösterir. Açıları bulun.

S.10. 150, birinci kısmın ikinci kısmın iki katı olacak şekilde iki kısma ayrılmıştır. Parçaları bulun.

S.11. 60 kişilik bir sınıfta kızların sayısı erkeklerin sayısının üçte biri kadardır. Sınıftaki kız ve erkek öğrencilerin sayısını bulunuz.

S.12. Bir sayı 73'ten küçük olduğu kadar 27'den de büyüktür. Sayıyı bulun.

Çevrimiçi Öğrenimler 6. ve 12. Sınıflar için & Bireysel Çalışma Kursları & JEE / NEET


Çözüm

Bu denklemi resimlerle çözdüğünüzde 1 kiremitle dengelenen 3 torba elde etmiş oluyorsunuz. Bölmeyi yapmak için, karoyu kesmeniz gerekir, bu da sembolik olarak elde ettiğiniz çözüm olan 1/3 kesrine yol açar.

Bu denklemi resimlerle çözmek için, çıkarma işlemini 2x – 4$ olarak göstermenin bir yolunu bulmalısınız. Öğrencilerin tamsayı çipleri ile ilgili deneyimleri varsa, bu bilgiyi 2x + -4 $ gösterecek şekilde bu duruma aktarabilirler, ancak aksi takdirde fikirle mücadele edebilirler. Resimler bize denklemleri çözmek için yaptığımız işlemleri anlamak için güzel bir model veriyor, ancak bu sadece “güzel” sayılarla ilgili problemler için düzgün. Sembolik yaklaşıma geçmek istememizin bir nedeni de budur.

Her iki tarafta aynı sayıda $x$ ve farklı sabitler varsa, doğrusal bir denklemin çözümü olmayacaktır. Örneğin: 2x + 4 = 2x + 1$. Bunu resimlerle çözerseniz, her iki taraftan da 2x$'ı aldığınızda 4 = 1$ elde edersiniz ki bu kesinlikle dengelenemez. Denklemin sonsuz sayıda çözümü olsaydı, terazinin her iki tarafında da tamamen aynı resme sahip olduğunuzu görürdünüz.

Hata ilk adımdadır - öğrenci denklemin sol tarafının sadece bir kısmını 2'ye bölmüştür. Resimde, denklemi bu şekilde bölmenin denge seviyesini korumayacağını görebilirsiniz (iki torbanın eşit olduğunu varsayarak). eşit):


3.7: Tam Denklemler - Matematik

MDPI tarafından yayınlanan tüm makaleler, bir açık erişim lisansı altında dünya çapında anında kullanıma sunulmaktadır. Şekil ve tablolar dahil olmak üzere MDPI tarafından yayınlanan makalenin tamamının veya bir kısmının yeniden kullanılması için özel bir izin gerekmemektedir. Açık erişim Creative Common CC BY lisansı altında yayınlanan makaleler için, orijinal makaleden açıkça alıntı yapılması koşuluyla makalenin herhangi bir kısmı izinsiz olarak yeniden kullanılabilir.

Özellik Raporları, alanda yüksek etki için önemli potansiyele sahip en gelişmiş araştırmaları temsil eder. Özellik Bildirileri, bilimsel editörlerin bireysel daveti veya tavsiyesi üzerine sunulur ve yayınlanmadan önce hakem değerlendirmesine tabi tutulur.

Özellik Raporu, orijinal bir araştırma makalesi, genellikle birkaç teknik veya yaklaşımı içeren önemli bir yeni araştırma çalışması veya bilimsel alandaki en heyecan verici gelişmeleri sistematik olarak gözden geçiren, alandaki en son ilerleme hakkında kısa ve kesin güncellemeler içeren kapsamlı bir inceleme makalesi olabilir. Edebiyat. Bu tür kağıt, gelecekteki araştırma yönleri veya olası uygulamalar hakkında bir görünüm sağlar.

Editörün Seçimi makaleleri, dünyanın her yerinden MDPI dergilerinin bilimsel editörlerinin tavsiyelerine dayanmaktadır. Editörler, yazarlar için özellikle ilginç olacağına veya bu alanda önemli olacağına inandıkları dergide yakın zamanda yayınlanan az sayıda makaleyi seçerler. Amaç, derginin çeşitli araştırma alanlarında yayınlanan en heyecan verici çalışmalardan bazılarının anlık görüntüsünü sağlamaktır.


Bir Açıklamanın İnkarı

Tanım: A kapalı cümle doğru ya da yanlış olan nesnel bir ifadedir.

Böylece, Örnek 1'deki her kapalı cümle, aşağıda gösterildiği gibi, doğru veya yanlış bir doğruluk değerine sahiptir.

1. Her üçgenin üç kenarı vardır. NS
2. Albany, New York Eyaletinin başkentidir. NS
3. Hiçbir asal sayı çift değildir. yanlış

2 asal sayı olduğu için üçüncü cümlenin yanlış olduğuna dikkat edin. Kapalı bir cümlenin farklı zamanlarda farklı doğruluk değerlerine sahip olması mümkündür. Bu, aşağıdaki Örnek 2'de gösterilmiştir.

1. Bugün salı.
2. Bill Clinton, Amerika Birleşik Devletleri'nin 42. Başkanıydı.

Örnek 3: Aşağıdaki cümleleri inceleyiniz.

1. x + 3 = 7
2. Matematiği geçti.
3. y - 4 = 11
4. O benim erkek kardeşim.

Örnek 3'teki cümleler açık cümlelerdir.

Tanım: Bir açık cümle değişken içeren ve değişkenin yerine geçen değere bağlı olarak doğru veya yanlış olan bir ifadedir.

Örnek 3'e bir kez daha bakalım. Bu sefer her açık cümle için değişkeni tanımlayacağız.

1. x + 3 = 7 Değişken x'tir.
2. Matematiği geçti. Değişken o.
3. y - 4 = 11 Değişken y'dir.
4. O benim erkek kardeşim. Değişken o.

Değişkenleri belirlediğimize göre artık bu açık cümlelerin anlamlarını analiz edebiliriz. x yerine 4 gelirse 1. cümle doğrudur, x yerine 4'ten farklı bir sayı gelirse yanlıştır. y'nin yerine 15 gelirse 3. cümle doğrudur, aksi halde yanlıştır. Cümle 2, "she" değişkeninin değerine bağlı olarak doğru veya yanlıştır. Benzer şekilde, 4. cümle "he" değişkeninin değerine bağlı olarak doğru veya yanlıştır. Özetle, her açık cümlenin doğruluk değeri, o cümledeki değişkeni değiştirmek için hangi değerin kullanıldığına bağlıdır.

Verilen: p'nin "Beyzbol bir spordur" ifadesini temsil etmesine izin verin.
q'nun "Bir dolarda 100 sent var" ifadesini temsil etmesine izin verin.
r, "Ödevini yapıyor"u temsil etsin.
Diyelim ki, "Bir kuruş bir madeni para değildir."
Sorun: Aşağıdaki her bir cümleyi semboller kullanarak yazın ve doğru mu, yanlış mı yoksa açık mı olduğunu belirtin.

Örnek 5'te p'nin olumsuzluğunu bulmamız isteniyor.

Tanım: NS olumsuzlama p ifadesinin "p değil" ifadesidir. p'nin olumsuzlanması " ile sembolize edilir.

p, p'nin doğruluk değerinin tersidir.

Biraz daha olumsuzlama örneklerine bakalım.

Bir ifadenin tüm olası doğruluk değerlerini ve olumsuzluğunu belirlemek için bir doğruluk tablosu oluşturabiliriz.

Tanım: A doğruluk şeması bir ifadenin tüm olası doğruluk değerlerini bulmamıza yardımcı olur. Her ifade ya Doğru (T) ya da Yanlış (F), ancak ikisi birden değil.

Bağlantı: Bu tanımı hatırlamamıza yardımcı olması için, ya açık ya da kapalı ama ikisi birden olmayan bir bilgisayar düşünün.

Örnek 8: x'in olumsuzlanması için bir doğruluk tablosu oluşturun.

Örnek 8'de x doğru olduğunda,

x yanlıştır ve x yanlış olduğunda,

x doğrudur. Bu doğruluk tablosundan görebiliyoruz ki bir ifade ve onun olumsuzlaması zıt doğruluk değerlerine sahiptir.

Örnek 9: p'nin olumsuzlanması için bir doğruluk tablosu oluşturun.

Bir olumsuzlamayı da reddedebiliriz. Örneğin, olumsuzlama

p) veya p. Bu, aşağıdaki örnekte gösterilmiştir.

Örnek 10: p'nin olumsuzlanması ve p olmayanın olumsuzlanması için bir doğruluk tablosu oluşturun.

Özet: Bir ifade, doğru veya yanlış olan bir cümledir. Kapalı bir cümle, doğru veya yanlış olan nesnel bir ifadedir. Açık bir cümle, bir değişken içeren ve değişkenin yerini alan değere bağlı olarak doğru veya yanlış olan bir ifadedir. p ifadesinin olumsuzlanması "p" değil, " ile sembolize edilir

p". Bir ifade ve onun olumsuzlaması zıt doğruluk değerlerine sahiptir.

Egzersizler

Yönergeler: Aşağıdaki her soruyu okuyun. Düğmesine tıklayarak cevabınızı seçin. Cevabınıza ilişkin geri bildirim, SONUÇ KUTUSUNDA verilmektedir. Bir hata yaparsanız, farklı bir düğme seçin.


Ağlarda Salgın Matematiği

Yazarlar: Öpücük, István Z., miller, Joel, Simon, Peter L.

  • Ağlarda salgınları modellemede mevcut en son teknolojiyi ayrıntılarıyla anlatır
  • Ana ağ salgın modellerinin doğrudan karşılaştırmasını sunar ve hiyerarşilerini çözer
  • Daha titiz matematiksel keşif için fırsatları tanımlar
  • Çevrimiçi olarak sunulan gerçekleştirilmiş kod ile sözde kodla yazılmış pratik simülasyon algoritmaları içerir

Bu kitabı satın al

  • ISBN 978-3-319-50806-1
  • Dijital olarak filigranlı, DRM'siz
  • Dahil edilen biçim: EPUB, PDF
  • e-kitaplar tüm okuma cihazlarında kullanılabilir
  • Satın aldıktan sonra anında e-Kitap indirme
  • ISBN 978-3-319-50804-7
  • Dünya çapında bireyler için ücretsiz gönderim
  • Kurumsal müşteriler, hesap yöneticileriyle iletişime geçmelidir
  • Stokta varsa, genellikle 3 ila 5 iş günü içinde gönderilmeye hazır
  • ISBN 978-3-319-84494-7
  • Dünya çapında bireyler için ücretsiz gönderim
  • Kurumsal müşteriler, hesap yöneticileriyle iletişime geçmelidir
  • Stokta varsa, genellikle 3 ila 5 iş günü içinde gönderilmeye hazır
  • Ağlar üzerinde salgınları modellemede en son teknolojiyi, kitap boyunca işaretlenmiş sonuçlar ve kolayca kullanılabilir modeller ile özetlemek ve sunmak
  • Kesin ve çözülebilir modelleri formüle etmek için farklı matematiksel yaklaşımlar sunmak
  • Yaklaşık modeller ve onların titiz matematiksel temsilleri arasındaki somut bağlantıları belirleme
  • Bir model hiyerarşisi sunma ve model varsayımları ile model karmaşıklığı arasındaki bağlantıları açıkça vurgulama
  • Ağlar üzerinde stokastik süreçleri modellemekle uğraşan doktora öğrencileri, doktora sonrası araştırmacılar ve akademik uzmanların yanı sıra ileri düzey lisans öğrencileri için bir referans kaynağı sağlamak
  • Diferansiyel denklem modellerini çözebilen veya ağlarda salgınları doğrudan simüle edebilen yazılımlar sağlamak.

Dr. Öpücük: Dr. Kiss, ağ bilimi arayüzü, stokastik süreçler ve dinamik sistemler konusundaki araştırmalarıyla Sussex Üniversitesi Matematik Bölümü'nde bir Okuyucudur. Çalışmaları, statik ve dinamik ağlar üzerinde stokastik salgın süreçlerin modellenmesi ve analizine odaklanmaktadır. Şu anki ilgi alanları arasında yaklaşık modeller ve onların titiz matematiksel karşılıkları arasındaki kesin bağlantıların tanımlanması ve daha karmaşık yayılma süreçleri veya yapılandırılmış ağlar için yeni modeller formüle edilmesi yer almaktadır.

J.C. Miller: Dr. Miller, Seattle'daki Hastalık Modelleme Enstitüsü'nde Kıdemli Araştırma Bilimcisidir. Aynı zamanda Melbourne'deki Monash Üniversitesi'nde Matematik ve Biyoloji alanında ortak bir randevu ile Kıdemli Öğretim Görevlisi olarak görev yapmaktadır. Araştırma ilgi alanları arasında bulaşıcı hastalıkların dinamikleri, ağlardaki stokastik süreçler ve gözenekli ortamlarda sıvı akışı yer almaktadır. Çalışmalarının çoğu, bulaşıcı hastalık dinamikleri ile ağlardaki stokastik süreçlerin kesiştiği noktadadır.

Prof. Simon: Prof. Simon, Budapeşte Eötvös Loránd Üniversitesi Matematik Enstitüsü'nde profesördür. Sayısal Analiz ve Büyük Ağlar araştırma grubunun bir üyesi ve Uygulamalı Analiz ve Hesaplamalı Matematik Bölüm Başkanıdır. Araştırma ilgi alanları arasında dinamik sistemler, kısmi diferansiyel denklemler ve bunların kimya ve biyolojideki uygulamaları yer almaktadır. Özellikle, çalışmaları, diferansiyel denklemler kullanarak ağ süreçlerinin modellenmesi ve analizine odaklanmaktadır.

"Kitap, bir dizi titiz matematiksel argüman sağlayarak ve salgın modellerinin geçerliliğini ve optimal uygulanabilirlik aralığını doğrulayarak ağlar üzerinde salgın modelleme bilgisine katkıda bulunuyor. Araştırmacılar için iyi bir başvuru kılavuzu ve lisansüstü öğrenciler için kapsamlı bir ders kitabı olarak hizmet ediyor.” (Yilun Shang, Mathematical Reviews, Kasım, 2017)

“Bu, ağlardaki salgınları modelleme üzerine çıkan ilk kitaplardan biri. … Bu, matematiksel epidemiyolojiye ciddi ilgi duyan öğrencilere yönelik kapsamlı ve iyi yazılmış bir metindir. Diferansiyel denklemler, dinamik sistemler, olasılık ve stokastik süreçlerde bir miktar geçmişe sahip güçlü ileri düzey lisans öğrencileri veya lisansüstü öğrencileri için en uygun olanıdır. (William J. Satzer, MAA İncelemeleri, Eylül, 2017)


Çok Adımlı Denklemler

Çoğu zaman, denklemleri çözmek tek bir adımdan fazlasını gerektirir. Örneğin, bölümün başında size tanıttığım denklemi düşünün: 3x - 2 = 19. Eşit işaretinin x ile aynı tarafında sadece -2 değil, aynı zamanda 3'e tutunan bir nokta var. bu x, pantolon paçasına yapışmış kurutucu bir çarşaf gibi. x'i yalnız bırakmak (ve dolayısıyla denklemi çözmek) için, şimdiye kadar öğrendiğiniz tekniklerin her birini kullanarak her iki sayıdan da kurtulmanız gerekir. (Statik streç kontrolörlü bir yumuşatıcı da atmaktan zarar gelmez.)

Bir çözüm birden fazla adım gerektiriyorsa, izlemeniz gereken sıra şudur:

Konuşmak

3 denklemini düşününy - 7y = 12. 3'ten beriy ve -7y her ikisi de aynı değişken kısma sahiptir (y), arandılar benzer terimler ve katsayıları birleştirerek ve değişkeni yalnız bırakarak basitleştirebilirsiniz: 3y - 7y = -4y, 3 - 7 = -4 olduğundan, denklem şimdi -4y = 12.

dikkatlice tanımlayacağım benzer terimler ve bunları Polinomlara Giriş bölümünde daha ayrıntılı tartışın.

  1. Denklemin taraflarını ayrı ayrı sadeleştirin. Denklemde birbirine eklenen veya birbirinden çıkarılan öğelerin her birine denir. şartlar. İki terimin değişken kısmı tam olarak aynıysa, terimler olarak adlandırılırlar. benzer terimler, ve onları sayıymış gibi birleştirebilirsiniz.
  2. Değişkeni ayırın. Toplama ve çıkarmayı kullanarak, izole ettiğiniz değişkeni içeren tüm terimleri denklemin bir tarafına (genellikle sol) ve diğer her şeyi diğer tarafa (genellikle sağ) taşıyın. Şuna benzeyen bir şeye sahip olduğunuzda işiniz bitti: balta = b (bir sayı çarpı değişken bir sayıya eşittir).
  3. katsayısını ortadan kaldır. Değişkenin katsayısı 1'den farklı bir şeyse, ya ona bölmeniz ya da tersiyle çarpmanız gerekir (bu bölümde daha önce yaptığınız gibi).

Denklem çözme alıştırma gerektirir ve bunda ustalaşmadan önce biraz deneme yanılma yapmanız gerekecek. Cevaplarınızı kontrol etmeyi unutmayın! Bu noktadan sonra (yerden tasarruf etmek için) yanıt kontrolünü nadiren gösterecek olsam da, emin olun ki cevabı doğru aldığımdan emin olma şansını asla kaçırmadım! Sonunda, kafanızda değiştirerek ve işleri zihinsel olarak çözerek cevapları kontrol ederken kendinizi rahat hissedeceksiniz.

Örnek 2: Her denklemi çözün.

  • (a) 3x - 2 = 19
  • Çözüm: Sol tarafı sadeleştiremezsiniz, çünkü 3x ve -2 terimler gibi değildir, bu nedenle yapılacak ilk şey değişken terimi ayırmaktır. Bunu her iki tarafa da 2 ekleyerek gerçekleştirin.

Divide both sides by 3 to eliminate the coefficient.

  • 3x3 = 21 3
  • x = 7
  • (b) -14 = 2x + 4(x + 1)
  • Çözüm: You can do a bit of simplifying on the right side of the equation. Start by distributing that positive 4 into the quantity within parentheses.
  • -14 = 2x + 4 x + 4 1
  • -14 = 2x + 4x + 4
  • Simplify like terms 2x and 4x.
  • -14 = 6x + 4
  • At this point, the problem looks a lot like the equation from part (a), except the variable term appears on the right side of the equation. There's no problem with thatit's perfectly fine. In fact, if you leave the 6x on the right side, it's less work to separate the variable term. Just subtract 4 from both sides.

Divide both sides by 6 to eliminate the coefficient.

How'd You Do That?

In Example 2, part (b), I solved the equation by isolating the x on the right side, rather than the left side. To tell you the truth, I prefer x on the left side as a matter of personal taste, even though it doesn't affect the answer at all.

According to the symmetric property of algebra, you can swap sides of an equation without affecting its solution or outcome. In other words, I could have flip-flopped the sides of the equation in 2(B) to get 2x + 4(x + 1) = -14. If you solve that equation, you'll get x = -3, the exact same answer. So, if you ever wish the sides of an equation were reversed, go ahead and flip them without fear.

  • (c) -3(x + 7) = -2(x - 1) + 5
  • Çözüm: You can apply the distributive property on both sides of the equal sign to begin.
  • -3x - 21 = -2x + 2 + 5
  • Simplify the right side by combining the 2 and 5 (which are technically like terms, since they have the exact same variable partno variables at all).
  • -3x - 21 = -2x + 7
  • Now, it's time to separate the variable term. Do this by adding 2x to both sides (to remove all x terms from the right side of the equation) and adding 21 to both sides as well (to remove plain old numbers from the left side of the equation).
Critical Point

As demonstrated in Example 2(C), a negative variable like -w technically has an implied coefficient of -1, so you can rewrite it as -1w if you wish. (This is similar to implied exponents, where a plain old variable like w has an implied coefficient of 1, so w = 1w 1 .)

  • At this point, you have -x = 28, which means "the opposite of the answer equals 28." Therefore, the correct answer is x = -28 (since -28 is the opposite of 28).
  • Here's another way to get the final answer: Since -x = -1 x, you can rewrite the final line of the equation so it looks like it has a coefficient and divide by that -1 coefficient:
  • -1x1 = 28 1
  • x = -28
  • (NS) y + 3 = 1 4y + 5
  • Çözüm: Since there are no like terms together on one side of the equation, skip right to separating the variable terms. Accomplish this by subtracting 1 4y and 3 on both sides of the equation. (By the way, even though the variable is y, not x, in this equation, that doesn't change the way you solve it.)
You've Got Problems

Problem 3: Solve the equations.

(b) 2x - 7 = 4x + 13

  • Since the coefficient is fractional, multiply both sides by its reciprocal to finish.
  • 4 3 ( 3 4y = ( 4 3) 2 1
  • 12 12y = 8 3
  • y 8 3
  • Since 8 and 3 have no common factors (other than 1), the improper fraction cannot be simplified, so leave it as is.

W. Michael Kelley tarafından yazılan The Complete Idiot's Guide to Algebra 2004'ten alınmıştır. Herhangi bir biçimde kısmen veya tamamen çoğaltma hakkı da dahil olmak üzere tüm hakları saklıdır. Düzenleme ile kullanılır Alfa Kitapları, Penguin Group (ABD) Inc.'in bir üyesi


Videoyu izle: Karekök 0 Matematik - Denklem ve Eşitsizlik - (Aralık 2021).

1. Bir kuruş bir madeni paradır.