Nesne

4.1: Trigonometrik Kimlikler


Odak Soruları

Aşağıdaki sorular, bu bölümdeki materyalle ilgili çalışmamıza rehberlik etmeyi amaçlamaktadır. Bu bölümü çalıştıktan sonra, bu soruların motive ettiği kavramları anlamalı ve bu sorulara kesin, tutarlı cevaplar yazabilmeliyiz.

  • kimlik nedir?
  • Bir kimliği nasıl doğrularız?

(sin(2x) = cos(x)) trigonometrik denklemini düşünün. Mevcut bilgilerimize dayanarak, ilgili fonksiyonların periyotları farklı olduğu için böyle bir denklemi tam olarak çözmek zor olabilir. Bu denklemi nispeten kolay bir şekilde çözmemize izin verecek olan şey, bir trigonometrik özdeşliktir ve bu denklemi bir sonraki bölümde açıkça çözeceğiz. Bu bölüm trigonometrik kimliklere bir giriş niteliğindedir.

Bölüm 2.6'da tartıştığımız gibi, matematiksel bir denklem like (x^{2} = 1), değişkenin bazı değerleri için doğru olabilecek iki ifade arasındaki bir ilişkidir. Bir denklemi çözmek, iki ifadeyi birbirine eşit yapan değişkenlerin tüm değerlerini bulmak demektir. Bir Kimlik, değişkenin tüm izin verilen değerleri için doğru olan bir denklemdir. Örneğin, önceki cebir derslerinden gördük ki

[x^{2} - 1 = (x + 1)(x - 1)]

tüm gerçek sayılar için (x). Bu bir cebirsel özdeşliktir çünkü (x)'nin tüm reel sayı değerleri için doğrudur. Bir trigonometrik özdeşliğe bir örnek, (cos^{2} + sin^{2} = 1)'dir, çünkü bu, (x'in tüm gerçek sayı değerleri için geçerlidir).

Yani eşitliğin ne zaman geçerli olduğunu belirlemek için denklemleri çözerken, bir özdeşlikteki eşitlik her zaman geçerli olduğundan, bir özdeşliği çözmek için hiçbir neden yoktur. Her özdeşlik bir denklemdir, ancak her denklem bir özdeşlik değildir. Bir denklemin bir özdeşlik olduğunu bilmek için, denklemdeki iki ifadenin her zaman birbirine eşit olduğuna dair ikna edici bir argüman sağlamak gerekir. Böyle ikna edici bir argümana denir kanıt ve trigonometrik kimlikleri doğrulamak için kanıtları kullanıyoruz.

Tanım: Kimlik

Bir Kimlik ilgili değişkenlerin tüm izin verilen değerleri için doğru olan bir denklemdir.

Başlangıç ​​Etkinliği

  1. (y = cos(x - dfrac{pi}{2})) ve (y = sin(x + dfrac{pi}{2}) grafiğini çizmek için bir grafik aracı kullanın ) aynı eksen kümesinde ([-2pi, 2pi]) aralığı üzerinde. (cos(x - dfrac{pi}{2})) ve (sin(x + dfrac{pi}{2})) iki ifadesi aynı mı? her (x) girdisi için aynı değere sahipler mi? Eğer öyleyse, grafiklerin ifadelerin aynı olduğunu nasıl gösterdiğini açıklayın. Değilse, (cos(x - dfrac{pi}{2})) ve (y = sin(x + dfrac{pi) olan en az bir (x) değeri bulun }{2})) farklı değerlere sahiptir.
  2. (y = cos(x - dfrac{pi}{2})) ve (y = sin(x))'nin grafiğini ([-2" aralığı boyunca çizmek için bir grafik yardımcı programı kullanın. pi , 2pi]) aynı eksen kümesinde. (cos(x - dfrac{pi}{2})) ve (sin(x)) iki ifadesi aynı mı – yani, her girdi için aynı değere sahipler mi? x)? Eğer öyleyse, grafiklerin ifadelerin aynı olduğunu nasıl gösterdiğini açıklayın. Değilse, (cos(x - dfrac{pi}{2})) ve (sin(x))'nin farklı değerlere sahip olduğu en az bir (x) değeri bulun.

Bilinen Bazı Trigonometrik Kimlikler

Bazı önemli trigonometrik kimlikleri zaten belirledik. Yeni kimlikler oluşturmaya yardımcı olması için aşağıdaki kimlikleri kullanabiliriz.

Pisagorcu Kimlik

Bu özdeşlik, trigonometrinin gelişimi için esastır. Bölüm 1.2'ye bakın.

Tüm gerçek sayılar için (t),

[cos^{2} + sin^{2} = 1.]

Tanımlardan Kimlikler

Tanjant, kotanjant, sekant ve kosekant fonksiyonlarının tanımları Bölüm 1.6'da tanıtıldı. Aşağıdakiler, her bir denklemin sağ tarafının tanımlandığı tüm (t) değerleri için geçerlidir.

[ an(t) = dfrac{sin(t)}{cos(t)}]

[cot(t) = dfrac{cos(t)}{sin(t)}]

[sec(t) = dfrac{1}{cos(t)}]

[csc(t) = dfrac{1}{sin(t)}]

Negatif Kimlikler

Negatifler, grafiklerin simetrisi tartışılırken Bölüm 2'de tanıtıldı. (Bkz. sayfa 82 ve Alıştırma (2), sayfa 139.)

[cos(-t) = cos(t)]

[sin(-t) = -sin(t)]

[ an(-t) = - an(t)]

Kosinüs ve sinüs için negatif özdeşlikler, tüm gerçek sayılar (t) için geçerlidir ve tanjant için negatif özdeşlik, kendisi için ( an(t)) tanımlı tüm gerçek sayılar (t) için geçerlidir.

Kimlikleri Doğrulama

( an^{2}(x) + 1) ve (sec^{2}(x) gibi iki ifade verildiğinde, bunların eşit olup olmadığını bilmek isteriz (yani, izin verilen her giriş için aynı değerler) veya değil. (y = an^{2}(x) + 1) ve (y = sec^{2}(x)) grafiklerini çizebilir ve grafiklerin aynı mı yoksa farklı mı göründüğünü görebiliriz. Grafikler, (y = an^{2}(x) + 1) ve (y = sec^{2}(x) ile olduğu gibi aynı görünse bile), bu yalnızca için iki ifadenin eşit olduğunun göstergesi Her izin verilen giriş İfadelerin aslında her zaman eşit olduğunu doğrulamak için, tüm olası girdiler için işe yarayan ikna edici bir argüman sağlamamız gerekiyor. Bunu yapmak için iki trigonometrik ifadenin her zaman eşit olduğunu göstermek için bildiğimiz gerçekleri (mevcut özdeşlikler) kullanırız. Örnek olarak, [ an^{2}(x) + 1 = sec^{2}(x)] denkleminin bir özdeşlik olduğunu doğrulayacağız.

Bu tür bir argüman için uygun bir format, denklemin bir tarafını seçmek ve seçilen tarafı kalan tarafa dönüştürmek için zaten bildiğimiz mevcut kimlikleri uygulamaktır. Genellikle daha karmaşık görünen taraftan (eğer varsa) başlamak hayatı kolaylaştırır. (1) denklemi örneğimizde ( an^{2}(x) + 1) ifadesiyle başlayabiliriz.

Örnek (PageIndex{1}): Trigonometrik Kimliğin Doğrulanması

(1) denkleminin bir özdeşlik olduğunu doğrulamak için ( an^{2}(x) + 1) ifadesiyle çalışıyoruz. Başlamak için tüm trigonometrik fonksiyonları kosinüs ve sinüs cinsinden yazmak genellikle iyi bir fikir olabilir. Bu durumda, ( an(t) = dfrac{sin(t)}{cos(t)}) olduğunu biliyoruz, bu nedenle [ an kimliğini elde etmek için bu ikameyi yaparak başlayabiliriz. ^{2}(x) + 1 = (dfrac{sin(x)}{cos(x)})^{2} + 1]

Bunun bir kimlik olduğunu ve değişkenin izin verilen tüm değerleri için geçerli olduğunu unutmayın. Daha sonra kareyi kimliğimizin sağ tarafının hem payına hem de paydasına uygulayabiliriz (2).

[(dfrac{sin(x)}{cos(x)})^{2} + 1 = dfrac{sin^{2}(x)}{cos^{2}(x) } + 1]

Daha sonra, kimliğin (3) sağ tarafındaki iki kesri birleştirmek ve yeni kimliği elde etmek için biraz cebir yapabiliriz.

[dfrac{sin^{2}(x)}{cos^{2}(x)} + 1 = dfrac{sin^{2}(x) + cos^{2}(x) )}{cos^{2}(x)}]

Şimdi, özdeşliğin (4) sağ tarafını oluşturan Pisagor özdeşliğini (cos^{2}(x) + sin^{2}(x) = 1) tanıyabiliriz.
[dfrac{sin^{2}(x) + cos^{2}(x)}{cos^{2}(x)} = dfrac{1}{cos^{2}( x)}]

Hedefimizin kimliği (1) doğrulamak olduğunu hatırlayın, bu nedenle ifadeyi (sec^{2}(x)) biçimine dönüştürmemiz gerekiyor. (sec(x) = dfrac{1}{cos(x)}) ve böylece kimliğin (5) sağ tarafının kimliği doğrulayan yeni kimliğe yol açtığını hatırlayın.

[dfrac{1}{cos^{2}(x)} = sec^{2}(x)]

Az önce verdiğimiz gibi bir denklemin bir özdeşlik olduğunu gösteren bir argümana denir. kanıt. Genellikle açıklayıcı adımların çoğunu dışarıda bırakırız (adımlar denklemlerden açıkça görülmelidir) ve uzun bir özdeşlik dizisine aşağıdaki gibi bir kanıt yazarız.

[ an^{2}(x) + 1 = (dfrac{sin(x)}{cos(x)})^{2} + 1 = dfrac{sin^{2}(x )}{cos^{2}(x)} + 1= dfrac{sin^{2} + cos^{2}(x)}{cos^{2}(x)} = dfrac {1}{cos^{2}(x)} = sec^{2}(x).]

Bir özdeşliği kanıtlamak, denklemin her iki tarafındaki ifadelerin izin verilen her girdi için aynı olduğunu göstermektir. Bu işlemi ( an^{2}(x) + 1 = sec^{2}(x)) denklemiyle gösterdik. Bir denklemin bir özdeşlik olmadığını göstermek için denklemin iki tarafının bir girdide farklı değerlere sahip olduğunu göstermek yeterlidir.

Örnek (PageIndex{2}): (Bir Denklemin Kimlik olmadığını gösterme)

Başlangıç ​​Etkinliğimizde karşılaştığımız (cos(x - dfrac{pi}{2}) = sin(x + dfrac{pi}{2})) denklemini göz önünde bulundurun. (cos(x - dfrac{pi}{2})) ve (sin(x + dfrac{pi}{2})) değerlerinin bazı değerlerde eşit olduğunu kontrol edebilmenize rağmen, (dfrac{pi}{4}) örneğin, tüm değerlerde eşit değiller–(cos(0 - dfrac{pi}{2}) = 0) ama (sin (0 + dfrac{pi}{2}) = 1). Bir kimlik için bir eşitlik sağlaması gerektiğinden tüm değişkenin izin verilen değerleri, iki ifade bir girişte farklıysa, denklem bir özdeşlik değildir. Dolayısıyla (cos(x - dfrac{pi}{2}) = sin(x + dfrac{pi}{2})) denklemi bir özdeşlik değildir.

Örnek 4.2 önemli bir noktayı göstermektedir. Bir denklemin özdeş olmadığını göstermek için denklemin iki tarafının eşit olmadığı bir girdi bulmak yeterlidir. Kimliklerle yaptığımız çalışmaları şu şekilde özetliyoruz.

  • Bir denklemin bir özdeşlik olduğunu kanıtlamak için, denklemin bir tarafının diğerine dönüştürülebileceğini göstermek için bilinen özdeşlikleri uygulamamız gerekir.
  • Bir denklemin özdeş olmadığını kanıtlamak için denklemin iki tarafının farklı değerlere sahip olduğu bir girdi bulmamız gerekir.

Önemli Not: Bir kimliği ispatlarken, denklemin kendisiyle çalışmaya başlamak ve doğru olduğunu bildiğiniz bir şeye ulaşana kadar her iki tarafı da manipüle etmek cazip gelebilir. BUNU YAPMA! Denklemin her iki tarafıyla çalışarak, denklemin bir özdeşlik olduğu varsayımını yapıyoruz - ancak bu, tam da göstermemiz gereken şeyi varsayar. Dolayısıyla bir trigonometrik özdeşliğin ispatı için uygun format, denklemin bir tarafını seçmek ve seçilen tarafı kalan tarafa dönüştürmek için zaten bildiğimiz mevcut kimlikleri uygulamaktır. Genellikle daha karmaşık görünen tarafla (eğer varsa) başlamak hayatı kolaylaştırır.

Örnek (PageIndex{3}): Bir Kimliği Doğrulama

[2cos^{2}(x) - 1 = cos^{2}(x) - sin^{2}(x).] denklemini göz önünde bulundurun.
Her iki tarafın grafikleri bu denklemin bir özdeşlik olduğunu gösteriyor gibi görünüyor. Kimliği kanıtlamak için sol taraftan başlıyoruz:

[2cos^{2}(x) - 1 = cos^{2}(x) + cos^{2}(x) - 1 = cos^{2}(x) + (1 - sin^{2}(x)) - 1 = cos^{2}(x) - sin^{2}(x).]

İspatımızda Pisagor kimliğini (cos^{2}(x) + sin^{2}(x) = 1) olarak (cos^{2}(x) = 1 - olarak yeniden yazdığımıza dikkat edin. sin^{2}(x)). Bir kimliğin herhangi bir uygun şekilde yeniden düzenlenmesi aynı zamanda bir kimliktir, bu nedenle ispatlarımızda kullanmak üzere bilinen kimlikleri manipüle edebiliriz.

Tekrarlamak gerekirse, bir trigonometrik özdeşliğin ispatı için uygun format, denklemin bir tarafını seçmek ve seçilen tarafı kalan tarafa dönüştürmek için zaten bildiğimiz mevcut kimlikleri uygulamaktır. Kimlikleri kanıtlamak için zor ve hızlı yöntemler yoktur - bu biraz sanattır. Bunda iyi olmak için pratik yapmalısın.

Alıştırma (PageIndex{1})

Aşağıdakilerin her biri için denklemin her iki tarafını da grafiklemek üzere bir grafik aracı kullanın. Grafikler denklemin bir özdeşlik olmadığını gösteriyorsa, denklemin iki tarafının farklı değerlere sahip olduğu bir (x) değeri bulun. Grafikler denklemin bir özdeşlik olduğunu gösteriyorsa, özdeşliği doğrulayın.

  1. [dfrac{sec^{2}(x) - 1}{sec^{2}(x)} = sin^{2}(x)]
  2. [cos(x)sin(x) = 2sin(x)]
Cevap

1. Denklemin her iki tarafının grafikleri bunun bir girinti olduğunu gösterir.

2. Denklemin her iki tarafının grafikleri bunun bir girinti olmadığını göstermektedir. Örneğin, (x = dfrac{pi}{2})'ye izin verirsek, o zaman

[cos(dfrac{pi}{2})sin(dfrac{pi}{2}) = 0cdot 1 = 0] ve [2sin(dfrac{pi} {2}) = 2cdot 1 = 2]

Özet

Bu bölümde, aşağıdaki önemli kavram ve fikirleri inceledik:

Bir Kimlik ilgili değişkenlerin tüm izin verilen değerleri için doğru olan bir denklemdir.

  • Bir denklemin bir özdeşlik olduğunu kanıtlamak için, denklemin bir tarafının diğerine dönüştürülebileceğini göstermek için bilinen özdeşlikleri uygulamamız gerekir.
  • Bir denklemin özdeş olmadığını kanıtlamak için denklemin iki tarafının farklı değerlere sahip olduğu bir girdi bulmamız gerekir.


Videoyu izle: . Sin, cos, tg va ctg ning ishoralari (Aralık 2021).