Nesne

3.2: İki Değişkenli Lineer Sistemlerin Çözümü


Öğrenme hedefleri

  • Yerine koyma yöntemini kullanarak doğrusal sistemleri çözün.
  • Eleme yöntemini kullanarak doğrusal sistemleri çözün.
  • Her yöntemin güçlü ve zayıf yönlerini belirleyin.

İkame Yöntemi

Bu bölümde, sistemleri çözmek için tamamen cebirsel bir tekniği gözden geçireceğiz. ikame yöntem11. Buradaki fikir, değişkenlerden biri için bir denklemi çözmek ve sonucu diğer denklemin yerine koymaktır. Bu ikame adımını gerçekleştirdikten sonra, cebir kullanılarak çözülebilen tek değişkenli tek bir denklem kalır.

Örnek (PageIndex{1}):

Yerine koyarak çöz: (left{ egin{array} { l } { 2 x + y = - 3 } { 3 x - 2 y = - 8 } end{array} ight.).

Çözüm

Her iki denklemde de herhangi bir değişken için çözün. İlk denklemi seçerseniz, (y)'yi tek adımda yalıtabilirsiniz.

içindeki (y) değişkeni için (-2x-3) ifadesini değiştirin. diğer denklem.

Bu bize, bu noktaya kadar öğrenilen teknikler kullanılarak çözülebilecek tek değişkenli eşdeğer bir denklem bırakıyor. Kalan değişken için çözün.

Geri vekil12 diğer koordinatı bulmak için (x = −2) ifadesini orijinal denklemlerden veya eşdeğerlerinden birine koyun. Tipik olarak, ilk adımda bir değişkeni izole ederken bulduğumuz eşdeğer denklemi kullanırız.

Çözümü sıralı bir çift olarak sunmayı unutmayın: ((−2, 1)). Bu koordinatların orijinal sistemin her iki denklemini de çözdüğünü doğrulayın:

Kontrol etmek: ((-2,1))denklem 1denklem 2Tablo (PageIndex{1})

Bu lineer sistemin grafiği aşağıdaki gibidir:

Sistemleri çözmek için ikame yöntemi tamamen cebirsel bir yöntemdir. Böylece çizgilerin grafiğini çizmek gerekli değildir.

Cevap:

((-2, 1))

Örnek (PageIndex{2}):

Yerine koyarak çöz: (left{ egin{array} { l } { 3 x - 5 y = 9 } { 4 x + 2 y = - 1 } end{array} ight.).

Çözüm

İlk önce hangi değişkeni izole etmeyi seçtiğimiz önemli değil. Bu durumda, ilk denklemde (x)'i çözerek başlayın.

Ardından, ikinci denklemi yerine koyun ve (y) için çözün.

İkame adımında kullanılan denklemde geri yerine koyun:

Cevap:

(sol( frac { 1 } { 2 } , - frac { 3 } { 2 } sağ))

Alıştırma (PageIndex{1})

Yerine koyarak çöz: (left{ egin{array} { l } { 5 x - 4 y = 3 } { x + 2 y = 2 } end{array} ight.).

Cevap

(sol( 1 , frac { 1 } { 2 } sağ))

www.youtube.com/v/GzPhthhKeDA

Bildiğimiz gibi, tüm lineer sistemler sadece bir sıralı ikili çözüme sahip değildir. Ardından, bağımlı bir sistemi çözmek için ikame yöntemini kullanırken ne olduğunu keşfedeceğiz.

Örnek (PageIndex{3}):

Yerine koyarak çöz: (left{ egin{array} { l } { - 5 x + y = - 1 } { 10 x - 2 y = 2 } end{array} ight.).

Çözüm

İlk denklem (1) katsayılı bir terime sahip olduğundan, önce bunu çözmeyi seçiyoruz.

Ardından, bu ifadeyi ikinci denklemde (y) yerine koyun.

Bu süreç doğru bir ifadeye yol açtı; dolayısıyla denklem bir özdeşliktir ve herhangi bir gerçek sayı bir çözümdür. Bu, sistemin bağımlı olduğunu gösterir. Eşzamanlı çözümler ((x, mx + b)) veya bu durumda ((x, 5x − 1)) biçimini alır, burada (x) herhangi bir gerçek sayıdır.

Cevap:

(( x , 5 x - 1 ))

Önceki örneği daha iyi anlamak için, her iki denklemi de eğim-kesme noktası biçiminde yeniden yazın ve aynı eksen kümesi üzerinde grafiklerini çizin.

Her iki denklemin de aynı doğruyu temsil ettiğini ve dolayısıyla sistemin bağımlı olduğunu görebiliriz. Şimdi, ikame yöntemini kullanarak tutarsız bir sistemi çözerken ne olduğunu keşfedin.

Örnek (PageIndex{4}):

Yerine koyarak çöz: (left{ egin{array} { l } { - 7 x + 3 y = 3 } { 14 x - 6 y = - 16 } end{array} ight.) .

Çözüm

İlk denklemde (y) için çözün.

İkinci denklemde yerine koy ve çöz.

Çözmek yanlış bir ifadeye yol açar. Bu, denklemin bir çelişki olduğunu gösterir. (x) için bir çözüm yoktur ve dolayısıyla sistem için bir çözüm yoktur.

Cevap:

(varhiçbir şey)

Yanlış bir ifade, sistemin tutarsız olduğunu veya geometrik olarak doğruların paralel olduğunu ve kesişmediğini gösterir. Bunu göstermek için, her bir doğrunun eğim-kesişim biçimini belirleyin ve bunları aynı eksen kümesi üzerinde grafikleyin.

Eğim-kesme noktası formunda, iki doğrunun aynı eğime ancak farklı (y)-kesişimlerine sahip olduğunu görmek kolaydır.

Alıştırma (PageIndex{2})

Yerine koyarak çöz: (left{ egin{array} { r } { 2 x - 5 y = 3 } { 4 x - 10 y = 6 } end{array} ight.).

Cevap

(left( x , frac { 2 } { 5 } x - frac { 3 } { 5 } sağ))

www.youtube.com/v/JKX9M-L9Wow

Eliminasyon Yöntemi

Bu bölümde amaç, bir lineer denklem sistemini çözmek için tamamen cebirsel başka bir yöntemi gözden geçirmektir. eliminasyon yöntem13 veya ek yöntem14. Bu yöntem şunlara bağlıdır: ek özelliği denklemler15: elimizdeki A, B, C ve D cebirsel ifadeleri verildi

( ext{If} :A = B ext { ve } C = D , ext { o zaman } A + C = B + D)

(y) değişkenini ortadan kaldırmak için denklemleri toplayabiliriz.

Bu bize, kolayca çözülebilecek bir değişkenli doğrusal bir denklem bırakır:

(egin{aligned} 2 x & = 6 x & = 3 end{aligned})

Bu noktada, eşzamanlı çözümün (x)-koordinatına sahibiz, bu yüzden tek yapılması gereken karşılık gelen (y)-değerini bulmak için geri yerine koymaktır.

(egin{dizi} { r } { x + y = 5 } { color{OliveGreen}{3} color{Siyah}{+} y = 5 } { y = 2 } end{ dizi})

Sistemin çözümü ((3, 2)) şeklindedir. Tabii ki, değişken her zaman bu kadar kolay ortadan kaldırılmaz. Tipik olarak, denklemlerden birine veya her ikisine eşitliğin çarpma özelliğini uygulayarak, değişkenlerden birini elimine etmek için sıraya koymak için bir eşdeğer sistem bulmamız gerekir. Amaç, ya (x) terimlerinin ya da (y) terimlerinin zıt olduğunu düzenlemektir, böylece denklemler eklendiğinde terimler ortadan kalkar.

Örnek (PageIndex{5}):

Eleme ile çözün: (left{ egin{array} { l } { 5 x - 3 y = - 1 } { 3 x + 2 y = 7 } end{array} ight.).

Çözüm

Katsayıları farklı işaretlere sahip olduğundan, terimleri (y) değişkeni ile elemeyi seçiyoruz. Bunu yapmak için önce katsayıların en küçük ortak katını belirleriz; bu durumda, (LCM(3, 2)) (6) olur. Bu nedenle, (−6) ve (6) katsayılarını elde etmek için her iki denklemin her iki tarafını da uygun değerlerle çarpın. Bu, aşağıdaki eşdeğer sistemle sonuçlanır:

(y) içeren terimler artık ortadan kaldırmak için sıralanmıştır. Denklemleri toplayın ve (x) için çözün.

Arka yedek.

(egin{hizalanmış} 3 x + 2 y & = 7 3 ( color{OliveGreen}{1}color{Siyah}{ )} + 2 y & = 7 3 + 2 y & = 7 2 y & = 4 y & = 2 end{hizalanmış})

Bu nedenle eş zamanlı çözüm ((1, 2)). Çek takip eder.

Kontrol etmek: ((1, 2))
denklem 1:denklem 2:
(egin{array} { r } { 3 x + 2 y = 7 } { 3 ( color{Cerulean}{1}color{Black}{ )} + 2 ( color{Cerulean}{2 }color{Siyah}{ )} = 7 } { 3 + 4 = 7 } { 7 = 7 } ::color{Cerulean}{✓}end{dizi})
Tablo (PageIndex{2})

Cevap:

((1, 2))

Bazen doğrusal sistemler standart biçimde (ax + by = c) verilmez. Bu durumda, eleme yoluyla çözülecek adımlara başlamadan önce denklemleri yeniden düzenlemek en iyisidir. Ayrıca, her iki değişkeni de ortadan kaldırabiliriz. Amaç, değişkenlerden biri için bir çözüm elde etmek ve ardından diğeri için bir çözüm bulmak için geri ikame etmektir.

Örnek (PageIndex{6}):

Eleme ile çözün: (left{ egin{aligned} 12 x + 5 y & = 11 3 x & = 4 y + 1 end{aligned} ight.).

Çözüm:

İlk olarak, ikinci denklemi standart biçimde yeniden yazın.

Bu, benzer terimlerin sütunlarda hizalandığı standart biçimde eşdeğer bir sistemle sonuçlanır.

İkinci denklemi (−4) ile çarparsak, (x) değişkeniyle terimi ortadan kaldırabiliriz.

Sonra denklemleri toplarız,

Arka yedek.

(egin{dizi} { l } { 3 x = 4 y + 1 } { 3 x = 4 left( color{OliveGreen}{frac { 1 } { 3 }} sağ) + 1 } { 3 x = frac { 4 } { 3 } + 1 } { 3 x = frac { 7 } { 3 } } { x = frac { 7 } { 3 } cdot frac { 1 } { 3 } } { x = frac { 7 } { 9 } } end{dizi})

Cevap:

(sol( frac { 7 } { 9 } , frac { 1 } { 3 } sağ))

Alıştırma (PageIndex{3})

Eleme ile çözün: (left{ egin{array} { l } { 2 x + 5 y = 5 } { 3 x + 2 y = - 9 } end{array} ight.).

Cevap

((-5, 3))

www.youtube.com/v/FX90hfggjbI

Bu noktada, eleme yöntemini kullanarak bağımlı ve tutarsız sistemleri çözerken neler olduğunu araştırıyoruz.

Örnek (PageIndex{7}):

Eleme ile çözün: (left{ egin{array} { c } { 3 x - y = 7 } { 6 x - 2 y = 14 } end{array} ight.).

Çözüm

(x) değişkenini ortadan kaldırmak için, ilk denklemi (−2) ile çarpabiliriz.

Şimdi elimizdeki denklemleri ekleyerek

Doğru bir ifade, bunun bağımlı bir sistem olduğunu gösterir. Doğrular çakışıyor ve çözüm kümesini ((x, mx + b)) biçiminde sunmak için (x) cinsinden (y)'ye ihtiyacımız var. Orijinal denklemlerden birini seçin ve (y) için çözün. Denklemler denk olduğu için hangisini seçtiğimiz önemli değil.

Cevap:

(( x , 3 x - 7 ))

Alıştırma (PageIndex{4})

Eleme ile çözün: (left{ egin{array} { l } { 3 x + 15 y = - 15 } { 2 x + 10 y = 30 } end{array} ight.).

Cevap

Çözüm yok, (varnothing)

www.youtube.com/v/E4B0lMLEliY

Denklemlerin kesirli katsayılara sahip olduğu bir lineer sistem verildiğinde, eleme yöntemine başlamadan önce kesirleri temizlemek genellikle en iyisidir.

Örnek (PageIndex{8}):

Çöz: (left{ egin{array} { l } { - frac { 1 } { 10 } x + frac { 1 } { 2 } y = frac { 4 } { 5 } } { frac { 1 } { 7 } x + frac { 1 } { 3 } y = - frac { 2 } { 21 } } end{dizi} sağ.).

Çözüm

Bir denklemin her iki tarafını da paydaların (LCD) en küçük ortak katı ile çarparak kesirleri temizleyebileceğimizi hatırlayın. Dağıtmaya ve ardından sadeleştirmeye özen gösterin.

denklem 1denklem 2
Tablo (PageIndex{3})

Bu, denklemlerin tamsayı katsayılarına sahip olduğu eşdeğer bir sistemle sonuçlanır,

Yok etme yöntemini kullanarak çözün.

Şekil (PageIndex{7})

Arka yedek.

Cevap:

((-3,1))

Çözmeden önce ondalık sayıları temizlemek için benzer bir teknik kullanabiliriz.

Alıştırma (PageIndex{5})

Elemeyi kullanarak çözün: (left{ egin{array} { l } { frac { 1 } { 3 } x - frac { 2 } { 3 } y = 3 } { frac { 1 } { 3 } x - frac { 1 } { 2 } y = frac { 8 } { 3 } } end{dizi} sağ.).

Cevap

((5, -2))

www.youtube.com/v/ujlpeP7nakE

Lineer Sistemleri Çözme Yöntemlerinin Özeti

İki değişkenli iki denklemin lineer sistemlerini çözmek için üç yöntemi inceledik. Her yöntem geçerlidir ve aynı doğru sonucu verebilir. Bu bölümde, her yöntemin güçlü ve zayıf yönlerini özetliyoruz.

Grafik yöntemi, bir denklem sisteminin ne olduğunu ve çözümlerin nasıl görünmesi gerektiğini anlamak için kullanışlıdır. Bir sistemin denklemleri aynı eksenler üzerinde çizildiğinde, çözümün grafiklerin kesiştiği nokta olduğunu görebiliriz. Denklemler eğim-kesişim biçiminde olduğunda grafikleme kolaylaşır. Örneğin,

Eşzamanlı çözüm ((−1, 10)) kesişme noktasına karşılık gelir. Bu yöntemin bir dezavantajı, çok yanlış olmasıdır. Çözümün koordinatları tamsayı olmadığında, yöntem pratik olarak kullanılamaz. Eğer bir seçeneğimiz varsa, genellikle daha doğru cebirsel teknikler lehine bu yöntemden kaçınırız.

Yerine koyma yöntemi ise tamamen cebirsel bir yöntemdir. Değişkenlerden birini çözmenizi ve sonucu diğer denklemle değiştirmenizi gerektirir. Ortaya çıkan denklem, çözebileceğiniz bir değişkene sahiptir. Bu yöntem özellikle sistemde (1) katsayılı bir değişken olduğunda kullanışlıdır. Örneğin,

(left{ egin{dizi} { l } { 10 x + y = 20 } { 7 x + 5 y = 14 } end{dizi} sağ. color{Cerulean}{Seç: the: substitution: method.} quad)

Bu durumda, ilk denklemdeki (y)'yi çözmek ve ardından sonucu diğer denklemde yerine koymak kolaydır. Bu yöntemin bir dezavantajı, genellikle üzerinde çalışmak sıkıcı olan kesirli katsayılı eşdeğer denklemlere yol açmasıdır. (1) katsayısı yoksa, o zaman genellikle en iyisi eleme yöntemini seçmektir.

Eleme yöntemi, denklemlerin toplama özelliğinden yararlanan tamamen cebirsel bir yöntemdir. Denklemlerden birini veya her ikisini birden çarparsak, değişkenlerden birinin ortadan kaldırıldığı eşdeğer denklemler elde ederiz. Örneğin,

(x) içeren terimleri ortadan kaldırmak için, birinci denklemin her iki tarafını (5) ile ve ikinci denklemin her iki tarafını da (−2) ile çarpardık. Bu, denklemleri bir araya topladığımızda (x) değişkeninin elimine edildiği eşdeğer bir sistemle sonuçlanır. Tabii ki, aynı sonucu elde eden başka sayı kombinasyonları da var. (y) değişkenini ortadan kaldırmayı bile seçebiliriz. Hangi değişken önce elimine edilirse edilsin çözüm aynı olacaktır. Bu durumda ikame yönteminin kesirli katsayılarla sıkıcı hesaplamalar gerektireceğini unutmayın. Cebir çalışmamızda daha sonra göreceğimiz gibi, eleme yönteminin bir zayıflığı, doğrusal olmayan sistemler için her zaman çalışmamasıdır.

Önemli Çıkarımlar

  • Yerine koyma yöntemi, değişkenlerden birini çözmemizi ve ardından sonucu diğer denklemde yerine koymamızı gerektirir. İkame adımı gerçekleştirildikten sonra elde edilen denklem bir değişkene sahiptir ve bu noktaya kadar öğrenilen teknikler kullanılarak çözülebilir.
  • Eleme yöntemi, bir denklem sistemini çözmek için tamamen cebirsel başka bir yöntemdir. Her iki denklemdeki en az bir değişkenin zıt katsayılara sahip olduğu eşdeğer bir sistem elde etmek için bir sistemdeki denklemlerden birini veya her ikisini belirli sayılarla çarpın. Bu eşdeğer denklemleri bir araya getirmek, bu değişkeni ortadan kaldırır ve ortaya çıkan denklemde, çözebileceğiniz bir değişken bulunur.
  • Eleme yöntemine başlamadan önce denklemleri standart biçimde yeniden yazmak iyi bir uygulamadır.
  • İki değişkenli iki doğrusal denklem sistemlerinin çözümleri, varsa, sıralı çiftlerdir ((x, y)).
  • Bir denklem sistemini çözme süreci yanlış bir ifadeye yol açarsa, sistem tutarsızdır ve çözüm yoktur, (Ø).
  • Bir denklem sistemini çözme süreci bir özdeşliğe yol açarsa, sistem bağımlıdır ve ((x, mx + b) formu kullanılarak ifade edilebilecek sonsuz sayıda çözüm vardır).

Alıştırma (PageIndex{6})

Değiştirerek çözün.

  1. (left{ egin{dizi} { l } { y = - 5 x + 1 } { 4 x - 3 y = - 41 } end{dizi} sağ.)
  2. (left{ egin{dizi} { l } { x = 2 y - 3 } { x + 3 y = - 8 } end{dizi} sağ.)
  3. (left{ egin{dizi} { l } { y = x } { 2 x + 3 y = 10 } end{dizi} sağ.)
  4. (left{ egin{dizi} { l } { y = frac { 1 } { 2 } x + frac { 1 } { 3 } } { x - 6 y = 4 } end{dizi } Sağ.)
  5. (left{ egin{dizi} { l } { y = 4 x + 1 } { - 4 x + y = 2 } end{dizi} sağ.)
  6. (left{ egin{dizi} { l } { y = - 3 x + 5 } { 3 x + y = 5 } end{dizi} sağ.)
  7. (left{ egin{dizi} { l } { y = 2 x + 3 } { 2 x - y = - 3 } end{dizi} sağ.)
  8. (left{ egin{dizi} { l } { y = frac { 2 } { 3 } x - 1 } { 6 x - 9 y = 0 } end{dizi} sağ.)
  9. (left{ egin{dizi} { l } { y = - 2 } { - 2 x - y = - 6 } end{dizi} sağ.)
  10. (left{ egin{dizi} { l } { y = - frac { 1 } { 5 } x + 3 } { 7 x - 5 y = 9 } end{dizi} sağ. )
  11. (left{ egin{dizi} { l } { x + y = 1 } { 3 x - 5 y = 19 } end{dizi} sağ.)
  12. (left{ egin{dizi} { l } { x - y = 3 } { - 2 x + 3 y = - 2 } end{dizi} sağ.)
  13. (left{ egin{dizi} { l } { 2 x + y = 2 } { 3 x - 2 y = 17 } end{dizi} sağ.)
  14. (left{ egin{dizi} { l } { x - 3 y = - 11 } { 3 x + 5 y = - 5 } end{dizi} sağ.)
  15. (left{ egin{dizi} { l } { x + 2 y = - 3 } { 3 x - 4 y = - 2 } end{dizi} sağ.)
  16. (left{ egin{dizi} { l } { 5 x - y = 12 } { 9 x - y = 10 } end{dizi} sağ.)
  17. (left{ egin{dizi} { l } { x + 2 y = - 6 } { - 4 x - 8 y = 24 } end{dizi} sağ.)
  18. (left{ egin{dizi} { l } { x + 3 y = - 6 } { - 2 x - 6 y = - 12 } end{dizi} sağ.)
  19. (left{ egin{dizi} { l } { - 3 x + y = - 4 } { 6 x - 2 y = - 2 } end{dizi} sağ.)
  20. (left{ egin{dizi} { l } { x - 5 y = - 10 } { 2 x - 10 y = - 20 } end{dizi} sağ.)
  21. (left{ egin{dizi} { l } { 3 x - y = 9 } { 4 x + 3 y = - 1 } end{dizi} sağ.)
  22. (left{ egin{dizi} { l } { 2 x - y = 5 } { 4 x + 2 y = - 2 } end{dizi} sağ.)
  23. (left{ egin{dizi} { l } { 2 x - 5 y = 1 } { 4 x + 10 y = 2 } end{dizi} sağ.)
  24. (left{ egin{dizi} { l } { 3 x - 7 y = - 3 } { 6 x + 14 y = 0 } end{dizi} sağ.)
  25. (left{ egin{dizi} { l } { 10 x - y = 3 } { - 5 x + frac { 1 } { 2 } y = 1 } end{dizi} sağ. )
  26. (left{ egin{dizi} { l } { - frac { 1 } { 3 } x + frac { 1 } { 6 } y = frac { 2 } { 3 } } { frac { 1 } { 2 } x - frac { 1 } { 3 } y = - frac { 3 } { 2 } } end{dizi} sağ.)
  27. (left{ egin{dizi} { l } { frac { 1 } { 3 } x + frac { 2 } { 3 } y = 1 } { frac { 1 } { 4 } x - frac { 1 } { 3 } y = - frac { 1 } { 12 } } end{dizi} sağ.)
  28. (left{ egin{dizi} { l } { frac { 1 } { 7 } x - y = frac { 1 } { 2 } } { frac { 1 } { 4 } x + frac { 1 } { 2 } y = 2 } end{dizi} sağ.)
  29. (left{ egin{dizi} { l } { - frac { 3 } { 5 } x + frac { 2 } { 5 } y = frac { 1 } { 2 } } { frac { 1 } { 3 } x - frac { 1 } { 12 } y = - frac { 1 } { 3 } } end{dizi} sağ.)
  30. (left{ egin{dizi} { l } { frac { 1 } { 2 } x = frac { 2 } { 3 } y } { x - frac { 2 } { 3 } y = 2 } end{dizi} sağ.)
  31. (left{ egin{dizi} { l } { - frac { 1 } { 2 } x + frac { 1 } { 2 } y = frac { 5 } { 8 } } { frac { 1 } { 4 } x + frac { 1 } { 2 } y = frac { 1 } { 4 } } end{dizi} sağ.)
  32. (left{ egin{dizi} { l } { x - y = 0 } { - x + 2 y = 3 } end{dizi} sağ.)
  33. (left{ egin{dizi} { l } { y = 3 x } { 2 x - 3 y = 0 } end{dizi} sağ.)
  34. (left{ egin{dizi} { l } { - 3 x + 4 y = 20 } { 2 x + 8 y = 8 } end{dizi} sağ.)
  35. (left{ egin{dizi} { l } { 5 x - 3 y = - 1 } { 3 x + 2 y = 7 } end{dizi} sağ.)
  36. (left{ egin{dizi} { l } { - 3 x + 7 y = 2 } { 2 x + 7 y = 1 } end{dizi} sağ.)
  37. (left{ egin{dizi} { l } { x = 5 } { x = - 2 } end{dizi} sağ.)
  38. (left{ egin{dizi} { l } { y = 4 } { 5 y = 20 } end{dizi} sağ.)
Cevap

1. ((-2,11))

3. ((2,2))

5. (varhiçbir şey)

7. (( x , 2 x + 3 ))

9. (( 4 , - 2 ))

11. (( 3 , - 2 ))

13. (( 3 , - 4 ))

15. (sol( - frac { 8 } { 5 } , - frac { 7 } { 10 } sağ))

17. (sol( x , - frac { 1 } { 2 } x - 3 sağ))

19. (varhiçbir şey)

21. (( 2 , - 3 ))

23. (sol( frac { 1 } { 2 } , 0 sağ))

25. (varhiçbir şey)

27. (( 1,1 ))

29. (sol( - frac { 11 } { 10 } , - frac { 2 } { 5 } sağ))

31. (sol( - frac { 1 } { 2 } , frac { 3 } { 4 } sağ))

33. ((0,0))

35. ((1, 2))

37. (varhiçbir şey)

Alıştırma (PageIndex{7})

Yok ederek çözün.

  1. (left{ egin{dizi} { l } { 6 x + y = 3 } { 3 x - y = 0 } end{dizi} sağ.)
  2. (left{ egin{dizi} { l } { x + y = 3 } { 2 x - y = 9 } end{dizi} sağ.)
  3. (left{ egin{dizi} { l } { x - y = - 6 } { 5 x + y = - 18 } end{dizi} sağ.)
  4. (left{ egin{dizi} { l } { x + 3 y = 5 } { - x - 2 y = 0 } end{dizi} sağ.)
  5. (left{ egin{dizi} { l } { - x + 4 y = 4 } { x - y = - 7 } end{dizi} sağ.)
  6. (left{ egin{dizi} { l } { - x + y = 2 } { x - y = - 3 } end{dizi} sağ.)
  7. (left{ egin{dizi} { l } { 3 x - y = - 2 } { 6 x + 4 y = 2 } end{dizi} sağ.)
  8. (left{ egin{dizi} { l } { 5 x + 2 y = - 3 } { 10 x - y = 4 } end{dizi} sağ.)
  9. (left{ egin{dizi} { l } { - 2 x + 14 y = 28 } { x - 7 y = 21 } end{dizi} sağ.)
  10. (left{ egin{dizi} { l } { - 2 x + y = 4 } { 12 x - 6 y = - 24 } end{dizi} sağ.)
  11. (left{ egin{dizi} { l } { x + 8 y = 3 } { 3 x + 12 y = 6 } end{dizi} sağ.)
  12. (left{ egin{dizi} { l } { 2 x - 3 y = 15 } { 4 x + 10 y = 14 } end{dizi} sağ.)
  13. (left{ egin{dizi} { l } { 4 x + 3 y = - 10 } { 3 x - 9 y = 15 } end{dizi} sağ.)
  14. (left{ egin{dizi} { l } { - 4 x - 5 y = - 3 } { 8 x + 3 y = - 15 } end{dizi} sağ.)
  15. (left{ egin{dizi} { l } { - 2 x + 7 y = 56 } { 4 x - 2 y = - 112 } end{dizi} sağ.)
  16. (left{ egin{dizi} { l } { - 9 x - 15 y = - 15 } { 3 x + 5 y = - 10 } end{dizi} sağ.)
  17. (left{ egin{dizi} { l } { 6 x - 7 y = 4 } { 2 x + 6 y = - 7 } end{dizi} sağ.)
  18. (left{ egin{dizi} { l } { 4 x + 2 y = 4 } { - 5 x - 3 y = - 7 } end{dizi} sağ.)
  19. (left{ egin{dizi} { l } { 5 x - 3 y = - 1 } { 3 x + 2 y = 7 } end{dizi} sağ.)
  20. (left{ egin{dizi} { l } { 7 x + 3 y = 9 } { 2 x + 5 y = - 14 } end{dizi} sağ.)
  21. (left{ egin{dizi} { l } { 9 x - 3 y = 3 } { 7 x + 2 y = - 15 } end{dizi} sağ.)
  22. (left{ egin{dizi} { l } { 5 x - 3 y = - 7 } { - 7 x + 6 y = 11 } end{dizi} sağ.)
  23. (left{ egin{dizi} { l } { 2 x + 9 y = 8 } { 3 x + 7 y = - 1 } end{dizi} sağ.)
  24. (left{ egin{dizi} { l } { 2 x + 2 y = 5 } { 3 x + 3 y = - 5 } end{dizi} sağ.)
  25. (left{ egin{dizi} { l } { - 3 x + 6 y = - 12 } { 2 x - 4 y = 8 } end{dizi} sağ.)
  26. (left{ egin{dizi} { l } { 25 x + 15 y = - 1 } { 15 x + 10 y = - 1 } end{dizi} sağ.)
  27. (left{ egin{dizi} { l } { 2 x - 3 y = 2 } { 18 x - 12 y = 5 } end{dizi} sağ.)
  28. (left{ egin{dizi} { l } { y = - 2 x - 3 } { - 3 x - 2 y = 4 } end{dizi} sağ.)
  29. (left{ egin{dizi} { l } { 28 x + 6 y = 9 } { 6 y = 4 x - 15 } end{dizi} sağ.)
  30. (left{ egin{dizi} { l } { y = 5 x + 15 } { y = - 5 x + 5 } end{dizi} sağ.)
  31. (left{ egin{dizi} { l } { 2 x - 3 y = 9 } { 5 x - 8 y = - 16 } end{dizi} sağ.)
  32. (left{ egin{dizi} { l } { frac { 1 } { 2 } x - frac { 1 } { 3 } y = frac { 1 } { 6 } } { frac { 5 } { 2 } x + y = frac { 7 } { 2 } } end{dizi} sağ.)
  33. (left{ egin{dizi} { l } { frac { 1 } { 4 } x - frac { 1 } { 9 } y = 1 } { x + y = frac { 3 } { 4 } } end{dizi} sağ.)
  34. (left{ egin{dizi} { l } { frac { 1 } { 2 } x - frac { 1 } { 4 } y = frac { 1 } { 3 } } { frac { 1 } { 4 } x + frac { 1 } { 2 } y = - frac { 19 } { 6 } } end{dizi} sağ.)
  35. (left{ egin{dizi} { l } { - frac { 14 } { 3 } x + 2 y = 4 } { - frac { 1 } { 3 } x + frac { 1 } { 7 } y = frac { 4 } { 21 } } end{dizi} sağ.)
  36. (left{ egin{dizi} { l } { 0.025 x + 0.1 y = 0.5 } { 0.11 x + 0.04 y = - 0.2 } end{dizi} sağ.)
  37. (left{ egin{dizi} { l } { 1,3 x + 0,1 y = 0,35 } { 0,5 x + y = - 2,75 } end{dizi} sağ.)
  38. (left{ egin{dizi} { l } { x + y = 5 } { 0.02 x + 0.03 y = 0.125 } end{dizi} sağ.)
Cevap

1. (sol( frac { 1 } { 3 } , 1 sağ))

3. ((-4,2))

5. ((-8,-1))

7. (sol( - frac { 1 } { 3 } , 1 sağ))

9. (varhiçbir şey)

11. (sol( 1 , frac { 1 } { 4 } sağ))

13. ((-1,-2))

15. ((-28,0))

17. (sol( - frac { 1 } { 2 } , - 1 sağ))

19. ((1,2))

21. ((-1,-4))

23. ((-5,2))

25. (sol( x , frac { 1 } { 2 } x - 2 sağ))

27. (sol( - frac { 3 } { 10 } , - frac { 13 } { 15 } sağ))

29. (sol( frac { 3 } { 4 } , - 2 sağ))

31. ((120,77))

33. (sol( 3 , - frac { 9 } { 4 } sağ))

35. (varhiçbir şey)

37. (( 0.5 , - 3 ))

Alıştırma (PageIndex{8})

Herhangi bir yöntemle çözün.

  1. (left{ egin{dizi} { l } { 6 x = 12 y + 7 } { 6 x + 24 y + 5 = 0 } end{dizi} sağ.)
  2. (left{ egin{dizi} { l } { y = 2 x - 3 } { 3 x + y = 12 } end{dizi} sağ.)
  3. (left{ egin{dizi} { l } { x + 3 y = - 5 } { y = frac { 1 } { 3 } x + 5 } end{dizi} sağ.)
  4. (left{ egin{dizi} { l } { y = 1 } { x = - 4 } end{dizi} sağ.)
  5. (left{ egin{dizi} { l } { y = frac { 1 } { 2 } } { x + 9 = 0 } end{dizi} sağ.)
  6. (left{ egin{dizi} { l } { y = x } { - x + y = 1 } end{dizi} sağ.)
  7. (left{ egin{dizi} { l } { y = 5 x } { y = - 10 } end{dizi} sağ.)
  8. (left{ egin{dizi} { l } { y = - frac { 3 } { 2 } x + 1 } { - 2 y + 2 = 3 x } end{dizi} sağ. )
  9. (left{ egin{dizi} { l } { 7 y = - 2 x - 1 } { 7 x = 2 y + 23 } end{dizi} sağ.)
  10. (left{ egin{dizi} { l } { 5 x + 9 y - 14 = 0 } { 3 x + 2 y - 5 = 0 } end{dizi} sağ.)
  11. (left{ egin{dizi} { l } { y = - frac { 5 } { 16 } x + 10 } { y = frac { 5 } { 16 } x - 10 } end{ dizi} sağ.)
  12. (left{ egin{dizi} { l } { y = - frac { 6 } { 5 } x + 12 } { x = 6 } end{dizi} sağ.)
  13. (left{ egin{array} { l } { 2 ( x - 3 ) + y = 0 } { 3 ( 2 x + y - 1 ) = 15 } end{dizi} sağ. )
  14. (left{ egin{dizi} { l } { 3 - 2 ( x - y ) = - 3 } { 4 x - 3 ( y + 1 ) = 8 } end{dizi} sağ. )
  15. (left{ egin{array} { l } { 2 ( x + 1 ) = 3 ( 2 y - 1 ) - 21 } { 3 ( x + 2 ) = 1 - ( 3 y - 2 ) } end{dizi} sağ.)
  16. (left{ egin{dizi} { l } { frac { x } { 2 } - frac { y } { 3 } = - 7 } { frac { x } { 3 } - frac { y } { 2 } = - 8 } end{dizi} sağ.)
  17. (left{ egin{dizi} { l } { - frac { 1 } { 7 } x + y = - frac { 2 } { 3 } } { - frac { 1 } { 14 } x + frac { 1 } { 2 } y = frac { 1 } { 3 } } end{dizi} sağ.)
  18. (left{ egin{dizi} { l } { frac { x } { 4 } - frac { y } { 2 } = frac { 3 } { 4 } } { frac { x } { 3 } + frac { y } { 6 } = frac { 1 } { 6 } } end{dizi} sağ.)
  19. (left{ egin{dizi} { l } { y = - frac { 5 } { 3 } x + frac { 1 } { 2 } } { frac { 1 } { 3 } x + frac { 1 } { 5 } y = frac { 1 } { 10 } } end{dizi} sağ.)
  20. (left{ egin{dizi} { l } { frac { 1 } { 15 } x - frac { 1 } { 12 } y = frac { 1 } { 3 } } { - frac { 3 } { 10 } x + frac { 3 } { 8 } y = - frac { 3 } { 2 } } end{dizi} sağ.)
  21. (left{ egin{dizi} { l } { 0,2 x - 0,05 y = 0,43 } { 0,3 x + 0,1 y = - 0,3 } end{dizi} sağ.)
  22. (left{ egin{dizi} { l } { 0,1 x + 0,3 y = 0,3 } { 0,05 x - 0,5 y = - 0,63 } end{dizi} sağ.)
  23. (left{ egin{dizi} { l } { 0.15 x - 0.25 y = - 0.3 } { - 0.75 x + 1.25 y = - 4 } end{dizi} sağ.)
  24. (left{ egin{dizi} { l } { - 0,15 x + 1,25 y = 0,4 } { - 0,03 x + 0,25 y = 0,08 } end{dizi} sağ.)
Cevap

1. (sol( frac { 1 } { 2 } , - frac { 1 } { 3 } sağ))

3. (sol( - 10 , frac { 5 } { 3 } sağ))

5. (sol( - 9 , frac { 1 } { 2 } sağ))

7. (( - 2 , - 10 ))

9. (( 3 , - 1 ))

11. (( 32,0 ))

13. (( x , - 2 x + 6 ))

15. (( - 4,3 ))

17. (varhiçbir şey)

19. (sol( x - frac { 5 } { 3 } x + frac { 1 } { 2 } sağ))

21. (( 0.8 , - 5.4 ))

23. (varhiçbir şey)

Alıştırma (PageIndex{9})

  1. Yeni başlayan bir cebir öğrencisine, iki lineer denklem sistemini çözmek için bir yöntemin nasıl seçileceğini açıklayın. Ayrıca, çözümlerin neye benzediğini ve nedenini açıklayın.
  2. İki değişkenli kendi lineer sisteminizi oluşturun ve üç yöntemi de kullanarak çözün. Egzersizinizde hangi yöntemin tercih edildiğini açıklayın.
Cevap

1. Cevap değişebilir

Dipnotlar

11Değişkenlerden birini çözerek ve sonucu diğer denklemde yerine koyarak doğrusal bir sistemi çözmenin bir yolu.

12Bir değişken için bir değer bulunduğunda, diğer değişkenin karşılık gelen değerini belirlemek için onu orijinal denklemlerden birine veya eşdeğerine geri koyun.

13Bir değişkeni ortadan kaldıracak şekilde eşdeğer denklemler ekleyerek bir sistemi çözmenin bir yolu.

14Genellikle sistemleri çözmek için eleme yönteminden bahsederken kullanılır.

15(A, B, C) ve (D) cebirsel ifadelerse, burada (A = B) ve (C = D), o zaman (A + C = B + D) .


3.2: İki Değişkenli Lineer Sistemlerin Çözümü

Bu bölümün sonunda şunları yapabileceksiniz:

  • Denklem sistemlerini grafik çizerek çözün.
  • İkame yoluyla denklem sistemlerini çözün.
  • Denklem sistemlerini toplama yoluyla çözer.
  • İki değişken içeren tutarsız ve bağımlı denklem sistemlerini belirleyin.
  • Uygulanan sistemleri çözün.

Şekil 1. (kredi: Thomas Sørenes)

Bir kaykay üreticisi yeni bir tahta serisi sunuyor. Üretici, panoları üretmek için harcadığı miktar olan maliyetlerini ve panolarının satışından elde ettiği geliri takip eder. Şirket yeni hattıyla kâr edip etmediğini nasıl belirleyebilir? Kâr elde edebilmek için kaç tane kaykay üretilmeli ve satılmalıdır? Bu bölümde, bu ve benzeri soruları cevaplamak için iki değişkenli lineer denklemleri ele alacağız.


İki Değişkenli Lineer Denklemler Sistemini Çözme - Problem 2

Carl birkaç okulda üst düzey matematik öğretti ve şu anda kendi özel ders şirketini yönetiyor. Yoğun açık hava aktivitelerine olan sevgisini kimsenin yenemeyeceğine bahse girer!

İki değişkenli bir lineer denklem sistemini çözme. Bir lineer denklem sistemini çözerken elimizde ikame ve eleme olmak üzere elimizde iki araç vardır.

Yerine koyma, sadece bir denklemden bir değişken alıp diğerine takmamızdır. Arkamdaki soruna bakarak, ikamenin iyi bir seçenek olup olmadığını anlayabilecek misiniz bir bakın. Gördüğüm şey, her bir değişkenin bir katsayısı olup olmadığını. Yani her x ve her y'nin bir katsayısı vardır ve bu katsayılara sahip diğer terimler arasında ortak çarpan yoktur. Bununla demek istediğim, temelde bu x'i çözmek isteseydim, ikiye bölmem gerekirdi ama orada bir kesir tanıtacağım. Herhangi bir değişkeni çözmek istersem, kesirleri alacağız.

Çoğu insan kesirleri sevmeme eğilimindedir, bu yüzden bu durumda ikameden kaçınmaya çalışmanızı tavsiye ederim. Kesirleri seviyorsanız, devam etmekte özgürsünüz, o kadar hayranı değilim, bu yüzden eleme olan diğer yöntemi deneyeceğim.

Elemenin arkasındaki prensip, temel olarak değişkenlerimizden herhangi birinde aynı katsayıyı elde etmektir, böylece denklemlerimizi birlikte topladığımızda veya çıkardığımızda bu katsayılar kaybolur ve tek bir değişkenle kalırız. Yani bunu yaparken katsayıları aynı elde etmek için denklemlerden birini veya her ikisini bir sayı ile çarpabiliriz.

Buna baktığımızda, xs veya ys'den kurtulmaya çalışma seçeneğimiz var. Aslında çok fazla ortak çarpanımız yok, 2 ve -5 var, ortak noktaları 10 veya 4 ve 10, ortak noktaları en küçük 20. Yani hangisi olduğu önemli değil kurtulmak istediğimiz bir tane, sadece xs için gidelim diyeceğim. ys için de gidebiliriz.

Yani x'leri çarparak, her iki katsayıyı da 10'a ihtiyacımız var. En üstteki denklemi 5 ile çarpalım, alttaki denklemi 2 ile çarpalım. Çıkarmak yerine ekliyorsun. Çıkarmak, o negatifi dağıtmak zorundasın ve işler ters gidebilir. Katsayılarınızı eşit ve zıt hale getirmeyi biraz daha kolay bulma eğilimindeyim ama siz de çıkarabilirsiniz ve işaretlerinizi iyi yaptığınız sürece iyi olacaksınız.

Bunu 5'e dağıtarak, 10x eksi 20y eşittir 15 elde ederiz. 2'yi dağıtmak, -10x artı 20y eşittir 14. Yani şimdi her zaman yaptığım işareti ekliyorum, her şeyi düz tutmamı sağlıyor. Bu yüzden 10 ve -10 iptallerimi eklemek istiyorum, ama olan 10'lar iptal, 20'ler iptal, bu yüzden gerçekten geriye kalan şey bu tarafta sıfır ve sonra diğer tarafta 29. Şimdi bu ne demek oluyor?

Elimizde sıfır eşittir 29. Bu doğru bir ifade değil, bu bana bu iki doğru üzerinde gerçekten kesişen hiçbir nokta olmadığını söylüyor. Yani bu bana hiçbir çözüm olmadığını söyleyen yanlış. Başka bir deyişle, bu iki doğru paraleldir. Paraleldirler, iki paralel doğru asla kesişmez. Ne zaman yanlış bir çözüm bulsanız, sıfırı 29'a eşitlediğinizde veya bir anlam ifade etmeyen bir tür ifade aldığınızda, bu tipik olarak hiçbir çözümünüz olmadığı anlamına gelir, çizgiler kesişmeyecektir.

So taking a system of linear equations, trying to figure out which method we want to use, substitution or elimination, to then solving and interpreting our results. In this case we have a false statement which means we have no solution.


Solve the following pair of linear equations by the substitution method.

Find the value of one variable in terms of other variable, say y in terms of x

Now we have to substitute the value of y in the other equation and reduce it to one equation of one variable.

By applying the value of y in (2).

Now,we have to apply the value of x in the equation

Find the value of one variable in terms of other variable, say s in terms of t

Now we have to substitute the value of s in the other equation and reduce it to an equation of one variable.

By simplifying the second equation, we get

By applying the value of s, we get

Now,we have to apply the value of t in the equation

(iii) 3x - y = 3 and 9x - 3y = 9

Find the value of one variable in terms of other variable, say y in terms of x

Now we have to substitute the value of y in the other equation and reduce it to an equation of one variable.

The statement is true, from this we can decide that the pair of linear equations has infinitely many solution.

After having gone through the stuff given above, we hope that the students would have understood how to solve  linear equations in two variables by substitution method.

Apart from the stuff given in this section ,    if you need any other stuff in math, please use our google custom search here

Matematik içeriğimiz hakkında herhangi bir geri bildiriminiz varsa, lütfen bize e-posta gönderin: 

Geri bildiriminiz için her zaman teşekkür ederiz. 

You can also visit the following web pages on different stuff in math. 


Lesson Solving word problems using linear systems of two equations in two unknowns

Solving word problems using linear systems of two equations in two unknowns

In this lesson we present some typical word problems and show how to solve them using linear systems of two equations in two unknowns.

Problem 1. The Madison Local High School band

The Madison Local High School marching band sold gift wrap to earn money for a band trip to Orlando, Florida.
The gift wrap in solid colors sold for $4.00 per roll, and the print gift wrap sold for $6.00 per roll.
The total number of rolls sold was 480, and the total amount of money collected was $2340.
How many rolls of each kind of gift wrap were sold?

Let x be the unknown number of gift wrap in solid colors and y be the unknown number of print gift wraps.
Since the total number of rolls sold was 480, the first equation is
.
Now, the total cost of x gift wraps in solid colors sold for $4.00 per roll is equal to dollars,
while the total cost of y print gift sold for $6.00 per roll is equal to dollars.
Since the total amount of money collected was $2340, the second equation is
.

So, we reduced our problem to the solution of the linear system of two equations in two unknowns
.

Express from the first equation:
.
Substitute this to the second equation:
.
Open parentheses, collect common terms, and step-by-step simplify:
,
,
,

.
Substitute the found value of to the first equation and calculate :
,
.

As a result, you get , as the potential solution.

Check
Substitute these values of and into the first and the second equations.
Var
for the left side of the first equation, and
for the left side of the second equation.

Answer . 1080 gift wrap in solid colors and 1260 print gift were sold.

Problem 2. Apples and oranges

If 4 apples and 2 oranges cost $1 and 2 apples and 3 orange cost .70, how much does each apple and each orange cost?
There are no quantity discounts.

Let be the unknown price for one apple as cents and be the unknown price for one orange as cents.
From the first condition you have the equation
,
while from the second problem condition you have another equation
.

So, our problem is reduced to the solution of the linear system of two equations in two unknowns
.

Let us apply the elimination method , which is multiplication and addition/subtraction method
(see the lesson Solution of the linear system of two equations in two unknowns by the Elimination method).

Keep the first equation as is and multiply the second equation by two:
,

Subtract the second equation from the first one:
,
.

Now, substitute the found value of into the first equation and calculate :
,
,
,
.

So, you get , as the potential solution.

Check
Substitute these values of and into the first and the second equations.
Var
for the first equation left side, and
for the second equation left side.

Answer . Each apple costs 20 cents and each orange costs 10 cents.

Problem 3. Tickets

Tickets are sold at $4.00 for adults and $2.50 for students. If 100 tickets were sold for $355.00,
how many tickets were adult tickets?

Let "x" be the numbers of adult tickets, and
let "y" be the numbers of student tickets.

x + y = 100, (1) ("100 tickets were sold") and
4x + 2.5y = 355. (2) ("100 tickets were sold for $355.00")

To solve the system, express "x" from (1): x = 100 - y, and substitute it into (2). You will get a single equation for y:

So, we just found y, the number of student tickets.

Then x = 100 - y = 100 - 30 = 70. It is the number of adult tickets.

Check : 70*4 + 30*2.5 = 280 + 75 = 355. Correct !

Answer . 70 adult and 30 student tickets were sold.

Problem 4. Alloys

A piece of metal is 1 ft. long, 6 in. wide, and 4 in. thick, and weighs 189.8125 pounds.
It is composed of an alloy of gold and copper. Determine percentage of gold.
Gold density is 0.70 lbs. per cu. in.
Copper density is 0.32 lbs. per cu. in.

When they ask "Determine percentage of gold", they mean the ratio of the gold contents by WEIGHT to the total WEIGHT of the alloy
the ratio, expressed as percentage.

For more examples of solved problems see the lessons
- Problem on two-wheel and three-wheel bicycles,
- Problem on animals at a farm and
- Problem on pills in containers
under the topic Miscellaneous Word Problems of the section Word problems in this site.

Use this file/link ALGEBRA-I - YOUR ONLINE TEXTBOOK to navigate over all topics and lessons of the online textbook ALGEBRA-I.


3.2: Solving Linear Systems with Two Variables


Intermediate Algebra
Tutorial 19: Solving Systems of Linear Equations
in Two Variables

  1. Know if an ordered pair is a solution to a system of linear equations in two variables or not.
  2. Solve a system of linear equations in two variables by graphing.
  3. Solve a system of linear equations in two variables by the substitution method.
  4. Solve a system of linear equations in two variables by the elimination method.

In this tutorial we will be specifically looking at systems that have two equations and two unknowns. Tutorial 20: Solving Systems of Linear Equations in Three Variables will cover systems that have three equations and three unknowns. We will look at solving them three different ways: graphing, substitution method and elimination method. This will lead us into solving word problems with systems, which will be shown in Tutorial 21: Systems of Linear Equations and Problem Solving. That is where we get to answer the infamous question, when will we use this? But first, we have to learn how to work with systems in general. That is why we use generic variables like x ve y at this point. If you know how to work it out in general, then when you have a specific problem that you are solving where the variables take on meaning like time or money (two things we don't ever seem to have enough of) you will be ready to go. So, let's go ahead and look at systems in general to get us ready for the word problems that are ahead of us.

System of Linear Equations

In this tutorial, we will be looking at systems that have only two linear equations and two unknowns.

In other words, it is where the two graphs intersect, what they have in common. So if an ordered pair is a solution to one equation, but not the other, then it is NOT a solution to the system.

A consistent system is a system that has at least one solution.

Bir inconsistent system is a system that has no solution.

The equations of a system are bağımlı if ALL the solutions of one equation are also solutions of the other equation. In other words, they end up being the same line.

The equations of a system are independent if they do not share ALL solutions. They can have one point in common, just not all of them.

If you do get one solution for your final answer, is this system consistent or inconsistent?
If you said consistent, give yourself a pat on the back!

If you do get one solution for your final answer, would the equations be dependent or independent?
If you said independent, you are correct!

The graph below illustrates a system of two equations and two unknowns that has one solution:

If you get no solution for your final answer, is this system consistent or inconsistent?
If you said inconsistent, you are right!

If you get no solution for your final answer, would the equations be dependent or independent?
If you said independent, you are correct!

The graph below illustrates a system of two equations and two unknowns that has no solution:

If you get an infinite number of solutions for your final answer, is this system consistent or inconsistent?
If you said consistent, you are right!

If you get an infinite number of solutions for your final answer, would the equations be dependent or independent?
If you said dependent, you are correct!

The graph below illustrates a system of two equations and two unknowns that has an infinite number of solutions:

Now, let’s check (3, -1) in the second equation:

Here is the big question, is (3, -1) a solution to the given system.
Since it was a solution to BOTH equations in the system, then it is a solution to the overall system.

Now let’s put (0, 2) into the first equation:

Finally, let’s put (0,2) into the second equation:

Here is the big question, is (0, 2) a solution to the given system.
Since it was not a solution to BOTH equations in the system, then it is not a solution to the overall system.

Three Ways to Solve Systems of Linear
Equations in Two Variables

The difference here is you will put it on the same coordinate system as the first. It is like having two graphing problems in one.

If the two lines are parallel, then they never intersect, so there is no solution.

If the two lines lie on top of each other, then they are the same line and you have an infinite number of solutions.. In this case you can write down either equation as the solution to indicate they are the same line.

If it makes at least one of them false, you need to go back and redo the problem.

Find another solution by letting x = 1.

x y (x, y)
3 0 (3, 0)
0 3 (0, 3)
1 2 (1, 2)

Plotting the ordered pair solutions and drawing the line:

*Inverse of mult. by -1 is div. by -1

Find another solution by letting x = 2.

*Inverse of mult. by -1 is div by -1

x y (x, y)
1 0 (1, 0)
0 -1 (0, -1)
2 1 (2, 1)

Plotting the ordered pair solutions and drawing the line:

The answer is yes, they intersect at (2, 1).

The solution to this system is (2, 1).

Find another solution by letting x = 1.

x y (x, y)
5 0 (5, 0)
0 5 (0, 5)
1 4 (1, 4)

Plotting the ordered pair solutions and drawing the line:

*Inverse of mult. by -1 is div. by -1

Find another solution by letting x = 1.

x y (x, y)
3 0 (3, 0)
0 3 (0, 3)
1 2 (1, 2)

Plotting the ordered pair solutions and drawing the line:

The answer is no, they do not intersect. We have two parallel lines.

The answer is no solution.

Solve by the Substitution Method

To remove ( ): just use the distributive property.

To remove fractions: since fractions are another way to write division, and the inverse of divide is to multiply, you remove fractions by multiplying both sides by the LCD of all of your fractions.

You want to make it as simple as possible. If one of the equations is already solved for one of the variables, that is a quick and easy way to go.

If you need to solve for a variable, then try to pick one that has a 1 as a coefficient. That way when you go to solve for it, you won't have to divide by a number and run the risk of having to work with a fraction (yuck!!).

This will give you one equation with one unknown.

If you need a review on this, go to Tutorial 7: Linear Equations in One Variable.

If your variable drops out and you have a FALSE statement, that means your answer is no solution.

If your variable drops out and you have a TRUE statement, that means your answer is infinite solutions, which would be the equation of the line.

If it makes at least one of them false, you need to go back and redo the problem.

It does not matter which equation or which variable you choose to solve for. But it is to your advantage to keep it as simple as possible.

Second equation solved for y :

*Inverse of sub. 20 is add 20

*Inverse of div. by -7 is mult. by -7

(-5, -6) is a solution to our system.

It does not matter which equation or which variable you choose to solve for. Sadece basit tut.

Since the x in the first equation has a coefficient of 1, that would mean we would not have to divide by a number to solve for it and run the risk of having to work with fractions (YUCK!!) The easiest route here is to solve the first equation for x , and we definitely want to take the easy route. You would not be wrong to either choose the other equation and/or solve for y, again you want to keep it as simple as possible.

Solving the first equation for x we get:

*Variable dropped out AND false

As mentioned above if your variable drops out and you have a FALSE statement, then there is no solution. If we were to graph these two, they would be parallel to each other.

The answer is no solution.

Solve by the Elimination Method

To remove ( ): just use the distributive property.

To remove fractions: since fractions are another way to write division, and the inverse of divide is to multiply, you remove fractions by multiplying both sides by the LCD of all of your fractions.

If neither variable drops out, then we are stuck with an equation with two unknowns which is unsolvable.

It doesn't matter which variable you choose to drop out. You want to keep it as simple as possible. If a variable already has opposite coefficients than go right to adding the two equations together. If they don't, you need to multiply one or both equations by a number that will create opposite coefficients in one of your variables. You can think of it like a LCD. Think about what number the original coefficients both go into and multiply each separate equation accordingly. Make sure that one variable is positive and the other is negative before you add.

For example, if you had a 2 x in one equation and a 3 x in another equation, we could multiply the first equation by 3 and get 6 x and the second equation by -2 to get a -6 x . So when you go to add these two together they will drop out.

The variable that has the opposite coefficients will drop out in this step and you will be left with one equation with one unknown.

If you need a review on this, go to Tutorial 7: Linear Equations in One Variable.

If both variables drop out and you have a FALSE statement, that means your answer is no solution.

If both variables drop out and you have a TRUE statement, that means your answer is infinite solutions, which would be the equation of the line.

If it makes at least one of them false, you need to go back and redo the problem.

Multiplying each equation by it's respective LCD we get:

If we added them together the way they are now, we would end up with one equation and two variables, nothing would drop out. And we would not be able to solve it.

I propose that we multiply the second equation by -1, this would create a -3 in front of x and we will have our opposites.

Note that we could just as easily multiply the first equation by -1 and not the second one. Either way will get the job done.


Indexing & Abstracting


Solving Systems of Linear Equations by Substitution and Elimination

Hi, and welcome to this video on using substitution and elimination to solve linear systems!

“Solving” a system of equations means to determine the exact (x,y) coordinate that satisfies both of the equations in the system. The process of solving a system depends on the structure of the equations. Some systems can easily be solved by graphing both equations and determining the exact point of kavşak, while other systems are more suitable to be solved Show Answer

The correct answer is B: ((6, -1)).

Let’s start by solving the second equation for x.
(x+y=5) becomes (x=5-y)

Now that we have isolated the variable x, let’s substitute this in for the x in the other equation.
(x-2y=8) becomes ((5-y)-2y=8)

From here we can solve for y.
(y=-1)

Now let’s take this value for y, and plug it in to one of our original equations. Let’s use the second original equation.
(x+y=5) becomes (x+(-1)=5) and when we solve for x, we have (x=6)

The solution is the ordered pair ((6, -1)).


Solve the system of equations using elimination.
(12x-9y=37)
(8x+9y=23)


Least Squares Regression Model

Up until this point, when we have found the linear regression model, we have just used the functions on the calculator to obtain the results, and it has been fairly easy and painless. Now we learn that the calculator is actually solving a system of linear equations to obtain the model.

Summation notation

The capital Greek letter sigma stands for sum. Normally, there is an index with a starting point (k=1) written below the sigma and an ending point (n, meaning k=n) written above the sigma. Then, each variable will have a subscript to let you know that it is a function or sequence that depends on the value of the index, k.

Confused? Well, maybe you should be. The book doesn't discuss sequences and series until chapter 7, and here you are in chapter 5 and they expect you to know how to do it.

I'm going to use a short hand notation to keep things simpler and easier to remember. Instead of writing it the way the book does, I'll just use a sigma symbol and then what I want to total.

Remember that sigma means sum, so sigma x means add up all the x's.

In statistics, we like to simplify things, and get a little sloppy, and drop all the index stuff and just know that it applies to all the points. In the notation above, I will use the form on the right. &sumx just means add up all the x values. Not too bad when you look at it that way.

Linear Regression

Consider the linear model y = ax + b. The values for a and b can be found by solving this system of linear equations.

Notice each term in the second equation has one more x in it than the corresponding term in the first equation. This pattern will repeat when we do quadratic regression (see problems 105-108 in section 5.3 or Appendix B.3 for an explanation), or cubic, or quartic, or .

You will add up each variable in the summation for each different point. The first summation is the sum of 1. So, if you add 1 for each point, you will simply have the number of points. The other values are the sum of the x's, the sum of the y's, the sum of the squares of the x's, and the sum of the products of the x's and y's.

Writing these ordered pairs in a columnar table, and then adding columns for the x 2 and xy will help. After you solve the system of linear equations, substitute the values for a and b into the equation y = ax + b to get the model.

Find the equation of the linear model that best fits the points (2,3), (5,2), (6,1), and (8,-1).

Set up a table with columns for x, y, x 2 , and xy.

x y x 2 xy
2 3 4 6
5 2 25 10
6 1 36 6
8 -1 64 -8
21 5 129 14

The numbers in the bottom row represent the sums that go into the system. Since there are 4 points, the &sum1 = 4.

The system of linear equations to solve is 4b + 21a = 5 and 21b + 129a = 14. When you solve that, you get a = -49/75 and b = 117/25.

When you stick those back into the model, you get the y = -49/75 x + 117/25.


Videoyu izle: 18 Lineer cebir - Lineer bağımsızlık 2 (Aralık 2021).