Nesne

29: 15 Sınıf Öncesi Ödev - Köşegenleştirme ve Kuvvetler - Matematik


29: 15 Sınıf Öncesi Ödev - Köşegenleştirme ve Kuvvetler - Matematik

Ödev Programı

Devam ederken bazı ödevleri ve zamanlamayı değiştirebilirim, bu yüzden derste ödevi duyururken beni dinleyin.

Aşağıdaki liste, olacakların yalnızca bir tahminidir.

Aşağıdaki tablo girişlerinde, atanan problemler bir sonraki sınıf toplantısına aittir.

26 Ağustos
Vektörlerin İncelenmesi
Modüler Vektörler (sayfa 13-16) p17:29,30,35,37,40,43,45,47,49,51,53,55,!56c,!57c
Kod Vektörleri (sayfa 53-57) s58: 16,18,20,24,!25,27,28,!30c. 34c

28 Ağustos
Matris Çarpımı (inceleme) ve Hamming Kodu (Örnek 3.71, p253) p261: 79,81-86,88,!93 ve bazı inceleme problemleri: p159: 31, 39 p168: !45,!47

2 Eylül
Doğrusal Sistemler ve Sonlu Doğrusal Oyunlar (Örnek 2.35, s115) s123: 30,31,32 c),40,!52

4 Eylül
Vektör Uzayları ve Altuzaylar (6.1 ama ayrıca 2.3, 3.5'i de gözden geçirin) p460: 1-6,7!,9-11,18,19,22!,23!

9 Eylül
6.1 devam p460: 25,26,27,31,33!,35,36,38,39,42?,45,46,47,48!,49!,54,61

11 Eylül
Lineer Bağımsız, Temel, Boyut (6.2 ve 3.5) p475: 3,4,8,9,12,13,14,15,16!,17,19,21,24,25

16 Eylül
6.2 devam s475: 27,29,31,33,35!,36!,40,41,42!,43!,45,47,51,55!,58!

18 Eylül
6.3: Temel Değişimi (6.3) p489: 3,4,7,8,10,12,13,15,18,19,21!,22!

23 Eylül
Lineer Dönüşümler (6.4 ve 3.6) p498: 4,5,9,10,11,15,17,19,22,24

25 Eylül
Doğrusal Dönüşümler, devam. s498: 26,28,30,33!,35,34!,36!

30 Eylül
Çekirdek ve Aralık (6.5) p513: 2,4,6,8,12,13,14,16,17,18,20 p513: 21,22,23,28,29,32! (30 ve 31 ile ısın), 33!, 34!, 36, 37!!

Lineer Dönüşüm Matrisi (6.6) p531: 3,5,7,9,11,13,15,17,22,23,27,29

7 Ekim
Lineer Transf Matrisi devamı p532: 31,33,37,39,40,41,44!,45!,46!!

9 Ekim
1. sınav

14 Ekim
Sınavı geç. Kristalografik Kısıtlamayı Başlatın.

16 Ekim
Uygulama: Döşemeler ve Kristallografik Kısıtlama (devamı) İç Çarpım Uzaylarını Başlat (7.1) ve Ortoganal Köşegenleştirmeyi Gözden Geçir s563: 5,6,8,9,10,11,13-18,20,21,22 (. ) s418: 13, 14,15,16,23.

21 Ekim
İç Çarpım Uzayları devamı, s563: 25,28,30,33!,34!,35,37,39,40,41,43!,44!

23 Ekim
7.2: Mesafe ve yaklaşıklık p589: 2,3,4,6,7,8!,9-12,14!,16,17,20,28,32!,33!,34

28 Ekim
7.2 devamı, s590: 41,42,43,45,46,47

30 Ekim
7.3: En Küçük Kareler, p609: 21, 23, 34, 44, 47 ,53, 54, 55
teoriyi sınıf notlarından ve metinden alın!

4 Kasım
Seçim günü
(ders yok: ofisler kapalı)

6 Kasım
7.4: Tekil Değer Ayrışımı, p632: 3,7,9,10,25,26,27,28,30,31,33,34,35,36,43,60

11 Kasım
Gaziler Günü
(ders yok: ofisler kapalı)

13 Kasım
7.5 Uygulama: Reed Muller Kodu

20 Kasım
Sınavı geçmek
Perron Frobenius Teoremi, s372: 28-31,40, belki 38 Perron Th'nin kanıtını emer

25 Kasım
(Di)Grafikler, İndirgenemezlik ve Perron Frobenius Teoremi
p259: 59,62,64,65 (grafiğe karşı digrafta okuyun), 68,71,72,73
p372: 32-35'ten önce iddiayı kanıtlayın ve bunlardan iki tanesini çözün.

27 Kasım
Şükran günü
sınıf yok

2 Aralık
A'nın kuvvetlerinin asimptotik davranışı (tümü metinde değil!)
(Th 4.33 p339'un daha genel bir versiyonunu verdim.)
Kanıtları incelemeyin, p370: 12,13'ü çözün ve ardından:
popülasyonların kaderini tahmin etmek,
Popülasyonlar arasındaki asimptotik oranı bulun.
(Kafanız karışırsa, p245 ve p341'e bakın.) "Google uygulaması" için p367-369'u okuyun.


Alakalı kaynaklar

TAMAM. Başlayalım mı? Bu, özdeğerler üzerine ikinci derstir.

Böylece ilk ders -- anahtar denkleme ulaştık, A x eşittir lambda x. x özvektördür ve lambda özdeğerdir.

Ve bulduktan sonra bunun iyi yolu -- yani, birinci iş özdeğerleri ve özvektörleri bulmaktır.

Şimdi onları bulduktan sonra, onlarla ne yapacağız?

Bunu görmenin iyi yolu matrisi köşegenleştirmek.

Ve göstermek istiyorum -- her şeyden önce, bu temel gerçek gibidir.

Bu, bugünkü dersin anahtarıdır.

Bu A matrisi, özvektörlerini bir S matrisinin sütunlarına koyuyorum.

Yani S özvektör matrisi olacaktır.

Ve bu sihirli kombinasyon S ters A S'ye bakmak istiyorum.

Size bunun nasıl olduğunu gösterebilir miyim -- orada ne oluyor?

Ve dikkat edin, bir S tersi var.

Bu özvektör matrisi S'yi tersine çevirebilmeliyiz.

Bunun için n tane bağımsız özvektöre ihtiyacımız var.

Yani durum bu, durum bu.

TAMAM. Diyelim ki n lineer bağımsız özvektörümüz var

A. Bunları bu S matrisinin sütunlarına koyun.

Doğal olarak buna özvektör matrisi diyeceğim, çünkü sütunlarında özvektörler var.

Ve tek yapmak istediğim, A ile S'yi çarptığınızda ne olduğunu size göstermek.

Yani bu A çarpı birinci özvektörün birinci sütununda, ikinci özvektörün ikinci sütununda, n'inci özvektörün n'inci sütununda olduğu matris.

Ve bu matris çarpımını nasıl yapacağım?

Pekala, kesinlikle her seferinde bir sütun yapacağım.

A çarpı ilk sütun bana cevabın ilk sütununu veriyor, ama nedir?

A çarpı x1 eşittir lambda çarpı x1. Ve o lambda biz -- biz lambda bir diyeceğiz,

elbette. Yani bu ilk sütun. Ax1, lambda one x1 ile aynıdır. A x2 lambda iki x2'dir. Böylece, n'inci sütunda, şimdi nasıl lambda n xn'ye geçiyoruz.

İyi görünüyor, ancak bir sonraki adım eşit

daha iyi. Yani bir sonraki adım için, bu özdeğerleri, şu çarpan sayıları x-s'den ayırmak istiyorum. O zaman tam istediğim şeye sahip olacağım.

TAMAM. Peki nasıl, nasıl ayrılacağım?

Böylece, bu lambda 1 sayısı ilk sütunu çarpıyor.

Yani, bunu ilk sütundan ayırmak istersem, şunu koysam iyi olur -- bu x1 olacak ve bu, ilk girdideki bu lambda bir matrisi ve tüm sıfırları çarpacak.

Bunu, ilk sütun için doğru çıkacağını görüyor musunuz?

Çünkü biz- nasıl-- o orijinal yumruk çizgisine nasıl geri döneceğimizi hatırlıyoruz.

Eğer bir sayının x1 ile çarpmasını istiyorsam, bunu o sütuna, ilk sütuna x1 koyarak ve o sayıyı oraya koyarak yapabilirim.

Burada ne alacağım?

Lambda alacağım -- x1, x2, . ,xn.

Bunlar yine benim sütunlarım olacak.

Ama şimdi neyle çarpılıyor, sağda neyle çarpılıyor?

Son sütunda lambda n xn istiyorsam bunu nasıl yaparım?

Buradaki son sütun -- son sütunu alacağım, bu katsayıları kullanacağım, lambda n'yi aşağıya koyacağım ve bu n'inci sütunu çarpacak ve bana lambda n xn verecek.

Orada, sadece bizim için çalışan matris çarpımını görüyorsunuz.

Ne anlama geldiğini yazdım, her bir özvektörün A çarpımı.

Bu bana özvektörü lambda zamanı verdi.

Ve sonra lambdaları soyduğumda, sağ taraftaydılar, yani matrisim S'yi tekrar elde ettim.

Ve bu matris, bu köşegen matris, özdeğer matrisi ve ben buna sermaye lambda diyorum.

Matrisler için büyük harfler kullanmak ve bana bunun özdeğerler olduğunu söylemek için lambda kullanmak.

Yani özdeğerlerin o köşegen üzerinde oturduğunu görüyor musunuz?

Burada bir x2 sütunum olsaydı, diyagonal konumda iki iki konumunda lambda ikinin x2'yi çarpmasını ve bana lambda iki x2'yi vermesini isterdim. Bu benim formülüm.

TAMAM. Bu -- görüyorsunuz, bu sadece bir hesaplama.

Şimdi -- n bağımsız özvektör meselesinden bahsetmiştim ve tekrar bahsetmek zorundayım.

Şu anki haliyle, her şey yolunda, ya -- yani, aynı özvektörü tekrar ediyor olabilirim, ama -- bununla ilgilenmiyorum.

S'yi tersine çevirebilmek istiyorum ve bu da burada devreye giriyor.

Bu n bağımsız özvektör işi, bana bu matrisin tersinir olduğunu söylemek için geldi.

Öyleyse bir sonraki tahtaya elimdekileri yazayım.

Ve şimdi, solda S ters ile çarpabilirim.

Yani bu gerçekten -- S'nin ters çevrilebilir olması şartıyla bunu yapabilirim.

n bağımsız özvektör varsayımımın

memnun. Geçen seferin sonunda bahsetmiştim ve tekrar söyleyeceğim, az sayıda matris var -- bunlar için n bağımsız özvektörü yok.

Bu yüzden, bu teknik noktayı tartışmam gerekiyor.

Ama büyük - gördüğümüz çoğu matrisin n din bağımsız özvektörü var ve köşegenleştirebiliriz.

Ben de yazabilirim ve çoğu zaman yazarım, tam tersi.

Sağda S'nin tersi ile çarparsam, bu denklemi üstte alıp sağda S'nin tersi ile çarparsam, yapabilirim -- burada A kalır.

Şimdi S ters sağdan geliyor.

Peki bu ikisini düz tutabilir misin?

A özvektörlerini çarpar, ben onları bu şekilde tutarım

dümdüz. Yani A, S'yi çarpar.

Ve sonra bu S tersi her şeyi köşegen yapar.

Ve bu, aynı şeyi söylemenin başka bir yolu, Ss'yi denklemin diğer tarafına koyarak.

İşte bu, işte yeni çarpanlara ayırma.

Bu, eliminasyondaki LU'nun veya Gram-Schmidt'teki Q R'nin yerine geçer. Ve matrisin -- yani bir matris çarpı bir köşegen matris çarpı birincinin tersi olduğuna dikkat edin.

Bu, bu bölüm boyunca göreceğimiz kombinasyon bu.

Bir S ve bir S tersi ile bu kombinasyon.

TAMAM. Bunu kullanmaya başlayabilir miyim?

Örneğin, A kare ne olacak?

A karenin özdeğerleri ve özvektörleri nelerdir?

Bu, kesinlikle net bir cevabı olan a ile basit bir soru.

İzin verin, A'nın karesini düşüneyim.

A x eşittir lambda x ile başlıyorum.

Ben de A kareye gidiyorum.

Her iki tarafı da A ile çarpayım.

A karesini sola almanın bir yolu bu.

Yani -- Bu if-leri buraya yazmalıyım.

A x eşittir lambda x ise, o zaman A ile çarparım, yani A kare x eşittir -- peki, A ile çarpıyorum, yani bu lambda A x.

O lambda bir sayıydı, ben de sola koydum.

Ve ben ne -- bana bunu nasıl daha iyi göstereceğimi söyle.

Eğer A'nın öz değeri lambda ve özvektör x'e sahipse, A'nın karesi ne olur?

A kare x, sadece A ile çarptım, ama şimdi Ax için lambda x yerine koyacağım.

Yani elimde lambda kare x var.

Bu basit hesaplamadan, ben -- benim sonucum, A karenin özdeğerlerinin lambda kare olduğudur.

Ve özvektörler -- Ben her zaman her ikisini de düşünürüm

onlar. Özdeğerler hakkında ne söyleyebilirim?

Özvektörler hakkında ne söyleyebilirim?

A'daki ile aynı x -- A için olduğu gibi.

Şimdi bunu da bu formülden göreyim.

Bu formülden A karenin neye benzediğini nasıl görebilirim?

İzin verin -- bunu yapmanın bir yolu buydu.

Bundan sadece A kare alarak yapayım.

A kare S lambda S ters -- bu A -- çarpı S lambda S ters -- bu A, hangisi?

Bu özdeğerlerin, özvektörlerin güzelliğidir.

Bu S'nin tersi ve S'nin olması özdeşliktir, yani elimde S lambda kare S'nin tersi var.

Bunun bana ne söylediğini görüyor musun?

Bana burada öğrendiğim şeyin aynısını söylüyor, ama -- matris formunda.

Bana S'nin aynı olduğunu, özvektörlerin aynı olduğunu, ancak özdeğerlerin karesinin alındığını söylüyor.

Çünkü bu -- lambda kare nedir?

Bu köşegende küçük lambda bir kare, lambda iki kare, aşağı doğru lambda n kare o- var.

Az önce öğrendiğimiz gibi, bunlar A karenin özdeğerleridir.

TAMAM. Yani -- bir şekilde bu özdeğerler ve özvektörler size gerçekten -- bir matrisin içinde neler olduğunu görmenin bir yolunu veriyor.

Tabii ki buna devam edebilirim -- K'nin kuvvetine, A'nın K. kuvvetine.

Çarparsam, bunlardan K'm birlikte olursa, S ters S'nin içeride, içeride nasıl birbirini götürmeye devam edeceğini görüyor musunuz?

S dışarıda en solda olacak ve lambda orada K kez ve S tersi olacak.

Bu bana, A'nın, A'nın K'inci kuvvetine özdeğerlerinin K'inci kuvvetler olduğunu söylüyor.

A küpünün özdeğerleri, A'nın özdeğerlerinin küpleridir.

A. Ve özvektörler aynı, aynı.

TAMAM. Başka bir deyişle, özdeğerler ve özvektörler, bir matrisin güçlerini anlamak için harika bir yol sağlar.

Bir matrisin karesini veya bir matrisin yüzüncü kuvvetini alırsam, pivotlar her yerdedir.

L U, L U çarpı L U çarpı L U çarpı L U'yu yüzle çarparsam, yüz L Us'um olur.

Onlarla hiçbir şey yapamam.

Ama S lambda S'nin tersini kendisiyle çarptığımda, özvektör resmine yüz kez baktığımda, bu adamlardan yüz doksan dokuzunun içeride birbirini götürdüğünü ve A üzeri yüz, S lambda üzeri yüzüncü elde ediyorum. S ters.

Demek istediğim, özdeğerler size daha önce yaklaşmamızın hiçbir yolu olmayan bir şekilde bir matrisin güçleri hakkında bilgi verir.

Örneğin, ne zaman -- bir matrisin kuvvetleri ne zaman sıfıra gider?

Ben buna matris kararlı diyebilirim, belki.

Böylece bir teorem yazabilirim.

Bunu bir teorem olarak yazacağım, sadece bu kelimeyi burada, bu özdeğer resminden bu harika gerçeği aldığımı vurgulamak için kullanacağım.

TAMAM. K giderken A'dan K'ye sıfıra yaklaşır, K büyüdükçe ne olur?

Bir A matrisi için, kuvvetleri sıfıra giderse w'nin ne olduğunu nasıl söyleyebilirim?

Ne - bu matrisin içinde bir yerde bu bilgi var.

Bu bilgi pivotlarda mevcut değil.

Özdeğerlerde bulunur.

A'nın daha yüksek güçlerini alırsam, bu matrisin gittikçe küçüleceğini bilmek için neye ihtiyacım var?

Peki, S ve S ters hareket etmiyor.

Yani küçülmesi gereken bu adam.

Ve bunu anlamak kolay -- anlamak.

Gereksinim tüm özdeğerlerdir - peki gereksinim nedir?

Özdeğerler birden küçük olmalıdır.

Şimdi bu mutlak değeri yazmam gerekiyor, çünkü bu özdeğerler negatif olabilir, karmaşık sayılar olabilir.

Bu yüzden mutlak değeri alıyorum.

Bunların hepsi birin altındaysa.

Bu, aslında, pratikte nedenini görüyoruz.

Ve burada bir varsayım üzerinde hareket ettiğimi söylememe izin verin ve bu varsayımın hala mevcut olduğunu hatırlamaya devam etmeliyim.

Bu varsayım, tam bir n bağımsız özvektör kümesine sahip olduğumdu.

Eğer buna sahip değilsem, o zaman bu yaklaşım çalışmıyor.

Yine, saf bir özdeğer yaklaşımı, özvektör yaklaşımı, n bağımsız özvektöre ihtiyaç duyar.

Eğer n tane bağımsız özvektörümüz yoksa matrisi köşegenleştiremeyiz.

Bir köşegen matrise ulaşamıyoruz.

Bu köşegenleştirme yalnızca S ters anlamlıysa mümkündür.

TAMAM. O noktayı şimdi takip edebilir miyim?

Neden -- ne elde ettiğimizi ve neden istediğimizi görüyorsunuz, çünkü özdeğerlerden hemen bir matrisin güçleri hakkında bilgi alıyoruz.

Şimdi matrisleri köşegenleştirilebilir olan bu konuyu takip etmeme izin verin.

Bu uzun kelime için özür dilerim.

Yani bir matris, kesinlikle -- işte burada, işte ana nokta.

A kesinlikle -- N bağımsız özvektöre sahip olmak ve -- şimdi bu kelime geliyor -- köşegenleştirilebilir ise, eğer -- bu yüzden güzel durumu açıklığa kavuşturabiliriz.

Güzel durum şudur - eğer tüm lambdalar farklıysa.

Bu, tekrarlanan özdeğerlerin olmadığı anlamına gelir.

Eğer matrisim ve çoğu -- Matlab'da rasgele bir matris yaparsam ve özdeğerlerini hesaplarsam -- yani eğer rand'ı on onluk bir rand alırsam hesaplarsam, o Matlab komutunu verirse, -- şunu alırdık on'a on rastgele bir matris, onun on özdeğerinin bir listesini alırdık ve bunlar farklı olurdu.

Onlar farklı olurdu en iyi kelime.

Ben -- rastgele bir matrisin on farklı değeri olacaktır -- on'a on bir matrisin on farklı öz değeri olacaktır.

Ve eğer öyleyse, özvektörler otomatik olarak bağımsızdır.

Kanıt için sizi metne yönlendireceğim.

Bu, eğer özdeğerler farklıysa, A'nın n bağımsız özvektöre sahip olacağı kesindir.

Hepsi ise, tüm özdeğerler farklıysa.

Sadece bazı lambdalar tekrarlanıyorsa, daha yakından bakmam gerekiyor.

Bir özdeğer tekrarlanıyorsa bakmam, saymam, kontrol etmem gerekir.

- Diyelim ki üç kez tekrarlandı.

O halde için olasılık nedir -- işte burada, işte tekrarlanan olasılık.

Ve bir de sonucu vurgulayayım.

Tekrarlanan özdeğerlerim varsa, n tane bağımsız özvektöre sahip olabilirim ya da olmayabilirim, olabilir ya da olmayabilirim.

Ben, ben, bilirsiniz, bu tamamen olumsuz bir durum değil.

Birim matrisi -- on'a on birim matrisi aldığımı varsayalım.

Bu matrisin özdeğerleri nelerdir?

O halde, sadece, en kolay matrisi, özdeşliği alın.

Özdeğerlerini ararsam, hepsi birdir.

Böylece özdeğer bir on kez tekrarlanır.

Ancak birim matris için özvektör sıkıntısı yoktur.

Aslında, her vektör bir özvektördür.

Böylece on bağımsız vektör alabilirim.

Oh, peki, her şeye ne oluyor -- eğer A birim matris ise, hadi bunu kafamızdan bir düşünelim.

A birim matris ise, çok sayıda özvektörü vardır.

On bağımsız vektör seçiyorum.

Ve S ters A S'den ne elde ederim?

Eğer A özdeşlikse -- ve tabii ki bu doğru lambdadır.

Matris zaten köşegendi.

Yani matris zaten köşegen ise, o zaman lambda matrisle aynıdır.

Köşegen bir matrisin özdeğerleri tam önünüzde duruyor.

Şimdi eğer üçgen ise, özdeğerler hala orada duruyor, ama hadi üçgen olduğu bir durumu ele alalım.

A'nın iki bir iki sıfır gibi olduğunu varsayalım.

Yani sorun yaratacak bir durum var.

Başına bela olacak bir vaka var.

Her şeyden önce, -- yani, biz sadece -- bir matrisle başlarsak, yaptığımız ilk şey, pratikte düşünmeden özdeğerleri ve özvektörleri hesaplamak olur.

TAMAM. Peki özdeğerler nelerdir?

Bunların ne olduğunu hemen söyleyebilirsin.

Bu bir üçgen matris, yani bu determinantı yaptığımda, A eksi lambda I'in bu determinantını mı yapmalıyım?

Bu iki eksi lambda bir sıfır iki eksi lambda alacağım, değil mi?

Bu determinantı alıyorum, bu yüzden determinant anlamında bunları dikey çubuklar haline getiriyorum.

Ve belirleyici olan nedir?

İki eksi lambda kare.

Yani özdeğerler lambda eşittir iki ve iki.

Şimdi bir sonraki adım, özvektörleri bulun.

Bu yüzden özvektörler arıyorum ve bu adam için ne buluyorum? Bu adam için özvektörler, iki eksi özdeşliği çıkardığımda, burada A eksi iki sıfır var.

Ve sıfır uzayını arıyorum.

Nedir, özvektörler nelerdir?

Onlar -- A eksi lambda I'in sıfır uzayı.

Sıfır uzayı sadece bir boyutludur.

Bu, yeterli özvektöre sahip olmadığım bir durum.

Cebirsel çokluğum iki.

Özdeğerin ne sıklıkta tekrarlandığını gördüğümde, cebirsel çokluk budur diyeceğim.

Bu çokluk, polinomun kökü kaç kez?

Polinomum iki eksi lambda kare.

Yani cebirsel çokluğum iki.

Ama vektörleri arayan geometrik çokluk, özvektörleri arar ve -- bu, bu şeyin sıfır uzayı anlamına gelir ve tek özvektör birdir.

sıfır. Bu sıfır uzayında.

Sıfır bir sıfır uzayında değil.

Sıfır uzayı sadece bir boyutludur.

Yani bir matris var, benim -- bu A veya orijinal A, köşegenleştirilemeyen.

İki bağımsız özvektör bulamıyorum.

TAMAM. Yani benim durumum bu -- bu gerçekten ilgilenmediğim bir dava.

Örneğin, buraya özdeğerler birin altındaysa güçlerin sıfıra gittiğini yazdığımda, bu tekrarlanan özdeğer durumunu gerçekten ele almadım, çünkü mantığım bu formüle dayanıyordu.

Ve bu formül n tane bağımsız özvektöre dayanmaktadır.

TAMAM. O halde diyagonalleştirme yoluyla kapsamadığımız, ancak büyük çoğunluğu yaptığımız bazı matrisler var.

TAMAM. Ve biz, farklı özdeğerlerimiz varsa her zaman iyiyiz.

Tamam, tipik durum bu.

Çünkü her özdeğer için en az bir özvektör vardır.

Buradaki cebirsel çokluk her özdeğer için birdir ve geometrik çokluk birdir.

TAMAM. TAMAM. Şimdi, iyi olduğumuz zaman, önemli davaya geri döneyim.

Önemli olan, köşegenleştirilebilir olduğumuzda.

Şuna bir bakayım -- yani -- bu denklemi çözmeme izin verin.

Denklemin her biri -- bazılarıyla başlıyorum -- belirli bir u0 vektörü ile başlıyorum. Ve sonra denklemim her adımda, sahip olduklarımı A ile çarpıyorum.

Bu, bu denklemin ele alınması basit olmalı.

Ve çözebilmeyi isterim.

Nasıl bulurum -- u0 vektörüyle başlarsam ve A ile yüz kez çarparsam, elimde ne olur?

Cevap için kesinlikle bir formül yazabilirim, peki ne, ne -- yani u1, A u0'dır. Ve u2 -- o zaman u2 nedir? u2, çarparım -- u2 u1'den başka bir A ile çarparak elde ederim, yani A'yı iki kez elde ederim.

Ve formülüm uk, k adımdan sonra A k ile orijinal u0'ı çarpıyorum. Ne yaptığımı görüyor musun?

Bir sonraki bölüm diferansiyel denklem sistemlerini çözecek.

türevlerim olacak.

Bu bölüm güzel olanıdır.

Fark denklemlerini çözer.

Ben buna fark denklemi derdim.

Bu -- ilk derecede, ben buna birinci dereceden bir sistem derdim, çünkü sadece bağlanır -- sadece bir seviye yükselir.

Ve ben -- bu bir sistem çünkü bunlar vektörler ve bu bir matris.

Ve çözüm sadece bu.

Bu, bulabildiğim en kompakt formül. u100, A üzeri yüz u0 olur. Ama aslında u100'ü nasıl bulabilirim? Nasıl bulurdum -- u100'ün ne olduğunu nasıl keşfederdim?

İzin ver, sana nasıl olduğunu göstereyim.

Eğer -- yani çözmek için, gerçekten çözmek için -- diyeceğim ki, gerçekten çözmek için -- gerçekten çözmek için, bu u0 başlangıç ​​vektörünü alırdım ve onu özvektörlerin bir kombinasyonu olarak yazardım.

Gerçekten çözmek için, u hiçbirini bir kombinasyon olarak yazın, diyelim ki birinci özvektörün belirli bir miktarı artı ikinci özvektörün belirli bir miktarı artı son özvektörün belirli bir miktarı.

İstersiniz -- burada çalışan özvektörlerin büyüsünü görmelisiniz.

A kere -- peki A nedir -- onu n ayrı parçaya ayırabilirim ve bütün mesele bu.

Bu parçaların her biri kendi neşeli yolunda ilerliyor.

Bu parçaların her biri bir özvektör ve A ile çarptığımda bu parça ne oluyor?

Bu, birincinin bir kısmı -- özvektörlerin birim vektörler olarak normalize edildiğini varsayalım.

Bu özvektörün ne olduğunu söylüyor.

Bu bir -- Ve u0 üretmek için birkaç katına ihtiyacım var. TAMAM.

Şimdi A ile çarptığımda ne elde ederim?

Sadece bir faktör olan c1'i elde ederim, çarpı Ax1 ama Ax1 lambda bir x1'dir. Bunu A ile çarptığımda c2 lambda iki x2 elde ediyorum. Ve burada cn lambda n xn alıyorum.

Ve şimdi A ile yüzüncü kuvveti çarptığımı varsayalım.

Bunu yaptıktan sonra A ile çarpabilir miyiz, hadi A ile yüzüncü çarpalım.

Yüzde A ile çarptığımda bu ilk terime ne olur?

Lambda faktörünü yüzde yüz var.

Bu -- kendi neşeli yolundan gitmekten kastım bu.

O, saf özvektördür.

Tam olarak A ile çarpmanın sadece bir skaler faktör, lambda bir getirdiği bir yönde.

Yani yüz kere bunu yüz kere getiriyor.

Yüz kere lambda iki, yüz kere lambda n.

Aslında biz -- burada ne görüyoruz?

Bu aynı, lambda sermaye lambda'yı yüzüncü olarak, köşegenleştirmede olduğu gibi görüyoruz.

Ve S matrisini görüyoruz, özvektörlerin S matrisini.

Bunun olması gereken şey bu - bunun tutarı olmalı.

Yüzüncü kuvvete bir lambda çarpı bir S çarpı bu c vektörü bize her birinin ne kadarının orijinal şeyde olduğunu söylüyor.

Yani, eğer gerçekten yüzüncü kuvveti bulmam gerekseydi, u0 alırdım, bunu bir özvektör kombinasyonu olarak genişletirdim -- bu gerçekten S, özvektör matrisi, çarpı c, katsayı vektörü.

Ve sonra hemen, bu yüzüncü özdeğer kuvvetlerini ekleyerek, cevabı almış olurdum.

Yani -- ha, olmalı -- oh, bir bakalım, tamam. Bu -- yani, evet.

Yani eğer u100 A üzeri yüzüncü çarpı u0 ve u0 S c ise -- o zaman bu formülün tam olarak bu formül olduğunu görüyorsunuz, bu benim bunu, bu u100'ü gerçekten elde etme şeklim, ki -- bana izin verin buraya koy. u100. Bunu gerçekten elde etme yöntemim, bakın ne, yüz adımdan sonra çözüm ne olurdu -- ilk vektörü özvektörlere genişletin ve her özvektörün kendi yoluna gitmesine izin verin, yüz ile çarparak -- lambda her adımda ve bu nedenle lambda tarafından yüz adımdan sonra yüzüncü güce.

Bir örnek yapabilir miyim? Formüller bu kadar.

Şimdi bir örnek vereyim.

Örnek olarak Fibonacci dizisini kullanacağım.

Fibonacci sayılarını hatırlıyor musun?

F0 olarak bir ve bir ile başlarsak -- ah, sanırım sıfırla başlarım, belki.

Sıfır ve bir birinci olsun.

Yani ilk iki Fibonacci sayısı F0 ve F1 var.

O halde Fibonacci sayılarının kuralı nedir?

Bir sonraki, bunların toplamıdır, yani birdir.

Bir sonraki, bunların toplamı, yani iki.

Bir sonraki, bunların toplamı, yani üç.

Bir iki üç dört beş gibi görünüyor ama bir şekilde bu şekilde olmayacak.

Sıradaki beş, doğru.

Ve yüzüncü Fibonacci sayısı nedir?

Yüzüncü sayının formülünü nasıl bulabilirim?

Ve örneğin, ne kadar hızlı büyüyorlar sorusuna nasıl cevap verebilirim?

Bu Fibonacci sayıları ne kadar hızlı büyüyor?

Matrisin özdeğerleri ne olursa olsun, birden küçük değiller.

Bu rakamlar büyüyor.

Ama ne kadar hızlı büyüyorlar?

Cevap özdeğerde yatıyor.

Bu yüzden matrisi bulmam gerekiyor, bu yüzden Fibonacci kuralını yazayım. F(k+2) = F(k+1)+F k, değil mi?

Şimdi bu benim içinde değil -- Bunu uk artı bir ve Auk olarak yazmak istiyorum.

Ama şu anda elimde tek bir denklem var, bir sistem değil ve bu ikinci dereceden. İkinci türevli ikinci dereceden bir diferansiyel denkleme sahip olmak gibi.

İlk türevleri almak istiyorum.

Burada ilk farkları almak istiyorum.

Bu yüzden, bunu yapmanın yolu, uk'yi tanıtmak bir vektör olacak -- bakın, küçük bir numara.

uk bir vektör, F(k+1) ve Fk olsun.

Yani bir yerine ikişer iki sistem, birinci dereceden bir sistem elde edeceğim -- skaler sistem yerine ikinci dereceden basit bir numara.

Sadece F(k+1) eşittir F(k+1) denklemini ekleyeceğim. Bu benim ikinci denklemim olacak.

O zaman bu benim sistemim, bu benim bilinmeyenim ve benim tek adımlı denklemim nedir?

Yani şimdi u(k+1), bu -- yani u(k+1) sol taraf ve burada sağ tarafta ne var?

İngiltere'yi çarpan bir matrisim var.

Yapabilir misin -- bunu iyi görebiliyor musun?

eğer onu görebiliyorsan, o zaman bana matrisin ne olduğunu söyleyebilirsin.

Sistemimi buraya aldığımı görüyor musun?

Yapay olarak bir sistem haline getirdim.

Bilinmeyeni yapay olarak bir vektöre dönüştürdüm.

Ve şimdi matrisin ne olduğuna bakmaya ve görmeye hazırım

dır-dir. Sol tarafı görüyor musunuz, u(k+1) F(k+2) F(k+1), tam istediğim bu.

Sağ tarafta, şunu hatırlayın, buradaki uk -- şimdilik bunu F(k+1) Fk olarak koyayım. Peki matris nedir?

Bunda bir ve bir var ve bunun bir ve bir sıfırı var.

Bunun bana sağ tarafı verdiğini görüyor musun?

Ve bu bizim dostumuz İngiltere.

Yani elimizde -- yani bu basit numara -- ikinci dereceden skaler problemi birinci dereceden bir sisteme değiştirdik.

İki bilinmeyenli iki b- u-.

Düşünmeden önce, özdeğerlerini ve özvektörlerini buluyorum.

Peki bu matrisin özdeğerleri ve özvektörleri nelerdir?

Ben her zaman -- önce bir dakika düşünmeme izin verin.

İkişer ikişer, yani bunu yapmak imkansız olmamalı.

Yani benim matrisim yine bir bir bir sıfır.

Simetrik matrisler hakkında en sonunda bileceğim şey, özdeğerlerin gerçek olacağıdır.

Burada karmaşık sayılar almayacağım.

Ve özvektörler, bunları aldığımda aslında dik olacak.

Ama ikişer ikişer, gerçek sayıların ne olduğuyla daha çok ilgileniyorum.

İki sayı hakkında ne biliyorum?

Peki, bu A eksi determinantını bulmamı ister misin?

Yani bir eksi lambda bir bir sıfırın determinantı,

İki özdeğer olacak.

Daha ileri gitmeden önce bana iki özdeğer hakkında bildiklerimi tekrar anlat.

Bana bu iki özdeğer hakkında bir şeyler söyle.

Lambda bir artı lambda iki mi?

Matrisin köşegenindeki aşağı doğru iz ile aynıdır.

Yani lambda bir artı lambda iki, bir olmalı.

Ve lambda bir kere lambda bir kere lambda iki eksi bir olan determinant olarak çıkmalıdır.

Bu yüzden özdeğerlerin bire eklenmesini ve eksi birle çarpılmasını bekliyorum.

Ama sadece burada olduğunu görelim.

Bunu çarparsam, -- bu çarpı bir lambda kare eksi lambda eksi bir olur.

İyi. Lambda kare eksi lambda eksi bir.

Aslında, ben--b'yi görüyorsunuz, bunu başladığım orijinal denklemle karşılaştırın. F(k+2) - F(k+1)-Fk sıfırdır.

Fibonacci sayılarının karşıladığı özyineleme, bunu sıfıra ayarladığımızda bir şekilde özdeğerler için doğrudan burada ortaya çıkıyor.

Bunu, ikinci dereceden çarpanlarına ayırabilmek isterdim, ama ikinci dereceden formülü kullanmam daha iyi olur.

Eksi b, bir artı veya eksi b karenin karekökü, yani bir, eksi dört çarpı bu, artı dört, bölü iki.

Yani bu beşin karekökü.

Yani özdeğerler lambda bir eşittir birin yarısı artı karekökü beş ve lambda iki bir yarım eksi karekök beştir.

Ve tabii ki, onlar -- bunların toplamı bir oluyor ve çarpıp eksi bir veriyorlar.

TAMAM. Bunlar iki özdeğerdir.

Nasıl -- bu sayılar yaklaşık olarak nedir?

Beşin karekökü, ikiden fazla ama üçten küçük.

Hmm. Bu sayıları bilmek güzel olurdu.

Sanırım, sanırım -- yani bu sayı birden büyük çıkıyor, değil mi?

Bu sayı birden büyük çıkıyor.

Yaklaşık bir nokta altı bir sekiz falan.

Ve bir nokta altı olduğunu varsayalım.

Lambda iki pozitif mi yoksa negatif mi?

Negatif, doğru, çünkü ben -- bu açıkça negatif ve biliyordum ki -- yani eksi -- ve bunlar bire eşit, yani eksi nokta altı bir sekiz, sanırım.

Bunlar iki özdeğerdir.

Bir özdeğer birden büyük, bir özdeğer küçük

bir. Aslında, içinde olmak harika bir durum.

Tabii ki, özdeğerler farklıdır, dolayısıyla hiç şüphe yok ki bu matris köşegenleştirilebilir mi?

Bu matris köşegenleştirilebilir mi, bu orijinal matris A?

İki farklı özdeğerimiz var ve özvektörleri bir anda bulabiliriz.

Ama onlar bağımsız olacaklar, biz köşegenleştirilebilir olacağız.

Ve şimdi, sen, zaten ilk soruma cevap verebilirsin.

Bu Fibonacci sayıları ne kadar hızlı artıyor?

Nasıl -- bunlar -- artıyorlar,

Sağ? Her adımda iki katına çıkmıyorlar.

İzin verin -- bu sayılara tekrar bakalım.

Beş, sekiz, on üç, belli değil.

Bir sonraki yirmi bir, otuz dört olacaktı. F yüz'ün ne olduğu hakkında bir fikir edinmek için, bana herhangi bir şey verebilir misiniz -- yani çok önemli sayı -- yani -- bunlar -- yaklaşık olarak -- bu Fibonacci sayılarının büyümesini ne kontrol ediyor?

Ve bu büyümeyi hangi özdeğer kontrol ediyor?

Yani F100 yaklaşık olarak bir miktar sabit olacak, sanırım, c1 çarpı bu lambda bir, bu bir artı karekök beş bölü iki, yüzüncü kuvvet.

Ve iki yüzüncü F -- başka bir deyişle, özdeğer -- Fibonacci sayıları bu faktör kadar büyüyor.

Özdeğerlerden Fibonacci sayıları hakkında kesin bilgilere sahip olduğumuzu görüyor musunuz?

TAMAM. Ve yine, bu neden doğru?

Şu tahtaya gideyim ve burada ne yaptığımı göstereyim.

-- orijinal başlangıç ​​değeri, özvektörlerin bir kombinasyonudur.

Ve sonra başladığımızda -- Fibonacci sayıları teorilerini ortaya çıkarmaya başladığımızda, A ile yüz kere çarpmaya başladığımızda, bu lambda bir üzeri yüzde.

Bu terim, devralan terimdir.

Bu -- Yani, bu büyük, bir nokta altı üzeri yüzüncü kuvvet gibi.

İkinci terim pratikte hiçbir şey değil, değil mi?

Yüzüncü kuvvetin altı noktası veya eksi altı noktası son derece küçük, son derece küçük bir sayıdır.

Yani bu -- sadece iki terim var, çünkü biz ikiye ikiyiz.

This number is -- this piece of it is there, but it's, it's disappearing, where this piece is there and it's growing and controlling everything.

So, so really the -- we're doing, like, problems that are evolving.

We're doing dynamic u- instead of Ax=b, that's a static problem.

We're now we're doing dynamics.

A, A squared, A cubed, things are evolving in

zaman. And the eigenvalues are the crucial, numbers.

TAMAM. I guess to complete this, I better write down the eigenvectors. So we should complete the, the whole process by finding the eigenvectors.

OK, well, I have to -- up in the corner, then, I have to look at A minus lambda I.

So A minus lambda I is this one minus lambda one one and minus lambda.

And now can we spot an eigenvector out of that?

That's, that's, for these two lambdas, this matrix is singular.

I guess the eigenvector -- two by two ought to be, I mean, easy.

So if I know that this matrix is singular, then u- seems to me the eigenvector has to be lambda and one, because that multiplication will give me the zero.

And this multiplication gives me -- better give me also zero.

This is the minus lambda squared plus lambda plus one.

It's the thing that's zero because these lambdas are special.

There's the eigenvector. x1 is lambda one one, and x2 is lambda two one.

I did that as a little trick that was available in the two by two case.

So now I finally have to -- oh, I have to take the initial u0 now. So to complete this example entirely, I have to say, OK, what was u0? u0 was F1 F0. So u0, the starting vector is F1 F0, and those were one and

sıfır. So I have to use that vector.

So I have to look for, for a multiple of the first eigenvector and the second to produce u0, the one zero

vector. This is what will find c1 and c2, and then I'm done.

Do you -- so let me instead of, in the last five seconds, grinding out a formula, let me repeat the idea.

Because I'd really -- it's the idea that's central.

When things are evolving in time -- let me come back to this board, because the ideas are here.

When things are evolving in time by a first-order system, starting from an original u0, the key is find the eigenvalues and eigenvectors of A.

That will tell -- those eigenvectors -- the eigenvalues will already tell you what's happening.

Is the solution blowing up, is it going to zero, what's it doing.

And then to, to find out exactly a formula, you have to take your u0 and write it as a combination of eigenvectors and then follow each eigenvector separately.

And that's really what this formula, the formula for, -- that's what the formula for A to the K is doing.

So remember that formula for A to the K is S lambda to the K S inverse.

TAMAM. That's, that's difference equations.

And you just have to -- so the, the homework will give some examples, different from Fibonacci, to follow through.


Topology (Math 731)

Weekly assignments are due Wednesdays at 11am. Occasionally, as on the first day of class, you will be given one problem due at the start of the next class.

Diagostic exercises are indicated by DX these should not be submitted. All other exercises require written solutions. Check the errata for exercises marked *.

Assignment 1, due F., 9/2 [Do not discuss with others.]

Assignment 2, due W., 9/7
DX: 1.1, 1.3, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 1.10, 1.11, 1.15
Required: 1.2, 1.4, 1.5, 1.12, 1.13 (1.12, 1.13 delayed until Asst 3)
Required: Prove that the interval [0,1) is uncountable using Cantor's diagonalization argument. (Do not look this up, unless you've tried it for a long time!)

Assignment 3, due W., 9/14
DX: 1.17, 1.25, 1.28, 1.29, 1.30, 1.31
Required: 1.12, 1.13, 1.14, 1.16, 1.19, 1.20 (defining a subbasis), 1.21, 1.27, 1.34*, 1.35
Required: Show that the separation axioms obey: T4 implies T3 implies T2.

Assignment 4, due W., 9/21
DX: 1.38, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8
Required: 1.22, 1.34*, 1.35, 1.39, 1.44, 2.1, 2.3, 2.10
Required: Show that the separation axioms obey: T4 implies T3 implies T2.

Assignment 5, due F., 9/23. We will present the proof of Theorem 2.15 (exercise 2.28) in class. There are 12 parts, so most of you will be randomly chosen to present. If you present, your grade is based upon that. If you don't, you will submit 3-4 parts in class to be graded.

Assignment 6, due W., 9/28
DX: 2.26, 2.27, 2.31
DX: Let T and T' are two topologies on X, with T coarser than T'. Show, for A a subset of X, that the interior of A under T is contained in the interior of A under T'. Similarly show that the closure of A under T contains the closure of A under T'.'
Required: 2.13, 2.14*, 2.18, 2.19*, 2.23, 2.24,
Challenge Problem: (Munkres 17.21) Consider the power set P(X) of X. The operations closure and complement may be viewed as maps P(X)->P(X). (a) Show that, starting from a given set A, one can form no more than 14 distinct sets by applying these operations. (b) Find a subset of the reals for which the maximum of 14 distinct sets is achieved.

Assignment 7, due W., 10/12
DX: 3.1-3.6, 3.9, 3.12, 3.13, 3.14, 3.18, 3.20, 3.23, 3.25, 3.28
Required: 2.29, 2.35, 3.7, 3.15, 3.17, 3.22, 3.26, 3.29, 3.30, 3.33
For 2.29, assume all intervals [c,d] have positive length, i.e., c&ned.

Assignment 8, due W., 10/19
DX: 3.40, 4.1, 4.2, 4.7
Required: 3.44, 4.3, 4.4, 4.5, 4.10, 4.12, 4.18, 4.19, 4.20, 4.21
Challenge problem: Describe the configuration space C3(S 1 ). What familiar space is it equivalent to?
Hint (3.44): The bonding angle of a water molecule is constant, roughly 104.5 degrees.

Assignment 10, due F., 11/11
DX: 4.38, 5.1, 5.2, 5.4, 5.5, 5.6, 5.10, 5.13, 5.16, 5.22, 5.26, 5.27, 5.30, 5.33, 6.1, 6.2, 6.5
Required: 5.3, 5.12, 5.14*, 5.24, 5.29**, 5.31, 5.35, 5.37, 5.41, 6.7b, 6.9, 6.18, 6.20, 6.27, 6.30
Problem [replacing 5.29b]. Show that for all c1>0, for all c2 satisfying 0< c2 &le c1(b-a), there exists f in C[a,b] s.t. &rhom(f,0)=c1 and &rho(f,0)=c2.
Required: Read section 4.3. What is "gimbal lock"? How did NASA encounter and address it 40-50 years ago?
Attend either the colloquium on 11/10 and write a 1-page reaction, or do problem 6.24.

Assignment 12, due Tu., 11/22
DX: 7.1, 7.2, 7.3, 7.6, 7.9
Required: 6.41, 6.43, 6.44, 6.45, 7.5 (you must use open covers), 7.11


29: 15 Pre-Class Assignment - Diagonalization and Powers - Mathematics

Instructor: Prof. Zhong-Jin Ruan

Classroom: 141AH, TuTh 11:00am - 12:20pm

Office Hour: TuTh 1-2 pm, or by appointment.

Web page: https://math.uiuc.edu/

This course provides a careful development of elementary analysis for those who intend to take graduate courses in mathematics. Topics include completeness property of real number system basic topological properties of n-dimensional space convergence of numerical sequences and series of functions properties of continuous functions and basic theorems concerning differentiation and Riemann integration.

Textbook: Elementary Analysis: The Theory of Calculus by Kenneth Ross, 2nd edition, 2013.

Pre-requisite: Math 242 and Math 347, or equivalent.

Homework: Homework will be assigned each week and will be due in class on the following dates:
Part I: Thursdays Jan 26, Feb 2, 9, 16
Part II: Thursdays Mar 9, 16, 30, Apr 6
Part III: Tuesdays Apr 25, May 2.

No late homework will be accepted. If you have a reasonable excuse for missing an assignment, I will score it by the average of the other assignments.

Exams: We will have two midterm exams and a final exam.

Exam1: Thursday February 23
Exam2: Thursday April 13

Final Exam: Thursday May 11, 7-10pm at 141Altgeld Hall.

Grading policy: There will be total of 500 points, which can be computed as follows.

Ev ödevi:10 x 10 pts 100 pts
Sınavlar:2 x 100 pts 200 pts
Final Exam: 200 pts
Total: 500 pts

Your grade will be based on the total scores.

HW#2: #8.2c),d), 8.4, 8.6a), 8.8a), 8.10. Due Thursday, February 2, 2017. Solution [pdf]"
Practice HW (No need to hand in): #9.1, 9.2, 9.4, 9.8a), c), 9.15.


HW#3: #10.6a), b), 10.7, 10.10, 12.2, 12.4, 12.10. Due Thursday, February 9, 2017. Solution [pdf]"
Practice HW (No need to hand in): 10.1, 10.4, 12.3.


HW#4: #11.4 consider (x_n), (z_n) 11.6 12.6 a), c) 14.2 e), f), g) 14.4a), b) 14.12. Due Thursday February 16, 2017. Solution [pdf]"
Practice HW (No need to hand in): #11.11, 14.7, 14.10.

The 1st exam will be given on Thursday February 23, 2017 from 11:00am to 12:15pm Solution [pdf]"

HW#5: #13.4, 13.12, 13.13 17.10a), b), 17.12a), b). Due Thursday March 2, 2017. Solution [pdf]"
Practice HW (No need to hand in): #13.3, 13.9, 13.11 17.3, 17.9c), d).

HW#6: #18.2, 18.4, 18.6, 18.8, 19.2c), 19.6a), b). Due Thursday March 9, 2017. Solution [pdf]"

HW#7: #13.8a), 19.7a), b), 19.10, 21.2, 21.8, 21.10a),d). Due Thursday March 16, 2017. Solution [pdf]"
Practice HW (No need to hand in) #21.1, 21.3, 21.7.

HW#8: #22.2, 22.4a),b),c), 22.6a), 22.8, 23.2b),d), 23.6. Due Thursday March 30, 2017. Solution [pdf]"
(Hint: You may apply 22.3 to 22.4b).)
Practice HW (No need to hand in). #22.1, 22.5, 22.11, 23.1.

HW#9: #24.4, 24.6, 24.14, 25.4, 25.6, 25.10. Due Thursday April 6, 2017 Solution [pdf]"
Practice HW (No need to hand in) #24.7, 24.11, 24.13, 25.5, 25.9.

For section 28 and 29, we only have practice homework (No need to hand in): #28.4, 28.6, 28.8, 28.14, 29.10, 29.12, 29.14.

The 2nd exam will be given on Thursday April 13, 2017 from 11am to 12:15pm. Solution [pdf]"

HW#10: #32.2, 32.6, 32.8, 33.4, 33.8a), 33.10. Due Tuesday April 25, 2017. Solution [pdf]"
Practice HW (No need to hand in) #33.3, 33.7

HW11: #33.14, 34.2a), 34.4, 34.6, 34.7, 34.8a). Due Tuesday May 2, 2017. Solution [pdf]"

Final Exam Review: I will hold a final exam review session at 343AH, 5pm - 6pm on Tuesday May 9, 2017.

Extra Office Hour: I will add an office hour on Thursday May 11, 11am-noon at my office 353AH.

Final Exam will be given at classroom (141 Altgeld Hall) on Thursday May 11, 2017 from 7pm to 10pm.
Notice 1: This is a close book exam. So no book, no notes, and no cell phone will be allowed during the exam.
Notice 2: Let me know if you have any potential conflicts. Otherwise, do not miss this final exam. I will not give any make-up exam unless you have a strong reason.


29: 15 Pre-Class Assignment - Diagonalization and Powers - Mathematics

Instructor: Nikola Petrov, 802 PHSC, (405)325-4316, npetrov AT math.ou.edu

Office Hours: Mon 2:30-3:30 p.m., Tue 4:30-5:30 p.m., or by appointment.

Prerequisite: 2443 (Calculus and Analytic Geometry IV), 3413 (Physical Mathematics I).

Kurs kataloğu açıklaması: The Fourier transform and applications, a survey of complex variable theory, linear and nonlinear coordinate transformations, tensors, elements of the calculus of variations. Duplicates one hour of 3333 and one hour of 4103. (Sp)

Metin: D. A. McQuarrie, Mathematical Methods for Scientists and Engineers, University Science Books, Sausalito, CA, 2003. The course will cover (parts of) chapters 4-10, 17-20.

  • Homework 1, due Thu, Aug 30.
  • Homework 2, due Thu, Sep 6.
  • Homework 3, due Thu, Sep 13.
  • Homework 4, due Thu, Sep 27.
  • Homework 5, due Thu, Oct 4.
  • Homework 6, due Thu, Oct 11.
  • Homework 7, due Thu, Oct 18.
  • Homework 8, due Thu, Nov 1. SOLUTIONS
  • Homework 9, due Tue, Nov 13. SOLUTIONS
  • Homework 10, due Tue, Nov 27. SOLUTIONS
  • Homework 11, due Thu, Dec 6.

Hour exam 3 will be on Thursday, November 29, in class.
No formula sheets and calculators are allowed.

    Lecture 1 (Tue, Aug 21):Reminder: Fourier series: Fourier series of a periodic function (using complex exponents or sines and cosines), even and odd funcitons, sine and cosine series, convergence of Fourier series, Parseval's theorem, physical interpretation (Sec. 15.1-15.3).
    Fourier transform: definition of Fourier transform, examples (pages 845-849 of Sec. 17.5).

katılım: You are required to attend class on those days when an examination is being given attendance during other class periods is also strongly encouraged. You are fully responsible for the material covered in each class, whether or not you attend. Make-ups for missed exams will be given only if there is a compelling reason for the absence, which I know about beforehand and can document bağımsız of your testimony (for example, via a note or a phone call from a doctor or a parent).

You should come to class on time if you miss a quiz because you came late, you won't be able to make up for it.

Ev ödevi: It is absolutely essential to solve a large number of problems on a regular basis! Homework assignments will be given regularly throughout the semester and will be posted on this web-site. Usually the homeworks will be due at the Başlat of class on Thursday. Her ev ödevi birkaç problemden oluşacaktır ve bu problemlerden rastgele seçilmiş bazı problemler derecelendirilecektir. Your lowest homework grade will be dropped. All homework should be written on a 8.5"×11" paper with your name clearly written, and should be stapled. Geç kalan ödevler kabul edilmeyecektir!

You are encouraged to discuss the homework problems with other students. However, you have to write your solutions clearly and in your own words - this is the sadece gerçek anlayışa ulaşmanın yolu! It is advisable that you first write a draft of the solutions and then copy them neatly. Lütfen problemleri ödevde verildikleri sırayla yazınız.

Shortly after a homework assignment's due date, solutions to the problems from that assignment will be placed on restricted reserve in the Chemistry-Mathematics Library in 207 PHSC.

sınavlar: Sınıfta rastgele zamanlarda kısa kısa sınavlar verilecek ve en düşük sınav notunuz düşecektir. Kısa sınavlar genellikle çok yakın zamanda işlenen materyalleri kullanır (önceki derste bile), bu nedenle materyali takip etmek ve derste işlendikten hemen sonra kitaptan ilgili bölümleri incelemek için her türlü çabayı göstermeniz gerekir. .

sınavlar: Sınıf içi üç ara sınav ve bir (kapsamlı) final yapılacaktır. The approximate dates for the midterms are September 18, October 23 and November 27. The final is scheduled for Tuesday, December 11, 1:30-3:30 p.m. Olağanüstü durumlar dışında tüm testler planlanan zamanlarda yapılmalıdır. Lütfen sınavlardan herhangi birine planlanan zamanda girmenizi engelleyen seyahat planları düzenlemeyin.

Derecelendirme: Notunuz, aşağıdaki kurslardaki performansınıza göre belirlenecektir:

Kısa sınavlar (en düşük not düştü) 15%
Ödev (en düşük not düştü) 15%
Three in-class midterms 15% each
Final Examination 25%

Academic calendar for Fall 2007.

W/I Notlarına İlişkin Politika : Through September 23, you can withdraw from the course with an automatic W . In addition, it is my policy to give any student a W grade, regardless of his/her performance in the course, through the extended drop period that ends on December 7. However, after October 29, you can only drop via petition to the Dean of your college. Such petitions are not often granted. Furthermore, even if the petition is granted, I will give you a grade of "Withdrawn Failing" if you are indeed failing at the time of your petition.

The grade of I (Incomplete) is olumsuzluk intended to serve as a benign substitute for the grade of F . I only give the I grade if a student has completed the majority of the work in the course (for example everything except the final exam), the coursework cannot be completed because of compelling and verifiable problems beyond the student's control, and the student expresses a clear intention of making up the missed work as soon as possible.

Akademik Suistimal: Tüm şüpheli akademik suistimal vakaları, Üniversitenin Akademik Suistimal Yasası uyarınca kovuşturulmak üzere Fen Edebiyat Fakültesi Dekanına havale edilecektir. Cezalar oldukça ağır olabilir. yapma! For more details on the University's policies concerning academic misconduct see http://www.ou.edu/provost/integrity/. See also the Akademik Suistimal Kodu, which is a part of the Student Code and can be found at http://www.ou.edu/studentcode/.

Engelli Öğrenciler: Oklahoma Üniversitesi, engelli tüm öğrenciler için makul bir konaklama sağlamayı taahhüt eder. Bu kursta konaklamaya ihtiyaç duyan engelli öğrencilerin, öğretim elemanı ile mümkün olduğu kadar erken dönemde konuşmaları rica olunur. Engelli öğrenciler, bu kursta konaklama almadan önce Engellilik Hizmetleri Ofisine kaydolmalıdır. Engellilik Hizmetleri Ofisi, Goddard Sağlık Merkezi, Suite 166'da bulunur: telefon 405-325-3852 veya sadece TDD 405-325-4173.


E-Lesson Plan for Mathematics Teachers

For a teacher it is important to make a lesson plan. In mathematics lesson planning is an art. With the help of good planning a teacher can achieve his goal in the classroom. In the link given below teacher can find beautiful lesson planning in mathematics.

/>

/>


Math 171: Fundamental Concepts of Analysis, Spring 2016

Math 171 is Stanford's honors analysis class and will have a strong emphasis on rigor and proofs. The class will take an abstract approach, especially around metric spaces and related concepts. Math 171 is required for honors majors, and satisfies the WIM (Writing In the Major) requirement.

For some students, Math 115 may be a suitable alternative to 171. Both Math 115 and Math 171 cover similar material, but 171 will be more fast-paced and have a more abstract/proof-based flavor. If you are unsure which of these two classes will be more appropriate for you, please come and talk to me as soon as possible (well before the drop deadline, which is April 15).

Textbook and topics

Foundations of Mathematical Analysis by Johnsonbaugh and Pfaffenberger.

We will cover approximately chapters I-X of the book. Thematically, the content we will cover falls into three areas:

  • Real numbers, sequences, limits, series, functions. Much of this will be familiar to you already, and we will not cover it in detail. Specifically, we will not cover the following sections in complete detail: 1-8, 10-17, 22-33 and 48-50. Instead, these topics will be reviewed in the first two weeks. Here are some notes for the review, written by Prof. Leon Simon.
  • Metric spaces. Completeness, compactness. Introduction to topological spaces.
  • Integration. The Riemann integral. Introduction to the Lebesgue integral. We will make use of these notes written by Prof. Leon Simon.

A more detailed lecture plan (updated after each lecture) is below.

Course Grade

The course grade will be based on the following:

  • 25% Homework assignments,
  • 25% Midterm exam,
  • 15% Writing assigment,
  • 35% Final exam

Ödevler

Homeworks will be posted here on an ongoing basis (roughly a week before they are due) and will be due at 4pm on the date listed. You can hand write your solutions, but you are encouraged to consider typing your solutions with LaTeX (now is a good time to start learning LaTeX if you haven't already, as you will be required to typeset the WIM assignment). Please submit your homework either directly to our Course Assistant Alex if he is in his office (380-380M) or slide the homework under his door if he is away. If you have typed your solutions, you are welcome to simply e-mail your homework to to Alex.

Note: we are looking not just for valid proofs, but also a readable, well explained ones (and indeed, you will be partly graded on readability). This means you should try to use complete sentences, insert explanations, and err on the side of writing out "for all" and "there exist", etc. symbols if there is any chance of confusion.

Late homeworks will not be accepted. In order to accomodate exceptional situations such as serious illness, your lowest homework score will be dropped at the end of the quarter. You are encouraged to discuss problems with each other, but you must work on your own when you write down solutions. The Honor Code applies to this and all other written aspects of the course.

As homeworks are completed, solutions (in PDF and LaTeX) will be uploaded here. The LaTeX files may be useful as templates for your own LaTeX work (whether on homework or the writing assignment).

Due date Assignment
Fri, Apr 8 Homework 1. Solutions: PDF. TeX
Fri, Apr 15 Homework 2. Solutions: PDF. TeX
Fri, Apr 22 Homework 3. Solutions: PDF. TeX
Fri, Apr 29 Homework 4. Solutions: PDF. TeX
Fri, May 6 Homework 5. Solutions: PDF. TeX
Fri, May 13 Homework 6. Solutions: PDF. TeX
Fri, May 20 Homework 7 (half weight, in light of WIM assignment). Solutions: PDF. TeX
Fri, May 27 Homework 8 (not half weight, but also shorter than usual) Solutions: PDF. TeX

Writing Assignment

The writing assignment is now posted here. The first draft will be due Friday, May 20 at 4pm to Alex and the final draft will be due Tuesday, May 31 at 4pm to Alex ( edit: The deadline has been extended to June 1 at 4 pm, should you require an additional day.) Your paper should be about 4-7 pages in length. It is required that you typeset your assignment we strongly recommend you use LaTeX. We have made available copies of the TeX solutions to homework assignemnts above, in case they are helpful references as you learn LaTeX. A couple of the homework assignments will be shorter than usual, to give you time to work on the writing assignment.

Clear writing is an important part of mathematical communication, and is an important part of our course. The broad idea of this assignment is to write a clear exposition of a specific mathematical topic detailed in the assignment beyond what we have covered in class, which is accessible to someone at a similar stage in a similar class.

Professor Keith Conrad at the University of Connecticut has written a helpful guide to common errors in mathematical writing, available here.

Midterm and Final Exam

Midterm exam

The Midterm Exam was held on Wednesday April 27 itibaren 8:30 am - 10:20 am in 380-380F. Here is a copy of the exam. Here is a set of solutions.

Also, here are some old exams from previous versions of the course which we used for practice (bear in mind that the exact topics, time of exam, and format all differ from year to year):

  • 2014 spring midterm exam (with solutions built in)
  • 2013 spring midterm exam (solution set here)
  • 2011 spring midterm exam (no solutions available).

Final Sınavı

The Final Exam will be held on Saturday, June 4th itibaren 8:30 am - 11:30 am in classroom 380-380X.

The final exam is a closed book, closed notes sınav. The topics range through all of the topics we have covered in the class. Please see the Lecture Plan below for a review of all of the important topics and book sections (plus Professor Simon's review notes, and notes on integration) covered.

A helpful way to prepare for the final exam is to make sure you can solve all of the homework problems, and/or related problems in the book. It is also important to know and be able to articulate statements of all of the major definitions and Theorems/results covered in class to date (Indeed, a part of an exam question might even be to state an important result, before working with it. Or at the very least, when you are explaining your argument, you may need to cite such a result). You will not be asked to recall from memory proofs of important theorems, but you will certainly be asked to use these results, or reason through parts of their proof --- so some understanding of how various results are proved is definitely important.

Also, here is an old exam and some practice problems. See also the old midterm exams above (and note that some of them had problems which did not appear on our midterm, but might appear on the final)

  • Practice problems from the Spring 2013 Math 171 class final preparation here (a couple of these problems already appeared on our HW 8).
  • 2007 fall final exam (solutions available here).

Lecture Plan

Lecture topics by day will be posted on an ongoing basis below. Future topics are tentative and will be adjusted as necessary.


Math 416, Abstract Linear Algebra

This is a rigorous proof-oriented course in linear algebra. Topics include vector spaces, linear transformations, determinants, eigenvectors and eigenvalues, inner product spaces, Hermitian matrices, and Jordan Normal Form.

Önkoşullar: Math 241 required with Math 347 strongly recommended.

Gerekli metin: Friedberg, Insel, and Spence, Lineer Cebir, 4th edition, 600 pages, Pearson 2002.

Supplementary text: Especially for the first quarter of the course, I will also refer to the Bedava text:

Breezer, A First Course in Linear Algebra, Version 3.5 (2015). Available online or as a downloadable PDF file.

Course Policies

Overall grading: Your course grade will be based on homework (16%), three in-class midterm exams (18% each), and a comprehensive final exam (30%).

Weekly homework: These are due at the beginning of class, typically on a Friday. Late homework will not be accepted however, your lowest two homework grades will be dropped, so you are effectively allowed two infinitely late assignments. Collaboration on homework is permitted, nay encouraged. However, you must write up your solutions individually and understand them completely.

In-class midterms: These three 50 minute exams will be held in our usual classroom on the following Wednesdays: February 17, March 16, and April 20.

Final exam: There will be a combined final exam for sections B13 and C13 of Math 416, which will be held on Friday, May 6 from 1:30-4:30 in Psychology 23.

Missed exams: There will be no make-up exams. Rather, in the event of a valid illness, accident, or family crisis, you can be excused from an exam so that it does not count toward your overall average. I reserve final judgment as to whether an exam will be excused. All such requests should be made in advance if possible, but in any event no more than one week after the exam date.

Hile: Cheating is taken very seriously as it takes unfair advantage of the other students in the class. Penalties for cheating on exams, in particular, are very high, typically resulting in a 0 on the exam or an F in the class.

Disabilities: Students with disabilities who require reasonable accommodations should see me as soon as possible. In particular, any accommodation on exams must be requested at least a week in advance and will require a letter from DRES.

James Scholar/Honors Learning Agreements/4th credit hour: These are not offered for these sections of Math 416. Those interested in such credit should enroll in a different section of this course.

Detailed Schedule

Includes scans of my lecture notes and the homework assignments. Here [FIS] and [B] refer to the texts by Friedberg et al. and Breezer respectively.

Jan 20 Introduction. Section 1.1 of [FIS]. Jan 22 Vectors spaces. Section 1.2 of [FIS]. Jan 25 Subspaces. Section 1.3 of [FIS]. Jan 27 Linear combinations and systems of equations. Section 1.4 of [FIS] and Section SSLE of [B]. Jan 29 Using matrices to encode and solve linear systems. Section RREF of [B]. HW 1 due. Çözümler. Feb 1 Row echelon form and Gaussian elimination. Section RREF of [B]. Feb 3 Solution spaces to linear systems. Section TSS of [B]. Feb 5 Linear dependence and independence. Section 1.5 of [FIS]. HW 2 due. Çözümler. Feb 8 Basis and dimension, part 1. Section 1.6 of [FIS]. Feb 10 Basis and dimension, part 2. Section 1.6 of [FIS]. Feb 12 Basis, dimension, and linear systems. HW 3 due. Çözümler. Feb 15 Intro to linear transformations. Section 2.1 of [FIS]. Feb 17 Midterm the First. Handout. Çözümler. Feb 19 The Dimension Theorem. Section 2.1 of [FIS]. Feb 22 Encoding linear transformations as matrices. Section 2.2 of [FIS]. Feb 24 Composing linear transformations and matrix multiplication. Section 2.3 of [FIS]. Feb 26 More on matrix multiplication. HW 4 due. Section 2.3 of [FIS]. Çözümler. Feb 29 Isomorphisms and invertibility. Section 2.4 of [FIS]. Mar 2 Matrices: invertibility and rank. Section 2.4 of [FIS] and Sections MINM and CRS of [B]. Mar 4 Changing coordinates. Section 2.5 of [FIS]. HW 5 due. Çözümler. Mar 7 Introduction to determinants. Section 4.1 of [FIS]. Mar 9 Definition of the determinant. Section 4.2 of [FIS]. Mar 11 The determinant and row operations. Section 4.2 of [FIS]. HW 6 due. Çözümler. Mar 14 Elementary matrices and the determinant. Sections 3.1 and 4.3 of [FIS]. Mar 16 Midterm the Second. Handout. Çözümler. Mar 18 Determinants and volumes. Section 4.3 of [FIS]. Mar 19 Spring Break starts. Mar 27 Spring Break ends. Mar 28 Diagonalization and eigenvectors. Section 5.1 of [FIS]. Mar 30 Finding eigenvectors. Sections 5.1 and 5.2 of [FIS]. Apr 1 Diagonalization Criteria. Section 5.2 of [FIS]. HW 7 due. Çözümler. Apr 4 Proof of the Diagonalization Criteria. Section 5.2 of [FIS]. Apr 6 Matrix powers and Markov Chains. Section 5.3 of [FIS]. Apr 8 Convergence of Markov Chains. Section 5.3 of [FIS]. HW 8 due. Çözümler. Apr 11 Inner products. Section 6.1 of [FIS]. Apr 13 Inner products and orthogonality. Sections 6.1 and 6.2 of [FIS]. Apr 15 Gram-Schmidt and friends. Section 6.2 of [FIS]. HW 9 due. Çözümler. Apr 18 Orthogonal complements and projections. Sections 6.2 and 6.3 of [FIS]. Apr 20 Midterm the Third. Handout. Çözümler. Apr 22 Projections and adjoints. Section 6.3 of [FIS]. Apr 25 Normal and self-adjoint operators. Section 6.4 of [FIS]. Apr 27 Diagonalizing self-adjoint operators. Section 6.4 of [FIS]. HW 10 due. Çözümler. Apr 29 Orthgonal and unitary operators. Section 6.5 of [FIS]. (a) can be eliminated by noting that the proof of (a) => (b) is really shows (e) => (b) and then giving the one-line proof that (b) => (a). Second, one replace the proof on the theorem on page 5 by a formal manipulation: (Ax, Ay) = (Ay)^t (A x) = y^t (A^t A) x = (x, y) at the cost of making the proof of the corollary on the next page less obvious. May 2 Dealing with nondiagonalizable matrices. Section 6.7 and 7.1 of [FIS]. May 4 Linear approximation, diagonalizing symmetric matrices, and the second derivative test. HW 11 due. Çözümler. May 6 Final exam from 1:30 - 4:30 pm in Psychology 23. Handout. Çözümler.


SYLLABUS

  • Office: 300H LeConte College
  • Office hours: T Th 2-3 pm
  • E-posta:[email protected]
  • Course Web Page:www.math.sc.edu /

Ders Tanımı This is an introduction to linear algebra and its applications. Main topics include matrix algebra, solution of linear systems, determinants, notions of vector space, basis, dimension, linear transformations, eigenvalues, and diagonaliztions. We will develop at each step the applications of these concepts to a range of problems in Mathematics, Engineering, and Economics.

Önkoşullar Math 241--familiarity with vectors.

Textbook Linear Algebra and it Applications, by David C. Lay, Second Edition.

Homework and Quizzes There will be weekly homework assignments due every Tuesday. Late homeworks will not be accepted.

Also, there will be weekly quizzes every Thursday. No calculators, textbooks, or notes will be allowed during quizzes. You should save copies of these quizzes as they are a very good source for preparing for the final and midterms. There may be a number of practice quizzes during the lectures as well.

Doing the homework problems is the most important part of any math class. You may work with a group of your classmates if you are all at about the same level however, you should definitely try to do many problems on your own. Further, try to practice doing at least some of the problems in settings which resemble that of the test and quizzes, i.e., without using your calculator or constantly referring to the textbook.

Lecture and Reading Schedule You should make a sincere effort to keep up with your reading assignments.

Tarih Lectures
Jan 16
18
T
TH
1.1
1.2
Lineer Denklem Sistemleri
Row Reduction and Echelon Forms
23
25
T
TH
1.3
1.4
Vector Equations
The Matrix Equation Ax=b
30 T 1.5 Solutions of Linear Systems
Feb 1 TH 1.6 Linear Independence
6
8
T
TH
1.7
1.8
Intro to linear transformations
Matrix of a linear transformation
13
15
T
TH
1.9
.
Linear Models in Science
Midterm 1
20
22
T
TH
2.1
2.2
Matrix Operations
The Inverse of a Matrix
27 T 2.3 Characterizations of Invertible Matrices
Mar 1 NS 2.8 Applications to Computer Graphics
6
8
T
TH
2.9
2.9
Subspaces of R^n
Subspaces of R^n
13
15
T
TH
.
.
Spring Break
Spring Break
20
22
T
TH
3.1
3.2, 3.3
Intro to Determinants
Properties, Volume
27
29
T
TH
.
.
Gözden geçirmek
Midterm 2
Apr 3
5
T
TH
4.1
4.2, 4.3
Vector Spaces and Subspaces
Null Spaces, Column Spaces, and Bases
10
12
T
TH
4.4
4.5
Coordinate Systems
The Dimension of a vector Space
17
19
T
TH
4.7
5.1, 5.2
Change of basis
Eigenvalues, Characteristic Equation
24
26
T
TH
5.3
.
Diagonalization
Fibonacci Sequence
Mayıs 1 T . Gözden geçirmek
9 W . Final Sınavı

Atamalar You should plan to work on these problems over a period of several days. Getting a head start on each assignment is perhaps the most critical factor determining your success in this class.

Homework # Due Date sorunlar
1 Jan 23 1.1) 2, 6, 8, 12, 14, 24, 28, 34, 35
1.2) 2, 6, 10, 14, 31, 32, 33, 35.
2 Jan 30 1.3) 6, 8, 10, 12, 14, 23, 29
1.4) 4, 8, 10, 12, 14, 18.
3 Feb 6 1.5) 2, 6, 14, 16, 26, 36, 38
1.6) 4, 6, 10, 20, 22, 26, 28, 30, 32, 34, 36.
4 Feb 13 1.7)2, 4, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 24, 30, 34
1.8) 2, 6, 10, 12, 18, 24, 26, 28, 33.
5 Feb 20 1.9)2, 4, 10, 12
Chap 1 Supplementary Exercises) 1, 3, 6, 11.
6 Feb 27 2.1)2, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 26, 30
2.2) 4, 6, 10, 12, 13, 25, 26.
7 Mar 6 2.2)23, 24, 30, 32, 34
2.3)4, 6, 8, 14, 16, 26, 28, 34
2.8)2, 4, 6, 8, 10, 11.
8 Mar 20 2.8)7,14
2.9)2, 4, 6, 8, 10, 16, 18, 22, 24, 26, 28, 34.
9 Mar 27 3.1)4, 10, 16, 20, 22, 28, 34, 42
3.2)16, 18, 22, 26, 28, 31, 32, 33, 34, 35
3.3) 20, 24, 29, 30, 31.
10 Apr 3 Chap 3 Supplementary Exercises) 4, 6, 7, 9, 12.
11 Apr 10 4.1) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 24, 26, 28, 30
4.2) 2, 6, 8, 10, 26, 28, 34
4.3) 2, 4, 6, 11, 12, 23, 24.
12 Apr 17 4.4) 4, 6, 12, 14, 28
4.5) 2, 4, 9, 22, 24, 27, 28.
13 Apr 24 4.7) 8, 10, 14
5.1) 2, 6, 10, 24, 32
5.2) 4, 8, 10, 16, 25.
14 May 1 5.3) 2, 8, 10, 24
Handout) 2, 3, 4, 5, 7, 8.

Tests and Exams There will be two midterms, on Thursday Feb 15 and on Thursday Mar 29. The final exam will be on Wednesday May 9 at 5:30 pm. No calculators, or notes will be allowed during the exams. Note: bring a bluebook to the exams.

derecelendirme The final grade is based on homeworks 10%, quizzes, 10%, midterms, 20% each, and the final exam, 40%.

A Few More Study Hints and Guidelines Learning Mathematics is a demanding affair. It requires a good deal of self discipline and hard work to appreciate the power and beauty of the subject. Further, solving math problems, much like playing a musical instrument, is a beceri, which can be developed only through persistent practice. You should plan to work on your exercises everyday, and for a total of en azından 8 hours each week. Also, it is very important that you faithfully attend all lectures.

A good deal of class time shall be devoted to working through problems. Do not get into the habit of sitting passively and expecting the professor to make you understand. Rather, you should take out your paper and pencil and try to do the problems at the same time with your instructor. If something is unclear to you, feel free to ask questions, and if you need more help, go see your instructor during the office hours. If you cannot come during the office hours, you are welcome to knock on the professor's door at another time, or send an email for an appointment.


Videoyu izle: เจานางอนญทพยนงบลลงกตงทอง. เพลงพระนาง (Aralık 2021).