Nesne

1.5: Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar


Öğrenme hedefleri

  • Üstel bir fonksiyonun formunu tanımlayın.
  • (x^{b}) ve (b^{x}) grafikleri arasındaki farkı açıklayın.
  • (e) sayısının önemini fark edin.
  • Logaritmik bir fonksiyonun formunu tanımlayın.
  • Üstel ve logaritmik fonksiyonlar arasındaki ilişkiyi açıklar.
  • Farklı bir tabana göre bir logaritmanın nasıl hesaplanacağını açıklayın.
  • Hiperbolik fonksiyonları, grafiklerini ve temel kimliklerini tanımlayın.

Bu bölümde üstel ve logaritmik fonksiyonları inceleyeceğiz. Üstel veya logaritmik terimler içeren denklemleri çözmek için bu fonksiyonların özelliklerini kullanırız ve (e) sayısının anlamını ve önemini inceleriz. Ayrıca, üstel ve logaritmik işlevlerin kombinasyonlarını içeren hiperbolik ve ters hiperbolik işlevleri de tanımlarız. (Entegrasyon Uygulamaları bölümünde üstel ve logaritmik fonksiyonların alternatif tanımlarını sunduğumuzu ve fonksiyonların her iki tanımla da aynı özelliklere sahip olduğunu kanıtladığımızı unutmayın.)

Üstel Fonksiyonlar

Üstel fonksiyonlar birçok uygulamada ortaya çıkar. Yaygın bir örnek nüfus artışı. Örneğin, bir popülasyon (P_0) bireylerle başlar ve daha sonra yıllık (2\%) oranında büyürse, 1 yıl sonra popülasyonu

[P(1)=P_0+0.02P_0=P_0(1+0.02)=P_0(1.02). umara]

2 yıl sonra nüfusu

[P(2)=P(1)+0.02P(1)=P(1)(1.02)=P_0(1.02)^2. umara]

Genel olarak, (t) yıl sonraki nüfusu

[P(t)=P_0(1.02)^t, umarasız]

ki bu bir üstel fonksiyondur. Daha genel olarak, (f(x)=b^x) biçimindeki herhangi bir fonksiyon, burada (b>0), (b≠1), ile üstel bir fonksiyondur. temel (grup üs (x.) Üstel fonksiyonların sabit tabanları ve değişken üsleri vardır. Bazı sabit (b) için (f(x)=x^b) biçimindeki bir fonksiyonun üstel bir fonksiyon değil, bir kuvvet fonksiyonu olduğuna dikkat edin.

Üstel bir işlev ile bir kuvvet işlevi arasındaki farkı görmek için, (y=x^2) ve (y=2^x) işlevlerini karşılaştırırız. (PageIndex{1}) Tablosunda, hem (2^x) hem de (x^2)'nin sonsuza (x→∞) olarak yaklaştığını görüyoruz. Ancak sonunda (2^x), (x^2)'den daha büyük olur ve (x→∞) olarak daha hızlı büyür. Ters yönde, (x→−∞), (x^2→∞), oysa (2^x→0). (y=0) doğrusu, (y=2^x) için yatay bir asimptottur.

Tablo (PageIndex{1})
(x)-3-2-10123456
(x^2)9410149161536
(2^x)1/81/41/21248163264

Şekil (PageIndex{1}), grafiklerin nasıl farklılık gösterdiğini göstermek için hem (y=x^2) hem de (y=2^x) grafiğini çiziyoruz.

Üstel Fonksiyonların Değerlendirilmesi

Üslerin özelliklerini hatırlayın: Eğer (x) pozitif bir tamsayıysa, o zaman (b^x=b⋅b⋯b) ((b)'nin (x) çarpanlarıyla) tanımlarız. (x) negatif bir tam sayıysa, o zaman (x=−y) (y) bazı pozitif tamsayıları için ve (b^x=b^{−y}=1/b^'yi tanımlarız. y). Ayrıca, (b^0) (1) olarak tanımlanır. (x) bir rasyonel sayıysa, o zaman (x=p/q), burada (p) ve (q) tam sayılardır ve (b^x=b^{p/q} =sqrt[q]{b^p}). Örneğin, (9^{3/2}=sqrt{9^3}=left(sqrt{9}sağ)^3=27). Ancak, (x) bir irrasyonel sayıysa (b^x) nasıl tanımlanır? Örneğin, (2^{sqrt{2}}) ile ne demek istiyoruz? Bu, şu anda tam olarak yanıtlayamayacağımız kadar karmaşık bir soru; ancak bir tahmin yapabiliriz.

Tablo (PageIndex{2}): (sqrt{2}) Yaklaşık Rasyonel Sayılar Listesi için (2^x) Değerleri
(x)0.41.411.4141.41421.414211.414213
(2^x)2.6392.657372.664752.6651192.6651382.665143

Tablo (PageIndex{2}), (sqrt{2})'ye yaklaşan bazı rasyonel sayıları listeliyoruz ve her bir rasyonel sayı (x) için (2^x) değerleri sunulmaktadır. ilave olarak. (sqrt{2}'ye gittikçe yaklaşan (x) rasyonel sayılarını seçersek, (2^x) değerlerinin bir (L) sayısına gittikçe yaklaştığını iddia ederiz. . Bu sayıyı (L) (2^{sqrt{2}}) olarak tanımlarız.

Örnek (PageIndex{1}): Bakteriyel Büyüme

Belirli bir bakteri popülasyonunun her (4) saatte bir iki katına çıktığının bilindiğini varsayalım. Bir kültür (1000) bakteri ile başlıyorsa, (4) saatten sonraki bakteri sayısı (n(4)=1000⋅2) olur. (8) saatten sonraki bakteri sayısı (n(8)=n(4)⋅2=1000⋅2^2). Genel olarak, (4m) saatten sonraki bakteri sayısı (n(4m)=1000⋅2^m). (t=4m) bırakarak, t saat sonra bakteri sayısının (n(t)=1000⋅2^{t/4}) olduğunu görüyoruz. (6) saat, (10) saat ve (24) saatten sonraki bakteri sayısını bulun.

Çözüm

6 saat sonra bakteri sayısı ile verilir

[n(6)=1000⋅2^{6/4}≈2828, ext{bakteri}. umara yok]

(10) saatten sonraki bakteri sayısı şu şekilde verilir:

[n(10)=1000⋅2^{10/4}≈5657, ext{bakteri}. umara yok]

(24) saatten sonraki bakteri sayısı (n(24)=1000⋅2^6=64.000) bakteri ile verilir.

Alıştırma (PageIndex{1})

(f(x)=100⋅3^{x/2}) üstel işlevi verildiğinde, (f(4)) ve (f(10)) değerini hesaplayın.

Cevap

(f(4)=900)

(f(10)=24.300).

Üstel Fonksiyonların Grafiklendirilmesi

Herhangi bir (b>0), (b≠1) tabanı için, (f(x)=b^x) üstel işlevi tüm (x) ve (b^) için tanımlanır x>0). Bu nedenle, (f(x)=b^x)'nin etki alanı ((−∞,∞)) ve aralık ((0,∞))'dir. (b^x) grafiğini oluşturmak için, (b>1), (b^x) için ((−∞,∞)) ve (b^x→∞ üzerinde arttığını not ederiz. ) olarak (x→∞), oysa (b^x→0) (x→−∞) olarak. Öte yandan, eğer (0

Üstel işlevlerin genel üs yasalarını karşıladığını unutmayın. Bu yasaları size hatırlatmak için kural olarak belirtiyoruz.

Üs Kanunları

Herhangi bir (a>0), (b>0) ve tüm (x) ve (y,) sabitleri için

  1. [b^x⋅b^y=b^{x+y}]
  2. [dfrac{b^x}{b^y}=b^{x−y}]
  3. [(b^x)^y=b^{xy}]
  4. [(ab)^x=a^xb^x]
  5. [dfrac{a^x}{b^x}=sol(dfrac{a}{b}sağ)^x]

Örnek (PageIndex{2}): Üs Kurallarını Kullanma

Aşağıdaki ifadelerin her birini basitleştirmek için üs yasalarını kullanın.

  1. (dfrac{(2x^{2/3})^3}{(4x^{−1/3})^2})
  2. (dfrac{(x^3y^{−1})^2}{(xy^2)^{−2}})

çözüm

a. Aşağıdaki gibi sadeleştirebiliriz:

[dfrac{(2x^{2/3})^3}{(4x^{−1/3})^2}=dfrac{2^3(x^{2/3})^3} {4^2(x^{−1/3})^2}= dfrac{8x^2}{16x^{−2/3}} =dfrac{x^2x^{2/3}}{ 2}=dfrac{x^{8/3}}{2}. umara yok]

B. Aşağıdaki gibi sadeleştirebiliriz:

[dfrac{(x^3y^{−1})^2}{(xy^2)^{−2}}=dfrac{(x^3)^2(y^{−1})^ 2}{x^{−2}(y^2)^{−2}}=dfrac{x^6y^{−2}}{x^{−2}y^{−4}} =x^ 6x^2y^{−2}y^4=x^8y^2. umara yok ]

Alıştırma (PageIndex{2})

(dfrac{6x^{−3}y^2}{12x^{−4}y^5}) sadeleştirmek için üs yasalarını kullanın.

İpucu

(x^a/x^b=x^{a-b})

Cevap

(x/(2y^3))

E sayısı

Gerçek dünya uygulamalarında sıklıkla özel bir üstel fonksiyon türü ortaya çıkar. Bunu açıklamak için, aşağıdaki üstel büyüme örneğini düşünün: bileşik faiz bir tasarruf hesabında. Bir kişinin, yıllık bileşik faiz oranı (r) olan bir tasarruf hesabına (P) dolar yatırdığını varsayalım. 1 yıl sonraki para miktarı

(A(1)=P+rP=P(1+r)).

(2) yıl sonraki para miktarı

(A(2)=A(1)+rA(1)=P(1+r)+rP(1+r)=P(1+r)^2).

Daha genel olarak, (t) yıldan sonraki miktar

(A(t)=P(1+r)^t).

Para yılda 2 kez birleştirilirse, yarım yıl sonraki para miktarı

(Aleft(dfrac{1}{2} ight)=P+left(dfrac{r}{2} ight)P=Pleft(1+left(dfrac{r}{) 2}sağ)sağ)).

(1) yıl sonraki para miktarı

(A(1)=Aleft(dfrac{1}{2} ight)+left(dfrac{r}{2} ight)A left(dfrac{1}{2} sağ)=Pleft(1+dfrac{r}{2}sağ)+dfrac{r}{2}left(left(P(1+dfrac{r}{2}sağ) sağ)=Psol(1+dfrac{r}{2}sağ)^2.)

(t) yıl sonra hesaptaki para miktarı

(A(t)=Pleft(1+dfrac{r}{2}sağ)^{2t}).

Daha genel olarak, eğer para yılda (n) kez birleştirilirse, (t) yıl sonra hesaptaki para miktarı fonksiyon tarafından verilir.

(A(t)=Psol(1+dfrac{r}{n}sağ)^{nt}.)

(n→∞?) olarak ne olur? Bu soruyu yanıtlamak için (m=n/r) izin verir ve yazarız

(left(1+dfrac{r}{n}sağ)^{nt}=left(1+dfrac{1}{m}sağ)^{mrt},)

ve bir değerler tablosu (Tablo (PageIndex{3})) kullanarak ((1+1/m)^m) davranışını (m→∞) olarak inceleyin.

Tablo (PageIndex{3}): (left(1+dfrac{1}{m} ight)^m) (m→∞) olarak değerleri
(m)10100100010,000100,0001,000,000
(sol(1+dfrac{1}{m}sağ)^m)2.59372.70482.716922.718152.7182682.718280

Bu tabloya bakıldığında, ((1+1/m)^m) (2.7) ile (2.8) arasındaki bir sayıya (m→∞) olarak yaklaşıyor gibi görünüyor. Aslında ((1+1/m)^m) bazı sayılara (m→∞) olarak yaklaşır. Bu numaraya (e) diyoruz. Altı ondalık basamağa kadar doğruluk,

[e≈2.718282.]

Leonhard Euler

(e) harfi ilk olarak 1720'lerde İsviçreli matematikçi Leonhard Euler tarafından bu sayıyı temsil etmek için kullanıldı. Euler sayıyı keşfetmemiş olsa da, (e) ve logaritmik fonksiyonlar arasında birçok önemli bağlantı olduğunu gösterdi. Bugün hala (e) gösterimini Euler'in çalışmasını onurlandırmak için kullanıyoruz çünkü matematiğin birçok alanında ortaya çıkıyor ve birçok pratik uygulamada kullanabiliyoruz.

Tasarruf hesabı örneğimize dönersek, bir kişi bir hesaba (P) dolar koyarsa, sürekli bileşik olarak yıllık faiz oranı (r) varsa, o zaman (A(t)=Pe^{rt) sonucuna varabiliriz. }). Bu işlev tanıdık gelebilir. (e) tabanını içeren fonksiyonlar uygulamalarda sıklıkla ortaya çıktığı için, (f(x)=e^x) fonksiyonunu çağırırız. doğal üstel fonksiyon. Bu fonksiyon sadece (e) sayısının tanımı nedeniyle ilginç olmakla kalmaz, aynı zamanda daha sonra tartışılacağı gibi grafiğinin de önemli bir özelliği vardır.

(e>1) olduğundan, (f(x) = e^x)'nin ((−∞,∞)) üzerinde arttığını biliyoruz. Şekil (PageIndex{3}), (x=0'da (f) grafiğine teğet bir çizgiyle birlikte bir (f(x)=e^x) grafiğini gösteriyoruz. ). Bir sonraki bölümde teğet doğrunun kesin bir tanımını veriyoruz; ancak, gayri resmi olarak, (f)'nin (x=a) noktasındaki grafiğine teğet bir doğrunun, ((a,f(a))) noktasından geçen ve aynı bu noktada (f) olarak “eğim”. (f(x)=e^x) işlevi, (x=0)'da teğet çizgisi olan ve eğimi (1.) olan tek (b^x) üstel işlevidir. metnin ilerleyen kısımlarına bakın, bu özelliğe sahip olmak, doğal üstel işlevi birçok durumda kullanılacak en basit üstel işlev yapar.

Örnek (PageIndex{3}): Bileşik Faiz

Diyelim ki ($500) bir hesaba sürekli olarak bileşik faiz oranıyla (r=5.5\%) yatırılıyor.

  1. (t) ilk yatırımdan sonraki yıl sayısını ve (A(t)) (t) zamanında hesaptaki para miktarını göstersin. (A(t)) için bir formül bulun.
  2. (10) yıl sonra ve (20) yıl sonra hesaptaki para miktarını bulun.

Çözüm

a. Eğer bir hesaba (P) dolar, sürekli bileşik bir yıllık faiz oranı (r) ile yatırılıyorsa, o zaman (A(t)=Pe^{rt}). Burada (P=$500) ve (r=0.055). Bu nedenle, (A(t)=500e^{0.055t}).

B. (10) yıl sonra hesaptaki para miktarı

(A(10)=500e^{0.055⋅10}=500e^{0.55}≈866.63$).

(20) yıl sonra hesaptaki para miktarı

(A(20)=500e^{0.055⋅20}=500e^{1.1}≈1.502.08$).

Alıştırma (PageIndex{3})

Bir hesaba ($750) sürekli bileşik olarak (4\%) yıllık faiz oranıyla yatırılıyorsa, (t) yıl sonra hesaptaki para miktarı için bir formül bulun. (30) yıl sonraki para miktarını bulun.

İpucu

(A(t)=Pe^{rt})

Cevap

(A(t)=750e^{0.04t}). (30) yıl sonra, yaklaşık olarak (2,490,09$) olacaktır.

Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel fonksiyonlar hakkındaki anlayışımızı kullanarak, logaritmik fonksiyonlar olan terslerini tartışabiliriz. Bunlar, kimyadaki pH ölçeği veya ses seviyelerindeki desibeller gibi geniş bir değer aralığında değişen herhangi bir fenomeni göz önünde bulundurmamız gerektiğinde kullanışlıdır.

Üstel fonksiyon (f(x)=b^x) bire bir, ((−∞,∞)) etki alanı ve ((0,∞)) aralığı ile. Bu nedenle, tabanı (b) olan logaritmik fonksiyon olarak adlandırılan bir ters fonksiyonu vardır. Herhangi bir (b>0,, b≠1), tabanı (b) olan, (log_b ile gösterilen) logaritmik fonksiyon, ((0,∞)) etki alanına ve ( aralığına sahiptir. (−∞,∞))ve karşılar

[log_b(x)=y]

ancak ve ancak (b^y=x) ise.

Örneğin,

[log_2(8)=3 umarasız]

(2^3=8) olduğundan,

[log_{10}left(dfrac{1}{100}sağ)=−2 onumber]

(10^{−2}=dfrac{1}{10^2}=dfrac{1}{100}) olduğundan,

[log_b(1)=0 umara]

herhangi bir taban için (b^0=1) olduğundan beri (b>0).

Ayrıca, (y=log_b(x)) ve (y=b^x) ters fonksiyonlar olduğundan,

[log_b(b^x)=x]

ve

[b^{log_b(x)}=x.]

En sık kullanılan logaritmik işlev, (log_e) işlevidir. Bu fonksiyon baz olarak doğal (e) kullandığından, buna doğal logaritma. Burada (ln (x)) veya (ln x) gösterimini (log_e(x)) anlamında kullanıyoruz. Örneğin,

[ egin{align*} ln (e) &=log_e(e)=1 [4pt] ln (e^3) &=log_e(e^3)=3 [4pt] ln (1) &=log_e(1)=0. end{hiza*}]

(f(x)=e^x) ve (g(x)=ln (x)) fonksiyonları birbirinin tersi olduğundan,

(ln (e^x)=x) ve (e^{ln x}=x),

ve grafikleri (y=x) doğrusuna göre simetriktir (Şekil (PageIndex{4})).

Genel olarak, herhangi bir (b>0), (b≠1) tabanı için, (g(x)=log_b(x)) işlevi (y=x) doğrusuna göre simetriktir. (f(x)=b^x) işleviyle. Bu gerçeği ve üstel fonksiyonların grafiklerini kullanarak, çeşitli (b>1) değerleri için (log_b) fonksiyonlarının grafiğini çiziyoruz ( Şekil (PageIndex{5})).

Üstel ve logaritmik fonksiyonları içeren bazı denklemleri çözmeden önce, logaritmaların temel özelliklerini gözden geçirelim.

Logaritmaların Özellikleri

(a,,b,,c>0,,b≠1) ve (r) herhangi bir gerçek sayı ise, o zaman

  • Ürün özelliği

[log_b(ac)=log_b(a)+log_b(c) label{productprop}]

  • bölüm özelliği

[log_b left(dfrac{a}{c} sağ)=log_b(a)−log_b(c) label{quotientprop}]

  • Güç özelliği

[log_b(a^r)=rlog_b(a) label{powerprop}]

Örnek (PageIndex{4}): Üstel Fonksiyonları İçeren Denklemleri Çözme

(x) için aşağıdaki denklemlerin her birini çözün.

  1. (5^x=2)
  2. (e^x+6e^{−x}=5)

Çözüm

a. Doğal logaritma fonksiyonunu denklemin her iki tarafına uygulayarak,

(ln 5^x=ln 2).

Logaritmaların power özelliğini kullanarak,

(xln 5=ln 2.)

Öyleyse,

[x= dfrac{ln 2}{ln 5}. Denklemin her iki tarafını (e^x ile çarparak) denkleme ulaşırız

(e^{2x}+6=5e^x).

Bu denklemi şu şekilde yeniden yazmak

(e^{2x}−5e^x+6=0),

sonra onu (e^x) içinde ikinci dereceden bir denklem olarak yeniden yazabiliriz:

((e^x)^2−5(e^x)+6=0.)

Şimdi ikinci dereceden denklemi çözebiliriz. Bu denklemi çarpanlara ayırarak elde ederiz

((e^x−3)(e^x−2)=0.)

Bu nedenle, çözümler (e^x=3) ve (e^x=2)'yi sağlar. Her iki tarafın doğal logaritmasını almak bize (x=ln 3,ln 2) çözümlerini verir.

Alıştırma (PageIndex{4})

Çözmek

[e^{2x}/(3+e^{2x})=1/2. umara yok]

İpucu

Önce (e^{2x}) denklemini çözün

Cevap

(x=dfrac{ln 3}{2}).

Örnek (PageIndex{5}): Logaritmik Fonksiyonları İçeren Denklemleri Çözme

(x) için aşağıdaki denklemlerin her birini çözün.

  1. (ln left(dfrac{1}{x}sağ)=4)
  2. (log_{10}sqrt{x}+log_{10}x=2)
  3. (ln (2x)−3ln (x^2)=0)

Çözüm

a. Doğal logaritma fonksiyonunun tanımıyla,

(ln left(dfrac{1}{x} sağ)=4)

  • ancak ve ancak (e^4=dfrac{1}{x}) ise.

Bu nedenle, çözüm (x=1/e^4)'dir.

B. Logaritmik fonksiyonların çarpım (Equation ef{productprop}) ve power (Equation ef{powerprop}) özelliklerini kullanarak, denklemin sol tarafını şu şekilde yeniden yazın:

[egin{align*} log_{10}sqrt{x} + log_{10}x &= log_{10} x sqrt{x} [4pt] &= log_{10} x^{3/2} [4pt] &= dfrac{3}{2}log_{10}x. end{hiza*}]

Bu nedenle, denklem şu şekilde yeniden yazılabilir:

(dfrac{3}{2}log_{10}x=2)

veya

(log_{10}x=dfrac{4}{3}).

Çözüm (x=10^{4/3}=10sqrt[3]{10}).

C. Logaritmik fonksiyonların power özelliğini (Denklem ef{powerprop}) kullanarak, denklemi (ln (2x)−ln (x^6)=0) olarak yeniden yazabiliriz.

quotient özelliğini (Equation ef{quotientprop}) kullanarak, bu şöyle olur:

(ln left(dfrac{2}{x^5}sağ)=0)

Bu nedenle (2/x^5=1), bu da (x=sqrt[5]{2}) anlamına gelir. Daha sonra herhangi bir yabancı çözüm olup olmadığını kontrol etmeliyiz.

Alıştırma (PageIndex{5})

(ln (x^3)−4ln (x)=1) çözün.

İpucu

Önce güç özelliğini kullanın, ardından logaritmaların çarpım özelliğini kullanın.

Cevap

(x=dfrac{1}{e})

Bir hesap makinesiyle logaritmik bir işlevi değerlendirirken, tek seçeneklerin (log_{10}) veya (log) olduğunu fark etmiş olabilirsiniz. ortak logaritmaveya doğal logaritma olan (ln). Ancak, üstel işlevler ve logaritma işlevleri, istenen herhangi bir taban (b) cinsinden ifade edilebilir. Farklı bir tabana sahip bir ifadeyi değerlendirmek için hesap makinesi kullanmanız gerekiyorsa, önce taban değiştirme formüllerini uygulayabilirsiniz. Bu taban değişikliğini kullanarak, tipik olarak, doğal üstel ve doğal logaritmik fonksiyonlar cinsinden belirli bir üstel veya logaritmik fonksiyon yazarız.

Kural: Temel Değişim Formülleri

(a>0,,b>0) ve (a≠1,,b≠1) olsun.

1. Herhangi bir gerçek sayı (x) için (a^x=b^{x log_ba}).

(b=e) ise, bu denklem (a^x=e^{x log_ea}=e^{x ln a}) olur.

2. Herhangi bir gerçek sayı için (log_ax=dfrac{log_bx}{log_ba}) (x>0).

(b=e) ise, bu denklem (log_ax=dfrac{ln x}{ln a}) olur.

Kanıt

İlk taban değiştirme formülü için logaritmik fonksiyonların güç özelliğini kullanarak başlıyoruz. Herhangi bir taban için (b>0,, b≠1), (log_b(a^x)=x log_ba) olduğunu biliyoruz. Öyleyse,

(b^{log_b(a^x)})=(b^{x log_ba}).

Ek olarak, (b^x) ve (log_b(x))'nin ters fonksiyonlar olduğunu biliyoruz. Öyleyse,

(b^{log_b(a^x)}=a^x).

Bu son iki eşitliği birleştirerek, (a^x=b^{x log_ba}) sonucuna varırız.

İkinci özelliği kanıtlamak için şunu gösteriyoruz:

((log_ba)⋅(log_ax)=log_bx.)

(u=log_ba,v=log_ax) ve (w=log_bx) olsun. (u⋅v=w) olduğunu göstereceğiz. Logaritmik fonksiyonların tanımıyla, (b^u=a,, a^v=x) ve (b^w=x) olduğunu biliyoruz. Önceki denklemlerden görüyoruz ki

(b^{uv}=(b^u)^v=a^v=x=b^w.)

Bu nedenle, (b^{uv}=b^w). Üstel fonksiyonlar bire bir olduğundan, (u⋅v=w) sonucuna varabiliriz.

(Meydan)

Örnek (PageIndex{6}): Temelleri Değiştirme

Daha önce sunulan temel değişim formülüyle (log_37) değerini değerlendirmek için bir hesaplama yardımcı programı kullanın.

Çözüm

(a=3) ve (e=3) ile ikinci denklemi kullanın: (log_37=dfrac{ln 7}{ln 3}≈1.77124).

Alıştırma (PageIndex{6})

(log_46) değerini değerlendirmek için temel değişim formülünü ve bir hesaplama yardımcı programını kullanın.

İpucu

Bu ifadeyi doğal logaritma işlevini içeren ifadeler cinsinden yeniden yazmak için taban değişikliğini kullanın.

Cevap

(log_46 = dfrac{ln 6}{ln 4} yaklaşık 1.29248)

Örnek (PageIndex{7}): Depremler için Richter Ölçeği

1935'te Charles Richter, bir ölçeğin büyüklüğünü ölçmek için bir ölçek (şimdi Richter ölçeği olarak bilinir) geliştirdi. deprem. Ölçek 10 tabanlı logaritmik bir ölçektir ve aşağıdaki gibi tanımlanabilir: Richter ölçeğinde (R_1) büyüklüğünde bir deprem ve Richter ölçeğinde (R_2) büyüklüğünde ikinci bir deprem düşünün. Diyelim ki (R_1>R_2), bu, (R_1) büyüklüğündeki depremin daha güçlü olduğu anlamına geliyor, ancak diğer depremden ne kadar daha güçlü?

Bir depremin şiddetini ölçmenin bir yolu, deprem dalgalarının genliğini ölçmek için bir sismograf kullanmaktır. (A_1) birinci deprem için ölçülen genlik ve (A_2) ikinci deprem için ölçülen genlik ise, iki depremin genlikleri ve büyüklükleri aşağıdaki denklemi sağlar:

(R_1−R_2=log_{10}left(dfrac{A1}{A2}sağ)).

Richter ölçeğinde 8 büyüklüğünde bir deprem ve Richter ölçeğinde 7 büyüklüğünde bir deprem düşünün. Sonra,

(8−7=log_{10}left(dfrac{A1}{A2}sağ)).

Öyleyse,

(log_{10}left(dfrac{A1}{A2}sağ)=1),

bu, (A_1/A_2=10) veya (A_1=10A_2) anlamına gelir. (A_1), (A_2'nin 10 katı büyüklüğünde olduğu için, ilk depremin ikinci depremin şiddetinin 10 katı olduğunu söylüyoruz. Öte yandan, Richter ölçeğine göre bir deprem 8, diğeri 6 ölçüyorsa, o zaman iki depremin göreli şiddeti denklemi sağlar.

(log_{10}left(dfrac{A1}{A2}sağ)=8−6=2).

Dolayısıyla (A_1=100A_2).Yani ilk deprem, ikinci depremden 100 kat daha şiddetlidir.

2011'de Japonya'daki 9 büyüklüğündeki depremin göreceli şiddetini 2010'da Haiti'deki 7.3 büyüklüğündeki depremle karşılaştırmak için logaritmik fonksiyonları nasıl kullanabiliriz?

Çözüm

Japonya ve Haiti depremlerini karşılaştırmak için daha önce sunulan denklemi kullanabiliriz:

(9−7.3=log_{10}left(dfrac{A1}{A2}sağ)).

Bu nedenle, (A_1/A_2=10^{1.7}) ve Japonya'daki depremin Haiti'deki depremden yaklaşık 50 kat daha şiddetli olduğu sonucuna varıyoruz.

Alıştırma (PageIndex{7})

(8.4) büyüklüğündeki bir depremin göreceli şiddetini (7.4) büyüklüğündeki bir depremle karşılaştırın.

İpucu

(R_1−R_2=log_{10}(A1/A2)).

Cevap

(8.4) büyüklüğündeki deprem, (7.4) büyüklüğündeki depremin kabaca (10) katıdır.

Hiperbolik Fonksiyonlar

Hiperbolik fonksiyonlar belirli (e^x) ve (e^{−x}) kombinasyonları cinsinden tanımlanır. Bu işlevler, su dalgalarının ve elastik membranların titreşimlerinin incelenmesi de dahil olmak üzere çeşitli mühendislik ve fizik uygulamalarında doğal olarak ortaya çıkar. Hiperbolik işlevin diğer bir yaygın kullanımı, asma zincir veya kablonun temsilidir. katener (Şekil (PageIndex{7})). Eğer zincirin alt noktası (y) ekseni boyunca uzanacak şekilde bir koordinat sistemi tanıtırsak, zincirin yüksekliğini hiperbolik bir fonksiyon olarak tanımlayabiliriz. İlk olarak, tanımlıyoruz hiperbolik fonksiyonlar.

Tanımlar: hiperbolik fonksiyonlar

hiperbolik kosinüs

(cosh x=dfrac{e^x+e^{−x}}{2})

hiperbolik sinüs

(sinh x=dfrac{e^x−e^{−x}}{2})

hiperbolik tanjant

( anh x=dfrac{sinh x}{cosh x}=dfrac{e^x−e^{−x}}{e^x+e^{−x}})

hiperbolik kosekant

(operatöradı{csch}x=dfrac{1}{sinh x}=dfrac{2}{e^x−e^{−x}})

hiperbolik sekant

(operatöradı{sech}x=dfrac{1}{cosh x}=dfrac{2}{e^x+e^{−x}})

hiperbolik kotanjant

(coth x=dfrac{cosh x}{sinh x}=dfrac{e^x+e^{−x}}{e^x−e^{−x}})

(cosh) ismi "gosh" ile kafiyeli iken (sinh) ismi "cinch" olarak telaffuz edilir. (operatöradı{Tanh}, ,operatöradı{sech}, , operatöradı{csch},) ve (coth) "tanch", "seech", "coseech" ve "cotanch" olarak telaffuz edilir ," sırasıyla.

(cosh(x)) tanımı ve fizik ilkeleri kullanılarak, Şekil (PageIndex{8}'deki gibi bir asılı zincirin yüksekliğinin şu şekilde tanımlanabileceği gösterilebilir: belirli sabitler (a) ve (c) için (h(x)=operatöradı{arccosh}(x/a) + c) işlevi.

Peki bu fonksiyonlara neden hiperbolik fonksiyonlar deniyor? Bu soruyu yanıtlamak için (cosh^2 t − sinh^2 t) miktarını göz önünde bulundurun. (cosh) ve (sinh tanımlarını kullanarak), şunu görüyoruz:

[cosh^2 t − sinh^2 t=dfrac{e^{2t}+2+e^{−2t}}{4}−dfrac{e^{2t}−2+e^{ -2t}}{4}=1.]

Bu özdeşlik, trigonometrik özdeşliğin (cos^2 t + sin^2 t=1) analoğudur. Burada, bir (t) değeri verildiğinde, ((x,y)=(cosh t,,sinh t)) noktası hiperbol (x^2−y^2=1) üzerindedir. ) (Şekil (PageIndex{8})).

Hiperbolik Fonksiyonların Grafikleri

(cosh x) ve (sinh x) grafiğini oluşturmak için, her iki fonksiyonun da ((1/2)e^x)'e (x→∞ olarak yaklaştığı gerçeğinden yararlanırız), çünkü (e^{−x}→0) olarak (x→∞). (x→−∞,cosh x) (1/2e^{−x})'ye yaklaşırken, (sinh x) ise (−1/2e^{−x})'e yaklaşır. Bu nedenle, kılavuz olarak (1/2e^x,1/2e^{−x}) ve (−1/2e^{−x}) grafiklerini kullanarak, (cosh x grafiğini çizeriz. ) ve (sinh x). ( anh x) grafiğini oluşturmak için ( anh(0)=1), (−1< anh(x)<1) tüm (x), için ( anh(0)=1), (−1< anh(x)<1) gerçeğini kullanırız. ( anh x→1) (x→∞) olarak ve ( anh x→−1) olarak (x→−∞). Diğer üç hiperbolik fonksiyonun grafikleri, (cosh x), (sinh x) ve ( anh x) grafikleri kullanılarak çizilebilir (Şekil (PageIndex{9}) ).

Hiperbolik Fonksiyonları İçeren Kimlikler

Şekil (PageIndex{8})'de gösterilen (cosh^2 t−sinh^2 t = 1), hiperbolik fonksiyonları içeren birkaç özdeşlikten biridir ve bazıları aşağıda listelenmiştir. İlk dört özellik, hiperbolik sinüs ve hiperbolik kosinüs tanımlarından kolayca çıkar. İşaretlerdeki bazı farklılıklar dışında, bu özelliklerin çoğu trigonometrik fonksiyonların özdeşliğine benzer.

Hiperbolik Fonksiyonları İçeren Kimlikler

  1. (cosh(−x)=cosh x)
  2. (sinh(−x)=−sinh x)
  3. (cosh x+sinh x=e^x)
  4. (cosh x−sinh x=e^{−x})
  5. (cosh^2 x−sinh^2 x=1)
  6. (1− anh^2 x=operatöradı{sech}^2 x)
  7. (coth^2 x −1=operatöradı{csch}^2 x)
  8. (sinh(x±y)=sinh x cosh y ± cosh x sinh y)
  9. (cosh(x±y)=cosh x cosh y ± sinh x sinh y)

Örnek (PageIndex{8}): Hiperbolik Fonksiyonların Değerlendirilmesi

  1. (sinh(5ln x)) basitleştirin.
  2. (sinh x=3/4) ise, kalan beş hiperbolik fonksiyonun değerlerini bulun.

Çözüm:

a. (sinh) fonksiyonunun tanımını kullanarak yazıyoruz

(sinh(5ln x)=dfrac{e^{5ln x}−e^{−5ln x}}{2}=dfrac{e^{ln (x^5) }−e^{ln (x^{−5})}}{2}=dfrac{x^5−x^{−5}}{2}.)

B. (cosh^2 x − sinh^2 x=1) kimliğini kullanarak, şunu görüyoruz:

(cosh^2 x=1+sol(frac{3}{4}sağ)^2=dfrac{25}{16}.)

Tüm (x) için (cosh x≥1) olduğundan, (cosh x=5/4) olmalıdır. Ardından, diğer hiperbolik fonksiyonların tanımlarını kullanarak, ( anh x=3/5,operatöradı{csch}x=4/3,operatöradı{sech}x=4/5) ve (coth x=5/3).

Alıştırma (PageIndex{8})

(cosh(2ln x)) basitleştirin.

İpucu

(cosh) fonksiyonunun tanımını ve logaritma fonksiyonlarının power özelliğini kullanın.

Cevap

((x^2+x^{−2})/2)

Ters Hiperbolik Fonksiyonlar

Hiperbolik fonksiyonların grafiklerinden, (cosh x) ve (operatorname{sech}x) dışında hepsinin bire bir olduğunu görüyoruz. Bu iki fonksiyonun tanım alanlarını ([0,∞),) aralığı ile sınırlandırırsak, tüm hiperbolik fonksiyonlar bire birdir ve tanımlayabiliriz. ters hiperbolik fonksiyonlar. Hiperbolik fonksiyonların kendileri üstel fonksiyonları içerdiğinden, ters hiperbolik fonksiyonlar logaritmik fonksiyonları içerir.

Tanımlar: Ters Hiperbolik Fonksiyonlar

[egin{align*} &sinh^{−1}x =operatöradı{arcsinh}x=ln left(x+sqrt{x^2+1} ight) & & cosh^{− 1}x =operatöradı{arccosh}x=ln left(x+sqrt{x^2−1}sağ)[4pt]
& anh^{−1}x=operatöradı{arctanh}x=dfrac{1}{2}ln left(dfrac{1+x}{1−x}sağ) & & coth^ {−1}x =operatöradı{arccot}x=frac{1}{2}ln left(dfrac{x+1}{x−1}sağ)[4pt]
&operatöradı{sech}^{−1}x=operatöradı{arcsech}x=ln left(dfrac{1+sqrt{1−x^2}}{x}sağ) & & operatöradı {csch}^{−1}x=operatöradı{arccsch}x=ln left(dfrac{1}{x}+dfrac{sqrt{1+x^2}}{|x|} sağ) end{hiza*}]

İlk denklemi nasıl türeteceğimize bakalım. Diğerleri de benzer şekilde takip eder. (y=sinh^{−1}x) varsayalım. Ardından, (x=sinh y) ve hiperbolik sinüs fonksiyonunun tanımına göre, (x=dfrac{e^y−e^{−y}}{2}). Öyleyse,

(e^y−2x−e^{−y}=0.)

Bu denklemi (e^y ile çarparsak, şunu elde ederiz:

(e^{2y}−2xe^y−1=0).

Bu, çözümle ikinci dereceden bir denklem gibi çözülebilir.

(e^y=dfrac{2x±sqrt{4x^2+4}}{2}=x±sqrt{x^2+1}).

(e^y>0) olduğundan, tek çözüm pozitif işaretli olandır. Denklemin her iki tarafına da doğal logaritmayı uygulayarak, şu sonuca varıyoruz:

(y=ln (x+sqrt{x^2+1}).)

Örnek (PageIndex{9}): Ters Hiperbolik Fonksiyonların Değerlendirilmesi

Aşağıdaki ifadelerin her birini değerlendirin.

(sinh^{−1}(2))

( anh^{−1}(1/4))

Çözüm:

[sinh^{−1}(2)=ln (2+sqrt{2^2+1})=ln (2+sqrt{5})≈1.4436 onumber]

[ anh^{−1}(1/4)=frac{1}{2}ln left(dfrac{1+1/4}{1−1/4}sağ)=frac {1}{2}ln left(dfrac{5/4}{3/4} ight)=frac{1}{2}ln left(dfrac{5}{3} ight) )≈0.2554 umara]

Alıştırma (PageIndex{9})

Değerlendir ( anh^{−1}(1/2)).

İpucu

( anh^{−1}x) tanımını kullanın ve sadeleştirin.

Cevap

(dfrac{1}{2}ln (3)≈0.5493).

Anahtar kavramlar

  • Üstel fonksiyon (y=b^x) eğer (b>1) ise artıyor ve (0
  • Logaritmik fonksiyon (y=log_b(x)) (y=b^x)'in tersidir. Etki alanı ((0,∞)) ve aralığı ((−∞,∞).)
  • Doğal üstel fonksiyon (y=e^x) ve doğal logaritmik fonksiyon (y=ln x=log_ex.) şeklindedir.
  • (a) tabanında bir üstel fonksiyon veya logaritmik fonksiyon verildiğinde, bu fonksiyonu herhangi bir tabana dönüştürmek için tabanda bir değişiklik yapabiliriz (b>0), (b≠1.) Genellikle tabana dönüştürürüz (e).
  • Hiperbolik fonksiyonlar, (e^x) ve (e^{−x}.) üstel fonksiyonlarının kombinasyonlarını içerir. Sonuç olarak, ters hiperbolik fonksiyonlar doğal logaritmayı içerir.

Sözlük

temel
üstel fonksiyon (f(x)=b^x) ve logaritmik fonksiyondaki (b) sayısı (f(x)=log_bx)
üs
(b^x) ifadesindeki (x) değeri
hiperbolik fonksiyonlar
(sinh,,cosh,,operatöradı{tanh},,operatöradı{csch},,operatöradı{sech},) ve (coth) ile gösterilen işlevler, belirli (e^x) ve (e^{−x}) kombinasyonları
ters hiperbolik fonksiyonlar
hiperbolik fonksiyonların tersleri burada (cosh) ve ( operatorname{sech}) ([0,∞) alanıyla sınırlıdır);bu fonksiyonların her biri bir bileşim cinsinden ifade edilebilir doğal logaritma fonksiyonunun ve cebirsel bir fonksiyonun
doğal üstel fonksiyon
(f(x)=e^x) işlevi
doğal logaritma
(ln x=log_ex) işlevi
e sayısı
(m) büyüdükçe, ((1+(1/m)^m) miktarı bir gerçek sayıya yaklaşır; bu gerçek sayıyı (e;) ('nin değeri olarak tanımlarız. e) yaklaşık olarak (2.718282)

Çarpma Olmadan exp() ve log()'u hesaplayın

Bu sayfa, temel matematiksel fonksiyonlar log(x) (e tabanına göre logaritma) ve exp(x) (e gücüne x). Algoritmalar çarpma ve bölme işlemlerinden kaçınır ve bu nedenle, bu tür talimatların bulunmadığı (veya talimatların yavaş olduğu) işlemcilerdeki yazılımlarda veya programlanabilir bir mantık aygıtı veya özel çip üzerindeki donanımda uygulanmaya uygundur.

Yöntemler, özellikle vites değiştirmenin ucuz olduğu durumlarda kullanım için uygundur: örneğin, bir vardiyanın genellikle başka bir talimatın parçası olarak ücretsiz olarak yapılabildiği ARM montajcı kodunda. Bu işlevleri, ARM assembler kodunu kullanarak, sonuç biti başına sadece birkaç döngüde hesaplayabiliriz. Netlik için, basit C'de kod örnekleri vereceğiz.

Burada açıklanan fikirler, sin(x) veya arktan(x) ortaya çıkan algoritmalar, açıklamaları birçok yerde bulunabilen CORDIC (Koordinat Döndürme Sayısal Bilgisayarı - evet, gerçekten) yöntemlerine benzer.

Prensipler

Çarpmanın kolay olduğu bazı sabitler vardır. Örneğin, 2 ile çarpma n , nerede n pozitif veya negatif bir tam sayıdır, basitçe bir sayı kaydırılarak elde edilebilir n yerler. Vardiya sola olacak n pozitif ise, sağda n negatif.

±2 biçimindeki sayılarla çarpmak neredeyse kolaydır n &artımn1. Bunlar basitçe bir toplama veya çıkarma ve bir kaydırma içerir. Örneğin, C'de a = a + (a << 1) (taşma vb. yok sayılarak) çoğalır a 3. Benzer şekilde, a = a + (a >> 4) çoğalacak a 1+2 -4 =17/16 ile.

Çarpması kolay sayıları arayacağız güzel sayılar.

Buna karşılık, 41256845 gibi rastgele bir sayı eklemek veya çıkarmak genellikle 1 gibi özel bir sayı eklemekten daha yavaş değildir. Genellikle, rastgele sayıları bir araya getirmek bir CPU'nun yapabileceği en hızlı işlemlerden biridir.

Şimdi exp() ve log() fonksiyonlarını verimli bir şekilde hesaplamak için toplama ve çarpma arasındaki bu ayrımı nasıl kullanabileceğimize bakacağız.

Exp'nin hesaplanması()

Diyelim ki hesaplamak istiyoruz y=exp(x). Örnek olarak kullanacağımız x=4. Algoritma için bir değerler dizisi üretecek x ve y, ve biz her çift için emin olacağız

İlgili değişkenlerdeki değişikliklere rağmen değeri bir algoritma aracılığıyla sabit kalan böyle bir ifadeye denir. değişmez. We shall write each pair in a row in a table, which will start like this:

Bunu not et y·exp(x)=1·exp(4)=exp(4) as required. If we can get x to 0 while maintaining the invariant, then y would be given by

and so we will have calculated the desired result in y.

Suppose we subtract some value k itibaren x. Then, to maintain the invariant, the new y değer y&prime will have to satisfy

In other words, if we subtract k itibaren x, we have to multiply y by exp(k). All we have to do now is make sure that exp(k) is a nice number, so we can multiply by it easily, and the rest is straightforward. Bunu not et k itself does not have to be nice, as we are only subtracting that, not multiplying by it. Here are some nice values of exp(k) and the corresponding (not necessarily nice) values of k.

kexp(k)
5.5452256
2.772616
1.38634
0.69312
0.40553/2
0.22315/4
0.11789/8
0.060617/16
0.030833/32
0.015565/64
0.0078129/128

Now let&rsquos try it out. At each step in the algorithm we shall subtract from x the biggest k in the above table that we can without sending x negative, and then multiply y by the corresponding exp(k).

Step 0. x=4, the biggest k we can subtract is 2.7726, and we will have to multiply y by 16. Results so far:

xy
41
4-2.7726=1.22741·16=16

Aşama 1. x=1.2274, the biggest k we can subtract is 0.6931, and we will have to multiply y by 2. Results so far:

xy
41
1.227416
1.2274-0.6931=0.534316·2=32

Adım 2. x=0.5343, the biggest k we can subtract is 0.4055, and we will have to multiply y by 3/2. Results so far:

xy
41
1.227416
0.534332
0.5343-0.4055=0.128832·3/2=48

Aşama 3. x=0.1288, the biggest k we can subtract is 0.1178, and we will have to multiply y by 9/8. Results so far:

xy
41
1.227416
0.534332
0.128848
0.1288-0.1178=0.011048·9/8=54

Adım 4. x=0.0110, the biggest k we can subtract is 0.0078, and we will have to multiply y by 129/128. Results so far:

xy
41
1.227416
0.534332
0.128848
0.011054
0.0110-0.0078=0.003254·129/128=54.42

With more entries in our table of k we could continue but the result is already pretty accurate: the correct value of exp(4) is 54.598.

Example C code

Here is a sample C function to compute exp() using the above algorithm. The code assumes integers are at least 32 bits long. The (non-negative) argument and the result of the function are both expressed as fixed-point values with 16 fractional bits. Notice that after 11 steps of the algorithm the constants involved become such that the code is simply doing a multiplication: this is explained in the note below.

The extension to negative arguments is left as an exercise.

Note that the constants involved in the trial subtractions reduce by a factor of less than or equal to 2 at each step. This means that it is never necessary to test the same constant twice.

A note on the residual error

The error in the final answer depends on the residual value in x in fact, the relative error is exp(x). Since for small x, exp(x) is approximately 1+x, it is possible to correct the final answer by multiplying it by 1+x. In the example above, 54.42·(1+0.0032)=54.594, which is about as accurate as can be expected given the rounding of our intermediate results to 4 decimal places. The advantage of applying the correction is that it roughly doubles the number of digits of accuracy in the answer the disadvantage is that it requires a general multiplication. In a software implementation, whether this is worthwhile will depend on the relative speed of this algorithm and the multiply instruction. It is unlikely to be worthwhile in a hardware implementation.

Calculating log()

Now let us try calculating y=log(x). As an example we will use x=54. (Since we know from above that exp(4)=54.598, the answer we are expecting is very slightly less than 4.) As for exp(), the algorithm generates a sequence of values for x ve y. This time our invariant is

In this case our table starts like this:

Bunu not et y=log(54/x)=log(1)=0 as required. Our aim is to get x to 1 while maintaining the invariant. Sonra y tarafından verilecek

Suppose we multiply x by some number k. Then to maintain the invariant, the new the invariant, the new y değer y&prime will have to satisfy

In other words, if we multiply x tarafından k, we have to add -log(k) ile y. We make sure that k is a nice number, so we can multiply by it easily. log(1/k) does not have to be nice as it is only involved in an addition. Here are some nice values of k and the corresponding, not necessarily nice, values of log(k) this is simply the same table as before, but with the columns exchanged.

klog(k)
162.7726
41.3863
20.6931
3/20.4055
5/40.2231
9/80.1178
17/160.0606
33/320.0308
65/640.0155
129/1280.0078

All the k values in this table are greater than 1. We will therefore have to start with x less than 1, so we begin by multiplying x by 1/256 (other nice numbers would work too) and, to maintain the invariant, adding -log(1/256)=5.5452 to y this is really just a scaling of the input and an initialisation of y. After this preparatory step our table looks like this:

xy
540
54/256=0.21095.5452

Step 0. x=0.2109, the biggest k we can multiply by is 4 (keeping x<1), and we will have to add -1.3863 to y. Results so far:

xy
0.21095.5452
0.2109*4=0.84365.5452-1.3863=4.1589

Aşama 1. x=0.8436, the biggest k we can multiply by is 9/8, and we will have to add -0.1178 to y. Results so far:

xy
0.21095.5452
0.84364.1589
0.8436*9/8=0.94914.1589-0.1178=4.0411

Adım 2. x=0.9491, the biggest k we can multiply by is 33/32, and we will have to add -0.0308 to y. Results so far:

xy
0.21095.5452
0.84364.1589
0.94914.0411
0.9491*33/32=0.97884.0411-0.0308=4.0103

Aşama 3. x=0.9788, the biggest k we can multiply by is 65/64, and we will have to add -0.0155 to y. Results so far:

xy
0.21095.5452
0.84364.1589
0.94914.0411
0.97884.0103
0.9788*65/64=0.99414.0103-0.0155=3.9948

The true answer is 3.9890. The absolute error in the answer is the log of the residual in x, in this case log(0.9941). For small x, log(1-x) is approximately equal to -x, and so the absolute error in this case is approximately 1-0.9941=0.0059. Subtract this from the final y value, and we get 3.9889: pretty good!

Notice that because we obtained the mutlak error in the answer, this final correction, which roughly doubles the number of digits of accuracy in the result, does not involve a multiplication.

Example C code

Here is a sample C function to compute log() using the above algorithm. The code assumes integers are at least 32 bits long. The (positive) argument and the result of the function are both expressed as fixed-point values with 16 fractional bits, although intermediates are kept with 31 bits of precision to avoid loss of accuracy during shifts. After 12 steps of the algorithm the correction described above is applied.

Implementation issues

The C code examples here are given for any use with no warranty whatsoever. They will need to be modified to suit your application. You may need to extend them if you want greater accuracy conversely, if you want greater speed at the expense of accuracy, you may wish to remove some of the steps. You should also check that the function covers the full range of possible input values you will encounter the examples do not include any checking of this kind at all.

You will probably find that as a result of rounding, implementations of these algorithms tend to exhibit systematic error. You may be able to get better overall accuracy by adding a small positive or negative constant to the argument of the exp() function or the result of the log() function, though possibly at the cost of no longer getting exact results for log(1) and exp(0).

ARM assembler implementations of these algorithms are particularly elegant. Each line in the C code above translates into about 3 or 4 instructions this means that the log() algorithm produces one result bit about every two cycles. Please contact me at the e-mail address on the home page if you are interested in tested ARM assembler implementations of these algorithms for a particular application.

This page most recently updated Sat 22 May 10:34:35 BST 2021


Graphing Logarithmic Functions

The function y = log b x is the inverse function of y = b x . So, it is the reflection of that graph across the diagonal line y = x .

When no base is written, assume that the log is base 10 .

x 1 1000 1 100 1 10 1 10 100 1000
y = log x &minus 3 &minus 2 &minus 1 0 1 2 3

Ücretsiz öğrenme araçları uygulamalarımızı indirin ve hazırlık kitaplarını test edin

Standart testlerin isimleri ticari marka sahiplerine aittir ve Varsity Tutors LLC ile bağlantılı değildir.

Son 100.000 oturumda 4.9/5.0 Memnuniyet Derecesi. 4/27/18 itibariyle.

Medya kuruluşu ticari markaları ilgili medya kuruluşlarına aittir ve Varsity Eğitmenleri ile bağlantılı değildir.

CBS Local ve Houston Press ödüllerine dayanan ödüllü iddia.

Varsity Tutors'ın web sitesinde belirtilen üniversitelerle herhangi bir bağlantısı yoktur.

Varsity Eğitmenleri, öğrencileri uzmanlarla birleştirir. Eğitmenler, hizmetlerini kendi stillerini, yöntemlerini ve materyallerini kullanarak her müşteriye göre uyarlayan bağımsız yüklenicilerdir.


1.5: Exponential and Logarithmic Functions

Exponential Functions: Introduction (page 1 of 5)

Exponential functions look somewhat similar to functions you have seen before, in that they involve exponents, but there is a big difference, in that the variable is now the power, rather than the base. Previously, you have dealt with such functions as F(x) = x 2 , where the variable x was the base and the number 2 was the power. In the case of exponentials, however, you will be dealing with functions such as G(x) = 2 x , where the base is the fixed number, and the power is the variable.

Let's look more closely at the function G(x) = 2 x . To evaluate this function, we operate as usual, picking values of x , plugging them in, and simplifying for the answers. But to evaluate 2 x , we need to remember how exponents work. In particular, we need to remember that negative exponents mean "put the base on the other side of the fraction line".

So, while positive x -values give us values like these:

. olumsuz x -values give us values like these:

Copyright Elizabeth Stapel 2002-2011 All Rights Reserved

Putting together the "reasonable" (nicely graphable) points, this is our T-chart:

You should expect exponentials to look like this. That is, they start small very small, so small that they're practically indistinguishable from " y = 0 ", which is the x -axis and then, once they start growing, they grow faster and faster, so fast that they shoot right up through the top of your graph.

You should also expect that your T-chart will not have many useful plot points. For instance, for x = 4 ve x = 5 , the y -values were too big, and for just about all the negative x -values, the y -values were too small to see, so you would just draw the line right along the top of the x -eksen.

Note also that my axis scales do not match. The scale on the x -axis is much wider than the scale on the y -axis the scale on the y -axis is compressed, compared with that of the x -eksen. You will probably find this technique useful when graphing exponentials, because of the way that they grow so quickly. You will find a few T-chart points, and then, with your knowledge of the general appearance of exponentials, you'll do your graph, with the left-hand portion of the graph usually running right along the x -eksen.

You may have heard of the term "exponential growth". This "starting slow, but then growing faster and faster all the time" growth is what they are referring to. Specifically, our function G(x) above doubled each time we incremented x . That is, when x was increased by 1 over what it had been, y increased to twice what it had been. This is the definition of exponential growth: that there is a consistent fixed period over which the function will double (or triple, or quadruple, etc the point is that the change is always a fixed proportion). So if you hear somebody claiming that the world population is doubling every thirty years, you know he is claiming exponential growth.

Exponential growth is "bigger" and "faster" than polynomial growth. This means that, no matter what the degree is on a given polynomial, a given exponential function will eventually be bigger than the polynomial. Even though the exponential function may start out really, really small, it will eventually overtake the growth of the polynomial, since it doubles all the time.

Örneğin, x 10 seems much "bigger" than 10 x , and initially it is:


But eventually 10 x (in blue below) catches up and overtakes x 10 (at the red circle below, where x is ten and y is ten billion), and it's "bigger" than x 10 forever after:

Exponential functions always have some positive number other than 1 as the base. If you think about it, having a negative number (such as 2 ) as the base wouldn't be very useful, since the even powers would give you positive answers (such as " ( 2) 2 = 4 ") and the odd powers would give you negative answers (such as " ( 2) 3 = 8 "), and what would you even do with the powers that aren't whole numbers? Also, having 0 or 1 as the base would be kind of dumb, since 0 and 1 to any power are just 0 and 1 , respectively what would be the point? This is why exponentials always have something positive and other than 1 as the base.


1.5: Exponential and Logarithmic Functions

When true , r some rational number, and x some expression, %e^(r*log(x)) will be simplified into x^r . It should be noted that the radcan command also does this transformation, and more complicated transformations of this ilk as well. The logcontract command "contracts" expressions containing log .

Option variable: %emode

When %emode is true , %e^(%pi %i x) is simplified as follows.

%e^(%pi %i x) simplifies to cos (%pi x) + %i sin (%pi x) if x is a floating point number, an integer, or a multiple of 1/2, 1/3, 1/4, or 1/6, and then further simplified.

For other numerical x , %e^(%pi %i x) simplifies to %e^(%pi %i y) where y is x - 2 k for some integer k such that abs(y) < 1 .

When %emode is false , no special simplification of %e^(%pi %i x) is carried out.

Option variable: %enumer

When %enumer is true , %e is replaced by its numeric value 2.718&hellip whenever numer is true .

When %enumer is false , this substitution is carried out only if the exponent in %e^x evaluates to a number.

Function: tecrübe ( x )

Represents the exponential function. Instances of exp ( x ) in input are simplified to %e^ x exp does not appear in simplified expressions.

demoivre if true causes %e^(a + b %i) to simplify to %e^(a (cos(b) + %i sin(b))) if b is free of %i . See demoivre .

%emode , when true , causes %e^(%pi %i x) to be simplified. See %emode .

%enumer , when true causes %e to be replaced by 2.718&hellip whenever numer is true . See %enumer .

Function: li [ s ] ( z )

Represents the polylogarithm function of order s and argument z , defined by the infinite series

li [1] is - log (1 - z) . li [2] and li [3] are the dilogarithm and trilogarithm functions, respectively.

When the order is 1, the polylogarithm simplifies to - log (1 - z) , which in turn simplifies to a numerical value if z is a real or complex floating point number or the numer evaluation flag is present.

When the order is 2 or 3, the polylogarithm simplifies to a numerical value if z is a real floating point number or the numer evaluation flag is present.

Function: kayıt ( x )

Represents the natural (base e) logarithm of x .

Maxima does not have a built-in function for the base 10 logarithm or other bases. log10(x) := log(x) / log(10) is an useful definition.

Simplification and evaluation of logarithms is governed by several global flags:

causes log(a^b) to become b*log(a) . If it is set to all , log(a*b) will also simplify to log(a)+log(b) . If it is set to super , then log(a/b) will also simplify to log(a)-log(b) for rational numbers a/b , a#1 . ( log(1/b) , for b integer, always simplifies.) If it is set to false , all of these simplifications will be turned off.

if false then no simplification of %e to a power containing log &rsquos is done.

if true implements the rule log(-n) -> log(n)+%i*%pi for n a positive integer.

when true , r some rational number, and x some expression, the expression %e^(r*log(x)) will be simplified into x^r . It should be noted that the radcan command also does this transformation, and more complicated transformations of this as well. The logcontract command "contracts" expressions containing log .

Option variable: logabs

When doing indefinite integration where logs are generated, e.g. integrate(1/x,x) , the answer is given in terms of log(abs(. )) if logabs is true , but in terms of log(. ) if logabs is false . For definite integration, the logabs:true setting is used, because here "evaluation" of the indefinite integral at the endpoints is often needed.

Function: logarc ( expr )

The function logarc( expr ) carries out the replacement of inverse circular and hyperbolic functions with equivalent logarithmic functions for an expression expr without setting the global variable logarc .

Option variable: logarc

When the global variable logarc is true , inverse circular and hyperbolic functions are replaced by equivalent logarithmic functions. The default value of logarc is false .

Option variable: logconcoeffp

Controls which coefficients are contracted when using logcontract . It may be set to the name of a predicate function of one argument. Örneğin. if you like to generate SQRTs, you can do logconcoeffp:'logconfun$ logconfun(m):=featurep(m,integer) or ratnump(m)$ . Then logcontract(1/2*log(x)) will give log(sqrt(x)) .

Function: logcontract ( expr )

Recursively scans the expression expr , transforming subexpressions of the form a1*log(b1) + a2*log(b2) + c into log(ratsimp(b1^a1 * b2^a2)) + c

The declaration declare(n,integer) causes logcontract(2*a*n*log(x)) to simplify to a*log(x^(2*n)) . The coefficients that "contract" in this manner are those such as the 2 and the n here which satisfy featurep(coeff,integer) . The user can control which coefficients are contracted by setting the option logconcoeffp to the name of a predicate function of one argument. Örneğin. if you like to generate SQRTs, you can do logconcoeffp:'logconfun$ logconfun(m):=featurep(m,integer) or ratnump(m)$ . Then logcontract(1/2*log(x)) will give log(sqrt(x)) .

Option variable: logexpand

If true , that is the default value, causes log(a^b) to become b*log(a) . If it is set to all , log(a*b) will also simplify to log(a)+log(b) . If it is set to super , then log(a/b) will also simplify to log(a)-log(b) for rational numbers a/b , a#1 . ( log(1/b) , for integer b , always simplifies.) If it is set to false , all of these simplifications will be turned off.

When logexpand is set to all or super , the logarithm of a product expression simplifies to a summation of logarithms.

When logexpand is true , log(a^b) simplifies to b*log(a) .

When logexpand is all , log(a*b) simplifies to log(a)+log(b) .

When logexpand is super , log(a/b) simplifies to log(a)-log(b) for rational numbers a/b with a#1 .

When logexpand is set to all or super , the logarithm of a product expression simplifies to a summation of logarithms.

When logexpand is false , these simplifications are disabled.

Option variable: lognegint

If true implements the rule log(-n) -> log(n)+%i*%pi for n a positive integer.

Option variable: logsimp

If false then no simplification of %e to a power containing log &rsquos is done.

Function: plog ( x )

Represents the principal branch of the complex-valued natural logarithm with -%pi < carg( x ) <= +%pi .

Function: sqrt ( x )

The square root of x . It is represented internally by x ^(1/2) . See also rootscontract and radexpand .


1.5: Exponential and Logarithmic Functions

The number e has been called one of the most important numbers in all of mathematics. However, it is important to remember that e is just a number. Calculated to nine decimal places,

e can be extended to countless decimal places and no patterns have ever been discovered in its digits. In this sense e, is very similar to pi.

Look at these two graphs. The first is the graph of y = e^x and the second is y= e^-x

Notice in the first graph, to the left of the y-axis, e^x increase very slowly, it crosses the axis at y = 1, and to the right of the axis, it grows at a faster and faster rate.

The second graph is just the opposite. For negative x's, the graph decays in smaller and smaller amounts. It crosses the y-axis at y = 1, and then decays at slower and slower rates.

The Natural Log

The natural log is the logarithm whose base is e. The two functions, the natural log and the exponential e, are inverses of each other. In other words, saying y = Ln[x] is the same as e^y = x.
Look at the plot of y = Ln[x].


The logarithm grows fast at first, then gradually slows. It also crosses the x-axis at 1 and can only be found for x > 0. Therefore, Log[1] = 0, Ln[0 y = a e^(b x)

where a and b are constants. The curve that we use to fit data sets is in this form so it is important to understand what happens when a and b are changed.

Recall that any number or variable when raised to the 0 power is 1. In this case if b or x is 0 then, e^0 = 1. So at the y-intercept or x = 0, the function becomes y = a * 1 or y = a. Therefore, the constant a is the y-intercept of the curve.

The other parameter in our equation is b. If b is very small and greater than 0 , the function flattens out. The curve increases at a slower rate then for large b's. On the contrary, for large b's the curve increases quickly.

Look at these two plots. The first is for an equation with a large b, and the second is for a small b. Notice the scales of the plots.

For, b's less than 0 , the same occurs except the plots look like the plot of e^-x from above.

Egzersizler


1.) Simplify the following expressions.


3.) Sketch the following curves on the same axes. Identify the domains of each equation in terms of x.


Application of Exponentials


4.) If you invest A dollars at a fixed annual interest rate, r and interest is compounded continuously to your account, the amount of money, Ao, you will have at the end of t years is,

Compounded continuously means that the money in your account is continuously being added interest. It can almost be said that the interest is being added every second, day or night.

a.) You deposit $621 in an account that pays 10% interest. How much money will you have after 8 years? after 10 years?

b.) How long will it take you to double your money if you invest $500 at an interest rate 6%?


1.5: Exponential and Logarithmic Functions

The composition of a function with its inverse returns the starting value, x.

This concept will be used to solve equations involving exponentials and logarithms.

Now that we have a basic idea of a logarithmic function, let's take a closer look at its graph.

Let's examine the function:

The value of B (the 2) is referred to as the temel of the logarithm.

Notice that x must be positive.

Not: In a linear graph, the " rate of change " remains the same across the entire graph.
In a logarithmic graph, the "rate of change" increases (or decreases) across the graph.

For help with logarithms on
your calculator,
click here.

For "other bases" use the following "change of base" conversion:


Or use logBASE( template at MATH &rarr arrow down to A:logBASE(.

The graphs of functions of the form have certain characteristics in common.

• graph crosses the x-axis at (1,0)

• when B > 1, the graph increases

• when 0 < B < 1, the graph decreases

• the domain is all positive real numbers (never zero)

• the range is all real numbers

• graph passes the vertical line test for functions

• graph passes the horizontal line test for functional inverse.

• graph is asymptotic to the y-axis - gets very, very close to the y-axis but, in this case, does not touch it or cross it.

We know that transformations have the ability to move functions by sliding them, reflecting them, stretching them, and shrinking them. Let's see how these changes will affect the logarithmic function:

Parent function:

Translation y = kayıtB(x - h) + k
horizontal by h: vertical by k:


Domain: x > h
Range: x &isin Real numbers

Herşey 3 transformations combined: y = a kayıtB(x - h) + k

By examining the nature of the logarithmic graph, we have seen that the parent function will stay to the right of the x-axis, unless acted upon by a transformation.
• The parent function , y = kayıtB x, will always have an x-intercept of one , occurring at the ordered pair of (1,0).
Var numara y-intercept with the parent function since it is asymptotic to the y-axis (approaches the y-axis but does not touch or cross it).

• The transformed parent function of the form y = akayıtB x, will also always have a x-intercept of 1 , occurring at the ordered pair of (1, 0). Note that the value of a may be positive or negative.
Like the parent function, this transformation will be asymptotic to the y-axis, and will have numara y-intercept.


• If the transformed parent function includes a vertical or horizontal shift , all bets are off. The horizontal shift will affect the possibility of a y-intercept and the vertical shift will affect the x-tutmak. In this situation, you will need to examine the graph carefully to determine what is happening.

• The end behavior of a transformed parent function is not always consistent, but is dependent upon the nature of the transformation. Consider this example:

For the transformed equation

the horizontal shift of +5 will push the
asymptote line to the left five units.
Thus the end behavior will be:

NS y-intercept, nerede x = 0, is
y =kayıt 2 (0 + 5) + 4 &asymp 6.321928095.
NS x-intercept, nerede y = 0, is
approximately -4.94 (from the graph's table) .



Don't confuse log graphs
with square root graphs.
At fist glance, these two graphs appear to be similar. But the square root graph is actually ending, while the log graph is not.


1.5: Exponential and Logarithmic Functions

log computes logarithms, by default natural logarithms, log10 computes common (i.e., base 10) logarithms, and log2 computes binary (i.e., base 2) logarithms. The general form log(x, base) computes logarithms with base base .

log1p(x) computes log(1+x) accurately also for |x| << 1.

exp computes the exponential function.

expm1(x) computes exp(x) - 1 accurately also for |x| << 1.

Kullanım

Argümanlar

a numeric or complex vector.

a positive or complex number: the base with respect to which logarithms are computed. Defaults to e= exp(1) .

Detaylar

All except logb are generic functions: methods can be defined for them individually or via the Math group generic.

log10 and log2 are only convenience wrappers, but logs to bases 10 and 2 (whether computed via log or the wrappers) will be computed more efficiently and accurately where supported by the OS. Methods can be set for them individually (and otherwise methods for log will be used).

logb is a wrapper for log for compatibility with S. If (S3 or S4) methods are set for log they will be dispatched. Do not set S4 methods on logb itself.

All except log are primitive functions.

Değer

A vector of the same length as x containing the transformed values. log(0) gives -Inf , and log(x) for negative values of x is NaN . exp(-Inf) is 0 .

For complex inputs to the log functions, the value is a complex number with imaginary part in the range [-pi, pi]: which end of the range is used might be platform-specific.

S4 methods

exp , expm1 , log , log10 , log2 and log1p are S4 generic and are members of the Math group generic.

Note that this means that the S4 generic for log has a signature with only one argument, x , but that base can be passed to methods (but will not be used for method selection). On the other hand, if you only set a method for the Math group generic then base argument of log will be ignored for your class.

Source

log1p and expm1 may be taken from the operating system, but if not available there then they are based on the Fortran subroutine dlnrel by W. Fullerton of Los Alamos Scientific Laboratory (see https://www.netlib.org/slatec/fnlib/dlnrel.f) and (for small x) a single Newton step for the solution of log1p(y) = x respectively.

Referanslar

Becker, R. A., Chambers, J. M. and Wilks, A. R. (1988) The New S Language. Wadsworth & Brooks/Cole. (for log , log10 and exp .)

Chambers, J. M. (1998) Programming with Data. A Guide to the S Language. Springer. (for logb .)


1.5: Exponential and Logarithmic Functions

Logarithmic Functions

Algebraic Representation

Like an exponential, a logarithm's essential features can be described with just two parameters.

Like an exponential, the parameter B denir temel.

Unlike an exponential, the parameter a is not the y-intercept! Indeed, members of this basic family of logarithms have no y-intercepts. To discover the meaning of a , we must consider more closely the inverse nature of exponentials and logarithms.

Recall that if we write (or We use the same notation for any base. Thus, if we write

More on log notation :

Exponentials and logarithms are just different ways of expressing this relationship. The function asks for the value y that results when b is raised to the exponent x . The function asks for the exponent y for which results in The difference is: Which of x and y are you given and which do you wish to find? Which is the input and which is the output?

This explains the "mirror image" relationship between exponentials and logarithms with the same base. If (x, y) is an input-output pair for one function, then (y, x) is an input-output pair for the other.

It also helps us to explain the meaning of the parameter a . Since That is, The parameter a is the output when the input is the base. Nice, but not terribly useful.

It is better to think of a olarak scaling factor, adjusting the outputs of log B (x) up or down as a increases or decreases, respectively.

Because the base of a logarithm is really the base of an exponential in disguise, we carry over the restriction given for exponentials:

For exponentials, this condition assured that outputs from were always positive. For logarithms, this is a restriction that says the girdiler must always be positive. Logarithms live entirely to the right of the y-axis. We say that they have a limited domain.


Cebir II

In this module, students synthesize and generalize what they have learned about a variety of function families. They extend the domain of exponential functions to the entire real line (N-RN.A.1) and then extend their work with these functions to include solving exponential equations with logarithms (F-LE.A.4). They explore (with appropriate tools) the effects of transformations on graphs of exponential and logarithmic functions. They notice that the transformations on a graph of a logarithmic function relate to the logarithmic properties (F-BF.B.3). Students identify appropriate types of functions to model a situation. They adjust parameters to improve the model, and they compare models by analyzing appropriateness of fit and making judgments about the domain over which a model is a good fit. The description of modeling as, “the process of choosing and using mathematics and statistics to analyze empirical situations, to understand them better, and to make decisions,” is at the heart of this module. In particular, through repeated opportunities in working through the modeling cycle (see page 61 of the CCLS), students acquire the insight that the same mathematical or statistical structure can sometimes model seemingly different situations.

The student materials consist of the student pages for each lesson in Module 3.

The copy ready materials are a collection of the module assessments, lesson exit tickets and fluency exercises from the teacher materials.

Water Tank Demo Video for Lesson 6
The following are links to the instructional video used in lesson 6:

This video can also be downloaded from the "Downloadable Resources" section on the Algebra II Module 3 Lesson 6 page.


Videoyu izle: Üstel ve Logaritmik Fonksiyon 1 Soru Çözümü 1 MEB Kazanım Testi I Ali Ahsen Akti (Aralık 2021).