Nesne

7.3: Kutupsal Koordinatlarda Çift İntegraller - Matematik


Dikdörtgen koordinatları kutupsal koordinatlarla değiştirirsek, çift katlı integralleri değerlendirmek bazen çok daha kolaydır. Ancak, bu değişikliği nasıl yapacağımızı açıklamadan önce, kutupsal dikdörtgen bir bölgede çift katlı integral kavramını oluşturmamız gerekiyor.

Kutupsal Dikdörtgen Entegrasyon Bölgeleri

Sürekli bir fonksiyon için çift katlı integrali dikdörtgen koordinatlarda tanımladığımızda - örneğin, (xy)-düzleminde bir (R) bölgesi üzerinde (g) - (R)'yi kenarları olan alt dikdörtgenlere böldük. koordinat eksenlerine paralel. Bu taraflar ya sabit (x)-değerlerine ve/veya sabit (y)-değerlerine sahiptir. Kutupsal koordinatlarda, üzerinde çalıştığımız şekil, kenarları sabit (r)-değerleri ve/veya sabit ( heta)-değerleri olan bir kutupsal dikdörtgendir. Bu, bir kutupsal dikdörtgeni Şekil (PageIndex{1a}), (R = {(r, heta),|, a leq r leq b, , ile tanımlayabileceğimiz anlamına gelir. alpha leq heta leq eta}).

Bu bölümde kutupsal dikdörtgenler üzerinden integral almayı düşünüyoruz. Kutupsal bir dikdörtgen (R) üzerinde bir (f(r, heta)) fonksiyonunu düşünün. ([a,b]) aralığını (Delta r = (b - a)/m) uzunluğunda ([r_{i-1}, r_i]) (m) alt aralıklarına böleriz ) ve ([alpha, eta]) aralığını (n) alt aralıklarına ([ heta_{i-1}, heta_i]) (Delta heta = () olarak bölün beta - alpha)/n). Bu, (1 leq i leq m) ve (1 leq j leq n) için (r = r_i) dairelerinin ve ( heta = heta_i) ışınlarının kutupları böldüğü anlamına gelir. dikdörtgeni (R) daha küçük kutupsal alt dikdörtgenlere (R_ij) (Şekil (PageIndex{1b})).

Daha önce olduğu gibi, kutupsal alt dikdörtgenin (R_{ij}) alanını (Delta A) ve (R_{ij}) üzerindeki ince kutunun "kutupsal" hacmini bulmamız gerekiyor. (r) yarıçaplı bir çemberde, ( heta) radyanlık bir merkez açısı tarafından karşılanan bir yayın (s) uzunluğunun (s = r heta) olduğunu hatırlayın. Kutup dikdörtgeninin (R_{ij}) paralel kenarları (r_{i-1}Delta heta) ve (r_iDelta heta) ve genişliği olan bir yamuk gibi göründüğüne dikkat edin. (Delta r). Dolayısıyla kutupsal alt dikdörtgenin alanı (R_{ij})

[Delta A = frac{1}{2} Delta r (r_{i-1} Delta heta + r_1 delta heta ).]

(r_{ij}^* = frac{1}{2}(r_{i-1}+r_i)'yi basitleştirerek ve izin vererek, (Delta A = r_{ij}^* Delta r'ye sahibiz) Delta eta).

Bu nedenle, (R_{ij}) (Şekil (PageIndex{2})) üzerindeki ince kutunun polar hacmi

[f(r_{ij}^*, heta_{ij}^*) bDelta A = f(r_{ij}^*, heta_{ij}^*)r_{ij}^* Delta r Delta heta.]

Tüm alt dikdörtgenler için aynı fikri kullanarak ve dikdörtgen kutuların hacimlerini toplayarak, bir çift Riemann toplamı elde ederiz.

[sum_{i=1}^m sum_{j=1}^nf(r_{ij}^*, heta_{ij}^*) r_{ij}^* Delta r Delta heta. ]

Daha önce gördüğümüz gibi, (m) ve (n)'nin büyümesine izin verdiğimizde, (R) bölgesinin üzerindeki katının polar hacmine daha iyi bir yaklaşım elde ederiz. Bu nedenle, kutup hacmini çift Riemann toplamının limiti olarak tanımlarız,

[V = lim_{m,n ightarrowinfty}sum_{i=1}^m sum_{j=1}^nf(r_{ij}^*, heta_{ij}^*) r_ {ij}^* Delta r Delta heta.]

Bu, çift katlı integralin ifadesi olur.

Tanım: Kutupsal koordinatlarda çift katlı integral

(r heta)-düzlemindeki (R) kutupsal dikdörtgen bölgesi üzerinde (f(r, heta)) fonksiyonunun çift katlı integrali şu şekilde tanımlanır:

[egin{align} iint_R f(r, heta)dA &= lim_{m,n ightarrowinfty}sum_{i=1}^m sum_{j=1}^nf(r_ {ij}^*, heta_{ij}^*) Delta A [5pt] &= lim_{m,n ightarrow infty} sum_{i=1}^m sum_{j=1 }^nf(r_{ij}^*, heta_{ij}^*)r_{ij}^* Delta r Delta eta. end{hiza}]

Yine, Dikdörtgen Bölgeler Üzerindeki Çift İntegraller bölümünde olduğu gibi, kutupsal bir dikdörtgen bölge üzerindeki çift katlı integral, kutupsal koordinatlarda yinelenen bir integral olarak ifade edilebilir. Buradan,

[iint_R f(r, heta),dA = iint_R f(r, heta) ,r , dr , d heta = int_{ heta=alpha}^{ heta= eta} int_{r=a}^{r=b} f(r, heta) ,r , dr , d heta.]

Kutupsal koordinatlarda çalışırken (dA) ifadesinin (r , dr , d heta) ile değiştirildiğine dikkat edin. Kutupsal çift katlı integrale bakmanın başka bir yolu, çift katlı integrali yerine ikame yoluyla dikdörtgen koordinatlarda değiştirmektir. (f) fonksiyonu (x) ve (y) cinsinden (x = r , cos , heta, , y = r , sin kullanılarak verildiğinde, heta) ve (dA = r , dr , d heta) olarak değiştirir

[iint_R f(x,y) ,dA = iint_R f(r , cos , eta, , r , sin , heta ) ,r , dr , d teta.]

Dikdörtgen Bölgeler Üzerindeki Çift İntegraller bölümünde, dikdörtgen koordinatlardaki çift katlı integral için listelenen tüm özelliklerin, kutupsal koordinatlardaki çift katlı integral için de geçerli olduğuna dikkat edin, bu nedenle bunları tereddüt etmeden kullanabiliriz.

Örnek (PageIndex{1A}): Polar Dikdörtgen Bölge Çizimi

Kutup dikdörtgen bölgesini çizin

[R = {(r, heta),|,1 leq r leq 3, 0 leq heta leq pi }. umara yok]

Çözüm

Şekil (PageIndex{3})'den görebileceğimiz gibi, (r = 1) ve (r = 3) yarıçapı 1 ve 3 olan dairelerdir ve (0 leq heta leq pi ) uçağın tüm üst yarısını kaplar. Bu nedenle (R) bölgesi yarım daire biçimli bir bant gibi görünür.

Şimdi bir kutupsal dikdörtgen bölge çizdiğimize göre, kutupsal koordinatları kullanarak bu bölge üzerinde bir çift katlı integralin nasıl hesaplanacağını gösterelim.

Örnek (PageIndex{1B}): Bir Polar Dikdörtgen Bölge Üzerinde Bir Çift İntegrali Değerlendirmek

(displaystyle iint_R 3x , dA) integralini (R = {(r, heta),|,1 leq r leq 2, , 0 leq heta) bölgesi üzerinde değerlendirin leq pi }.)

Çözüm

İlk önce Şekil (PageIndex{3}), ancak dış yarıçapı (r=2) ile benzer bir şekil çiziyoruz.


Videoyu izle: Calculus-II: Çift Katlı İntegralleri Kutupsal Kordinatlara Dönüştürerek Çözme (Aralık 2021).