Nesne

4.4: İfadelerin ve Denklemlerin Sınıflandırılması - Matematik


Polinomlar

polinomlar

Kesirlerin paydalarında değişken içermeyen ve değişken niceliklerdeki tüm üslerin tam sayı olduğu tüm cebirsel ifadelerin koleksiyonunu ele alalım. Bu koleksiyondaki ifadeler denir polinomlar.

Bazı ifadeler NS polinomlar

Örnek (PageIndex{1})

(3x^4)

Örnek (PageIndex{2})

(dfrac{2}{5}x^2y^6)

Bir kesir oluşur, ancak paydada hiçbir değişken görünmez.

Örnek (PageIndex{3})

(5x^3+3x^2-2x+1)

Bazı ifadeler değiller polinomlar

Örnek (PageIndex{4})

(dfrac{3}{x}-16)

Paydada bir değişken görünüyor

Örnek (PageIndex{5})

(4x^2 - 5x + x^{-3})

Bir değişkende negatif bir üs görünüyor

Polinomların Sınıflandırılması

Polinomlar iki kriter kullanılarak sınıflandırılabilir: polinomun terim sayısı ve derecesi.

Terim SayısıİsimÖrnekYorum
Birmonmial(4x^2)mono Yunanca "bir" anlamına gelir
2binom(4x^2 - 7x)iki Latince "iki" anlamına gelir
Üçüç terimli(4x^2-7x+3)üçlü Yunanca "üç" anlamına gelir
dört veya daha fazlaPolinom(4x^3-7x^2+3x-1)Poli Yunanca "çok" anlamına gelir

Bir Değişken İçeren Bir Terimin Derecesi

NS bir terimin derecesi sadece içeren bir değişken, değişkenin üssünün değeridir. Sayılarda görünen üsler terimin derecesini etkilemez. Sadece değişkenin üssünü dikkate alıyoruz. Örneğin:

Örnek (PageIndex{6})

(5x^3) bir derece (3) tek terimlidir.

Örnek (PageIndex{7})

(60a^5) bir derece (5) tek terimlidir.

Örnek (PageIndex{8})

(21b^2) bir derece (2) tek terimlidir

Örnek (PageIndex{9})

(8) 0 dereceli bir tek terimlidir. Sıfır olmayan bir sayının (0) dereceli bir terim olduğunu söyleriz çünkü (8x^0) şeklinde yazılabilir. (x^0=1(x ot =0)), (8x^0=8) olduğundan. Değişken üzerindeki üs (0) olduğundan, derece (0) olmalıdır. (Geleneksel olarak, (0) sayısının derecesi yoktur.)

Örnek (PageIndex{10})

(4x) birinci dereceden bir tek terimlidir. (4x) (4x^1) olarak yazılabilir. Değişken üzerindeki üs (1) olduğundan birinci dereceden olmalıdır.

Birkaç Değişken İçeren Bir Terimin Derecesi

içeren bir terimin derecesi daha fazla birden fazla değişken toplam Aşağıda gösterildiği gibi değişkenlerin üsleri.

Örnek (PageIndex{11})

(4x^2y^5) bir derece (2 + 5 = 7) tek terimlidir. Bu 7. dereceden bir monomiyaldir.

Örnek (PageIndex{12})

(37ab^2c^6d^3) (1 + 2 + 6 + 3 = 12) dereceli bir tek terimlidir. Bu 12. dereceden bir monomiyaldir.

Örnek (PageIndex{13})

(5xy) bir derece (1 + 1 = 2) tek terimlidir. Bu 2. dereceden bir monomiyaldir.

Polinom Derecesi

NS polinom derecesi derecesidir Terim en yüksek derecede; Örneğin:

Örnek (PageIndex{14})

(2x^3 + 6x - 1) bir derece (3) üçlü terimidir. İlk terim, (2x^3), en yüksek dereceli terimdir. Bu nedenle, derecesi polinomun derecesidir.

Örnek (PageIndex{15})

(7y -10y^4) bir derece (4) binomudur.

Örnek (PageIndex{16})

(a - 4 + 5a^2) bir derece (2) üçlü terimidir.

Örnek (PageIndex{17})

(2x^6 + 9x^4 - x^7 - 8x^3 + x - 9) bir derece (7) polinomudur.

Örnek (PageIndex{18})

(4x^3y^5 - 2xy^3) bir derece (8) binomudur. Birinci terimin derecesi (8)'dir.

Örnek (PageIndex{19})

(3x + 10) derecenin bir binomudur (1).

Lineer Kuadratik Kübik

Birinci dereceden polinomlara denir. doğrusal polinomlar.
İkinci dereceden polinomlara denir. ikinci dereceden polinomlar.
Üçüncü dereceden polinomlara denir. kübik polinomlar.
Dördüncü dereceden polinomlara denir. dördüncü derece polinomlar.
n. dereceden polinomlara (n) denir.derece polinomlar.
sıfır olmayan sabitler polinomları 0. derece.

Bu polinomların bazı örnekleri aşağıdaki gibidir:

Örnek (PageIndex{20})

(4x - 9) doğrusal bir polinomdur.

Örnek (PageIndex{21})

(3x^2 + 5x - 7) ikinci dereceden bir polinomdur.

Örnek (PageIndex{22})

(8y - 2x^3) bir kübik polinomdur

Örnek (PageIndex{23})

(16a^2 - 32a^5 - 64) 5. dereceden bir polinomdur.

Örnek (PageIndex{24})

(x^{12} - y^{12}) 12. dereceden bir polinomdur.

Örnek (PageIndex{25})

(7x^5y^7z^3 - 2x^4y^7z + x^3y^7) 15. dereceden bir polinomdur. İlk terim derecedir (5 + 7 + 3 = 15).

Örnek (PageIndex{26})

(43) 0. dereceden bir polinomdur.

Polinom Denklemlerinin Sınıflandırılması

Bildiğimiz gibi, bir denklem, bir eşittir işaretiyle ayrılmış iki cebirsel ifadeden oluşur. İki ifade polinom ifadeleri ise, denklemi derecesine göre sınıflandırabiliriz. Denklemlerin derecesine göre sınıflandırılması, aynı dereceden denklemlerin aynı grafik tipine sahip olması nedeniyle yararlıdır. (Bölüm 8'de denklemlerin grafiklerini inceleyeceğiz.)

Bir denklemin derecesi, en yüksek dereceli ifadenin derecesidir.

Örnek Set A

Örnek (PageIndex{27})

(x + 7 = 15).

Bu, "=" işaretinin solundaki ifadenin derecesi olan 1. dereceden olduğu için doğrusal bir denklemdir.

Örnek (PageIndex{28})

(5x^2 + 2x - 7 = 4) 2. dereceden olduğu için ikinci dereceden bir denklemdir.

Örnek (PageIndex{29})

(9x^3 - 8 = 5x^2 + 1)

Örnek (PageIndex{30})

(y^4 - x^4 = 0) 4. dereceden bir denklemdir.

Örnek (PageIndex{31})

(a^5 - 3a^4 = -a^3 + 6a^4 - 7) 5. dereceden bir denklemdir.

Örnek (PageIndex{32})

(y = dfrac{2}{3}x + 3) doğrusal bir denklemdir.

Örnek (PageIndex{33})

(y = 3x^2 - 1) ikinci dereceden bir denklemdir.

Örnek (PageIndex{34})

(x^2y^2 - 4 = 0) ios 4. dereceden bir denklem. (x^2y^2 - 4)'nin derecesi (2 + 2 = 4).

Alıştırma Seti A

Aşağıdaki denklemleri derecelerine göre sınıflandırınız.

Alıştırma Problemi (PageIndex{1})

(3x + 6 = 0)

Cevap

İlk veya doğrusal

Alıştırma Problemi (PageIndex{2})

(9x^2 + 5x - 6 = 3)

Cevap

ikinci dereceden

Alıştırma Problemi (PageIndex{3})

(25y^3 + y = 9y^2 - 17y + 4)

Cevap

kübik

Alıştırma Problemi (PageIndex{4})

(x = 9)

Cevap

Doğrusal

Alıştırma Problemi (PageIndex{5})

(y = 2x + 1)

Cevap

Doğrusal

Alıştırma Problemi (PageIndex{6})

(3y = 9x^2)

Cevap

ikinci dereceden

Alıştırma Problemi (PageIndex{7})

(x^2 - 9 = 0)

Cevap

ikinci dereceden

Alıştırma Problemi (PageIndex{8})

(y = x)

Cevap

Doğrusal

Alıştırma Problemi (PageIndex{9})

(5x^7 = 3x^5 - 2x^8 + 11x - 9)

Cevap

sekizinci derece

Egzersizler

Aşağıdaki problemler için her polinomu tek terimli, iki terimli veya üç terimli olarak sınıflandırın. Her polinomun derecesini belirtin ve her terimin sayısal katsayısını yazın.

Alıştırma (PageIndex{1})

(5x+7)

Cevap

binom; ilk (doğrusal); 5,7

Alıştırma (PageIndex{2})

(16x + 21)

Alıştırma (PageIndex{3})

(4x^2 + 9)

Cevap

binom; ikinci (kuadratik); 4,9

Alıştırma (PageIndex{4})

(7y^3 + 8)

Alıştırma (PageIndex{5})

(a^4 + 1)

Cevap

binom; dördüncü; 1,1

Alıştırma (PageIndex{6})

(2b^5 - 8)

Alıştırma (PageIndex{7})

(5x)

Cevap

tek terimli; ilk (doğrusal); 5

Alıştırma (PageIndex{8})

(7a)

Alıştırma (PageIndex{9})

(5x^3 + 2x + 3)

Cevap

üç terimli; üçüncü (kübik); 5,2,3

Alıştırma (PageIndex{10})

(17y^4 + y^5 - 9)

Alıştırma (PageIndex{11})

(41a^3 + 22a^2 + bir)

Cevap

üç terimli; üçüncü (kübik); 41,22,1

Alıştırma (PageIndex{12})

(6y^2 + 9)

Alıştırma (PageIndex{13})

(2c^6 + 0)

Cevap

tek terimli; altıncı; 2

Alıştırma (PageIndex{14})

(8x^2 - 0)

Alıştırma (PageIndex{15})

(9g)

Cevap

tek terimli; ilk (doğrusal); 9

Alıştırma (PageIndex{16})

(5xy + 3x)

Alıştırma (PageIndex{17})

(3yz - 6y + 11)

Cevap

üç terimli; ikinci (kuadratik); 3,−6,11

Alıştırma (PageIndex{18})

(7ab^2c^2 + 2a^2b^3c^5 + bir^{14})

Alıştırma (PageIndex{19})

(x^4y^3z^2 + 9z)

Cevap

binom; dokuzuncu; 1,9

Alıştırma (PageIndex{20})

(5a^3b)

Alıştırma (PageIndex{21})

(6 + 3x^2y^5b)

Cevap

binom; sekizinci; 6,3

Alıştırma (PageIndex{22})

(-9 + 3x^2 + 2xy6z^2)

Alıştırma (PageIndex{23})

(5)

Cevap

tek terimli; sıfır; 5

Alıştırma (PageIndex{24})

(3x^2y^0z^4 + 12z^3, y değil = 0)

Alıştırma (PageIndex{25})

(4xy^3z^5w^0, w değil = 0)

Cevap

tek terimli; dokuzuncu; 4

Aşağıdaki problemler için denklemlerin her birini derecelerine göre sınıflandırın. Doğrusal, ikinci dereceden veya kübik terimi geçerliyse, belirtin.

Alıştırma (PageIndex{26})

(4x + 7 = 0)

Alıştırma (PageIndex{27})

(3y - 15 = 9)

Cevap

doğrusal

Alıştırma (PageIndex{28})

(y = 5s + 6)

Alıştırma (PageIndex{29})

(y = x^2 + 2)

Cevap

ikinci dereceden

Alıştırma (PageIndex{30})

(4y = 8x + 24)

Alıştırma (PageIndex{31})

(9z = 12x - 18)

Cevap

doğrusal

Alıştırma (PageIndex{32})

(y^2 + 3 = 2y - 6)

Alıştırma (PageIndex{33})

(y - 5 + y^3 = 3y^2 + 2)

Cevap

kübik

Alıştırma (PageIndex{34})

(x^2 + x - 4 = 7x^2 - 2x + 9)

Alıştırma (PageIndex{35})

(2y + 5x - 3 + 4xy = 5xy + 2y)

Cevap

ikinci dereceden

Alıştırma (PageIndex{36})

(3x - 7y = 9)

Alıştırma (PageIndex{37})

(8a + 2b = 4b - 8)

Cevap

doğrusal

Alıştırma (PageIndex{38})

(2x^5 - 8x^2 + 9x + 4 = 12x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 1)

Alıştırma (PageIndex{39})

(x - y = 0)

Cevap

doğrusal

Alıştırma (PageIndex{40})

(x^2 - 25 = 0)

Alıştırma (PageIndex{41})

(x^3 - 64 = 0)

Cevap

kübik

Alıştırma (PageIndex{42})

(x^{12} - y^{12} = 0)

Alıştırma (PageIndex{43})

(x + 3x^5 = x + 2x^5)

Cevap

beşinci derece

Alıştırma (PageIndex{44})

(3x^2 + 2x - 8y = 14)

Alıştırma (PageIndex{45})

(10a^2b^3c^6e^4 + 27a^3b^2b^4b^3b^2c^5 = 1, d ot = 0)

Cevap

19. derece

Alıştırma (PageIndex{46})

(dfrac{4x^3}{9x-7}) ifadesi bir polinom değildir çünkü.

Alıştırma (PageIndex{47})

(dfrac{a^4}{7-a}) ifadesi bir polinom değildir çünkü.

Cevap

. paydada bir değişken var

Alıştırma (PageIndex{48})

Her cebirsel ifade bir polinom ifadesi midir? Değilse, polinom ifadesi olmayan bir cebirsel ifade örneği verin.

Alıştırma (PageIndex{49})

Her polinom ifadesi cebirsel bir ifade midir? Değilse, cebirsel bir ifade olmayan bir polinom ifadesi örneği verin.

Cevap

Evet

Alıştırma (PageIndex{50})

Birden fazla değişken içeren bir terimin derecesini nasıl buluruz?

İnceleme için Alıştırmalar

Alıştırma (PageIndex{51})

"On bir eksi üç çarpı bir sayı beştir" yazmak için cebirsel gösterimi kullanın.

Cevap

(11 - 3x = 5)

Alıştırma (PageIndex{52})

((x^4y^2z^3)^5) basitleştirin.

Alıştırma (PageIndex{53})

(z) değerinin (z = dfrac{x-u}{s}) ve (x = 55, u = 49) ve (s = 3) olduğunu bulun.

Cevap

(z = 2).

Alıştırma (PageIndex{54})

Varsa, (3x^4 + 6x^3 - 18x^2) ifadesindeki ortak çarpanları listeleyin.

Alıştırma (PageIndex{55})

(y = 3x + 5) denklemiyle ifade edilen ilişkiyi belirtin (yazarak).

Cevap

(y) değeri (5) (x) değerinin üç katından fazladır.